Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Đề tài được tiến hành nhằm tìm hiểu một số lý thuyết quan trọng nghiên cứu về bán dẫn; tìm hiểu phương pháp thống kê mômen và việc áp dụng phương pháp thống kê mômen để nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men

PHAN THANH NAM BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN THANH NAM NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT K20 HÀ NỘI, 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 PHAN THANH NAM NGHIÊN CỨU ẢNH HƯỞNG CỦA ÁP SUẤT LÊN TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG BẰNG PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔMEN Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và Vật lý Toán Mã số: 8 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Người hướng dẫn khoa học: TS. Phạm Thị Minh Hạnh HÀ NỘI, 2018
LỜI CẢM ƠN Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất đến TS. Phạm Thị Minh Hạnh-người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi tốt nhất cho tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin được chân thành cảm ơn các Thầy, Cô giáo trong khoa Vật lý và các Thầy, Cô giáo của phòng sau đại học thuộc Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã giảng dạy, đóng góp ý kiến quý báu, tạo điều kiện thuận lợi nhất cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tôi cũng xin chân thành cảm ơn gia đình và bạn bè đã bên tôi và tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả: Phan Thanh Nam
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng bản thân tôi dưới sự hướng dẫn tận tình của TS. Phạm Thị Minh Hạnh. Tất cả các số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn là hoàn toàn trung thực và không trùng lập với bất kỳ đề tài khoa học nào khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn của tôi đã được cảm ơn và các thông tin được trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tôi xin cam đoan những điều trên đây là đúng sự thật. Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Tác giả: Phan Thanh Nam
MỤC LỤC Trang MỚ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài………………………………………………………….… 1 2. Mục đích nghiên cứu……………………………………………………….. 2 3. Nhiệm vụ nghiên cứu……………………………………………………….. 2 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu……………………………………….….. 2 5. Phương pháp nghiên cứu……………………………………….…………... 2 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài……………………. 3 7. Cấu trúc luận văn…………………………………...………………………. 3 CHƯƠNG 1: TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG 1.1. Cấu trúc tinh thể. …………………………………………..…………….. 4 1.2. Một số ứng dụng. ……………………………………………………...…. 4 1.3. Một số kết quả nghiên cứu. ………………………………………………. 5 1.4. Một số phương pháp nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương. 6 ……………………………………………………………………….………… CHƯƠNG 2: PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA CỦA TINH THỂ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG 2.1. Phương pháp thống kê mô men. ………………………………………… 11 2.2. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng. ………………..……….. 14 2.3. Năng lượng tự do của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương……. 18 2.4. Các đại lượng nhiệt động. ………………………………..……………… 20 2.5. Các đại lượng đàn hồi. ……………………………………….………….. 24 CHƯƠNG 3: CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA BÁN DẪN Ge Ở ÁP SUẤT KHÁC NHAU 3.1. Thế năng tương tác giữa các hạt trong tinh thể. …………………….….. 32 3.2. Các tính chất nhiệt động của Ge ở áp suất khác nhau. ………………… 33 3.3. Các tính chất đàn hồi của Ge ở áp suất khác nhau. ……………….…… 37
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Hiện nay, khoa học kĩ thuật phát triển rất mạnh mẽ và nhanh chóng, đặc biệt là lĩnh vực công nghệ chế tạo vật liệu mới đã thu hút được rất nhiều nhà khoa học và các nhà vật lý. Một trong những đối tượng thu hút sự nghiên cứu của nhiều ngành khoa học đó chính là vật liệu bán dẫn. Sự phát triển của các transistor bằng Ge đã mở ra rất nhiều ứng dụng của điện tử học trạng thái rắn. Do đó nhu cầu về sử dụng vật liệu Ge chế tạo các linh kiện bán dẫn dùng trong các mạng liên lạc viễn thông bằng cáp quang, các hệ thống quan sát ban đêm bằng hồng ngoại và các xúc tác polyme hóa đã gia tăng một cách nhanh chóng. Trong những năm gần đây, với sự phát triển của khoa học, thực nghiệm con người đã đo được các đại lượng nhiệt động của vật liệu lên đến hàng trăm gigapascal. Ngày nay, có nhiều phương pháp khác nhau nghiên cứu các tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn. Mặc dù có những thành công nhất định nhưng chưa có phương pháp nào thực sự tối ưu và hoàn hảo mà còn có những hạn chế nhất định. Trong hơn 30 năm trở lại đây, có một phương pháp thống kê đã ra đời và được áp dụng nghiên cứu một cách có hiệu quả đối với các tính chất nhiệt động và đàn hồi của các kim loại, hợp kim và bán dẫn. Phương pháp đó gọi là phương pháp thống kê mô men. Phương pháp thống kê mô men (PPTKMM) do Giáo sư Nguyễn Tăng đề xuất và đã được Giáo sư Vũ Văn Hùng cùng các cộng sự phát triển mạnh trong hơn 30 năm trở lại đây. PPTKMM được áp dụng để nghiên cứu các tính chất nhiệt động, đàn hồi chuyển pha …của các loại tinh thể khác nhau như: kim loại, hợp kim tinh thể và hợp chất bán dẫn. Các loại tinh thể đó có cấu
2 trúc lập phương tâm diện, lập phương tâm khối, kim cương trong khoảng rộng của nhiệt độ từ 0 (K) đến nhiệt độ nóng chảy và dưới tác dụng của áp suất. Gần đây, đã có một số công trình nghiên cứu về bán dẫn có cấu trúc kim cương và cấu trúc sunfua kẽm đã được công bố nhưng chưa có nghiên cứu nào về ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương. Do vậy, việc nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn bằng phương pháp thống kê mômen trở nên cần thiết. Đó là lí do tôi chọn đề tài “Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men ” 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương bằng phương pháp thống kê mô men. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm hiểu một số lý thuyết quan trọng nghiên cứu về bán dẫn. - Tìm hiểu phương pháp thống kê mômen và việc áp dụng phương pháp thống kê mômen để nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương. 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu ảnh hưởng của áp suất lên tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương Ge. 5. Phương pháp nghiên cứu Phương pháp thống kê mômen.
3 6. Những đóng góp mới về khoa học, thực tiễn của đề tài - Các kết quả được áp dụng tính cho Ge. - Một số kết quả được so sánh với thực nghiệm. 7. Cấu trúc luận văn Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm có 3 chương: - Chương 1: Tổng quan về bán dẫn có cấu trúc kim cương. - Chương 2: Phương pháp thống kê mômen trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương. - Chương 3: Các tính chất nhiệt động và đàn hồi của Ge ở áp suất khác nhau.
4 CHƯƠNG 1 TỔNG QUAN VỀ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG 1.1. Cấu trúc tinh thể Vật liệu bán dẫn điển hình có cấu trúc kim cương là Ge, Si. Đơn tinh thể Ge gồm hai phân mạng lập phương tâm diện lồng vào nhau, phân mạng này nằm ở 1/4 đường chéo chính của phân mạng kia. Trong một ô cơ sở có 8 nguyên tử Ge, mỗi nguyên tử Ge là tâm của một hình tứ diện đều có cấu tạo từ 4 nguyên tử lân cận gần nhất xung quanh (Hình 1.1) Hình 1.1.Tinh thể Ge 1.2. Một số ứng dụng Vật liệu bán dẫn hiện nay có nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khoa học, kỹ thuật và công nghiệp. Tuy nhiên, ứng dụng quan trọng nhất và phổ biến nhất của bán dẫn chính là dùng để chế tạo các linh kiện điện tử bán dẫn. Photôđiốt là một loại dụng cụ không thể thiếu trong thông tin quang học và trong các ngành kỹ thuật tự động hoá. Điốt phát quang đã được dùng phổ biến trong các bộ hiển thị, đèn báo, màn hình quảng cáo và các nguồn sáng.
5 Pin nhiệt điện bán dẫn đã được ứng dụng để chế tạo các thiết bị làm lạnh gọn nhẹ, hiệu quả rất cao dùng trong khoa học, y học,... Đối với bán dẫn Ge nó còn có nhiều ứng dụng đặc trưng khác: - Sử dụng chế tạo kính quang phổ hồng ngoại. - Sử dụng chế tạo các thấu kính camera góc rộng và vật kính của các kính hiển vi. - Tác nhân trong sản xuất hợp kim. - Chế tạo Phosphor trong các đèn huỳnh quang. - Các đĩa bán dẫn với nền là Ge cho các tế bào quang điện hiệu suất cao đã kết nối trong các ứng dụng tàu vũ trụ. - Các thiết bị phát hiện dùng một tinh thể Ge có độ tinh khiết cao có thể nhận dạng một cách chính xác nguồn bức xạ. 1.3. Một số kết quả nghiên cứu Các tính toán đầu tiên về tính chất nhiệt (hệ số dãn nở nhiệt của Si) đã được tính toán bởi Fleszar và Gonze [9]. Phổ phonon và các điện tích hiệu dụng của các chất bán dẫn có cấu trúc kim cương đã được tính toán bởi Giannozzi và cộng sự [11] khi sử dụng lý thuyết hàm mật độ. Sự tán sắc phonon của Sido Savrasov [27] tính toán như một thử nghiệm, việc sử dụng phương pháp các quỹ đạo hộp mu – phin tuyến tính hoá (LMTO) đối với lý thuyết hàm mật độ. Trong kim cương các tính chất nhiệt đã được xác định tại các áp suất cao đến 1000 GPa [31]. Phương trình trạng thái P - V – T đã được xác định từ năng lượng tự do Helmholtz, hệ số dãn nở nhiệt giảm theo sự tăng áp suất. Sự phụ thuộc nhiệt độ của sự chuyển pha cấu trúc giữa kim cương và cấu trúc β – Sn trong Si và Ge ở áp suất khoảng 10GPa đã được tính toán bởi Gaal – Nagy và cộng sự [12] khi sử dụng phép gần đúng chuẩn điều hoà. Gần đây hơn Debernardi [8] đã nghiên cứu sự thay đổi phi điều hoà của tần số Raman trong kim cương và Si khi có số hạng phi điều hoà bậc ba
6 và bậc bốn đều quan trọng như nhau. Sự phụ thuộc nhiệt độ của tần số Raman và đóng góp của dao động điểm không đã được xem xét như bề rộng vạch Raman. Khi sử dụng lý thuyết nhiễu loạn bậc cao dựa trên hình thức luận giả thế, A.R. Jivani cùng các cộng sự đã tìm được sự phụ thuộc giữa áp suất – thể tích của Si, Ge từ phương trình trạng thái [15],vv… 1.4. Một số phương pháp nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương 1.4.1. Các phương pháp ab – initio Hiện nay, để tính toán chính xác và đầy đủ các lực nguyên tử và tìm hiểu bản chất của liên kết hóa học trong hệ đòi hỏi ta phải xác định chính xác đối với cấu trúc điện tử lượng tử của nó. Do đó chúng ta cần giải phương trình Schodinger áp dụng cho hệ nhiều hạt như sau:              ri , R MB      ri , R (1.1) với:  là một hàm sóng đối với nhiều hạt thực của hệ (có sự đối xứng chính      xác),  là năng lượng riêng, ri , R lần lượt là các hệ tọa độ điện tử, ion còn các chỉ số i và  tương ứng đánh số tất cả các điện tử và ion. Hàm Hamilton của hệ có dạng như sau:    i 2 2 1 1  1                  v (1.2)  2  i 2m i 2 i , j ri  rj i ,  ri  R j 2  ,v R   R v với   ;   lần lượt là điện tích và khối lượng của ion thứ  , các ký hiệu   , p i tương ứng là các toán tử xung lượng của ion thứ  và thứ i. Chúng ta không thể giải chính xác phương trình (1.2) trong một chất rắn. Để bài toán này có thể giải được phải cần nhiều phép đơn giản. Có thể kể ra các phép gần đúng: Phép gần đúng Born- Openhimer [5], phương pháp Kohn và Sham [17], phép gần đúng mật độ địa phương.
7 Một số ưu điểm của việc sử dụng các phương pháp ab-intio: - Phương pháp này có thể được sử dụng để mô hình hóa các vật liệu không có sẵn có số liệu thực nghiệm. - Những tính chất cấu trúc, điện tử và dao động của một vật liệu mô hình đều có thể tính được. - Nhờ sử dụng các giả thế thích hợp ta có thể áp dụng phương pháp này đối với nhiều loại nguyên tử khác nhau có thể được bao hàm vào trong các phép tính toán. Nhược điểm của các phương pháp ab-intio: - Kết quả tính toán không hề đơn giản và đòi hỏi giới hạn khả năng ứng dụng của các phương pháp cho các hệ tương đối nhỏ. 1.4.2. Phương pháp liên kết chặt Một phương pháp dựa trên các kỹ thuật của phép gần đúng mật độ địa phương từ các nguyên lý đầu tiên là phương pháp hàm Hamilton liên kết chặt (TB). Nội dung chi tiết của phương pháp này đã được môtả bởi Harrison [14] Có nhiều hàm Hamilton TB kinh nghiệm đối với Si. Hàm Hamilton TB đầu tiên đối với Si do Chadi [6] đưa ra. Tuy nhiên, còn có một số hàm Hamilton ETB nổi tiếng khác là các hàm Hamilton trực giao của Goodwin, Skinner và Pettofor [10], Kwon và cộng sự [18].... Các hàm Hamilton TB không trực giao khác đối với Si gần đây do Bernstein và cộng sự [4] đề xuất. Một số ưu điểm của phương pháp liên kết chặt: - Cho biết thông tin về cấu trúc điện tử của vật liệu mô hình. - Hiệu quả tính toán tốt hơn nhiều so với các phương pháp ab-inntio. Một số nhược điểm của phương pháp liên kết chặt: - Khi áp dụng phương pháp này không thể làm khớp với số liệu thực nghiệm hoặc các tính toán ab-inntio. - Số hạng năng lượng đẩy chỉ có thể tính toán bằng công thức kinh nghiệm.
8 - Hàm Hamilton TB của Kwon, Biswas và cộng sự [18] cho kết quả tốt đối với các tính toán lực và năng lượng toàn phần nhưng lại không tốt đối với phổ dao động hoặc các tính toán cấu trúc vùng. - Phương pháp này không thể ứng dụng đối với hệ chứa hàng nghìn phân tử. 1.4.3. Các thế kinh nghiệm Một trong những phương pháp hiệu quả và đơn giản nhất để nghiên cứu các tính chất động lực và cấu trúc của các chất rắn là dùng phương pháp thế tương tác kinh nghiệm giữa các nguyên tử. Phương án đưa ra để xây dựng thế kinh nghiệm đối với các tương tác nguyên tử như sau: đối với một hệ chứa N hạt giống nhau, năng lượng toàn phần của hệ có thể sẽ được khai triển thành các đóng góp một hạt, hai hạt, ba hạt,...             i    Ri  1 Ri   2 Ri , R j  i, j      R , R , R   ...     R ,..., R  (1.3) i , j ,k 3 i j k i1 ,...,iN N i1 iN Để khai triển (1.3) áp dụng cho tính toán thực tế các hàm thành phần  N cần phải xét đến không theo sự tăng n. Đối với các tinh thể khí trơ (Ar, Kr, Xe), chỉ có các tương tác cặp là quan trọng và (1.3) được thu gọn hơn thành:    Ri       R , R  i, j 2 i j (1.4) Ở đây tương tác cặp  N sẽ được biểu diễn bằng thế Lennard-Jones rất nổi tiếng:  12  6      ij Rij  4          Rij    (1.5)   Rij   Một trong các thế giữa các nguyên tử nổi tiếng áp dụng sớm nhất cho Si là thế Keating [16]. Thế giữa các nguyên tử này bao gồm các số hạng tương tác của hai hạt và ba hạt.
9  3  2 3     1 2  2     Ri  2  16 R0 ij  Rij2  R02     Rij.Rik  3 R0  8 R02 ijk  (1.6) trong đó  và  là các hằng số lực mở rộng liên kết và được uốn cong liên kết, R0 là chiều dài liên kết cân bằng giữa các nguyên tử trong cấu trúc kim cương. Hiện nay, một mô hình khác được sử dụng rộng rãi để nghiên cứu các tính chất cấu trúc và động lực của Si là thế kinh nghiệm Stillinger-Weber (SW) [25]. Thế này lúc đầu được làm khớp với các pha silictinh thể (c-Si) và lỏng (l-Si). Cũng giống như mô hình Keating , thế này bao gồm các đóng góp tương tác của hai hạt và ba hạt. Ngoài những thế trình bày ở trên còn một số thế khác như thế Biswas và Hamann, thế tương tác giữa các nguyên tử mới phụ thuộc vào môi trường (EDIP) đối với Si do Bazant, Kaxiras và cộng sự đưa vào.... Một số ưu điểm của các thế kinh nghiệm: - Đạt hiệu quả về mặt tính toán. - Thế này dễ áp dụng ở dạng mã chương trình. Một số nhược điểm của các thế kinh nghiệm: - Khả năng chuyển kém cho các pha mà thế kinh nghiệm không được làm khớp. - Khả năng chuyển rất kém giữa các pha đối với môi trường liên kết khác nhau.
10 - Không có được các tính chất cấu trúc điện tử. Trong những năm gần đây, xuất hiện một phương pháp thống kê mới rất có hiệu quả trong việc nghiên cứu các tính chất nhiệt động của các vật liệu. Đó chính là phương pháp thống kê mômen (PPTKMM). PPTKMM do GS Nguyễn Tăng đề xuất [28] và được phát triển để áp dụng nghiên cứu các tính chất nhiệt động của tinh thể phi điều hòa [21], [22], [23]. Ở phần tiếp theo chúng tôi xin trình này nội dung chính của phương pháp thống kê mômen và việc áp dụng (PPTKMM) trong nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của bán dẫn có cấu trúc kim cương. Kết luận chương 1: Trong chương này chúng tôi đã trình bày những kiến thức tổng quan và khái quát nhất về bán dẫn có cấu trúc kim cương. Trong đó, chúng tôi đã nêu ra một số phương pháp để nghiên cứu tính chất nhiệt động và đàn hồi của tinh thể bán dẫn có cấu trúc kim cương như: phương pháp ab-intio, phương pháp liên kết chặt, phương pháp sử dụng các thế kinh nghiệm.
11 CHƯƠNG 2 PHƯƠNG PHÁP THỐNG KÊ MÔ MEN TRONG NGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG VÀ ĐÀN HỒI CỦA CỦA TINH THỂ BÁN DẪN CÓ CẤU TRÚC KIM CƯƠNG 2.1. Phương pháp thông kê mômen 2.1.1. Mômen trong vật lý thống kê 2.1.1.1. Các công thức tổng quát về mômen Chúng ta đã biết trong lý thuyết xác suất, cơ lượng tử và trong vật lý thống kê, mômen được định nghĩa như sau: Giả sử có một tập hợp các biến cố ngẫu nhiên q1, q2, q3, ... qn tuân theo quy luật thống kê, được mô tả bởi hàm phân bố  (q1 , q2 ,...qn ) . Hàm này phải thỏa mãn điều kiện chuẩn hóa. Mômen cấp m được định nghĩa trong lý thuyết xác suất như sau:  q1m   ... q m 1  (q1 , q2 ,...qn )dq1...qn (2.1) ( q1 , q2 ,... qn ) và mômen này còn được gọi là mômen gốc. Mômen trung tâm cấp m được định nghĩa trong lý thuyết xác suất như sau:  (q1   q1 )m   ...   (q   q 1 1 )m  (q1 , q2 ,...qn )dq1...dqn (2.2) ( q1 , q2 ,... qn ) Ở vật lý thống kê cũng có định nghĩa tương tự. Đối với hệ lượng tử được mô tả bởi toán tử thống kê  các mômen xác định như sau: q  Tr ( q ) m m m m q  q  Tr  q  q           (2.3) trong đó, toán tử  tuân theo phương trình Liouville lượng tử   i  ,     t  
12 ở đây [...,...] là dấu ngoặc poison lượng tử. Do vậy, nếu chúng ta biết được toán tử thống kê  thì có thể xác định được mômen. Tuy nhiên việc tìm các mômen cũng không đơn giản. Xét một hệ lượng tử chịu tác động của các lực không đổi ai theo hướng tọa độ suy rộng Qi. Hàm Hamiltonian của hệ khi đó có dạng:   H  a Q  (2.4) 0 i i i  o là Hamiltonian của hệ khi không có ngoại lực tác dụng. với  Bằng một số phép biến đổi trong [33] tác giả và cộng sự đã thu được  và công thức tổng quát, chính xác biểu thị mối liên hệ giữa toán tử bất kỳ F  của hệ với Hamiltonian H: tọa độ Qk   F 2m  (2 m ) 1         i  F F ,Qk  F Q  a    2m   (2.5) 2   k a a a ak m 0 (2m )!    ak a trong đó:   k  , k là hằng số Boltzman, T là nhiệt độ tuyệt đối, 2m là hệ số Bermoulli. Ký hiệu ... a biểu thị trung bình theo tập hợp cân bằng thống kê với Hamiltonian H. Bằng một loạt các phép biến đổi, các tác giả đã thu được công thức tổng quát về mômen: n   2m  n (2 m )      i     n 1   n Q  a    2m   (2.6) an 1 m 0 (2 m)!    an1 n 1 a a a a 2.1.1.2. Công thức tổng quát tính năng lượng tự do Trong vật lý thống kê và năng lượng tự do liên hệ với tổng trạng thái như sau:    ln      Tr (e  ) (2.7)
13 Tuy nhiên việc xác định  rất phức tạp nói chung chỉ có thể xác định nó dưới dạng gần đúng. Trong [33] phương pháp mô men đã được áp dụng để xác định công thức tổng quát tính năng lượng rơi tự do: Đối với một hệ lượng tử đặc trưng bởi Hamiltonian sẽ có dạng:     0   V (2.8) với  là thông số và V là toán tử tùy ý. Dựa vào biểu thức thu được bằng phương pháp mômen đối với hệ cân bằng nhiệt động như sau:   Q k  a ak Khi đó biểu thức toán tử V như sau:  ( ) V a  (2.9)  Biểu thức năng lượng rơi tự do của hệ là: a  ( )   0   V  d (2.10) 0  và được coi như với  0 chính là năng lượng tự do của hệ với Hamiltonian  0 đã biết trước. Tìm được V  bằng cách nào đó thì từ (2.10) có thể xác định được biểu thức đối với năng lượng tự do  ( ) . Đại lượng V  có thể xác định được nhờ công thức mômen. Tuy nhiên, nếu Hamiltonian  mà phức tạp thì tách nó như sau:    0   V   i i i (2.11)  0   V 1   V 2 ,... sao cho  1 2,  của hệ, khi đó Nếu biết năng lượng tự do  0 ứng với Hamiltonian  0 1   sẽ tìm được năng lượng tự do Hamiltonian  1 ứng với   0   V . Sau đó 1 1
14 2   xác định năng lượng tự do  2 ứng   0   V v...v... Cuối cùng chúng ta 2 2 sẽ thu được biểu thức đối với năng lượng tự do  của hệ. 2.2. Độ dịch chuyển của nguyên tử khỏi nút mạng Chúng ta sử dụng phương pháp quả cầu phối vị thì thế năng tương tác giữa các hạt trong bán dẫn có cấu trúc kim cương được xác định [1]: 1 1    i    ij   Wijk (2.12) i 2 i,j 6 i,j,k 1 1 i   2 j  ij   Wijk 6 j ,k (2.13) trong đó, i là thế năng tương tác đối với hạt thứ i; ij là thế năng tương tác giữa các hạt thứ i và thứ j, Wijk là thế tương tác giữa các hạt thứ i, j, và k. Khi chúng ta khai triển thế năng tương tác theo độ dời ui và dừng ở gần đúng bậc 4, ta có: 1   2 i 0  1   3i  i       u j u j     u j u j u j + 2  ,  u j u j  i eq 6  ,  ,  u j u j u j eq 1   4 i  +  24  , , ,  u j u j u j u j  u j u j  u j u j  ... (2.14) eq  ,  ,  ,  x, y , z;  1  1      i0  i a j    ij a j   Wijk a j 2 j 6 i , j ,k   (2.15) ở đây a j là vị trí cân bằng của hạt thứ j.   2 i  Dạng tổng quát của số hạng   (2.16)  u j u j   eq và các số hạng khác được xác định theo công thức có trong [1]. Tổng lực của tất cả các hạt tác dụng lên hạt thứ i theo phương  như sau:
15   2 i  1   3 i      u j u j   u j    2  ,  u j u j u j  u j u j  eq eq (2.17) 1   4i     u j u j u j  ... 6  , ,  u j u j  u j u j eq Đối với trường hợp hạt thứ i còn chịu tác dụng của các lực phụ thuộc không đổi theo phương  thì ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có phương trình:   2 i  1   3i      u j u j   u j p   2  ,  u j u j u j  u j u j p  eq eq 1   4 i     6  , ,  u j u j  u j u j  u j u j u j p  p  0 (2.18) eq Vì tính đối xứng của mạng tinh thể có cấu trúc kim cương nên các số hạng sau đều bằng không:   2i    3 i    3 i    4 i    4i    ;  2  ;  3  ;  3  ;  2  (2.19)  u j u j   eq  u j u j  eq  u j  eq  u j u j   eq  u j u j  u j eq    Do đó có thể biểu diễn mômen bậc 4 ( u j u j u j u j p ) ; mômen bậc 3 ( u j u j u j ) ; mômen bậc 2 ( u j u j ) qua mômen bậc một nhờ công thức p p tổng quát về mômen (2.6)  u j    p u j u j  u j u j   cth  p p p a 2m 2 m 2  u j 2 u j  u j   u j p p 2 p p u ju j u j  u j u j u j  3 u j   cth  p p p p p a a a 2m 2 m2