Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mô hình vũ trụ năm chiều Randall - Sundrum, được đặt theo tên của 2nhà khoa học đề xuất ra mô hình. Không giống như vũ trụ được mô tả bởi thuyết tương đối có ba chiều của không gian và một chiều của thời gian, môhình này thêm một chiều compact và mô tả vũ trụ bởi năm chiều. Nhờ đó môhình Randall - Sundrum đã giải thích được tính bền của bán kính compact và giải quyết được vấn đề phân bậc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VÌ THỊ BÍCH THU CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Xuân Hòa, năm 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 VÌ THỊ BÍCH THU CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH TRONG MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán Mã ngành: 60 44 01 03 NGƯỜI HƯỚNG DẪN TS. NGUYỄN HUY THẢO Xuân Hòa, năm 2016
LỜI CÁM ƠN Để hoàn thành Luận văn này, tôi đã nhận được sự hỗ trợ từ giáo viên hướng dẫn, thầy cô, gia đình và bạn bè. Đầu tiên tôi xin gửi lời cám ơn chân thành đến TS Nguyễn Huy Thảo - người thầy đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn, để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi xin gửi lời cám ơn đến quý thầy cô giáo Khoa Vật lý, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã truyền đạt cho tôi những kiến thức vật lý từ cổ điển đến hiện đại, làm nền tảng để tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn các bạn học viên lớp Cao học Vật lí lý thuyết và vật lí toán, khóa 18, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, đã cùng tôi trao đổi những kiến thức đã học và các vấn đề khác trong cuộc sống. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn tập thể cán bộ, giáo viên, nhân viên, trường phổ thông dân tộc nội trú tỉnh Sơn La và các thành viên trong gia đình, đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học này. Xuân Hòa, ngày 15 tháng 6 năm 2016 Vì Thị Bích Thu
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, ngày 15 tháng 6 năm 2016 Vì Thị Bích Thu
Mục lục DANH SÁCH CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT 1 MỞ ĐẦU 2 1 MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN 6 1.1. MÔ HÌNH CHUẨN 6 1.2. CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN 9 2 MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM 11 2.1. LÝ THUYẾT KALUZA - KLEIN 11 2.2. KHÁI QUÁT MÔ HÌNH RANDALL - SUNDRUM 12 3 SỰ CHUYỂN HÓA PHOTON - RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH 29 3.1. TRƯỜNG RADION 29 3.2. CƠ CHẾ GOLDBERGER - WISE 30 3.3. SỰ TRỘN RADION - HIGGS 32 3.4. KHẢO SÁT TIẾT DIỆN CHUYỂN HÓA PHOTON-RADION TRONG TỪ TRƯỜNG TĨNH 35 KẾT LUẬN 38 TÀI LIỆU THAM KHẢO 39
DANH SÁCH CÁC THUẬT NGỮ VIẾT TẮT e electron µ muon τ tau νe electron neutrino νµ muon neutrino ντ tau neutrino u up d down c charm s strange t top b bottom GR General Relativity PGW Primordial Gravitional Wave QCD Quantum ChromoDynamics GWS Glashow-Weiberg-Salam SM Standard Model VEV Vacuum Expectation Value CERN European Organization for Nuclear Research LHC Large Hadron Collider WMAP Wilkinson Microwave Anisotropy Probe V-A Vecto-Axial DM Dark Matter RS Randall - Sundrum KK Kaluza-Klein MHC Mô hình chuẩn 1
MỞ ĐẦU 1. LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI Từ khi con người xây dựng được một hệ thống các ý tưởng và phương pháp suy luận chính xác để diễn tả và giải thích thế giới bên ngoài, thì theo nghĩa đó họ đã tạo dựng nên một thực tại thiên nhiên mà hạt cơ bản và vũ trụ là thí dụ điển hình về cái mà chúng ta hiểu biết về hai thái cực vô cùng nhỏ cũng như vô cùng lớn đó. Hạt cơ bản là một dạng vật chất tưởng như không sao chia cắt nổi, và sự hiểu biết về chúng được phát triển theo thời đại do nhận thức của con người. Vật lý hiện đại là phần Vật lý mới được phát triển từ đầu thế kỷ 20, khởi sinh bằng lý thuyết lượng tử năng lượng của Max Planck (1901); Lý thuyết lượng tử ánh sáng và thuyết tương đối hẹp của Albert Einstein (1905), giúp ta có những cái nhìn mới về thế giới vật chất. Trên cơ sở các tiến bộ vượt bậc, do sự nỗ lực không ngừng của các nhà vật lý hiện đại, nghiên cứu về các mặt lý thuyết, thực nghiệm và mô hình hóa, trên xu hướng hợp nhất các tương tác. Vấn đề nổi trội trong thế giới vật lý hiện đại ngày nay được nhiều nhà khoa học, quan tâm nghiên cứu đó là “Mô hình chuẩn” và các mở rộng của mô hình này. Năm 1974, lần đầu tiên John Iliopoulos đề xuất “Mô hình chuẩn”. Theo mô hình này, tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh được mô tả thống nhất bởi một lý thuyết trường lượng tử dựa trên nhóm đối xứng chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (1)Y . Đến năm 1978, tại Hội nghị Quốc tế về Vật lý năng lượng cao ở Nhật Bản, những khẳng định thực nghiệm về “Mô hình chuẩn” đã được đánh giá và xác nhận. Vật chất trong tự nhiên vận động là do bốn lực cơ bản: Tương tác hấp dẫn tác dụng ở thang vĩ mô, được mô tả thành công bởi thuyết tương đối rộng. Tương tác điện từ, tương tác yếu và tương tác mạnh tác dụng ở thang vi mô 2
MỞ ĐẦU được mô tả thành công bởi mô hình chuẩn [1]. Lý thuyết tương đối rộng và mô hình chuẩn là những nền tảng cơ sở của vật lý hiện đại cho giải thích các hiện tượng tự nhiên với độ chính xác rất cao. Mô hình chuẩn là sự kết hợp hai lý thuyết cơ sở: GWS (Glashow-Weiberg- Salam) và QCD (Quantum ChromoDynamics), dựa trên đối xứng chuẩn SU (3)C ⊗ SU (2)L ⊗ U (2)Y là nền tảng của vật lý hiện đại [3]. Các fermion trong SM được xếp theo các thế hệ: thế hệ 1 νe , e, u, d, thế hệ 2 νµ , µ, c, s và thế hệ 3 ντ , τ, t, b. Trong mô hình chuẩn, neutrino chỉ có phân cực trái do thực nghiệm không thấy thành phần phải. Các hạt trái được xếp vào lưỡng tuyến SU (2)L và hạt phải là đơn tuyến của nhóm này. Quark là tam tuyến của SU (3)C , trong khi lepton không mầu. Sau khi công bố thuyết tương đối hẹp, Einstein xây dựng thuyết tương đối rộng cho hấp dẫn và hoàn thành năm 1916. Thuyết tương đối rộng là cơ sở để tính toán với vũ trụ học ngày nay. Kết hợp với mô hình chuẩn, hai lý thuyết này cho giải thích thành công nhiều vấn đề của tự nhiên từ siêu nhỏ đến siêu lớn. Tuy những thành công trên nhưng SM cũng có nhưng hạn chế [3]. Mô hình chuẩn không giải thích được những vấn đề liên quan đến số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion. Đặc biệt, mô hình chuẩn không giải quyết được vấn đề phân bậc, không mô tả được loại tương tác thứ tư của vật chất, tương tác hấp dẫn. Ngày nay, để giải thích được các câu hỏi mới nảy sinh từ những nghiên cứu vũ trụ, người ta thấy rằng mô hình chuẩn không còn phù hợp nữa, tuy nó không sai nhưng phải bổ sung thêm một số khía cạnh mới. Một trong những mô hình mới bổ xung cho mô hình chuẩn được đưa ra, ta có thể phân theo hai hướng sau: + Mở rộng nhóm đối xứng (Mô hình 3-3-1; Lý thuyết siêu đối xứng, Lý thuyết thống nhất lớn;...) + Mở rộng số chiều không gian (Lý thuyết Kaluza - Klein; Mô hình Randall -Sundrum;...). Mô hình vũ trụ năm chiều Randall - Sundrum, được đặt theo tên của 2 nhà khoa học đề xuất ra mô hình. Không giống như vũ trụ được mô tả bởi thuyết tương đối có ba chiều của không gian và một chiều của thời gian, mô hình này thêm một chiều compact và mô tả vũ trụ bởi năm chiều. Nhờ đó mô hình Randall - Sundrum đã giải thích được tính bền của bán kính compact và giải quyết được vấn đề phân bậc. 3
MỞ ĐẦU Trường radion động lực gắn với bán kính này bảo đảm được tính bền thông qua cơ chế Goldberger - Wise. Một trong những đặc trưng của mô hình này là trường radion. Để góp phần chứng minh tính đúng đắn của mô hình Randall - Sundrum, chúng tôi chọn đề tài “Chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum” để nghiên cứu trong luận văn. 4
MỞ ĐẦU 2. MỤC ĐÍCH NGHIÊN CỨU Nghiên cứu sự chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh nhằm tìm ra bằng chứng khẳng định sự tồn tại của radion và khẳng định được tính đúng đắn của mô hình Randall - Sundrum. 3. NỘI DUNG NGHIÊN CỨU Để đạt được mục đích đề ra, đề tài có nhiệm vụ chủ yếu sau: - Tìm hiểu mô hình chuẩn và các mô hình mở rộng từ mô hình chuẩn. - Tìm hiểu mô hình Randall - Sundrum. - Tìm hiểu sự chuyển hóa photon thành radion trong từ trường tĩnh. 4. ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU Chuyển hóa photon - radion trong từ trường tĩnh trong mô hình Randall - Sundrum. 5. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU Sử dụng phương pháp lý thuyết trường lượng tử trong không - thời gian cong, nhiều chiều. Phương pháp giản đồ Feynman để tính tiết diện tán xạ Radion trong từ trường tĩnh. 6. NHỮNG ĐÓNG GÓP CỦA ĐỀ TÀI Chứng minh được sự xuất hiện của radion trong từ trường tĩnh trong mô hình RS, để hiểu được tính bền vững của bán kính compact và giải thích được vấn đề phân bậc nhằm khẳng định được tính đúng đắn của mô hình. 5
Chương 1 MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN 1.1. MÔ HÌNH CHUẨN Mô hình chuẩn Standard Model đã diễn tả cơ bản một cách hệ thống những hạt cơ bản cấu tạo nên vật chất, là sự kết hợp của lý thuyết điện yếu (Glashow-Weiberg-Salam) và sắc động học lượng tử (QCD) tạo nên sự hiểu biết về các hạt và tương tác cơ bản của các hạt trong tự nhiên. Được phát triển vào những năm đầu của thập niên 1970, mô hình chuẩn là một phần của lý thuyết trường lượng tử, một lý thuyết đã kết hợp cơ học lượng tử với thuyết tương đối hẹp. Hầu hết các hạt xuất hiện trong SM đã được tìm thấy tại các máy gia tốc năng lượng cao tại Thụy Sĩ. SM là thuyết mô tả chính xác ba trong bốn loại tương tác cơ bản đó là: tương tác mạnh, tương tác yếu và tương tác điện từ. Mô hình chuẩn được xây dựng dựa trên nhóm chuẩn SU (3) ⊗ SU (2) ⊗ U (1) của các phép biến đổi chuẩn unitary [3]. Trong đó: + SU(3) là nhóm đối xứng không Abel của tương tác mạnh. Các trường chuẩn gluon liên kết với các tích màu theo cách thức được mô tả trong Sắc động lực học lượng tử. + SU(2) là nhóm đối xứng tương tác yếu không Abel. Các quan sát thực nghiệm cho kết quả phù hợp với Mô hình chuẩn ở độ chính xác rất cao. Mô 6
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN hình chuẩn cho ta một cách thức mô tả tự nhiên từ kích thước vi mô cho tới các khoảng cách vũ trụ. Và được xem là một trong những thành tựu lớn nhất của loài người trong việc tìm hiểu tự nhiên. Sự sắp xếp các hạt trong mô hình chuẩn như sau: - 12 hạt cơ bản (6 lepton và 6 quark),cùng với các phản hạt của chúng. - Ba tương tác cơ bản (mạnh, điện từ, yếu) với các hạt trường của chúng (gluon, photon, W-boson và Z-boson). Mô hình chuẩn được tóm tắt ở 3 điểm cơ bản: - Vật chất được cấu tạo từ các yếu tố cơ bản là lepton và quark, đây là những viên gạch sơ đẳng tận cùng để cấu tạo nên vật chất bất động hay sinh động trên Trái Đất, trong hệ Mặt Trời hay trong vũ trụ. Hạt cơ bản được chia làm hai phần: Mười hai hạt có spin 1/2 như quark và lepton cùng bốn boson chuẩn có spin 1 như photon, hai boson Z, W của lực tương tác yếu. Có sáu loại quark mang ký hiệu u (up), d (down), s (strange), c (charm), t (top), b (bottom) Có sáu loại lepton bao gồm ba hạt: e − (electron), µ − (muon), τ − (tauon) mang điện âm −e, và ba hạt neutrino ve , vµ , vτ trung hòa điện tích. Theo thứ tự ba hạt neutrino này bao giờ cũng tương ứng với ba hạt electron, muon, tauon trong tương tác. Trong thiên nhiên sự cân bằng về số lượng: sáu loại quark và sáu loại lepton không tình cờ mà có thể nó là kết quả của đối xứng chuẩn trong lý thuyết trường lượng tử. Lực tương tác mạnh gắn kết quark trong hạt nhân nguyên tử và làm cho vật chất vững bền hơn. Lực điện từ là lực của cac electron tương tác với photon trong hạt nhân nguyên tử để tạo nên các nguyên tử và phân tử của các hóa chất trong bảng hệ thống tuần hoàn Mendelep, cũng như của các tế bào và gen sinh vật. Lực tương tac yếu chi phối toàn diện sự vận hành của neutrino, làm cho một số hạt nhân nguyên tử phân rã và phát tán neutrino. Các tương tác được thực hiện thông qua các véc tơ boson trung gian hay hạt truyền tương tác. Trong đó, các tương tác mạnh (strong interaction) của các quark trao đổi gluon g giữa chúng gọi là Sắc động lực học lượng tử (Quantum Chromodynamics hay QCD); Điện động lực học lượng tử (Quantum Electrodynamics hay QED) 7
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN Hình 1.1: Các hạt cơ bản trong mô hình chuẩn . diễn tả tương tác điện từ của các hạt mang điện tích trao đổi photon giữa chúng. - Cơ chế Higgs là cơ chế quan trọng của mô hình chuẩn. Ngày 4 tháng 7 năm 2012, hai nhóm thực nghiệm ATLAS và CMS ở CERN đã tìm ra hạt Higgs trong máy gia tốc LHC. Đây là hạt gây ra bất đối xứng trong các nhóm chuẩn, và cũng là loại hạt tạo ra khối lượng quán tính. Trong hơn 40 năm qua, kể từ khi mô hình chuẩn ra đời chúng ta được chứng kiến những thành công nổi bật của nó. Mô hình chuẩn đã mô tả thành công bức tranh hạt cơ bản và các tương tác đồng thời có vai trò quan trọng trong sự phát triển của vật lý hạt. Bên cạnh những thành tựu nổi bật, Mô hình chuẩn vẫn còn một số hạn chế sau [3]: - Mô hình chuẩn không giải quyết được những vấn đề có liên quan đến số lượng và cấu trúc các thế hệ fermion. - Mô hình chuẩn cho rằng neutrino chỉ có phân cực trái, tức là neutrino 8
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN không có khối lượng. - Mô hình chuẩn không giải thích được tại sao quark t lại có khối lượng quá lớn so với dự đoán. - Mô hình chuẩn không tiên đoán được các hiện tượng vật lý ở thang năng lượng cao cỡ TeV, mà chỉ đúng ở vùng năng lượng thấp vào khoảng 200GeV. - Các tham số cơ bản là khối lượng và tương tác Yukawa được đưa vào bằng tay. Lực hấp dẫn với cấu trúc khá khác biệt so với các lực mạnh và điện yếu không được đưa vào mô hình. 1.2. CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN Để khắc phục khó khăn hạn chế của mô hình chuẩn các nhà vật lý lý thuyết đã xây dựng khá nhiều lý thuyết mở rộng hơn như lý thuyết thống nhất (Grand unified theory - GU), siêu đối xứng (supersymmtry), lý thuyết Preon, lý thuyết Acceleron... Mỗi hướng mở rộng Mô hình chuẩn đều có ưu nhược điểm riêng. Nổi bật là các mô hình 3-3-1, các mô hình này đã giải quyết được một số vấn đề mà mô hình chuẩn chưa giải quyết được. Ví dụ: Các mô hình 3-3-1 đã giải thích được tại sao các lepton trong tam tuyến có chỉ số thế hệ là 3, hai thế hệ đầu của quark trong phản tam tuyến còn thế hệ thứ ba trong tam tuyến; Các mô hình 3-3-1 giải quyết được vấn đề lượng tử hóa điện tích, giải thích được sự phân bậc giữa các thế hệ quark do các thế hệ nằm trong các đa tuyến khác nhau [2]. Phiên bản một là mô hình 3-3-1 tối thiểu được đề xuất năm 1992, đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy của ba tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L . Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs để thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát sinh khối lượng cho các fermion [2]. Phiên bản hai được đề xuất năm 1994, cho rằng thành phần thứ ba của các tam tuyến lepton của nhóm SU (3)L là các neutrino phân cực phải [2]. Mô hình 3-3-1 tiết kiệm với hai tam tuyến Higgs, có số trường vô hướng đưa vào trong mô hình là ít nhất, nhưng đã giải quyết được hầu hết các vấn đề quan trọng của mô hình 3-3-1 với neutrino phân cực phải. Các mở rộng mô hình chuẩn nêu trên đều chỉ mới quan tâm đến một thế 9
CHƯƠNG 1: MÔ HÌNH CHUẨN VÀ CÁC MỞ RỘNG CỦA MÔ HÌNH CHUẨN hệ và thừa nhận vật lý trong các thế hệ là giống nhau, mà chưa có một chứng minh chặt chẽ thỏa đáng. Có một hướng khả quan để mở rộng Mô hình chuẩn là lý thuyết mở rộng thêm chiều không gian (gọi là Extra Dimension). Lý thuyết đầu tiên theo hướng này là lý thuyết Kaluza – Klein (1921) mở rộng không gian bốn chiều thành không gian năm chiều, nhằm mục đích thống nhất tương tác hấp dẫn và tương tác điện từ. Lý thuyết này đã gặp một số khó khăn về mặt hiện tượng luận, tuy nhiên ý tưởng của nó là cơ sở cho các lý thuyết hiện đại sau này như: thống nhất Higgs – Gauge, lý thuyết mở rộng với số chiều không gian lớn (large extra dimension), lý thuyết dây (string theory). Trong luận văn này, chúng tôi đề cập đến một trong những lý thuyết đó, gọi là mô hình Radall – Sundrum (RS). Mô hình này có thể giải thích vấn đề phân bậc, giải thích tại sao hấp dẫn lại rất nhỏ ở thang điện yếu, giải thích tại sao chỉ có ba thế hệ fermion và có sự phân bậc giữa chúng, vấn đề neutrino. . . Một đặc điểm của mô hình RS là tính bền của bán kính compact cho giải quyết vấn đề phân bậc. Trường radion động lực gắn với bán kính này đảm bảo tính bền thông qua cơ chế Goldberger – Wise [4]. Radion và vật lý gắn với nó là một yếu tố mới trong mô hình. Chứng minh sự tồn tại của radion khi kể đến đóng góp của nó vào tiết diện tán xạ toàn phần của một quá trình tán xạ là một trong những bằng chứng khẳng định tính đúng đắn của mô hình RS. 10
Chương 2 MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM 2.1. LÝ THUYẾT KALUZA - KLEIN Năm 1920, hai nhà khoa học Theodor Kaluza và Oskar Klein đã đưa ra một quan điểm mới về sự tồn tại của các chiều bổ sung trong không gian. Đây được coi như một phương pháp để thống nhất trường điện từ và trường hấp dẫn. Từ trước giai đoạn đó các nhà khoa học mới chỉ chứng minh được sự tồn tại của ba chiều không gian và một chiều thời gian. Lý thuyết mang tên hai nhà khoa học Kaluza - Klein đã mạnh dạn đưa ra một giả thiết có xuất hiện chiều thứ năm [6]. Lý thuyết Kaluza - Klein cho rằng chiều thứ năm đó có dạng tuần hoàn như sau: x5 ∼ x5 + 2πR (2.1) Nghĩa là, ngoài không gian Minkowski bốn chiều truyền thống còn xuất hiện thêm chiều thứ năm là chiều compact, có thể hình dung nó là một hình trụ năm chiều với bán kính R. Như vậy theo lý thuyết này khối lượng của các hạt vật lý mới được lượng tử hóa, vì xung lượng năm chiều của chúng đã được lượng tử hóa: p5 = Rn với n ∈ Z và trường vô hướng φ(xµ , x5 ). Khai triển trường vô hướng này thành chuỗi Fourier: ∞ X n 5 µ 5 φn (xµ ) ei R x φ x ,x = (2.2) n=−∞ 11
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM nếu φ = 0 thì phương trình chuyển động năm chiều sẽ có dạng: n2 n µ ∂µ ∂ µ φn (xµ ) = φ (x ) (2.3) R2 n2 Ta thấy xuất hiện một tháp gồm vô hạn các trường có khối lượng m2 = 2 R được sinh ra. Ở năng lượng nhỏ, cỡ có thể so sánh với R−1 (mode 0), các hiệu ứng vật lý là các hiệu ứng vật lý bốn chiều thông thường, khi năng lượng lớn hơn R−1 thì tháp Kaluza - Klein bắt đầu hoạt động. Các ràng buộc thực nghiệm đòi hỏi khối lượng các hạt phải lớn hơn TeV. n > T eV (2.4) R Từ đó ta có: R < 10−21 cm (2.5) nghĩa là gần như mất hy vọng trong việc tìm kiếm bằng thực nghiệm về chiều thứ năm. Lý thuyết Kaluza - Klein mới chỉ đưa ra dự đoán về bán kính compact R mà chưa chứng minh được bằng thực nghiệm sự xuất hiện của nó. Nghiên cứu lý thuyết Kaluza - Klein, hai nhà khoa học Lisa Randall và Raman Sundrum (1999) đã không những chứng minh được sự xuất hiện của bán kính compact mà còn cho rằng trong một điều kiện nhất định bán kính này còn có tính bền vững. 2.2. KHÁI QUÁT MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM Mô hình Randall - Sundrum (RS) giả thiết sự tồn tại của một chiều bổ sung được compact trên vòng tròn S 1 mà nửa trên và nửa dưới của nó là đồng nhất. Không - thời gian thu được chính là không gian với đối xứng cực đại và có độ cong âm. Trên chiều thứ năm ta đưa vào đối xứng chẵn lẻ Z2 , vì vậy hai điểm (xµ , φ) và (xµ , −φ) là đồng nhất. Chiều thứ năm có dạng S 1 /Z2 chính là orbifold với hai điểm cố định φ = 0 và φ = π . Brane tử ngoại (UV-Brane, hay 12
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM Brane Planck) được đặt tại φ = 0 trong brane này tương tác chủ yếu là tương tác hấp dẫn. Brane hồng ngoại (IR-Brane, SM-Brane, hay TeV-Brane) định xứ tại φ = π ở brane này tương tác chiếm ưu thế là các tương tác mạnh, yếu và tương tác điện từ [5]. Hình 2.1: Mô hình Randall - Sundrum. Ta coi chiều thứ năm là một orbifold vì khi đưa vào đối xứng orbifold vấn đề fermion chiral được giải quyết. Trong S 1 /Z2 orbifold, S 1 là một vòng tròn và Z2 là nhóm nhân {−1, 1}. Trong đó có hai điểm cố định, một điểm tại gốc y = 0, điểm còn lại y = π R = L, ở từng điểm ta xác định được 4 chiều chiều thứ năm được gọi là các brane 3. Coi hằng số vũ trụ trong không - thời gian năm chiều là Λ (không giống như hằng số vũ trụ 4D có thể dễ bị triệt tiêu hay rất nhỏ). Có thể tính S bằng cách tính tổng của tác dụng Hilbert-Einstein SH và tác dụng của thành phần 13
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM Hình 2.2: Cách đưa vào đối xứng Orbifold, hình vẽ được trích dẫn từ [11] . vật chất SM : Z Z +L √ 4 S = SH + SM = d x dy −g(M 2 R − Λ), (2.6) −L trong đó M là thang khối lượng 5 chiều, R là tenxơ độ cong vô hướng Ricci 5 chiều, g là định thức của Metric. Đối với mô hình RS, thực chất ngụ ý hai tiên đề. Một là, tiên đề về hàm tác dụng trong 5 chiều. Hai là, tiên đề về dạng tổng quát của metric. Thông qua mô hình RS, các vấn đề như giải phương trình trường hấp dẫn 5 chiều,vấn đề hằng số vũ trụ, vấn đề về lạm phát vũ trụ học và giãn nở tăng tốc của vũ trụ đã được khảo sát và giải thích. Chúng ta sẽ lần lượt xem xét chúng. Hai yếu tố cơ bản nhất để khảo sát mọi hiện tượng học của động lực hoc vũ trụ là tác dụng và metric. Tác dụng mô tả trường hấp dẫn lẫn nguồn sinh ra hấp dẫn, metric là phản ánh của trường hấp dẫn lên không-thời gian [6]. Một mô hình về vũ trụ học cần phải có hai yếu tố tiên quyết trên. Xét tọa độ của một điểm trong không thời gian năm chiều là (xµ , φ), khoảng năm chiều có dạng: ds2 = GM N dxM dxN = Gµν dxµ dxν + 2Gµφ dxµ dxφ + Gφφ dφ2 (2.7) Trong đó GM N là tenxơ metric năm chiều. Số hạng Gµφ bị khử ở mode không do đối xứng Orbifold nên: ds2 = Gµν dxµ dxν + Gφφ dφ2 . (2.8) 14
CHƯƠNG 2: MÔ HÌNH RANDALL-SUNDRUM Ta gọi metric tương ứng với các brane UV và TeV lần lượt là: vis gµν = GM N (xµ , φ = π)gµν hid = GM N (xµ , φ = 0). (2.9) Tác dụng tổng quát năm chiều có dạng: S = Sgravity + Svis + Shid (2.10) Nghĩa là tác dụng trên là mở rộng của tác dụng Hilbert-Einstein 4 chiều trong lý thuyết tương đối rộng của Einstein: Z 4 Z π √ Sgravity = d x dφ G{−Λ − 2M 3 R} −π √ Z Svis = d4 x −gvis {Lvis − Vvis } √ Z Shid = d4 x −ghid {Lhid − Vhid }. (2.11) M là khối lượng Planck 5 chiều, G = det GM N , R là độ cong vô hướng [1]. Ta trở lại với lời giải phương trình Einstein và khoảng bất biến trong trường hợp cổ điển. Trường hợp cổ điển là trường hợp không có các hạt vật chất thông thường (particle excitation), nghĩa là Lvis = Lhid = 0, còn Vvis và Vhid nhận các giá trị không đổi gọi là năng lượng chân không (vaccum energy). Trong trường hợp không có các hạt vật chất thông thường các giá trị này vẫn đóng vai trò là nguồn hấp dẫn. Ta cũng cho rc không đổi trong phương trình (2.8). Trong phần này ta chỉ xét metric năm chiều cổ điển ở trạng thái nền (ground state). Kết hợp với các phương trình trong (2.11) tác dụng cổ điển có dạng: Z 4 Z π √ Z √ √ S = d x dφ G{−Λ − 2M R} − d4 x( −gvis Vvis + −ghid Vhid ) 3 Z−π π h√ √ Z = d4 x dφ G{−Λ − 2M 3 R} − −gvis Vvis δ(φ − π) −π √ − −ghid Vhid δ(φ) . (2.12) Các hàm delta Dirac xuất hiện trong biểu thức trên là do các 3-brane định xứ tại φ = 0 và φ = π . Xét biến phân của S theo GM N : δ h√ π √ Z Z 4 δS = d x dφ M N G{−Λ − 2M 3 R} − −gvis Vvis δ(φ − π) −π δG √ −ghid Vhid δ(φ) δGM N − (2.13) 15