Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấu trúc tập nghiệm của phương trình logistic tựa tuyến tính

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

65
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấu trúc tập nghiệm của phương trình Logistic tựa tuyến tính cấu trúc gồm 3 chương. Trong đó, chương 1 - Các kết quả được sử dụng; chương 2 - Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic; chương 3 - Cấu trúc của tập nghiệm.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cấu trúc tập nghiệm của phương trình logistic tựa tuyến tính

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Hải Long CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC TỰA TUYẾN TÍNH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh 2012
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Đặng Hải Long CẤU TRÚC TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH LOGISTIC TỰA TUYẾN TÍNH Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Nguyễn Bích Huy Thành phố Hồ Chí Minh 2012
Lời cám ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Phó giáo sư – Tiến sĩ Nguyễn Bích Huy, người thầy đã dẫn dắt tôi vào con đường nghiên cứu, đã hết lòng chỉ bảo, hướng dẫn giúp tôi hoàn thiện luận văn này. Bên cạnh đó, tôi cũng xin chân thành cám ơn: • Ban giám hiệu trường Đại học Tiền Giang, lãnh đạo khoa Sư phạm, tập thể thầy cô tổ Tự nhiên và các bạn đồng nghiệp đã luôn tạo điều kiện, đỡ đần tôi trong công tác để tôi có thể hoàn thành tối khóa học Cao học vừa qua. Đặc biệt, cô Lê Thị Kiều Nga – người thầy, người lãnh đạo đánh kính đã luôn động viên cũng như cho tôi rất nhiều lời khuyên bổ ích; dưới cương vị Tổ trưởng tổ chuyên môn, cô cũng đã dành rất nhiều ưu ái trong phân công công tác để tôi có thể tập trung học tâp và hoàn thành luận văn. • Các giảng viên trường Đại học Tiền Giang và Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh đã dẫn dắt tôi đến với Toán học, truyền cảm hứng cho tôi, dạy bảo tôi những kiến thức chuyên môn quí báo để hôm nay tôi hoàn thành luận văn này. Cuối cùng tôi xin cảm ơn những người thân yêu trong gia đình đã san sẽ với tôi những vất vả, lo toan của cuộc sống, hổ trợ tôi về mọi mặt trong suốt thời gian tôi học Cao học và làm luận văn. Đặng Hải Long
Mục lục Lời cám ơn ....................................................................................................... 3 Mục lục ............................................................................................................. 4 Mở đầu ............................................................................................................. 5 Chương 1: Các kết quả được sử dụng........................................................... 8 1.1. Phương trình trong không gian có thứ tự ............................................................8 1.1.1. Điểm bất động của ánh xạ tăng....................................................................8 1.1.2. Nhánh liên tục của tập nghiệm ..................................................................10 1.2. Không gian Sobolev ..........................................................................................12 1.2.2. Khái niệm và vài tính chất cơ bản .............................................................12 1.2.2. Nghiệm yếu dương của phương trình elliptic ............................................25 Chương 2: Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic ........................... 27 2.1. Đưa về bài toán điểm bất động .........................................................................27 2.2. Sự tồn tại nghiệm lớn nhất ................................................................................33 Chương 3: Cấu trúc của tập nghiệm ........................................................... 37 3.1. Dáng điệu tiệm cận của nghiệm ........................................................................37 3.2. Nhánh liên tục của tập nghiệm ..........................................................................39 3.3. Sự phân nhánh nghiệm ......................................................................................41 Kết luận .......................................................................................................... 45 Tài liệu tham khảo ........................................................................................ 47
Mở đầu Trong những năm gần đây, bài toán biên elliptic λ m( x )uα + a ( x )u β trong Ω Au = (1) =u 0 trên ∂Ω (2) dưới các giả thiết khác nhau lên toán tử A, các hàm m(x), a(x) và các số mũ α, β thu hút nhiều sự quan tâm của các nhà toán học bởi vì những ứng dụng của nó trong toán sinh học. Với bài toán −∆ p u λ m( x )uα − u β = (3) với α = p – 1 < β và =−∆ p u λ m( x )uα , α < p − 1 (4) sự tồn tại và duy nhất nghiệm yếu dương đã được nghiên cứu trong [3, 9, 11, 13] với m(x) ∈ Lq(Ω). Trong [6, 7, 8], tác giả đã nghiên cứu (1)-(2) khi A là toán tử elliptic tuyến tính đều bậc hai, m(x) = 1, a(x) ∈ Cγ( Ω ) với γ ∈ (0,1) và 0 < α < β, β < 1. Với trường hợp supa(x) < 0 họ đã tìm ra sự tồn tại, sự phân nhánh và dáng điệu tiệm cận của các nghiệm cổ điển, trong khi với trường hợp a(x) đổi dấu họ có được sự phân nhánh, sự ổn định và tính bội của các nghiệm không âm. Sự phân nhánh của các nghiệm không âm và các kết quả có liên quan được nghiên cứu ở [1] khi Au=div(A(x,u).∇u) và vế phải là f(λ,x,u) tổng quát. Tuy nhiên, hầu hết các bài viết được trích dẫn ở trên chỉ đề cập đến nghiệm bị chặn của (1)-(2) (tức là nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩L∞(Ω)). Chỉ có các bài viết [3, 9, 11, 13] có xét một phần về sự tồn tại nghiệm không bị chặn của (3), (4). Trong [3], tác giả đã chứng minh được rằng N với λ cố định phương trình (4) có nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ L∞(Ω) nếu q > và p N  p* ′ nếu >q>  thì nó có nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ Ls(Ω) với p 1+α 
Nq ( p − 1 − α ) s= . Trong [9], sự tồn tại nghiệm thuộc W01, p (Ω) ∩ L∞(Ω) của (3) đã N − pq Nβ được chứng minh cho trường hợp q > , còn trong trường hợp p ( β − p + 1) Nβ  N Nβ p p*  > q > max  , , *  p ( β − p + 1)  p ( β − p + 1)  N ( p − 1) + p  p − 1 − β  thì (3) có nghiệm thuộc W01, p (Ω) . Do đó, nghiệm không bị chặn của (3), (4) có thể được tìm thấy khi m(x)∈ Lq(Ω) với q đủ nhỏ. Trong luận văn này, chúng tôi sẽ trình bày chi tiết lại các kết quả nghiên cứu của Nguyễn Bích Huy, Nguyễn Duy Thanh, Trần Đình Thanh về sự tồn tại và cấu trúc nghiệm yếu dương mà không nhất thiết bị chặn của bài toán (3)-(2) (bài viết [14]). Bài luận văn có bố cục như sau: Mở đầu: Giới thiệu sơ lược lịch sử vấn đề và nêu mục tiêu của luận văn. Nội dung: • Chương 1 – Các kết quả được sử dụng: trình bày các kiến thức nền tảng mà từ đó xây dựng nên các kết luận chính của luận văn, bao gồm: − định lý điểm bất động của ánh xạ tăng, định lý về nhánh liên tục của tập nghiệm của phương trình trong không gian có thứ tự. − các khái niệm và một số tinh chất quan trọng của không gian Sobolev, giới thiệu định lý Brezis-Browder. • Chương 2 – Sự tồn tại nghiệm của phương trình logistic: chứng minh sự tồn tại nghiệm yếu dương lớn nhất của bài toán (3)-(2) bằng cách đưa bài toán này về bài toán điểm bất động. • Chương 3 – Cấu trúc của tập nghiệm: nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của (3)-(2) bao gồm: − dáng điệu tiệm cận − nhánh liên tục của tập nghiệm − sự phân nhánh nghiệm
Kết luận: Tổng kết lại các kết quả nghiên cứu, đưa ra nhận xét và vài gợi mở cho những nghiên cứu tiếp theo.
Chương 1: Các kết quả được sử dụng 1.1. Phương trình trong không gian có thứ tự Trong phần này ta sẽ xét (X, . ) là một không gian Banach thục với thứ tự được sinh bởi nón K. 1.1.1. Điểm bất động của ánh xạ tăng Định nghĩa 1.1 1. Ta nói dãy {x n } ⊂ X là đơn đệu tăng (đơn điệu giảm) nếu với m ≤ n thì x m ≤ x n (x m ≥ x n ). 2. Ta nói tập M ⊂ X là bị chặn trên (bị chặn dưới) nếu tồn tại c ∈ X sao cho với mọi x ∈ M ta có x ≤ c (x ≥ c). 3. Ta nói tập M ⊂ X là hướng lên nếu với bất kỳ u,v ∈ M tồn tại w ∈ M sao cho u ≤ w và v ≤ w. 4. Ta nói ánh xạ F: M ⊂ X → X là tăng nếu với u,v ∈ M mà u ≤ v thì F(u) ≤ F(v). Bổ đề 1.1 (Nguyên lý Entropy) Giả sử (i) X là tập được sắp sao cho mọi dãy đơn điệu tăng trong X đều bị chặn trên. (ii) S: X → [-∞, ∞) là hàm đơn điệu tăng và bị chặn trên. Khi đó, tồn tại u 0 ∈ X thỏa S(u) = S(u 0 ) với mọi u ∈ X mà u ≥ u 0 . Chứng minh. Nếu S(X) = {-∞} thì ta chọn u 0 ∈ X tùy ý. Nếu S(X) ≠ {-∞}, ta chọn u 1 sao cho S(u 1 ) ≠ -∞ và xây dựng dãy tăng {u n } như sau. Giả sử đã có u n ∈ X, đặt β n = sup{S(u) : u ≥ u n }. Ta xét trường hợp β n ≥ S(u n ) (vì nếu β n = S(u n ) thì ta chỉ cần chọn u 0 = u n ), khi đó tồn tại u n+1 ∈ X sao cho 1 S (un +1 ) > β n −  β n − S ( un ) ⇔ 2 S (un +1 ) − S (un ) > β n 2 Vì dãy {u n } ⊂ X đơn điệu tăng nên tồn tại c ∈ X sao cho u n ≤ c với mọi n. Do đó, bởi tính đơn điệu tăng của S nên {S(u n )} là dãy số tăng và bị chặn trên bởi S(c). Với u ∈ X, u ≥ c, từ cách xây dựng {u n } ta có
S(u) ≤ β n < 2S(u n+1 ) – S(u n ), ∀n ∈ ℕ* Cho n → ∞ ta được S(u) ≤ lim S (un ) và S(u) ≤ S(c) hay S(u) = S(c). n →∞ Do vậy ta chỉ cần chọn u 0 = c. Định lý 1.1 Cho X là một không gian Banach thực được sắp thứ tự bởi nón, M ⊂ X là tập đóng và F: M → M là ánh xạ tăng thỏa (i) Tập M 0 = {u ∈ M : u ≤ F(u)} khác rỗng và hướng lên. (ii) Dãy {F(u n )} hội tụ mỗi khi {u n } ⊂ M 0 tăng. Khi đó, F có một điểm bất động lớn nhất trong M. Chứng minh. Xét hàm S : M 0 → [ −∞, ∞ ) x  S ( x ) =− sup { F ( y ) − F ( z ) : z, y ∈ M 0 , y ≥ z ≥ x} Ta có: • Với {x n } ⊂ M 0 , {x n } tăng thì {F(x n )} hội tụ tới a ∈ M nào đó (do M đóng). Vì dãy {F(x n )} tăng nên với mọi n ta có a ≥ F(x n ) ≥ x n và F(a) ≥ F(x n ). Cho n → ∞ ta được F(a) ≥ a hay a ∈ M 0 . Như vậy {x n } bị chặn trên. • Rõ ràng S tăng và bị chặn trên bởi 0. Theo nguyên lý Entropy, tồn tại u 0 ∈ M 0 thỏa S(u) = S(u 0 ) với mọi u ∈ X mà u ≥ u0. Ta đi chứng minh S(u 0 ) = 0. Giả sử nguôc lại S(u 0 ) < -ϵ với ϵ > 0 nào đó. Khi đó, tồn tại u 1 ,u 2 ∈ M 0 sao cho u 2 ≥ u 1 ≥ u 0 và F (u2 ) − F (u1 ) > ϵ. Vì S(u 2 ) = S(u) < -ϵ (do u 2 ≥ u 0 ) nên ta cũng tìm được u 3 ,u 4 ∈ M 0 sao cho u 4 ≥ u 3 ≥ u 2 và F (u4 ) − F (u3 ) > ϵ. Tiếp tục quá trình ta xây dưng được dãy tăng {u n } ⊂ M 0 thỏa F (u2 n ) − F (u2 n −1 ) > ϵ với mọi n ∈ N*. Điều này mâu thuẫn với giả thiết của định lý. Như vậy S(u 0 ) = 0 và F(u) = F(u 0 ) với bất kỳ u ∈ M 0 mà u ≥ u 0 . Vì u 0 ∈ M 0 nên F(u 0 ) ≥ u 0 . Suy ra F(F(u n )) = F(u 0 ) hay x 0 = F(u 0 ) là điểm bất động của F.
Giả sử x 1 ∈ M cũng là một điểm bất động của F. Vì M 0 hướng lên nên tồn tại w ∈ M 0 sao cho x 1 ≤ w. Khi đó, ta có x 0 = F(u 0 ) = F(w) = F(x 1 ) = x 1 . Vậy x 0 là điểm bất động duy nhất. 1.1.2. Nhánh liên tục của tập nghiệm Cho toán tử F: [0,∞) × K → K thỏa F(λ,θ) = θ. Xét bài toán tìm cặp (λ,u), u ≠ θ thỏa u = F (λ , u ) (1.1) Đặt Σ = {(λ,u) ∈ [0,∞) × K : u ≠ θ, u = F(λ,u)} và ký hiệu S là hình chiếu của Σ lên X. Định nghĩa 1.2 1. Nếu (λ 0 ,θ) ∈ Σ thì λ 0 gọi là điểm phân nhánh của các nghiệm phương trình (1.1) từ nghiệm không tầm thường. 2. Ta nói S là nhánh không bị chặn xuất phát từ θ nếu S∩∂G ≠ ∅ với mọi tập mở bị chặn G ∋ θ. Với G ⊂ X là tập mở bị chặn, từ định nghĩa bậc topo theo nón ta có ngay các kết quả sau: Bổ đề 1.2 Nếu A 0 , A 1 là compact và đồng luân dương trên K∩∂G theo nghĩa tồn tại ánh xạ compact F: (K∩∂G) × [0,1] → K sao cho F(x,t) ≠ x, F(x,0) = A 0 (x), F(1,x) = A 1 (x) thì i K (A 0 , G) = i K (A 1 , G). Bổ đề 1.3 Cho A: K∩∂G → K là ánh xạ compact 1. Nếu A(x) ≠ λx, ∀x ∈ K∩∂G, ∀λ ≥ 1 thì i K (A,G) = 1. 2. Nếu tồn tại x 0 ∈ K \ {θ} sao cho x – A(x) ≠ λ x 0 , ∀x ∈ K∩∂G, ∀λ > 0 thì i K (A,G) = 0. Định lý 1.2 Cho F: [0,∞) × K → K là toán tử compact thỏa (i) tu = F(0,u), u ∈ K\{θ} kéo theo t < 1. (ii) Tồn tại toán tử tăng G: K → K và hàm φ: [0,∞) → [0,∞) sao cho F(λ,u) ≥ G(φ(λ)u).
Hơn nữa tồn tại u 0 ∈ K\{θ}, các số a,b,c > 0 và chuẩn . * sao cho a) G(tu 0 ) ≥ atu 0 , ∀t ∈ [0,b]. b) u * ≤ c u , K là nón chuẩn trong (X, . * ) và lim ϕ (λ ) = ∞ lim G (tu0 ) * = ∞ λ →∞ λ →∞ Khi đó S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ θ. Chứng minh. Với G là tập mở bất kỳ chứa θ ta đi chứng minh S∩∂G ≠ ∅. Giả sử ngược lại thì ta có F(λ,x) ≠ x, ∀x ∈ K∩∂G, ∀x ∈ [0,∞). Với mỗi λ ∈ [0,∞), đặt F λ : K∩∂G → K định bởi F λ (x) = F(λ,x) thì F λ là ánh xạ compact. Vì F compact và giả thiết phản chứng nên với λ 1 ,λ 2 ∈ [0,∞) bất kỳ ta luôn có Fλ 1 đồng luân dương với Fλ và i K ( Fλ ,G) = i K ( Fλ ,G). Hay nói cách khác i K (F λ , G) = 2 1 2 const(λ). Từ giả thiết tu = F 0 (u), u ∈ K\{θ} ⇒ t < 1 ta suy ra i K (F 0 ,G) = 1. Để dẫn đến mâu thuẫn ta đi chứng minh i K (F λ ,G) = 0 với λ > 0 nào đó. Ta sẽ chứng minh tồn tại λ > 0, x 0 ∈ K\{θ} sao cho u ≠ F λ (u) + tx 0 , ∀u ∈ K∩∂G, ∀t >0. Giả sử ngược lại, ta chọn được dãy λ n → ∞, u n ∈ K∩∂G, t n > 0 sao cho u n = Fλn (u n ) + t n u 0 . Gọi s n là số cực đại thỏa u n ≥ s n u 0 , đặt N 1 = {n ∈ N : φ(λ n )s n ≤ b} và N 2 = {n ∈ N : φ(λ n )s n > b} thì xảy ra hai trường hợp như sau: 1. N 1 vô hạn: Với n ∈ N 1 ta có u n ≥ Fλn (u n ) ≥ G(φ(λ n )u n ) ≥ G(φ(λ n )s n u 0 ) ≥ aφ(λ n )s n u 0 Suy ra aφ(λ n )s n ≤ s n và aφ(λ n ) ≤ 1 (do s n ≤ t n > 0). Điều này là vô lý vì lim ϕ ( λn ) = ∞ . n∈N1 ,n →∞ 2. N 2 vô hạn: Với n ∈ N 2 ta có u n ≥ Fλn (u n ) ≥ G(φ(λ n )u n ) ≥ G(φ(λ n )s n u 0 ) ≥ G(bu 0 ) ≥ abu 0 Suy ra s n ≥ ab. Do đó
lim ϕ (λn ) sn = ∞ và lim G (ϕ (λn ) sn u0 ) * = ∞ n∈N 2 ,n →∞ n∈N 2 ,n →∞ Theo giả thiết (ii) b) ta được lim un = ∞ . Điều này vô lý vì u n ∈ ∂G ∀n. n∈N 2 ,n →∞ Vậy S là nhánh liên tục không bị chặn xuất phát từ θ. 1.2. Không gian Sobolev 1.2.2. Khái niệm và vài tính chất cơ bản Cho Ω ⊂ RN là tập mở, ta ký hiệu: • C0∞ (Ω) ( C0m (Ω) ) là tập hợp các hàm có giá compact và có đạo hàm riêng mọi hạng trên Ω (có đạo hàm riêng liên tục đến cấp m trên Ω). • L loc (Ω) là tập hợp các hàm đo được trên Ω và khả tích trên mọi tập compact K⊂Ω. Định nghĩa 1.3 1. Hàm g ∈ L loc (Ω) được gọi là đạo hàm riêng suy rộng theo biến x i của hàm f ∈ L loc (Ω) (ký hiệu g = D i f) nếu ∂ϕ ∫ f =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ ( Ω ) Ω ∂xi Ω Nếu f có D i f với i = 1, N , ta ký hiệu ∇f = (D 1 f,…,D N f). 2. Với p ∈ [1,∞] ta ký hiệu W1,p(Ω) là tập hợp các hàm f ∈ Lp(Ω) có mọi đạo hàm riêng suy rộng D i f ∈ Lp(Ω) , i = 1, N . Trong W1,p(Ω) ta xét chuẩn N f= 1, p f p + ∑ Di f p i =1 hoặc chuẩn tương đương khi 1 ≤ p ≤ ∞ 1  N  + ∑ Di f p = p p f 1, p  f    p p i =1
1  p p trong đó f p = ∫ f  . Ω  1 1 3. Không gian liên hợp của W1,p(Ω) ký hiệu là W −1, p′ (Ω) (ở đây + = 1 ). p p′ 4. Bao đóng của C0∞ (Ω) trong W1,p(Ω) ký hiệu là W01, p (Ω) . Định lý 1.3 W1,p(Ω), W01, p (Ω) là các không gian Banach, khả ly khi p < ∞, phản xạ và lồi đều khi 1 < p
∂ϕ ∫ f ∂x Ω i =− ∫ Di f ϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω), i =1, N Ω Vậy g i = D i f, i = 1, N và ta có f n → f trong W1,p(Ω). Xét ánh xạ T: W1,p(Ω) → (Lp(Ω))N+1 định bởi T(f) = (f,D 1 f,…,D N f). Ta thấy rằng T là ánh xạ tuyến tính đẳng cự nên T(W1,p(Ω)) là tập đóng trong (Lp(Ω))N+1. Mà khi 1 < p < ∞ ta có (Lp(Ω))N+1 phản xạ nên T(W1,p(Ω)) phản xạ và do đó W1,p(Ω) phản xạ. Tính khả li chứng minh tương tự. Cố định hàm ρ ∈ C0∞ (  N ) thỏa mãn các điều kiện ρ ≥ 0, supp ρ ⊂ B (θ ,1) , ∫ρ= 1 N Với G ⊂ RN là tập mở, f ∈ L loc (G) ta ký hiệu x− y ρ  1 N ∫ =fh ( x)  f ( y )dy , x ∈ G, h < dist( x, ∂G ) h G  h  Khi đó ta có các kết quả sau Bổ đề 1.4 1. Nếu f ∈ Lp(G), 1 ≤ p < ∞ thì lim f h = f trong Lp(G) và h.h.n trên G. h →0 2. Giả sử hàm f ∈ C∞(G), khi đó với x ∈ G, h < dist(x,∂G) ta có  ∂   ∂f   fh  ( x) =   ( x) ∂  i  x ∂  i h x Mệnh đề 1.1 Cho f,g ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞. Các mệnh đề sau là tương đương 1. g = D i f ∂f n 2. tồn tại dãy {f n } ⊂ C∞(Ω) sao cho f n → f trong Lp(Ω) và → g trong ∂xi Lp(Ω’) với mọi Ω’ ⊂⊂ Ω. (ta ký hiệu Ω’ ⊂⊂ Ω nếu Ω’ bị chặn và Ω ' ⊂ Ω ) Chứng minh. • (1. ⇒ 2.) Ta có lim f h = f trong Lp(G). h →0
1 ∂f Với Ω’ ⊂⊂ Ω, 0 < h < dist(Ω’,∂Ω) bởi bổ đề 1.4 ta có g h = h trong Ω’ 2 ∂xi ∂f h và lim g h = g trong Lp(Ω’) nên lim = g trong Lp(Ω). h →0 h →0 ∂x i Do đó chỉ cần chọn f n = f hn với dãy h n → 0. • (2. ⇒ 1.) Với φ ∈ Wo1, p (Ω) , đặt Ω’ = suppφ. Ta tìm được dãy con { f nk } thỏa lim f nk ( x ) = f ( x ) h.k.n trong Ω k →∞ f nk ( x ) ≤ G1 ( x ) h.k.n trong Ω (∀k ∈ N*) lim Di f nk ( x ) = gi ( x ) h.k.n trong Ω’ k →∞ Di f nk ( x ) ≤ G2 ( x ) h.k.n trong Ω’ (∀k ∈ N*) trong đó G 1 ∈ Lp(Ω), G 2 ∈ Lp(Ω’). Do đó theo định lý hội tụ bị chặn ta có ∂ϕ ∂ϕ ∂f n ∫ Ω f = lim ∫ f nk ∂xi k →∞ Ω ∂xi = − lim ∫ k ϕ k →∞ Ω ∂xi ∂f nk lim ∫ = − ∫ gϕ = ϕ= − ∫ gϕ k →∞ Ω' ∂xi Ω' Ω Vậy g = D i f. Mệnh đề 1.2 Nếu f,g ∈ W1,p(Ω) ∩ L∞(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞ thì fg ∈ W1,p(Ω) ∩ L∞(Ω) và D i (fg) = gD i f + fD i g. Chứng minh. Ta chọn theo mệnh đề 1.1 hai dãy {f n }, {g n } ∈ C∞(Ω) thỏa f n → f, g n → g trong Lp(Ω) ∂f n ∂g → Di f , n → Di g trong Lp(Ω’), ∀ Ω’ ⊂ ⊂ Ω ∂xi ∂xi Với φ ∈ C0∞ (Ω) , đặt Ω’ = suppφ, sử dụng định lý hội tụ bị chặn (xét dãy con nếu cần) ta có
∂ϕ ∂ϕ ∫ fg ∂x Ω i = lim ∫ f n g n n →∞ Ω ∂xi  ∂f n ∂g n  ∫ ( gDi f Ω )ϕ lim + fDi g = n →∞ ∫ Ω  g n ∂xi + f n ∂xi  ϕ ∂ϕ ∂ϕ  ∂f ∂g  Chú ý rằng ∫f Ω n gn =∫ ∂xi Ω ' f n gn ∂xi − ∫  gn n + f n n = Ω ∂xi ∂xi  ϕ nên ta có  ∂ϕ ∫ fg ∂x Ω i − ∫ ( gDi f + fDi g )ϕ = = Ω' − ∫ ( gDi f + fDi g )ϕ Ω Vậy D i (fg) = gD i f + fD i g. Vì f,g ∈ W1,p(Ω) ∩ L∞(Ω) nên fg ∈ Lp(Ω) ∩ L∞(Ω), gD i f + fD i g ∈ Lp(Ω) và ta có fg ∈ W1,p(Ω) ∩ L∞(Ω). Mệnh đề 1.3 Cho G ∈ C1(R) thỏa G(0) = 0, G’(t) ≤ M với mọi t ∈ R và f ∈ W1,p(Ω), 1 ≤ p ≤ ∞. Khi đó G∘ f ∈ W1,p(Ω) và D i (G∘ f) = G’(f)D i f. Chứng minh. Theo định lý số gia giới nội ta được |G(t)| ≤ M|t| với mọi t ∈ R. Vì |G(f)| ≤ M|f|, |G’(f)D i f| ≤ M|D i f| nên G(f),G’(f)D i f ∈ Lp(Ω). Ta còn phải chứng minh ∂ϕ ∫ G( f ) ∂x Ω i =− ∫ G '( f ) Di f ϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω (1.2) Ta chọn theo mệnh đề 1.1 dãy {f n } ⊂ C∞(Ω) thỏa f n → f trong Lp(Ω) và ∂f n → Di f trong Lp(Ω’) với mọi Ω’ ⊂⊂ Ω. ∂xi Với φ ∈ C0∞ (Ω) , đặt Ω’ = suppφ, sử dụng định lý hội tụ bị chặn (xét dãy con nếu cần) ta có ∂ϕ ∂ϕ ∫ G( f ) ∂x Ω i = lim ∫ G ( f n ) n →∞ Ω ∂xi ∂f n ∫ G '( f ) D f ϕ = lim ∫ G '( f Ω' i n →∞ Ω n ) ∂xi ϕ ∂ϕ ∂ϕ ∂f Chú ý rằng ∫ G ( f n ) = ∫ G( f ) = − ∫ G '( f n ) n ϕ nên ta có ∂xi ∂xi ∂xi n Ω Ω' Ω'
∂ϕ ∫ G( f ) ∂x Ω i − ∫ G ( f ) Di f ϕ = = Ω' − ∫ G ( f ) Di f ϕ Ω Mệnh đề 1.4 Nếu f ∈ W1,p(Ω) thì f+, f-, |f| ∈ W1,p(Ω) và D i f+ = sign(f+)D i f, D i f- = -sign(f-)D i f, D i |f| = sign(f)D i f trong đó f+ = max{f, 0}, f- = - min{f,0}. Chứng minh. 1 1 • Với mỗi n đặt G n (t) = t2 + − thì G n thỏa mãn các giả thiết của hàm n2 n G trong mệnh đề 1.3, do đó ta có ∂ϕ ∫ G ( f ) ∂x Ω n i = − ∫ Di (Gn  f )ϕ Ω = − ∫ G 'n ( f ) Di ( f )ϕ Ω f =− ∫ Di ( f )ϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) 1 Ω f2+ n2 Cho n → ∞ và sử dụng định lý hội tụ bị chặn, ta được ∂ϕ ∫ Ω f ∂xi =− ∫ gϕ , ∀ϕ ∈ C0∞ (Ω) Ω với g = sign(f)D i f. Vậy D i |f| = g ∈ Lp(Ω) và |f| ∈ W1,p(Ω). f + f f −f • Sử dụng f + = , f− = ta có ngay kết luận còn lại của mệnh 2 2 đề. Mệnh đề 1.5 Nếu f ∈ W1,p(Ω) thì D i f(x) = 0 h.k.n trong Ω 0 = {f =0}. Chứng minh. Với tùy ý tập mở Ω’ ⊂Ω 0 , ta chọn dãy {φ n } ⊂ C0∞ (Ω ') thỏa lim ϕ n ( x ) = Di f ( x ) h.k.n trong Ω’. Đặt n →∞
ϕ n trên Ω ' ϕn =ϕ n = , gn 0 trên Ω \Ω ' 2 ϕn +1 thì g n ∈ C0∞ (Ω) và suppg n ⊂ Ω’. Do đó ta có ∂g n ∂g ∫ D fg = Ω' i ∫ D fg = n −∫ f Ω ∂x i n Ω i −∫ f n = = Ω' ∂x i 0 Qua giới hạn (sử dụng định lý hội tụ bị chặn) ta được ( Di f ) 2 ∫Ω ' ( D f )2 + 1 = 0 hay D i f = 0 h.k.n trên Ω’. i Mệnh đề 1.6 Nếu f ∈ W01, p (Ω) thì f+, f-, |f| ∈ W01, p (Ω) . Chứng minh. Ta chỉ cần chứng minh |f| ∈ W01, p (Ω) . Chọn dãy {f n } ⊂ C0∞ ( Ω ) thỏa lim f n = f trong W1,p(Ω). Với hàm G n như trong n→∞ chứng minh mệnh đề 1.4 ta có G n ∘f n ∈ C0∞ ( Ω ) và fn = Di (Gn  f n ) G= n '( f n ) Di f n Di f n 1 f + 2 n 2 n Do đó Di f (Gn  f n ) − D= i f G '( f n ) Di f n − sign fDi f (1.3) ≤ Di f n − Di f + Di f G 'n ( f n ) − sign f n→∞ { } Vì lim f n = f trong Lp(Ω) nên tồn tại dãy con f nk thỏa lim f nk ( x ) = f ( x ) h.k.n k →∞ trong Ω. Khi đó ta có lim Gn  f n ( x ) = f ( x ) h.k.n trong Ω và k →∞ lim G 'n ( f nk )( x ) = sign f ( x ) trong Ω 1 = {f ≠ 0}. Sử dụng định lý hội tụ bị chặn và k →∞ mệnh đề 1.5 ta được p ∫ Gn ( f n ) − f Ω = 0 (1.4)
p ∫ G '( f n ) − sign f = p Di f 0 (1.5) Ω Từ (1.3), (1.4), (1.5) ta có lim Gnk ( f nk ) = f trong W1,p(Ω). k →∞ Vậy |f| ∈ W01, p (Ω) . Định nghĩa 1.4 Cho các không gian Banach ( X , . X ) , (Y , . Y ) với X là không gian vector con của Y. Ánh xạ i: X → Y định bởi i(x) = x gọi là phép nhúng. Ta nói phép nhúng liên tục (compact) nếu i là ánh xạ liên tục (compact). Bổ đề 1.5 Cho Ω ⊂ RN là tập mở lớp C1 có ∂Ω bị chặn hoặc Ω =  N+ . Khi đó, tồn tại ánh xạ tuyến tính P: W1,p(Ω) → W1,p(RN) thỏa các điều kiện (i) Pf| Ω = f. (ii) Pf Lp (  N ) ≤c f Lp ( Ω ) , Pf W 1, p (  N ) ≤c f W 1, p ( Ω ) .  ⊃ Ω sao cho Nếu Ω bị chặn thì tồn tại tập mở, bị chặn Ω  , ∀f ⊂ W1,p(Ω) suppPf ⊂ Ω Nhận xét 1.1 Từ bổ đề 1.5 ta thấy rằng với tập mở Ω thuộc lớp C1, hàm f ∈ W1,p(Ω) (1≤ p < ∞), tồn tại dãy {f n }⊂ C0∞ (  N ) sao cho f n | Ω → f trong W1,p(Ω). Định lý 1.4 Giả sử Ω = RN hoặc Ω =  N+ ={(x 1 ,…,x N ) : x N > 0} hoặc Ω là tập mở thuộc lớp C1 với ∂Ω bị chặn. Với 1 ≤ p ≤ ∞ ta có: pN 1. Nếu 1 ≤ p < N thì W1,p(Ω) ⊂ Lp (Ω) với p* = * . N−p 2. Nếu p = N thì W1,p(Ω) ⊂ Lq(Ω) với q ∈ [N,∞). 3. Nếu p> N thì W1,p(Ω) ⊂ L∞(Ω), hơn nữa ∀ f ∈ W1,p(Ω) ta có |f(x) – f(y)| ≤ C f 1, p |x – y|α h.k.n trên Ω N với α = 1 − , C chỉ phụ thuộc vào p,N. p
Các phép nhúng trên là liên tục. Chứng minh. • Trường hợp Ω = RN: 1. Giả sử f ∈ C01 (  N ) , ta có ∂f xi f ( x) = ∫−∞ ∂xi ( x1 ,..., xi−1 , t, xi+1 ,..., xN ) dt ∞ ∂f = ∫= ( x ,..., x , t, x ,..., x ) dt : ∫ D f i −1 i +1 dxi ∂x 1 N i −∞ i  Suy ra 1 N  N  N −1 f ( x) N −1 ≤  ∏ ∫ Di f dxi   i =1   và 1 1 N   N −1  N  N −1 ∫ f ( y) N −1 dy1 ≤  ∫ D1 f dx1  ∫  ∏ ∫ Di f dxi  dy1      i =2   Áp dụng bất đẳng thức Holder cho N – 1 hàm với p 1 = … = p N – 1 = N – 1, ta được 1 1 N   N −1  N  N −1 ∫ f ( y) N −1 dy1 ≤  ∫ D1 f dx1   ∏ ∫ Di f dxi dx1      i =2 2  Tương tự, ta có 1 1 N   N −1   N −1 ∫ f ( x) N −1 dx1dx2 ≤  ∫ D1 f dx1dx2   ∫ D2 f dx1dx2  ×  2   2   2     1  N  N −1 ×  ∏ ∫ Di f dxi dx1dx2   i =3 3     Lặp lại lý luận này, cuối cùng ta được