Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học, quang học hạt nhân phát triển mạnh cho phép ta mở rộng nghiên cứu cấu trúc của tinh thể. Tính hiệu quả lớn của phương pháp nhiễu xạ nơtron được xác định bởi bản chất tự nhiên của nơtron như một hạt cơ bản. Trong luận văn này tác giả nghiên cứu vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Thị Thu Hà VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC Chuyên ngành: Vật lý lý thuyết và vật lý toán Mã số : 60.44.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Nguyễn Đình Dũng Hà Nội - 2011
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN --------------------- Phạm Thị Thu Hà VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TRONG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2011
MỤC LỤC MỞ ĐẦU……………………………………………………………….....................1 CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ……………………………………………………………...………..............…3 1.1.Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ………………………....…3 1.2.Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể…………….......………....7 1.2.1.Yếu tố ma trận tương tác hạt nhân…………………...………...7 1.2.2.Yếu tố ma trận của tương tác từ..................................................8 CHƢƠNG 2: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ PHÂN CỰC…………………………………………………………..............13 CHƢƠNG 3: TIẾT DIỆN TÁN XẠ TỪ CỦA NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC…………………....................22 3.1.Cơ sở lý thuyết về cấu trúc từ xoắn đinh ốc……………………...….…22 3.2.Tiết diện tán xạ từ vi phân của các nơtron phân cực trong tinh thể cấu trúc từ xoắn đinh ốc…………………………………………………...........26 CHƢƠNG 4: VECTOR PHÂN CỰC CỦA NƠTRON TÁN XẠ TỪ TRONG TINH THỂ CÓ CẤU TRÚC TỪ XOẮN ĐINH ỐC...............................…………............28 4.1. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể phân cực...............28 4.2. Véc tơ phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc............................................................................................................29 KẾT LUẬN……………………………………………………………….......……31 TÀI LIỆU THAM KHẢO………………………………………………….............32
MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, cùng với sự phát triển của khoa học, quang học hạt nhân phát triển mạnh cho phép ta mở rộng nghiên cứu cấu trúc của tinh thể. Tính hiệu quả lớn của phương pháp nhiễu xạ nơtron được xác định bởi bản chất tự nhiên của nơtron như một hạt cơ bản. Các nơtron chậm (nơtron có năng lượng nhỏ hơn 1MeV) là một công cụ độc đáo để nghiên cứu động học của các nguyên tử vật chất và các cấu trúc từ của chúng [19, 20, 21, 22] Hiện nay, để nghiên cứu các tính chất tinh thể, phương pháp quang học hạt nhân đã được sử dụng rộng rãi. Khi nghiên cứu các hạt nhân của vật chất phân cực thì việc nghiên cứu trạng thái phân cực của chùm nơtron tán xạ cho ta rất nhiều thông tin quan trọng về quá trình vật lý, ví dụ như sự tiến động của hạt nhân của spin của nơtron trong các bia có các hạt nhân phân cực,…[18, 19] Các nghiên cứu và tính toán về tán xạ không đàn hồi của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực cho phép chúng ta nhận được các thông tin quan trọng về tiết diện tán xạ của các nơtron chậm trong tinh thể phân cực, hàm tương quan spin của các hạt nhân [22, 23]…. Ngoài các vấn đề về nhiễu xạ bề mặt của các nơtron trong tinh thể phân cực đặt trong trường ngoài biến thiên tuần hoàn và tán xạ của các nơtron phân cực trong tinh thể có sự bức xạ và hấp thụ magnon cũng đã được nghiên cứu [8,9,12,16] Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu vector phân cực của nơtron tán xạ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc. Sử dụng phương pháp toán lý và lý thuyết tán xạ của cơ học lượng tử để nghiên cứu đề tài. Một phần kết quả của luận văn đã được báo cáo tại hội nghị vật lý lý thuyết toàn quốc lần thứ 36 tổ chức tại thành phố Quy Nhơn tháng 8 năm 2011. Nội dung luận văn được trình bày trong 4 chương: 1
Chương 1: Lý thuyết tán xạ của nơtron chậm trong tinh thể. Chương 2: Tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể phân cực Chương 3: Tiết diện tán xạ từ của các nơtron phân cực trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc. Chương 4: Vector phân cực của nơtron tán xạ từ trong tinh thể có cấu trúc từ xoắn đinh ốc. 2
CHƢƠNG 1: LÝ THUYẾT TÁN XẠ CỦA NƠTRON CHẬM TRONG TINH THỂ 1.1. Hình thức luận thời gian của lý thuyết tán xạ Hiện tượng: Dùng 1 chùm hạt nơtron chậm phân cực bắn vào bia (năng lượng cỡ dưới 1 MeV và không đủ để tạo ra quá trình sinh huỷ hạt), nhờ tính chất trung hoà về điện, đồng thời moment lưỡng cực điện vô cùng nhỏ (gần bằng 0) nên nơtron không tham gia tương tác điện, dẫn đến độ xuyên sâu của chùm nơtron vào tinh thể là lớn và bức tranh giao thoa của sóng tán xạ sẽ cho ta thông tin về cấu trúc tinh thể và cấu trúc từ của bia. Một chùm hạt nơtron phân cực khi đi vào trong tinh thể sẽ chịu tác dụng của tương tác hạt nhân, tương tác trao đổi spin và tương tác từ gây ra bởi sự phân cực của chùm nơtron và sự chuyển động của các electron, cả electron tự do lẫn electron không kết cặp trong bia tinh thể. Để tính toán tiết diện tán xạ một cách thuận tiện ta đưa vào hình thức luận thời gian. Giả sử ban đầu hạt nhân bia được mô tả bởi hàm sóng n , là hàm riêng của toán tử Hamilton của bia: H n  En n (1.1) Sau khi tương tác với nơtron sẽ chuyển sang trạng thái n ' . Còn nơtron có thể thay đổi xung lượng và spin của nó. Giả sử, ban đầu trạng thái của nơtron được  mô tả bởi hàm sóng p . Ta đi xác định xác suất mà trong đó nơtron sau khi tương  tác với hạt nhân bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' và hạt bia chuyển sang trạng thái n' . 3
Xác suất Wn ' p ' np của quá trình đó được tính theo lý thuyết nhiễu loạn trong gần đúng bậc nhất sẽ bằng [2]: 2   En  E p  En '  E p '    2 Wn ' p '|np  n ' p ' V np (1.2)  Trong đó: V là toán tử tương tác của nơtron với hạt nhân bia. En , E p , En ' , E p ' là các năng lượng tương ứng của hạt nhân bia và nơtron trước và sau khi tán xạ.   En  E p  En '  E p '  - hàm delta Dirac.  i     En  E p  En '  E p '   1  En  E p  En '  E p ' t 2   e  dt (1.3) Chúng ta quan tâm tới xác suất toàn phần Wp ' p của quá trình trong đó nơtron  sau khi tương tác với bia sẽ chuyển sang trạng thái p ' , nó nhận được bằng cách tổng hóa các xác suất Wn ' p ' np theo các trạng thái cuối của bia và lấy trung bình theo các trạng thái đầu. Bởi vì bia không luôn ở trạng thái cố định do đó ta phải tổng quát hóa đối với trường hợp khi nó ở trong trạng thái hỗn tạp với xác suất của trạng thái n là  n . Theo đó ta có: 2   En  E p  En '  E p '     2 Wp '| p  n n ' p ' V np  nn ' 2    En  E p  En '  E p '  2  n n ' Vp ' p n (1.4)  nn ' 4
Ở đây chúng ta đưa vào kí hiệu hỗn hợp để cho các yếu tố ma trận:   n ' p ' V np  n ' Vp ' p n (1.5) Như vậy là các yếu tố ma trận của toán tử tương tác của nơtron với hạt bia lấy theo các trạng thái của nơtron và V p ' p là toán tử tương đối với các biến số hạt bia. Thay phương trình (1.3) vào (1.4) ta được:  1 i  E p '  E p t i  En '  En t dt  nn ' n ' Vp ' p n * Wp '| p  2   e nn ' n ' Vp ' p n e  (1.6) En , En' là các trị riêng của toán tử Hamilton H với các hàm riêng là n , n ' , từ đó ta viết lại trong biểu diễn Heisenberg: i  En '  En t n ' Vp ' p n e   n ' Vp ' p  t  n (1.7) i i  Ht Ở đây: Vp ' p  t   e  Vp ' p e Ht  là biểu diễn Heisenberg của toán tử V p ' p với toán tử Hamilton. Thay (1.7) vào (1.6), chú ý rằng trong trường hợp này ta không quan tâm tới sự khác nhau của hạt bia trước và hạt bia sau tương tác, vì vậy công thức lấy tổng theo n’, n chính là vết của chúng và được viết lại:  1 i  E p '  E p t Wp '| p  2  e dt  nn ' n ' Vp' pVp ' p  t  n   nn '  i  E p '  E p t Sp Vp' pVp ' p  t  1  2   dte  (1.8) 5
Ở biểu thức cuối, biểu thức dưới dấu vết có chứa toán tử thống kê của bia  , các phần tử đường chéo của ma trận của nó chính là xác suất  n . Theo qui luật phân bố Gibbs nếu hạt bia nằm ở trạng thái cân bằng nhiệt động ta có hàm phân bố trạng thái là: e  H  Sp e  H  1 Với:   k zT k z - hằng số Boltmann T - Nhiệt độ Giá trị trung bình thống kê của đại lượng vật lý được tính theo các hàm phân bố là [1]: Sp e  H A A   n A  (1.9) n Sp e  H  Kết hợp (1.8) và (1.9) ta được: 1  i  E p '  E p t Sp Vp' pVp ' p  t   1  i   H    E p '  E p t Sp e Vp ' pVp ' p  t  Wp '| p  2   dte  2   dte  Sp e  H   1 i  E p '  E p t   dte  Vp' pVp ' p  t  (1.10) 2  Nếu chuẩn hóa hàm sóng của nơtron trên hàm đơn vị ( trên hàm  ) thì tiết diện tán xạ hiệu dụng được tính trên một đơn vị góc cầu và một khoảng đơn vị năng d 2 lượng , sẽ liên quan tới xác suất này bởi biểu thức sau: d dE 6
 d 2 m2 p ' m2 p' i  E p '  E p t   W p '| p   dte  Vp ' pVp ' p  t  (1.11) d dE p '  2   p 3  2   p  3 5 Gạch trên đầu là trung bình theo các trạng thái spin của nơtron trong chùm các nơtron ban đầu và tổng hóa các trạng theo các trạng thái spin trong chùm tán xạ m - khối lượng nơtron Trong công thức (1.11) đưa vào toán tử mật độ spin của nơtron tới  và sử dụng công thức: L  Sp  L (1.12) Do đó dạng tường minh của công thức (1.11) được viết lại là:  d 2 m2 i  E p '  E p t Sp  Vp' pVp ' p  t  p'  d dE p '  2   p  3 5  dte  (1.13) 1.2. Thế tƣơng tác của nơtron chậm trong tinh thể Tán xạ của nơtron chậm khi đi vào mạng tinh thể sẽ chịu tác động của tương tác hạt nhân và tương tác từ. 1.2.1. Yếu tố ma trận của tương tác hạt nhân Ta xây dựng thế hạt nhân của nơtron và hạt nhân bia dưới dạng sau:    V (rn)   (rn  R) (1.14) Trong đó 7
1    A  B( sJ ) (1.15) 2  rn - vị trí của nơtron  R - Vị trí của hạt nhân A, B - là các hằng số  J - Spin của hạt nhân  s - Spin của nơtron Do đó thế tương tác của nơtron với hạt nhân thứ l là:    Vl (rn )   (rn  Rl ) (1.16) Lấy tổng công thức (1.16) theo l từ 1 đến số hạt nhân trong bia ta sẽ tìm được thế tương tác của nơtron với toàn bộ bia: N   V    l (rn  Rl ) (1.17) l 1 Các yếu tố ma trận V p ' p thuộc toán tử tương tác hạt nhân V từ xung lượng   p đến p ' được ghi nhận trên cơ sở (1.16) có dạng:    Vp ' p  l ei ( p  p ') Rl (1.18) l 1.2.2. Yếu tố ma trận của tương tác từ. Tương tác từ của nơtron với tinh thể có thể hiểu như tương tác của từ trường được sinh bởi nơtron với các dòng điện của điện tử (các điện tử này là các điện tử của các đám mây điện tử không kín của nguyên tử). Toán tử năng lượng của tương tác dạng này có thể được biết dưới dạng [20, 9]: 8
1     V    A  rl  j  rl   (1.19) l c      n   rl  rn   Ở đó: An  rl     3 là vector thế của trường ở điểm rl được sinh bởi rl  rn  nơtron nằm ở điểm rn .   n  2nuc sn là mô men từ của nơtron,   1,913 là đại lượng mô men từ của nơtron trong Manheton hạt nhân.   j  rl  là dòng điện được sinh bởi điện tử thứ l (dấu tổng trong công thức1.19 được lấy tổng theo tất cả các điện tử không liên kết cặp của tinh thể). Chúng ta đi tính yếu tố ma trận giữa các trạng thái của nơtron với các xung   lượng p và p ' với các trạng thái của bia (tinh thể)  a và  a ta có: '     r  r  1     i p  p r     a    n  l 3 n  a*' j  rl  a e drn  d  ' ' n a Vp ' p (1.20) l rl  rn c Tính tích phân theo ( d ) lấy dọc theo các tọa độ của tất cả điện tử chứa trong công thức (1.19). Như chúng ta đã biết các yếu tố ma trận của dòng điện bằng: 1 *   a ' j  rl  a  i0  al a*'  a*'l a   20 rotl  a*' sl a   (1.21) c  e Trong đó: sl là toán tử spin của điện tử thứ l , 0  là Manheton Bohr 2me c Số hạng đầu vế phải của công thức (1.21) mô tả dòng điện gây bởi chuyển động quỹ đạo của các điện tử. Số hạng thứ hai vế phải của (1.21) mô tả phần spin của dòng điện . 9
Trước mắt chúng ta chỉ xem xét phần spin của dòng điện. Thay số hạng thứ    hai trong (1.21) vào (1.20) và đưa vào tọa độ tương đối rl  rn  R . Biểu diễn biểu thức để cho yếu tố ma trận (1.20) dưới dạng:    eiqR R   a ' V  a     n   dR   20eiqrl rotl  a*' sl a  drl      p' p 3 (1.22) l  R     Ở đó: q  p  p' là vector tán xạ của nơtron. Ta đã có [20]:     RdR eiqR 4 iq  R3   q 2 Và rotl  a*' sl a  drl  iq   eiqrl a*' sl a drl        e iqrl Thay vào biểu thức (1.22) ta được: 4 2           a ' Vp ' p a   r0   a '  eiqrl sl a  , sn   esn  e  (1.23) m  l   Biểu thức trong dấu ngoặc tròn là tích vô hướng của các vector.  e2 r0  là vector bán kính điện từ của electron m0 c 2   q e  là vector tán xạ đơn vị. q Trong biểu thức (1.23) các biến số spin của nơtron và của bia (tinh thể) được tách riêng. Sự đơn giản hóa tiếp theo có thể đạt được nếu ta phân tách tổng theo l thành tổng hóa theo các điện tử của từng nguyên tử   và tổng theo tất cả các nguyên tử của bia j .Chúng ta chỉ xem xét tán xạ từ khi trạng thái của mạng không thay đổi, còn trạng thái a được chọn bởi tập hợp các hình chiếu của spin để cho các nguyên tử. 10
Trong trường hợp này có thể viết:     N iqR zj  iqrl       a ' e s a    e  a '  eiqr s a  (1.24) j  l  j    l   Ở đó z j là số các điện tử trong đám mây không lấp đầy của nguyên tử thứ j . Đối với các nơtron chậm chúng ta chú ý rằng các nơtron này không gây ra các phép chuyển các nguyên tử vào các trạng thái năng lượng kích thích mà chỉ làm thay đổi sự định hướng spin của nguyên tử. Như vậy phép chuyển từ a sang a ' có dạng  m sang  m ' . Ở đó m, m ' là tập được chọn các số lượng tử spin để cho các nguyên tử của bia (tinh thể) còn  là tập hợp các số lượng tử còn lại của nguyên tử. Từ định lý tổng quát của cơ học lượng tử ta suy ra rằng yếu tố ma trận trong trường hợp cụ thể này có thể được biểu diễn dưới dạng:       z j iqr    z j eiqr s S      a '  e s a   m ' S j m  m   j   m (1.25) j  j       S S  1     Với  zj  S j   s là toán tử spin của nguyên tử thứ j .  S j là đại lượng spin của nguyên tử thứ j . Biểu thức:            z j eiqr s S  z j eiqr s S  Fj  q     m   m    *j   j  j  j d j (1.26)   S j  S j  1   S j  S j  1   Trong đó  j là hàm sóng của điện tử của nguyên tử thứ j . ( d j là yếu tố thể tích trong không gian phân bố của điện tử của nguyên tử thứ j ), không phụ thuộc 11
vào số lượng tử m có nghĩa là không phụ thuộc vào sự định hướng của spin của các nguyên tử và coi chúng như là đặc trưng khả năng tán xạ của nguyên tử.  Đại lượng này ( Fj  q  ) được gọi là Form-factor từ của nguyên tử (chính xác hơn  nên gọi nó là Form-factor spin). Fj  q  đặc trưng cho sự phân bố của mật độ spin trong nguyên tử.  Khi z j =1 thì Form - factor từ nguyên tử Fj  q  đơn giản chỉ là biểu diễn thành phần Fourier của mật độ spin.  Khi z j >1 công thức (1.26) dễ dàng được biến đổi chúng ta sẽ kí hiệu    r   và    r  là các hàm sóng của điện tử ở lớp không lấp đầy là +1/2 và -1/2 (tương  ứng với hướng spin trong nguyên tử S j ). Tạo từ các hàm này các tổ hợp phản đối xứng để cho các lớp không lấp đầy của nguyên tử sao cho nó mô tả trạng thái với   spin tổng cộng S, và đặt nó vào  j ở (1.26). coi các giá trị riêng của toán tử  s S  là S/2, khi đó spin của điện tử thứ  cộng với spin của nguyên tử và -(S+1)/2 thì thay vào công thức (1.26) ta nhận được biểu thức sau đối với Form-factor spin: eiqr  N  |   r  |2  N  |    r  |2  dr  1     F q    (1.26') 2S N  , N _ là các điện tử trong nguyên tử với spin tương ứng với spin tương ứng là +1/2 và -1/2.  Như vậy hàm điện tử    r  được giả định là đã được chuẩn hóa từ (1.26') chúng ta có thể cho q = 0: 1 F  0   N  N   1 2S Do vậy hiển nhiên ta có: N   N   2S . Biểu thức cuối cùng có thể suy ra trực tiếp từ (1.26). Biểu thức (1.26') cho phép ta thu được ý nghĩa đơn giản của Form-factor spin  Fj  q  như thành phần Fourier của mật độ spin nguyên tử. bây giờ quay về (1.23) ta 12
thấy rằng các phép biến đổi (1.24) và (1.25) cho phép biểu diễn yếu tố ma trận    (1.20) qua các yếu tố ma trận m ' S j m của các toán tử spin của các nguyên tử riêng rẽ của bia (tinh thể). Kết hợp biểu thức (1.23) đến (1.26) ta sẽ nhận được biểu thức cho toán tử của tương tác từ: 4 2       iqR   Vp ' p   r0  Fj (q )e j  S j , sn  (esn )e (1.27) m j Như vậy khi xét bài toán của một chùm nơtron chậm không phân cực tán xạ trong tinh thể, ngoài tương tác hạt nhân chúng còn tương tác từ. Do đó trong biểu thức tiết diện tán xạ vi phân sẽ gồm đóng góp hai phần được đặc trưng bởi hai loại tương tác ở trên: d 2 d 2 n d 2 m   (1.28) d dE p ' d dE p ' d dE p ' Thay các biểu thức thế ở (1.18) và (1.27vào (1.11) chúng ta tìm được dạng tường minh của các số hạng trong (1.28):  d 2 n m2 p' i ( E p '  E p )t      l l ' d dE p ' (2 )  p ll ' 3 5  e eiqRl (0) eiqRl ' ( t ) dt (1.29)  Và: d 2 m p'     (r0 )2   Fj (q ) Fj ' (q ) (  e e )  d dE p ' p jj '   1  i ( E p '  E p )t    2    iqR j (0) iqR j ' ( t )  dte  S j (0)e e S j ' (t )  (1.30)   Với: 1  s  ( se)e   s   (se)e    (  e e ) (1.31) 4  ,   x, y, z  13
CHƢƠNG 2: TÁN XẠ TỪ CỦA CÁC NƠTRON PHÂN CỰC TRONG TINH THỂ PHÂN CỰC Ở đây ta chỉ xét đối với những nơtron chậm, lạnh và quan tâm đến tương tác từ của chúng với tinh thể (bia). Biểu thức đối với tiết diện tán xạ từ vi phân có dạng như sau [18]:  d 2   i m2 p' ( Ep ' Ep )r  d dE p ' (2 )  p  3 5  dte  Sp  e Vp' pVp ' p (t ) (2.1) Trong đó :   : ma trận mật độ spin của nơtron Trạng thái phân cực của chùm nơtron tới được cho bởi ma trận mật độ spin: 1      ( I  p0 ) (2.2) 2 1  Trong đó:  là toán tử spin của nơtron 2   p0  Sp(   ) là vector phân cực của nơtron I là ma trận đơn vị Các thành phần của ma trận Pauli thỏa mãn các hệ thức sau:         2i    (2.3)         2 Chúng ta cần nhấn mạnh một điều là biểu thức (2.2) có dạng tổng quát để 1 cho chùm hạt có các spin là . Điều này chỉ có thể suy ra trực tiếp từ các tính chất 2 14
của các ma trận Pauli. Rõ ràng rằng khi tính tiết diện tán xạ của các nơtron đòi hỏi các biểu thức để cho vết các tích khác nhau của ma trận Pauli. Từ các hệ thức giao hoán (2.3) ta dễ dàng tính được biểu thức các biểu thức cần thiết: 1 SpI  1 2 1 Sp (  )  0 2 1 Sp (    )   (2.4) 2 1 Sp (      )  i  2 1 Sp (        )              2  xyz : Ten xơ hoàn toàn phản đối xứng Biểu thức của tiết diện tán xạ từ vi phân có dạng (2.1).Chúng ta chỉ xem xét đến khả năng tương tác từ. Thế đặc trưng cho tương tác này cho bởi biểu thức: 4 2 1   iqR     Vp ' p   r0  Fj (q )e j  (S j ,   (e )e ) (2.5) m 2 j Từ công thức (2.5) ta dễ dàng tìm được V p' p và Vp ' p (t ) trong biểu diễn Heisenberg 2 2   iqR     là: Vp' p   r0  Fj (q )e j  (S j ,   (e )e ) (2.6) m j Ht  2         i Ht i 2   iqR Vp ' p (t )  e   r0  Fj (q )e j  (S j ,   (e )e )  e  (2.7)  m j  Như chúng ta thấy từ (2.1) và (2.2) tất cả các bài toán về tán xạ của các nơtron phân cực trong các tinh thể từ dẫn đến việc cần thiết phải đi tính các vết của toán tử:     L j  (S j ,   (e )e ) (2.8) 15
Trong tích với toán tử khác và với các ma trận Pauli, kết quả của tính toán đó  được biểu diễn dưới dạng của biểu thức (2.10), trong đó M j là:     M j  (S j  (eS j )e ) (2.9) Như vậy chúng ta sẽ chứng minh một số công thức (2.10) dưới đây, để tính tiết diện tán xạ: Công thức (1): 1   Sp  L  M 2 CM: 1 2  1        Sp( L)  Sp  S ,   (e )e 2       1 2  Sp  S   S  e  e )    L    S       S  (e   )e     S        e  e S    1 2 1 2  Sp(  L )  Sp   S         e  e S      S    e  e S    S   e (e  S  )      S  e (eS )  M Công thức (2): 16
 1 2  Sp ( p ) L  Mp   CM:  p   S ,  e  e  ;   Sp  p  L  Sp 1 1 2 2 ( p  ) L  ( p  )( S     S  (e   )e )     S        e S   e S   p   1 2 Sp  p   L      S    e (e  S  )  p    S   e (e S  )  p           S  e (eS )  p  M p   Công thức (3): 1     Sp ( p ) L  i  M  p  2 CM: 1 2         Sp  p   L  Sp ( p ) S ,   (e )e 1 2     p       L   p     S     S   e    e        S  p       e  S  e  p   Sp  p   L  i  S  p  i  e (e S  ) p 1  2       i  S  e ( Se )  p        i  M  p  Công thức (4): 17