Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn
lượt xem 2
download
Tập cực của một hàm đa điều hòa dưới được định nghĩa là phần mà trên đó hàm bằng —œ. Do log, modun của một hàm chỉnh hình là hàm đa điều hòa dưới nên tập cực của hàm đa điều hòa dưới (hay còn gọi là tập đa cực) là mở rộng tự nhiên của khái niệm tập giải tích. Nghiên cứu bao đa cực của một tập cực chính là mô tả sự mớ rộng các tập da cực đó cũng tương tự như mở rộng các tập giải tích.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bao đa cực và tập đa cực đầy trong Cn
- I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HNG BAO A CÜC V TP A CÜC Y TRONG Cn LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n 2016
- I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NGUYN THÀ HNG BAO A CÜC V TP A CÜC Y TRONG Cn Chuy¶n ng nh: GII TCH M¢ sè: 60.46.01.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc GS.TSKH NGUYN QUANG DIU Th¡i Nguy¶n 2016
- i Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc, khæng tròng l°p vîi c¡c · t i kh¡c v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng
- ii Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n, em luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa GS.TSKH Nguy¹n Quang Di»u (¤i håc S÷ Ph¤m H Nëi I). Em xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa em èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho em. Em xin ch¥n th nh c£m ìn Ban Gi¡m hi»u nh tr÷íng, Ban Chõ nhi»m khoa to¡n, ban l¢nh ¤o pháng sau ¤i håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K22 (2015 - 2016) Tr÷íng ¤i håc S÷ Ph¤m - ¤i håc Th¡i Nguy¶n ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho em ho n th nh khâa håc. Em xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho em trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Do n«ng lüc cán h¤n ch¸ n¶n khâa luªn khæng tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât, em r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2016 Ng÷íi vi¸t luªn v«n Nguy¹n Thà H¬ng
- iii Möc löc Líi cam oan i Líi c£m ìn ii Möc löc iii Mð ¦u 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1 Ki¸n thùc chu©n bà 2 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Mi·n gi£ lçi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Tªp a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.4 Bao a cüc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 Dáng d÷ìng, âng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.6 To¡n tû MongeAmpere . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.7 ë o i·u háa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2 Bao a cüc v tªp a cüc ¦y trong Cn 20 2.1 Tªp a cüc v bao a cüc ¦y trong Cn . . . . . . . . . . . 20 2.2 Bao a cüc cõa ç thà trong Cn . . . . . . . . . . . . . . . 25
- iv K¸t luªn chung 32 T i li»u tham kh£o 33
- 1 Mð ¦u H m a i·u háa d÷îi l mët èi t÷ñng quan trång cõa gi£i t½ch phùc nhi·u bi¸n v cõa lþ thuy¸t a th¸ và. Tªp cüc cõa mët h m a i·u háa d÷îi ÷ñc ành ngh¾a l ph¦n m tr¶n â h m b¬ng −∞. Do log, modun cõa mët h m ch¿nh h¼nh l h m a i·u háa d÷îi n¶n tªp cüc cõa h m a i·u háa d÷îi (hay cán gåi l tªp a cüc) l mð rëng tü nhi¶n cõa kh¡i ni»m tªp gi£i t½ch. Nghi¶n cùu bao a cüc cõa mët tªp cüc ch½nh l mæ t£ sü mð rëng c¡c tªp a cüc â công t÷ìng tü nh÷ mð rëng c¡c tªp gi£i t½ch. Luªn v«n tr¼nh b y l¤i mët sè k¸t qu£ cõa Nguy¹n Quang Di»u v Ph¤m Ho ng Hi»p v· bao a cüc trong tr÷íng hñp nhi·u chi·u (Cn , n ≥ 2). Ngo i ki¸n thùc chu©n bà trong ch÷ìng I chõ y¸u v· kh¡i ni»m h m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi, mi·n gi£ lçi, dáng d÷ìng âng v to¡n tû Monge - Ampere, trong ch÷ìng II chóng tæi tr¼nh b y c§u tróc cõa bao a cüc cõa ç thà mët h m ch¿nh h¼nh tr¶n ph¦n bò cõa mët tªp gi£i t½ch (ành lþ 2.1.3 v ành lþ 2.2.1) v mët k¸t qu£ têng qu¡t v· hñp cõa hai tªp a cüc ¦y trong nhúng mi·n kh¡c nhau công l tªp a cüc ¦y tr¶n mët mi·n rëng hìn (ành lþ 2.1.1).
- 2 Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 H m i·u háa d÷îi, a i·u háa d÷îi ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l khæng gian tæpæ. H m u : X → [−∞, +∞) gåi l nûa li¶n töc tr¶n tr¶n X n¸u vîi méi α ∈ R tªp Xα = {x ∈ X : u(x) < α} l mð trong X . ành ngh¾a 1.1.2. Gi£ sû D l tªp mð trong C. H m u : D → [−∞, +∞) gåi l i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u nâ nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v tho£ m¢n b§t ¯ng thùc d÷îi trung b¼nh tr¶n D, ngh¾a l vîi måi ω ∈ D tçn t¤i ρ > 0 sao cho vîi måi 0 ≤ r ≤ ρ ta câ Z 2π 1 u(ω) ≤ u(ω + reit )dt. (1.1) 2π 0 Chó þ r¬ng vîi ành ngh¾a tr¶n th¼ h m çng nh§t −∞ tr¶n D ÷ñc xem l h m i·u háa d÷îi tr¶n D. Ta kþ hi»u tªp c¡c h m i·u háa d÷îi tr¶n D l SH(D). Sau ¥y l v½ dö ¡ng chó þ v· h m i·u háa d÷îi. Bê · 1.1.3. N¸u f : D → C l h m ch¿nh h¼nh tr¶n D th¼ log |f | l h m i·u háa d÷îi tr¶n D.
- 3 Chùng minh. Tr÷íng hñp f ≡ 0 th¼ k¸t qu£ l rã r ng. Gi£ sû f 6≡ 0 tr¶n D. Khi â rã r ng log |f | l h m nûa li¶n töc tr¶n D. N¸u f (z0 ) 6= 0 th¼ chån δ > 0 sao cho f 6= 0 tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ}. Khi â log |f | l h m i·u háa tr¶n B(z0 , δ) = {z ∈ D : |z − z0 | < δ} n¶n (1.1) ÷ñc thäa m¢n vîi d§u ¯ng thùc. Tr÷íng hñp f (z0 ) = 0. Khi â log |f (z0 )| = −∞ v do â (1.1) luæn óng. ành lþ sau ¥y cho th§y t½nh i·u háa d÷îi l b§t bi¸n qua ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa c¡c tªp mð trong C. ành lþ 1.1.4. Gi£ sû f : D1 → D2 l ¡nh x¤ ch¿nh h¼nh giúa hai tªp mð trong C. N¸u u l h m i·u háa d÷îi tr¶n D2 th¼ u ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1. Chùng minh. V¼ t½nh i·u háa d÷îi l t½nh àa ph÷ìng n¶n ch¿ c¦n chùng minh u ◦ f l i·u háa d÷îi tr¶n méi mi·n co compact t÷ìng èi E1 b D1 . Gi£ sû E1 l mi·n nh÷ vªy. Khi â E2 = f (E1 ) b D2 . Chån d¢y h m i·u háa trìn {un } ∈ C ∞ (E2 ) sao cho un & u tr¶n E2 . Ta câ ∆un ≥ 0 tr¶n E2 vîi måi n ≥ 1. Ta câ 0 ∆(un ◦ f ) = (∆(un ) ◦ f )|f |2 tr¶n D1 . Do â un ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n E1 . Nh÷ng un ◦ f & u ◦ f tr¶n E1 n¶n u ◦ f l h m i·u háa d÷îi tr¶n D1 v ành lþ ÷ñc chùng minh. ành ngh¾a 1.1.5. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð, u : D → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D. H m u gåi l a i·u háa d÷îi tr¶n D n¸u vîi måi a ∈ D v b ∈ Cn , h m λ 7−→ u(a + λb) l i·u háa d÷îi ho°c b¬ng −∞ tr¶n måi
- 4 th nh ph¦n li¶n thæng cõa tªp {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Kþ hi»u P SH(D) l tªp c¡c h m a i·u háa d÷îi trong D. Ta câ mët sè t½nh ch§t cõa h m a i·u háa d÷îi nh÷ sau: +) N¸u u ∈ P SH(D) th¼ eu ∈ P SH(D). +) N¸u u ∈ P SH(D), u ≥ 0 v α ≥ 1 th¼ uα ∈ P SH(D). +) N¸u u1 , u2 l c¡c h m khæng ¥m tr¶n tªp mð D ⊂ Cn v log u1 , log u2 ∈ P SH(D) th¼ u1 , u2 ∈ P SH(D) v log(u1 + u2 ) ∈ P SH(D). ành lþ 1.1.6. Gi£ sû u : X → [−∞, +∞) l h m nûa li¶n töc tr¶n, khæng çng nh§t b¬ng −∞ tr¶n måi th nh ph¦n li¶n thæng cõa D ⊂ Cn. Khi â u ∈ P SH(D) khi v ch¿ khi vîi måi a ∈ D, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ 2π 1 Z u(a) ≤ u(a + reiθ b)dθ := l(u, a, b). 2π 0 Chùng minh. i·u ki»n c¦n: L hiºn nhi¶n suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5. i·u ki»n õ: Gi£ sû a ∈ D, b ∈ Cn v x²t U = {λ ∈ C : a + λb ∈ D}. Khi â U l tªp mð tr¶n C. °t v(λ) = u(a + λb), λ ∈ U . C¦n chùng minh v(λ) l i·u háa d÷îi tr¶n U . Muèn vªy ch¿ c¦n chùng tä n¸u λ0 ∈ U tçn t¤i ρ > 0 sao cho 0 ≤ r < ρ th¼ 2π 1 Z v(λ0 ) ≤ v(λ0 + reiθ )dθ. 2π 0 Tø a + λ0 b ∈ U , n¸u câ ρ > 0 sao cho khi |λ| < ρ th¼ a + λ0 b + λb ∈ D. Vîi 0 ≤ r < ρ ta câ {a + λ0 b + λrb : |λ| ≤ 1} ⊂ D. Do â tø gi£ thi¸t Z 2π 1 u(a + λ0 b) ≤ u(a + λ0 b + rbeiθ )dθ. 2π 0
- 5 2π 1 Z Vªy v(λ0 ) ≤ v(λ0 + reiθ )dθ, â l i·u ph£i chùng minh. 2π 0 ành ngh¾a 1.1.7. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ D. H m cüc trà t÷ìng èi cõa E èi vîi D, ÷ñc k½ hi»u l uE,D , v ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc uE,D (z) = sup{v(z) : v ∈ P SH(D), v ≤ −1 tr¶n D}, z ∈ D. ành ngh¾a 1.1.8. H m u∗E,D l ch½nh qui hâa nûa li¶n töc tr¶n cõa uE,D . H m n y ÷ñc ành ngh¾a bði u∗E,D (z) = lim sup uE,D (ρ). ρ→z H m u∗E,D ∈ P SH(D) v −1 ≤ u∗E,D ≤ 0, z ∈ D, u∗E,D (z) = −1 khi z ∈ E. ành lþ sau ¥y mæ t£ t½nh a i·u háa d÷îi cõa u qua ¤o h m theo ngh¾a suy rëng v c¦n dòng cho vi»c chùng tä ddc u l dáng d÷ìng âng song bªc (1,1). ành lþ 1.1.9. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v u ∈ P SH(D). Khi â vîi måi b = (b1, b2, ..., bn) ∈ Cn ta câ n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 j,k=1 ∂z j ∂z k t¤i måi z ∈ D theo ngh¾a suy rëng, ngh¾a l vîi måi ϕ ∈ C0∞(D), ϕ ≥ 0, Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0 D ð â n X ∂ 2u < Lϕ(z)b, b) >= (z)bj bk j,k=1 ∂z j ∂z k
- 6 l d¤ng Levi cõa ϕ t¤i z . Ng÷ñc l¤i, n¸u v ∈ L1loc (D) sao cho vîi måi z ∈ D, måi b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn , n X ∂ 2u (z)bj bk ≥ 0 j,k=1 ∂z j ∂z k theo ngh¾a suy rëng th¼ h m u = ε→0 lim(v ∗ χε ) l h m a i·u háa d÷îi tr¶n D v b¬ng h¦u khp nìi tr¶n D. Chùng minh. Gi£ sû u ∈ P SH(D) v °t uε = u ∗ χε. Khi â uε ∈ P SH(Dε ) ∩ C ∞ (Dε ). L§y ϕ ∈ C0∞ (D), ϕ ≥ 0 v b = (b1 , b2 , ..., bn ) ∈ Cn . Tø ành lþ hëi tö bà ch°n Lebesgue còng vîi t½ch ph¥n tøng ph¦n ta câ Z Z u(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) = lim uε (z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) D ε→0 D Z = lim ϕ(z) < Lϕ(z)b, b) > dλ(z) ≥ 0. ε→0 D Ng÷ñc l¤i, gi£ sû v ∈ L1loc (D). °t vε = v ∗ χε , ε > 0. Theo ành lþ Fubini, Hvε (z)(ω, ω) ≥ 0 vîi måi z ∈ Dε v ω ∈ Cn . Do â vε ∈ P SH(Dε ) cho måi ε > 0. M°t kh¡c, vîi o < ε1 < ε2 v z ∈ Dε2 ta câ vε2 = lim(v ∗ χε2 ) ∗ χδ (z) = lim(v ∗ χδ ) ∗ χε2 (z) δ→0 δ→0 ≥ lim(v ∗ χδ ) ∗ χε1 (z) = lim(v ∗ χε1 ) ∗ χδ (z) = vε1 (z). δ→0 δ→0 Vªy hå {vε (z)}ε>0 l d¢y gi£m. °t u(z) = lim vε (z). Khi â u nûa li¶n töc tr¶n tr¶n D v bði ành lþ hëi ε→0 tö ìn i»u v t½nh a i·u háa d÷îi cõa vε tr¶n Dε k²o theo u ∈ P SH(D). Z M°t kh¡c, tø ành ngh¾a cõa t½ch chªp v ¯ng thùc χε (ω)dλ(ω) = 1 Cn suy ra hå {vε } hëi tö tîi v trong L1loc (D). Vªy vε hëi tö h¦u khp nìi tîi v tr¶n D. Do â u = v h¦u khp nìi tr¶n D.
- 7 D÷îi ¥y l mët sè k¸t qu£ li¶n quan tîi t½nh a i·u háa d÷îi khi qua d÷îi h¤n v t½nh lçi cõa hå c¡c h m a i·u háa d÷îi. ành lþ 1.1.10. Gi£ sû D l mët tªp mð trong Cn. (i) N¸u u, v ∈ P SH(D) th¼ max{u, v} ∈ P SH(D) v n¸u α, β ≥ 0 th¼ αu + βv ∈ P SH(D), ngh¾a l P SH(D) l nân lçi. (ii) N¸u {uj }j≥1 ⊂ P SH(D) l d¢y gi£m th¼ u = lim uj ho°c l h m a i·u háa d÷îi tr¶n D ho°c u ≡ −∞. (iii) N¸u d¢y {uj } ⊂ P SH(D) l d¢y hëi tö ·u tr¶n måi tªp compact cõa D tîi h m u : D → R th¼ u ∈ P SH(D). (iv) Gi£ sû {uα}α∈I ⊂ P SH(D) sao cho u = sup{uα : α ∈ I} l bà ch°n tr¶n àa ph÷ìng, khi â ch½nh quy hâa nûa li¶n töc tr¶n u∗ ∈ P SH(D). Chùng minh. C¡c kh¯ng ành (i), (ii), (iii) suy ra tø ành ngh¾a 1.1.5 v ành lþ hëi tö ìn i»u hay ành lþ qua giîi h¤n d÷îi d§u t½ch ph¥n trong tr÷íng hñp d¢y hëi tö ·u. Ta chùng minh (iv). Ch¿ c¦n chùng tä a ∈ D, b ∈ Cn sao cho {a + λb : λ ∈ C, |λ| ≤ 1} ⊂ D th¼ 2π 1 Z ∗ u (a) ≤ u∗ (a + eiθ b)dθ. 2π 0 D¹ th§y vîi måi z ∈ D, b ∈ Cn sao cho {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D ta câ Z 2π 1 u(z) ≤ u∗ (z + eiθ b)dθ. 2π 0 Vîi a ∈ D, chån d¢y {zn } ⊂ D sao cho zn → a v u(zn ) → u∗ (a). Tø {z + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D n¶n vîi n õ lîn {zn + λb, |λ| ≤ 1} ⊂ D. Khi â Z 2π 1 u(zn ) ≤ u∗ (zn + eiθ b)dθ. 2π 0
- 8 Theo bê · Fatou ta câ Z 2π ∗ 1 u (a) = lim sup u(zn ) ≤ lim sup u∗ (zn + eiθ b)dθ n 2π 0 n Z 2π 1 ≤ u∗ (a + eiθ b)dθ. 2π 0 1.2 Mi·n gi£ lçi 0 Ta ¢ bi¸t tªp D ⊂ Rn ÷ñc gåi l lçi vîi måi x, x ∈ D th¼ 0 {tx + (1 − t)x } ∈ D vîi t ∈ (0, 1). Tø ành ngh¾a tr¶n, ta câ ành ngh¾a t÷ìng ÷ìng sau. ành ngh¾a 1.2.1. Mi·n D ⊂ Rn ÷ñc gåi l mi·n lçi n¸u h m f (x) = − ln d(x, ∂D) l h m lçi trong D, trong â d(x, ∂D) l kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm x ¸n bi¶n ∂D. Tø kh¡i ni»m mi·n lçi, n¸u thay c§u tróc thüc b¬ng c§u tróc phùc, ta câ kh¡i ni»m mi·n gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.2. Mi·n D ⊂ Cn ÷ñc gåi l gi£ lçi, n¸u h m ϕ(x) = − ln d(z, ∂D), trong â d(z, ∂D) l kho£ng c¡ch Ìclit tø iºm z ¸n bi¶n ∂D, l h m a i·u háa d÷îi trong D. V½ dö 1.2.3. Tr¶n m°t ph¯ng C, mët mi·n tòy þ l gi£ lçi. ành ngh¾a 1.2.4. Tªp mð bà ch°n D ⊂ Cn gåi l si¶u lçi n¸u tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m ρ tr¶n D m ρ v²t c¤n D theo ngh¾a: vîi måi c < 0, tªp Dc = {z ∈ D : ρ(z) < c} b D.
- 9 Rã r ng n¸u ρ l h m v²t c¤n èi vîi D th¼ lim ρ(z) = 0 vîi måi ω ∈ ∂D. z→ω Nhªn x²t 1.2.5. Måi mi·n si¶u lçi l mi·n gi£ lçi. 1.3 Tªp a cüc ành ngh¾a 1.3.1. Tªp E ⊂ D ⊂ Cn ÷ñc gåi l tªp a cüc trong D n¸u vîi måi a ∈ E , tçn t¤i l¥n cªn li¶n thæng Va ⊂ D v h m u ∈ P SH(Va ), u 6≡ −∞ sao cho E ∩ Va ⊂ {z ∈ Va : u(z) = −∞}. Theo mët ành lþ cõa Josefson ta luæn t¼m ÷ñc u ∈ P SH(Cn ), u 6≡ −∞ sao cho u|E ≡ −∞. V½ dö ìn gi£n nh§t cõa tªp a cüc l c¡c tªp gi£i t½ch cõa D. M»nh · 1.3.2. Gi£ sû D ⊂ Cn l tªp mð v E ⊂ D. Khi â c¡c ph¡t biºu sau ¥y l t÷ìng ÷ìng: (i) u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (ii) Tçn t¤i h m a i·u háa d÷îi ¥m v ∈ P SH(D) sao cho E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. Chùng minh. (ii) ⇒ (i). Gi£ sû v tçn t¤i nh÷ trong (ii). Khi â vîi måi ε > 0 câ εv ≤ uE,D tr¶n D. Vªy uE,D = 0 h¦u khp nìi trong D. Do â u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. (i) ⇒ (ii). Gi£ sû u∗E,D (z) = 0 vîi måi z ∈ D. Do â u∗E,D = uE,D h¦u khp nìi n¶n câ a ∈ D sao cho uE,D (a) = 0. Do â vîi måi j ≥ 1, câ 1 vj ∈ P SH(D), vj ≤ 1, vj |E < −1 v vj (a) > − j . °t 2 ∞ X v(z) = vj (z), z ∈ D. j=1
- 10 Khi â, c¡c têng ri¶ng j X uj (z) = vk (z) k=1 t¤o th nh mët d¢y gi£m c¡c h m a i·u háa d÷îi ¥m, hëi tö tr¶n D tîi v v v(a) > −1. Vªy v l h m a i·u háa d÷îi ¥m tr¶n D. Hìn núa, n¸u ∞ X z ∈ E th¼ v(z) ≤ −1 = −∞. Vªy E ⊂ {z ∈ D : v(z) = −∞}. j=1 M»nh · 1.3.3. N¸u D ⊂ Cn l tªp mð v u ∈ P SH(D) ∩ L∞loc(D). Khi â vîi måi tªp a cüc E ⊂ D ta câ Z (ddc u)n = 0. E Chùng minh. Tø ành ngh¾a tªp a cüc, vîi méi a ∈ E câ h¼nh c¦u B(a, r) ⊂ D v h m v ∈ P SH(B(a, r)), v 6≡ −∞ v E ∩ B(a, r) ⊂ {v = −∞}. N¸u ta chùng minh Z (ddc u)n = 0 E∩B(a,r) th¼ M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Do â câ thº coi D = B(a, R) v E ⊂ v −1 (−∞) vîi v ∈ P SH − (D). Vîi méi 0 < r < R ta °t Ar = v −1 (−∞) ∩ B(a, r). Khi â n¸u chùng minh ÷ñc Z (ddc u)n = 0 Ar th¼ Z Z c n 0≤ (dd u) ≤ lim (ddc u)n = 0 E r→R Ar v M»nh · 1.3.3 ÷ñc chùng minh. Nh÷ng Ar l tªp d¤ng Gδ v¼ ∞ \ −1 v (−∞) = v −1 ([−∞, −j)) j=1
- 11 v do (ddc u)n l ë o Borel ch½nh quy n¶n Z Z c n (dd u) = sup (ddc u)n , Ar K trong â sup l§y theo måi tªp con compact K cõa Ar . Nh÷ng K ⊂ Ar n¶n theo M»nh · 1.3.2, u∗K,D ≡ 0. Do â Z Cn (K, D) = (ddc u∗K,D )n = 0. K Nh÷ng u ∈ L∞ loc (D) n¶n Z (ddc u)n ≤ DCn (K, D) K vîi D l h¬ng sè. Vªy Z (ddc u)n = 0 K M»nh · ÷ñc chùng minh. H» qu£ 1.3.4. Hñp ¸m ÷ñc c¡c tªp a cüc l tªp a cüc. Chùng minh. Gi£ sû {Ej }j≥1 l d¢y c¡c tªp a cüc cõa Cn v E = S∞j=1 Ej . Gi£ sû a ∈ E v B = B(a, 1) l h¼nh c¦u t¥m a b¡n k½nh 1. Khi â ∞ [ E∩B = (Ej ∩ B) j=1 Theo ành lþ Josefson, vîi méi j câ h m ϕj ∈ P SH(Cn ) sao cho Ej ⊂ {ϕj = −∞}. Câ thº coi ϕ < 0 tr¶n B . Vªy Ej ∩ B ⊂ {ϕj = −∞}. Do â u∗Ej ∩B,B ≡ 0. Vªy u∗E∩B,B ≡ 0. Do M»nh · 1.3.2, câ h m v ∈ P SH(D) sao cho E ∩ B ⊂ {v = −∞}. Vªy E l tªp a cüc. ành ngh¾a 1.3.5. N¸u E l tªp a cüc v chùa c£ mi·n D th¼ ta nâi E l tªp a cüc ¦y trong D n·u tçn t¤i h m u ∈ P SH(D) sao cho u 6≡ −∞ v u = −∞ tr¶n E .
- 12 1.4 Bao a cüc ành ngh¾a 1.4.1. Cho E l mët tªp a cüc con cõa mi·n D. Khi â bao a cüc ED ∗ cõa E trong D ÷ñc x¡c ành bði ∗ ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u|E ≡ −∞}. ¥y câ thº coi l tªp a cüc nhä nh§t chùa E . ành ngh¾a 1.4.2. Bao a cüc ¥m ED∗ cõa mët tªp a cüc E ⊂ D ÷ñc giîi thi»u bði Levenberg v Poletsky trong [12] nh÷ sau: − ED = ∩{z ∈ D : u(z) = −∞, u ∈ P SH(D), u < 0, u|E ≡ −∞}. Hiºn nhi¶n E ⊂ ED ∗ − ⊂ ED v n¸u E l tªp a cüc ¦y trong D th¼ ∗ ED = E . K¸t qu£ d÷îi ¥y cõa Levenberg v Polotsky thi¸t lªp mèi li¶n h» giúa bao a cüc v bao a cüc ¥m. Bê · 1.4.3. Cho D l mët mi·n gi£ lçi trong Cn v {Dj }j≥1 l mët d¢y t«ng cõa mi·n compact t÷ìng èi vîi ∪Dj = D. Khi â vîi måi tªp a cüc con E cõa D ta câ: [ ∗ ED = (E ∩ Dj )− Dj j≥1 °c bi»t n¸u D l mi·n si¶u lçi v bà ch°n th¼ tçn t¤i mët h m a i·u háa d÷îi ¥m v²t c¤n cõa D, khi â ED∗ = ED−. K¸t qu£ sau ¥y cõa Zeriahi (M»nh · (2.1)) trong [7]) mæ t£ tªp a cüc ¦y cõa mët tªp E trong sè c¡c bao a cüc cõa nâ. Bê · 1.4.4. Cho tªp a cüc E l tªp con cõa mi·n gi£ lçi D trong Cn. Khi â E l tªp a cüc ¦y trong D n¸u ED∗ = E v E l tªp lo¤i Fσ v Gδ .
- 13 Düa v o h» qu£ cõa Bê · 1.4.3 v 1.4.4 ta câ: Bê · 1.4.5. Gi£ sû D l mët mi·n gi£ lçi trong Cn v E ⊂ D l mët tªp a cüc. Gi£ sû E l tªp lo¤i Fσ v Gδ v E ∩ D0 l tªp a cüc ¦y trong D0 vîi måi mi·n con compact t÷ìng èi D0 cõa D. Khi â E l mët tªp a cüc ¦y trong D. Chùng minh. L§y {Dj }j≥1 l mët d¢y c¡c mi·n con compact t÷ìng èi gi£ lçi cõa D sao cho D = Dj v Dj b Dj+1 vîi måi j ≥ 1. V¼ E ∩ Dj S j≥1 l tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi j n¶n ta câ (E ∩ Dj )− Dj = E ∩ Dj , ∀j ≥ 1. Tø Bê · 1.4.3 suy ra ED ∗ = E . p döng Bê · 1.4.4 ta câ i·u ph£i chùng minh. Nhªn x²t 1.4.6. Bê · 1.4.5 l sai n¸u khæng câ gi£ thi¸t D l mi·n gi£ lçi. º th§y ÷ñc i·u n y, ta s³ x¥y düng tr¶n mët v½ dö tø [4]. Gi£ sû D := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : |z1 | = 1, |z2 | = 0}, E = {(z1 , z2 ) : |z1 | > 1, z2 = 0}, trong â B(0, 3) l h¼nh c¦u trong C2 vîi b¡n k½nh b¬ng 3. Vîi j ≥ 1, x²t mi·n con sau ¥y cõa D, Dj := B(0, 3)\{(z1 , z2 ) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | ≤ 1/j}.
- 14 Khi â Dj = D1,j ∪ D2,j ∪ D3,j trong â D1,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : |z1 | < 1 − 1/j}, D2,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 − 1/j ≤ |z1 | ≤ 1 + 1/j, |z2 | > 1/j}, D3,j := {(z1 , z2 ) ∈ B(0, 3) : 1 + 1/j < |z1 |}. Chó þ r¬ng E ∩ Dj = D3,j ∩ {(z1 , z2 ) : z2 = 0}. °t tr¶n D3,j , log |z2 | uj (z1 , z2 ) = max(− log j, log |z2 |) tr¶n D1,j ∪ D2,j . Chó þ r¬ng uj l h m a i·u háa d÷îi tr¶n Dj ,uj 6≡ −∞, ng÷ñc l¤i uj = −∞ tr¶n E ∩ Dj . Do â E ∩ Dj l tªp a cüc ¦y trong Dj vîi måi 0 0 j ≥ 1. Tø Dj = D suy ra E ∩ D l tªp a cüc ¦y trong D vîi måi S j≥1 0 mi·n con compact t÷ìng èi D cõa D. Ti¸p theo, gi£ sû u l mët h m a i·u háa d÷îi tr¶n D thäa m¢n u ≡ −∞ tr¶n E . Ta kh¯ng ành r¬ng u(0, 0) = −∞. º câ i·u n y, cè ành A > 0, khi â câ mët sè ε > 0 õ nhä sao cho u(z1 , z2 ) < −A tr¶n {(z1 , z2 ) : |z1 | = 2, |z2 | = ε}. p döng nguy¶n lþ cüc ¤i ta câ u(0, 0) ≤ max u(0, z2 ) ≤ −A. Cho A → |z2 |=ε −∞ ta ÷ñc u(0, 0) = −∞, v¼ E khæng l tªp a cüc ¦y trong D. Ta câ i·u ph£i chùng minh. (b) Mi·n D x¥y düng nh÷ tr¶n khæng câ bi¶n trìn, chóng tæi khæng bi¸t mët sè v½ dö t÷ìng tü câ thº ÷ñc x¥y düng trong lîp c¡c mi·n bà ch°n vîi bi¶n trìn trong Cn .
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán quy hoạch lồi
60 p | 328 | 76
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý ánh xạ co và phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị đơn điệu
45 p | 322 | 70
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức a - phin
56 p | 254 | 39
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ
41 p | 238 | 38
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm của các bài toán tối ưu có tham số
63 p | 229 | 38
-
Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học: Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình vi phân
20 p | 239 | 29
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)
45 p | 229 | 27
-
Luận văn thạc sĩ toán học: Xấp xỉ tuyến tính cho 1 vài phương trình sóng phi tuyến
45 p | 204 | 21
-
Luân văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử trung hòa và phương trình vi phân trung hòa
58 p | 141 | 6
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cực tiêu chuẩn nguyên tử của ma trận
65 p | 15 | 5
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp
20 p | 43 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học tựa khả vi
41 p | 45 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann
55 p | 95 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phân tích trực giao chuẩn (POD) cho bài toán xác định tham số trong phương trình Elliptic
106 p | 17 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian (LpN)
43 p | 76 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ
48 p | 70 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Riemann
54 p | 96 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản
55 p | 38 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn