ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------
NGUYỄN THỊ KIM OANH
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI
TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Hà Nội - 2013
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ----------
NGUYỄN THỊ KIM OANH
LÝ THUYẾT LƯỢNG TỬ VỀ HIỆU ỨNG ÂM- ĐIỆN PHI
TUYẾNTRONG SIÊU MẠNG PHA TẠP
Chuyên ngành : Vật lý lý thuyết và Vật lý toán
Mã Số: 60 44 01 03
LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC
Cán bộ hướng dẫn: PGS.TS. Nguyễn Vũ Nhân
Hà Nội – 2013
Lời cảm ơn Trước tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Vũ Nhân đã tận
tình hướng dẫn và tạo điều kiện thuận lợi giúp tôi trong quá trình làm luận văn.
Tiếp đến tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Quang Báu-
Trưởng bộ môn Vật lý –Khoa Vật lý- trường ĐHKHTN- ĐHQGHN đã tận tình chỉ bảo
và tạo mọi điều kiện giúp tôi trong quá trình tham gia làm luận văn.
Cuối cùng tôi xin trân trọng cảm ơn tới TS Nguyễn Văn Nghĩa giảng viện trường ĐH
Thuỷ Lợi, cùng các thầy, cô trong bộ môn Vật lý lý thuyết - Vật lý toán của trường
ĐHKHTN- ĐHQGHN, gia đình và bạn bè đã giúp đỡ, tạo đều kiện cho tôi rất nhiều trong
suốt thời gian vừa qua.
Luận văn được hoàn thành dưới sự tài trợ của đề tài nghiên cứu khoa học NAFOSTED ( N0 103.01 – 2011.18 )
Hà Nội, ngày tháng năm 2013
Học viên
Nguyễn Thị Kim Oanh
DANH MỤC HÌNH VẼ
Hình 3.1. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số của
Trang 37
sóng âm cho trường hợp giá trị của nồng độ pha tạp nD thay đổi nD = 1.1023 m-3, nD = 1,2.1023 m-3, nD = 1,4.1023 m-3 nhiệt độ của hệ là
T=290 K
Hình 3.2. Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng rộng
pha tạp khi tần số sóng âm thay đổi cho trường hợp giá trị của tần số
11
1
11
1
Trang 38
sóng
âm
thay đổi
,
11
1
nhiệt độ của hệ là T=290 K
3.10 s 3.1.10 s q , q
3.2.10 s q
Mục lục Mở đầu……………………………………………………………………………..1
Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn
khối ………………………………………………………………………………...3
1.1. Siêu mạng pha tạp………………………………………………………………… ... 3
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp …………………………………………………..3
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp ……3
1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động
lượng tử ………………………………………………………………………………………… . 5
Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng
pha tạp…………………………………………………………………………… 8
2.1. Phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp..............................8
2.2. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp...............25
Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp.
Vẽ đồ thị, bàn luận.................................................................................................36
3.1 tính toán số và vẽ đồ thị...............................................................................................36
3.2 Thảo luận về kết quả....................................................................................................39
Kết luận chung.......................................................................................................40
Tài liệu tham khảo.................................................................................................41
Phụ lục tính toán số...............................................................................................43
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Trong hai thập liên vừa qua, tiến bộ của Vật Lý chất rắn cả lý thuyết và thực nghiệm
được đặc trừng bởi sự chuyển hướng đối tượng nghiên cứu chính từ các vật liệu bán dẫn
khối sang các cấu trúc tinh thể nano như màng mỏng và các cấu trúc tinh thể thấp chiều.
Các cấu trúc tinh thể thấp chiều như cấu trúc siêu mạng, dây lượng tử, hố lượng tử......
trong hệ cấu trúc này chuyển động của hạt dẫn bị giới hạn nghiêm ngặt theo một hướng
toạ độ ở một vùng kích thước đặc trưng vào cỡ bước sóng DeBroglie, tính chất vật lý của
điện tử thay đổi đáng kể và xuất hiện một số tính chất mới lạ, các quy luật của cơ học
lượng tử bắt đầu có hiệu lực, đặc trưng cơ bản nhất là phổ năng lượng biến đổi. Phổ năng
lượng bị gián đoạn dọc theo hướng toạ độ giới hạn. Do tính chất quang, điện của hệ biến
đổi mở ra khả năng ứng dụng của các linh kiện và tạo ra cuộc cách mạng trong lĩnh vực
khoa học, kỹ thuật như: pin mặt trời, các loại vi mạch, .......
Cấu trúc thấp chiều là một cấu trúc hoàn toàn mới, khác hẳn với những vật liệu trước
đây, nó được chia làm 3 loại: hệ không chiều, hệ một chiều, hệ hai chiều.
Hệ hai chiều trong đó có siêu mạng pha tạp với phổ năng lượng của điện tử gián đoạn
theo một chiều và điện tử chỉ chyển động tự do theo hai chiều còn một chiều hạn chế.
Chính sự gián đoạn của phổ năng lượng và hạn chế chuyển động của điện tử theo một
chiều này đã làm ảnh hưởng lên các tính chất phi tuyến của hệ.
Trong hệ thấp chiều cấu trúc siêu mạng thu hút sự quan tâm của rất nhiều các nhà vật lý
lý thuyết và thực nghiệm vì nó đã góp phần tạo ra linh kiện và các thiết bị điện tử hiện
đại, công nghệ cao và là cơ sở của các thiết bị điện tử siêu nhỏ đa năng. Chính vì vậy có
rất nhiều các công trình nghiên cứu về các hiệu ứng trong siêu mạng. theo chân thế hệ
trước em chọn đề tài nghiên cứu của mình là “Lý thuyết lượng tử về hiệu ứng âm - điện
phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “
2. Phương pháp nghiên cứu:
Có rất nhiều phương pháp lý thuyết khác nhau như phương trình động Bolzman; lý
thuyết hàm Geen; lý thuyết nhiễu loạn…. mỗi phương pháp đều có ưu và nhược điểm
riêng tuỳ từng bài toán mà ta chọn phương pháp giải. Để tính “Lý thuyết lượng tử về hiệu
ứng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp “ theo quan điểm hiện đại chọn phương
pháp phương trình động lượng tử là tối ưu.
Kết quả thu được từ luận văn đã được báo cáo ở Hội nghị vật lý sinh viên trường Đại
Học Khoa Học Tự Nhiên năm 2013.
3. Cấu trúc luận văn:
Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn của em gồm 3
chương:
Chương I. Siêu mạng pha tạp và hiệu ứng âm - điện phi tuyến trong bán dẫn khối
Chương II. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
Chương III. Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp. Vẽ đồ thị,
bàn luận
Trong đó chứa đựng kết quả chính của khoá luận nằm ở chương II, chương III.
Phần cuối của khoá luận có đưa ra phụ lục với chương trình Matlab tính số.
Chương I
SIÊU MẠNG PHA TẠP VÀ HIỆU ỨNG ÂM - ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG BÁN
DẪN KHỐI
1.1. Siêu mạng pha tạp
1.1.1. Khái niệm về siêu mạng pha tạp
Bán dẫn siêu mạng là loại cấu trúc tuần hoàn nhân tạo gồm các lớp bán dẫn thuộc
hai loại khác nhau có độ dày cỡ nanomet đặt kế tiếp. Do cấu trúc tuần hoàn, trong bán
dẫn siêu mạng, ngoài thế tuần hoàn của mạng tinh thể, các electron còn phải chịu một thế
tuần hoàn phụ do siêu mạng tạo ra với chu kì lớn hơn hằng số mạng rất nhiều. Thế phụ
được tạo nên bởi sự khác biệt giữa các đáy vùng dẫn của hai bán dẫn cấu trúc thành siêu
mạng.
Trong bán dẫn siêu mạng, độ rộng của các lớp đủ hẹp để electron có thể xuyên
qua các lớp mỏng kế tiếp nhau, và khi đó có thể coi siêu mạng như một thế tuần hoàn bổ
xung vào thế của mạng tinh thể.
Bán dẫn siêu mạng được chia thành hai loại: bán dẫn siêu mạng pha tạp và bán dẫn
siêu mạng hợp phần. Bán dẫn siêu mạng pha tạp có cấu tạo các hố thế trong siêu mạng
được tạo thành từ hai lớp bán dẫn cùng loại nhưng được pha tạp khác nhau. Siêu mạng
pha tạp có ưu điểm là có thể điều chỉnh dễ dàng các tham số của siêu mạng nhờ thay đổi
nồng độ pha tạp.
1.1.2. Hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử giam cầm trong siêu mạng pha tạp
Giả sử thế của siêu mạng được tạo theo chiều z. Với giả thiết hố thế có thành cao
vô hạn, giải phương trình Schrodinger cho điện tử chuyển động trong hố thế này ta thu
được hàm sóng và phổ năng lượng của điện tử như sau:
S 0
ip j e z z
z
jd
n
r
n p , z
j
1
Phổ năng lượng:
n p ,
1 2
n p
Hàm sóng của điện tử trong mini vùng n là tổ hợp của hàm sóng theo mặt phẳng
(x,y) có dạng sóng phẳng và theo phương của trục siêu mạng:
S 0
i p r e
ip j e z z
z
jd
n
n p ,
r
U r n
j
1
Và phổ năng lượng:
2
p
n p ,
2
2 p * m
1 2
n
Trong đó :
n = 1, 2, 3... là chỉ số lượng tử của phổ năng lượng theo phương z p
p
vectơ xung lượng của điện tử (chính xác là vectơ sóng của điện tử).
p
z
Với
là hàm sóng của điện tử trong hố thế biệt lập
n z
m* khối lượng hiệu dụng của điện tử
trên mặt phẳng (x, y)
trên mặt phẳng (x, y)
S0 là số chu kì siêu mạng p r
hình chiếu của p hình chiếu của r
1 2
là tần số plasma gây ra bởi các tạp chất với nồng độ pha tạp Dn .
p
Ta nhận thấy rằng phổ năng lượng của điện tử bị giam cầm trong siêu mạng pha
tạp chỉ nhận các giá trị năng lượng gián đoạn, không giống trong bán dẫn khối, phổ năng
lượng là liên tục trong toàn bộ không gian. Sự biến đổi phổ năng lượng như vậy gây ra
những khác biệt đáng kể trong tất cả tính chất của điện tử trong siêu mạng pha tạp so với
bán dẫn khối.
n D m 4 0
1.2. Tính toán dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối bằng phương pháp động
lượng tử
Bán dẫn khối: là tinh thể mà về mặt cấu trúc năng lượng có một vùng hóa trị bị
chiếm đầy và trên nó là một vùng trống (gọi là vùng dẫn), vùng cấm nằm giữa hai vùng
này có giá trị không lớn lắm (dưới vài eV).
Hiệu ứng âm – điện trong bán dẫn khối [4 – 6] đã được nghiên cứu nhiều trong
những năm gần đây. Và sự quan tâm càng tăng lên khi quan sát hiệu ứng này trong cấu
trúc nhiều lớp. Đặc biệt, hiệu ứng âm điện được nghiên cứu trong ống một chiều và độ
sâu hữu hạn của hố thế [6, 17,24]. Hiệu ứng âm – điện cũng được đo bằng phương pháp
thực nghiệm, ví dụ: trong các ống hiển thị cacbon [18] và trong một giếng lượng tử
InGaAs [25].
Giả sử có một mẫu bán dẫn đặt trong một điện trường E và có sóng âm truyền qua
khối bán dẫn đó, khi đó sẽ xuất hiện một dòng điện nếu mạch điện kín và một hiệu điện
thế nếu mạch điện hở.
Vậy: hiệu ứng âm – điện là sự truyền xung lượng sóng âm cho điện tử dẫn mà kết
quả là có thể tạo ra dòng âm – điện
nếu mạch điện kín hoặc tạo ra một điện trường
không đổi nếu mạch điện hở.
* Dòng âm – điện phi tuyến trong bán dẫn khối
Trước hết, chúng ta sẽ xem xét một bán dẫn với sự có mặt của cả điện tử và lỗ trống.
Tương tác âm – điện của siêu âm với các hạt mang điện có thể được mô tả bởi phương
trình chuyển động của mạng tinh thể, phương trình trạng thái của kim loại, phương trình
Maxwell và một phương trình cho dòng âm – điện được tạo ra bởi siêu âm. Cùng với sự
có mặt của liên kết thế biến dạng và liên kết áp điện, tương tác đều được nghiên cứu khi
điện trường là dọc. Bởi vậy, chúng ta chỉ cần phương trình Poisson và phương trình liên
tục để xác định dòng điện dịch trong số các dòng điện tạo ra bởi sóng. Những phương
trình có liên quan là:
T ij
x
2 i 2 t
j
T C S ij
kl
ij
kl
e nC ij
p pC ij
E ij k k
є
D i
E i
S 4 ijk
jk
S
ij
1 2
j
j
j i x x
D 4
e n (
p
)
p
)
e
. j
n ( t
Với
là độ dịch chuyển do sóng âm, Tij là tenxơ ứng xuất, Sij là tenxơ biến dạng, tương ứng là các hằng số liên kết biến dạng cho điện tử
và
Cijkl là hằng số đàn hồi.
và lỗ trống,
là tenxơ áp điện, n và p tương ứng là mật độ điện tử và lỗ trống, E là điện
trường và D là độ điện dịch, є là hằng số tĩnh điện.
Dòng âm điện tìm ra là:
)
E R
)
(
)
(
)
,
,
j ix
( xx i
1
xx
( i
n ev 1 s
xx
3
1
3
2
1
2
E E xx 2 3
S
,
)
S
(
,
)
(1.3)
( 1 3
3
xx
ev n E 2 3 s
1 2
2
xx
ev n E 2 s 3
Trong đó:
)
w
(1.4)
( xx i
2
(
2 0 q l i
a i iq l i
2 a i q l . ) i
a i q l i
R
)
i
w
(1.5)
xx
( i
v 0 v iq l s i
a i iq l i
a i iq l i
1
(
)
w
w
xx
3
)
q l a ( 1 3
a 31 1
a 1 iq l 1
a 1 iq l 1
a 3 iq l 3
a 3 iq l 3
2 0 v . 0
, 1 1
w
w
3
3
2
2
2
(
)
)
)
i
i
)
)
a 3
a 31 1
a 1 iq l 1
a 3 iq l 3
3 a 1 i q l ( 1
3 a 3 i q l ( 3
2 a 1 q l ( 1
2 a 3 ( q l 3
w
w
2
2
2
(
)
(
)
(
)
a 1 iq l 1
a 3 iq l 3
a 3
i 31 a 31 1
2 a 1 q l 1
2 a 3 q l 3
a 1 q l . 1
a 3 q l . 3
w
w
(1.6)
2
4
3
i
(
(
)
a 31 1
a 3
a 1 iq l 1
a 1 iq l 1
2 a 1 q l ) 1
3 a 2 1 q l ) 1
1 q l . 1
2 2 a 1 q l ( 1
S
,
)
( 3 1
1
xx
. v s
w
w
2
2
2
)
(
)
(
)
q l a ( 1 3
a 31 1
a 1 iq l 1
a 3 iq l 3
2 a 1 q l 1
2 a 3 q l 3
a 1 q l . 1
a 3 q l . 3
w
w
2
(
31
)
a 1 q l 1
a 1 iq l 1
a 3 q l 3
a 3 iq l 3
a 3
a 31 1
w
w
(1.7)
3
2
(
)
a 31 1
a 3
1 q l 1
a 1 iq l 1
a 1 iq l 1
2 a 2 1 q l ) 1
2 a 1 q l ( 1
Vậy: đối với một bán dẫn khối, khi có một sóng âm với cường độ đủ lớn sẽ có
dòng âm – điện được tạo ra, và thời gian hồi phục của hạt mang điện phụ thuộc vào
năng lượng của điện tử.
Chương II
BIỂU THỨC GIẢI TÍCH CỦA DÒNG ÂM- ĐIỆN PHI TUYẾN TRONG SIÊU
MẠNG PHA TẠP
2.1. Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp:
Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp khi có mặt sóng âm- điện
có dạng:
(2.1)
H H H
0
e ph
H
(2.2)
0
b b k k
n p ,
a n p ,
a n p ,
k
k
n p ,
'
'
q
q
e ph
n p ,
b k
n p ,
q
C I k
n n ,
k
'
'
n n p k , ,
,
n n p q ,
,
,
(2
.3)
b exp( t ) ( ) H ( ) i q k a ) z b ( k C U q a , n n a ' n p , a ' n p ,
Trong đó:
lần lượt là các toán tử sinh, hủy điện tử.
a
,
a
n p ,
n p ,
lần lượt là véc tơ sóng của điện tử và phonon.
b b ,q lần lượt là các toán tử sinh, hủy phonon. q
q là tần số của phonon ngoài.
k là tần số của phonon trong.
qC
là hằng số tương tác điện tử - phonon ngoài.
là hằng số tương tác điện tử - phonon trong.
kC
,p q
'
n n ,
là yếu tố ma trận của toán tử
là thừa số dạng điện tử được t:
( ) q U U exp( iqy z )l
n n ,
'
z
L
ik z z
I
k
sin
sin
n n ,
'
z
' n k z z
n k z e dz z
2 L
0
Phương trình động lượng tử cho trung bình số điện tử
có dạng:
a
a
t
n n p ,
n p ,
n p ,
t
t
i
,
H
. (2.4)
a n p ,
a n p ,
t
n n p , t
Hay ta có thể viết:
t
i
a
a
,
a
a
a
a
,
n p ,
n p ,
n p ',
n p ',
'
'
n p ,
n p ,
k
b b k k
' n p ,
'
n n p , t
k
' n p ,
'
t
t
a
,
a
b exp(
)
n p ,
a n p ,
C U q
'
q a z
n p ',
'
q
t i q
n n ', 1
q
'
' n p , 1
',
',
q
,
n n p 1
'
t
(2.5)
a
a
,
a
n p ,
n p ,
k a z
n p ',
'
C I k
b k
b k
q
'
' n n ', 1
' n p , 1
',
',
k
,
n n p 1
'
t
Sử dụng các hệ thức của toán tử sinh, hủy điện tử, và toán tử sinh, hủy boson:
I k
,
a
a
a
a
a
;
,
a
a
,
a
0
n p ,
n p ',
'
n p ,
n p ',
n p ,
n p ',
'
p , n n '
p
,
'
n p ,
n p ',
'
n p ,
n p ',
'
a
a
'
;
0
b b , q q '
b b q q '
b b q q '
, q q
'
b b , q q
'
b b , q q '
Ta có:
n p ,
a n p ,
a n p ,
a n p ,
a ' ' n p ,
a ' ' n p ,
a ' ' n p ,
'
, a a n p , a n p , a ' n p , a ' ' n p , a ' ' n p ,
'
'
a n p ,
a n p ,
a ' n p ,
' n p ,
a ' ' n p ,
'
'
'
'
a n p ',
a n p ',
a n p ',
'
a n p ',
a n p ,
a n p ,
a n p ,
'
a n p ,
'
a n p ,
a n p ,
'
, n n
a ' n p ,
n n ,
a ' ' n p ,
' p p
'
' p p
0
(2.6)
Suy ra:
) a ) a n p , a n p , ( ' p p , n n , a ' ' n p , ( ' p p , n n ,
,
n p ',
a n p ',
n p ',
a n p ,
'
'
'
n p ',
'
t
0 a a n p ,
k
k
k
a n p ,
a n p ,
n p ,
n p ,
Suy ra :
(2.7)
a
a
,
0
n p ,
n p ,
b b k k k
k
t
a
a
,
a
a
a
a
a
a
a
a
a
n p ,
n p ,
n p ',
n
b q
p
n p ,
n p ,
n p ',
n
b q
p
n p ',
p
'
n
b a q
n p ,
n p ,
q
'
' 1,
'
q
'
' 1,
'
q
'
' 1,
a
a
a
)
a
n p ,
'
n p ',
q
n p ,
n
b q
p
( p p , n n ' ,
q
'
' 1,
'
a
a
a
)
a
n p ',
n p ,
n p ,
b q
q
'
( , n n ' 1
p p
'
n p ' ,
'
a
a
a
a
n
p
n p ',
n p ,
n p ,
' 1,
b p p q , n n ' ,
'
q
'
q
'
b q , n n ' 1
p p
'
Suy ra:
a
a
,
q a ( )
n p ,
C U q
n n ',
n p ',
q
a n
p
b q
n p ,
' 1
'
'
' 1,
' 1 q
n n ', p '
,
t
, b b b a 0 b k b k b a k a n p , a n p ,
a
a
C U a ', n n
q
n p ,
n
p
q
C U a ', n n
q
n p ',
n p ,
' 1
' 1,
b p p q , n n ' ,
'
'
' 1
q
'
b q , n n ' 1
p p
'
' 1 q
' 1 q
n n ', p '
,
n n ', p '
,
t
t
a
(2.8)
C U q
nn
'
b q
n p ',
q
a n p ,
a n p ,
a n p ',
q
b q t
t
',q
n
a
a
,
a
a
n p ,
n p ,
p
n
n p ',
b k
b k
'
' , 1
k
'
p
p
a n p ,
a n p ',
b k
a n p ',
b k
a n p ,
'
' , 1
'
' , 1
k
'
k
'
a n a n a n p , b k b k a n p ,
p
p
,
a n p ',
b k
a n p ,
'
' , 1
a n b k a n p ,
, n n ' p
'
k
k
'
a
a
a
a
p
,
'
p
'
n
n p ',
'
b k
b k
p , n n ' 1
n p ,
' , 1
n p ,
k
p
b k
a n p ',
k
b k
a n p ,
' 1,
'
'
,
Suy ra:
a
a
,
a
n n ',
p
'
n
C I k
n p ',
b k
b k
n p ,
n p ,
' 1
' , 1
k a z
k
'
n n ',
'
,
p
k
' , 1
t
C I
k n n
',
a n
p
nn
'
b ( k
' 1
a n p ,
' 1,
'
b ) p p k k '
,
p
n n ',
k
' 1,
'
,
C I
k n n
',
nn
k
b ( k
' 1
a n p ,
b ) p p k ,
' 1
'
a n p ',
p
n n ',
k
' 1,
'
,
a n b ( k b ( k a n p , ) p p ' nn 1 , ) nn ' p p k '
k n n
,
'
k
b k
k
a n p ,
a n p ,
t
n k ',
t
(2.9)
b k
k
k
b k
a n p ,
a n p ,
a n p ',
a n p ',
t
t
Thay các biểu thức (2.6), (2.7), (2.8), (2.9) vào (2.5) và đặt :
F
a
a
t
,
,
,
,
n p n p q 1 2
1
2
n p , 1 1
n p , 2
2
b q t
F
t
,
,
,
b q
b q
n p n p q , 1 2
1
2
a n p , 1 1
a n p , 2 2
a n p , 2 2
a n p , 1 1
t
t
C I b k a n p ', a n p ',
Ta thu được phương trình:
t ( )
q
'
',
,
, q q
n p ',
q n p q ,
,
,
n p n p ,
n q ',
F
F
F
t
C I
F
t
t
t
k nn
'
',
,
,k
,
k
,
,
,k
',
,
, k
n p n p ,
k
n p ',
k n p ,
n p ',
k n p ,
n p n p ,
k
n k ',
(2.10)
Hay:
t ( )
i ( F ) C U F nn n n p , t
t
t
t
nn
'
n p ',
,
,k
',
,
, k
',
,
,k
k n p ,
n p n p ,
k
n p n p ,
k
F F F C I k
(2.11)
F
[
t ( )
F
(t)]
t ( )
C U F nn
q
'
',
q n p q ,
,
,
,
k
,
n p n p , ,
q q ,
n p ',
n p ',
k n p ,
i ', n q
n n p , t i ', n k
n p ',
n p ',
a n p ',
a n p , 1 1
2
b a , q 1
'
'
n p , 1 1
n p , 2 2
b a q 1
'
'
a n p , 1 1
b q 1
'
'
a a a n p ', a n p ', a n p ', a n p , 2 a n p , 2 2
a n p ',
n p ',
a n p ',
'
n n ' 2
a n p , 1 1
p p 2
'
n p , 2 2
'
b q 1
'
n n ' 2
p p 1
'
a n p , 1 1
'
2
b q 1
a
a
a
a
a
a
n p ',
n p ',
n p ',
n p , 1 1
'
b q n n ' 1 2
p p 2
'
n p , 1 1
'
n p , 2
2
b q 1
'
a
a
a
a
a
a
n p ',
n p ',
n p ',
n p , 2
2
b q n n ' 1 2
p p 1
'
'
n p , 1 1
'
'
n p , 2
2
b q 1
a
a
a
a
n p ',
'
n p ',
n p , 1 1
'
b q ' n n 1 2
p p 2
n p , 2 2
b q ' n n 1 2
p p 1
'
'
,
Suy ra:
a n p ',
a n p ',
a n p , 1 1
a n p , 2
2
b q 1
',p'
'
'
n
n
',p'
t
a a a n p ', a n p , 2
',p'
a n p ',
n p , 1 1
b q ' n n 1 2
p p 2
'
'
b q ' n n 1 2
p p 1
'
'
n
n p ',
'
t
a
a
a
a
a
a
,p
,p
n 2
2
n p , 1 1
n p , 2 2
b q 1
n 1
,p 1
n p , 1 1
n p , 2 2
b q 1
n 1
,p 1
n 2
2
n p , 1 1
n p , 2 2
b q 1
t
t
t
a a n p ', a n p , 2 2
k
k
k
a n p , 1 1
2
b q 1
a n p , 1 1
n p , 2 2
b q 1
n p , 1 1
b q 1
, b a b b b k b k b a k a n p , 2 a n p , 2 2
k
k
k
n p , 1 1
2
b b q k 1
a n p , 1 1
b b q k 1
a n p , 1 1
b b q k 1
q k 1
a
b
b
(2.12)
k
k
a n p , 1 1
n p , 2 2
b b q k 1
a n p , 1 1
a n p , 2
2
q k 1
a b b b a n p , 2 a n p , 2 2 a n p , 2 2
Suy ra:
k
k
a n p , 1 1
b q 1
a n p , 1 1
t
k
k
t
(2.13)
a
, b
a q 1
n p , 1 1
n p 2 2
q 1
t
, b b k b k k a n p , 2 2 a n p , 2 2 q k 1
p
'
p
n p ',
k
b k
n p ',
k
b k
a n p , 1 1
2
b a , q 1
' , 1
a n p , 1 1
n p , 2 2
b a q 1
'
' , 1
'
'
a a n a n b k b k a n p , 2
p
a n p ',
k
b k
k
a n p ',
k
b k
'
' , 1
n p , 1 1
b q 1
a n p , 1 1
a n p , 1 1
b q 1
'
'
'
a a n b k b k a n p , 2 2
p
,
p
n
a n p ',
k
b k
' n n p p , 2 2 a
p ' n n 1 1
2
'
a n p , 1 1
' , 1
'
2
b q 1
'
a n p , 2 2 b k a n p , 2
p
p
b k
k
a n p ',
k
'
b k
n p , 1 1
'
' , 1
b b q k 1
a n p , 1 1
'
' , 1
b b q k 1
' n n p p , 2 2
'
a a n a n a n p , 2 2
,
p
a n p ',
k
b k
a n p ',
k
b k
b p q ' n n 1 1 1
p 2
'
a n p , 1 1
'
' , 1
2
b q 1
'
'
a n b k b k a n p , 2 2 a n p , 2
p
p
,
b k
k
n p ',
k
'
b k
a n p , 1 1
'
' , 1
b q 1
b p q ' n n 1 1 1
2
'
' n n p p , 2 2
'
a
a n
p
a n p ',
k
b k
b k
b k
n p , 1 1
a n p , 2 2
'
' , 1
b b q k 1
b q 1
'
a a n b k b k a n p , 2 2
p
p
,
b k
k
n p ',
k
'
b k
a n p , 1 1
'
' , 1
b q 1
b p q ' n n 1 1 1
2
'
' n n p p , 2 2
'
a
a n p ',
k
a n p , 1 1
n p , 2
2
'
a p ' ' , n q k , 1 1
a a n b k b k a n p , 2 2
p
p
,
b k
k
n p ',
k
'
b k
a n p , 1 1
'
' , 1
b q 1
b p q ' n n 1 1 1
2
'
' n n p p , 2 2
'
a
n p ',
k
a n p , 1 1
a n p , 2
2
a p ' ' , n q k , 1 1
'
a a n b k b k a n p , 2 2
Suy ra:
a
a
,
a
a
p
n
n n '
n p ',
k
b k
b k
n p , 1 1
n p , 2 2
b q 1
'
' , 1
' 1
C I k
'
n n ',
,
p
k
' , 1
'
t
a
a
n
p
'
n n '
'
b k
k
n p , 1 1
' , 1
b q 1
' 1
n n 2
C I k
b p p k , 2
'
t
n n ',
,
p
k
' , 1
'
a
a
n n '
p
'
,
n p ',
k
'
b k
b k
' 1
n p , 2 2
b p q ' n n 1 1 1
2
C I k
t
n n ',
,
p
k
' , 1
'
a
a
a
a
n n '
n
p
'
n p ',
k
' 1
n p , 1 1
n p , 2 2
' , 1
C I k
q k , 1
'
t
n n ',
,
p
k
' , 1
'
a
a
n
k
b k
b k
n n 2
' 1
n p , 1 1
b q 1
C I k
p 2
' , 1
t
n k ' , 1
k
b k
n n ' 1
2
b q 1
C I k
n p ', 2
t
n k ',
a
a n p ',
a n
p
n n '
a n p , 1 1
q 1
'
n p , 2 2
'
' , 1
' 1
C I q 1
t
n n ',
p
' , 1
'
(2.14)
a b k a n p , 2
n p ',
p
'
n p ',
p
a n p ',
p
,
'
a n p , 1 1
n p , 2 2
b a , q 1
' , 1
'
n p , 1 1
2
b a q 1
'
' , 1
'
'
' , 1
b a q n p 1 1
b q 1
a a a q n b q a q n b q a q n a n p , 2 a n p , 2 2
a n p ',
p
a n p ',
p
'
a n p , 1 1
'
' , 1
b b q q 1
'
' , 1
a n p , 1 1
'
qq 1
b b q q 1
a q n a q n a n p , 2 2 a n p , 2 2
q
a n p ',
,
p
'
a n p , 1 1
p p n n ' , 2 2
'
2
'
' , 1
b b q q 1
a n a q n p 2
a n p ',
q
p
'
' n n 1 1
p p 1
'
a n p , 1 1
'
' , 1
2
qq 1
b b q q 1
a
a
a
a
a
a
n
p
q
n p ',
q
p
n
n p , 1 1
' , 1
b b p p q q ' n n , 1 2 2
'
'
n p , 1 1
'
' , 1
n p , 2 2
b b q q 1
'
a
a
a
a
n p ',
q
n p ',
q
n p , 2 2
qq 1
p p 1
n n 1
'
' 1
'
n p , 2 2
b b q q ' n n 1 1 1
p p 1
'
'
a
a
a
a
a
a
a
n p ',
q
n
p
n p ',
q
n
p
n p , 1 1
' , 1
'
n p , 2 2
qq 1
'
n p , 1 1
' , 1
b b q q 1
'
'
a n a n p , 2
p
q
n p ',
q
'
p
a n p , 1 1
'
' , 1
b b q 1
2
'
n n ' 1 1
p p 1
'
'
' , 1
a n p , 1 1
2
b b q q 1
a
a
a
a
n p ',
q
n p ',
q
n p , 2 2
qq 1
p p 1
n n 1
'
' 1
'
n p , 2 2
b b q q ' n n 1 1 1
p p 1
'
'
a a n a n p p q n n ' , 2 a n p , 2
a n p ',
,
'
p
a n p ',
q
'
p
a q n p 1 1
'
' , 1
n p , 2
2
'
' n n 1 1
p p 1
'
' , 1
a n p , 1 1
2
b b q q 1
a
a
a
a
n
p
q
n p ',
q
'
n p , 1 1
' , 1
b b p p q q ' n n , 1 2 2
'
'
n p , 2 2
b b q q ' n n 1 1 1
p p 1
'
a
a
a
a
a
n p ',
q
p
'
n
n p ',
,
' , 1
n p , 1 1
n p , 2
2
b b q q 1
'
a q n p ' n n qq 1 2 1 1
p p 1
'
2
'
a
a
a
a
a
n p ',
q
n p ',
,
n
p
n p , 2 2
b b q q ' n n 1 1 1
p p 1
'
'
a q n p 1 1
' , 1
'
n p , 2 2
qq 1
'
a a n a n qq 1 a n p , 2
p
'
q
a n p ',
,
a n p , 1 1
' , 1
b b q 1
2
'
'
qq 1
b b q q 1
' n n 1 1
p p 1
'
a
a
a
n p ',
q
n
p
'
n p , 1 1
' , 1
a qq n p , 2 2 1
'
,
Suy ra:
C U a ' n n
q
n p ',
a q n
p
b q
a n p , 1 1
a n p , 2
2
b q 1
' 1
'
' , 1
'
n n p
',
q
,
' , 1
'
t
a
n n '
a n
p
'
q
' 1
n p , 1 1
'
' , 1
b b p p q n n q , 1 2
2
'
C U q
n n p
',
q
,
' , 1
'
t
a n p p q n n ' , 2 a q n p 2 2
n n '
a n p ',
,
'
' 1
'
qq 1
b b q q 1
n n ' 1 1
p p 1
C U q
n n p
',
q
,
' , 1
'
t
n n '
a n p ',
,
a n
'
p
' 1
a q n p 1 1
'
' , 1
a n p , qq 1 2
2
C U q
n n p
',
q
,
' , 1
'
t
C U q
a n
C U q
,
n n 2
' 1
a n p , 1 1
p 2
' , 1
b b q q q 1
n n ' 1
a a n p q n p ', 2
1
2
b b q q 1
n q ',
n q ' , 1
t
t
(2.15)
a n p ',
a n
p
'
n n '
C U q 1
a n p , 1 1
q 1
' , 1
a n p , 2 2
'
' 1
n n p
',
' , 1
'
t
Ta tìm biểu thức của
bằng phương pháp phương trình động lượng
a q n p 2 2
t
,
,
,
,
n p n p q 1 1 2
1
2
F
t
,
,
,
1
2
tử:
(2.16)
i
a n p , 1 1
a n p , 2 2
b H , q 1
t
n p n p q , 1 1 2 t
Ta có:
F
n p ',
'
a n p ',
a n p , 1 1
'
'
a n p , 1 1
'
'
'
'
Suy ra:
a n p ', a n p ', a n p , 2 2 b a , q 1 b q 1 p p , n n , 2 2 a n p , 2 2 b q 1 p p n n , ' , 1 1
n p ',
a n p ',
a n p , 1 1
'
'
'
n p ',
'
t
n p , 2 2
a n p , 1 1
a n p , 2 2
b q 1
n p , 1 1
a n p , 1 1
a n p , 2 2
b q 1
t
t
(
)
(
)
F
(2.17)
t
,
,
,
,
n p , 1 1
n p , 2 2
a n p , 1 1
a n p , 2 2
b q 1
n p , 1 1
n p , 2 2
n p n p q 1 1 2
1
2
t
k
a n p , 1 1
, a n p ', a n p , 2 2 b q 1
a n 1
,p 1
Suy ra:
(2.18)
a n p , 2 2 b b b , q k 1 a n p , 2 2 b q k k , 1
t
,
,
,
,
b b k k k
a n p , 1 1
a n p , 1 1
n p n p q 1 1 2
1
2
t
k
t
n p ',
F a n p , 2 2 b , q 1 q 1 a n p , 2 2 b q 1 q 1
p
a n p , 1 1
'
' , 1
'
a
a
a
a
n p ',
a q n
p
'
b q
n p ',
a q n
p
b a q
n p , 1 1
n p , 2 2
b a q 1
' , 1
'
'
' , 1
n p , 1 1
n p , 2
2
b q 1
'
a
a
)
a
q
'
n p ',
,
'
n p , 1 1
( p p ' n n , 2 2
a q n p 2 2
n p , 1
b b q q 1
'
)
a n p ',
q
a n
p
( p ' n n 1 1
'
,
p 2
'
a n p , 1 1
'
' , 1
a n p , 2 2
b b q q 1
q
a n p ',
,
a n p , 1 1
a n p , 1
b b q 1
p p q n n ' , 2
2
'
'
a q n p 2 2
b b q q 1
p ' n n 1 1
'
,
p 2
'
a
a
a
n p ',
,
n
p
n p , 1 1
a q n p 2
2
' , 1
, q q 1
'
'
Suy ra:
a q n b q a n p , 2 2 b a , q 1
a n p ',
p
n n ',
a n p , 1 1
'
' , 1
'
' 1
p
q
,
n n ',
'
' , 1
t
C U a ', n n
q
'
q
' 1
n p , 1 1
a n p , 1
b b p p q n n q , 1 2
2
'
'
n n ',
p
q
,
' , 1
'
C U a ', n n
q
n p ',
,
' 1
a q n p 2 2
b b p q q 1
n n ' 1 1
'
,
p 2
'
n n ',
p
q
,
' , 1
'
a
a
a
C U a ', n n
q
n p ',
q
n
p
'
' 1
n p , 1 1
n p , 2 2
' , 1
q q , 1
'
n n ',
p
q
,
' , 1
'
, C U q a q n b q a n p , 2 2 b q 1
C U q
C U q
,
n n ' 2 1
a n p , 1 1
a n p , 1 2
b b q q q 1
n n ' 1
a n p ', 2
a q n p 2
2
b b q q 1
t
t
n q ',
n q ' , 1
(2.19)
C U a
a
a
a
n n ',
n p ',
p
n
q 1
' 1
n p , 1 1
q 1
'
n p , 2 2
'
' , 1
n n ',
p
' , 1
'
p
n p ',
k
b k
a n p , 1 1
'
' , 1
'
)
)
a
a n
p
a n
p
n p ',
k
b ( k
b k
a n p ',
k
b ( k
b k
a n p , 1 1
a n p , 2
2
b a q 1
'
' , 1
'
' , 1
n p , 1 1
a n p , 2 2
b q 1
'
'
a n
p
b k
a n p ',
k
k
b ( k
b k
a n p , 1 1
'
b b ( q k 1
' , 1
a n p , 2 2
b ) q 1
p p ' n n , 1 1 1
'
) ' n n p p , 2 2
'
'
a n
p
a n p ',
k
k
,
a n p , 1 1
a n p , 2 2
' , 1
'
q 1
'
Suy ra:
,
C I
)
k n n
'
a n
p
a n p ',
k
b ( k
b k
a n p , 1 1
a n p , 2 2
b q 1
' 1
'
' , 1
'
p
n n ',
,
k
' , 1
'
t
C I
a
a
)
k n n
'
p
n
'
k
' 1
n p , 1 1
'
b b ( q k 1
' , 1
n n 2
b p p k , 2
'
t
p
n n ',
'
,
k
' , 1
C I
a
a
(
)
k n n
'
n p ',
k
b k
b k
' 1
n p , 2 2
b p p q n n ' , 1 1 1 1
'
'
t
p
n n ',
,
k
' , 1
'
C I
a
a
k n n
'
a n
p
a n p ',
k
k
,
'
' 1
n p , 1 1
n p , 2 2
' , 1
'
q 1
t
n n ',
'
,
p
k
' , 1
a
a
)
C I k
n
b k
n n 2
' 1
n p , 1 1
b b ( q k 1
t
p 2
k
' , 1
n k ' , 1
) a n b ( k a n p , 2 2 b a , q 1
'
C I k
b k
n n 1
q 1
a n p k ', 1
t
n k ',
a n p ',
) b b ( k a n p , 2 2
p
n n , 2
' 1
a n p , 1 1
q 1
'
' , 1
'
t
n n ',
p
' , 1
'
a n C I q 1 a n p , 2 2
'
'
b k
b k
n n 2
a n p , 1 1
n n 1
q 1
t
k
a n p k ', 1
t
n k ',
(2.20)
a n p ',
) I ) b b ( k b b ( q k 1 a n p , 2 2 a n p ', 2 C I k
p
n n , 2
' 1
a n p , 1 1
q 1
'
' , 1
'
t
n n ',
p
' , 1
'
a n C I q 1 a n p , 2 2
Do
nên ta có thể bỏ qua số hạng này.
a n p ',
p
2 p
a n p , 1 1
q 1
'
' , 1
'
t
Thay (2.17), (2.18), (2.19), (2.20) vào (2.16) ta được:
F
t
,
,
,
1
2
i
(
)
F
t
,
,
,
,
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
n p n p q 1 2 1
1
2
, n p n p q 1 1 2 t
C U q
C U q
,
n n 2
' 1
a n p , 1 1
a n p , 1 2
b b q q q 1
n n ' 1
a n p ', 2
a q n p 2 2
b b q q 1
t
t
n q ',
n q ' , 1
a
a
)
I
a
a
(
) b
'
'
b k
b k
b k
n n 2 1
n p , 1 1
b b ( q k 1
n n 1 1
n p , 2 2
q 1
t
n p ', 1 2
k
n p ', 1 1
k
C I k
t
n k ', 1
(2.21)
Để giải (2.21), ta giải phương trình vi phân thuần nhất tương ứng sau:
n , 1 a n a n p , 2 2
t
,
,
,
,
1
2
0 n p n p q 1 2 1
t
,
,
,
,
n p , 1 1
n p , 2 2
0 n p n p q 1 1 2
1
2
Sử dụng điều kiện đoạn nhiệt
, ta có nghiệm của phương
F i ( ) F q 1 t
t
,
,
,
,
t
n p n p q 1 2 1
1
2
trình thuần nhất:
t
F
exp
(2.22)
t
,
,
,
,
dt 1
0 n p n p q 1 2 1
1
2
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
i
Để giải phương trình vi phân không thuần nhất (2.21) ta dùng phương pháp biến
thiên hằng số. Đặt
(2.23)
F
t F ( )
t
t
,
,
,
,
,
,
,
,
n p n p q 1 2 1
1
2
0 n p n p q 1 1 2
1
2
Thay (2.23) vào (2.21) ta được:
F 0
,
n n 2
' 1
n p , 1 1
n p , 1
2
n n ' 1
n p ', 2
t
t
n q ',
n q ' , 1
t
exp
q
dt 1
n p , 2 2
q 1
n p , 1 1
i
a
a
)
I
a
a
) b
n
b k
n
b ( k
b k
n n 2
' 1
n p , 1 1
b b ( q k 1
n n 1
' 1
n p , 2
2
q 1
t
p 2
k
' , 1
p 1
k
' , 1
C I k
t
n k ' , 1
a a a C U q C U q b b q q q 1 a q n p 2 2 b b q q 1 i t ( ) t
t
exp
q
dt 1
n p , 1 1
n p , 2 2
i
Suy ra:
t
2
'
,
n n 2 1
a n p , 1 1
n n ' 1 1
a n p ', 1 2
t
t
n q ', 1
a
a
)
I
a
a
) b
n
b k
n
b ( k
b k
n n 2
' 1
n p , 1 1
b b ( q k 1
n n 1
' 1
n p , 2
2
q 1
t
p 2
k
' , 1
p 1
k
' , 1
C I k
t
n k ' , 1
t
exp
(2.24)
q
2
n p , 1 1
n p , 2 2
i
dt dt 1
Thay (2.22), (2.24) vào (2.23) ta được:
t
t ( ) U a n p , 1 2 b b q q q 1 a q n p 2 2 b b q q 1 C U q i
,
,
,
,
k
a n
b k
n p n p q 1 1 2
1
2
n n ' 1 1
C
p k 1
' , 1
n k ' , 1
t 1
I
a
a
(
)
(
)(t
exp
t ) 1
dt 1
b k
n
b k
n n 2
' 1
n p , 1 1
b q 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
p 2
k
' , 1
t 1
i
t
a
a
U
a
a
q
',
'
n p q 1 1
n p , 2 2
b b q q 1
n n 2 1
n p , 1 1
n p , 1 2
b b q q 1
n n ' 1 1
C
q t 1
t 1
dt U 1
i
n q ', 1
exp
(
)(t
q
t ) 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
i
(2.25)
Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình số điện tử
và
n
a
a
t
n p ,
n p ,
n p ,
t
trung bình số phonon
, lấy
ở số hạng thứ nhất chứa
F t ( ) I ) b ( k a n p , 2 2 b q 1 i
N
q
b b q
kC và
q t
lấy
ở số hạng thứ hai chứa
n k ' 1 n q , 1 2
kC , ta được:
t
n k ' 1 n q , 1 1
,
,
,
,
,
n p n p q 1 2 1
1
2
q 1
n n 1 2
a n p q 1 1 2
b b q q 1 1
t 1
(2.26)
I
a
a
exp
(
)(t
t ) 1
dt 1
n n 2 1
n p , 1 1
n p , 1 2
q 1
b b q q 1 1
t 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
i
F t ( ) C I a n p , 2 2 i
Tính toán tương tự với
ta có:
F
,
,
,
, (t) n p n p q 1 1 2
1
2
t
F
(t)
I
a
,
,
,
'
k
',
, n p n p q 1 2 1
1
2
n p , 2 2
b b q k 1
n n 1 1
C
a n p k 1 1
t 1
i
n k ', 1
I
a
a
)
(
)(t
exp
'
t ) 1
dt 1
b k
n n 2 1
n p , 1 1
b b ( q k 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
n p ', 1 2
k
t 1
i
t
a
a
U
a
a
q
',
'
n p q 1 1
n p , 2 2
b b q q 1
n n 2 1
n p , 1 1
n p , 1 2
b b q q 1
n n ' 1 1
C
q t 1
t 1
dt U 1
i
n q ', 1
(2.27)
exp
(
)(t
q
t ) 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
i
Ta chỉ giữ lại các số hạng chứa trung bình số điện tử
và trung bình
n
a
a
t
n p ,
n p ,
n p ,
t
số phonon
, đổi chỉ số
ở số hạng thứ nhất chứa
N
q
b b q
kC và lấy
q t
ở số hạng thứ hai chứa
ở số hạng thứ nhất chứa
n k ' 1 n q , 1 2
qC ,
kC ,
ở số hạng thứ hai chứa
n q k n ' 1 n q , 1 2 ' 1
qC ta được:
t
n q ' 1 n q , 1 1 n q , 1 1
,
,
,
,
, n p n p q 1 1 2
1
2
q 1
n n 1 2
a n p q 1 1 2
q 1
b q 1
t 1
I
a
(
)(t
exp
t ) 1
dt 1
n n 2 1
n p , 1 1
a n p , 1 2
q 1
b b q 1
q 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
t 1
i
t
F (t) C I b a n p , 2 2 i
1
,
n n 2 1
a n p q 1 1 2
b b q q 1 1
n n 2 1
a n p , 1 1
q 1
b b q q 1 1
t 1
t 1
exp
(
)(t
q
t ) 1
n p , 1 1
n p , 2 2
q 1
i
(2.28)
Từ (2.26), (2.28), thay vào (2.11), ta được:
t 1
t ( )
(
a
a
a
a
)
nn
'
1
n p ,
n n '
C I k
b b k k
k
b b k
k
k
dt C I k
n p ,
n p ',
n p ',
n n p , t
1 2
n k ',
U dt C U q 1 a n p , 2 2 a n p , 1 2 i
exp
i
t
t 1
n p ',
k
k
n p ,
i
a
a
a
a
exp
i
t
nn
'
n p ,
t 1
C I k
k
b b k k
k
b b k k
n
',p
k
k
n p ,
n p ,
n p ',
n p ',
a
a
a
a
exp
i
t
nn
'
n p ,
t 1
C I k
k
b b k k
k
b b k k
n
',p
k
k
n p ,
n p ,
i
n p ',
n p ',
i
nn
'
b b k k
k
b b k k
k
',p
k
k
a n p ,
n p ,
n
n p ',
t 1
a
a
C U q
nn
'
nn
1
'
',
b b q q q
n p ,
b b q q
dt C U a q
n p ',
a q n p
n p ,
1 2
n q ',
exp
(
i
)(t
n p ',
q
q
t ) 1
k
n p ,
i
a exp i t t 1 C I k a n p , a n p ', i
q
'
b b q q
',
b b q q q
q
q
k
C U a nn
n p ,
a n p ',
n p ',
n p ,
t 1
2
a
a
a
a
nn
'
dt 1
n p ,
n p ,
2 C I k
b b k k
k
b b k k
k
n p ',
n p ',
( i )(t exp t ) 1 a n p , a q n p i
1 2
n k ',
exp
i
t
t 1
n p ',
k
k
n p ,
i
a
a
a
exp
i
t
t 1
b b k k
k
b b k k
k
',p
k
k
n p ,
a n p ,
n p ,
n
n p ',
n p ',
i
exp
i
t
n p ,
a n p ,
t 1
k
b b k k
k
b b k k
n
',p
k
k
a n p ,
a n p ',
a n p ',
i
a
a
exp
i
t
t 1
k
b b k k
k
b b k k
n
',p
k
k
n p ,
n p ,
n p ,
a n p ',
a n p ',
i
t 1
2
a
a
a
a
2 C U q
nn
'
dt 1
b b q q
q
b b q q q
n p ,
n p ,
n p ',
n p ',
1 2
n q ',
exp
(
i
)(t
n p ',
q
q
t ) 1
k
n p ,
i
a
a
exp
(
i
)(t
a q n p
',
b b q q q
b b q q
q
q
t ) 1
k
n p ',
a n p ,
n p ,
n p ,
n p ',
i
Hay:
t
2
2
nn
'
k
k
k
n k ',
exp
(
i
)(
t
)
t 1
',
k
n p ,
n p k
i
N
N
exp
(
i
)(
t
)
k
k
t 1
',
k
n n p ,
n p ,
n n p ',
k
n p k
i
N
N
exp
(
i
t )(
)
k
k
t 1
',
k
n n p ,
n p ,
n n p ',
k
n p k
i
N
N
exp
(
i
t )(
)
k
k
t 1
',
k
n n p ,
n p ,
n n p ',
k
n p k
i
t
2
t ( ) I N dt 1 C k n N n p , n n p ', n n p , t 1 2
2 C U q
nn
'
q
q
q
',q
n
exp
(
i
)(
t
)
',
q
t 1
k
n p q
n p ,
i
(2.29)
N
exp
(
i
)(
t
)
N n q
q
',
q
t 1
k
n n p ',
q
n p ,
n p ,
n p q
i
Số hạng i là do giả thuyết đoạn nhiệt tại t .
Lấy tích phân hai vế phương trình (2.29) theo dt ta được:
N dt 1 n n p ', n N n p , 1 2
2
2 C I k
nn
'
n k ',
t ( ) n n p , t 1 2
k
k
k
k
( ) N ( ) N n n p , n n p , n n p ', n n p ',
k
k
n p ,
n p ,
n p ',
k
n p ',
k
( ) i ( ) i i i
k
k
n p ,
n p ,
k
k
( n ) N ( n ) N n n p ', n n p ',
k
k
n p ,
n p ,
n p ',
k
n p ',
k
( ) i ( ) i i i
(
)
N
2
n n p ,
n n p ',
q
q
2 C U q
nn
'
1 2
n q ',
(
)
i
n p ',
n p ,
q
k
q
i
q
q
n p ,
( n ) N n n p ',
q
k
n p ,
n p ',
k
Áp dụng:
ta có:
i
x ( )
1
x
i
( ) i i
2
2 C I k
nn
'
n p ,
n p ,
N n ( k
k
n p ',
k
n k ',
t ( ) ) ( ) k n n p ', n n p , t
n p ,
n p ',
k
k
( ) ( ) k n n p , n n p ',
n p ',
n p ,
n p ,
k
k
(
n
) (
)
n p ,
n p ,
k
n n p ',
k
n p ',
k
2
N
) (
)
2 C U q
nn
'
q
n p ',
n p ,
q
(
k
n n p ,
n n p ',
q
q
n q ',
(2.30)
(
n
) (
)
n n p ',
n p ,
n p ,
q
n p ',
k
q
k
Như vậy từ Hamiltonian của hệ điện tử - phonon trong siêu mạng pha tạp và sử
dụng gần đúng lặp ta xây dựng được phương trình động lượng tử cho điện tử giam cầm
trong siêu mạng pha tạp (2.30). Giải phương trình (2.30) ta thu được biểu thức giải tích
của
từ đó sẽ tính được mật độ dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp.
n ,n p
( n ) ( ) k n n p ',
2.2. Biểu thức giải tích của dòng âm - điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
Dòng âm - điện trong siêu mạng pha tạp được cho bởi công thức:
(2.31)
2
p
n
t ( )
Với:
f 1
n pn , t
j V f dp 1 e 2 ) (2
là vận tốc của hạt tải:
pV
pV
,n p t
là thời gian phục hồi của các hạt tải.
Suy ra:
2
2 C I k
nn
'
n p ,
n p ,
N n ( k
k
n p ',
k
n k ',
) ( ) f 1 k n n p ',
n p ,
n p ',
k
k
( ) ( ) k n n p , n n p ',
n p ',
n p ,
n p ,
k
k
(
n
) (
)
n p ,
k
n p ,
n n p ',
k
n p ',
k
2
N
) (
)
2 C U q
nn
'
q
n n p ,
q
(
k
n n p ',
q
n p ',
q
n p ,
n q ',
(2.32)
(
n
) (
)
n p ,
q
n p ',
k
n n p ',
q
n p ,
k
Thay (2.32) vào (2.31) ta được:
2
j
) (
)
2 C I k
nn
'
p
k
n n p ,
n p ,
2
n n p ',
n p ',
k
(
k
k
N V dp
e 2
)
(2
n n k , ',
( n ) ( ) k n n p ',
n p ,
n p ',
k
k
( ) ( ) k n n p , n n p ',
n p ',
n p ,
n p ,
k
k
(
n
) (
)
n p ,
k
n p ,
n n p ',
k
n p ',
k
2
( n ) ( ) k n n p ',
2 C U q
nn
'
q
2
p
n q ',
) (
(
) q k
n n p ,
n n p ',
q
n p ',
q
n p ,
(2.33)
(
n
) (
)
n p ,
q
n p ',
k
n n p ',
q
n p ,
k
Tuyến tính hóa phương trình bằng cách thay:
N V dp e 2 ) (2
nn
'
F
F
F
f
f
0 n p ,
k
k
k
0 n p ',
k
f F p
f
, n p p
p m
f
n p ,
n p ,
F
f ( p ) f ( p ) f 1
0 n p ',
q
0 n p ,
n p ,
là hàm năng lượng đóng góp ở trạng thái cân bằng.
)
f ( F
n p ,
Do đó, từ (2.33) ta có:
2
2
f f q q p f m f F p
2 C I k
nn
'
k
n p ,
2
n p ',
k
2
j N ( ) k dp k e 4 ) (2 p m f F n n k , ',
(
)
2 C U q
nn
'
q
k
2
k
n p ,
n p ',
k
n n q ',
,
f F
2
N e 2 ) (2
n p ,
q
n p ',
q
(2.34)
(
)
q
q
k
n p ',
q
n p ,
f F
j
SH SH 1
2
Đặt :
Ta có :
2
2
f
(
)
n p ,
exp(
)
F
2
n p ,
2 p mk T B
2 n 2 mk TL 2 B
F k T B
1 k T B
2
2
exp(
) exp(
)
2
F k T B
2 p mk T B
2 n 2 mk TL 2 B
1 k T B
2
2
Tính
SH1 :
SH
1
dp
exp(
)
2 C I k
nn
'
N k k
2
e 4
)
(2
n n k , ',
p 1 m k T
B
F k T B
2
2
2
2
2
2
(
)
2
2
k
exp(
)
n ( '
n
)
k
2
p 2
m
2 p m
2
2 2
2 mL
2 p mk T B
2 n 2 mk TL 2 B
( ) dp q k p m f F
2
2
2
2
)
(
2
k
2 n ( '
n
)
(2.35)
k
p 2
m
2 p m
2
2 2
2 mL
2
2
2
n
)
Đặt :
' nn
n 2 ( '
2 2
mL
Xét :
x
Và áp dụng công thức tích phân:
f x ( )
a x (
)
0 x )
f x ( 0
1 a
Ta có :
2
2
2
(
k
)
2
2 n ( '
n
)
k
p x m 2
2
2 p m
2 2
2 mL
2
p
p
x
nn
'
x
nn
'
m k
m k
k m
k 2
k
m 2 k
m 2 k
k 2
k
m 2 k
Sử dụng tính chất của hàm delta:
k
khi
p
1
p
x
nn
'
x
nn
'
k 2
m k k
m 2 k
m k 2 k
m 2 k
k
Đặt :
p
x
nn
'
B
m k 2 k
m 2 k
Từ (2.35) ta có:
2
2
2
SH
1
exp
2 C I k
nn
'
N k k
2
e 4
)
(2
m 2 k
n n k , ',
1 1 2 k T m B
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
p
)
(
p
(
) exp
2 p dp
x
B
B
x
2
2 p mk T B
2
2
2
Đặt :
A
N
exp
2 C I k
nn
'
k
2
e 4
)
(2
3 m k T
n n k , ',
B
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
Khi đó :
p ; / / k p k . p k . x
(
) exp
x
2 x
y
x
x
A dp
2 2 x y mk T 2 B
p p SH 1 p ( p ) ( p 2 p dp ) y B B
Tính :
2 dp B ( y
2 y
2 2 B y mk T 2 B
Áp dụng tích phân:
2
p I p )exp
x
2xe
dx
và
n x dx
1 n 2
m
,
1
m m
1 2
Từ đó tính được:
3 2
2
exp
exp
2 I B
mk T B
2
2
2
3 2
2 B mk T B
1 mk T B
2 B mk T B
3 2
2
exp
2
exp
2 B
mk T B
mk T B
2
2
2
2 B mk T B
2 B mk T B
(
) 2
exp
2 mk T B
B
mk T B
2
2 B mk T B
Do đó :
1 e n 2
2 A mk T B B
2 mk T B
B
2 B mk T B
2 B mk T B
(2.36)
Tính SH2 :
2
2
SH 1 ( ) exp ( )exp 2 mk T B 2 2
2 C U q
nn
'
q
2
n n q ',
,
(
)
(
)
q
q
q
q
k
k
n p ',
q
n p ,
n p ',
q
n p ,
f F
f F
SH 2 N dp e 2 ) (2 p m
2
N
exp
2 C U q
nn
'
q
q
2 p dp
2
e 2
)
(2
n n q , ',
1 1 2 m k T
B
F k T B
2 2 2 n 2 2 mk TL B
2
2
2
2
(
)
2
q
2 n ( '
n
)
q
k
p 2
m
2 p m
2
2 2
2 mL
2
2
2
2
)
(
2
q
2 n ( '
n
)
q
k
p 2
m
2 p m
2
2 2
2 mL
Tính toán tương tự như SH1 có:
2
2
SH
2
N
exp
2 C U q
nn
'
q
q
2 p dp
2
e 2
)
(2
n n q , ',
1 1 2 m k T
B
F k T B
2 2 n 2 mk TL 2 B
m 2 q
p D
x
p D
x
m
)
( k
p
Trong đó:
x
nn
'
D
q 2
q q
m 2 q
SH
2
2
exp
mk T B
2 C mk T D B
2
2 D mk T B
2 mk T D
B
2 D mk T B
2
2
2
C
N
exp
2 C U q
nn
'
q
2
n n q ',
,
e 2
)
(2
3 m k T
B
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
2
và
Xét cơ chế tán xạ điện tử - phonon âm, ta có :
C
N
k
2 k
k 2 c
s
k T B k
(2.38)
Trong đó:
sc
là vận tốc của sóng âm.
là mật độ khối lượng trung bình.
là hằng số thế biến dạng.
Áp dụng công thức chuyển tổng thành tích phân:
( ) 2 exp mk T B 2 (2.37)
2
(2.39)
....
dk
d
dk
k dk
z
k dk
z
3
2
1 (2 )
1 (2 )
k
0
0
0
Thay (2.38) và (2.39) vào (2.36) thu được :
2
2
SH
1
exp
2
dk I z
nn
'
mk T B
2
2
e 4
)
(2
3 m k T
c
n n ,
'
B
F k T B
s
k T 1 B 2 (2 ) k
2
2
2 k dk
2 mk T B
B
2 mk T B
B
2 B mk T B
2 n 2 mk TL 2 B
0
exp ( )exp ( ) 2
2 B mk T B
2
2
exp
exp
dk I z
nn
'
(2 ) (2
n n ,
'
F k T B
2 2 2 n 2 2 mk TL B
2 e 2 mk T B 5 c m ) s k
exp 2
2 k dk
2 mk T B
B
2 mk T B
B
2 B mk T B
2 B mk T B
0
(2.40)
Tính:
( ) exp ( ) exp 2 2
2 k dk
2 mk T B
B
2 B mk T B
0
2
I ( )exp 2
nn
'
B
0
2
m m k k 2 1 k 2 k dk mk T
nn
'
m exp m k 2 k 2 1 k 1 mk T B
2
2
m
nn
'
2
mk T m
m
2 k dk
nn
'
B
m k
k
k 4
1 2 k
0
2
2
m
m
nn
'
nn
'
2
exp
m
exp
m
k
k
2
2
k 4
1 mk T B
1 mk T B
1 2 k
m
nn
'
dk
mk T m
m
k
exp
m
nn
'
B
2
k
k
2
1 mk T B
0
2
2
m
nn
'
2
exp
m
k
2
k 4
1 mk T B
1 2 k
2
2
2
m
nn
'
4
2
dk
exp
m
k
k 4
2
k 4
1 mk T B
1 2 k
0
2
2
2
m
m
nn
'
nn
'
2
dk
m
exp
m
k
k
2
k 4
1 mk T B
1 2 k
0
m
nn
'
m
2
mk T B
k
m
m
nn
'
nn
'
dk
m
exp
m
k
2
2
k
k
2
m
1 mk T B
0
nn
'
m
k
1
2
2
2
m
nn
'
4
2
(2.41)
dk
exp
m
k
k 4
2
k 4
1 mk T B
1 2 k
0
Đặt:
m
nn
'
m
mk T B
k
m
nn
'
exp
m
a
2
k
2
m
1 mk T B
nn
'
m
k
2
nn
'
2
Khi đó, (2.41) trở thành:
m k b , c m 2 mk T B mk T 8 B
2
2
nn
'
4
I
dk
m
ak
dk
exp(
ck
)
2
2
1
k
k 4
m
b 2 k
0
0
Áp dụng công thức tính tích phân:
exp( 2
2
) 2
2
2
(1
x
) exp(
x
)
dx
2 x
0
3 4 2
2 p
p
1 x
p
0
Ta tính được:
2
2
exp
2
bc
c (2
2
a bc
a
)
5 4
nn
'
I
m
K
2
bc
k
4
b c
m
5 2
3 2
(2.42)
c 4
Ta có:
2
exp( x ) dx 2 K 2 p p x
nn
'
z
'
(2.43)
Thay (2.42), (2.43) vào (2.40) ta có:
2
SH
1
exp
2
exp
E
nn
'
E
(2 ) (2
L
n n ,
'
F k T B
2 2 2 n 2 2 mk TL B
2 mk T e 2 B 5 c m ) s k
(2.44)
Trong đó:
2
2
exp
2
c (2
2
a
)
5 4
b c
a b c
nn
'
E
m
K
2
b c
k
4
b c
m
5 2
3 2
c 4
(2.45)
I dq 2 nn L
3
1 2
Tính SH2 : ta thay:
và
C
q
q
3 q 2
S
2 i c l
1
và
S
q
2
L L x
y
2 1 l l 2 2 t l
2 t 2 t
vào (2.43) và chuyển tổng của q
thành tích phân ta được:
2
SH
2
exp
U
dq
nn
'
q dq
z
2
2
n n ,
'
e 2
)
(2
3 m k T
1 (2 )
2 4 c l 2
q S
0
B
F k T B
3
k
(
) 2
exp
2 q mk T D B
mk T B
) (
2
(2 ) c q s
2 D mk T B
(2.46)
(
) 2
exp
2 mk T D
B
mk T B
2
2 D mk T B
Sau khi lấy tích phân ta thu được biểu thức:
2
2
2
(2 )
e
2
4 2 2 c q l
(2.47)
SH
2
exp
U
exp
nn
'
F
F
n n ,
'
c
s
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
Với
(2.48)
exp
F
2
2 D mk T B
2 D mk T B
1
)
( k
'
(2.49)
D
q 2
nn m m 2 q
q q
Thay (2.44) và (2.47) vào biểu thức tính dòng ta được:
2
2
2
j
exp
2
exp
E
E
nn
'
n n ,
'
(2 ) (2
L
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
2 e 2 mk T B 5 ) c m s k
2
2
2
(2 )
e
2
2 2 4 c l q
(2.50)
exp
U
exp
nn
'
F
F
n n ,
'
c
s
F k T B
2 n 2 mk TL 2 B
Với E được tính theo biểu thức (2.45) và F tính theo biểu thức (2.48)
N k q ( ) (2 ) c q s
Từ các biểu thức (2.44), (2.45), (2.47), (2.50) ta thấy dòng âm điện trong siêu mạng
và độ rộng siêu mạng pha tạp L .
pha tạp phụ thuộc phi tuyến vào số vectơ sóng âm q
Chương III.
Tính toán số dòng âm – điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp.
Vẽ đồ thị, bàn luận.
3.1. Tính toán và vẽ đồ thị cho dòng âm - điện trong siêu mạng pha tạp
n=GaAs/p=GaAs:
Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm và nồng độ pha tạp. Các
tham số vật liệu được cho như sau:
Đại lượng
Ký hiệu
Giá trị
Khối lượng hiệu dụng của điện tử
m*
0.067m0
Điện tích hiệu dụng của điện tử
e
2.07e0
Nồng độ hạt tải điện
1023 ( m-3)
n0
Vận tốc âm
5370 (m/s)
vs
3
5320
/kg m
Mật độ tinh thể
Độ rộng siêu mạng pha tạp
L
5 nm
Chu kì siêu mạng
80nm
d
Nồng độ pha tạp
1017 cm-3
nD
Số chu kì siêu mạng
5-20
N1
Sử dụng ngôn ngữ lập trình Matlab, kết quả tính toán số và vẽ đồ thị kết quả lý thuyết
cho thấy sự phụ thuộc phi tuyến của mật độ dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp vào
tần số sóng âm
q
và nồng rộng pha tạp nD, nhiệt dộ T.
3.1.1. Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào tần số sóng âm khi nồng độ pha tạp
thay đổi.
Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số của sóng âm cho trường hợp giá trị của nồng độ pha tạp nD thay đổi nD = 1.1023 m-3, nD = 1,2.1023 m-3, nD = 1,4.1023 m- 3 nhiệt độ của hệ là T=290 K ta thu được kết quả sau:
6
nD=e23 nD=1.2e23 nD=1.4e23
5
4
] s t i n u . b r a [ y t i
3
s n e D
2
t n e r r u C
1
0
2
4
6
8
10
12
14
16 11
[s-1]
x 10
q
Hình 3.1 Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào tần số sóng âm khi nD thay đổi
Đồ thị này dòng âm điện phụ thuộc phi tuyến vào tần số sóng âm khi nồng độ pha tạp
thay đổi. Khi thay đổi nồng độ pha tạp thì dòng âm - điện thay đổi khá mạnh không chỉ
về độ lớn các đỉnh mà vị trí các đỉnh cũng thay đổi. Ở đây, dòng âm điện có hai giá trị
, hay nói các
n
1
n
'
2
n
' 3
n
2
cực đại tương ứng với các chuyển dịch
và
khác, dòng âm điện đạt giá trị cực đại khi tần số của sóng âm
q thỏa mãn điều
kiện
.
n
n
'
q
n n ,
'
k
3.1.2. Sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào nồng rộng pha tạp khi tần số sóng
âm thay đổi
Khảo sát sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng rộng pha tạp khi tần số sóng âm
11
1
thay đổi cho trường hợp giá trị của tần số sóng âm thay đổi
11
1
11
1
,
nhiệt độ của hệ là T=290 K ta thu được kết quả sau:
3.10 s q
12
wq=3e11 wq=3.1e11 wq=3.2e11
10
8
] s t i n u . b r a [ y t i
6
s n e D
t
4
n e r r u C
2
0
0
1
2
4
5
6 21
3 nD(m-3)
x 10
Hình 3.2 Sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng rộng pha tạp khi tần số sóng âm thay
đổi
Đồ thị 3.2 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng độ pha tạp khi giá trị của
tần số sóng âm thay đổi. Đố thị cho thấy dòng âm điện phụ thuộc không tuyến tính vào
nồng độ pha tạp, đỉnh cực đại xuất hiện tại vị trí có nồng độ pha tạp thoả mãn điều kiện
. Khi tần số thay đổi thì giá trị của dòng âm điện thay đổi và vị trí
n
n
'
q
n n ,
'
k
của đỉnh cực đại cũng thay đổi.
3.1.10 s 3.2.10 s , q q
3.2. Thảo luận các kết quả thu được:
Để thấy được sự phụ thuộc của dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp
n=GaAs/p=GaAs vào tần số sóng
q , và tham số của siêu mạng như nồng độ pha tạp
nD ta tính số và vẽ đồ thị, nhìn vào kết quả có một số nhận xét sau:
+ Đồ thị 3.1 chỉ ra rằng: Dòng âm điện phụ thuộc phi tuyến vào tần số sóng âm. Dòng
âm điện đạt giá trị cực đại khi tần số của sóng âm
q thỏa mãn điều kiện
(dịch chuyển nội vùng ). Với trường hợp dịch chuyển nội vùng
n
n
'
q
n n ,
'
k
(
'
n
n
) thì dòng âm điện trong siêu mạng bằng không. Kết quả này hoàn toàn khác biệt so với kết quả thu được trong trường hợp bán dẫn khối, ở đó, dòng âm điện tăng tuyến
tính theo tần số sóng âm.
+ Đồ thị 3.2 mô tả sự phụ thuộc của dòng âm điện vào nồng độ pha tạp tại những
giá trị khác nhau của tần số sóng âm. Từ đồ thị cho thấy dòng âm điện phụ thuộc
không tuyến tính vào nồng độ pha tạp và xuất hiện đỉnh cực đại tại vị trí có nồng độ
n
n
')
pha tạp thỏa mãn điều kiện
. Khi thay đổi tần số thì dòng âm điện
q
' (
n n ,
k
không những thay đổi về giá trị của dòng âm điện mà còn thay đổi cả về vị trí của đỉnh
cực đại.
KẾT LUẬN
Luận văn nghiên cứu về dòng âm điện phi tuyến trong siêu mạng pha tạp được
nghiên cứu dựa trên phương pháp phương trình động lượng tử cho điện tử trong trường
hợp tán xạ điện tử-phonon âm. Kết quả thu được như sau:
1. Xuất phát từ Hamiltonian của hệ điện tử-phonon âm trong siêu mạng pha tạp,
thu nhận được phương trình động lượng tử cho điện tử trong siêu mạng pha tạp khi có
mặt sóng âm và biểu thức giải tích của hàm phân bố điện tử, của dòng âm điện trong siêu
mạng pha tạp. Từ đó, ta thấy rằng dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp phụ thuộc phi
tuyến vào tần số sóng âm
q .
2. Kết quả lý thuyết của dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp đã được tính toán
số, vẽ đồ thị và bàn luận cho trường hợp siêu mạng pha tạp n=GaAs/p=GaAs . Kết quả
tính toán số dòng âm điện trong siêu mạng pha tạp cho thấy rằng, dưới ảnh hưởng của
sóng âm, dòng âm điện phụ thuộc phi tuyến vào tần số sóng âm
q và dòng âm điện phụ
thuộc không tuyến tính vào nồng độ pha tạp. Sự xuất hiện của các đỉnh cực đại khi điều
n
n
'
kiện
được thỏa mãn. Tuy nhiên, vị trí các đỉnh cũng như hình
q
n n ,
'
k
dạng đồ thị có sự khác nhau rõ rệt. Từ kết quả khảo sát trong siêu mạng pha tạp ta thấy
nồng độ pha tạp ảnh hưởng mạnh đến dòng âm điện lượng tử.
3. Dòng âm- điện trong siêu mạng pha tạp có khác biệt so với dòng âm-điện trong
bán dẫn khối
TÀI LIỆU THAM KHẢO
DANH MỤC TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt
1. Nguyễn Quang Báu, Đỗ Quốc Hùng, Vũ Văn Hùng, Lê Tuấn (2004), Lý thuyết bán
dẫn hiện đại, Nhà xuất bản Đại học Quốc Gia Hà Nội.
2. Nguyễn Quang Báu (Chủ biên), Nguyễn Vũ Nhân, Phạm Văn Bền (2008), Vật lý bán
dẫn thấp chiều , Nhà xuất bản Đại học Quốc gia Hà Nội.
3. Nguyễn Văn Hiếu, dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Quang Báu, PGS.TS Trần
Công Phong(2013), Hiệu ứng âm - điện -từ trong các hệ bán dẫn thấp chiều, Luận án
tiến sĩ, Trường ĐH KH Tự Nhiên- ĐH Quốc Gia Hà Nội .
4. Nguyễn Văn Hiệu (1997), Cơ sở lý thuyết lượng tử các chất rắn, Thông tin khoa học
và công nghệ Quốc Gia, Hà Nội.
Tiếng Anh
5. Epstein E.M. (1976), “Parametric resonance of acoustic and optical phonons
in
semiconductors”, Sov Phys Semicond, 10, pp.1164.
6. Manlevich V.L., Epshtein E.M. (1976),“Photostimulated kinetic effects in semiconductors”, J
Sov Phys, 19, pp.230-237.
7. Vyazovskii M.V., Yakovlev V.A. (1977), “Parametric resonance of acoustic and optical
phonons in impurity semiconductors in low temperature”, Sov Phys Semicond, 11, pp.809.
8. Zhao P. (1994), “Phonon amplification by absorption of an intense laser field in a quantum
well of polar material”, Phys Rev B, 49, pp.13589-13599.
9. Bau N.Q., Hieu N.V., Nhan N.V. (2012), “Current in a quantum well by using a
quantum kinetic equation”, Journal of the Korean Physical Society, 61(12), pp.2026-
2031
10. Bau N.Q., Hoi B.D. (2012), “Influence of a strong electromagnetic wave (laser
radiation) on the hall effect in quantum wells with a parabolic potential”, Journal
of
the Korean Physical Society, 60(1), pp.59-64.
11. Bau N.Q., Phong T.C. (2003), “Parametric resonance or acoustic and optical
phonons in a quantum well”, J Korean Phys Soc, 42,
pp.647.
12. Bau N.Q., Trien H.D. (2010), “The nonlinear absorption coefficient of strong
electromagnetic waves caused by electrons confined
in quantum wires”, J
Korean
Phys Soc, 56, pp.120.
13. Epshtein E.M., ManlevichV.L, (1976), “Photostimulated odd magnetoresistance of
semiconductors”, Sov Phys Semicond, 18, pp.1286.
14. Vliet K.M. (1979), “The master equation approach”, Journal of Mathematical
Physics, 20, pp.242
15. Vyazovskii M.V., Yakovlev V.A. (1977), “Parametric resonance of acoustic and
optical phonons in impurity semiconductors in low temperature”, Sov Phys Semicond,
11, pp.809.
PHỤ LỤC
Tính toán số và vẽ đồ thị bằng chương trình Matlab cho dòng âm điện trong siêu
mạng pha tạp
1. Chương trình khảo sát dòng âm điện phụ thuộc vào tần số sóng âm khi nồng độ
pha tạp thay đổi
clear all; close all;clc;
e0=1.6e-19;e=2.07*e0;nm=1;n1m=2;
T1=1e-12;phi=1e4;wq=linspace(2e11,1.5e12,8000);
wq=1e9;
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;nD=1e23;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1*(4*pi*e^2*nD./(X0*m))^(1/2)*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C/h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b/(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b1.*c)^(1/2))+3/(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b2.*c)^(1/2))+3/(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
G=(G+1.5e-12)*1e12
figure(1)
plot(wq,G,'--r');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('\omega_q[s^{-1}]');
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;nD=1.2e23;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1*(4*pi*e^2*nD./(X0*m))^(1/2)*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C/h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b/(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b1.*c)^(1/2))+3/(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b2.*c)^(1/2))+3/(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
G=(G+1.5e-12)*1e12
figure(1)
plot(wq,G,'--g');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('\omega_q[s^{-1}]');
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;nD=1.4e23;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1*(4*pi*e^2*nD./(X0*m))^(1/2)*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C/h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b/(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b1.*c)^(1/2))+3/(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2))^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c)^(1/2)).*(1+6/(4.*(b2.*c)^(1/2))+3/(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-pi^2.*n^2.*h1^2.*b./(2.*m.*L^2)).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
G=(G+1.5e-12)*1e12
figure(1)
plot(wq,G,'--b');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('\omega_q[s^{-1}]');
2. Chương trình khảo sát sự phụ thuộc của mật độ dòng âm điện vào nồng rộng pha
tạp khi tần số sóng âm thay đổi
clear all; close all;clc;
e0=1.6e-19;e=2.07*e0;nm=1;n1m=2;
T1=1e-12;phi=1e4;nD=linspace(2e20,6e21,1000);
wq=3e11;
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1.*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C./h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C./h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b./(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b1.*c).^(1/2))+3./(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b2.*c).^(1/2))+3./(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0.*m)).^(1/2).*b).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*b).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
figure(1)
plot(nD,(G)*1e9+6,'r');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('nD(m^{-
3})');
wq=3.1e11;
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1.*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C./h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C./h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b./(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b1.*c).^(1/2))+3./(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b2.*c).^(1/2))+3./(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0.*m)).^(1/2).*b).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*b).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
figure(1)
plot(nD,(G)*1e9+6,'--g');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('nD(m^{-
3})');
wq=3.2e11;
wk=6e11;L=5e-9
kb=1.38*1e-23,c=3e8;X0=8.86e-12;
vs=5000;T=290;m0=9.1e-31;m=0.067*m0;b=1./(kb*T);
ro=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;q=wq./800;c=3e8;
cr=800;
cl=2000;ct=1800;sima1=(1-cr./cl).^(1/2);sima2=(1-cr./ct).^(1/2);kl=(q.^2-
wq.^2./cl.^2).^(1/2);
r0=5320;del=13.5*e0;h1=1.0544e-34;Ef=0.03*e0;
F=q.*((1+sima1.^2)./(2.*sima1)+(sima1./sima2-2).*(1+sima2.^2)./(2.*sima2));
A1=e.*(2.*pi)^2.*phi.*del.^2.*T1.*cl^4.*wq.^2./(h1.*r0.*cr.*F).*exp(b.*Ef);
A2=(2*pi).^2.*e.*del.^2.*T1.*exp(b.*Ef).*(2*m*pi./b).^(1/2)./((2*pi*h1).^2.*r0.*vs.*w
k.*m);
G=0;
for n=1:nm
for n1=1:n1m
C=h1.*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*(n-n1);
D1=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)+m.*(wk-wq)./q; D2=h1.*q./2+m.*C./(h1.*q)-m.*(wk-
wq)./q;
B1=(1+D1.^2.*b./m).*exp(-D1.^2.*b./(2*m));B2=(1+D2.^2.*b./m).*exp(-
D2.^2.*b./(2*m));
a1=(m./b+m.*C+h1.*wk)./(m.*C/h1+m.*wk).*exp(-b.*(C+h1.*wk)/2);
a2=(m./b-m.*C-h1.*wk)./(m.*C/h1-m.*wk).*exp(-b.*(C-h1.*wk)/2);
b1=(m.*C./h1+m.*wk).^2.*b./(2*m);b2=(m.*C./h1-
m.*wk).^2.*b./(2*m);c=h1^2.*b./(8*m);
K1=(pi./(4.*(b1.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b1.*c).^(1/2))+3./(4.*b1.*c));
K2=(pi./(4.*(b2.*c).^(1/2)).^(1/2)).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(1+6./(4.*(b2.*c).^(1/2))+3./(4.*b2.*c));
E1=(m.*C/h1+m.*wk).^2.*pi.^(1/2).*exp(-
2.*(b1.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a1.*(b1.*c).^(1/2)+a1)./(4*c.^(3/2))+h1^2.*b1.*K1./(4.*c);
E2=(m.*C/h1-m.*wk).^2.*(pi)^(1/2).*exp(-
2.*(b2.*c).^(1/2)).*(2.*c+2.*a2.*(b2.*c).^(1/2)+a2)./(4*c^(3/2))+h1^2.*b2.*K2./(4.*c);
U=((-1).^(n+n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n+n1).^2.*pi.^2./(kl.*L))-((-1).^(n-
n1).*exp(-kl.*L)-1)./(kl.*L+(n-n1).^2.*pi.^2./(kl.*L));
s=U.^2.*A1.*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0.*m)).^(1/2).*b).*(B1-
B2)+A2.*(2*pi./L).*exp(-h1*(4*pi*e^2.*nD./(X0*m)).^(1/2).*b).*(E1-E2);
G=G+s*(n~=n1);
end
end
figure(1)
plot(nD,(G)*1e9+6,'b');hold on,ylabel('Current Density [arb. units]');xlabel('nD(m^{-
3})');
