Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp thêm một tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM THỊ HUYỀN BÀI TOÁN BIÊN-GIÁ TRỊ BAN ĐẦU CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC TUYẾN TÍNH CẤP HAI Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. HÀ TIẾN NGOẠN Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Mở đầu 1 1 Một số kiến thức liên quan 4 1.1 Không gian Sobolev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Không gian L2 (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 Không gian W2m (Ω) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.3 Không gian W m,` (QT ) . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 Bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic 7 2.1 Phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic . . . . . . . . . . 7 2.1.2 Dạng của phương trình truyền nhiệt . . . . . . . . . 9 2.1.3 Nghiệm suy rộng thuộc W2,0 ∆,1 (QT ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 10 2.1.4 Nghiệm suy rộng thuộc L2 (QT ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.1.5 Nghiệm suy rộng thuộc V21,0 (QT ) của bài toán biên- giá trị ban đầu thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 Phương trình parabolic dạng tổng quát . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn . . . 20
ii 2.2.2 Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2.3 Tính duy nhất của nghiệm suy rộng . . . . . . . . . 25 2.3 Bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . 26 2.3.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.2 Định nghĩa nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba . . . . . . . . . . . . . 27 2.3.3 Sự tồn tại nghiệm suy rộng . . . . . . . . . . . . . . 27 2.4 Bất đẳng thức cơ bản thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35
1 Mở đầu 1 Lý do chọn đề tài Trong chương trình của bậc đại học, bước đầu chúng ta đã được làm quen với môn phương trình đạo hàm riêng. Trong đó, ta đã biết được các vấn đề cơ bản liên quan đến phương trình Laplace, phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt. Đó là các phương trình đơn giản lần lượt đại diện cho ba lớp phương trình đạo hàm riêng là phương trình elliptic, hypebolic và parabolic. Khi học ta thấy rằng, điều kiện tồn tại nghiệm theo nghĩ thông thường đòi hỏi khá nhiều yếu tố khắt khe như tính trơn của phương trình, điều này gây khó khăn khi xét các bài toán đối với phương trình trên những miền bất kỳ hoặc đối với những bài toán của các phương trình tổng quát hơn. Để khắc phục điều này, thay vì đi tìm nghiệm cổ điển, người ta đi tìm nghiệm suy rộng, tức là nghiệm có độ khả vi không cao. Sau đó nhờ các công cụ của giải thích hàm, người ta nghiên cứu sự tồn tại, tính duy nhất và độ trơn của nghiệm suy rộng. Chính vì vậy, phương trình đạo hàm riêng còn là vấn đề rất mới mẻ và bí ẩn kích thích sự yêu thích của những sinh viên yêu thích nó. Nhằm góp phần giúp những bạn sinh viên và những độc giả yêu môn phương trình đạo hàm riêng nói chung và bản thân tác giả nói riêng hiểu sâu hơn về môn học này và tiếp tục tìm hiểu khám phá, tôi mạnh dạn nghiên cứu đề tài: “Bài toán biên giá trị ban đầu của phương trình parabolic cấp hai”.
2 2 Đối tượng - Phương pháp - Phạm vi nghiên cứu 2.1 Đối tượng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic cấp hai 2.2 Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là sưu tầm tài liệu, đọc hiểu tài liệu trên cơ sở đó phân tích, tổng hợp, diễn giải, làm rõ và trình bày một hệ thống để giải quyết các vấn đề đặt ra của luận văn. 2.3 Phạm vi nghiên cứu Phạm vi nghiên cứu của luận văn là phương trình parabolic tuyến tính cấp hai. 3 Mục đích - nhiệm vụ và những đóng góp của luận văn 3.1 Mục đích nghiên cứu Mục đích nghiên cứu của luận văn là tìm hiểu sâu hơn về môn phương trình đạo hàm riêng, cụ thể là phương trình parabolic cấp hai. Đóng góp thêm một tài liệu tham khảo cho giảng viên, sinh viên và tất cả những ai quan tâm đến môn phương trình đạo hàm riêng. 3.2 Nhiệm vụ của luận văn Với mục đích đặt ra, nhiệm vụ nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu về bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai. Luận văn gồm hai chương:
3 • Chương 1. Một số kiến thức liên quan mô tả một số không gian Sobolev thích hợp đối với nghiệm của phương trình parabolic. • Chương 2. Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic trình bày khái niệm phương trình parabolic nói chung và phương trình truyền nhiệt nói riêng, phát biểu bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất, đưa vào xét nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình truyền nhiệt. Ngoài ra chương hai trình bày các định lý về sự tồn tại và duy nhất của nghiệm suy rộng bài toán biên-giá trị ban đầu thứ nhất đối với phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn, nghiệm suy rộng của bài toán biên-giá trị ban đầu thứ hai và thứ ba. Tài liệu tham khảo chính của luận văn là tài liệu [1], trong đó trình bày các loại nghiệm suy rộng của phương trình parabolic. Khi các nghiệm suy rộng là các hàm trơn thì chúng là nghiệm cổ điển của các phương trình này mà được nghiên cứu trong [2]. 3.3 Những đóng góp của luận văn Đóng góp nổi bật của luận văn là cung cấp được các khái niệm và kết quả chuyên sâu về nghiệm suy rộng của phương trình parabolic cấp hai dạng bảo toàn. Đó là các khái niệm mới như: định nghĩa đạo hàm riêng suy rộng, các không gian Sobolev. Đặc biệt nó giúp ta có một phương pháp mới đi nghiên cứu bài toán biên-giá trị ban đầu đối với phương trình parabolic cấp hai.
4 Chương 1 Một số kiến thức liên quan Các kiến thức cơ sở trong chương này đều được lấy từ tài liệu [1]. 1.1 Không gian Sobolev 1.1.1 Không gian L2 (Ω) Giả sử Ω là miền bị chặn trong Rn , x = (x1 , x2 , . . . , xn ) ∈ Ω với tích vô hướng Z ( f (x), g(x))L2 (Ω) = f (x)g(x)dx. Ω và chuẩn tương ứng Z 1/2 2 k f kL2 (Ω) = | f (x)| dx . Ω 1.1.2 Không gian W2m (Ω) Giả sử m là các số tự nhiên ta kí hiệu W2m (Ω) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm u(x) ∈ L2 (Ω), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m thuộc L2 (Ω). Không gian W2m (Ω) là không gian Banach với chuẩn sau Z 2 kukW m = ∑ |Dα u|2 dx (1.1) 2 (Ω) |α|≤m Ω trong đó α = (α1 , α2 , . . . , αn ) ∈ Nn là đa chỉ số;
5 ∂ D = (D1 , D2 , . . . , Dn ), Dα = Dα1 Dα2 . . . Dαn , Dj = . ∂xj Không khó khăn khi có thể kiểm tra W2m (Ω) là một không gian Hilbert với tích vô hướng Z (u, v)W2m (Ω) = ∑ Dα uDα vdx. |α|≤m Ω 1.1.3 Không gian W m,` (QT ) Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn với biên ∂ Ω và T = const > 0. Kí hiệu QT = Ω × (0, T ) = {(x,t) : x ∈ Ω, t ∈ (0; T )} và được gọi là miền trụ đáy Ω. Giả sử m, ` là các số tự nhiên ta kí hiệu W m,` (QT ) là không gian Sobolev gồm tất cả các hàm u(x,t) ∈ L2 (QT ), sao cho tất cả các đạo hàm suy rộng theo x đến cấp m và theo t đến cấp ` thuộc L2 (QT ). Không gian W m,` (QT ) là không gian Banach với chuẩn ` Z
k
2 2 Z
∂ u
kukW m,` (Q ) = T ∑ |Dα u|2 dxdt + ∑
k
dxdt. (1.2) |α|≤m QT QT ∂t
k=1 Trường hợp ` = 0 số hạng thứ hai trong vế phải của (1.2) coi như không có. Không khó khăn khi có thể kiểm tra W2m,` (QT ) là một không gian Hilbert với tích vô hướng ` Z ∂ ku ∂ kv Z α α (u, v)W m,` (Q ) = ∑ D uD vdxdt + ∑ dxdt. 2 T |α|≤m QT k=1 QT ∂t k ∂t k
6 1.2 Bất đẳng thức tích phân Giả sử y(t) là hàm không âm và hoàn toàn liên tục trên [0, T ] và với hầu hết t trong [0, T ] thỏa mãn bất đẳng thức dy(t) ≤ c1 (t)y(t) + c2 (t), (1.3) dt ở đó ci (t) là khả tích không âm trên [0, T ]. Khi đó với mọi t, 0 ≤ t ≤ T ta có đánh giá sau đây đối với y(t) Z t Z t Zξ y(t) ≤ exp c1 (t)dt y(0) + c1 (ξ ) exp − c1 (t)dt dξ 0 0 0 Z t Z t ≤ exp c1 (t)dt y(0) + c2 (t)dt . (1.4) 0 0 Thật vậy, nếu ta nhân (1.3) với exp − 0t c1 (t)dt , ta có thể viết kết quả dưới R dạng Zt Zt d y(t) exp − c1 (t)dt ≤ c2 (t) exp − c1 (t)dt . (1.5) dt 0 0 và nếu ta tích phân hai vế của (1.5) từ 0 đến t thì sẽ suy ra (1.4). Nếu c1 (t) = c1 = const > 0 và c2 (·) là một hàm số không giảm trên t thì từ (1.2) và (1.4) ta có các bất đẳng thức sau y0 (t) ≤ ec11t [c1 y(0) + c2 (t)] y(t) ≤ ec11t y(0) + c−1 c1 t 1 c2 (t)[e − 1]. (1.6)
7 Chương 2 Bài toán biên-giá trị ban đầu của phương trình parabolic 2.1 Phương trình truyền nhiệt 2.1.1 Khái niệm phương trình parabolic Giả sử Ω là một miền bị chặn trong Rn+1 , x = (x1 , x2 , . . . , xn , xn + 1) ∈ Ω. Như chúng ta đã biết, phương trình n+1 n+1 Mu ≡ ∑ ai, j (x)uxi x j + ∑ ai(x)ux + a(x)u = f i (2.1) i, j=1 i=1 được gọi là parabolic tại điểm x0 nếu trong tọa độ mới n+1 yi = ∑ βi j x j , i = 1, 2, . . . , n, n + 1 j=1 mà trong đó βi j aki β` j = λk (x0 )δk` , nó đưa về dạng n+1 n+1 0 ∑ λk (x )uy y k k + ∑ bk (x0)uy k + b(x0 )u = f (x0 ), (2.2) k=1 k=1 tại điểm x0 mà ở đó một trong λk (x0 ) (chẳng hạn λn+1 (x0 )) bằng 0, trong khi các hệ số λk (x0 ) còn lại khác không có dấu giống nhau và bn+1 (x0 ) 6= 0. Nếu ta chia (2.2) cho bn+1 (x0 ), ta có phương trình dạng: n n uyn+1 + ∑ µk (x )uyk yk + ∑ bk (x0 )uyk + bu = f . 0 (2.3) k=1 k=1
8 Nếu µk (x0 ) < 0, k = 1, . . . , n) thì (2.3) được gọi là parabolic dạng chuẩn; nếu µk (x0 ) > 0, thì bằng cách đổi hướng của yn+1 và nhân (2.3) với (−1) ta lại được một phương trình parabolic dạng chuẩn. Nếu (2.1) là parabolic ở tất cả các điểm x ∈ Ω, thì ta nói rằng nó là parabolic trong miền này. Nếu các hệ số của M là hàm số trơn và nếu (2.1) là parabolic thì trong một miền (nói chung là một miền nhỏ) của một điểm bất kỳ của một điểm có thể đưa về dạng n n uyn+1 − ∑ bi j uyi yi + ∑ bi uyi + bu = f , (2.4) j=1 i=1 ở đó dạng ∑ni, j=1 bi j ξi ξ j là xác định dương. Biến số yn+1 đóng vai trò ngoại lệ trong miêu tả hiện tượng truyền nhiệt (và một số trường hợp khác) biến số này không là cái gì khác ngoài thời gian: theo đó chúng ta sẽ kí hiệu nó bởi t, những biến số còn lại y1 , . . . , yn miêu tả vị trí của điểm trong một miền trong bài toán vật lý. Chúng ta sẽ xét phương trình parabolic mà được đưa về thành (2.4). Trong luận văn ta xét phương trình parabolic tổng quát dạng bảo toàn sau n n ∂ Mu ≡ ut − ∑ [ai j (x,t)uxi + ai (x,t)u] + ∑ bi (x,t)uxi + a(x,t)u i, j=1 ∂ xi i=1 n ∂ fi = f (x,t) + ∑ (x,t). (2.5) i=1 ∂ xi Nếu các hàm ai j , ai và fi là khả vi thì (2.5) có thể được biến đổi thành phương trình dạng (2.4) và ngược lại nếu các hàm bi j là khả vi thì (2.4) có thể được viết dưới dạng (2.5).