Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei - ejγ trong mô hình Seesaw và Inverse Seesaw

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

26
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu nghiên cứu của đề tài là xây dựng chi tiết các hệ thức tính bề rộng rã nhánh ei - ejγ trong hai mô hình MSS và ISS; so sánh được kết quả giải tích gần đúng và chính xác thông qua khảo sát số. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei - ejγ trong mô hình Seesaw và Inverse Seesaw

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 LÝ THỊ MAI PHƢƠNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ ei  ejγ TRONG MÔ HÌNH Seesaw VÀ INVERSE Seesaw C Vật lý lý thuyết và vật lý toán M 8 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT N ƣ ƣ GS.TS. Vũ A T ấn TS. P Đặ X â Hƣơ HÀ NỘI, 2018
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI 2 LÝ THỊ MAI PHƯƠNG CÁC QUÁ TRÌNH RÃ VI PHẠM SỐ LEPTON THẾ HỆ ei → ej γ TRONG MÔ HÌNH SEESAWEESAW VÀ INVERSE SEESAW Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số: 8 44 01 03 Người hướng dẫn khoa học: TS. LÊ THỌ HUỆ HÀ NỘI, 2018
Lời cảm ơn Trước tiên, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Lê Thọ Huệ, người thầy luôn nghiêm khắc trong chuyên môn, thân thiện trong đời sống, đã hướng dẫn tôi tận tình, hiệu quả trong suốt quá trình làm luận văn. Thầy là cầu nối đưa tôi đến với Lý thuyết trường, một lĩnh vực khó của Vật lý nhưng cũng rất nhiều thú vị. Tôi xin cảm ơn các bạn học viên cao học khóa 20 tại Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã luôn động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình học tập. Tôi xin cảm ơn bạn Nguyễn Thị Quỳnh Lâm đã có những thảo luận hữu ích trong khi hoàn thiện luận văn. Tôi xin cảm ơn các đồng chí lãnh đạo và các đồng nghiệp tại Khoa Vật lý Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã tạo điều kiện và động viên tôi trong thời gian tôi học tập và làm luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn sự hỗ trợ của chủ nhiệm và các thành viên thực hiện đề tài mã số 103.01-2017.29 do NAFOSTED tài trợ. Lời cảm ơn cuối cùng tôi xin dành cho gia đình và người thân vì đã luôn ủng hộ, động viên và sát cánh bên tôi. Hà Nội, tháng 06 - 2018 Học viên Lý Thị Mai Phương
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các luận văn đã có. Tôi cũng xin cam đoan rằng các thông tin trích dẫn trong luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Hà Nội, tháng 06 năm 2018 Học viên Lý Thị Mai Phương
Mục lục Lời cảm ơn Lời cam đoan Mở đầu 1 1 Giới thiệu mô hình 4 1.1 Mô hình Seesaw tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Giới thiệu mô hình . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Đỉnh tương tác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino 8 1.2 Mô hình inverse Seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Biểu thức giải tích cho biên độ và tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ 13 2.1 Bề rộng rã riêng phần và tỉ lệ rã nhánh . . . . . . . . . . 13 2.2 Các ký hiệu và định nghĩa các hàm Passarino-Veltman . 16 (i) 2.2.1 Biểu thức tính hàm B1 . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2.2 Biểu thức tính hàm Ci . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2.3 Biểu thức tính hàm Ci,00,ij . . . . . . . . . . . . 20 2.3 Biểu thức tính biên độ rã . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.3.1 Giản đồ Feynman, biên độ rã và tỉ lệ rã nhánh . 22 2.4 Kiểm tra đồng nhất thức Ward . . . . . . . . . . . . . . 38 2.5 So sánh với các kết quả đã biết . . . . . . . . . . . . . . 40
2.5.1 Trường hợp 1: Mô hình với neutrino Dirac phải . 40 2.5.2 Trường hợp 2: Biểu thức gần đúng cho mô hình Seesaw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 3 Kết quả khảo sát và thảo luận 43 3.1 Xác định vùng không gian tham số . . . . . . . . . . . . 43 3.2 Kết quả tính số và thảo luận . . . . . . . . . . . . . . . . 44 Kết luận 46 Danh mục các công trình 48
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Như chúng ta đã biết mô hình chuẩn (standard model-SM) là một mô hình vật lý hạt thành công nhất khi dự đoán khá chính xác được hầu hết các kết quả thực nghiệm. Tuy nhiên nó vẫn có một số hạn chế nhất định, đầu tiên là vấn đề về dữ liệu thực nghiệm neutrino. Trong mô hình chuẩn, các lepton được phân làm ba thế hệ, mỗi thế hệ bao gồm một trong các lepton mang điện e, µ, τ và một neutrino phân cực trái tương ứng. Các neutrino đều có khối lượng bằng không và không có sự chuyển hóa lẫn nhau giữa các thế hệ lepton (sự dao động neutrino). Nhưng thực nghiệm đã chỉ ra rằng neutrino có khối lượng khác không dù rất nhỏ và tồn tại sự dao động neutrino. Sự dao động này chính là bằng chứng cho sự vi phạm số lepton thế hệ trong thế giới hạt cơ bản, nhưng vượt ngoài dự đoán của mô hình chuẩn. Chính vì vậy, cơ chế và nguồn gốc sinh khối lượng và dao động neutrino luôn được xét đến trong các mô hình mở rộng của mô hình chuẩn (BSM-beyond the SM). Mô hình đơn giản nhất giải quyết được các vấn đề về neutrino là các mô hình Seesaw, cụ thể là cơ chế Seesaw được đưa ra để giải thích vấn đề này. Mô hình Seesaw mở rộng từ SM bằng cách thêm vào các đơn tuyến neutrion phân
2 cực phải, dẫn đến sự xuất hiện của số hạng tương tác Yukawa mới và số hạng khối lượng vi phạm số lepton, chính là nguồn gốc sinh khối lượng cho tất cả các neutrino trong mô hình. Cơ chế Seesaw giúp giải thích hợp lý tại sao neutrino hoạt động (active neutrino) có khối lượng nhỏ như đã được thực nghiệm phát hiện, đồng thời các neutrino mới có khối lượng lớn, thoát khỏi tầm phát hiện của các thiết bị dò hiện nay. Sự xuất hiện của các neutrino mới dẫn đến sự xuất hiện các đỉnh tương tác mới, vi phạm số lepton, làm xuất hiện các quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ (LFV) của các lepton mang điện (cLFV) ei → ej γ (j 6= j) khi tính đến các đóng gớp nhiễu loạn bậc cao. Theo đó, tuy ở trong Lagrangian không xuất hiện đỉnh tương tác ei ej Aµ + h.c nhưng bổ đính bậc một vòng cho số hạng hiệu dụng dạng eAµ ej [qν σ µν (σL PL + σR PR )] ej + h.c. Số hạng này dẫn đến quá trình rã nhánh mới ei → ej γ không có trong giới hạn dự đoán của SM. Các thừa số σ µν và toán tử chiếu trái-phải PL,R được xây dựng theo ma trận chiral γ5 . Các hệ số vô hướngσL,R được tính từ các giản đồ đóng góp bậc cao. Các tính toán và nghiên cứu cho các quá trình rã này trong hai mô hình Seesaw tối thiểu (minimal Seesaw-MSS) và inverse Seesaw (ISS) đã được nghiên cứu trong nhiều công bố, sử dụng các hệ thức giải tích gần đúng khi khối lượng các lepton mang điện bằng không ngay cả khi khối lượng neutrino rất nhỏ. Hiện nay các hệ thức gần đúng này có thể được thiết lập theo các hàm giải tích chính xác áp dụng được vào giải số. Mô hình Seesaw là mô hình đơn giản nhất có thể dùng để kiểm tra sự thống nhất giữa kết quả gần đúng và kết quả giải tích chính xác. Vì vậy tôi chọn đề tài: Quá trình rã vi phạm số lepton thế hệ ei → ej γ trong mô hình Seesaw và Inverse Seesaw.
3 2. Mục đích nghiên cứu • Xây dựng chi tiết các hệ thức tính bề rộng rã nhánh ei → ej γ trong hai mô hình MSS và ISS • So sánh được kết quả giải tích gần đúng và chính xác thông qua khảo sát số. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu • Tìm hiểu về mô hình Seesaw và inverse Seesaw. • Tính biên độ và kiểm tra sự khử phân kỳ trong biên độ của quá trình rã ei → ei γ trong chuẩn unitary. • Khảo sát số để so sánh các đặc điểm giống và khác nhau của tỉ lệ rã nhánh dự đoán bởi hai mô hình 4. Đối tượng nghiên cứu • Quá trình rã ei → ei γ trong hai mô hình Seesaw MSS và ISS. 5. Phương pháp nghiên cứu • Quy tắc Feynman. • Lý thuyết trường lượng tử. • Ứng dụng phần mềm Mathematica trong giải số.
4 Chương 1 Giới thiệu mô hình 1.1 Mô hình Seesaw tổng quát 1.1.1 Giới thiệu mô hình Phổ hạt của mô hình này khác với mô hình chuẩn (SM) là có thêm K neutrino phân cực phải NR,I ∼ (1, 1, 0) với I = 1, 2, ..., K [6]. Lagrangian mới thoả mãn điều kiện bất biến nhóm chuẩn SU (2)L ⊗ U (1)Y là: e R,I + 1 (NR,I )c MN,IJ NR,J + h.c., −∆L = Yν,aI ψL,a φN (1.1) 2 trong đó a = 1, 2, 3 là chỉ số thế hệ của fermion; I, J = 1, 2, ..., K là chỉ số neutrino mới thêm vào; ψL,a = (νL,a , eL,a )T là các lưỡng tuyến T lepton và (NR,I )c = CNR,I . à Lưỡng tuyến Higgs boson SM ký hiệu √ T là φ = (φ+ , φ0 )T = G+ W , (h + iG z + v)/ 2 , còn có dạng tương đương φe = iσ2 φ∗ = (φ0∗ , −φ− )T . Phổ Higgs trong SM gồm một Higgs trung hoà CP-chẵn h và ba Goldstone boson của các boson W ± và Z. Giá trị trung bình chân không (VEV) của thành phần Higgs trung hoà là: hφi = √v = 2 174 GeV (tương đương v = 246 GeV). Các trạng thái ban đầu của các neutrino hoạt động được viết như sau: νL = (νL,1 , νL,2 , νL,3 )T , (νL )c ≡ ((νL,1 )c , (νL,2 )c , (νL,3 )c )T , NR = (NR,1 , NR,2 , ..., NR,K )T , (NR )c = ((NR,1 )c , (NR,2 )c , ..., (NR,K )c )T . Trong cơ sở ban đầu νL0 ≡ (νL , (NR )c )T và (νL0 )c = ((νL )c , NR )T , Lagrangian (1.1) cho số hạng khối lượng neu-
5 trino: ! 1 1 0 MD −Lνmass ≡ νL0 M ν (νL0 )c + h.c. = νL0 (νL0 )c + h.c., (1.2) 2 2 MDT MN trong đó MN là ma trận bậc (K × K) đối xứng và không kỳ dị, và MD là ma trận bậc (3 × K) thỏa mãn (MD )aI = Yν,aI hφi. Do tính chất đối xứng M ν được chéo hóa bằng một ma trận unitary U ν bậc (K + 3) × (K + 3), U ν† U ν = I. Khối lượng các neutrino lúc này được xác định là: ˆ ν = diag(mn , mn , mn , mn , ..., mn U νT M ν U ν = M ), (1.3) 1 2 3 4 (K+3) trong đó mni (i = 1, 2, ..., K + 3) là các giá trị riêng khối lượng của (K + 3) trạng thái riêng khối lượng (vật lý) neutrino nL,i . Ba neutrino hoạt động là nL,a với a = 1, 2, 3. Các liên hệ giữa trạng thái vị và vật lý: νL0 = U ν∗ nL , (νL0 )c = U ν (nL )c , (1.4) trong đó nL ≡ (nL,1 , nL,2 , ..., nL,(K+3) )T . Kí hiệu spinor bốn thành phần (Dirac spinor) là ni (i = 1, 2, .., K + 3) cho tất cả các neutrino trong mô hình được dùng để tính toán trong luận văn này. Các trường fermion Majorana ni là ni ≡ (nL,i , (nL,i )c )T = nci = 1±γ5 (ni )c . Thành phần phân cực trái, phải là nL(R),i ≡ PL(R) ni có PL,R = 2 là các toán tử trái, phải. Các trạng thái ban đầu của các neutrino theo spinor bốn thành phần là νa ≡ (νL,a , (νL,a )c )T , NI ≡ ((NR,I )c , NR,I )T và ν 0 = (ν, N )T . Hệ thức (1.4) cho các kí hiệu mới: PL νi0 = νL,i 0 = Uijν∗ nL,j , PR νi0 = νR,i 0 = Uijν nR,j , i, j = 1, 2, ..., K + 3. (1.5) Ma trận trộn neutrino U ν sẽ được xác định cụ thể trong từng mô hình MSS và ISS. Phần tiếp theo xác định đỉnh tương tác liên quan đến rã ei → ej γ.
6 1.1.2 Đỉnh tương tác Đạo hàm hiệp biến sử dụng trong luận văn là Dµ = ∂µ − igT a W a − ig 0 Y Bµ , (1.6) trong đó W a và T a ký hiệu các boson chuẩn và vi tử tương ứng của nhóm SU (2)L ; Y là siêu tích nhóm U (1)Y . Các boson chuẩn vật lý hoàn toàn giống như trong SM, bao gồm 1 photon Aµ , một boson chuẩn trung hòa Zµ và boson chuẩn mang điện W ± . Liên hệ giữa trạng thái ban đầu và trạng thái sau của các boson chuẩn là 1 Wµ± = √ (Wµ1 ∓ iWµ2 ), 2 WµK+3 = cW Zµ + sW Aµ , Bµ = −sW Zµ + cW Aµ . (1.7) Định nghĩa đạo hàm hiệp biến (1.6) sẽ cố định dấu các hệ số đỉnh tương tác ea νa W − và đỉnh ba boson Aµ W +α W −β . Các đỉnh tương tác của photon Aµ và boson chuẩn Wµ± với các lepton nằm trong biểu thức đạo hàm hiệp biến lepton sau Llep µ µ kin = iψL,a γ Dµ ψL,a + eaR γ Dµ eaR g ⊃ √ νL,a γ µ eL,a Wµ+ + eL,a γ µ νL,a Wµ− 2 + (−e)ea γ µ ea Aµ g ν nj γ µ PL ea Wµ+ + Uaj ν∗ ea γ µ PL nj Wµ− = √ Uaj 2 + (−e)ea γ µ ea , (1.8) trong đó a = 1, 2, 3; và j = 1, 2, ..., K + 3. Động năng hiệp biến trường đơn tuyến lepton phải không tương tác với W ± . Tương tác ba boson chuẩn nằm trong số hạng động năng trường chuẩn không giao hoán nhóm SU (2)L 1 LAW + W − ∈ − Fµνa F µνa , (1.9) 4
7 với a Fµν = ∂µ Wνa − ∂µ Wµa + gabc Wµb Wνc (1.10) là cường độ trường chuẩn trường không giao hoán W a , g là hệ số tương tác nhóm chuẩn SU (2)L , abc là tensor phản xứng bậc 3, 123 = 1. Từ các tính toán trên chúng tôi thu được các đỉnh liên quan đến quá trình rã ei → ej γ được tổng hợp trong bảng 1.1, trong đó chỉ các đỉnh tính trong chuẩn unitary được xét đến. Đỉnh Hệ số đỉnh ig ni ea W +µ √ Uν γ P 2 ai µ L ig ea ni W −µ √ U ν∗ γ P 2 ai µ L Aµ ea ea −ieγµ µ +α −β A (p0 )W (p+ )W (p− ) −ieΓµαβ (p0 , p+ , p− ) Bảng 1.1: Các đỉnh liên quan đến đóng góp bậc 1 vòng vào biên độ rã ei → ej γ trong các mô hình Seesaw, xét trong chuẩn unitary. Qui ước các xung lượng của photon và W ± tương ứng là các xung lượng p0 , p± có chiều đi vào đỉnh tương tác, Γµαβ (p0 , p+ , p− ) ≡ (p0 − p+ )β gµα + (p+ − p− )µ gαβ + (p− − p0 )α gβµ . Các giản đồ Feynman bậc một vòng tương ứng với rã cLFV cho trong hình 1.1. Hình 1.1: Đóng góp bậc một vòng vào biên độ rã ei → ej γ trong mô hình Seesaw tổng quát xét trong chuẩn unitary. Nhận xét: Đạo hàm hiệp biến được định nghĩa theo các tài liệu [8, 9], các đỉnh tương tác liệt kê trong bảng 1.1 đều phù hợp.
8 1.1.3 Ma trận trộn khối lượng và ma trận trộn neutrino Biểu thức tổng quát cho ma trận trộn neutrino U ν là [6], ! U O Uν = Ω , (1.11) O V trong đó O là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử bằng 0, U là ma trận unitary bậc (3 × 3) và V là ma trận unitary bậc (K × K). Ω là ma trận unitary bậc ((K + 3) × (K + 3)), được viết dưới dạng khai triển nhiễu loạn như sau: ! ! O R 1 − 12 RR† R Ω = exp = + O(R3 ), (1.12) † † 1 † −R O −R 1− 2R R trong đó R là ma trận bậc (3 × K) có tất cả các phần tử có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn 1. Ma trận unitary UPMNS được gọi là ma trận trộn Pontecorvo-Maki-Nakagawa-Sakata (PMNS), hoàn toàn xác định được từ thực nghiệm về dao động neutrino. Các ma trận khối lượng của các neutrino là: ˆ N = diag(mn , mn , ..., mn ), M 4 5 K+3 ∗ † ∗ † mν = UPMNS diag(mn1 , mn2 , mn3 )UPMNS = UPMNS m ˆ ν UPMNS , (1.13) trong đó mni là khối lượng vật lý các neutrino,   c12 c13 s12 c13 s13 e−iδ   iδ UPMNS =   −s12 c23 − c12 s23 s13 e c12 c23 − s12 s23 s13 eiδ s23 c13   s12 s23 − c12 c23 s13 eiδ −c12 s23 − s12 c23 s13 eiδ c23 c13 × diag(1, eiα , eiβ ), (1.14) và cab ≡ cos θab , sab ≡ sin θab .
9 Cơ chế Seesaw sinh khối lượng các neutrino thế hệ đòi hỏi |MD | |MN |. Các hệ thức liên hệ quan trọng đã biết là [6], R∗ ' MD MN−1 , mν ' −MD MN−1 MDT , ˆ N V † = MN + 1 RT R∗ MN + 1 MN R† R. V ∗M (1.15) 2 2 Cơ chế seesaw hiểu từ hệ thức liên hệ thứ hai trong (1.15) giải thích tính cực nhỏ của khối lượng các neutrino hoạt động khi MN đặc trưng cho thang khối lượng neutrino nặng. Trong luận văn này, ma trận MD được tham số hóa theo ma trận ξ (K × 3) thỏa mãn điều kiện duy nhất ξ T ξ = I3 [6], cụ thể là: 1/2 † MDT = iUN∗ MNd ˆ ν )1/2 UPMNS ξ (m , (1.16) trong đó UN là ma trận chéo hóa MN , UNT MN UN = MNd = diag(M1 , ..., MK ). Cách tham số hoá này gọi là tham số hoá Casas-Ibarra [7]. 1.2 Mô hình inverse Seesaw Lagrangian tương tác đặc trưng cho ISS có dạng sau: e RI − M IJ (νRI )c XJ − 1 µIJ X c XJ + h.c., LISS = −YνaI La φν (1.17) R 2 X I trong đó MR là ma trận (3 × 3) bảo toàn số lepton, µX là ma trận (3 × 3) vi phạm số lepton nên nhận giá trị nhỏ. Các chỉ số I, J = 1, 2, ...K. Khác với MSS, mô hình ISS tách các đơn tuyến neutrino mới thành 2 loại. Thứ nhất là các νRI có số lepton L(νR ) = 1 chỉ xuất hiện trong các số hạng bảo toàn số lepton. Ngược lại XI phân cực phải và có L(X) = −1, cho phép xuất hiện số hạng khối lượng nhỏ vi phạm số lepton. Chúng tôi xét K = 3 để so sánh với các kết quả khảo sát gần đây [13]. Số hạng khối lượng liên hệ với neutrino hoạt động là: ! √v −YνaI La φν e RI → −Y aI (νaL , eaL ) ν 2 νRI 0
10 = −(νaL mDaI νRI ) = −(νL mD νR ), trong đó mDaI = √v Y aI . Tương tự cho các số hạng khối lượng còn lại, 2 ν số hạng khối lượng neutrino là 1 L = −(νL mD νR ) − (νR )c MR X − X c µX X + h.c.  2  (νL )c 1   = − (νL , (νR )c , X c )MISS   R , ν  (1.18) 2 X có MISS là ma trận khối lượng neutrino thoả mãn   O mD O   MISS =  T m O M R ,   D O mTR µX O là ma trận không bậc (3 × 3). Các tham số trong mô hình ISS liên hệ với các định nghĩa MD và MN phần thảo luận chung theo các hệ thức ! O MR MD = (mD , O), MN = . (1.19) MRT µX Định nghĩa ma trận nghịch đảo, MN−1 MN = MN MN−1 = I6 dẫn đến T −1 −1 ! −M M R MN−1 = −1 , (1.20) MR 0 trong đó M = MR µ−1 T X MR [13]. PT. (1.15) cho kết quả [6] ∗ −1 −1 T −1 R = MD MN = −mD M , mD MR , −1 mν = −MD MN−1 MDT = mD MRT µX MR−1 mTD = mD M −1 mTD , (1.21)
11 trùng kết quả trong [13, 7]. Ma trận mD được tham số hoá Casas-Ibarra như sau: ˆ ν UP† M N S , p p p p ∗ mTD = UM diag( M1 , M2 , M3 )ξ 0 m (1.22) ∗ † trong đó UM thỏa mãn M = UM diag(M1 , M2 , M3 )UM và ξ 0 là một ma trận trực giao phức thỏa mãn ξ 0 ξ 0T = I3 . Để so sánh và xây dựng liên hệ giữa các quá trình rã cLFV trong các mô hình MSS và ISS, chúng tôi chỉ xét các trường hợp đơn giản. Cụ thể là ξ = UN = I3 trong MSS, các biểu thức đơn giản của các phương trình trong (1.15) là −1/2 MNd = MN , R = −iUPMNS m ˆ 1/2 ν MNd ˆ N = MNd + m , V = I3 , M ˆ ν. (1.23) Trong mô hình ISS, từ (1.22) ta thấy rằng mD được tham số hóa theo nhiều tham số tự do, nên chúng tôi có thể chọn µX = µX I3 . Tham số này phân biệt các đặc điểm quan trong của hai mô hình MSS và ISS. Ngoài ra chúng tôi cũng chỉ xét trường hợp đơn giản MR = M ˆR = diag(MR1 , MR2 , MR3 ) và ξ 0 = I3 . Điều kiện |µX | |MR | dẫn đến ! ! MˆR 0 1 −iI 3 I3 UM = I3 , MNd = , V '√ . (1.24) 0 M ˆR 2 iI3 I3 ˆ R (ISS) và M Nhận xét: hai ma trận M ˆ N (SS) đều có vai trò là thang khối lượng của neutrino mới. Vì vậy, chúng tôi đồng nhất chúng là khối lượng của các neutrino trong cả hai mô hình. Sự khác nhau của hai mô hình lúc này là ma trận trộn V trong (1.24) và µX chỉ đặc trưng cho ISS. Tham số µX xuất hiện ở ma trận con thứ hai của ma trận trộn R được cho trong (1.21). Từ đây chúng tôi tìm được hệ thức liên hệ đơn giản giữa các phần tử lớn nhất của các ma trân R trong hai mô hình Seesaw đang xét là: r ISS mn6 MSS R ∼ R , (1.25) µX
12 trong đó mn6 lúc này được xem là khối lượng đặc trưng cho neutrino mới, mn4 ≤ mn5 ≤ mn6 . Liên hệ (1.25) là lý do chính để giải thích tại sao tỉ lệ rã nhánh rã cLFV được dự đoán bởi mô hình ISS có giá trị lớn hơn rất nhiều so với các giá trị dự đoán bởi MSS. Trong chương tiếp theo chúng tôi thiết lập các biểu thức cụ thể tính biên độ quá trình rã cLFV trong chuẩn ’t unitary, từ đó so sánh với các kết quả gần đúng đã được công bố.
13 Chương 2 Biểu thức giải tích cho biên độ và tỉ lệ rã nhánh ei → ej γ 2.1 Bề rộng rã riêng phần và tỉ lệ rã nhánh Xét quá trình rã cLFV ei → ej γ, trong đó i, j = 1, 2, 3 (i > j) là các chỉ số thế hệ lepton (ei , ej ) = {(τ, µ), (τ, e), (µ, e)}. Biên độ rã luôn viết được ở dạng tổng quát sau [1, 2], h i ij ij ij M = 2(pi .) CL u¯j (pj )PL ui (pi ) + CR u¯j (pj )PR ui (pi ) + DLij u¯j (pj )/PL ui (pi ) + DR ij u¯j (pj )/PR ui (pi ), (2.1) ij ij trong đó µ là vector phân cực phô tôn; CL,R và DL,R là các hệ số vô hướng được tính từ các đóng góp nhiễu loạn bậc cao (bổ đính); ui,j và pi,j tương ứng là spinor Dirac và xung lượng của các lepton. Điều kiện bất biến chuẩn hay đồng nhất thức Ward (Ward identity) dẫn đến hệ thức, DLij = −mi CRij − mj CLij ij and DR = −mi CLij − mj CRij , (2.2) với mi,j là khối lượng các lepton tương ứng p2i,j = m2i,j . Hệ thức được chứng minh như sau. Biên độ Mij = Mij µ µ thỏa mãn đồng nhất thức Ward nghĩa là nếu thay vector phân cực photon µ bằng xung lượng
14 photon q = pi − pj thì hệ thức thu được là Mij µ µ q = 0. (2.3) Biểu thức (2.1) cho hệ quả h i ij µ ij ij Mµ q = 2[pi .(pi − pj )] CL u¯j PL ui + CR u¯j PR ui + DLij u¯j (/ pi − p/j )PL ui + DR ij u¯j (/pi − p/j )PR ui 2 2 ij ij = (mi − mj ) CL [¯ uj PL ui ] + CR [¯ uj PR ui ] + DLij (mi [¯uj PR ui ] − mj [¯ ij uj PL ui ]) + DR (−mj [¯uj PR ui ] + mi [¯ uj PL ui ]) h i uj PL ui ] (m2i − m2j )CLij − mj DLij + mi DR = [¯ ij h i 2 2 ij ij ij uj PR ui ] (mi − mj )CR + mi DL − mj DR . + [¯ (2.4) Các biến đổi trung gian trong công thức (2.4) đã sử dụng định luật bảo toàn xung lượng pi − pj = q, điều kiện hạt thực có xung lượng thỏa mãn p2i,j = m2i,j và q 2 = 0. Ngoài ra các đẳng thức sau cũng được sử dụng 2pi .pj = p2i + p2j − (pi − pj )2 = m2i + m2j , PL γµ = γµ PR , PL γµ = γµ PR , PL PR = 0, p/i ui = mi ui , uj p/j = mj uj . Các hệ thức biến đổi nói trên tiếp tục được sử dụng trong các tính toán tiếp theo. Thay kết quả trong biểu thức (2.4) vào đẳng thức (2.3), chúng tôi thu được hai hệ thức độc lập ( −mj DLij + mi DR ij = (−m2i + m2j )CLij . (2.5) mi DLij − ij mj DR = (−m2i + m2j )CRij ij Giải hệ 2 phương trình trong (2.5) theo hai biến DL,R sẽ dẫn đến các hệ thức trong (2.2).