Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một số không gian hàm thường gặp

Chia sẻ: Na Na | Ngày: | Loại File: DOCX | Số trang:106

Thêm vào BST

Báo xấu

109
lượt xem 11
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian L^p, nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: "Về một số không gian hàm thường gặp”.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Về một số không gian hàm thường gặp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC 1
Hà Nội 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN VŨ THỊ TUYỂN VỀ MỘT SỐ KHÔNG GIAN HÀM THƯỜNG GẶP Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học Mã số: 60.46.15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS. TS Phan Viết Thư 2
Hà Nội 2014 Mục lục 3
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc của mình tới thầy giáo: PGS. TS Phan Viết Thư, người đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và đóng góp nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn tập thể các thầy cô giáo, các nhà khoa học của trường Đại học Khoa học Tự nhiên – ĐHQG Hà Nội, xin cảm ơn bạn bè đồng nghiệp, cảm ơn gia đình đã giúp đỡ, động viên và tạo điều kiện cho tác giả hoàn thành luận văn này. Trong quá trình hoàn thành luận văn, mặc dù dưới sự chỉ đạo ân cần chu đáo của các thầy cô giáo và bản thân cũng hết sức cố gắng, song không tránh khỏi những hạn chế, thiếu sót. Vì vậy, tác giả rất mong nhận được sự góp ý, giúp đỡ của các thầy cô, các bạn để bản luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Tác giả xin chân thành cảm ơn! Hà Nội ngày 20 tháng 10 năm 2014 Học viên Vũ Thị Tuyển 4
LỜI NÓI ĐẦU Bản luận văn giới thiệu về các không gian hàm . Các không gian là các không gian hàm được định nghĩa thông qua việc sử dụng một chuẩn tổng quát hóa một cách tự nhiên từ chuẩn p của không gian véc tơ hữu hạn chiều (nhiều khi chúng được gọi là các không gian Lebesgue). Theo Bourbaki, chúng được đưa ra đầu tiên bởi Riesz Frigyes (nhà toán học gốc Hungary). Các không gian lập nên một lớp quan trọng của các không gian Banach trong giải tích hàm, không gian véc tơ tô pô, chúng có ứng dụng quan trọng trong vật lí, xác suất thống kê, toán tài chính, kỹ thuật và nhiều lĩnh vực khác. Mặc dù là lớp không gian hàm quan trọng và có nhiều ứng dụng nhưng trong các giáo trình giải tích hàm cũng như lí thuyết độ đo và tích phân cơ bản, các không gian này chưa được mô tả chi tiết. Với mong muốn trình bày các ý tưởng chung cũng như đi sâu nghiên cứu về các không gian , nhằm giúp cho việc sử dụng các không gian này một cách có hệ thống và thuận tiện, tác giả đã chọn đề tài luận văn của mình là: “Về một số không gian hàm thường gặp”. Luận văn được chia thành 3 chương: Chương I: Các kiến thức cơ sở. Chương II: Các không gian hàm. Chương III: Một số dạng hội tụ quan trọng và khả tích đều. Trong chương I, tác giả nêu các khái niệm và các định lí cơ bản của giải tích hàm. Đó là khái niệm về không gian metric, không gian đo với khái niệm về độ đo, hàm đo được cùng với các tính chất hội tụ và khả tích, khái niệm về không gian định chuẩn, các khái niệm trong không gian tô pô. Đây là những kiến thức cơ sở sẽ được sử dụng trong chương II và chương III của luận văn này. Mục đích chính của chương II là thảo luận về các không gian hàm và các tính chất. Điều đặc biệt là ta coi các không gian đó là không gian con của một không gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. Chính vì vậy, các không gian hàm lần lượt được trình bày là không gian , không gian (không gian các hàm đo được khả tích), không gian (không gian các hàm bị chặn cốt yếu), không gian (không gian các hàm số có lũy thừa bậc p của mô đun khả tích trên X). Các không gian này được trình bày một cách hệ thống theo từng nội dung: xây dựng khái niệm, chỉ ra cấu trúc thứ tự, xét chuẩn trong nó, xét tính đối ngẫu, chỉ ra một vài không gian con trù 5
mật quan trọng, áp dụng vào lí thuyết xác suất (xét kì vọng có điều kiện) và cuối cùng luôn là mở rộng cho không gian phức. Trong chương III, tác giả mô tả một số dạng hội tụ quan trọng trong các không gian . Đó là sự hội tụ theo độ đo trong và hội tụ yếu trong . Ngoài ra trong chương này, tác giả cũng chỉ ra các tính chất ổn định trong phạm vi rộng của lớp các tập khả tích đều trong hay . Do thời gian có hạn cũng như việc nắm bắt kiến thức còn hạn chế nên trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót. Rất mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô và sự góp ý chân thành của các bạn đọc. Hà Nội ngày 10 tháng 11 năm 2014 H ọc viên Vũ Thị Tuyển 6
Chương I. Các kiến thức cơ sở 1.1 Không gian metric Định nghĩa 1.1. Giả sử X là một tập khác rỗng, một metric trong X là một ánh xạ các số thực, thỏa mãn các điều kiện: i) ii) iii) Tập hợp X cùng với khoảng cách d đã cho trong X, được gọi là không gian metric, kí hiệu là (X,d). Hàm là một metric trong tập (khoảng cách thông thường). Không gian metric tương ứng gọi là đường thẳng thực. Định nghĩa 1.2. a) Dãy trong không gian metric X gọi là dãy cơ bản nếu: ∀ε > 0, ∃N (ε ), ∀ m, n N d (x m , x n ) < ε suy ra b) Không gian metric X gọi là không gian metic đầy đủ nếu mọi dãy cơ bản của không gian X đều hội tụ đến một phần tử nào đó của không gian này. n C[ a ,b] ﾡ Chẳng hạn, không gian Euclide là không gian đầy đủ. Không gian là không gian đầy đủ. Định nghĩa 1.3. Giả sử E là một tập con của X. Tập hợp tất cả các điểm dính của E, E được gọi là bao đóng của tập hợp E, kí hiệu 7
Định nghĩa 1.4 Giả sử E là một tập con của X. Tập E gọi là: i) Tập đóng nếu tập E chứa tất cả các điểm tụ của nó ii) Tập mở nếu mọi điểm của nó đều là điểm trong. int E Tập hợp tất cả các điểm trong của E gọi là phần trong của E, kí hiệu iii) Tập hợp E được gọi là trù mật trên tập hợp A nếu như bao đóng của E chứa A. Đặc biệt, nếu tập E trù mật trong không gian X thì E gọi là trù mật khắp nơi trong X. 1.2 Không gian đo và Độ đo Định nghĩa 1.5. 1) Cho tập rỗng, một họ các tập con của X được gọi là một σ đại số nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i. và nếu thì trong đó ii. Hợp của đếm được các tập thuộc cũng thuộc . 2) Nếu là σ đại số các tập con của X thì cặp gọi là một không gian đo được (đo được với hoặc đo được) Định nghĩa 1.6. Cho một không gian đo được 1) Một ánh xạ được gọi là một độ đo nếu: i) ii) có tính chất σ – cộng tính, hiểu theo nghĩa: 2) Nếu là một độ đo xác định trên thì bộ ba gọi là một không gian đo. Định nghĩa 1.7. Cho là một không gian đo. Khi đó a) là độ đo đủ, hay là không gian đo đủ (Carathéodory) nếu với mọi và thì nghĩa là mọi tập con bỏ qua được của X là đo được. b) là không gian xác suất nếu Trong trường hợp này, gọi là một xác suất hay độ đo xác suất. c) là độ đo hoàn toàn hữu hạn, hay gọi là không gian đo hoàn toàn hữu hạn nếu 8
d) là độ đo hữu hạn, hay gọi là không gian đo hữu hạn nếu tồn tại dãy sao cho: , e) là độ đo nửa hữu hạn, hay là một không gian đo nửa hữu hạn nếu với mọi và thì tồn tạithỏa mãn và . f) là độ đo khả địa phương hóa, hay là một không gian đo khả địa phương hóa nếu nó là nửa hữu hạn và với mọi , tồn tại một thỏa mãn: (i) là bỏ qua được với mọi (ii) Nếu và là bỏ qua được với mọi thì là bỏ qua được. Sẽ thuận tiện hơn nếu ta gọi tập H như trên là essential suppremum của trên. g) Một tập gọi là một nguyên tử đối với hay nguyên tử nếu và với mỗi tập F thỏa mãn , thì là bỏ qua được. µ* : Σ [ 0, ] P (X) = { A : A X} Định nghĩa 1.8. Một ánh xạ xác định trên được gọi là một độ đo ngoài nếu thỏa mãn các điều kiện µ * (A) �0, ∀ A �Σ i) ii) iii) Nếu thì Định lí 1.1 (Carathéodory). Giả sử là một độ đo ngoài trên X và là lớp tất cả các tập con A của X sao cho: (*) µ = µ* Σ Khi đó là một σ đại số và hàm tập (thu hẹp của trên ) là một độ đo trên Độ đo gọi là độ đo cảm sinh bởi độ đo ngoài . Tập A thỏa mãn điều kiện (*) gọi là tập - đo được. A X Định lí 1.2 (thác triển độ đo). Giả sử m là một độ đo trên đại số . Với mỗi , ta đặt . 9
thì là một độ trên X và đồng thời mọi tập thuộc σ đại số đều đo được. 1.3 Độ đo Lebesgue 1.3.1 Độ đo Lebesgue trên Tồn tại một σ đại số các tập con của mà mỗi gọi là một tập đo được theo Lebesgue (hay (L) – đo được) và một độ đo xác định trên (gọi là độ đo Lebesgue trên ) thỏa mãn các tính chất sau: i) Các khoảng (hiểu theo nghĩa rộng), tập mở, tập đóng … là (L) – đo được. Nếu I là khoảng với đầu mút a, b () thì ii) Tập hữu hạn hoặc đếm được là (L) – đo được và có độ đo Lebesgue bằng 0 iii) Tập là (L) – đo được khi và chỉ khi với mọi tồn tại tập đóng F, tập mở G sao cho , iv) Nếu A là tập (L) – đo được thì các tập cũng là tập (L) – đo được và , v) Độ đo Lebesgue là đủ và σ – hữu hạn. 1.3.2 Độ đo Lebesgue trên Trong không gian Euclid k chiều độ đo m có thể khuếch thành độ đo trên một σ đại số Độ đo này gọi là độ đo Lebesgue trên và các tập hợp thuộc lớp gọi là tập đo k F (C ) được (L) trong chính là σ đại số Borel trong 1.4 Hàm số đo được Định nghĩa 1.9. Cho một không gian X, một σ đại số những tập con của X, và một tập . Một hàm số gọi là đo được trên tập A đối với σ đại số nếu Khi trên σ đại số có một độ đo μ ta nói f(x) đo được đối với độ đo μ hay μ – đo được. Trong trường hợp (σ đại số Borel trong ) thì ta nói f(x) là đo được theo nghĩa Borel, hay f(x) là một hàm số Borel. 10
1.4.1 Cấu trúc của hàm số đo được Định nghĩa 1.10. Cho một tập bất kì A trong không gian X, ta gọi hàm chỉ tiêu của A là hàm số xác định như sau: 0 khi x A χ A (x) = 1 khi x A Định nghĩa 1.11. Một hàm số f(x) gọi là hàm đơn giản nếu nó hữu hạn, đo được và chỉ lấy một số hữu hạn giá trị. Gọi là các giá trị khác nhau của nó và nếu thì các tập đo được, rời nhau và ta có Ngược lại, nếu f(x) có dạng đó và các tập đo được, rời nhau thì f(x) là một hàm đơn giản Định lí 1.3. Mỗi hàm số f(x) đo được trên tập đo được A là giới hạn của một dãy hàm đơn giản , f n (x) 0 f n+1 (x) f n (x) ∀x A Nếu thì có thể chọn các sao cho và với mọi n và 1.4.2 Các dạng hội tụ Định nghĩa 1.12. Trong không gian X bất kì, cho một σ đại số và một độ đo μ trên . Ta nói hai hàm số f(x) và g(x) bằng nhau hầu khắp nơi (h.k.n), viết nếu: và Hai hàm số f(x), g(x) bằng nhau thì gọi là tương đương với nhau. Dĩ nhiên, hai hàm số cùng tương đương với một hàm số thứ ba thì chúng cũng tương đương với nhau. Định lí 1.4. Nếu μ là một độ đo đủ thì mọi hàm số g(x) tương đương với một hàm số đo được f(x) cũng đều đo được. A �Σ Định nghĩa 1.13. Dãy hàm gọi là hôi tụ hầu khắp nơi về hàm số f(x) trên nếu B � A, B �Σ, µ (B) = 0 lim f n (x) = f (x) n ∀x A \ B tồn tại sao cho với mọi Định nghĩa 1.14. Cho những hàm số và f(x) đo được trên một tập A. Ta nói dãy hội tụ theo độ đo μ tới f(x) và viết nếu 11
Giả thiết μ là một độ đo đủ, ta có định lí sau nói về sự liên hệ giữa hội tụ theo độ đo và hội tụ hầu khắp nơi Định lí 1.5. Nếu một dãy đo được trên một tập A hội tụ hầu khắp nơi tới một hàm số f(x) thì f(x) đo được và nếu thì 1.5 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.15. Giả sử E là không gian vec tơ trên trường vô hướng K, các số thực hay các số phức . Hàm xác định trên E gọi là một chuẩn trên E nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau: i) và ii) với mọi iii) Định nghĩa 1.16. Không gian véc tơ E cùng với một chuẩn trên nó là một không gian định chuẩn. Có thể chứng minh không gian định chuẩn E là một không gian metric với khoảng cách sinh bởi chuẩn Chú ý: Ta kí hiệu thay cho và gọi là chuẩn của véc tơ x. Nếu không gian metric này là đầy đủ thì E gọi là không gian Banach. Ví dụ: Không gian các hàm liên tục trên đoạn hữu hạn , kí hiệu là một không gian Banach vì nó là đầy đủ đối với chuẩn: Định lí 1.6 (Hausdorff). Tập con X trong không gian Banach E là compact nếu và chỉ nếu X là đóng và hoàn toàn bị chặn. Định nghĩa 1.17. Không gian định chuẩn E gọi là khả ly nếu E có một tập con đếm được trù mật trong E, nghĩa là tồn tại một dãy sao cho với mọi tồn tại một dãy con Định nghĩa 1.18 Cho X là tập con của không gian định chuẩn E, ta nói X là: i) Tập bị chặn nếu ii) Hoàn toàn bị chặn nếu với mọi tồn tại tập hữu hạn sao cho: iii) Com pắc nếu mọi dãy có một dãy con hội tụ tới một phần tử Nhận xét: a) Tập con hữu hạn thỏa mãn (ii) gọi là một lưới hữu hạn của X b) Dễ chứng minh mọi tập hoàn toàn bị chặn X là bị chặn. 12
Định nghĩa 1.19. Cho X là một không gian vectơ. Một hàm số f(x) xác định trên X và lấy giá trị là số (thực hoặc phức, tùy theo X là không gian thực hoặc phức) gọi là một phiếm hàm trên X. Phiếm hàm đó gọi là tuyến tính nếu: i) với mọi ii) với mọi và mọi số Giả sử X là một không gian định chuẩn, khi ấy, một phiếm hàm tuyến tính f gọi là bị chặn nếu có một hằng số để cho Số nhỏ nhất thỏa mãn đẳng thức trên được gọi là chuẩn của phiếm hàm và kí hiệu là . Dễ dàng chứng minh Trong nhiều vấn đề quan trọng , người ta thường xét không gian định chuẩn lập thành bởi tập hợp tất cả các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X gọi là không gian đối ngẫu (hay còn gọi là không gian liên hợp) của X, và được kí ký hiệu X*. Dễ thấy X* là một không gian vectơ với các phép toán thông thường. Ngoài ra, với mỗi phần tử f thuộc X*, đặt thì X* trở thành một không gian định chuẩn. Hơn nữa X* còn là không gian Banach. Định nghĩa 1.20. Cho là một không gian đo và là một phiếm hàm cộng tính hữu hạn a) được gọi là liên tục tuyệt đối đối với (thường viết ) nếu , tồn tại thỏa mãn với mọi và b) được gọi là thực sự liên tục đối với nếu , tồn tại , thỏa mãn là hữu hạn và với 1.6 Tích phân Lebesgue f :A [− , ] Định nghĩa 1.21. Cho A là tập đo được, là hàm đơn giản, đo được f1 , f 2 , f3 ,..., f n trên A. Gọi là các giá trị khác nhau đôi một của f(x). Đặt Ak = { x �A : f (x) = f k } , k = 1, 2,..., n n A= k =1 và Khi đó tích phân của hàm đơn giản f(x) trên A với độ đo là số 13
Định lí 1.7. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm là hàm đo được. Khi đó, tồn tại dãy đơn điệu tăng các hàm đơn giản đo được hội tụ h.k.n về f(x) trên A. Định nghĩa 1.22. Tích phân của hàm f(x) không âm trên A đối với độ đo là: Định nghĩa 1.23. Cho A là tập đo được Lebesgue, hàm là hàm đo được trên A. Khi đó ta có: với Các hàm số có tích phân tương ứng trên A là , Nếu hiệu có nghĩa thì tích phân của f(x) trên A là : Các định lí sau cho ta các điều kiện qua giới hạn dưới dấu tích phân (đối với tích phân Lebesgue) Định lí 1.8 (định lí hội tụ đơn điệu Beppo Levi). Nếu và đơn điệu tăng đến f(x) trên A thì Định lí 1.9 (định lí Dini). Nếu là dãy hàm liên tục, đơn điệu, hội tụ điểm đến một hàm f(x) liên tục trên thì hội tụ đều đến f(x). Định lí 1.10 (Bổ đề Fatou). Nếu thì Định lí 1.11 (định lí hội tụ bị chặn Lebesgue). Nếu , g(x) khả tích và ( hội tụ h.k.n) hay hội tụ theo độ đo trên A thì 1.7 Không gian tô pô Định nghĩa 1.24. Cho một tập X bất kì. Ta nói một họ những tập con của X là một tô pô (hay xác định một cấu trúc tô pô) trên X nếu: i) Hai tập đều thuộc ii) kín đối với phép giao hữu hạn, nghĩa là giao của một số hữu hạn tập thuộc họ thì cũng thuộc họ đó. iii) kín đối với phép hợp bất kì, nghĩa là hợp của một số bất kì (hữu hạn hoặc vô hạn) tập thuộc họ thì cũng thuộc họ đó. 14
Tập X cùng với một tô pô trên X gọi là không gian tô pô (hay không gian tô pô X). Các tập thuộc họ gọi là tập mở. Định nghĩa 1.25. Cho X, Y là hai không gian tô pô. Một ánh xạ f đi từ X vào Y gọi là liên tục tại nếu với mọi lân cận của điểm đều có một lân cận của điểm sao cho , nghĩa là Ánh xạ f gọi là liên tục nếu nó liên tục tại mọi Hiển nhiên định nghĩa này bao hàm định nghĩa về ánh xạ liên tục từ một không gian metric vào một không gian metric khác. Định lí 1.12. Một ánh xạ f đi từ không gian tô pô X vào không gian tô pô Y là liên tục khi và chỉ khi nó thỏa mãn một trong hai điều kiện sau: (i) Nghịch ảnh của một tập mở (trong Y) là một tập mở (trong X) (ii) Nghịch ảnh của một tập đóng (trong Y) là một tập đóng (trong X) Cho f là một ánh xạ đi từ tập X vào Y. Nếu trên Y cho một tô pô thì do toán tử bảo toàn các phép toán tập nên sẽ là một tô pô trên X. Nếu X vốn đã có sẵn một tô pô thì định lí 1.12 cho biết rằng f là ánh xạ liên tục khi và chỉ khi nghĩa là khi nghịch ảnh của tô pô trên Y (tức ) yếu hơn tô pô trên . Cũng từ đó ta thấy, nếu trên Y có một tô pô mà trên X chưa có tô pô thì có thể biến X thành không gian tô pô bằng cách gán cho nó tô pô đó là tô pô yếu nhất đảm bảo cho sự lien tục của ánh xạ f. Sự hội tụ của dãy điểm trong tô pô được định nghĩa tương tự như trong không gian metric. Tuy nhiên, ở đây cần đưa vào một khái niệm rộng hơn khái niệm dãy hội tụ. Một họ S những tập con không rỗng của một tập X gọi là một lọc trên X nếu: (i) (ii) Bây giờ cho một tô pô X. Ta nói một lọc S trên X hội tụ tới x nếu mỗi lân cận của x đều bao hàm một tập thuộc S. Một ánh xạ f đi từ một không gian tô pô X vào không gian tô pô Y liên tục tại x khi và chỉ khi với mọi lọc ta đều có Chú ý rằng trong không gian metric, giới hạn của một dãy (nếu có) là duy nhất, còn với tô pô thì không nhất thiết. Muốn đảm bảo tính duy nhất của giới hạn ta xét các không gian tô pô đặc biệt, thỏa mãn tiên đề tách sau đây: Với mọi cặp điểm đều có hai lân cận của sao cho Một không gian tôpô thỏa mãn điều kiện đó gọi là không gian Housdorff (không gian tách), tô pô của nó gọi là tô pô Housdoff (tô pô tách). Định lí 1.13. Trong không gian tô pô Housdorff , một lọc chỉ có thể hội tụ tới nhiều nhất một điểm. Định nghĩa 1.26. Một không gian tôpô X gọi là compact nếu mỗi lọc S trên X đều có một lọc mạnh hơn hội tụ. 15
Chương II. Các không gian hàm Mục đích chính của chương này là thảo luận về các không gian , và trong ba mục tương ứng dưới đây. Một điểm thuận lợi là ta coi các không gian đó là các không gian con của một không gian lớn hơn gồm các lớp tương đương của các hàm (hầu như) đo được. 2.1 Không gian và Nguyên tắc gần như đầu tiên của lý thuyết độ đo chính là các tập có độ đo không thường được bỏ qua. Tương tự, hai hàm trùng nhau hầu khắp nơi có thể thường (không luôn luôn!) được xem như là đồng nhất với nhau. Ý tưởng của phần này là thành lập không gian gồm các lớp tương đương của các hàm số, và nói rằng hai hàm số là tương đương nếu và chỉ nếu chúng trùng nhau ngoài một tập bỏ qua được. 2.1.1 Không gian Định nghĩa 2.1. Giả sử là một không gian đo bất kỳ. Ta viết , hay , là không gian của các hàm nhận giá trị thực xác định trên phần bù của các tập con bỏ qua được của , Nghĩa là: Nếu , là tập không thì hạn chế của f trên E, kí hiệu là đo được ( đo được đối với đại số bổ sung theo ) 2.1.2 Tính chất cơ bản Nếu là một không gian đo bất kỳ, khi đó chúng ta có những điều sau đây, tương ứng với những tính chất cơ bản của hàm đo đươc. (a) Một hàm hằng nhận giá trị thực xác định hầu khắp nơi trong thuộc vào (b) với mọi (nếu và , thì là đo được). (c) với mọi . (d) với mọi . (e) Nếu và là Borel đo được, thì . 16
(f) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì . (g) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì . (h) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì . (i) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì . (j) Nếu là một dãy trong và được xác định (như là một hàm nhận giá trị thực) hầu khắp nơi trong , thì . (k) thực chất là tập các hàm nhận giá trị thực, xác định trên các tập con của bằng nhau hầu khắp nơi đối với một hàm đo được từ vào nào đó. 2.1.3 Không gian Định nghĩa 2.2. Giả sử là một không gian đo bất kỳ. Khi đó “ “ là một quan hệ tương đương trên Viết , hoặc là , là tập các lớp tương đương trong dưới quan hệ “ “. Với viết là lớp tương đương trong 2.1.4 Cấu trúc tuyến tính của Giả sử là không gian đo bất kỳ, và đặt , . (a) Nếu và thì . Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép cộng trong bởi cách đặt với tất cả (b) Nếu và thì với mọi . Tương tự chúng ta có thể định nghĩa phép nhân vô hướng trên bởi cách đặt với tất cả (c) là một không gian tuyến tính trên , với phần tử không ở đây là hàm có tập xác định là và nhận giá trị , và phần tử đối Thật vậy (i) với tất cả , vì vậy với tất cả . (ii) với mọi , vì vậy với mọi (iii) với mọi vì vậy với mọi (iv) với mọi 17
vì vậy với mọi (v) với tất cả và vì vậy với mọi và . (vi) với tất cả vì vậy với tất cả (vii) với tất cả vì vậy với tất cả (viii) với tất cả vì vậy với tất cả 2.1.5 Cấu trúc thứ tự của Giả sử là không gian đo bất kỳ và đặt (a) Nếu , và , thì Vì vậy chúng ta có thể xác định một quan hệ trên bằng cách nói rằng nếu và chỉ nếu (b) là một thứ tự một phần trên Thật vậy, nếu và và , thì Tương tự với và Mặt khác, nếu thì do với mọi Cuối cùng, nếu và và thì vì vậy nếu và thì (c) với là một không gian tuyến tính thứ tự một phần, nghĩa là, một không gian tuyến tính với một thứ tự thỏa mãn: (i) nếu thì với mọi (ii) nếu thì với mọi Thật vậy, nếu và thì Nếu và thì với mọi (d) là một không gian Riesz hay dàn véctơ, nghĩa là, một không gian tuyến tính thứ tự một phần thỏa mãn được xác định với tất cả Chứng minh: Lấy sao cho Khi đó , ta viết với (domf là miền xác định của hàm số f). Với bất kỳ, ta có Suy ra với bất kỳ, ta có 18
Do vậy trong (e) Với bất kỳ ta có ; và nếu thì Nếu thì vì vậy với tất cả (f) Nếu là một hàm nhận giá trị thực, đặt với suy ra tất cả các hàm này đều xác định trên Tương tự trong đặt các toán tử và ta có (g) Hiển nhiên, nếu trong tồn tại một trong sao cho Thật vậy lấy bất kỳ sao cho và đặt thì 2.1.6 Các tính chất quan trọng của Định nghĩa 2.3. (a) Một không gian Riesz là Ácsimét nếu với bất kỳ (nghĩa là, và ), có một sao cho (b) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tựđủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác rỗng đếm được bị chặn trên đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong (c) Một không gian Riesz là Dedekind đủ (hay thứ tự đủ, hay đủ) nếu với mọi tập khác rỗng bị chặn trên trong đều có ít nhất một cận trên nhỏ nhất ở trong Định lý 2.1. Giả sử là một không gian đo. Đặt (a) là Ácsimét và Dedekind đủ. (b) Nếu là nửahữu hạn, thì là Dedekind đủ nếu và chỉ nếu là khả địa phương hóa. Chứng minh: Đặt (a) (i) Nếu và , viết như là và như là trong đó Khi đó là không bỏ qua được. Khi đó tồn tại sao cho là không bỏ qua được, vì Mặt khác Vì và là tùy ý nên là Ácsimét . (ii) Giả sử là một tập khác rỗng đếm được có một cận trên trong Viết như là trong đó là một dãy trong và như là trong đó Đặt . Khi đó ta có xác định trên tại 19
điểm bất kỳ sao cho với mọi nghĩa là, với hầu hết ; vì vậy Đặt Nếu , lấy trong đó khi đó với mọi với mỗi với hầu hết với mỗi Do vậy trong Vì A là bất kỳ, là Dedekind đủ. (b) (i) Giả sử rằng là địa phương hóa. là một tập khác rỗng bất kỳ có cận trên Đặt là một hàm đo được từ X vào , khi đó mọi phần tử của có dạng với nào đó. Với mỗi là họ các tập con của X có thể biểu diễn dưới dạng với nào đó; khi đó Do là địa phương hóa nên có một tập là một cận trên đúng chủ yếu cho Với đặt chấp nhận là cận trên đúng của một tập bị chặn trên, và là . Khi đó với mỗi Nếu , thì . Thật vậy với mỗi đặt thì là bỏ qua được. Đặt Nếu , thì suy ra và do vậy Nếu là đo được và với mỗi thì Đặt với mỗi Nếu , có một sao cho bây giờ , vì vậy là bỏ qua được. Vì là một cận trên đúng cốt yếu của nên là bỏ qua được với mỗi . Dẫn đến là bỏ qua được, và Chú ý rằng chúng ta đang giả sử A khác rỗng và A có một cận trên Lấy bất kỳ và một hàm đo được sao cho ; khi đó với mỗi , vì vậy , và phải hữu hạn hầu khắp nơi. Đặt khi ta có và vì vậy Trong đó là các hàm đo được từ và là một cận trên của ; nghĩa là, với và là một cận trên của . 20