Luận văn Thạc sĩ Toán học: Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

15
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các nội dung sau đây về căn nguyên thủy, đa thức chia đường tròn và trường chia đường tròn; trình bày một số kiến thức cơ sở của căn nguyên thủy như khái niệm căn nguyên thủy bậc n của đơn vị, tiêu chuẩn của căn nguyên thủy và một số tính chất của căn nguyên thủy.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Căn nguyên thủy, trường chia đường tròn và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC -------*------- NGÔ THỊ THÚY HẰNG CĂN NGUYÊN THỦY, TRƯỜNG CHIA ĐƯỜNG TRÒN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
Môc lôc Môc lôc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Lêi nãi ®Çu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1 §a thøc chia ®-êng trßn 5 1.1 C¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ . . . . . . . . . . . . . 5 1.2 §a thøc chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 TÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc chia ®-¬ng trßn . . . . . . . 19 2 Tr-êng chia ®-êng trßn 23 2.1 Tr-êng ph©n r· cña ®a thøc . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.2 Tr-êng chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3 Mét sè øng dông trong to¸n s¬ cÊp 33 3.1 Sö dông c¨n vµ c¨n nguyªn thñy cña ®¬n vÞ . . . . . . . . 33 3.2 Sö dông ®a thøc chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.3 Sö dông tr-êng chia ®-êng trßn . . . . . . . . . . . . . . . 39 KÕt luËn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 Tµi liÖu tham kh¶o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 1
2 Lêi c¶m ¬n Tr-íc hÕt, t«i xin göi lêi biÕt ¬n ch©n thµnh vµ s©u s¾c tíi PGS.TS Lª ThÞ Thanh Nhµn. C« ®· dµnh nhiÒu thêi gian vµ t©m huyÕt trong viÖc h-íng dÉn. Sau qu¸ tr×nh nhËn ®Ò tµi vµ nghiªn cøu d-íi sù h-íng dÉn khoa häc cña C«, luËn v¨n "C¨n nguyªn thñy, tr-êng chia ®-êng trßn vµ øng dông" cña t«i ®· ®-îc hoµn thµnh. Cã ®-îc kÕt qu¶ nµy, ®ã lµ nhê sù d¹y b¶o tËn t×nh vµ nghiªm kh¾c cña C«. T«i còng xin göi lêi c¶m ¬n ch©n thµnh ®Õn Ban Gi¸m hiÖu, Phßng §µo t¹o vµ Khoa To¸n-Tin cña Tr-êng §¹i häc Khoa häc - §¹i häc Th¸i Nguyªn ®· t¹o ®iÒu kiÖn thuËn lîi nhÊt trong suèt qu¸ tr×nh häc tËp t¹i tr-êng còng nh- thêi gian t«i hoµn thµnh ®Ò tµi nµy. Sù gióp ®ì nhiÖt t×nh vµ th¸i ®é th©n thiÖn cña c¸c c¸n bé thuéc Phßng §µo t¹o vµ Khoa To¸n-Tin ®· ®Ó l¹i trong lßng mçi chóng t«i nh÷ng Ên t-îng hÕt søc tèt ®Ñp. T«i xin c¶m ¬n Së Gi¸o dôc - §µo t¹o Qu¶ng Ninh vµ tr-êng trung häc phæ th«ng V¨n Lang - n¬i t«i ®ang c«ng t¸c ®· t¹o ®iÒu kiÖn cho t«i hoµn thµnh khãa häc nµy. T«i xin c¶m ¬n gia ®×nh, b¹n bÌ ®ång nghiÖp vµ c¸c thµnh viªn trong líp cao häc To¸n K7Q (Khãa 2013-2015) ®· quan t©m, t¹o ®iÒu kiÖn, ®éng viªn cæ vò ®Ó t«i cã thÓ hoµn thµnh nhiÖm vô cña m×nh.
3 Lêi nãi ®Çu Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ, ®ã lµ c¸c sè phøc εk = cos 2kπ n + i sin 2kπ n , k = 0, 1, . . . , n − 1. Ta biÕt r»ng εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu gcd(k, n) = 1. V× thÕ cã ®óng ϕ(n) c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ, trong ®ã ϕ lµ hµm Euler. Gäi εk1 , . . . , εkϕ(n) lµ c¸c c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã ®a thøc chia ®-êng trßn thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), lµ ®a thøc bËc ϕ(n) ®-îc cho bëi c«ng thøc Φn (x) = (x − εk1 ) . . . (x − εkϕ(n) ). Tr-êng ph©n r· cña ®a thøc f (x) = xn − 1 trªn tr-êng Q gäi lµ tr-êng chia ®-êng trßn thø n vµ ®-îc ký hiÖu lµ Qn . NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th× tr-êng chia ®-êng trßn Qn chÝnh lµ tr-êng Q(ε). Chó ý r»ng ®a thøc chia ®-êng trßn Φn (x) lµ ®a thøc bÊt kh¶ quy cña ε, do ®ã tr-êng chia ®-êng trßn thø n trªn Q cã bËc lµ ϕ(n). Môc ®Ých cña luËn v¨n nµy lµ tr×nh bµy mét sè kÕt qu¶ vÒ c¨n nguyªn thñy, ®a thøc chia ®-êng trßn, tr-êng chia ®-êng trßn vµ nh÷ng øng dông trong mét sè bµi to¸n s¬ cÊp. LuËn v¨n gåm 3 ch-¬ng. Ch-¬ng 1 tr×nh bµy c¸c kiÕn thøc vÒ ®a thøc chia ®-êng trßn, gåm c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ, ®a thøc chia ®-êng trßn vµ tÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc chia ®-êng trßn. Mét sè kÕt qu¶ quan träng cña ®a thøc chia ®-êng trßn ®-îc chøng minh chi tiÕt nh- c«ng thøc Y n x −1 = Φd (x) (xem §Þnh lÝ 1.2.4), Φn (x) cã c¸c hÖ sè ®Òu nguyªn d|n (xem §Þnh lý 1.2.6), c«ng thøc tÝnh Φn (x) dùa vµo nghÞch chuyÓn Mobius (xem MÖnh ®Ò 1.2.10) vµ tÝnh bÊt kh¶ quy cña Φn (x) (xem §Þnh lý 1.3.4). Ch-¬ng 2 nghiªn cøu vÒ tr-êng chia ®-êng trßn gåm tr-êng ph©n r· cña ®a thøc vµ tr-êng chia ®-êng trßn. Chóng t«i chøng minh r»ng víi mçi ®a thøc f (x) víi hÖ sè trªn mét tr-êng K cã bËc n ≥ 1, tån t¹i mét tr-êng
4 ph©n r· cña f (x) trªn K (xem §Þnh lý 2.1.9). Tr-êng chia ®-êng trßn thø n, kÝ hiÖu lµ Qn , ®-îc hiÓu lµ tr-êng ph©n r· cña ®a thøc chia ®-êng trßn thø n trªn Q. Chóng t«i chøng minh r»ng bËc cña më réng tr-êng chia ®-êng trßn thø n lµ ϕ(n) (xem §Þnh lý 2.2.3). Mét sè mèi quan hÖ gi÷a c¸c tr-êng chia ®-êng trßn còng ®-îc tr×nh bµy trong ch-¬ng nµy (xem §Þnh lý 2.2.5 vµ §Þnh lý 2.2.6). Trong Ch-¬ng 3, chóng t«i sö dông c¸c kÕt qu¶ vÒ c¨n nguyªn thñy, ®a thøc chia ®-êng trßn, tr-êng chia ®-êng trßn ®Ó gi¶i mét sè bµi to¸n s¬ cÊp. Chóng t«i chøng minh mét sè kÕt qu¶ ®· biÕt trong sè häc (xem Bµi to¸n 3.1.1), trong h×nh häc (xem Bµi to¸n 3.1.3); tÝnh gi¸ trÞ cos 2π n vµ sin 2π n (xem Bµi to¸n 3.2.1); ph©n tÝch ®a thøc thµnh nh©n tö bÊt kh¶ quy trªn Q (xem Bµi to¸n 3.2.2 vµ Bµi to¸n 3.2.3); gi¶i ph-¬ng tr×nh nghiÖm nguyªn (xem Bµi to¸n 3.2.4). §Æc biÖt, sö dông tr-êng chia ®-êng trßn, chóng t«i 2π ®-a ra lêi gi¶i hai bµi to¸n s¬ cÊp liªn quan ®Õn gi¸ trÞ cña ®a thøc t¹i e n (xem Bµi to¸n 3.3.1 vµ Bµi to¸n 3.3.2).
Ch-¬ng 1 §a thøc chia ®-êng trßn Trong suèt ch-¬ng nµy, lu«n kÝ hiÖu N = {0, 1, 2, . . .} lµ tËp c¸c sè nguyªn kh«ng ©m vµ N∗ = N \ {0} lµ tËp c¸c sè tù nhiªn. KÝ hiÖu Q, R, C lÇn l-ît lµ tr-êng sè h÷u tû, tr-êng sè thùc vµ tr-êng sè phøc. 1.1 C¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ 1.1.1 §Þnh nghÜa. Cho ε ∈ C vµ n ∈ N∗ . Khi ®ã ε ®-îc gäi lµ mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ nÕu εn = 1. Chó ý r»ng cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ, ®ã lµ 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n 1.1.2 §Þnh nghÜa. Cho n lµ mét sè nguyªn d-¬ng vµ ε lµ mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã ε ®-îc gäi lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu ε kh«ng lµ c¨n bËc nhá h¬n n cña ®¬n vÞ. Chó ý r»ng sè phøc ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu n lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εn = 1. 1.1.3 VÝ dô. a) C¸c c¨n bËc 3 cña ®¬n vÞ lµ √ √ 1 i 3 1 i 3 ε0 = 1, ε1 = − + , ε2 = − − . 2 2 2 2 5
6 Ta cã ε10 = 1, do ®ã ε0 kh«ng lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n vÞ. Ta cã ε1 6= 1, ε21 = ε2 6= 1 vµ ε31 = 1. V× thÕ ε1 lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n vÞ. Ta còng kiÓm tra ®-îc ε2 lµ c¨n nguyªn thñy bËc 3 cña ®¬n vÞ. b) C¸c c¨n bËc 4 cña ®¬n vÞ lµ 1, i, −1, −i. Sè i lµ c¨n nguyªn thñy bËc 4 cña ®¬n vÞ v× i4 = 1 vµ in 6= 1 víi n = 1, 2, 3. T-¬ng tù, −i lµ c¨n nguyªn thñy bËc 4 cña ®¬n vÞ. 1.1.4 MÖnh ®Ò. (Tiªu chuÈn cña c¨n nguyªn thñy). Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. KÝ hiÖu 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n Khi ®ã εk lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu gcd(k, n) = 1. Chøng minh. Gi¶ sö εk lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã n lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εnk = 1. Gi¶ sö gcd(k, n) = d > 1. Khi ®ã n/d < n. Ta cã n 2kπ 2kπ nd 2kπ 2kπ εk = cos d + i sin = cos + i sin = 1. n n d d §iÒu nµy v« lÝ. VËy d = 1, hay gcd(k, n) = 1. Ng-îc l¹i, cho gcd(k, n) = 1. Chó ý r»ng εk lµ mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ, nghÜa lµ εnk = 1. Gäi t lµ sè nguyªn d-¬ng bÐ nhÊt tháa m·n εtk = 1. Ta cã 2ktπ 2ktπ εtk = cos + i sin = 1. n n 2ktπ Suy ra = m2π víi m lµ mét sè nguyªn. Do ®ã kt lµ béi cña n. Theo n gi¶ thiÕt, gcd(k, n) = 1. Do ®ã t lµ béi cña n. Suy ra t = n, tøc lµ n lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt tháa m·n εnk = 1. VËy εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ.
7 Tõ ®©y ®Õn hÕt luËn v¨n, lu«n kÝ hiÖu 2kπ 2kπ εk = cos + i sin , k = 0, 1, . . . , n − 1. n n KÝ hiÖu ϕ : N∗ → N lµ hµm Euler, tøc lµ ϕ(1) = 1 vµ ϕ(n) lµ sè c¸c sè tù nhiªn nhá h¬n n vµ nguyªn tè cïng nhau víi n. 1.1.5 NhËn xÐt. i) V× gcd(1, n) = 1 nªn theo MÖnh ®Ò 1.1.4, ε1 lu«n lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. ii) Tõ ®Þnh nghÜa hµm Euler, nÕu n lµ sè nguyªn d-¬ng th× cã ®óng ϕ(n) c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. 1.1.6 MÖnh ®Ò. NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th× εa = εb nÕu vµ chØ nÕu a ≡ b (mod n). Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Khi ®ã εn = 1 vµ εm 6= 1, ∀m < n. Kh«ng mÊt tÝnh tæng qu¸t gi¶ sö a > b. (⇒) Gi¶ sö εa = εb . Khi ®ã εa−b = 1. Chia a−b cho n ta ®-îc a−b = n.q+r víi 0 ≤ r < n suy ra 1 = εa−b = εn.q+r = εr . V× ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nªn ta ph¶i cã r = 0 hay a ≡ b (mod n). . (⇐) Gi¶ sö a ≡ b (mod n). Khi ®ã a − b .. n suy ra a − b = tn víi t ∈ Z Do ®ã εa−b = εtn = (εn )t = 1t = 1 hay εa = εb Chó ý r»ng nÕu ε lµ c¨n bËc n cña ®¬n vÞ th× a ≡ b (mod n) kÐo theo εa = εb , nh-ng ®iÒu ng-îc l¹i kh«ng ®óng. Ch¼ng h¹n víi n = 4 vµ ε = −1. Ta cã 2 6≡ 0(mod 4) nh-ng ε2 = 1 = ε0 . 1.1.7 Bæ ®Ò. NÕu ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ th× tËp c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ lµ {1, ε1 , ε2 , . . . , εn−1 }. Chøng minh. Víi mäi sè d-¬ng k ta cã (εk )n = 1. V× thÕ εk lµ mét c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. Ta kh¼ng ®Þnh nÕu 0 6 i < j 6 n lµ hai sè nguyªn d-¬ng
8 th× εi 6= εj . ThËt vËy, gi¶ sö εi = εj . Khi ®ã εj−i = 1. V× j − i lµ sè nguyªn d-¬ng vµ ε lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nªn ta cã j − i ≥ n, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. Do ®ã kh¼ng ®Þnh ®-îc chøng minh. Nh- vËy, c¸c sè 1, ε1 , ε2 , . . . , εn−1 lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ vµ ®«i mét kh¸c nhau. Chó ý r»ng cã ®óng n c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. V× thÕ bæ ®Ò ®-îc chøng minh. Nh¾c l¹i r»ng mét tËp G cïng víi phÐp nh©n lµm thµnh mét nhãm nÕu phÐp nh©n cã tÝnh kÕt hîp, trong G cã phÇn tö ®¬n vÞ vµ mäi phÇn tö cña G ®Òu kh¶ nghÞch. Mét nhãm G ®-îc gäi lµ nhãm xyclic nÕu tån t¹i mét phÇn tö u ∈ G sao cho G = {uk | k ∈ Z}. Trong tr-êng hîp nµy ta còng nãi G lµ nhãm xyclic sinh bëi u. 1.1.8 HÖ qu¶. Víi mçi sè tù nhiªn n, tËp Gn c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ lµm thµnh mét nhãm xyclic víi phÐp nh©n th«ng th-êng. Chøng minh. Cho u, v ∈ Gn . Khi ®ã un = v n = 1. Suy ra (uv)n = 1. V× thÕ uv ∈ Gn . Do ®ã phÐp nh©n lµ ®ãng trong Gn . Râ rµng phÐp nh©n trong Gn cã tÝnh kÕt hîp. PhÇn tö 1 ∈ Gn ®ãng vai trß lµ ®¬n vÞ cña Gn . Víi u ∈ Gn ta cã (1/u)n = 1/un = 1, do ®ã 1/u ∈ Gn . V× thÕ Gn lµ mét nhãm víi phÐp nh©n. LÊy ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Tõ Bæ ®Ò 1.1.7 ta cã Gn = {εk | k ∈ Z} = {εk | k = 0, 1, . . . , n − 1}. Do ®ã Gn lµ nhãm xyclic sinh bëi ε. 1.2 §a thøc chia ®-êng trßn Môc tiªu cña tiÕt nµy lµ tr×nh bµy kh¸i niÖm ®a thøc chia ®-êng trßn thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), vµ chøng minh mét sè kÕt qu¶ quan träng vÒ ®a thøc chia ®-êng trßn. Cô thÓ, chóng t«i sÏ chøng minh:
9 Q (a) Φd (x) = xn − 1 (xem §Þnh lÝ 1.2.4). d|n (b) C¸c hÖ sè cña Φn (x) ®Òu lµ sè nguyªn (xem §Þnh lÝ 1.2.6). Q n µ(d) (c) Φn (x) = xd − 1 , trong ®ã µ lµ hµm Mobius (xem §Þnh lÝ d|n 1.2.10). 2kπ 2kπ Trong suèt tiÕt nµy, ta kÝ hiÖu εk = cos + i sin víi k = n n 0, 1, . . . , n − 1 lµ c¸c c¨n bËc n cña ®¬n vÞ. 1.2.1 §Þnh nghÜa. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. §a thøc chia ®-êng trßn thø n, kÝ hiÖu lµ Φn (x), ®-îc ®Þnh nghÜa lµ tÝch cña c¸c ®a thøc tuyÕn tÝnh x − ε, trong ®ã ε ch¹y trªn c¸c c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Tõ MÖnh ®Ò 1.1.4, sè phøc εk lµ c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ nÕu vµ chØ nÕu gcd(k, n) = 1. Do ®ã ta cã Y Φn (x) = (x − εk ). (k,n)=1 k=1,...,n−1 Râ rµng ®a thøc chia ®-êng trßn thø n lµ ®a thøc d¹ng chuÈn (cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1) vµ cã bËc lµ ϕ(n). √ 1 3 1.2.2 VÝ dô. (i) C¸c c¨n nguyªn thuû bËc 3 cña ®¬n vÞ lµ ε1 = − + i √ 2 2 1 3 vµ ε2 = − − i . Do ®ã ®a thøc chia ®-êng trßn thø 3 lµ 2 2 1 √ 1 √ 3 3 Φ3 (x) = x + −i x+ +i = x2 + x + 1. 2 2 2 2 (ii) C¸c c¨n nguyªn thuû bËc 4 cña ®¬n vÞ lµ ε1 = i vµ ε3 = −i. §a thøc chia ®-êng trßn thø 4 lµ Φ4 (x) = (x − i)(x + i) = x2 + 1.
10 Sau ®©y lµ mét sè ®a thøc chia ®-êng trßn Φn (x) víi n 6 15. Φ1 (x) = x − 1; Φ2 (x) = x + 1; Φ3 (x) = x2 + x + 1; Φ4 (x) = x2 + 1; Φ5 (x) = x4 + x3 + x2 + x + 1; Φ6 (x) = x2 − x + 1; Φ7 (x) = x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1; Φ8 (x) = x4 + 1; Φ9 (x) = x6 + x3 + 1; Φ10 (x) = x4 − x3 + x2 − x + 1; Φ11 (x) = x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1; Φ12 (x) = x4 − x2 + 1; Φ13 (x) = x12 + x11 + x10 + x9 + x8 + x7 + x6 + x5 + x4 + x3 + x2 + x + 1; Φ14 (x) = x6 − x5 + x4 − x3 + x2 − x + 1; Φ15 (x) = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1. Khi n lµ sè nguyªn tè, chóng ta cã thÓ x¸c ®Þnh ®-îc ®a thøc chia ®-êng trßn thø n vµ 2n. 1.2.3 MÖnh ®Ò. Cho n lµ sè nguyªn tè. Khi ®ã 2 n−1 P k n−1 (i) Φn (x) = 1 + x + x + . . . + x = x . k=0 (ii) NÕu n lµ sè nguyªn tè lÎ th× n−1 X 2 n−1 Φ2n (x) = 1 − x + x − . . . + x = (−1)k xk . k=0
11 Chøng minh. i) Khi n lµ sè nguyªn tè ta cã (k, n) = 1 víi mäi k = 1, 2, . . . , n − 1. Do ®ã n−1 Y X n−1 xn − 1 Φn (x) = (x − εk ) = = 1 + x + . . . + xn−1 = xk . x−1 k=1 k=0 ii) Gäi ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc n cña ®¬n vÞ. Ta ®i chøng minh −ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ. Ta cã εn = 1, suy ra (−ε)2n = ε2n = (εn )2 = 1 Ta cã kÕt qu¶ víi 0 < k < n th× εk 6= −1. ThËt vËy, gi¶ sö εk = −1 khi ®ã ε2k = 1 vµ ε2n−2k = 1. §iÒu nµy chøng tá 2k < n vµ 2n − 2k < n (m©u thuÉn) suy ra εk 6= −1 víi 0 < k < n. Khi ®ã (−ε)k 6= 1 vµ (−ε)n+k = −(−ε)k 6= 1. VËy −ε lµ mét c¨n nguyªn thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ. MÆt kh¸c, víi n lÎ ta ®· biÕt ϕ(2n) = ϕ(n). Do ®ã tËp c¸c c¨n nguyªn thñy bËc 2n cña ®¬n vÞ lµ −ε1 , . . . , −εϕ(n) Khi ®ã ta cã Φ2n (x) = (x + ε1 ) . . . (x + εϕ(n) ); Φn (−x) = (−x − ε1 ) . . . (−x − εϕ(n) ). Mµ víi n lÎ, n 6= 1 th× ϕ(n) ch½n. VËy Φ2n (x) = Φn (−x). Khi n lµ mét sè nguyªn tè, theo i) ta cã P n−1 Φ2n (x) = Φn (−x) = (−1)k xk . k=0 §Þnh lÝ sau ®©y cho phÐp chóng ta ph©n tÝch ®a thøc xn − 1 thµnh tÝch cña c¸c ®a thøc chia ®-êng trßn. 1.2.4 §Þnh lý. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã Y Φd (x) = xn − 1. d|n
12 Q Chøng minh. V× xn − 1 vµ Φd (x) ®Òu cã d¹ng chuÈn (cã hÖ sè cao nhÊt d|n b»ng 1) nªn ®Ó chøng minh hai ®a thøc nµy b»ng nhau ta chØ cÇn chøng minh chóng kh«ng cã nghiÖm béi vµ cã cïng tËp nghiÖm. Ta ®· biÕt mét ®a thøc cã nghiÖm béi nÕu vµ chØ nÕu ®a thøc ®ã vµ ®¹o hµm cña nã ph¶i cã nghiÖm chung. §a thøc xn − 1 cã c¸c nghiÖm ®Òu kh¸c 0, trong khi ®ã ®¹o hµm cña nã lµ nxn−1 chØ cã duy nhÊt nghiÖm b»ng 0. V× vËy ®a thøc xn − 1 kh«ng cã nghiÖm béi. Chó ý r»ng c¸c nghiÖm cña xd − 1 lµ c¸c c¨n bËc d cña ®¬n vÞ. Trong khi ®ã, c¸c nghiÖm cña Φd (x) lµ c¸c c¨n nguyªn thñy bËc d cña ®¬n vÞ. V× thÕ mçi nghiÖm cña Φd (x) lµ mét nghiÖm cña xd − 1. Do xd − 1 kh«ng cã nghiÖm béi nªn Φd (x) kh«ng cã nghiÖm béi. Gi¶ sö d vµ d0 lµ hai -íc kh¸c nhau cña n. NÕu ε lµ nghiÖm cña Φd (x) th× d lµ sè nguyªn d-¬ng bÐ nhÊt tháa m·n εd = 1. Suy ra ε kh«ng lµ c¨n nguyªn thñy bËc d0 cña 1, tøc lµ ε kh«ng lµ nghiÖm cña Q Φd0 (x) V× thÕ, c¸c nghiÖm cña ®a thøc Φd (x) ®Òu lµ nghiÖm ®¬n. d|n n Gi¶ sö ε lµ nghiÖm cña x − 1. Gäi d lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt sao cho εd = 1. Khi ®ã ε lµ c¨n nguyªn thuû bËc d cña ®¬n vÞ. Suy ra ε lµ nghiÖm cña ®a thøc cña Φd (x). Chia n cho d ta ®-îc n = dq + r víi q, r ∈ N vµ r < d. Suy ra 1 = εn = (εd )q εr = εr . Do r < d nªn theo ch¸ch chän d ta cã r = 0, do ®ã d lµ mét -íc cña n. Q V× thÕ ε lµ mét nghiÖm cña ®a thøc Φd (x). Ng-îc l¹i, cho d lµ -íc cña d|n n vµ ε lµ nghiÖm cña Φd (x). Khi ®ã ε = 1. Suy ra εn = 1 tøc ε lµ nghiÖm d cña ®a thøc xn − 1. KÕt qu¶ tiÕp theo chØ ra r»ng c¸c hÖ sè cña ®a thøc chia ®-êng trßn ®Òu lµ sè nguyªn. Tr-íc khi chøng minh kÕt qu¶ nµy, chóng ta cÇn bæ ®Ò sau.
13 1.2.5 Bæ ®Ò. Cho hai ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû f (x) = xm + am−1 xm−1 + . . . + a1 x + a0; g(x) = xn + bn−1 xn−1 + . . . + b1 x + b0. NÕu c¸c hÖ sè cña ®a thøc f g ®Òu lµ sè nguyªn th× c¸c hÖ sè cña f vµ cña g còng ®Òu lµ sè nguyªn. Chøng minh. B»ng c¸ch quy ®ång mÉu sè, ta cã thÓ chän ®-îc m vµ n lµ hai sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt ®Ó tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña hai ®a thøc mf (x) vµ ng(x) lµ c¸c sè nguyªn. §Æt Ai = mai víi i = 0, . . . , m − 1 vµ Bi = nbi víi i = 0, . . . , n − 1. §Æt Am = m vµ Bn = n. Khi ®ã mnf (x)g(x) = Am Bn xm+n + . . . + A0B0 . Do f (x)g(x) ∈ Z[x] nªn tÊt c¶ c¸c hÖ sè cña mnf (x)g(x) ®Òu chia hÕt cho mn. Gi¶ sö r»ng mn > 1. Gäi p lµ mét -íc nguyªn tè cña mn. Khi ®ã tån t¹i mét sè nguyªn i ∈ {0, . . . , m} sao cho p kh«ng lµ -íc cña hÖ sè Ai cña mf . ThËt vËy, nÕu p kh«ng lµ -íc cña m th× p kh«ng lµ -íc cña hÖ sè cao nhÊt Am cña mf ; cßn nÕu p lµ -íc cña m th× p lµ -íc cña Ai víi Ai m mäi i ∈ {0, . . . , m} vµ do ®ã = ai ∈ Z, ®iÒu nµy lµ m©u thuÉn víi p p gi¶ thiÕt m lµ sè nguyªn d-¬ng nhá nhÊt cã tÝnh chÊt c¸c hÖ sè cña mf ®Òu lµ sè nguyªn. T-¬ng tù, tån t¹i mét sè nguyªn j ∈ {0, . . . , n} sao cho p kh«ng lµ -íc cña hÖ sè Bj cña ®a thøc ng. Gäi i0 vµ j0 t-¬ng øng lµ sè nguyªn lín nhÊt trong c¸c sè i vµ j tháa m·n tÝnh chÊt p kh«ng lµ -íc cña Ai vµ p kh«ng lµ -íc cña Bj . Khi ®ã hÖ sè cña xi0 +j0 trong ®a thøc mnf (x)g(x) lµ Ai0 Bj0 + pt trong ®ã t lµ sè nguyªn. Râ rµng hÖ sè nµy nã kh«ng lµ béi cña p. V× c¸c hÖ sè cña f g ®Òu nguyªn nªn c¸c hÖ sè cña mnfg ®Òu chia hÕt cho mn vµ do ®ã ®Òu chia hÕt cho p, ®iÒu nµy lµ v« lÝ. VËy mn = 1. Suy ra f, g cã c¸c hÖ sè ®Òu nguyªn.
14 1.2.6 §Þnh lý. Víi mçi sè nguyªn d-¬ng n, c¸c hÖ sè cña ®a thøc chia ®-êng trßn Φn (x) ®Òu lµ sè nguyªn, tøc lµ Φn (x) ∈ Z[x]. Chøng minh. Ta chøng minh hÖ qu¶ nµy b»ng ph-¬ng ph¸p quy n¹p theo n. Kh¼ng ®Þnh nµy ®óng víi n = 1 v× Φ1 (x) = x − 1. Gi¶ sö kh¼ng ®Þnh trªn ®óng víi mäi k < n. Khi ®ã tõ §Þnh lý 1.2.4 ta suy ra xn − 1 Φn (x) = Q . Φd (x) d|n vµ d
15 1.2.7 Bæ ®Ò. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã P (i) NÕu n = 1 th× µ(d) = 1. d|n P (ii) NÕu n ≥ 2 th× µ(d) = 0. d|n Chøng minh. (i) Víi n = 1 th× -íc d-¬ng duy nhÊt cña n lµ 1. Do ®ã, theo P ®Þnh nghÜa hµm Mobius ta cã µ(d) = µ(1) = 1. d|n (ii) Cho n ≥ 2. Ta ®Æt T lµ tÝch tÊt c¶ c¸c sè nguyªn tè p lµ -íc cña n, tøc Q lµ T = p. Chó ý r»ng nÕu q lµ -íc cña n cã chøa thõa sè b×nh ph-¬ng p|n th× µ(q) = 0. Do ®ã ta cã thÓ bá nh÷ng chØ sè q nh- thÕ ra khái tæng. Do ®ã ta cã X X µ(d) = µ(d). d|n d|T Gäi p lµ mét -íc nguyªn tè bÊt kú cña T . Chó ý r»ng mçi -íc cña T lµ mét -íc d cña T /p hoÆc lµ pd víi d lµ -íc cña T /p. V× thÕ, tõ tÝnh chÊt hµm nh©n cña µ ta cã X X X µ(d) = (µ(d) + µ(pd)) = (µ(d) + µ(p)µ(d)) d|T d| Tp d| Tp X = (µ(d) + (−1)1 µ(d)) d| Tp X = (µ(d) − µ(d)) = 0. d| Tp Mét kÕt qu¶ quen biÕt trong sè häc nãi r»ng nÕu f lµ hµm nh©n th× P F (n) = f (d). Tõ Bæ ®Ò 1.2.7, ta cã mét kÕt qu¶ sau ®©y, gäi lµ c«ng d|n thøc nghÞch chuyÓn hµm Mobius sau ®©y.
16 1.2.8 HÖ qu¶. KÝ hiÖu Z+ lµ tËp c¸c sè nguyªn d-¬ng. Cho hai hµm P F, f : Z+ → Z+ sao cho F (n) = f (d). Khi ®ã ta cã d|n X f (n) = µ(d)F (n/d). d|n Chøng minh. Theo gi¶ thiÕt ta cã X X X µ(d)F (n/d) = µ(d) f (t) . d|n d|n t| nd V× mäi -íc t cña n/d ®Òu lµ -íc cña n nªn ta cã X X X X µ (d) f (t) = f (t) µ (d). d|n t| nd t|n d|n, t| nd DÔ thÊy r»ng víi hai -íc t vµ d cña n ta cã d lµ -íc cña n/t khi vµ chØ khi t lµ -íc cña n/d. Do vËy ta cã X X X X f (t) µ (d) = f (t) µ (d). t|n d|n, t| nd t|n d| nt P Theo Bæ ®Ò 1.2.7, nÕu n/t = 1 tøc lµ t = n th× µ(d) = 1 vµ nÕu n/t ≥ 2 d| nt P th× µ(d) = 0. V× vËy ta cã d| nt X X f (t) µ (d) = f (n) , t|n d| nt kÕt qu¶ ®-îc chøng minh. 1.2.9 HÖ qu¶. Gi¶ sö F, f : Z+ → Z+ lµ hai hµm tháa m·n ®iÒu kiÖn Q Q F (n) = f (d). Khi ®ã ta cã f (n) = F (n/d)µ(d) . d|n d|n Chøng minh. Chøng minh cña hÖ qu¶ nµy t-¬ng tù nh- chøng minh cña HÖ qu¶ 1.2.8, trong ®ã mçi tæng ®-îc thay b»ng tÝch vµ mçi phÐp nh©n liªn
17 quan ®Õn hµm µ ®-îc thay bëi lòy thõa cña hµm ®ã. Gi¶ sö t lµ -íc cña Q n/d. Theo gi¶ thiÕt ta cã F (n/d) = f (t). Suy ra t| nd  µ(d) Y Y Y F (n/d)µ(d) =  f (t) . d|n d|n t| nd V× mäi -íc t cña n/d ®Òu lµ -íc cña n nªn ta cã  µ(d) Y Y Y Y P F (n/d)µ(d) =  f (t) = f (t) µ(d), d|n d|n t| nd t|n trong ®ã tæng ë trªn sè mò ch¹y trªn c¸c -íc d-¬ng d cña n sao cho t lµ -íc cña n/d. Chó ý r»ng nÕu d vµ t ®Òu lµ -íc cña n th× d lµ -íc cña n/t khi vµ chØ khi t lµ -íc cña n/d. Do vËy ta cã  µ(d) P P Y Y Y Y µ(d) Y µ(d) F (n/d) µ(d) =  f (t) = f (t)d|n,t| n d = f (t)d| n t . d|n d|n t| nd t|n t|n P V× thÕ theo Bæ ®Ò 1.2.7, nÕu n/t = 1 tøc lµ t = n th× µ(d) = 1, vµ nÕu d| nt P n/t ≥ 2 th× µ(d) = 0. Do ®ã d| nt  µ(d) Y Y Y F (n/d)µ(d) =  f (t) d|n d|n t| nd P P Y µ(d) Y µ(d) d|n,t| n n = f (t) d = f (t)d| t = f (n) , t|n t|n kÕt qu¶ ®-îc chøng minh. B©y giê ta chøng minh c«ng thøc biÓu diÔn cña ®a thøc chia ®-êng trßn Φn (x) qua c¸c thõa sè d¹ng (xn/d − 1)µ(d) .
18 1.2.10 §Þnh lý. Cho n lµ sè nguyªn d-¬ng. Khi ®ã Y n µ(d) Φn (x) = xd − 1 . d|n Chøng minh. KÕt qu¶ nµy suy ra tõ HÖ qu¶ 1.2.9 vµ §Þnh lÝ 1.2.4. ThËt vËy, víi mçi sè tù nhiªn x, ®Æt Fx , fx : Z+ → Z+ lµ c¸c hµm x¸c ®Þnh bëi Fx (n) = xn − 1 vµ fx(n) = Φn (x). Theo §Þnh lý 1.2.4 ta cã Fx (n) = Q Q µ(d) fx(d). Do ®ã theo HÖ qu¶ 1.2.9 ta cã fx (n) = Fx nd . NghÜa lµ d|n d|n víi mäi sè tù nhiªn x ta cã Y n µ(d) Φn (x) = xd − 1 . d|n Nh- vËy, hai ®a thøc ë hai vÕ cña ®¼ng thøc trªn cã bËc lµ ϕ(n) vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng nhau t¹i mäi sè tù nhiªn x. L¹i chó ý thªm r»ng hai ®a thøc nµy cã bËc ϕ(n) nªn nÕu chóng kh¸c nhau th× chØ cã thÓ nhËn gi¸ trÞ b»ng nhau t¹i kh«ng qu¸ ϕ(n) ®iÓm. Do ®ã chóng ph¶i lµ hai ®a thøc b»ng nhau. Ta cã thÓ viÕt kÕt qu¶ ®Þnh lý d-íi d¹ng Y n Φn (x) = (xd − 1)µ( d ) . d|n 1.2.11 VÝ dô. Y 12 µ(d) Φ12 (x) = x −1 d d|12 = (x − 1)(x6 − 1)−1 (x4 − 1)−1 (x3 − 1)0 (x2 − 1)1(x1 − 1)0 12 (x12 − 1)(x2 − 1) = 6 4 = x4 − x2 + 1. (x − 1)(x − 1) Y 15 µ(d) Φ15 (x) = x −1 d d|15 = (x − 1)(x5 − 1)−1 (x3 − 1)−1 (x − 1) 15 (x15 − 1)(x − 1) = 5 3 = x8 − x7 + x5 − x4 + x3 − x + 1. (x − 1)(x − 1)
19 1.3 TÝnh bÊt kh¶ quy cña ®a thøc chia ®-¬ng trßn Trong tiÕt nµy, chóng ta chøng minh tÝnh bÊt kh¶ quy trªn Q cña ®a thøc chia ®-êng trßn. Tr-íc hÕt, chóng ta cÇn nh¾c l¹i kh¸i niÖm ®a thøc bÊt kh¶ quy vµ ®a thøc bÊt kh¶ quy cña mét sè ®¹i sè. 1.3.1 §Þnh nghÜa. (i) Mét ®a thøc f (x) ∈ Q[x] ®-îc gäi lµ bÊt kh¶ quy trªn Q nÕu deg f (x) > 0 vµ f (x) kh«ng ph©n tÝch ®-îc thµnh tÝch cña hai ®a thøc víi hÖ sè h÷u tû cã bËc bÐ h¬n. NÕu deg f (x) > 0 vµ f (x) lµ tÝch cña hai ®a thøc cã bËc bÐ h¬n th× ta nãi f (x) lµ kh¶ quy trªn Q. (ii) Mét sè phøc a ∈ C ®-îc gäi lµ sè ®¹i sè nÕu tån t¹i mét ®a thøc f (x) ∈ Q[x] kh¸c 0 vµ nhËn a lµm nghiÖm. NÕu a kh«ng lµ sè ®¹i sè th× ta nãi a lµ sè siªu viÖt. Ch¼ng h¹n, nÕu deg f (x) = 1 th× f (x) lu«n bÊt kh¶ quy. NÕu deg f (x) lµ 2 hoÆc 3 th× f (x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q nÕu vµ chØ nÕu nã kh«ng cã nghiÖm trong Q. H¬n n÷a, nÕu a ∈ Q th× f (x) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q nÕu √ √ vµ chØ nÕu f (x + a) lµ bÊt kh¶ quy trªn Q. Sè 2 lµ sè ®¹i sè v× 2 lµ nghiÖm cña ®a thøc x2 − 2 ∈ Q[x]. Sè phøc i lµ sè ®¹i sè v× i lµ nghiÖm cña ®a thøc x2 + 1 ∈ Q[x]. Ng-êi ta ®· chøng minh r»ng sè π (tû sè gi÷a chu vi vµ ®-êng kÝnh cña mét ®-êng trßn) lµ mét sè siªu viÖt. 1.3.2 Bæ ®Ò. Cho a ∈ C lµ sè ®¹i sè. Khi ®ã tån t¹i duy nhÊt mét ®a thøc p(x) ∈ Q[x] bÊt kh¶ quy nhËn a lµm nghiÖm vµ cã hÖ sè cao nhÊt b»ng 1. H¬n n÷a, nÕu g(x) ∈ Q[x] nhËn a lµm nghiÖm th× g(x) lµ béi cña p(x). Chøng minh. V× a lµ sè ®¹i sè nªn a lµ nghiÖm cña mét ®a thøc kh¸c 0 víi hÖ sè trong Q. Chän f (x) ∈ Q[x] lµ ®a thøc kh¸c 0 cã bËc bÐ nhÊt nhËn a lµm nghiÖm. §Æt p(x) = f (x)/c, trong ®ã c lµ hÖ sè cao nhÊt cña f (x). Khi ®ã p(x) ∈ Q[x] lµ ®a thøc kh¸c 0 cã bËc bÐ nhÊt nhËn a lµm nghiÖm