Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:39

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tập cực của một hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa là phần mà trên đó hàm bằng —œ. Do log, modun của một hàm chỉnh hình là hàm đa điều hòa dưới nên tập cực của hàm đa điều hòa dưới (hay còn gọi là tập đa cực) là mở rộng tự nhiên của khái niệm tập giải tích. Nghiên cứu bao đa cực của một tập cực chính là mô tả sự mớ rộng các tập da cực đó cũng tương tự như mở rộng các tập giải tích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HNG BAO A CÜC V TP A CÜC Y TRONG Cn LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n 2016
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HNG BAO A CÜC V TP A CÜC Y TRONG Cn Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH NGUYN QUANG DIU Th¡i Nguy¶n 2016
i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc, khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng
ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, em luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u (¤i håc S÷ Ph¤m H Nëi I). Em xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa em èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho em. Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u nh tr÷íng, Ban Chõ nhi»m khoa to¡n, ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K22 (2015 - 2016) Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh khâa håc. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Do n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, em r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng
iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Mi·n gi£ lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tªp a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Bao a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Dáng d÷ìng, âng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 To¡n tû MongeAmpere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 ë o i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Bao a cüc v tªp a cüc ¦y trong Cn 20 2.1 Tªp a cüc v bao a cüc ¦y trong Cn . . . . . . . . . . . 20 2.2 Bao a cüc cõa ç thà trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . 25
iv K¸t luªn chung 32 T i li»u tham kh£o 33
1 Mð ¦u H m a i·u háa d÷îi l mët èi t÷ñng quan trång cõa gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n v cõa lþ thuy¸t a th¸ và. Tªp cüc cõa mët h m a i·u háa d÷îi ÷ñc ành ngh¾a l ph¦n m tr¶n â h m b¬ng −∞. Do log, modun cõa mët h m ch¿nh h¼nh l h m a i·u háa d÷îi n¶n tªp cüc cõa h m a i·u háa d÷îi (hay cán gåi l tªp a cüc) l mð rëng tü nhi¶n cõa kh¡i ni»m tªp gi£i t½ch. Nghi¶n cùu bao a cüc cõa mët tªp cüc ch½nh l mæ t£ sü mð rëng c¡c tªp a cüc â công t÷ìng tü nh÷ mð rëng c¡c tªp gi£i t½ch. Luªn v«n tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Nguy¹n Quang Di»u v Ph¤m Ho ng Hi»p v· bao a cüc trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u (Cn , n ≥ 2). Ngo i ki¸n thùc chu©n bà trong ch÷ìng I chõ y¸u v· kh¡i ni»m h m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi, mi·n gi£ lçi, dáng d÷ìng âng v to¡n tû Monge - Ampere, trong ch÷ìng II chóng tæi tr¼nh b y c§u tróc cõa bao a cüc cõa ç thà mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n ph¦n bò cõa mët tªp gi£i t½ch (ành lþ 2.1.3 v ành lþ 2.2.1) v mët k¸t qu£ têng qu¡t v· hñp cõa hai tªp a cüc ¦y trong nhúng mi·n kh¡c nhau công l tªp a cüc ¦y tr¶n mët mi·n rëng hìn (ành lþ 2.1.1).
2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l khæng gian tæpæ. H m u : X → [−∞, +∞) gåi l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X n¸u vîi méi α ∈ R tªp Xα = {x ∈ X : u(x) < α} l mð trong X . ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû D l tªp mð trong C. H m u : D → [−∞, +∞) gåi l i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v tho£ m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n D, ngh¾a l vîi måi ω ∈ D tçn t¤i ρ > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r ≤ ρ ta câ Z 2π 1 u(ω) ≤ u(ω + reit )dt. (1.1) 2π 0 Chó þ r¬ng vîi ành ngh¾a tr¶n th¼ h m çng nh§t −∞ tr¶n D ÷ñc xem l h m i·u háa d÷îi tr¶n D. Ta kþ hi»u tªp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n D l SH(D). Sau ¥y l v½ dö ¡ng chó þ v· h m i·u háa d÷îi. Bê · 1.1.3. N¸u f : D → C l h m ch¿nh h¼nh tr¶n D th¼ log |f | l h m i·u háa d÷îi tr¶n D.
3 Chùng minh. Tr÷íng hñp f ≡ 0 th¼ k¸t qu£ l rã r ng. Gi£ sû f 6≡ 0 tr¶n D. Khi â rã r ng log |f | l h m nûa li¶n töc tr¶n D. N¸u f (z0 ) 6= 0 th¼ chån δ > 0 sao cho f 6= 0 tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ}. Khi â log |f | l h m i·u háa tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ} n¶n (1.1) ÷ñc thäa m¢n vîi d§u ¯ng thùc. Tr÷íng hñp f (z0 ) = 0. Khi â log |f (z0 )| = −∞ v do â (1.1) luæn óng. ành lþ sau ¥y cho th§y t½nh i·u háa d÷îi l b§t bi¸n qua ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c tªp mð trong C. ành lþ 1.1.4. Gi£ sû f : D1 → D2 l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð trong C. N¸u u l h m i·u háa d÷îi tr¶n D2 th¼ u ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1. Chùng minh. V¼ t½nh i·u háa d÷îi l t½nh àa ph÷ìng n¶n ch¿ c¦n chùng minh u ◦ f l i·u háa d÷îi tr¶n méi mi·n co compact t÷ìng èi E1 b D1 . Gi£ sû E1 l mi·n nh÷ vªy. Khi â E2 = f (E1 ) b D2 . Chån d¢y h m i·u háa trìn {un } ∈ C ∞ (E2 ) sao cho un & u tr¶n E2 . Ta câ ∆un ≥ 0 tr¶n E2 vîi måi n ≥ 1. Ta câ 0 ∆(un ◦ f ) = (∆(un ) ◦ f )|f |2 tr¶n D1 . Do â un ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n E1 . Nh÷ng un ◦ f & u ◦ f tr¶n E1 n¶n u ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 v ành lþ ÷ñc chùng minh. ành ngh¾a 1.1.5. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð, u : D → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D. H m u gåi l a i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u vîi måi a ∈ D v b ∈ Cn , h m λ 7−→ u(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n måi
4 th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Kþ hi»u P SH(D) l tªp c¡c h m a i·u háa d÷îi trong D. Ta câ mët sè t½nh ch§t cõa h m a i·u háa d÷îi nh÷ sau: +) N¸u u ∈ P SH(D) th¼ eu ∈ P SH(D). +) N¸u u ∈ P SH(D), u ≥ 0 v α ≥ 1 th¼ uα ∈ P SH(D). +) N¸u u1 , u2 l c¡c h m khæng ¥m tr¶n tªp mð D ⊂ Cn v log u1 , log u2 ∈ P SH(D) th¼ u1 , u2 ∈ P SH(D) v log(u1 + u2 ) ∈ P SH(D). ành lþ 1.1.6. Gi£ sû u : X → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ⊂ Cn. Khi â u ∈ P SH(D) khi v ch¿ khi vîi måi a ∈ D, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ 2π 1 Z u(a) ≤ u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b). 2π 0 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: L hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5. i·u ki»n õ: Gi£ sû a ∈ D, b ∈ Cn v x²t U = {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Khi â U l tªp mð tr¶n C. °t v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U . C¦n chùng minh v(λ) l i·u háa d÷îi tr¶n U . Muèn vªy ch¿ c¦n chùng tä n¸u λ0 ∈ U tçn t¤i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th¼ 2π 1 Z v(λ0 ) ≤ v(λ0 + reiθ )dθ. 2π 0 Tø a + λ0 b ∈ U , n¸u câ ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th¼ a + λ0 b + λb ∈ D. Vîi 0 ≤ r < ρ ta câ {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ D. Do â tø gi£ thi¸t Z 2π 1 u(a + λ0 b) ≤ u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ. 2π 0
5 2π 1 Z Vªy v(λ0 ) ≤ v(λ0 + reiθ )dθ, â l i·u ph£i chùng minh. 2π 0 ành ngh¾a 1.1.7. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ D. H m cüc trà t÷ìng èi cõa E èi vîi D, ÷ñc k½ hi»u l uE,D , v ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc uE,D (z) = sup{v(z) : v ∈ P SH(D), v ≤ −1 tr¶n D}, z ∈ D. ành ngh¾a 1.1.8. H m u∗E,D l ch½nh qui hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa uE,D . H m n y ÷ñc ành ngh¾a bði u∗E,D (z) = lim sup uE,D (ρ). ρ→z H m u∗E,D ∈ P SH(D) v −1 ≤ u∗E,D ≤ 0, z ∈ D, u∗E,D (z) = −1 khi z ∈ E. ành lþ sau ¥y mæ t£ t½nh a i·u háa d÷îi cõa u qua ¤o h m theo ngh¾a suy rëng v c¦n dòng cho vi»c chùng tä ddc u l dáng d÷ìng âng song bªc (1,1). ành lþ 1.1.9. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v u ∈ P SH(D). Khi â vîi måi b = (b1, b2, ..., bn) ∈ Cn ta câ n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 j,k=1 ∂z j ∂z k t¤i måi z ∈ D theo ngh¾a suy rëng, ngh¾a l vîi måi ϕ ∈ C0∞(D), ϕ ≥ 0, Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0 D ð â n X ∂ 2u < Lϕ(z)b, b) >= (z)bj bk j,k=1 ∂z j ∂z k
6 l d¤ng Levi cõa ϕ t¤i z . Ng÷ñc l¤i, n¸u v ∈ L1loc (D) sao cho vîi måi z ∈ D, måi b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn , n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 j,k=1 ∂z j ∂z k theo ngh¾a suy rëng th¼ h m u = ε→0 lim(v ∗ χε ) l h m a i·u háa d÷îi tr¶n D v b¬ng h¦u khp nìi tr¶n D. Chùng minh. Gi£ sû u ∈ P SH(D) v °t uε = u ∗ χε. Khi â uε ∈ P SH(Dε ) ∩ C ∞ (Dε ). L§y ϕ ∈ C0∞ (D), ϕ ≥ 0 v b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn . Tø ành lþ hëi tö bà ch°n Lebesgue còng vîi t½ch ph¥n tøng ph¦n ta câ Z Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) = lim uε (z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) D ε→0 D Z = lim ϕ(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0. ε→0 D Ng÷ñc l¤i, gi£ sû v ∈ L1loc (D). °t vε = v ∗ χε , ε > 0. Theo ành lþ Fubini, Hvε (z)(ω, ω) ≥ 0 vîi måi z ∈ Dε v ω ∈ Cn . Do â vε ∈ P SH(Dε ) cho måi ε > 0. M°t kh¡c, vîi o < ε1 < ε2 v z ∈ Dε2 ta câ vε2 = lim(v ∗ χε2 ) ∗ χδ (z) = lim(v ∗ χδ ) ∗ χε2 (z) δ→0 δ→0 ≥ lim(v ∗ χδ ) ∗ χε1 (z) = lim(v ∗ χε1 ) ∗ χδ (z) = vε1 (z). δ→0 δ→0 Vªy hå {vε (z)}ε>0 l d¢y gi£m. °t u(z) = lim vε (z). Khi â u nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v bði ành lþ hëi ε→0 tö ìn i»u v t½nh a i·u háa d÷îi cõa vε tr¶n Dε k²o theo u ∈ P SH(D). Z M°t kh¡c, tø ành ngh¾a cõa t½ch chªp v ¯ng thùc χε (ω)dλ(ω) = 1 Cn suy ra hå {vε } hëi tö tîi v trong L1loc (D). Vªy vε hëi tö h¦u khp nìi tîi v tr¶n D. Do â u = v h¦u khp nìi tr¶n D.
7 D÷îi ¥y l mët sè k¸t qu£ li¶n quan tîi t½nh a i·u háa d÷îi khi qua d÷îi h¤n v t½nh lçi cõa hå c¡c h m a i·u háa d÷îi. ành lþ 1.1.10. Gi£ sû D l mët tªp mð trong Cn. (i) N¸u u, v ∈ P SH(D) th¼ max{u, v} ∈ P SH(D) v n¸u α, β ≥ 0 th¼ αu + βv ∈ P SH(D), ngh¾a l P SH(D) l nân lçi. (ii) N¸u {uj }j≥1 ⊂ P SH(D) l d¢y gi£m th¼ u = lim uj ho°c l h m a i·u háa d÷îi tr¶n D ho°c u ≡ −∞. (iii) N¸u d¢y {uj } ⊂ P SH(D) l d¢y hëi tö ·u tr¶n måi tªp compact cõa D tîi h m u : D → R th¼ u ∈ P SH(D). (iv) Gi£ sû {uα}α∈I ⊂ P SH(D) sao cho u = sup{uα : α ∈ I} l bà ch°n tr¶n àa ph÷ìng, khi â ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n u∗ ∈ P SH(D). Chùng minh. C¡c kh¯ng ành (i), (ii), (iii) suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5 v ành lþ hëi tö ìn i»u hay ành lþ qua giîi h¤n d÷îi d§u t½ch ph¥n trong tr÷íng hñp d¢y hëi tö ·u. Ta chùng minh (iv). Ch¿ c¦n chùng tä a ∈ D, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D th¼ 2π 1 Z ∗ u (a) ≤ u∗ (a + eiθ b)dθ. 2π 0 D¹ th§y vîi måi z ∈ D, b ∈ Cn sao cho {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ Z 2π 1 u(z) ≤ u∗ (z + eiθ b)dθ. 2π 0 Vîi a ∈ D, chån d¢y {zn } ⊂ D sao cho zn → a v u(zn ) → u∗ (a). Tø {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D n¶n vîi n õ lîn {zn + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D. Khi â Z 2π 1 u(zn ) ≤ u∗ (zn + eiθ b)dθ. 2π 0
8 Theo bê · Fatou ta câ Z 2π ∗ 1 u (a) = lim sup u(zn ) ≤ lim sup u∗ (zn + eiθ b)dθ n 2π 0 n Z 2π 1 ≤ u∗ (a + eiθ b)dθ. 2π 0 1.2 Mi·n gi£ lçi 0 Ta ¢ bi¸t tªp D ⊂ Rn ÷ñc gåi l lçi vîi måi x, x ∈ D th¼ 0 {tx + (1 − t)x } ∈ D vîi t ∈ (0, 1). Tø ành ngh¾a tr¶n, ta câ ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng sau. ành ngh¾a 1.2.1. Mi·n D ⊂ Rn ÷ñc gåi l mi·n lçi n¸u h m f (x) = − ln d(x, ∂D) l h m lçi trong D, trong â d(x, ∂D) l kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm x ¸n bi¶n ∂D. Tø kh¡i ni»m mi·n lçi, n¸u thay c§u tróc thüc b¬ng c§u tróc phùc, ta câ kh¡i ni»m mi·n gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.2. Mi·n D ⊂ Cn ÷ñc gåi l gi£ lçi, n¸u h m ϕ(x) = − ln d(z, ∂D), trong â d(z, ∂D) l kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm z ¸n bi¶n ∂D, l h m a i·u háa d÷îi trong D. V½ dö 1.2.3. Tr¶n m°t ph¯ng C, mët mi·n tòy þ l gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.4. Tªp mð bà ch°n D ⊂ Cn gåi l si¶u lçi n¸u tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m ρ tr¶n D m ρ v²t c¤n D theo ngh¾a: vîi måi c < 0, tªp Dc = {z ∈ D : ρ(z) < c} b D.
9 Rã r ng n¸u ρ l h m v²t c¤n èi vîi D th¼ lim ρ(z) = 0 vîi måi ω ∈ ∂D. z→ω Nhªn x²t 1.2.5. Måi mi·n si¶u lçi l mi·n gi£ lçi. 1.3 Tªp a cüc ành ngh¾a 1.3.1. Tªp E ⊂ D ⊂ Cn ÷ñc gåi l tªp a cüc trong D n¸u vîi måi a ∈ E , tçn t¤i l¥n cªn li¶n thæng Va ⊂ D v h m u ∈ P SH(Va ), u 6≡ −∞ sao cho E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}. Theo mët ành lþ cõa Josefson ta luæn t¼m ÷ñc u ∈ P SH(Cn ), u 6≡ −∞ sao cho u|E ≡ −∞. V½ dö ìn gi£n nh§t cõa tªp a cüc l c¡c tªp gi£i t½ch cõa D. M»nh · 1.3.2. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ D. Khi â c¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (ii) Tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m v ∈ P SH(D) sao cho E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Gi£ sû v tçn t¤i nh÷ trong (ii). Khi â vîi måi ε > 0 câ εv ≤ uE,D tr¶n D. Vªy uE,D = 0 h¦u khp nìi trong D. Do â u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (i) ⇒ (ii). Gi£ sû u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. Do â u∗E,D = uE,D h¦u khp nìi n¶n câ a ∈ D sao cho uE,D (a) = 0. Do â vîi måi j ≥ 1, câ 1 vj ∈ P SH(D), vj ≤ 1, vj |E < −1 v vj (a) > − j . °t 2 ∞ X v(z) = vj (z), z ∈ D. j=1
10 Khi â, c¡c têng ri¶ng j X uj (z) = vk (z) k=1 t¤o th nh mët d¢y gi£m c¡c h m a i·u háa d÷îi ¥m, hëi tö tr¶n D tîi v v v(a) > −1. Vªy v l h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n D. Hìn núa, n¸u ∞ X z ∈ E th¼ v(z) ≤ −1 = −∞. Vªy E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. j=1 M»nh · 1.3.3. N¸u D ⊂ Cn l tªp mð v u ∈ P SH(D) ∩ L∞loc(D). Khi â vîi måi tªp a cüc E ⊂ D ta câ Z (ddc u)n = 0. E Chùng minh. Tø ành ngh¾a tªp a cüc, vîi méi a ∈ E câ h¼nh c¦u B(a, r) ⊂ D v h m v ∈ P SH(B(a, r)), v 6≡ −∞ v E ∩ B(a, r) ⊂ {v = −∞}. N¸u ta chùng minh Z (ddc u)n = 0 E∩B(a,r) th¼ M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Do â câ thº coi D = B(a, R) v E ⊂ v −1 (−∞) vîi v ∈ P SH − (D). Vîi méi 0 < r < R ta °t Ar = v −1 (−∞) ∩ B(a, r). Khi â n¸u chùng minh ÷ñc Z (ddc u)n = 0 Ar th¼ Z Z c n 0≤ (dd u) ≤ lim (ddc u)n = 0 E r→R Ar v M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Nh÷ng Ar l tªp d¤ng Gδ v¼ ∞ \ −1 v (−∞) = v −1 ([−∞, −j)) j=1
11 v do (ddc u)n l ë o Borel ch½nh quy n¶n Z Z c n (dd u) = sup (ddc u)n , Ar K trong â sup l§y theo måi tªp con compact K cõa Ar . Nh÷ng K ⊂ Ar n¶n theo M»nh · 1.3.2, u∗K,D ≡ 0. Do â Z Cn (K, D) = (ddc u∗K,D )n = 0. K Nh÷ng u ∈ L∞ loc (D) n¶n Z (ddc u)n ≤ DCn (K, D) K vîi D l h¬ng sè. Vªy Z (ddc u)n = 0 K M»nh · ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1.3.4. Hñp ¸m ÷ñc c¡c tªp a cüc l tªp a cüc. Chùng minh. Gi£ sû {Ej }j≥1 l d¢y c¡c tªp a cüc cõa Cn v E = S∞j=1 Ej . Gi£ sû a ∈ E v B = B(a, 1) l h¼nh c¦u t¥m a b¡n k½nh 1. Khi â ∞ [ E∩B = (Ej ∩ B) j=1 Theo ành lþ Josefson, vîi méi j câ h m ϕj ∈ P SH(Cn ) sao cho Ej ⊂ {ϕj = −∞}. Câ thº coi ϕ < 0 tr¶n B . Vªy Ej ∩ B ⊂ {ϕj = −∞}. Do â u∗Ej ∩B,B ≡ 0. Vªy u∗E∩B,B ≡ 0. Do M»nh · 1.3.2, câ h m v ∈ P SH(D) sao cho E ∩ B ⊂ {v = −∞}. Vªy E l tªp a cüc. ành ngh¾a 1.3.5. N¸u E l tªp a cüc v chùa c£ mi·n D th¼ ta nâi E l tªp a cüc ¦y trong D n·u tçn t¤i h m u ∈ P SH(D) sao cho u 6≡ −∞ v u = −∞ tr¶n E .
12 1.4 Bao a cüc ành ngh¾a 1.4.1. Cho E l mët tªp a cüc con cõa mi·n D. Khi â bao a cüc ED ∗ cõa E trong D ÷ñc x¡c ành bði ∗ ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u|E ≡ −∞}. ¥y câ thº coi l tªp a cüc nhä nh§t chùa E . ành ngh¾a 1.4.2. Bao a cüc ¥m ED∗ cõa mët tªp a cüc E ⊂ D ÷ñc giîi thi»u bði Levenberg v Poletsky trong [12] nh÷ sau: − ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u < 0, u|E ≡ −∞}. Hiºn nhi¶n E ⊂ ED ∗ − ⊂ ED v n¸u E l tªp a cüc ¦y trong D th¼ ∗ ED = E . K¸t qu£ d÷îi ¥y cõa Levenberg v Polotsky thi¸t lªp mèi li¶n h» giúa bao a cüc v bao a cüc ¥m. Bê · 1.4.3. Cho D l mët mi·n gi£ lçi trong Cn v {Dj }j≥1 l mët d¢y t«ng cõa mi·n compact t÷ìng èi vîi ∪Dj = D. Khi â vîi måi tªp a cüc con E cõa D ta câ: [ ∗ ED = (E ∩ Dj )− Dj j≥1 °c bi»t n¸u D l mi·n si¶u lçi v bà ch°n th¼ tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ¥m v²t c¤n cõa D, khi â ED∗ = ED−. K¸t qu£ sau ¥y cõa Zeriahi (M»nh · (2.1)) trong [7]) mæ t£ tªp a cüc ¦y cõa mët tªp E trong sè c¡c bao a cüc cõa nâ. Bê · 1.4.4. Cho tªp a cüc E l tªp con cõa mi·n gi£ lçi D trong Cn. Khi â E l tªp a cüc ¦y trong D n¸u ED∗ = E v E l tªp lo¤i Fσ v Gδ .
13 Düa v o h» qu£ cõa Bê · 1.4.3 v 1.4.4 ta câ: Bê · 1.4.5. Gi£ sû D l mët mi·n gi£ lçi trong Cn v E ⊂ D l mët tªp a cüc. Gi£ sû E l tªp lo¤i Fσ v Gδ v E ∩ D0 l tªp a cüc ¦y trong D0 vîi måi mi·n con compact t÷ìng èi D0 cõa D. Khi â E l mët tªp a cüc ¦y trong D. Chùng minh. L§y {Dj }j≥1 l mët d¢y c¡c mi·n con compact t÷ìng èi gi£ lçi cõa D sao cho D = Dj v Dj b Dj+1 vîi måi j ≥ 1. V¼ E ∩ Dj S j≥1 l tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi j n¶n ta câ (E ∩ Dj )− Dj = E ∩ Dj , ∀j ≥ 1. Tø Bê · 1.4.3 suy ra ED ∗ = E . p döng Bê · 1.4.4 ta câ i·u ph£i chùng minh. Nhªn x²t 1.4.6. Bê · 1.4.5 l sai n¸u khæng câ gi£ thi¸t D l mi·n gi£ lçi. º th§y ÷ñc i·u n y, ta s³ x¥y düng tr¶n mët v½ dö tø [4]. Gi£ sû D := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : |z1 | = 1, |z2 | = 0}, E = {(z1 , z2 ) : |z1 | > 1, z2 = 0}, trong â B(0, 3) l h¼nh c¦u trong C2 vîi b¡n k½nh b¬ng 3. Vîi j ≥ 1, x²t mi·n con sau ¥y cõa D, Dj := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | ≤ 1/j}.
14 Khi â Dj = D1,j ∪ D2,j ∪ D3,j trong â D1,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : |z1 | < 1 − 1/j}, D2,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | > 1/j}, D3,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 + 1/j < |z1 |}. Chó þ r¬ng E ∩ Dj = D3,j ∩ {(z1 , z2 ) : z2 = 0}. °t  tr¶n D3,j ,  log |z2 |  uj (z1 , z2 ) = max(− log j, log |z2 |) tr¶n D1,j ∪ D2,j .   Chó þ r¬ng uj l h m a i·u háa d÷îi tr¶n Dj ,uj 6≡ −∞, ng÷ñc l¤i uj = −∞ tr¶n E ∩ Dj . Do â E ∩ Dj l tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi 0 0 j ≥ 1. Tø Dj = D suy ra E ∩ D l tªp a cüc ¦y trong D vîi måi S j≥1 0 mi·n con compact t÷ìng èi D cõa D. Ti¸p theo, gi£ sû u l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n D thäa m¢n u ≡ −∞ tr¶n E . Ta kh¯ng ành r¬ng u(0, 0) = −∞. º câ i·u n y, cè ành A > 0, khi â câ mët sè ε > 0 õ nhä sao cho u(z1 , z2 ) < −A tr¶n {(z1 , z2 ) : |z1 | = 2, |z2 | = ε}. p döng nguy¶n lþ cüc ¤i ta câ u(0, 0) ≤ max u(0, z2 ) ≤ −A. Cho A → |z2 |=ε −∞ ta ÷ñc u(0, 0) = −∞, v¼ E khæng l tªp a cüc ¦y trong D. Ta câ i·u ph£i chùng minh. (b) Mi·n D x¥y düng nh÷ tr¶n khæng câ bi¶n trìn, chóng tæi khæng bi¸t mët sè v½ dö t÷ìng tü câ thº ÷ñc x¥y düng trong lîp c¡c mi·n bà ch°n vîi bi¶n trìn trong Cn .