Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:74

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích nghiên cứu của luận văn là hệ thống hóa các dạng bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit cùng với phương pháp giải tương ứng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KHẮC HIẾN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ LOGARIT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN KHẮC HIẾN CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG LỚP HÀM MŨ VÀ LOGARIT Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn iii Lời nói đầu 1 1 Một số kiến thức bổ trợ 3 1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit . . . . . . . . . 3 1.1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Tính chất cơ bản của hàm logarit . . . . . . . . . 4 1.2 Các đặc trưng của hàm số mũ và hàm số logarit . . . . . 7 1.3 Các định lý bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2 Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp hàm mũ 16 2.1 Các dạng bất đẳng thức cơ bản liên quan tới hàm mũ . . 16 2.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . 16 2.1.2 Biểu diễn hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Ứng dụng các bất đẳng thức cơ bản tìm cực trị trong lớp hàm mũ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Phương pháp đổi biến trong tìm cực trị hàm mũ . 23 2.2.3 Ứng dụng đạo hàm tìm cực trị hàm mũ . . . . . . 26 2.3 Thiết lập một số dạng bất đẳng thức và cực trị hàm mũ 28
ii 2.3.1 Xây dựng bất đẳng thức và cực trị hàm mũ bằng phương pháp đổi biến . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.3.2 Xây dựng bài toán cực trị hàm số mũ từ các bất đẳng thức đã biết . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.4 Một số dạng toán có liên quan tới cực trị hàm mũ . . . . 33 2.4.1 Cực trị và bất đẳng thức tích phân . . . . . . . . 33 2.4.2 Một số dạng khác có liên quan tới cực trị hàm mũ 38 3 Bất đẳng thức và bài toán cực trị trong lớp logarit 43 3.1 Các dạng bất đẳng thức cơ bản liên quan tới hàm logarit 43 3.1.1 Các bất đẳng thức cơ bản . . . . . . . . . . . . . 43 3.1.2 Biểu diễn hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3.2 Các ứng dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.1 Ứng dụng bất đẳng thức trong tìm cực trị hàm logarit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 3.2.2 Ứng dụng đạo hàm trong tìm cực trị hàm logarit 49 3.3 Xây dựng bài toán cực trị trong lớp hàm logarit . . . . . 54 3.3.1 Xây dựng bài toán cực trị trong lớp hàm logarit bằng phương pháp đặt ẩn phụ . . . . . . . . . . . 54 3.3.2 Xây dựng bài toán cực trị trong lớp hàm logarit từ các bất đẳng thức đại số . . . . . . . . . . . . 55 3.4 Các bài toán cực trị liên quan tới hàm logarit . . . . . . 58 Kết luận 67 Tài liệu tham khảo 67
iii Lời cảm ơn Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của GS.TSKH. Nguyễn văn Mậu. Qua đây em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến Giáo sư, người hướng dẫn khoa học của mình, GS.TSKH. Nguyễn văn Mậu, người đã đưa ra đề tài và dành nhiều thời gian tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình nghiên cứu. Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy. Em xin trân trọng cảm ơn các thầy cô giảng dạy và Phòng Đào tạo thuộc Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để em được theo học lớp học. Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán D khóa 1/2014 - 1/2016 đã động viên giúp đỡ tôi trong quá trình học tập và làm luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn Sở Giáo dục và Đào tạo Hải Dương, Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp Trường THPT Cẩm Giàng - Cẩm Giàng - Hải Dương, gia đình và bạn bè đã tạo điều kiện cho tôi học tập và hoàn thành kế hoạch học tập. Thái Nguyên, ngày 30 tháng 10 năm 2015 Nguyễn Khắc Hiến
1 Lời nói đầu 1. Lý do chọn đề tài Các bài toán về cực trị và bất đẳng thức là một trong những nội dung quan trọng của giải tích và đại số. Rất nhiều dạng toán khác cũng quy về việc ước lượng, tìm cực trị của hàm số. Học sinh thường gặp khó khăn khi giải quyết các bài toán dạng này. Trong nhiều kỳ thi học sinh giỏi quốc gia, thi Olympic toán quốc gia và quốc tế, Olympic toán sinh viên giữa các trường đại học, cao đẳng rất hay đề cập đến các bài toán về cực trị, bất đẳng thức. Tuy nhiên, kiến thức về cực trị và bất đẳng thức lại vô cùng rộng. Đã có rất nhiều giáo trình, tài liệu, đề tài đề cập đến vấn đề này. Đặc biệt là các bài toán cực trị và bất đẳng thức có liên quan đến hàm mũ và logarit. Việc giải các bài toán dạng này đòi hỏi học sinh phải nắm vững các kiến thức cơ bản về các lớp hàm này đồng thời nắm được các kiến thức liên quan và phải biết vận dụng một cách sáng tạo, logic. Chính vì lý do trên mà tôi chọn đề tài "Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit" nhằm hệ thống một số phương pháp tìm cực trị trong các lớp hàm này. 2. Mục đích nghiên cứu Hệ thống hóa các dạng bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit
2 cùng với phương pháp giải tương ứng. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Các bài toán cực trị trong lớp hàm mũ và logarit, đồng thời giải quyết một số bài toán về bất đẳng thức, bất phương trình mũ và logarit. 4. Phương pháp nghiên cứu Tham khảo, phân tích, hệ thống hóa các tài liệu, chuyên đề nhằm rút ra các kết luận có tính khái quát. 5. Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài Đề tài tạo nên một tư liệu lý thú về lớp hàm mũ và logarit, phù hợp cho việc giảng dạy, bồi dưỡng học sinh khá giỏi. 6. Cấu trúc của luận văn Luận văn gồm ba chương và phần mở đầu, kết luận. Chương 1. Một số kiến thức chuẩn bị. Trong chương này, tác giả trình bày về các tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit, các đặc trưng cơ bản của các lớp hàm này đồng thời trình bày về một số bất đẳng thức, các định lý cơ bản của đại số và giải tích. Chương 2. Trình bày về ứng dụng của các bất đẳng thức trong tìm cực trị các lớp hàm mũ , sử dụng đạo hàm để tìm cực trị của các lớp hàm này, cùng với đó là các bất đẳng thức, các cực trị có liên quan Chương 3. Trình bày các ứng dụng của các định lý đến các bài toán cực trị hàm logarit, việc sử dụng đạo hàm để tìm cực trị. Ngoài ra là các vấn đề có liên quan đến hàm logarit. Thái Nguyên, ngày 28 tháng 11 năm 2015 Học viên: Nguyễn Khắc Hiến
3 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ 1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ và logarit 1.1.1 Tính chất cơ bản của hàm mũ Định nghĩa 1.1. Cho a là số dương bất kỳ, khác 1. Hàm số dạng y = ax được gọi là hàm số mũ cơ số a. Xét hàm số mũ y = ax , 0 < a 6= 1 (với a = 1 thì hàm số y = 1x = 1 là hàm số hằng). 1. Tập xác định D = R. 2. Tập giá trị T = (0, +∞). 3. (ax1 )x2 = ax1 x2 ; ax1 .ax2 = ax1 +x2 ; (ab)x = ax bx . ax 1 a ax 4. x = ax1 −x2 ; x = ( )x . a 2 b b 5. Hàm số đồng biến trên R nếu a > 1. Hàm số nghịch biến trên R nếu 0 < a < 1. 6. Giới hạn và liên tục (a) Hàm số y = ax liên tục tại mọi điểm mà nó xác định, tức là ∀x ∈ R, lim ax = ax0 . x→x0
4 (b) Ta có 1 lim (1 + x) x = e. x→0 ex − 1 lim = 1. x→0 x 7. Đạo hàm của hàm số mũ (a) Hàm số y = ax có đạo hàm tại mọi điểm x ∈ R và (ax )0 = ax ln a nói riêng ta có (ex )0 = ex . (b) Nếu hàm số u = u(x) có đạo hàm trên J (một khoảng của tập số thực) thì hàm số y = au(x) có đạo hàm trên J và (au(x) )0 = u0 (x)au(x) ln a nói riêng ta có (eu(x) )0 = u0 (x)eu(x) . 1.1.2 Tính chất cơ bản của hàm logarit 1 Định nghĩa 1.2. Hàm số x → liên tục trên khoảng (0, +∞). Với mỗi x x > 0, ta đặt Z x dt ln x = . 1 t Số ln x được gọi là logarit tự nhiên hoặc logarit nêpe của số dương x. Từ định nghĩa suy ra ngay ln 1 = 0. Định lý 1.1. Hàm số ln : (0, +∞) 7→ R có đạo hàm, tăng nghiêm ngặt trên (0, +∞), nhận mọi giá trị trong R và có các tính chất sau 1 (a) (ln |x|)0 = với mọi x 6= 0. x (b) (ln xy) = ln x + ln y, x > 0, y > 0. x (c) ln( ) = ln x − ln y, x > 0, y > 0. y
5 (d) ln xr = r ln x, với mọi x > 0, r ∈ Q. 1 Chứng minh. Ta có (ln |x|)0 = > 0 với mọi x > 0. Do đó hàm ln x tăng nghiêm ngặt trên khoảng (0, +∞). a) Hiển nhiên hàm số x 7→ ln |x| xác định với mọi x 6= 0. 1 Nếu x > 0 thì (ln |x|)0 = (ln x)0 = . x 1 1 Nếu x < 0 thì (ln |x|)0 = (ln(−x))0 = (−1) = . −x x 1 Vậy (ln |x|)0 = với mọi x 6= 0. x b) Cố định y > 0 và xét hàm số x 7→ ln(xy). Với mọi x > 0, ta có 1 1 0 (ln(xy)) = y= . xy x Do đó ln(xy) = ln x + C, x > 0. Với x = 1, ta được C = ln y. Từ đó có đẳng thức cần chứng minh. 1 1 c) Trong công thức b), với x = , ta có ln = − ln y. Từ đó suy ra y y x 1 1 ln = ln(x. ) = ln x + ln = ln x − ln y. y y y d) Nếu n là số nguyên dương thì từ b) suy ra ln xn = ln(x.x . . . x) = ln x + ln x + · · · + ln x = n ln x, x > 0. √ Nếu y = n x, x > 0 thì y n = x. Từ đó n ln y = ln x, do đó √ n 1 ln x= ln x. n p Nếu r là một số hữu tỉ dương, r = trong đó p, q là hai số nguyên dương q
6 và x > 0 thì p 1 p ln(x ) = ln(x q ) = r p ln(x ) = ln(x) = r ln x. q q Nếu r là số hữu tỉ âm thì r = −r0 trong đó r0 là một số hữu tỉ dương 1 0 r ln(x ) = ln( r0 ) = − ln(xr ) = −r0 ln x = r ln x. x Định nghĩa 1.3. Giả sử a là số dương khác 1. Khi đó ln a là một số thực khác 0. Với mỗi x > 0, đặt ln x loga x = . ln a Hàm số loga xác định trên (0, +∞) được gọi là logarit với cơ số a. Hiển nhiên loga a = 1 và loga là một phép đẳng cấu từ nhóm nhân R∗+ lên nhóm cộng R. Từ định lí 1.3 suy ra 1 (a) (loga |x|)0 = với mọi x 6= 0. x ln a (b) (loga xy) = loga x + loga y, x > 0, y > 0. x (c) loga ( ) = loga x − loga y, x > 0, y > 0. y (d) loga xr = r loga x, với mọi x > 0, r ∈ Q. Trong tính toán người ta thường dùng logarit với cơ số a = 10. logarit cơ số 10 được gọi là logarit thập phân và kí hiệu là lg. Như vậy, với x > 0, lg x = log10 x. Nhận xét 1.1. Hàm số mũ và hàm số logarit là hai hàm ngược của nhau, nghĩa là y = loga x ⇔ x = ay .
7 1.2 Các đặc trưng của hàm số mũ và hàm số logarit Đối với các hàm số mũ và hàm số logarit, ta có các đặc trưng sau 1. Hàm f (t) = at , (0 < a 6= 1) : f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. 2. Hàm f (t) = loga t, (0 < a 6= 1, t > 0) : f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R∗+ . Do có các đặc trưng này, các hàm số trên là nghiệm của các phương trình hàm tương ứng. Bài toán 1.1 (Phương trình hàm Cauchy dạng mũ). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R thỏa mãn điều kiện sau f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. (1.1) Giải. Dễ thấy f ≡ 0 là một nghiệm của phương trình 1.1 Xét trường hợp f 6= 0, khi đó tồn tại x0 ∈ R sao cho f (x0 ) 6= 0. Theo 1.1 thì f (x0 ) = f (x + (x0 − x)) = f (x)f (x0 − x) 6= 0, ∀x ∈ R. Suy ra, f (x) 6= 0, ∀x ∈ R, mặt khác x x x f (x) = f ( + ) = [f ( )]2 > 0, ∀x ∈ R. 2 2 2 Đặt lnf (x) = g(x) thì f (x) = eg(x) . Khi đó g(x) là hàm liên tục trên R và g(x + y) = ln f (x + y) = ln[f (x)f (y)] = ln f (x) + ln f (y), ∀x, y ∈ R. Đây chính là phương trình hàm Cauchy (Xem[3]) nên g(x) = bx, b ∈ R tùy ý. Suy ra f (x) = ebx , hay f (x) = ax với a = eb > 0. Kết luận: Nghiệm của bài toán là f ≡ 0 và f (x) = ax , a > 0.
8 Bài toán 1.2 (Phương trình hàm Cauchy dạng logarit). Xác định các hàm f (x) liên tục trên R+ thỏa mãn điều kiện sau: f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R+ . (1.2) Giải. Do x, y ∈ R+ nên đặt x = eu , y = ev với u, v ∈ R. Khi đó, phương trình 1.2 có dạng f (eu+v ) = f (eu ) + f (ev ) Đặt g(t) = f (et ), ta có g(u + v) = g(u) + g(v) Rõ ràng g(t) liên tục trên R. Đây chính là phương trình hàm Cauchy (Xem [3]) nên g(t) = bt, b ∈ R tùy ý. Suy ra f (x) = b ln x với x ∈ R+ . Kết luận: Nghiệm của bài toán là f ≡ 0 và f (x) = loga x, trong đó a = eb , b 6= 0. 1.3 Các định lý bổ trợ Định lý 1.2 (Bất đẳng thức Jensen). Cho f là một hàm lồi xác định trên khoảng I ⊂ R. Giả sử x1 , x2 , . . . , xn ∈ I và cho λ1 , λ2 , . . . , λn là các Pn số thực không âm sao cho λi = 1. Khi đó i=1 n ! n X X f λi xi ≤ λi f (xi ). i=1 i=1 Hơn nữa, khi λ1 , λ2 , . . . , λn là các số dương, dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn . Ví dụ 1.1. Hàm số f (x) = ex là một hàm lồi, từ bất đẳng thức Jensen cho ta n P n λ i xi X ei=1 ≤ λi exi . i=1
9 Đặt ai = exi > 0, ta được n X aλ1 1 aλ2 2 . . . aλnn ≤ λi ai . i=1 Định lý 1.3 (Bất đẳng thức AM-GM). Giả sử x1 , x2 , . . . , xn là các số không âm. Khi đó √ x1 + x2 + · · · + xn ≥ n n x1 x2 . . . xn . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn . Hiện tại có rất nhiều phương pháp để chứng minh bất đẳng thức này. Tuy nhiên, chúng tôi trình bày cách chứng minh sử dụng bất đẳng thức cơ bản của hàm mũ. Bổ đề 1.1. Với mọi số thực x, ta có ex ≥ 1 + x. Dấu đẳng thức có khi x = 0. Bằng phương pháp đạo hàm của hàm f (x) = ex −1−x dễ dàng chứng minh được bất đẳng thức trên. Hệ quả 1.1. Với mọi số thực x ta có ex−1 ≥ x. Dấu đẳng thức có khi x = 1. Từ hệ quả 1.1 ta chứng minh được định lí 1.3 Chứng minh. Thật vậy, gọi An là trung bình cộng của dãy xj , (j = 1, . . . , n). Giả sử xj ≥ 0, ∀xj , khi đó ta có x1 x1 ≤ e An −1 An
10 ... xn xn ≤ e An −1 . An Suy ra x1 .x2 . . . xn x1 +x2 +···+xn −n n ≤ e An = en−n = e0 = 1. An Hay x1 x2 . . . xn ≤ Ann Suy ra √ x1 + x2 + · · · + xn n x1 x2 . . . xn ≤ . n Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 xn = = ··· = ⇔ x1 = x2 = · · · = xn . An An An Hệ quả trực tiếp của bất đẳng thức AM-GM là bất đẳng thức giữa trung bình nhân và trung bình điều hòa. Hệ quả 1.1 (Bất đẳng thức GH). Với mọi bộ số dương x1 , x2 , . . . , xn ta đều có √ n n x 1 x 2 . . . xn ≥ . 1 1 1 + + ··· + x1 x2 xn Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn Một mở rộng tự nhiên của định lí 1.3 giữa trung bình cộng và trung bình nhân có trọng là định lí sau đây: Định lý 1.4 (Bất đẳng thức AH suy rộng). Giả sử cho trước hai cặp dãy số dương x1 , x2 , . . . , xn và p1 , p2 , . . . , pn . Khi đó x p + x p + · · · + x p p1 +p2 +···+pn p1 p2 pn 1 1 2 2 n n x1 x2 . . . xn ≤ . p1 + p 2 + · · · + pn Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
11 Chứng minh. Đặt x1 p1 + x2 p2 + · · · + xn pn s= p1 + p2 + · · · + pn Sử dụng bất đẳng thức ex−1 ≥ x Ta thu được hệ  x1  x ≤ s.e s −1 ,   1  .........    x ≤ s.e xsn −1  n Suy ra  x p1 p1 ( s1 −1)p1    x 1 ≤ s .e ,  .........    xpn ≤ spn .e( xsn −1)pn  n Do đó x1 p1 +x2 p2 +···+xn pn xp11 xp22 . . . xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn e s −(p1 +p2 +···+pn ) . hay xp11 xp22 . . . xpnn ≤ sp1 +p2 +···+pn . Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 x2 xn = = ··· = ⇔ x1 = x2 = · · · = xn . s s s 1 Định lý 1.5 (Bất đẳng thức Ky Fan, xem [3]). Cho 0 < xi ≤ với 2 i = 1, 2, . . . , n. Khi đó n Q n Q xi (1 − xi ) i=1 i=1 Pn ≤ Pn . ( xi )n ( (1 − xi ))n i=1 i=1 Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi x1 = x2 = · · · = xn .
12 Định lý 1.6 (Bất đẳng thức Cauchy-Schwaz, xem [3]). Cho hai cặp dãy số bất kỳ a1 , a2 , . . . , an và b1 , b2 , . . . , bn . Khi đó (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ). Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi xảy tồn tại số thực k sao cho ai = kbi với i = 1, 2, . . . , n. Chứng minh. Xét tam thức bậc hai f (x) = (a21 +a22 +· · ·+a2n )x2 −2(a1 b1 +a2 b2 +· · ·+an bn )x+(b21 +b22 +· · ·+b2n ) Nếu a21 + a22 + · · · + a2n = 0 ⇔ a1 = a2 = · · · = an = 0, khi đó bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Nếu a21 + a22 + · · · + a2n > 0 thì f (x) được viết lại như sau: f (x) = (a1 x − b1 )2 + (a2 x − b2 )2 + · · · + (an x − bn )2 6= 0, ∀x ∈ R Theo định lý về dấu tam thức bậc hai, ta có 0 4 = (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 − (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) ≤ 0 ⇔ (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 ≤ (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ).     a1 x − b1 = 0    a2 x − b2 = 0  Dấu đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi hay khi và chỉ khi     . . .    a x−b =0 n n tồn tại số thực k sao cho ai = kbi với i = 1, 2, . . . , n. Định lý 1.7 (Bất đẳng thức Bernoulli, xem [3]). Cho x > −1, khi đó   (1 + x)α ≤ 1 + αx khi 0 ≤ α ≤ 1  (1 + x)α ≥ 1 + αx khi α ≤ 0 hoặc α > 1
13 Chứng minh. Xét các trường hợp sau • Khi α = 0 hoặc α = 1 thì bất đẳng thức đúng. • Khi α < 0 hoặc α > 1, xét hàm số f (x) = (1 + x)α − 1 − αx với x > −1 Ta có f 0 (x) = α(1 + x)α−1 − α = α[(1 + x)α−1 − 1], f 0 (x) = 0 ⇔ x = 0. Bảng biến thiên x −1 0 +∞ f 0 (x) − 0 + f (x) +∞ +∞ &0% Căn cứ bảng biến thiên ta có f (x) ≥ 0, ∀x > −1 ↔ (1 + x)α ≥ 1 + αx, ∀x > −1. • Khi 0 < α < 1 xét hàm số f (x) = (1 + x)α − 1 − αx với x > −1 Ta có bảng biến thiên x −1 0 +∞ f 0 (x) + 0 − 0 f (x) −∞ % & −∞ Căn cứ bảng biến thiên ta có f (x) ≤ 0, ∀x > −1 ⇔ (1 + x)α ≤ 1 + αx, ∀x > −1. Định lý 1.8 (Định lý Fermat). Nếu hàm số f (x) xác định và liên tục trên khoảng (a, b), đạt giá trị cực trị tại x0 ∈ (a, b) và tồn tại f 0 (x0 ) thì f 0 (x0 ) = 0.
14 Chứng minh. Giả sử hàm số đạt cực đại tại x0 . Khi đó với |∆x| = 6 0 đủ nhỏ, ta có f (x0 + ∆x) − f (x0 ) < 0 Với ∆x > 0, ta có ∆y f (x0 + ∆x) − f (x0 ) = 0 ∆x ∆x Suy ra ∆y 0 f (x− 0) = lim − ≥ 0. ∆x→0 ∆x 0 − Từ giả thiết f 0 (x0 ) tồn tại suy ra f 0 (x+ 0 0 ) = f (x0 ) = f (x0 ) = 0. Trường hợp hàm số đạt cực tiểu tại x0 được xét tương tự. Định lý 1.9 (Định lý Lagrange). Nếu hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trên khoảng (a, b) thì tồn tại c ∈ (a, b) sao cho f (b) − f (a) 0 f (c) = . b−a Chứng minh. Xét hàm số f (b) − f (a) g(x) = f (x) − x . b−a
15 Rõ ràng g(x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trên khoảng (a, b) và g(a) = g(b). Theo định lý Rolle, tồn tại c ∈ (a, b) sao 0 f (b) − f (a) 0 cho g (c) = 0 hay f (c) = . b−a Hệ quả 1.2. Nếu hàm số f (x) xác định và liên tục trên đoạn [a, b], có đạo hàm trên khoảng (a, b) và f 0 (x) đạt giá trị nhỏ nhất m, giá trị lớn nhất M trên (a, b), khi đó m(b − a) ≤ f (b) − f (a) ≤ M (b − a).