Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:78

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn tiến hành nghiên cứu với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiện nay.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Khoa học: Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2014
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ------------------- BÙI TRỌNG NGUYỆN XÂY DỰNG MỘT SỐ BẤT ĐẲNG THỨC SƠ CẤP DỰA TRÊN BẤT ĐẲNG THỨC BERNOULLI Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - Năm 2014
MỞ ĐẦU Toán học là một môn khoa học đóng vai trò rất quan trọng trong các ngành khoa học. Trong đó, bất đẳng thức là một trong những mảng kiến thức hay và thú vị nhất của toán học đặc biệt của toán sơ cấp. Việc nghiên cứu về bất đẳng thức giúp tăng cường tính sáng tạo, khả năng giải quyết vấn đề và phát triển tư duy. Lý thuyết cũng như các bài tập về bất đẳng thức rất phong phú và đa dạng. Trong hầu hết các kì thi học sinh giỏi toán, các bất đẳng thức đều được đề cập và thuộc loại toán khó hoặc rất khó. Nhiều bất đẳng thức đã trở thành công cụ đắc lực để giải quyết các bài toán đó như bất đẳng thức Cauchy, Bunhiacopxki, Jensen… trong khi đó bất đẳng thức Bernoulli thường ít được quan tâm. Là một người cũng rất say mê bất đẳng thức sơ cấp nhưng tác giả cũng biết không nhiều về bất đẳng thức này. Vì vậy, tác giả đã lựa chọn đề tài "Xây dựng một số bất đẳng thức sơ cấp dựa trên bất đẳng thức Bernoulli" với mong muốn tìm ra nhiều vẻ đẹp của bất đẳng thức này để có cái nhìn tổng quan và đầy đủ hơn về bất đẳng thức sơ cấp cũng như để cung cấp thêm một tài liệu tham khảo bổ ích về toán học trong các trường THPT hiện nay. Với ý nghĩa đó trong quá trình làm luận văn, tác giả đã xây dựng và lựa chọn các bài toán hay nhằm làm nổi bật lên mặt mạnh của bất đẳng thức Bernoulli. Luận văn được chia thành ba chương. Chương 1. Bất đẳng thức Bernoulli. Trong chương này tác giả trình bày về bất đẳng thức Bernoulli và các dạng phát biểu khác cùng một số ví dụ thể hiện các kỹ thuật cơ bản của bất đẳng thức Bernoulli. Chương 2. Một số bất đẳng thức được xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli. Tác giả trình bày ý tưởng xây dựng bài toán từ bất đẳng thức Bernoulli thông qua các ví dụ cụ thể. Từ đó trình bày hệ thống bài tập. 1
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng chắc chắn nội dung được trình bày trong luận văn không tránh khỏi thiếu sót, em mong muốn nhận được sự góp ý của các thầy cô giáo và các bạn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn chỉ bảo của thầy PGS.TS. Nguyễn Minh Tuấn. Em xin chân thành cảm ơn thầy về sự giúp đỡ nhiệt tình từ khi xây dựng đề cương, viết và hoàn thành luận văn. Em xin chân thành cảm ơn khoa Toán-Cơ-Tin học, trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên, ĐHQG Hà Nội, nơi em đã nhận được sự chỉ bảo tận tình của các thầy cô để có một học vấn sau đại học căn bản. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô phản biện đã đọc và góp những ý kiến quý báu để em hoàn thiện hơn luận văn của mình. Em xin chân thành cảm ơn trường THPT Trưng Vương, Hưng Yên, nơi em công tác, đã tạo điều kiện cho em đi học hoàn thành chương trình. Cuối cùng, em xin gửi lời chúc đến tất cả các thầy các cô, kính chúc thầy cô luôn luôn mạnh khỏe và hạnh phúc. Chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 01 tháng 10 năm 2014 Người thực hiện Bùi Trọng Nguyện 2
MỤC LỤC Trang Chƣơng 1 Bất đẳng thức Bernoulli 4 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli 4 1.2. Một số ví dụ 6 1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa 6 1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi 18 Chƣơng 2 Một số bất đẳng thức đƣợc xây dựng dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28 2.1. Xây dựng một số hàm đơn điệu dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 28 2.2. Phát triển một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức Bernoulli 40 2.3. Xây dựng một số bất đẳng thức dựa trên bất đẳng thức 2  1  2 51 2.3.1. Một số bài toán trong tam giác 52 2.3.2. Một số bài toán trong lượng giác 59 2.4. Về bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.1. Sử dụng bất đẳng thức Bernoulli để chứng minh bất đẳng thức AM-GM suy rộng 61 2.4.2. Xây dựng lại một số bất đẳng thức cổ điển 64 2.4.3. Một số bài toán khác 70 3
Chƣơng 1 Bất đẳng thức Bernoulli 1.1. Bất đẳng thức Bernoulli Jacob Bernoulli (1654-1705) là nhà toán học nổi tiếng người Thụy Sĩ. Bất đẳng thức Bernoulli được dạy trong trường phổ thông mang tên này để vinh danh ông. Bất đẳng thức Bernoulli cho phép tính gần đúng lũy thừa của (1+x), được phát biểu như sau. Định lí 1.1 1. Nếu α là một số thực thỏa mãn   1 thì 1  x    1  .x , với mọi x  1. (1.1) Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc   1. 2. Nếu α là một số thực thỏa mãn 0    1 thì 1  x    1  .x , với mọi x  1. Đẳng thức xảy ra khi x=0 hoặc   1. Chứng minh. 1. Chỉ cần xét   1, vì khi   1 thì (1.1) trở thành đẳng thức. Xét hàm số f (x)  1  x   .x  1 trên khoảng (1; ). Ta có đạo hàm  f '(x)   1  x      1  x   1  0. 1 1   Ta suy ra x  0. Từ đó, ta có bảng biến thiên sau x -1 0  f ' (x)  0  f(x) f(0) 4
Theo bảng biến thiên của hàm số, ta suy ra f (x)  f (0)  0, hay 1  x   1  .x với mọi x  1.  1 2. Xét   1. Khi đó  1. Áp dụng kết quả trên, ta có  1 1 1  .x    1  .(x)  1  x.  Ta suy ra 1  .x  1  x  .  Vậy 1  x    1  .x với mọi x  1. Định lí được chứng minh. Định lí 1.2 1. Nếu  là một số thực thỏa mãn   1 thì a     1  .a , với mọi a  0. (1.2) Đẳng thức xảy ra khi a  1 hoặc   1. 2. Nếu  là một số thực thỏa mãn 0    1 thì a     1  .a , với mọi a  0. Đẳng thức xảy ra khi a  1 hoặc   1. Chứng minh. Từ bất đẳng thức trong Định lí 1.1, ta chỉ cần đặt a  1  x. Khi đó a  (0; ). Định lí 1.3 Cho hai số thực ,  thỏa mãn     0. Khi đó   x   1  .x  , với mọi x  0. (1.3)   Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  1. Để sử dụng bất đẳng thức Bernoulli cho trường hợp đảm bảo chắc chắn rằng đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  x 0 , với x 0 là một số dương cho trước, ta chỉ cần thay bởi bất đẳng thức trong định lý sau đây. 5
Định lí 1.4 Giả sử cho trước x 0 >0 và cặp số  ,   thỏa mãn điều kiện     0 . Khi đó    x    x      1  .  , với mọi x  0. (1.4)  x0     x0  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x  x 0 . 1.2. Một số ví dụ 1.2.1. Kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa. Các dạng toán đặc trưng của bất đẳng thức Bernoulli rất dễ nhận ra vì đó là bất đẳng thức với những số mũ vô tỉ dương hay sự chuyển đổi số mũ vô tỉ. Kỹ thuật chủ yếu để xử lí dạng toán đó là kỹ thuật đánh giá qua chênh lệch lũy thừa. Xét các ví dụ điển hình sau đây. Ví dụ 1.2.1. Giả sử a, b là hai số thực dương. Chứng minh rằng  b3  21 ab(a  b) 2 a3 2 2 2 . Lời giải. Bất đẳng thức cần chứng minh tương đương với a3 2 b3 2   21 2 . ab(a  b) ab(a  b) 2 2 Hay 2 2 2 2  a   b       21 2.  b(a  b)   a(a  b)  Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có 2 2 2  a   a   2.   2  1  2.  2.  ,  b(a  b)   b(a  b)  2 2 2  b   b   2.   2  1  2.  2.  .  a(a  b)   a(a  b)  6
Cộng hai bất đẳng thức trên theo vế, ta được 2 2 2 2  a   b   2.    2.  2 2 2  b(a  b)   a(a  b)   a 2   b   2  2.  2.    2.  .   b(a  b)   a(a  b)     Tương đương với 2 2 2 2  a   b   2.    2.  2 2 2  b(a  b)   a(a  b)   a2 b2   2 2.  .  b(a  b) a(a  b)  Mặt khác a2 b2 a 2  ab  b2    1, với mọi a, b  0. b(a  b) a(a  b) ab Nên 2 2 2 2  a   b   2.    2.   2.  b(a  b)   a(a  b)  Tương đương với 2 2 2 2  a   b       21 2.  b(a  b)   a(a  b)  Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b. Ví dụ 1.2.2. Giả sử a, b, c là ba số thực dương. Chứng minh bất đẳng thức 3 3 3  a   b   c  3        . bc ca ab 23 Lời giải. Ta đã biết bất đẳng thức Nesbitt sau 7
a b c 3    . bc ca ab 2 Ta đánh giá số mũ 3 thông qua số mũ 1 trong bất đẳng thức (1.2). Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có 3  2a   2a     3  1  3. . bc bc Tương tự 3  2b   2b     3  1  3. , ca ca 3  2c   2c     3  1  3. . ab ab Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế và áp dụng bất đẳng thức Nesbitt, ta được bất đẳng thức cần chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c. 3 Ví dụ 1.2.3. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  . 2 Chứng minh rằng a b c 3    . 3 bc 3 ca 3 ab 2 Lời giải. Áp dụng Định lí 1.2, ta có 1 1 1  b  c3   1   b  c . 3 3 Ta suy ra bc2 3 bc  . 3 Hay a 3a  . 3 bc bc2 8
Tương tự, ta có b 3b  , 3 ca ca2 c 3c  . 3 ab ab2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được a b c 3a 3b 3c      . 3 bc 3 ca 3 ab bc2 ca2 ab2 Dễ thấy 3a 3b 3c  a b c     3   . bc2 ca2 ab2 bc2 ca 2 a b2 Hay 3a 3b 3c   bc2 ca2 ab2  a   b   c   =3.   1    1    1  3 .  b  c  2   c  a  2   a  b  2   Do đó 3a 3b 3c   bc2 ca2 ab2  1 1 1  =3 a  b  c  2       9. bc2 ca2 ab2 Ta suy ra 3a 3b 3c   bc2 ca2 ab2 9  3 a  b  c  2  .  9.  b  c  2   c  a  2  a  b  2 Nên a b c 9    3  a  b  c  2  .  9. 3 bc 3 ca 3 ab 2. a  b  c   6 9
3 Thay a  b  c  , ta được 2 a b c 3    . 3 bc 3 ca 3 ab 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  . 2 3 Ví dụ 1.2.4. Giả sử a, b, c là ba số thực dương thỏa mãn a  b  c  . Chứng 2 minh rằng a b c 3 n n  , với mọi n  N *. n bc ca ab 2 Lời giải. Áp dụng Định lí 1.2, ta có 1 1 1  b  c n   1   b  c . n n Ta suy ra b  c  n 1 n bc  . n Hay a n.a  . n b  c b  c  n 1 Tương tự, ta cũng có b n.b  , n c  a c  a  n 1 c n.c  . n a  b a  b  n 1 Cộng theo vế các bất đẳng thức trên, ta được a b c n.a n.b n.c n n    . n bc ca a  b b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1 Mặt khác 10
n.a n.b n.c   b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1  a b c   n   .  b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1   a   b   c    n  1    1    1  3  .   b  c  n 1   c  a  n 1   a  b  n 1    1 1 1   n  a  b  c  n  1     3 .  b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1  Ta suy ra n.a n.b n.c   b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1 9  n  a  b  c  n  1.  3n.  b  c  n  1   c  a  n  1   a  b  n  1 Hay n.a n.b n.c   b  c  n 1 c  a  n 1 a  b  n 1 9  n  a  b  c  n  1.  3n. 2  a  b  c   3n  3 Do đó a b c 9 n n  n  a  b  c  n  1.  3n. n bc ca ab 2  a  b  c   3n  3 3 Thay a  b  c  , ta được 2 a b c 3 n n  , với mọi n  N *. n bc ca ab 2 1 Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a  b  c  . 2 Nhận xét. Với n  1 ta có bất đẳng thức Nesbitt a b c 3    . bc ca ab 2 11
Ví dụ 1.2.5. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2 2 2  1   1   1 2 1        3  ,  ha   hb   hc   3r  trong đó r là bán kính đường tròn nội tiếp, h a , h b , h c là độ dài đường cao tương ứng với đỉnh của tam giác ABC. Lời giải. Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có 2  1   1   3r.   2  1  2  3r. ;  ha   ha  2  1   1   3r.   2  1  2  3r.  ;  hb   hb  2  1  1  3r.   2  1  2  3r.  .  hc   hc  Cộng ba bất đẳng thức trên theo vế, ta được  1  2  1  2  1 2    (3r)   2       3 2  3  3r 2  1  1  1  .  h a   hb   hc    ha hb hc    Mặt khác  1 1 1  S a b c  a bc r.          1.  h a h b h c  p  2S 2S 2S  2p Do đó  2 2 2  2  1   1   1 (3r)         3 2  3  3 2.  h a   hb   hc     Tương đương với 2 2 2  1   1   1 2 1        3  .  ha   hb   hc   3r  Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. 12
Ví dụ 1.2.6. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng 2  3 sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  3.  .  2  Lời giải. Phát biểu của bài toán gợi cho ta nhớ đến kết quả quen thuộc sau 9 sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C  , với mọi ABC. 4 Như vậy ta đánh giá thông qua số mũ 2. Vì A, B, C là ba góc của tam giác ABC nên sin A  0, sin B  0, sin C  0. Ta suy ra 2 2 2 sin A  0, sin B  0, sin C  0. 3 3 3 Áp dụng bất đẳng thức (1.3), ta có 2 2  2  2 2  2   sin A   1  . sin A  .  3  2 2  3  Tương đương với 2 2  2  1  2  1  sin A    sin A   1  .  3  2 3  2 Hay 2  2  2 2 1  sin A   .sin 2 A  1  .  3  3 2 Tương tự, ta có 2  2  2 2 1  sin B   .sin 2 B  1  .  3  3 2 Ta suy ra 2  2  2 2 1  sin C   .sin 2 C  1  .  3  3 2 Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được 13
sin  2  2  . sin 2 A  sin 2 B  sin 2 C   3  2 2 3   2 A  sin 2 B  sin 2 C  .  3 3 2 Tương đương với sin  2  2  2 2 9 3   2 A  sin 2 B  sin 2 C  . 3 .  3 3 4 2 Hay sin  2  2    2 A  sin 2 B  sin 2 C  3 .  3 Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Ví dụ 1.2.7. Cho tam giác ABC. Chứng minh rằng với mọi số thực 0  k  1, ta luôn có k A B C  3 cos  cos k  cos k  3. k  . 2 2 2  2  Lời giải. Ta đã biết kết quả quen thuộc sau A B C 3 cos  cos  cos  3. . 2 2 2 2 Do đó, ta đánh giá thông qua số mũ 1. Vì A, B, C là ba góc của tam giác ABC A  B  C  nên  ,  ,  . Suy ra 2 2 2 2 2 2 A B C cos  0, cos  0, cos  0. 2 2 2 Hay 2 A 2 B 2 C cos  0, cos  0, cos  0. 3 2 3 2 3 2 Áp dụng Định lí 1.2, ta được 14
k  2 A 2.k A  cos   k  1  cos .  3 2 3 2 Tương tự, ta có k  2 B 2.k B  cos   k  1  cos .  3 2 3 2 k  2 C 2.k C  cos   k  1  cos .  3 2 3 2 Cộng các bất đẳng thức theo vế, ta được k k k  2 A  2 B  2 C 2.k  A B C           2   3 2   3 2  cos cos cos 3k 3 cos cos cos  3 3 2 2 2 Tương đương với k  2   kA k B k C 2.k 3   . cos 2  cos 2  cos 2   3k  3  .3 .  3    3 2 Hay k A B C  3 cosk  cos k  cos k  3.  . 2 2 2  2  Bất đẳng thức được chứng minh. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi tam giác ABC đều. Ví dụ 1.2.8. Giả sử a, b  0 . Chứng minh rằng a b  ba  1. Lời giải. . Xét a  1 hoặc b  1. Bất đẳng thức hiển nhiên đúng. . Xét 0  a,b  1. Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có b 1 b    b 1  . a a Ta suy ra ab b 1 b b    1 b  1 .   a a a a Tương đương với 15
a ab  . ab Tương tự, ta cũng có b ba  . ab Cộng các bất đẳng thức trên theo vế a b  ba  1. Ví dụ 1.2.9. Giả sử a, b, c  0. Chứng minh rằng  b  c  c  a    a  b   2. a b c Lời giải. . Nếu trong ba số a, b, c có một số lớn hơn hoặc bằng 1 thì bất đẳng thức luôn đúng. . Nếu 0  a,b,c  1 . Áp dụng bất đẳng thức (1.2), ta có a  1  a    a 1  . bc bc Ta suy ra a bc a  1  a a     1  a   1  . bc bc bc bc Hay bc  b  c  a . abc Tương tự, ta có ca c  a   b . abc ab a  b  c . abc Cộng các bất đẳng thức trên theo vế, ta được 16
 b  c  c  a    a  b   2. a b c Bất đẳng thức được chứng minh. Ví dụ 1.2.10. Giả sử có n số dương a1, a 2 , ..., a n  n  2 . Chứng minh rằng n n  ( a ) i 1 j1 j ai  n 1. ji Lời giải. . Nếu một trong n số a1, a 2 , ..., a n lớn hơn hoặc bằng 1 thì bất đẳng thức luôn đúng. . Xét 0  a1, a 2 , ..., a n  1. Áp dụng bất đẳng thức(1.2), ta có a1  1  a1    a1  1  .  2 a  a 3  ...  a n  a 2  a 3  ...  a n Hay a1  1  a1     1  a1 .  2 a  a 3  ...  a n  a 2  a 3  ...  a n Từ đó suy ra a1  1  a1     1 (vì a1  0 ).  2 a  a 3  ...  a n  a 2  a 3  ...  a n Hay a1  1  a1  a 2  ...  a n    .  a 2  a 3  ...  a n  a 2  a 3  ...  a n Do đó a 2  a 3  ...  a n  a 2  a 3  ...  a n  a1  . a1  a 2  ...  a n Tương tự, ta có a1  a 3  a 4 ...  a n  a1  a 3  a 4 ...  a n  a2  ; a1  a 2  ...  a n …………..………………………………; 17
a1  a 2  ...  a i1  a i1  ...  a n  a1  a 2  ...  a i1  a i1  ...  a n   ai ; a1  a 2  ...  a n …………………………………….……………………………; a1  a 2  ...  a n 2  a n  a1  a 2  ...  a n2  a n   a n 1 ; a1  a 2  ...  a n a1  a 2  ...  a n 1  a1  a 2  ...  a n1   an . a1  a 2  ...  a n Cộng n bất đẳng thức trên theo vế, ta được ai n  n   a   n  1.    j  i 1  j1  ji  1.2.2. Kỹ thuật chọn điểm rơi. Khi áp dụng bất đẳng thức Bernoulli thì việc áp dụng sao cho đẳng thức xảy ra là điều quan trọng, đặc biệt là bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất. Đó chính là kỹ thuật chọn điểm rơi trong bất đẳng thức Bernoulli. Ví dụ 1.2.11. Giả sử x, y  0 thỏa mãn x 2  y2  1 . Chứng minh rằng 1 1. x 3  y3  . 2 1 2. x 4  y4  . 2 Lời giải. 1. Áp dụng Định lí 1.2, ta có 3  2x  2 2  3 2  1   2x 2  ; 3 2 3  2y  2 2  3 2  1   2y 2 . 3 2 Hay 1 2 2x 3   3x 2 ; 2 18