Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Tương tác của Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thiểu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:51

Thêm vào BST

Báo xấu

33
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tiến hành tìm hiểu các nội dung cơ bản của mô hình 3-3-1 tối thiểu (Nội dung sắp xếp hạt, Lagrangian của mô hình, thế Higgs của mô hình); khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thiểu; tương tác của Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thiểu. Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học vật chất: Tương tác của Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thiểu

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 LƢƠNG VĂN QUỲNH TƢƠNG TÁC CỦA HIGGS VỚI CÁC BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT HÀ NỘI, 2016
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 LƢƠNG VĂN QUỲNH TƢƠNG TÁC CỦA HIGGS VỚI CÁC BOSON CHUẨN TRONG MÔ HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết và vật lí toán Mã số: 60 44 01 03 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC VẬT CHẤT Ngƣời hƣớng dẫn khoa học: TS. Hà Thanh Hùng HÀ NỘI, 2016
LỜI CẢM ƠN Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong Khoa Vật lý, đặc biệt là các thầy cô giáo Phòng sau Đại học – Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2 đã quan tâm giúp đỡ em trong quá trình học tập và thực hiện luận văn. Em xin bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc đối với TS. Hà Thanh Hùng - người thầy đã tận tâm hướng dẫn em hoàn thành luận văn này. Xin gửi tới người thân – gia đình, bè bạn – những người đã luôn động viên giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu lời cảm ơn sâu sắc. Hà Nội, ngày 03 tháng 07 năm 2016 Ngƣời thực hiện Lƣơng Văn Quỳnh
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan rằng số liệu và kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được ghi rõ nguồn gốc. Tác giả luận văn Lương Văn Quỳnh
MỤC LỤC MỞ ĐẦU ................................................................................................................ 1 1. Lý do chọn đề tài ................................................................................................. 1 2. Mục đích nghiên cứu ........................................................................................... 3 3. Nhiệm vụ nghiên cứu .......................................................................................... 4 4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu ....................................................................... 4 5. Phương pháp nghiên cứu ..................................................................................... 4 6.Đóng góp mới ....................................................................................................... 4 CHƢƠNG 1.TÌM HIỂU M HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU.................................... 5 1.1.Sắp xếp các hạt trong mô hình .......................................................................... 5 1.2. Lagrangian c a mô hình ................................................................................... 7 1.3. Các ưu đi m c a mô hình 3-3-1 tối thi u......................................................... 7 Chƣơng 2.CÁC OSON CHUẨN TRONG M HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU .. 10 2.1. Quy luật biến đổi c a các trường chuẩn ......................................................... 10 2.2. Đạo hàm hiệp biến.......................................................................................... 19 2.3. Các boson chuẩn............................................................................................. 20 Chƣơng 3. TƢƠNG TÁC CỦA CÁC HIGGS TRONG M HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU .................................................................................................................. 24 3.1. Khối lượng các Higgs..................................................................................... 24 3.2. Tương tác c a các Higgs với các boson chuẩn .............................................. 33 3.3. Vật lý mới từ các đóng góp c a Higgs và boson chuẩn.................................. 40 KẾT LUẬN .......................................................................................................... 41
TÀI LIỆU THAM KHẢO .................................................................................. 43
1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Mô hình chuẩn đã r t thành công, với các tiên đoán về lý thuyết đã được thực nghiệm ki m chứng như: khối lượng W-boson và Z-boson, góc trộn Weinberg, tham số Michel Đặc biệt, sự hoạt động trở lại c a máy gia tốc LHC đã cho nhiều dữ liệu thực nghiệm hữu ích, góp phần kh ng đ nh sự tồn tại c a Higgs-boson và giải thích nguồn gốc khối lượng c a các hạt trong tự nhiên [6 . Sự kiện này đã mang lại giải Nobel về vật lý năm 2013 cho Francois Englert và Peter W.Higg. Tuy nhiên, mô hình chuẩn vẫn còn tồn tại nhiều hạn chế, chưa giải tích được các v n đề quan trọng sau: 1 tại sao thế hệ các fermions là 3, 2 sự dao động và khối lượng neutrino khác không, 3 nguồn gốc c a vật ch t tối và năng lượng tối và tính b t đối xứng số baryon c a vũ trụ quan sát được hiện nay. Một trong các hướng phát tri n c a vật lý đ khắc phục các hạn chế trên c a mô hình chuẩn là các mô hình 3-3-1. Các mô hình 3-3-1 dựa trên nhóm đối xứng chuẩn là   đã kế thừa những kết quả đạt được c a mô hình chuẩn đồng thời đang tiếp tục giải quyết các v n đề còn tồn tại c a mô hình chuẩn. Các công bố gần đây c a các mô hình 3-3-1 đã ch ra: khối lượng neutrino s được giải thích qua cơ chế seesaw TeV, vật ch t tối s xu t hiện như là hệ quả c a đối xứng mới trong các mô hình [6 .. Các hạt mới với số lepton s cho rã vi phạm CP dẫn đến cơ chế leptogenesis cho giải tích b t đối xứng số baryon. Ngoài việc giải quyết các v n đề quan trọng trên, một số các kết quả khác cũng xu t hiện một cách r t tự nhiên trong các mô hình 3- 3-1 như là hệ quả t t yếu c a lý thuyết, đó là: số thế hệ các fermions
2 trong mô hình phải là 3, các điện tích được lượng tử hóa, khối lượng và sự dao động c a các neutrinos... Có hai phiên bản c a mô hình 3-3-1, việc phân chia này phụ thuộc vào phần lepton được đưa vào trong mô hình. Phiên bản thứ nh t, gọi là mô hình 3-3-1 tối thi u, được đề xu t bởi Pisano, Pleitez và Frampton vào năm 1992 [1 , trong đó, ta đưa lepton mang điện phân cực phải vào đáy c a ba tam tuyến lepton c a nhóm nhóm . Phiên bản này đòi hỏi ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng Higgs đ thực hiện phá vỡ đối xứng tự phát, sinh khối lượng cho t t cả các fermions. Việc đưa vào lục tuyến Higgs giúp cho việc giải thích nguồn gốc khối lượng c a các hạt một cách rõ ràng. Tuy nhiên, do số lượng lớn các vô hướng xu t hiện trong mô hình dẫn đến việc xác đ nh trạng thái vật lý c a các hạt, cũng như các tính toán từ lý thuyết đ cung c p tín hiệu cho việc tìm kiếm các hạt Higgs từ các máy gia tốc gặp khó khăn. Đây cũng chính là v n đề hiện nay đang được các nhà khoa học quan tâm và tiếp tục phát tri n. Trong [7 , tác giả M.D. Tonasse mới đưa ra các kết quả cho phổ khối lượng các Higgs và khối lượng các fermions gần đúng ở bậc cây tree level . Phiên bản thứ hai được các tác giả Foot, Long và Tuan đề xu t năm 1994, trong đó thành phần thứ ba c a các tam tuyến lepton c a nhóm là các neutrinos phân cực phải [9 . So với phiên bản thứ nh t phiên bản thứ hai có ưu đi m hơn là số lượng các vô hướng đưa vào là ít hơn và giải thích nguồn gốc khối lượng các neutrinos tốt hơn, tương tác c a các boson trung hòa có khối lượng trùng hợp với mô hình chuẩn. Tuy nhiên, hạn chế c a phiên bản này là giới hạn c a góc trộn Weinberg lớn hơn mô hình chuẩn. Hạn chế này vẫn đang được các nhà khoa học phát tri n mô hình này đ khắc phục.
3 Đóng góp c a các Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 đem lại nhiều hiện tượng vật lý mới. Nhiều công bố gần đây dựa vào đóng góp này cho th y giá tr c a một số đại lượng tính toán từ lý thuyết r t phù hợp với giá tr thực nghiệm đo được: mômen từ d thường c a muon g- 2 , khối lượng các neutrinos, hàm trong lý thuyết tái chuẩn hóa Ngoài ra, dựa vào tương tác c a Higgs-boson trong các mô hình 3-3-1 ở các bổ đính bậc cao đã tìm ra các ứng cử viên cho các đối tượng vật lý mới như: vật ch t tối, năng lượng tối, radion, axion Việc tính toán tìm ra các đặc tính mới đ cung c p tín hiệu phục vụ cho việc tìm kiếm các Higgs-boson ở các máy gia tốc cũng đang được hết sức quan tâm. Công trình tìm kiếm Higgs qua kênh rã ra hai photon c a William J. Marciano, Cen Zhang và Scott Winlenbrock [11], hay qua kênh rã ra hai lepton [1 có th coi là khởi đầu cho việc tìm kiếm Higgs-boson, qua đó đ nh hướng cho việc phát tri n các mô hình lý thuyết. Với hướng phát tri n c a khoa học như hiện nay, chúng tôi tập trung vào việc nghiên cứu mô hình 3-3-1 tối thi u có lục tuyến vô hướng, qua đó chúng tôi tìm ra các đặc tính c a Higgs-boson trong mô hình cũng như những đóng góp c a nó. Trên cơ sở tìm ra tương tác c a Higgs với các boson chuẩn, chúng tôi hy vọng s cung c p kết quả quan trọng, tạo cơ sở cho việc nghiên cứu các hiện tượng vật lý mới trong mô hình này cũng như việc tìm kiếm Higgs-boson ở các máy gia tốc. 2. Mục đích nghiên cứu Đề tài cần đạt được các kết quả sau: - Tìm hi u các nội dung cơ bản c a mô hình 3-3-1 tối thi u: nội dung sắp xếp hạt, Lagrangian c a mô hình, thế Higgs c a mô hình
4 - Khối lượng các Higgs trong mô hình 3-3-1 tối thi u. - Tương tác c a Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thi u. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu - Tìm ra khối lượng các Higgs trung hòa và Higgs mang điện trong mô hình 3-3-1 tối thi u. - Xác đ nh tương tác c a Higgs với các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thi u. 4. Đối tƣợng và phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu là các Higgs và tương tác c a nó trong mô hình 3-3-1 tối thi u. - Phạm vi nghiên cứu là lý thuyết trường và vật lý năng lượng cao. 5. Phƣơng pháp nghiên cứu - Phương pháp Vật lý lý thuyết - Sử dụng các phần mềm Matlab và Mathematical đ tính toán 6. Đóng góp mới - Tương tác c a các Higgsvới các boson chuẩn trong mô hình 3-3-1 tối thi u. Các hiện tượng vật lý trong mô hình 3-3-1 tối thi u thông qua đóng góp c a các Higgs.
5 NỘI DUNG CHƢƠNG 1. TÌM HIỂU M HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU 1.1.S p ếp các hạt t ong m h nh 3-3-1 tối thiểu. Mô hình 3-3-1 nói chung là sự mở rộng c a mô hình chuẩn Standard model , bằng cách mở rộng nhóm đối xứng chuẩn thành   , tùy theo việc đưa neutrino phân cực phải hay lepton mang điện vào thành phần thứ ba c a tam tuyến lepton mà chúng ta có hai phiên bản tương ứng c a mô hình 3-3-1. Các lepton được sắp xếp theo ba thế hệ, các thành phần trái là các tam tuyến c a , còn các thành phần phải là các đơn tuyến c a . Đặc biệt, phần đáy c a tam tuyến không phải là neutrino mà là lepton mang điện phân cực phải. ( ) , , (1.1) Trong đó, a là ch số thế hệ, còn các giá tr trong ngoặc đơn bên phải tương ứng là bi u di n các đa tuyến c a , và tích c a . Với các quark, ta cũng có cách sắp xếp tương tự. Tuy nhiên, đ đảm bảo điều kiện khử d thường QCD thì thế hệ quark thứ nh t ta xếp vào tam tuyến c a , còn hai thế hệ sau ta xếp vào phản tam tuyến c a . ( ) , ( ) ( ) . ( ), ( ), ( ), ( ), ( ), ( ) (1.2)
6 Đ sinh khối lượng cho các fermion ta cần ba tam tuyến và một lục tuyến vô hướng S. Trong đó, lục tuyến vô hướng S đóng vai trò sinh khối lượng cho t t cả các lepton [2 . ( + , ( + , ( ) √ √ (1.3) √ √ (√ √ ) Với trung bình chân không 〈 〉 (√ ), 〈 〉 ( +, 〈 〉 ( +, 〈 〉 ( , (1.4) √ √ Đ phù hợp với các dữ liệu thực nghiệm, chúng ta cần điều kiện. (1.5) là VEV c a trường Higgs trong mô hình chuẩn. Toán tử điện tích được đ nh nghĩa √ (1.6) Trong đó: λ3 và λ8 là ma trận Gell-Mann chéo. Chú ý rằng đối với phản tam tuyến, chúng ta thay ma trận Gell-Mann bằng ̅ = -λ*. Khung phá vỡ đối xứng tự phát như sau 〈 〉 〈 〉 → → , (1.7) Vì lepton và phản lepton được đặt trong cùng một tam tuyến, do đó trong mô hình này số lepton không được bảo toàn. Do đó, chúng ta sử dụng một toán tử mới là mà giao hoán với đối xứng chuẩn [ ] và quan hệ với số lepton thông thường như sau L = √
7 1.2. L g ngi n củ m h nh Trong mô hình 3-3-1 tối thi u, Lagrangian tổng quát c a mô hình được đưa ra ∑̅ ∑ ( ) (1.8) với: √ ∑ ( ) tương tác c a các boson chuẩn với các vô hướng c a mô hình ∑̅ tương tác c a các lepton với các boson chuẩn, với là các ma trận Dirac. tương tác chuẩn c a các nhóm tương tác chuẩn c a các nhóm tương tác chuẩn c a các nhóm tương tác Yukawa tương tác c a một trường vô hướng và hai trường fermion) thế Higgs tổng cộng c a mô hình 1.3. -3-1 tố t Một trong những thành công lớn nh t c a vật lý học trong thế kỷ XX là sự ra đời c a mô hình chuẩn. Mô hình chuẩn thống nh t ba trong bốn tương tác được biết đến, đó là tương tác điện từ, yếu và mạnh dựa trên mẫu chuẩn SU  3C  SU  2 L U 1Y . Mô hình chuẩn mô tả r t thành công vật lý hạt cơ
8 bản ở thang năng lượng bé hơn 200GeV. Sự thành công c a mô hình chuẩn được xác nhận vào năm 1973 nhờ sự khám phá ra các tương tác neutrino dòng trung hòa trong thí nghiệm Gargamelle tại CERN, Fermilab và nhiều thí nghiệm khác trong hơn 40 năm qua. Tuy nhiên lý thuyết này cũng bộc lộ những hạn chế nh t đ nh sau:  Chưa giải thích được vì sao lại có ba thế hệ fermion.  Sự khác nhau về khối lượng c a các fermion.  Mô hình chuẩn không giải thích được khối lượng và sự chuy n hóa neutrino đã được thực nghiệm xác nhận, cũng như sự gián đoạn về điện tích.  Tại sao khối lượng neutrino khác không, không có vật ch t tối và năng lượng tối nhưng thực tế phần lớn vật ch t trong vũ trụ hiện nay là vật ch t tối và năng lượng tối.  Tính b t đối xứng c a baryon c a vũ trụ.  Mô hình chuẩn không giải thích được vì sao top quark có khối lượng lớn đến cỡ 175GeV trong khi tiên đoán lý thuyết c a mô hình chuẩn ch cỡ 10GeV, tại sao giữa các thế hệ fermion có sự phân bậc về khối lượng. Năm 2001 đã đo được độ lệch c a mô men từ d thường c a muon so với tính toán lý thuyết c a mô hình chuẩn. Điều này có th là hiệu ứng vật lý mới dựa trên các mô hình mở rộng. Vì vậy việc mở rộng mô hình chuẩn là sự phát tri n tự nhiên c a c a lý thuyết một cách logic. Trong các mô hình mở rộng s tồn tại các boson chuẩn mới có khối lượng cỡ TeV ứng với sự vi phạm số lepton và baryon. Có r t nhiều hướng mở rộng mô hình chuẩn nhưng một trong những mô hình được ch p nhận là các mô hình 3-3-1. Mô hình 3-3-1 là lý thuyết chuẩn dựa trên mẫu chuẩn SU  3C  SU  3L  U 1 X . Mô hình 3-3-1 được chú ý nhiều bởi vì chúng
9 giải quyết được những v n đề ở thang năng lượng lớn hơn 200GeV và giải thích được những v n đề vượt khỏi khả năng tiên đoán c a lý thuyết trường chuẩn. Hơn nữa mô hình 3-3-1 cũng giải quyết tốt t t cả các v n đề mà mô hình chuẩn đã thành công. Đặc biệt với mô hình 3-3-1 tối thi u giải quyết được các v n đề trên một cách trọn vẹn nh t, đồng thời giải quyết được v n đề về vật ch t và năng lượng tối. Trong chương này chúng ta đã trình bày về Mô hình 3-3-1 tối thi u, qua đó ch ra được sự sắp xếp các hạt trong mô hình, Lagrangian c a mô hình và các ưu đi m c a mô hình 3-3-1 tối thi u.
10 Chƣơng2 CÁC OSON CHUẨN TRONG M HÌNH 3-3-1 TỐI THIỂU 2.1. Quy luật biến đổi củ các t ƣờng chuẩn Trong phần này, chúng ta s nghiên cứu cách bi u di n các trường chuẩn và quy luật biến đổi c a chúng. Giả sử, các trường biến đổi theo nhóm G với n vi tử Ia, a = 1,2,....n. Tương ứng với các phép biến đổi đó, chúng ta có ρ- tuyến  i  1, 2,....n thực hiện bi u di n ρ- chiều. 1  ig ata   Ta thực hiện phép biến đổi  i ( x)   ( x)  e a   x  ,  i   i Trong đó ta là ma trận vuông c p p  p thỏa mãn các hệ thức như các vi tử c a nhóm  I a I b   if abc Ic t at b   if abctc Trong đó a là số thực b t kỳ. Giá tr c a a s quyết đ nh cách thức c a phép biến đổi. Cụ th : nếu a không phụ thuộc vào tọa độ thì ta gọi là phép biến đổi toàn cục global transformation . Ngược lại, nếu a  a  x  thì ta gọi đó là phép biến đổi chuẩn đ nh xứ local gauge transformation   i ( x)  i, ( x)  e    x   ig t a a a i (2.1)   Vì biến đổi umita, nên t a ta , và g, a là thực. Phép biến đổi chuẩn đ nh xứ là hợp lý hơn vì tại mỗi đi m khác nhau, các pha s khác nhau. Ta xét vài ví dụ, cụ th cho hai trường hợp đơn giản nh t là nhóm U 1 và tổng quát hơn
11 là nhóm SU(m). Với trường hợp nhóm U(1)Q, tương ứng với lý thuyết QED, ta có:   x i  i, ( x)i  e  ieq  x     x , (2.2) Trong đó q là điện tích trong đơn v điện tích c a proton c a trường  , còn e là hằng số tương tác điện từ). Trường hợp nhóm M là nhóm SU m ta có số vi tử n = m2 -1, các vi tử là I1, I2,........Im-1 . Do trong Lagrangian tự do luôn chứa số hạng động năng, tức có đạo hàm, nên nó s không b t biến với phép biến đổi đ nh xứ. Đ khôi phục lại tính b t biến c a Lagrangian, nghĩa là tìm đại lượng mới b t biến dưới phép biến đổi chuẩn đ nh xứ, ta làm từng bước như sau. Thay đạo hàm thường   trong Lagrangian tự do bởi đạo hàm hiệp biến và đại lượng thu được gọi là Lagrangian tổng quát D     igAa , (2.3) D i  x     i  x   igAa  x  t a  x   , (2.4) Trong đó A a là trường vector thực có tên gọi là trường chuẩn gaugefield). Từ 2.3 , nếu một trường là đơn tuyến có ta = 0 s không tương tác với trường chuẩn và các trường khác, ngoại trừ có tương tác Yukawa. Từ đ nh nghĩa 2.4 ta th y số trường chuẩn bằng số vi tử c a nhóm: A  a , a = 1,2,...n. Nếu đạo hàm hiệp biến biến đổi như toán tử trường thì Lagrangian tổng quát s b t biến. Vì vậy ta đòi hỏi các trường chuẩn phải biến đổi thế nào đó, sao cho đạo hàm hiệp biến c a trường biến đổi như trường, nghĩa là D  x    D  x    e  a a a D  x  . ,  ig  x t (2.5)
12 Từ đây ta có quy luật biến đổi c a trường chuẩn i A,  x   S  x  A  x  S 1  x   S  x  D S 1  x  . (2.6) g Trong đó n A  x    A a  x  t a , a 1 S  x   e n a a .  ig   x t Thực vậy  ,  x   S  x    x  S  ,  i  S      igA, S   i      igA  Cân bằng hai vế i  A  S  A,  S  S   S. g i A,  S  A S   (  S )S . g Nếu biến đổi chuẩn là cực vi infinitesimal) ( a vô cùng bé ), ta có A, a  A   a  x   gf abcb  x  Ac  x   Aa (2.7) Như vậy khi ta thay đạo hàm hiệp biến vào đạo hàm thường thì kết quả ta thu được là Lagrangian b t biến với biến đổi chuẩn đ nh xứ đồng thời đ nh nghĩa tensor (ten sor gaugefield strength) cường độ chuẩn thông qua công thức 2.8 sau: Fa  D Aa  D Aa    Aa  x    Aa  x   gf bca  x  A b  x  A c  x  . (2.8) Khi đó ta có công thức biến đổi cho F   a Fa ta như sau
13 F   Fa t a    A    A  ig  A A  A A  (2.9) a Ta có th ki m tra th y rằng F,  SF S 1 Như vậy tổ hợp sau là b t biến chuẩn F, Fa Tr  F  x  F   x  ivn. Do vậy, Lagrangian cho trường chuẩn được chọn như sau 1 1 gauge   F a  x  Fa  x    Tr  F  x  F   x  . (2.10) 4 4 Chú ý rằng ch có vết trong (2.10 mới có tính b t biến. Như vậy từ các kết quả trên ta có các nhận xét sau: Ta th y số hạng khối lượng m2 A A không b t biến chuẩn nên các trường chuẩn không có khối lượng. Hơn nữa vì các đại lượng vật lý đo được đều phụ thuộc vào bình phương c a hằng số tương tác g2 nên ta có th tùy chọn d u cua hằng số tương tác có nghĩa là có th thay g bằng –g. Đồng thời ta th y Trường chuẩn là trường vector Theo kết quả hai công thức 2.8) và (2.10) ta d dàng nhậnth y hằng số c u trúc nhóm khác không, có các số hạng tự tương tác self-couplings bậc ba và bốn. Trong các lý thuyết giao hoán như QED, không tồn tại các số hạng này. Trong phép biến đổi b t biến toàn cục global ta ch quan tâm đến kết quả đầu và kết quả cuâi c a phép biến đổi không quan tâm đến quá trình di n ra biến đổi còn phép biến đổi đ a phương thì ngược lại với phép biến đổi toàn cục đó là quan tâm đến quá trình di n ra biến đổi. Sau đây ta có th xét những ví dụ cụ th về lý thuyết trường chuẩn: Điện động lực học lượng tử QED nhóm chuẩn G  U (1)Q . Còn trường vật ch t là trường spinor điện động lực học lượng tử spinor spinor QED
14  ,  x   S  x  ,  ieq  x   ,  x  S  , S  e , Trong đó q là điện tích c a trường  , còn e là hằng số tương tác điện từ. Đạo hàm hiệp biến D  x      x   ieqA  x   x  . (2.11) Lagrangian tự do c a trường Dirac có dạng D o  i ( x)     x   m ( x)  x  . (2.12) Ta thay phép đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến trong 8.18 cho ta Lagrangian toàn phần b t biến ta được D tot  i ( x)  D  x   m ( x)  x   i ( x)     x   m  x   eq   x  A  x  (2.13)  D 0  QED int Trong đó kí hiệu Lagrangian tương tác giữa photon với trường spinor QED int  eq  x     x  A  x  . Ta có tương tác thu được bằng cách thay đổi đạo hàm thường bằng đạo hàm hiệp biến được gọi là tương tác tối thi u minimal interaction). Bây giờ ta xét trường vật ch t là trường vô hướng điện động lực học lượng tử vô hướng scalar QED . Vì Ch có trường vô hướng phức mới tương tác với photon nên ta có  ,  x    ieq  x   x  Trong đó q là điện tích c a trường φ. Ta có đạo hàm hiệp biến D  x      x   ieqA  x    x  (2.14)