Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:63

Thêm vào BST

Báo xấu

98
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Thuật ngữ tán xạ Mie thường dùng để chỉ tán xạ bởi các hạt có kích thước tương đương hoặc lớn hơn với kích thước của bước sóng kích thích. Với các hạt có kích thước10−9mkhi điện trường từ trường tương tác thì quá trình nó diễn ra như thế nào, các quá trình nào sẽ xảy ra theo. Đề tài nghiên cứu về lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG VĂN TOÀN LÝ THUYẾT MIE VỀ TƯƠNG TÁC CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG VỚI CÁC CẤU TRÚC NANO LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 HOÀNG VĂN TOÀN LÝ THUYẾT MIE VỀ TƯƠNG TÁC CỦA ĐIỆN TỪ TRƯỜNG VỚI CÁC CẤU TRÚC NANO Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý toán LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Trí Lân HÀ NỘI, 2016
Mục lục LỜI CAM ĐOAN 3 LỜI CẢM ƠN 4 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Mục đích nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Nhiệm vụ nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Những đóng góp mới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Phương pháp nghiên cứu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1 Tổng quan về lý thuyết Mie và cấu trúc nano 3 1.1 Hệ phương trình Maxwell vĩ mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Hệ số tán xạ, hấp thụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.1 Lời giải vô hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2.2 Lời giải vector . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.3 Tán xạ tia sáng trong trường điện môi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.2.4 Sự tắt dần và tán xạ theo phương ngang . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3 Tổng quan về cấu trúc Nano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.1 Vật liệu nano là gì? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.3.2 Tại sao vật liệu nano lại có các tính chất thú vị? . . . . . . . . . . . . 17 1.3.3 Phân loại vật liệu nano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.3.4 Chế tạo vật liệu nano như thế nào? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.3.5 Ứng dụng của Công nghệ Nano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 1.4 Đặc tính của các cấu trúc nano dạng cầu, trụ, đĩa . . . . . . . . . . . . . . . 21 2 Sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano 23 2.1 Điện từ trường và điều kiện biên . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.1 Hệ số tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.1.2 INFO - bức xạ đa cực của hình cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.1.3 Hàm Bessel jn (x) và jn (x)/x . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.1.4 Điện trường . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2 Sự tán xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 1
2.3 Sự phản xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.1 Loạt mở rộng đa cực . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.3.2 Nguồn gốc của sự cộng hưởng hình thái phụ thuộc . . . . . . . . . . . 31 2.3.3 Ảnh hưởng của môi trường xung quanh và sự hấp thụ . . . . . . . . . 34 3 Lời giải của Lý thuyết Mie đối với một số cấu trúc nano 37 3.1 Cấu trúc nano dạng cầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 3.2 Cấu trúc nano dạng trụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Cấu trúc nano dạng đĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 Kết luận 56 Tài liệu tham khảo 57
LỜI CAM ĐOAN Trong quá trình nghiên cứu luận văn về đề tài: “Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano”, tôi đã thực sự cố gắng tìm hiểu, nghiên cứu đề tài để hoàn thành khóa luận. Tôi xin cam đoan luận văn này được hoàn thành do sự nỗ lực của bản thân cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo tận tình hiệu quả của TS. Nguyễn Trí Lân. Đây là đề tài không trùng với các đề tài khác và kết quả đạt được không trùng với kết quả của các tác giả khác. Hà Nội, tháng 08 năm 2016 Tác giả HOÀNG VĂN TOÀN
LỜI CẢM ƠN Đầu tiên tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Trí Lân, người đã hướng dẫn tôi thực hiện luận văn này. Thầy đã cung cấp những tài liệu và truyền thụ cho tôi những kiến thức mang tính khoa học và hơn nữa là phương pháp nghiên cứu khoa học. Sự quan tâm, bồi dưỡng của thầy đã giúp tôi vượt qua những khó khăn trong qua trình hoàn thành luận văn cũng như trong quá trình học tập và nghiên cứu. Đối với tôi, thầy luôn là tấm gương sáng về tinh thần làm việc không mệt mỏi, lòng hăng say với khoa học, lòng nhiệt thành quan tâm bồi dưỡng thế hệ trẻ. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn Ban Chủ Nhiệm Khoa Vật Lý trường Đại Học Sư Phạm Hà Nội 2 và các thầy cô giáo đã tận tình giảng dạy, tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành khóa học. Hà Nội, tháng 08 năm 2016 Tác giả HOÀNG VĂN TOÀN
Mở đầu Lý do chọn đề tài Điện trường, từ trường luôn tồn tại trong không gian, luôn tương tác với môi trường vật chất. Đi nghiên cứu sự lan truyền của điện từ trường trong chân không là nhà vật lý học Maxwell. Phân tích những hiện tượng điện và từ và định luật chi phối chúng, Maxwell nhận thấy rằng giữa từ trường và điện trường có mối quan hệ rất chặt chẽ. Trên cơ sở đó, Maxwell nêu lên lý thuyết về điện từ trường. Theo thuyết này, giữa điện trường và từ trường có mối quan hệ biện chứng, chúng có thể chuyển hoá lẫn nhau. Mọi sự biến đổi của điện trường đều làm xuất hiện từ trường và ngược lại. Thuyết Maxwell giúp ta hiểu khái quát những hiện tượng điện và từ đã biết trước đây và những hiện tượng điện từ mới. Trên cơ sở quan niệm về sự tồn tại của điện từ trường, Maxwell đã đề ra những phương trình diễn tả điện từ trường trong những trường hợp tổng quát của môi trường. Lý thuyết Maxwell chỉ dừng lại ở việc chỉ nghiên cứu sự lan truyền của điện từ trường ở trong chân không. Còn khi điện từ trường truyền trong môi trường vật chất thì sao? Người đi nghiên cứu nó là nhà vât lý học người Đức Gustav Mie. Ông đã đưa ra một lý thuyết được đặt tên là lý thuyết Mie trên cơ sở mở rộng của các phương trình Maxwell. Người đã đưa ra nghiệm giải tích cho tán xạ của một bức xạ với bước sóng bất kỳ gây ra bởi một quả cầu có bán kính bất kỳ và chiết suất n nào đó. Vì vậy tán xạ Mie không bị giới hạn bởi kích thước hạt tán xạ. Thuật ngữ tán xạ Mie thường dùng để chỉ tán xạ bởi các hạt có kích thước tương đương hoặc lớn hơn với kích thước của bước sóng kích thích. Với các hạt có kích thước 10−9 m khi điện trường từ trường tương tác thì quá trình nó diễn ra như thế nào, các quá trình nào sẽ xảy ra theo. Xuất phát từ điều đó tôi lựa chọn đề tài “Lý thuyết Mie về tương tác của điện từ trường với các cấu trúc nano” làm đề tài nghiên cứu của mình. Mục đích nghiên cứu Sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano. Nhiệm vụ nghiên cứu Tìm hiểu lý thuyết Mie. Xây dựng các hệ số tán xạ, hấp thụ đối với một số cấu trúc nano cụ thể. 1
2 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Lý thuyết Mie. Cấu trúc nano. Những đóng góp mới Nghiên cứu sự tương tác của điện từ trường với cấu trúc nano có những đóng góp quan trọng trong vật lý lý thuyết nói riêng và ứng dụng trong thực tế. Phương pháp nghiên cứu Tính số và vẽ hình bằng phần mềm Mathematica. Phương pháp vật lý lý thuyết.
1 Tổng quan về lý thuyết Mie và cấu trúc nano Để tính toán tương tác của ánh sáng với hạt nano đầu tiên là lý thuyết Mie được phát triển bởi Gustav Mie vào năm 1908 và phương pháp phổ quang học. Trước đây sử dụng khái niệm sóng điện từ và các hệ phương trình Maxwell để giải thích các vấn đề. Các biểu thức của các vector sóng hình cầu vô hạn được mô tả và mở rộng, từ đó mặt cắt ngang, yếu tố hiệu suất và phân bố cường độ trên một hạt có thể được đưa ra. Ngoài ra những ảnh hưởng của dạng hình học hạt, sự phụ thuộc của hạt đối với môi trường xung quanh và góc của chùm tia tới được nghiên cứu và đặc biệt là các tính năng của cộng hưởng cấu trúc hoặc hình thái phụ thuộc (MDR), nơi cộng hưởng hạt được tạo ra bằng cách thay đổi các thông số kích thước. 2πaNm χ= , (1.1) λ ở đây a bán kính của một hạt và λ/Nm tượng trưng cho bước sóng, với chỉ số môi trường xung quanh Nm . Khi các tia sáng đi qua một hạt nano dẫn đến một loạt các phản xạ và khúc xạ bên trong hạt xẩy ra từ đó ròng lực và năng lượng trên các hạt được xác định. Nhiều nghiên cứu về sử dụng sóng phẳng để miêu tả tương tác của chùm tia tới với hạt nano, nhiều lý thuyết đã được phát triển cũng như việc mở rộng lý thuyết Mie để nghiên cứu sự tương tác đó. Thí nghiệm đầu tiên về sự tương tác của các hạt cực nhỏ với một trường điện từ đã được thực hiện bởi Kawata, trong đó một nguồn 150 mW Nd: YAG đã được sử dụng để tương tác với hạt polystyrene và hạt silica có kích thước µm trên bề mặt của một lăng kính. Từ đó các kết quả thử nghiệm được so sánh với một lý thuyết dựa trên lý thuyết Mie phát triển bởi Alamaas và Brevik . Gần đây Walz đã so sánh các kết quả Alamaas và Brevik với kết quả từ phương pháp phổ quang học. Ông kết luận rằng sau này chỉ áp dụng trong giới hạn mà a > 20λ. Vì thế lý thuyết Mie mặc dù rất phức tạp nhưng vẫn là mô hình hoàn chỉnh nhất và đáng tin cậy với các ứng dụng của nó mở rộng trên phạm vi toàn bộ kích thước hạt nano. 1.1 Hệ phương trình Maxwell vĩ mô 1.1.1 Hệ phương trình Maxwell thứ nhất Hệ phương trình Maxwell thứ nhất được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell - Ampe: 3
4 Hình 1.1: Tương tác của ánh sáng với hạt ˛ ˆ ˆ ∂D Hdl = jT p ds = j+ dS. (1.2) ∂t H S Để diễn tả sự liên hệ giữa từ trường với dòng điện dẫn và điện trường biến thiên thì cần thêm vào đó phương trình liên hệ giữa vector điện dịch D với các điện tích tự do, tức là phương trình định lý Ostrogradski-Gauss. ˆ DdS = q, (1.3) S q là điện tích tự do có trong mặt kín S. Giữa vector điện dịch D và vector cường độ điện trường E liên hệ với nhau theo công thức: D = εε0 E. (1.4) Nếu môi trường xét là dẫn điện, thì có tồn tại dòng điện dẫn J, liên hệ với cường độ điện trường E bằng định luật Ohm: J = σE. (1.5) Các phương trình (1.2)-(1.5) lập thành hệ các phương trình Maxwell thứ nhất dưới dạng tích phân. Còn dạng vi phân của hệ phương trình Maxwell thứ nhất là:[1]
5  ∂D  rotH = J + ∂t hoặc ∇ × H = J + ∂D,    divD = ρ hoặc ∇ × D = ρ, (1.6)    D = εε0 E.  1.1.2 Hệ phương trình Maxwell thứ hai Hệ phương trình Maxwell thứ hai được thiết lập trên cơ sở phương trình Maxwell - Faraday để diễn tả sự liên hệ giữa điện trường và từ trường biến thiên. ˛ ˛ ∗ ∂S E dl = − ds. (1.7) ∂t L S Kết hợp với phương trình của định lý Ostrogradski-Gauss cho từ trường: ˛ BdS = 0, (1.8) S và hệ thức liên hệ giữa cảm ứng từ và từ trường: B = µµ0 H, (1.9) thì thu được hệ phương trình Maxwell thứ hai dưới dạng vi phân[1]  ∂B  rotE = − ∂t hoặc ∇ × E = ∇B,   divB = ρ hoặc ∇B = ρ, (1.10)    B = µµ0 H. ε , µ, và σ tương ứng hàng số điện môi, độ từ thẩm và điện dẫn suất chúng đặc trưng cho tính chất của môi trường điện từ trường. Sử dụng các biểu diễn phức của điện trường E và từ trường H, hệ phương trình Maxwell của sóng ánh sóng tương tác với một hạt cầu được viết dưới dạng: ∇H = 0, (1.11) ∇E = 0, (1.12) ∇ × E = iωµH, (1.13) ∇ × H = −iωεE, (1.14) trong đó ω là tần số dao động của ánh sáng.
6 Từ (1.13), (1.14) thu được ∇ × (∇ × E) = ω 2 εµE, (1.15) 2 ⇔ ∇(∇E) − ∇(∇E) = ω εµE, (1.16) thay (1.12) vào (1.16) thu được ∇2 E + ω 2 εµE = 0. (1.17) Biến đổi như trên thu được ∇2 H + ω 2 εµH = 0, (1.18) ở đây đặt km2 = ω 2 εµ gọi là vector sóng trong môi trường xung quanh. Khi đó phương trình (1.17) và (1.18) viết dưới dạng ∇2 E + km2 E = 0, (1.19) ∇2 H + km2 H = 0. Bây giờ ta đi tìm lời giải vector của phương trình sóng. Xét một hàm sóng ψl,m trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,φ), và r vector không đổi. Hàm sóng ψl,m thỏa mãn phương trình: ∇2 ψ + km 2 ψ = 0. (1.20) Khi đó các đại lượng vector Ml,m , Nl,m xác định bởi L = ∇ψl,m , (1.21) Ml,m = ∇ × rψl,m , (1.22) 1 Nl,m = ∇ × Ml,m , (1.23) km ở đây Ml,m , Nl,m chúng thỏa mãn phương trình (1.19) và có quan hệ với nhau như các đại lượng E, H, còn L đặc trưng cho sóng theo phương dọc nên không xét đến. 1.2 Hệ số tán xạ, hấp thụ 1.2.1 Lời giải vô hướng Phương trình (1.20) có nghiệm ψl,m viết trong hệ tọa độ cầu với các tọa độ (r,θ,ϕ) sẽ thỏa mãn phương trình ∂2ψ 1 ∂ 2 ∂ψ 1 ∂ ∂ψ 1 2 r + (sin θ ) + + km ψ = 0. (1.24) r2 ∂r ∂r r2 sin θ ∂θ ∂θ r2 sin2 θ ∂ϕ2
7 Bằng phương pháp tách biến phân tích ψl,m dưới dạng ψ(r, θ, ϕ) = R(r)Θ(θ)Φ(ϕ). (1.25) Phương trình đạo hàm riêng trở thành các phương trình vi phân một biến. Các thành phần m, Q là các hằng số tách: Thành phần Φ(ϕ) thỏa mãn phương trình: d2 Φ + m2 Φ = 0, (1.26) d2 ϕ2 có nghiệm Φ = e±imϕ . (1.27) Thành phần Θ(θ) thỏa mãn phương trình: d2 Θ p2 2 dΘ 1 − cos θ − 2 cos θ + Q− = 0, (1.28) d(cosθ)2 d(cos θ) (1 − cos2 θ) với Q = l(l + 1), khi đó nghiệm của nó viết dưới dạng: Θ = Plm (η) m (1 − η 2 ) 2 dl+m (η 2 − 1)l = , (1.29) 2l l! d(η)l+m ở đây η = cosθ và để đơn giản ta viết Plm = Plm (η). Thành phần R(r) thỏa mãn phương trình: d2 R dR r2 2 2 r − Q2 R = 0. 2 + 2r + km (1.30) dr dr Nghiệm của phương trình xác định bởi: r 2 R= Zl (p), (1.31) π ở đây p = km r, trong khi Zl (p) đại diện cho hình tròn hình cầu Bessel jl (p) và thứ tự đầu tiên hàm Hankel hl (p). Sự lựa chọn của các hàm xuyên tâm bởi vì khi jl (p) thể hiện tính hữu hạn ở tâm, nó đại diện cho sự mô tả chính xác cho cả các tương tác và truyền các tương tác, trong khi là hl (p) là vô hạn trong trường xa, nó tương ứng một mô hình sóng hình cầu truyền đi đến các trường nằm rải rác. Từ các nghiệm ở phương trình (1.27), (1.29), (1.31) ta xác định được ψl,m r 2 ψl,m (r, θ, ϕ) = Zl (km r)Plm eimϕ . (1.32) π
8 Trong biểu thức trên chỉ nhận các giá trị lẻ của sin θ và chẵn của cos θ. Nên (1.32) được viết dưới dạng: r 2 cos ψl,meo (r, θ, ϕ) = Zl (km r)Plm mϕ, (1.33) π sin các ký hiệu e, o biểu thị tính chẵn, lẻ của đại lượng tương ứng. Phương trình (1.33) được sử dụng để mở rộng phương pháp vô hướng cho các biểu diễn của các thành phần điện trường và từ trường. 1.2.2 Lời giải vector 1.2.2.1 Dao động tử cầu vector Từ phương trình (1.22) và sử dụng biểu thức vô hướng (1.33) vector Ml,m viết dưới dạng: Ml,meo = ∇ × rˆ(rψl,meo ), (1.34) ở đây r = rˆr. Lấy trung bình các kết quả chẵn và lẻ của Ml,m ta được:[5] Ml,m (ˆ r) = 0, (1.35) 1 d(rϕ) ˆ 1 d(rϕ) Ml,meo = θ− ϕ ˆ r sin θ dϕ r dθ P m sin dP m cos (1.36) = ∓Zl l mϕθˆ − Zl l mϕϕ. ˆ sin θ cos dθ sin Từ phương trình (1.36) và (1.22) ta thu được có:[5] l(l + 1) 1 d(rMl,m,ϕ ) 1 d(rMl,m,ϕ ) Nl,meo = ψ ˆr + θˆ + ϕˆ km r e km r dr km r dr o l(l + 1) cos 1 d(pZl ) Plm cos 1 d(pZl ) Plm sin = Zl Plm mϕˆr+ mϕθˆ ∓ m mϕϕ. ˆ km r sin r dp dθ sin p dθ sin θ cos (1.37) Ns Chú ý rằng hàm xuyên tâm của p được thay thế bởi Np = để thể hiện các thông số của Nm môi trường xung quanh. 1.2.2.2 Phương trình hồi quy và hệ thức liên hệ Dựa vào các hệ thức xuyên tâm và liên kết hàm số Legendre. Mie đã phân tích chi tiết vùng sóng rộng hình cầu và đưa ra được hệ số xuyên tâm cho bởi:
9 (2l + 1) zl+1 (p) = jl (p) − jl−1 (p), (1.38) p 1 l [jl+1 (p)]0 0 = [jl+1 (p)] = jl−1 (p) − (2l + 1)jl (p) . (1.39) l + 1 2l + 1 Lấy đạo hàm với các đối số. Bên cạnh đó biểu thị θ theo hàm Legendre ta thu được. m 1 (2l + 1) cos θPlm − (l + m)Pl−1 m Pl+1 = (1.40) l−m+1 mPlm 1 m+1 + (l(l + 1) − m(m − 1))Plm−1 = Pl (1.41) sin θ 2 cos θ dPlm 1h i = (l − m + (l + m)Pll−m − Pll+m , (1.42) dθ 2 thực hiện phép biến đổi: d p d = − 1 − η2 . (1.43) dθ d(cos θ) Ngoài ra, phần âm của m trong đa thức liên kết Legendre được biểu thị (l − m)! m Pl−m = (−1)m P . (1.44) (l + m)! l Trong lý thuyết Mie hai đại lượng góc phụ thuộc vào điều kiện biên theo hệ thức[5] Plm Πl,m = m , (1.45) sin θ Plm Tl,m = . (1.46) dθ Ví dụ về mô tả tầm quan trọng của các hàm góc θ trong mô tả của trường và cường độ, các giá trị bậc nhất (ví dụ: l = 1 tới l = 4) được so sánh với các giá trị bậc cao hơn (tức là:l = 15 tới l = 18) cho cả Πl,m và T l,m như ký hiệu P 1 và dP 2 tương ứng trong hình 1.2 và hình 1.5. Ở đây đầu tiên xác định tính chất của các góc, thứ hai ký hiệu thứ tự cực l cho mỗi trường hợp. Những đường đối cực đã thu được bằng cách xem xét θ từ 0◦ đến 360◦ và cho m = 1 như trong trường hợp sóng phẳng. Các tính chất của hàm góc sau đó sẽ quyết định sự biến thiên của phân bố cường độ xung quanh một hạt trên phạm vi của θ. 1.2.3 Tán xạ tia sáng trong trường điện môi 1.2.3.1 Hệ số khai triển Một hàm sóng tùy ý được xác định bằng thế véc tơ A được xác định tuyến tính bởi các hàm véc tơ đặc trưng.
10 Hình 1.2: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc thấp l = 1 tới 4, m = 1 Hình 1.3: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc cao l = 15 tới l = 18 cho m = 1
11 Hình 1.4: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng thứ tự thấp l = 1 tới 4, m = 1 Hình 1.5: Góc θ phụ thuộc vào đại lượng bậc cao l = 1 tới l = 18 cho m = 1
12 iX A= [Al,m Ml,m + Bl,m Nl,m ] . (1.47) ω l,m Từ phương trình (1.12) và sử dụng véc tơ A từ trường được viết dưới dạng[5] 1 Hinc = ∇×A iωµ 1 P =− [Al,m (∇ × Ml,m ) + Bl,m (∇ × Nl,m )] (1.48) ωµ ikm P =− [Al,m Nl,m + Bl,m Ml,m ] . ωµ Từ phương trình (1.13), (1.48) điện trường được viết dưới dạng:[5] km X Einc = [Al,m Ml,m + Bl,m Nl,m ] , (1.49) ω 2 m µ ở đây Al,m và Bl,m là các hệ số mở rộng đặc trưng cho chùm tia tới được xác định: ˆ ∗ Al,m = Ml,m Einc dΩ, ˆ (1.50) ∗ Bl,m = Nl,m Einc dΩ, và Bl,1 = iAl,1 , với Ω = 4πr2 là diện tích bề mặt thay vào (1.50) thu được: 2l + 1 (l − m)! Al,m = −il+1 Πl,m E0 , (1.51) l(l + 1) (l + m)! 2l + 1 (l − m)! Bl,m = −il+2 Tl,m E0 . (1.52) l(l + 1) (l + m)! E0 là biên độ. Xét trường hợp: góc tới θ = 0 và các điều kiện biên đều mất trừ m = 1. Từ phương trình (1.41), (1.42), Πl,1 = 1 và Tl,1 = 21 l(l + 1) thực hiện biến đổi khi đó (1.51), (1.52) trở thành 2l + 1 Al,1 = −il−1 E0 , (1.53) l(l + 1)2 Bl,1 = iAl,1 , (1.54) và (1.36) trở thành s 4πl(l + 1) (l + m)! Ml,m = −i Zl Xl,m . (1.55) 2l + 1 (l − m)! Từ những điều trên ta xác định được các thành phần tán xạ của điện từ trường như sau.[5]
13 km X Esca = [Al,m al Ml,m + Bl,m bl Nl,m ] , ω 2 m µ ikm P − [Al,m al Nl,m + Bl,m bl Ml,m ] ωµ Hsca = 2 , N jl (Nχ ) [χh (χ)]0 − h(χ) [N χjl (N χ)]0 (1.56) km X Eint = 2 [Al,m cl Ml,m + Bl,m dl Nl,m ] , ω m µ ikm X Hint =− [Al,m cl Nl,m + Bl,m dl Ml,m ] , ωµ trong đó: al , bl là các hệ số tán xạ. cl , dl là các hệ số trường trong. m , tương ứng là hằng số điện môi của môi trường xung quanh và của vật. 1.2.3.2 Xác định hệ số Mie từ điều kiện biên Các hệ số khai triển Mie al , bl , cl và dl của sự tán xạ bên trong điện trường được xác định rõ theo điều kiện biên. Điện từ trường phải thỏa mãn các phương trình Maxwell’s với điều kiện các hằng số điện môi và độ từ thẩm luôn đẳng hướng và không đổi. Tuy nhiên, khi truyền qua mặt phân cách của một hạt và môi trường, các tính chất này thay đổi. Sự thay đổi này xảy ra trên một vùng chuyển tiếp với độ dày của thứ tự của kích thước nguyên tử. Tại bề mặt phân cách đó các thành phần tiếp tuyến của E và H là liên tục. [Einc + Escat − Eint ] × r = 0, (1.57) [Hinc + Hscat − Hint ] × r = 0, (1.58) do đó Einc,θ + Esca,θ = Eint,θ ; Hinc,θ + Hsca,θ = Hint,θ , (1.59) Einc,ϕ + Esca,ϕ = Eint,ϕ ; Einc,ϕ + Esca,ϕ = Eint,ϕ . (1.60) Khi áp dụng các véc tơ sóng hình cầu kết quả thu được jl (N χ) + hl (χ)bl = jl (χ), [N χjl (Nχ )]0 cl + [χhl (χ)]0 bl = [χjl (χ)]0 , (1.61) N jl (Nχ )dl + hl (χ)al = [χjl (χ)]0 , [N χjl (Nχ )]0 dl + N [χhl (χ)]0 al = N [χjl (χ)]0 . Tại r = a giải phương trình (1.61) ta xác định được các hệ số tán xạ Mie al , bl , cl và dl [5]
14 al = N 2 jl (Nχ ) [χj (χ)]0 − jl (χ) [N χjl (N χ)]0 , N jl (χ) [χh (χ)]0 − N h(χ) [χjl (χ)]0 bl = , N 2 jl (Nχ ) [χh (χ)]0 − h(χ) [N χjl (N χ)]0 jl (χ) [χh (χ)]0 − h(χ) [χjl (χ)]0 (1.62) cl = , jl (Nχ ) [χh (χ)]0 − h(χ) [N χjl (N χ)]0 N jl (χ) [χh (χ)]0 − N h(χ) [χjl (χ)]0 dl = . N 2 jl (Nχ ) [χh (χ)]0 − h(χ) [N χjl (N χ)]0 1.2.4 Sự tắt dần và tán xạ theo phương ngang Áp dụng các định lý vecto Poynting, sự thay đổi của các mức năng lượng ánh sáng khi đi qua một hạt xác định, khi đó tiết diện tán xạ và hấp thụ trong một đơn vị diện tích được xác định. Wsca σs = , (1.63) Iinc Wext σt = , (1.64) Iinc ở đây Iinc , Wsca , Wext tương ứng là cường độ trên bề mặt của hạt, năng lượng hấp thụ và năng lượng tán xạ. Năng lượng hấp thụ Wsca và năng lượng tán xạ Wext được xác định bởi: ˆ2π ˆπ 1 Wsca = Re (Esca × H∗sca ) r2 sin θdϕdθ 2 0 0 ˆ2π ˆπ 1 Esca, × H∗sca,ϕ − Esca, × H∗sca,θ r2 sin θdϕdθ, = Re (1.65) 2 0 0 ˆ2π ˆπ 1 Wext = Re (Einc × H∗sca ) r2 sin θdϕdθ 2 0 0 ˆ2π ˆπ 1 Einc,θ × H∗sca,ϕ − Esca,ϕ × H∗sca,θ − Esca,θ × H∗inc,ϕ − Esca,θ × H∗inc,ϕ = Re 2 0 0 2 r sin θdϕdθ. (1.66) Năng lượng phản xạ được xác định qua năng lượng tán xạ và hấp thụ: Wabs = Wext − Wscat . Từ các biểu thức (1.63)-(1.66) ta xác định được tiết diện hấp thụ và tiết diện tán xạ tương ứng: