Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

30
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị là một trong những hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ––––––––––––––––––––––– MAI THỊ LIÊN ĐA THỨC VI PHÂN CÁC HÀM PHÂN HÌNH VÀ VẤN ĐỀ CHIA SẺ GIÁ TRỊ Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TSKH.HÀ HUY KHOÁI THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các kết quả nghiên cứu trong luận văn là trung thực và chưa được công bố trong bất kỳ công trình nào khác. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Học viên Mai Thị Liên i
MỤC LỤC LỜI NÓI ĐẦU .................................................................................................... 1 Chương 1: CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA ............................... 3 1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna và Công thức Poison - Jensen ..................... 3 1.1.1. Công thức Poison - Jensen......................................................................... 3 1.1.2. Các kí hiệu ................................................................................................. 3 1.1.3. Các hàm đặc trưng Nevalinnna ................................................................. 3 1.2. Một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna. ........................................ 5 1.3. Bổ đề ........................................................................................................... 13 Chương 2: QUAN HỆ CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐA THỨC VI PHÂN CỦA NÓ CHIA SẺ MỘT GIÁ TRỊ ................................................ 14 2.1. Hai định lý .................................................................................................. 14 2.2. Chứng minh Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2 ............................................... 19 2.3. Toán tử vi phân dạng  f : f n  af ' ............................................................. 38 KẾT LUẬN....................................................................................................... 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO............................................................................... 46 ii
LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình và vấn đề chia sẻ giá trị là một trong những hướng nghiên cứu thu hút được sự quan tâm rộng rãi của các nhà toán học trên thế giới. Đề tài luận văn thuộc hướng nghiên cứu nói trên, với mục đích trình bày một số kết quả gần đây của lý thuyết đa thức vi phân các hàm phân hình. Luận văn gồm phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1 “Cở sở lý thuyết của Nevanlinna” được dành để trình bày một số khái niệm và kết quả cơ bản của Lý thuyết Nevanlinna, cần thiết cho việc giới thiệu các kết quả ở chương sau. Chương 2 “Quan hệ của cặp hàm nguyên và hàm phân hình khi đa thức vi phân của chúng chia sẻ một giá trị” là phần chính của luận văn. Ở đây, chúng tôi giới thiệu (với chứng minh chi tiết) một kết quả gần đây của J. Grahl and Sh. Nevo (trong bài báo: Differential polynomials and shared values, Annales Academiæ Scientiarum Fennicæ Mathematica  Volumen 36, 2011, 47-70). Luận văn được viết dưới sự hướng dẫn tận tình của GS.TSKH Hà Huy Khoái. Thầy không chỉ tận tình hướng dẫn mà còn thông cảm, động viên tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Nhân dịp này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới Thầy!. Đồng thời, em cũng xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong hội đồng bảo vệ luận văn thạc sỹ đã tạo điều kiện thuận lợi để em vững tin hơn trong việc chuẩn bị bảo vệ luận văn của mình. Em xin chân thành cảm ơn Đại học Thái Nguyên, Đại học Sư phạm, Khoa sau Đại học Sư phạm, các thầy cô giáo khoa Toán và gia đình đã tạo điều kiện tốt nhất cho em trong thời gian học tập cũng như nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, em xin cảm ơn các anh, chị, các bạn học viên lớp 1
cao học Toán giải tích - k23b Đại học Sư phạm Thái Nguyên đã giúp đỡ, chia sẻ kinh nghiệm cho em trong suốt thời gian qua. Trong quá trình viết luận văn cũng như trong việc xử lý văn bản chắc chắn không tránh khỏi những hạn chế và thiếu sót. Em rất mong nhận được sự góp ý của các thầy cô, các bạn đồng nghiệp, các bạn học viên để luận văn được hoàn thiện hơn. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017 Học viên Mai Thị Liên 2
Chương 1 CƠ SỞ LÝ THUYẾT CỦA NEVANLINNA Công cụ sử dụng chủ yếu trong luận văn này là Lý thuyết phân bố giá trị các hàm phân hình, hay còn gọi là Lý thuyết Nevanlinna. Kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna là hai Định lý cơ bản và Quan hệ số khuyết. Chương này có mục tiêu trình bày những kết quả cơ bản đó cùng với những hệ quả cần thiết để trình bày phần tiếp theo. 1.1 Các hàm đặc trưng Nevalinnna và Công thức Poison - Jensen 1.1.1. Công thức Poison - Jensen Giả sử f ( z) là hàm phân hình trong hình tròn  z  R , 0  R   , có các không điểm a     1, 2,.., M  ; các cực điểm bv (v  1, 2,..., N ) trong hình tròn đó (mỗi không điểm hoặc cực điểm được tính một lần số bội của nó). Khi đó, nếu z  rei ;  0  r  R  , f ( z )  0,  ; ta có 1 2 R2  r 2 M R  z  a  N R  z  bv  log f ( z )  2 0 log f (Rei ) R  2 Rrcos      r 2 2 d     1 log   log 2 R  a z v 1 2 R  bv z 1.1.2. Các kí hiệu r N  r , f    log được gọi là hàm đếm, trong đó b là cực điểm của f b trong z  r tính cả bội,  1  m  r, a   m  r, ,  f a  1  N  r, a   N  r, ,  f a m  r,    m  r, f  , N  r,    N  r, f  . 1.1.3. Các hàm đặc trưng Nevalinnna 3
Định nghĩa1.1 . A  K   A  K  được gọi là tập các hàm nguyên trên K và Ar  K    f  z  /   r ( bán kính hội tụ   r ).  Định nghĩa 1.2. Giả sử f  A( p  K  , 0     và f  z    an z n ,  m  0, am  0  , nm a  K . Ta định nghĩa  1  + n  r,  :  z  K  0; r  : f  z   a  0 là hàm đếm được số không điểm  f a (kể cả bội ) của f  a trong đĩa K  0; r  .  1  + n  r,  là hàm đếm số không điểm phân biệt của f  a trong đĩa  f a K  0; r  .  1  n  t,  1   r f  a  + Với 0  0   hàm N  r ,  :  dt , 0  r   được gọi là  f  a  0 t hàm giá trị của f  a trên đĩa K  0; r  . Định nghĩa 1.3. Với a  K   ta định nghĩa + Hàm đếm được số 0 - điểm ( kể cả bội ) của f  a trong đĩa K  0; r  được xác định bởi   1 n  r , f   n  r ,  , a    1    f0  n  r,   f a   1   n  r , , a   1 f  af 0  + Hàm giá trị của f  a trên đĩa K  0; r  được xác định bởi   1  N  r, f   N  r,  , a    1    f0  N  r,     f a   1   N  r , , a   f1  af 0  Định nghĩa1.4. Giả sử f  M ( p  K  với 0   ta định nghĩa 4
+ Hàm xấp xỉ của hàm f trên đĩa K  0; r  được xác định bởi m  r , f   log    r , f   max 0, log   r , f  . + Hàm đặc trưng: T  r , f   m  r , f   N  r , f  . 1 Chú ý 1.1. + log   r , f   log    r , f   log   r, f   1  m  r, f   m  r,  .  f  Công thức Jensen có thể viết thông qua hàm đặc trưng như sau  1  1 T  r ,   T  r , f   log   0 , f  hay T  r ,   T  r , f   o(1) .  f   f  + M ( p  K   M  K  0;    . Định nghĩa1.5. Giả sử x là số thực dương, kí hiệu log  x  max 0, log x . 1 1 1 Ta có: log x  log  x  log  , vì x  1: log x  0  log  x  log x , log  0  log   0 , x x x 1 1 1 0  x  1: log x  0  log  x  0 , log  0  log   log   log x . x x x 1.2. Một số kết quả cơ bản của lý thuyết Nevanlinna. Định lý 1.2.1. (Định lý cơ bản thứ nhất) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K  0,   . Khi đó, với mọi a  K , ta có  1   1  m  r,   N  r,   T (r , f )  o 1 ,  r    .  f a  f a Nhận xét 1.1. Định lý cơ bản thứ nhất cho ta thấy hàm phân hình nhập mọi giá trị a một số lần như nhau. Định lý 1.2.2. (Định lý cơ bản thứ hai) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng trên K  0,   và a1 ,....., aq là các điểm phân biệt thuộc K . Định nghĩa     min 1, ai  a j , A  max 1, ai  . Khi đó với 0  r   ta có q  1   1 (q  1)T  r , f    N  r ,   N  r , f   N  r , f '   N  r ,   log r  S f  f a   f  j 1  j  5
q  1   N  r, f     r,  log r  S f , với  f  a  j 1  j  S f   log   0 , f  a j   log   0 , f '  (q  1) log q A . j 1  Định nghĩa 1.6. Giả sử f  z  là hàm phân hình khác hằng số trên . Ta định nghĩa S  r , f  là một đại lượng xác định thỏa mãn S  r , f   o T  r , f   khi r   ; có thể trừ đi một tập E của r có độ đo hữu hạn. Giả sử a  z  , a0  z  , a1  z  ,... là các hàm nhỏ của f , tức là các hàm thỏa mãn T  r , a  z    S  r , f  khi r   . Định lý 1.2.3. ( Định lý Milloux ) Cho l là một số nguyên, f là hàm phân l hình khác hằng số trên và   z    av  z  f v  z  .  0 Khi đó  W  z  m  r ,   S  r , f   f  z  (1.1) và T  r ,    l  1 T  r , f   S  r , f  . (1.2) Chứng minh. Xét trường hợp   z   f l   z  , chứng minh bằng phép quy nạp  f' với l . Nếu   z   f ' thì m  r ,   S  r , f  . Giả sử , với l nào đó.  f    Khi đó m  r , f l    m  r , fl   m  r, f   m  r, f   S  r, f  . (*)  f  Nếu f  z  có cực điểm tại z0 cấp k thì f l   z  có cực điểm tại z0 cấp   k  l và k  l   l  1 k . Do đó N r, f l   l  1 N  r, f  . (**) Cộng các bất đẳng thức (*) (**) ta được       T r, f    m r, f    N r, f    m  r, f   l  1 N  r , f   S  r , f  l l l 6
  l  1 T  r , f   S  r , f  . Như vậy trong trường hợp này (1.2) được chứng minh. f l 1     Ta kết luận rằng m  r , l    S  r , f l    o T  r , f l    o T  r , f   , khi  f  r   , trừ một tập E của r có độ đo hữu hạn. Khi đó  f l 1   f  l 1   f l   m  r ,   m  r , l    m  r ,   S r, f  .  f   f   f  Vậy định lý được chứng minh trong trường hợp   z   f l   z  . Trường hợp tổng quát ta chú ý rằng    z  l l    f v  z    m  r ,  v     m r , a  v  f  z   log  l  1   m  r , a  v   m  r ,     log  l  1  f  z   v 0 v 0   f        l   S  r , f   o 1  S  r , f  . v 0 Vậy (1.1) được chứng minh.   Hơn nữa ta có m  r ,   m  r ,   m  r , f   m  r , f   S  r , f  . f   Nếu f  z  có cực điểm cấp p tại z0 và av  z  có cực điểm cấp không quá q tại z0 thì   z  có cực điểm tai z0 cấp không vượt quá p  l  q và p  l  q   l  1 p  q . Khi đó l N  r ,    l  1 N  r , f   N  r , f    N  r , av  z    l  1 N  r , f   S  r , f  . v 0 Vậy T  r ,   m  r ,   N  r ,   m  r , f   S  r , f   l  1 N  r , f   S  r , f    l  1 T  r , f   S  r , f  . Vậy định lý được chứng minh. Định nghĩa 1.7. Giả sử f  z  là hàm phân hình trên mặt phẳng phức , a , đặt 7
m  r, a  N (r , a)   a     a, f   lim  1  lim . T  r, f  T (r , f ) Khi đó,   a  được gọi là số khuyết của hàm tại giá trị của a . Kí hiệu r N  r , f    log , b tổng lấy theo mọi cực điểm của b của hàm trong miền b  r đồng thời mọi cực điểm chỉ được tính một lần. Đặt N  r, a    a     a, f   1  lim   a  a . T  r, f  N (r , a )  N (r , a )   a     a, f   lim . T  r, f    a  được gọi là chỉ số bội của giá tri a . Định lý 1.2.4. (Định lý Quan hệ số khuyết) Giả sử f  z  là hàm phân hình trên , khi đó tập hợp các giá trị a mà   a   0 cùng lắm là đếm được, đồng thời ta có    a     a      a   2 . a  a  Chứng minh.Từ định nghĩa suy ra rằng:   a     a     a  .Chọn dãy rn  , rn   sao cho S  rn   o  log T  rn , f   . Từ định lý cơ bản thứ hai, với mọi tập hợp gồm q số phức phân biệt a1 , a2 ,....., aq ta có q  q  1 T  rn , f    N  rn , av   N  rn ,    N1  rn   o  log T  rn , f   v 1  1   N  rn , av   N  rn ,    2 N  rn ,    N  rn , f '   N  rn , '   o  log T  rn , f   q v 1  f   1   N  rn , av   N  rn , f   N  rn , f '   N  rn , '   o  log T  rn , f   . q v 1  f  Bất đẳng thức trên có thể viết lại như sau 8
 1    n   N  rn , av   N  rn , f '   N  rn , f   N  rn ,  . q  q  1  o 1 T r , f  v 1  f  Nếu b là một cực điểm cấp k của hàm f  z  trong  z  rn  thì đại lượng rn log tham gia k lần trong công thức tính N  rn ,   đồng thời do b là cực điểm b của f '  z  cấp  k  1 lần trong công thức tính N  rn , f '  . Suy ra N  rn , f '   N  rn ,    N  rn ,   . Mặt khác, giả sử b là nghiệm bội k của phương trình: f  z   av với v nào đó 1  v  q . rn Khi đó, đại lượng log tham gia k lần trong công thức tính tổng b q  N r , a  . v 1 n v  1  Vì b là không điểm cấp  k  1 lần vào công thức tính tổng N  rn , '  .  f   1 q  rn , '    N  rn , av   N 0  f  . q Suy ra  N  rn , av   N ' v 1  f  v 1 Với N 0  f '  là tổng có dạng rn  log b lấy theo mọi không điểm của b của f ' mà không là nghiệm của bất kì phương trình f  z   av nào 1  v  q . q  1 q Suy ra  N r , a   N  r , f n v n '    N  rn , av  . v 1   v 1 q Ta có q  1  O 1  T  rn , f    N  rn , av   N  rn ,   . v 1 q N  rn , av  N  rn ,   Chia hai vế cho T  rn , f  ta được q  1  o 1    . v 1 T  rn , f  T  rn , f  Cho n   ta suy ra q  1  1    av   1      . q v 1 Tức là 9
q    a      2 . v 1 v Ta cần chứng minh tồn tại tập hợp các giá trị a sao cho (a)  0 , cùng lắm là đếm được, đồng thời  a  (a)  2 . Đặt   1 A  a /   a   0  a /   a    . n 1  n Tập hợp a /   a    có không quá 2n phần tử. 1  n Vậy A cùng lắm là đếm được. Suy ra  a  (a)  2 . Định lý 1.2.5. ( Định lý Picard) Giả sử f là hàm phân hình khác hằng. khi đó mọi giá trị f nhận mọi giá trị trừ ra cùng lắm là hai giá trị. Chứng minh. Giả sử f không nhận ba giá trị a1 , a2 , a3 có nghĩa là phương trình f  ai vô nghiệm. Suy ra N  f , ai   0 . Suy ra T  r , ai   m  r , ai  . Suy ra   ai   1 . Suy ra    a   3 , vô lý. Định lý 1.2.6. Cho f và g là các hàm phân hình khác hằng trong và n  11 là số nguyên. Giả sử f n f ' và g n g ' chia sẻ một giá trị khác không (kể cả bội). Khi đó, f  cg , trong đó c thỏa mãn cn1  1 hoặc fg là hằng số và f ( z )  eaz b với a , b  nào đó. Nếu f và g là các hàm nguyên thì điều này cũng đúng cho n  7 . Đặc biệt kết quả này đã được chứng minh tương tự cho hàm nguyên và hàm phân hình, liên quan đến các đa thức vi phân như P u  :  u n  , P u  :  u n (u  1) k  , P u  : u n (u  1)2 u ' . Định lý trên đây được chứng k 10
minh bởi Fang  2  , Lin, Yi 8 và nhiều người khác. Về sau, chúng ta nghiên cứu các định lý xác định duy nhất khác nhau đối với các đa thức vi phân dạng P  f  : f n  af . Điều này được gợi ý bởi kết quả nổi tiếng của Hayman  6  nói rằng, nếu f là hàm phân hình trong và thỏa mãn f n  z   af '  z   b với z  n  5, a, b  , a  0  thì f là hàm hằng. Nếu f là hàm nguyên thì điều này đúng cho n  3, n  2, b  0 . Như Doringer 1 đã chỉ ra rằng, điều nói trên vẫn còn đúng cho f n  af  k  thay vì f n  af ' , với điều kiện n  k  4 . Nếu f là hàm nguyên, thì chỉ cần giả thiết n  3 , độc lập với k. 1.3. Bổ đề Bên cạnh các kí hiệu tiêu chuẩn và kết quả của lý thuyết Nevanlinna chúng tôi sử dụng các kí hiệu sau đây N P )  r , f  : Ký hiệu hàm đếm cực điểm của f có bội nhiều nhất là P, mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó. Cũng như vậy, N ( P  r , f  : Ký hiệu hàm đếm cực điểm của f có bội ít nhất là P, mỗi cực điểm được tính một số lần bằng bội của nó. Tương ứng N P)  r, f  và N ( P  r , f  : Ký hiệu các hàm đếm, trong đó mỗi cực điểm chỉ được tính một lần. Hơn nữa, bởi N  r , f | g  c  chúng ta kí hiệu hàm đếm các cực điểm của f mà không phải là không điểm của g  c . Kí hiệu tương ứng cho N  r , f | g  c  hoặc N  r , f | g  c  . Bởi S  r , f  chúng ta kí hiệu số hạng tùy ý o T  r , f   khi r   ngoài một tập có độ đo hữu hạn. Đánh giá nổi tiếng sau [5: định lý 3.2] đóng một vai trò rất quan trọng. 11
Bổ đề 1.3.1. (Bất đẳng thức Milloux) Nếu f là hàm phân hình trong và k  , c  0 thì  1  1   1  T  r, f   N  r, f   N  r,   N  r, k    N  r , | f    c   S  r , f  , k  f   f c   f  k  1  k  với điều kiện f  c . Ngoài ra, chúng ta cần mở rộng sau đây của định lý Tumura Clunie nổi tiếng bởi Yi 10 . Bổ đề 1.3.2. Cho n  2, n  , P là một đa thức vi phân có bậc deg( P)  n 1 và trọng lượng w  P  với hệ số không đổi. Cho f là các hàm phân hình trong . : f  P  f  . Nếu P  f   0 thì n      n  deg  P  T  r, f    1  w  p   deg  P  N  r, f    N  r, 1f   N  r, 1   S  r, f  .     Mở rộng sau đây của bổ đề đạo hàm logarit thuộc về Doriger [1, bổ đề 1(i)] xem [3, bổ đề 5]. Bổ đề 1.3.3. Giả sử Q là một đa thức vi phân với hệ số phức C j  j  1, p  . Khi đó m  r , Q  f   deg  Q  m  r , f    m  r , C j   S  r , f  . p j 1 Đúng với mọi hàm phân hình f và với mọi r > 0 . Cuối cùng, kết quả sau đây từ [4, Định lý 9] là hữu ích trong chứng minh của hệ quả 5. t Bổ đề 1.3.4. Cho H   a j M j là một đa thức vi phân thuần nhất với các đơn j 1 thức vi phân đã chuẩn hóa M j và hệ số hằng số a j . Giả sử s w  M 1   ...  w  M s   w  M j  , j  s  1,..., t , s  1,..., t , c :  a j  0 . j 1 12
Nếu f là một hàm nguyên khác không trong và H[f ]  0 , thì f có dạng f  z   e ax b , a, b . 13
Chương 2 QUAN HỆ CỦA HÀM PHÂN HÌNH KHI ĐA THỨC VI PHÂN CỦA NÓ CHIA SẺ MỘT GIÁ TRỊ 2.1. Hai định lý Định lý 2.1.1. Cho f và g là các hàm phân hình trong , a, b  \ 0 và cho n, k  thỏa mãn n  5k 17 . Giả sử các hàm  f : f n  af  k  và  g : g n  ag  k  . (2.1) Chia sẻ giá trị b, kể cả bội. Khi đó  f  b f n af  k   b   , (2.2)  g  b g n ag  k   b  f b fn af  k   b  k   (2.3)  g  b ag  b gn b hoặc f  g, f k   g k   . a Trong thực tế trường hợp (2.3) được tin là không thể xảy ra, nhưng người ta cũng chưa chứng minh được điều này. Nếu chúng ta hạn chế xét hàm nguyên thì chúng ta có thể làm giảm các giả thiết của n một chút, loại trừ một số trường hợp (2.3). Định lý 2.1.2. Cho f và g là các hàm phân hình nguyên khác hằng, a, b  \ 0 và giả sử n, k  thỏa mãn n  11, n  k  12 . Giả sử các hàm  f và  g xác định như (2.1) Chia sẻ giá trị b kể cả bội. Khi đó  f  b f n af  k   b    g  b g n ag  k   b b hoặc f  g , f  k   g  k   . a Ở đây, nếu thêm giả thiết k  1 , ta có thể kết luận rằng f và g là đồng nhất bằng nhau. 14
Ta sẽ chứng minh định lý 2.1.1 và 2.1.2 cùng một lúc. Vì vậy, giả sử rằng f và g là các hàm phân hình,  f và  g có chia sẻ giá trị b kể cả bội, n  max 11, k  2 . Hơn nữa, giả sử f và g là các hàm nguyên hoặc n  5k 17 .  Phác thảo ngắn gọn các ý tưởng chính để chứng minh Định lý 2.1.1 và Định lý 2.1.2 Phác thảo của chứng minh: Không giảm tổng quát, giả sử a  1 , xét các hàm fn gn  f : và  g : ,  f b g b trong đó  f và  g xác định như trong (2.1). Dễ dàng thấy rằng T  r ,  f  ít nhiều gần với  n   k  1  .T  r , f  . Đặc biệt ta có T  r ,  f    n  k  1 T  r , f   S  r , f . Ta cần áp dụng định lý cơ bản thứ hai cho  f để suy ra ước lượng kiểu T  r ,  f   cT  r , f   S  r , f , (2.4) trong đó c  0 độc lập với n . Từ ( 2.4 ) suy ra c T  r, f   T  r, f   S  r, f  , n  k 1 mâu thuẫn nếu n đủ lớn. (Như đã nêu trong các định lý, n  5k 17 trong trường hợp phân hình, n  max 11, k  2 trong trường hợp hàm nguyên). Để có được một đánh giá như trong (2.4), ta cần nghiên cứu các hàm đếm thu gọn các không điểm và cực điểm của  f và các không điểm của  f  1 . Các không điểm của  f là không điểm của f , các không điểm của  f  1 là không điểm của f  k   b và cực điểm của f . Nhờ định lý cơ bản thứ nhất, các  1   1  hàm đếm thu gọn N  r ,  , N  r ,  có thể ước lượng bởi T  r , f   S  r , f    f    f  1  và  k  2  .T  r , f   S  r , f  . Cực điểm của  f là các không điểm của  f  1 . Điểm khó khăn chính trong các chứng minh là cần nhận được một số ước lượng cho 15
 1  các hàm đếm tương ứng N  r ,  . Ở đây, các không điểm bội của  f  b là   f 1  dễ dàng kiểm soát; hàm đếm của chúng không vượt quá  3  k  .T  r , f   S  r , f  . (tương ứng nhiều nhất là  2T  r , f   S  r , f   trong trường hợp hàm nguyên). Vì vậy, chúng ta có thể giới hạn ở việc xét các không điểm đơn  f  b . Hàm phụ trợ hàm sau đây rất có ích  'f  'g D :  ,  f b g b nó có nhiều tính chất đẹp. Do bổ đề về đạo hàm logarit m  r , D  là nhỏ và do  f  b và g  b chia sẻ giá trị 0, D không có cực điểm nào ngoài có thể là các cực điểm của f và g và tất cả các cực điểm của D là đơn (vì D gồm các đạo hàm logarit). Nếu z0 là không điểm của  f  b và g  b , thì ta có thể tính 1   '' f  ''g  D  z0       z0  , 2   ' f  'g  nên z0 là không điểm của 1   '' f  ''g  D     z0  : H . 2   ' f  'g  Điều này có nghĩa rằng chúng ta có thể ước lượng hàm đếm  1  N 1)  r ,    b    bởi T r , H . Nhưng ở đây, một trong những vấn đề lớn xảy ra,  f    m r , H lại nhỏ, nhưng có vẻ như N r , H   không thể kiểm soát được theo các yêu cầu đặt ra. Các giải pháp cho vấn đề này là như sau. Nếu z0 là một không điểm đơn của  f  b thì chúng tôi sử dụng các phương trình f n  z0   b  f  k   z0  để thay thế các từ trong  ' f cái nào là "lớn" 16
trong ý nghĩa của lý thuyết Nevanlinna (tức là với đặc trưng n.T  r , f  ) bằng những cái nhỏ hơn (với đặc trưng cT  r , f  trong đó c là độc lập với n ). Suy ra  '' f n  n  1 f n f '2  nf n 1 f '' f 2 f  k  2 z    z0   'f 0 nf n 1 f ' f 2 f  k 1      n  n  1 f '2 b  f  k   nff '' b  f  k   f 2 f  k  2  z0  .   nff ' b  f  k   f 2 f  k 1 Do đó , thay vì H ta đưa vào hàm phụ phức tạp hơn H : D  Q  f   Q  g  . Ở đây, Q  f  : 2  1 n  n  1 f ' b  f k      nff '' b  f  k   f 2 f  k  2 . 2  f 2 f  k 1  nff '' b  f  k   Khi đó, mỗi không điểm đơn của  f  b là một số không của H . Ưu điểm chính của H là nó không chứa bất kỳ số hạng nào liên quan đến f n nữa. Giả sử rằng H  0 . Khi đó, ta có  1   1  N1)  r ,   b    N  r,   T  r , H   o 1 .  f   H  Ở đây, như đã nói trên, D không có cực điểm nào khác hơn ngoài có thể là các cực điểm của f và g và nó bao gồm các đạo hàm logarit , vì vậy m  r , D  là nhỏ và N  r , D   N  r , f   N  r , g  là " không quá lớn". Do đó, chỉ còn phải xét Q  f  và Q  g  . Sử dụng định lý cơ bản thứ nhất hàm đếm các cực điểm của Q  f  (đây là các số không điểm của mẫu số của Q  f  và các cực điểm của f ) có thể được ước lượng bởi  k  5 T  r , f   S  r , f  . Nhưng ta có thể nói gì về m  r , Q  f  (và m  r , Q  f  ) ?. Ta thấy rằng 17