Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:60

Thêm vào BST

Báo xấu

18
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn giới thiệu một số khái niệm về phương trình đạo hàm riêng, phương trình đạo hàm riêng cấp hai, dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Dạng chuẩn tắc của phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trên mặt phẳng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM NG THÀ LOAN DNG CHUN TC CÕA PH×ÌNG TRNH O HM RING TUYN TNH CP HAI TRN MT PHNG LUN VN THC S TON HÅC THI NGUYN - 2020
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM °ng Thà Loan DNG CHUN TC CÕA PH×ÌNG TRNH O HM RING TUYN TNH CP HAI TRN MT PHNG Chuy¶n ng nh: To¡n Gi£i T½ch M¢ sè: 8 46 01 02 LUN VN THC S TON HÅC C¡n bë h÷îng d¨n khoa håc: TS. TRÀNH THÀ DIP LINH i
THI NGUYN - 2020 ii
Líi cam oan Tæi xin cam oan Luªn v«n "D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng" l tr¼nh b y nghi¶n cùu khoa håc cõa ri¶ng tæi d÷îi sü h÷îng d¨n trüc ti¸p cõa TS. Trành Thà Di»p Linh. Ngo i ra, trong luªn v«n tæi cán sû döng mët sè k¸t qu£, nhªn x²t cõa mët sè t¡c gi£ kh¡c ·u câ chó th½ch v tr½ch d¨n nguçn gèc.Trong qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu, tæi ¢ k¸ thøa th nh qu£ khoa håc cõa c¡c nh khoa håc vîi sü tr¥n trång v bi¸t ìn. N¸u ph¡t hi»n b§t ký sü gian lªn n o tæi xin ho n to n chàu tr¡ch nhi»m v· nëi dung luªn v«n cõa m¼nh. Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2020 T¡c gi£ °ng Thà Loan ii
Líi c£m ìn Luªn v«n n y ÷ñc ho n th nh t¤i tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n. T¡c gi£ xin b y tä láng k½nh trång v bi¸t ìn s¥u sc ¸n TS. Trành Thà Di»p Linh ng÷íi th¦y ¢ trüc ti¸p h÷îng d¨n, tªn t¼nh ch¿ b£o v ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt thíi gian nghi¶n cùu vøa qua. T¡c gi£ tr¥n trång gûi líi c£m ìn ¸n c¡c th¦y, cæ gi¡o Khoa To¡n, Pháng o t¤o Sau ¤i håc, c¡c b¤n håc vi¶n lîp Cao håc K26 To¡n gi£i t½ch tr÷íng ¤i håc S÷ ph¤m Th¡i Nguy¶n ¢ luæn gióp ï, t¤o i·u ki»n thuªn lñi cho t¡c gi£ trong qu¡ tr¼nh håc tªp v nghi¶n cùu t¤i tr÷íng. T¡c gi£ công xin b y tä bi¸t ìn s¥u sc tîi gia ¼nh v ng÷íi th¥n ¢ luæn khuy¸n kh½ch, ëng vi¶n t¡c gi£ trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v l m luªn v«n. T¡c gi£ mong nhªn ÷ñc nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u cõa c¡c th¦y cæ v b¤n åc º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn. Th¡i Nguy¶n, ng y 15 th¡ng 9 n«m 2020 Ng÷íi thüc hi»n °ng Thà Loan iii
Möc löc Trang b¼a phö i Líi cam oan ii Líi c£m ìn iii Líi nâi ¦u 1 1 Ki¸n thùc chu©n bà 4 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng . . . . . 4 1.2 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai . . . . . . . . . . . . 7 1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2.2 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbolic . . . . 20 1.2.3 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh parabolic . . . . 23 1.2.4 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh eliptic . . . . . . 25 2 D¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng 28 2.1 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai vîi hai bi¸n ëc lªp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2 D¤ng chu©n tc khæng àa ph÷ìng . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 D¤ng chu©n tc trìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.1 ành l½ rót gån . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3.2 D¤ng chu©n tc trìn cho c¡c iºm k¼ dà g§p . . . . 47 iv
K¸t luªn 51 T i li»u tham kh£o 52 v
Líi nâi ¦u Sü khði ¦u cõa lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai tr¶n m°t ph¯ng ÷ñc nghi¶n cùu v o kho£ng giúa th¸ k 18. V o thíi iºm â d'Alembert v Euler ¢ · xu§t ph÷ìng tr¼nh sâng v ph÷ìng tr¼nh Laplace º mæ t£ sü chuyºn ëng cõa d¥y v sü thay th¸ vªn tèc cõa ch§t läng khæng n²n ÷ñc t÷ìng ùng. Sau khi xu§t hi»n nhúng d¤ng chu©n tc m ¤i di»n cho c¡c ph÷ìng tr¼nh lo¤i eliptic v ph÷ìng tr¼nh lo¤i hyperbolic, ÷ñc sû döng nhi·u trong gi£i t½ch º ¡p döng trong vi»c gi£i quy¸t c¡c b i to¡n kh¡c nhau. Ng y nay v§n · n y ÷ñc nhi·u ng÷íi quan t¥m v th÷íng ÷ñc nghi¶n cùu trong l¾nh vüc ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng. X²t ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t a(x, y)uxx + b(x, y)uxy + c(x, y)uyy = 0, (0.1) vîi a, b, c l c¡c h» sè trìn, câ thº ÷ñc ÷a v· c¡c d¤ng àa ph÷ìng g¦n iºm b§t ký cõa ph÷ìng tr¼nh hyperbol v elip t÷ìng ùng, tùc l x²t bi»t thùc D vîi D = b2 − 4ac cõa ph÷ìng tr¼nh (0.1) theo thù tü l d÷ìng v ¥m, b¬ng c¡ch thay êi c¡c tåa ë trìn v thüc hi»n ph²p nh¥n tr¶n mët h m trìn b§t bi¸n th½ch hñp (xem[4]). èi vîi mët bë ba têng qu¡t trìn ho°c trìn ¦y õ trong tæpæ Whitney bi»t thùc l réng ho°c l mët ÷íng cong trìn ÷ñc nhóng trong m°t ph¯ng. Nh÷ vªy cho mët ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh sâng d¤ng uxx − uyy = 0 v ph÷ìng tr¼nh Laplace d¤ng uxx + uyy = 0 c¡c d¤ng chu©n tc hi»n nay cõa ph÷ìng tr¼nh (0.1) ch½nh l g¦n mët iºm n¬m ngo i ÷íng th¯ng n y. ÷íng th¯ng n y ÷ñc gåi l d¤ng ÷íng thay êi v¼ b§t ký iºm n o g¦n nâ ph÷ìng tr¼nh gçm câ c¡c iºm cõa c£ elip v hyperbol. Ph÷ìng 1
tr¼nh (0.1) thay êi d¤ng trong mi·n ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh d¤ng hén hñp. Trong nghi¶n cùu cõa Tricomi ([xem 6]) ¢ x²t mët ph÷ìng tr¼nh g¦n iºm P cõa d¤ng ÷íng thay êi, â l ph÷ìng tr¼nh khæng suy bi¸n cõa bi»t thùc, tùc l D(P ) = 0 v dD(P ) 6= 0 v t¤i â ph÷ìng °c tr÷ng dy : dx ÷ñc x¡c ành bði ph÷ìng tr¼nh a(x, y)dy 2 − b(x, y)dxdy + c(x, y)dx2 = 0. (0.2) Ph÷ìng tr¼nh (0.2) khæng ti¸p tuy¸n vîi ÷íng th¯ng. G¦n mët iºm nh÷ vªy, Tricomi ¢ ÷a ra cho (0.1) d¤ng chu©n tc ÷ñc k½ hi»u uyy + yuxx = 0. (0.3) Sau khi thay êi c¡c tåa ë trìn v thüc hi»n nh¥n tr¶n mët h m trìn b§t bi¸n. Ð d¤ng ph÷ìng tr¼nh thay êi tr¶n tröc ho nh v nâ thuëc ph÷ìng tr¼nh lo¤i eliptic trong mi·n y > 0 v hyperbolic trong mi·n y < 0. Hìn núa, ng÷íi ta ¢ chùng minh r¬ng ph÷ìng tr¼nh ð d¤ng chu©n tc câ hai °c t½nh t¤i méi iºm x0 cõa tröc ho nh. C¡c °c t½nh n¬m trong mi·n y ≤ 0 v câ d¤ng 9(x − x0 )2 = −4y 3 . èi vîi ph÷ìng tr¼nh (0.3), Tricomi ([xem 6]) tr¼nh b y d¤ng mîi v· lo¤i b i to¡n gi¡ trà bi¶n trong mi·n bà ch°n bði c¡c °c tr÷ng giao nhau i tø hai iºm cõa d¤ng ÷íng thay êi v bði mët cung trìn n¬m trong mi·n y > 0 v nèi c¡c iºm n y l¤i. èi vîi c¡c i·u ki»n bi¶n cõa Dirichlet ÷ñc x¡c ành tr¶n cung n y v tr¶n mët trong hai cung °c tr÷ng, æng ¢ chùng minh ành lþ v· sü tçn t¤i v t½nh duy nh§t cõa nghi»m. Ng y nay v§n · n y ÷ñc °t t¶n l Tricomi I. Trong nghi¶n cùu Tricomi ([xem 6]) công cung c§p n·n t£ng cho d¤ng chu©n tc (0.3) nh÷ng chùng minh cõa æng ch÷a ¦y õ. Sau â chùng minh óng cho d¤ng n y ÷ñc thüc hi»n bði Cibrario. Nh÷ l÷u þ ð tr¶n, nhúng k¸t qu£ cõa Tricomi ¢ ÷ñc sû döng t½ch cüc trong nghi¶n cùu lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tr¶n m°t ph¯ng. 2
B÷îc ti¸p theo trong lþ thuy¸t v· c¡c d¤ng chu©n tc cõa ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng hén hñp têng qu¡t tr¶n m°t ph¯ng chõ y¸u ÷ñc thüc hi»n sau â. Luªn v«n n y ÷ñc tr¼nh b y theo t i li»u [3], [4], [7] nhúng k¸t qu£ nhªn ÷ñc g¦n ¥y v ành lþ rót gån, c¡c bi¸n thùc kh¡c nhau ÷ñc sû döng º thu ÷ñc c¡c k¸t qu£ n y. 3
Ch÷ìng 1 Ki¸n thùc chu©n bà 1.1 Mët sè kh¡i ni»m v· ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ành ngh¾a 1.1.1. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l mët ph÷ìng tr¼nh câ chùa c¡c ¤o h m ri¶ng cõa h m ©n. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng F (x1 , x2 , ..., xn , u, ux1 , ..., uxn , ux1 x1 , ...) = 0, x ∈ Ω ⊂ Rn , (1.1) trong â x = (x1 , ..., xn ) l c¡c bi¸n ëc lªp, u l h m ©n cõa c¡c bi¸n â. Nghi»m cõa (1.1) tr¶n Ω l mët h m u x¡c ành, kh£ vi ¸n c§p c¦n thi¸t tr¶n Ω v thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh â t¤i måi iºm thuëc Ω. Nâi chung mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng câ væ h¤n nghi»m. V½ dö c¡c h m u(x, t) = ex−ct , u(x, t) = cos(x − ct), l c¡c nghi»m cõa ut + cux = 0. Hìn núa, måi h m kh£ vi cõa c − ct ·u l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh â. Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng th÷íng ÷ñc ph¥n lo¤i theo c¡c ti¶u ch½ sau: a) Theo c§p cõa ph÷ìng tr¼nh (nâi chung ph÷ìng tr¼nh câ c§p c ng cao c ng phùc t¤p). b) Theo mùc ë phi tuy¸n, tuy¸n t½nh (ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh nâi chung ìn gi£n hìn ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n, mùc ë phi tuy¸n c ng cao th¼ c ng 4
phùc t¤p). c) Theo sü phö thuëc v o thíi gian (ph÷ìng tr¼nh bi¸n êi theo thíi gian th¼ ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh ti¸n hâa, ng÷ñc l¤i ÷ñc gåi l ph÷ìng tr¼nh døng). Trong t¼nh huèng n y ng÷íi ta th÷íng k½ hi»u bi¸n thíi gian l t, c¡c bi¸n cán l¤i l bi¸n khæng gian. Cö thº hìn ta câ c¡c kh¡i ni»m sau ¥y: ành ngh¾a 1.1.2. C§p cõa mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l c§p cao nh§t cõa ¤o h m ri¶ng câ m°t trong ph÷ìng tr¼nh. Ch¯ng h¤n, ut + cux = 0 (1.2) l ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p 1, cán c¡c ph÷ìng tr¼nh uxx + uyy = f (x, y). (1.3) α(x, y)uxx + 2uxy + 3x2 uyy = 4ex . (1.4) ux uxx + (uy )3 = 0. (1.5) (uxx )2 + uyy + a(x, y)ux + b(x, y)u = 0, (1.6) l ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai. ành ngh¾a 1.1.3. Mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng l tuy¸n t½nh n¸u nâ câ d¤ng L[u] = f (x), (1.7) trong â L[u] l mët tê hñp tuy¸n t½nh cõa u v c¡c ¤o h m ri¶ng cõa u vîi c¡c h» sè l c¡c h m cõa bi¸n ëc lªp x, tùc l X L[u] = aα (x) Dα u. α N¸u f ≡ 0 th¼ ta nâi ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh (1.7) l thu¦n nh§t, tr¡i l¤i th¼ ta nâi ph÷ìng tr¼nh â l khæng thu¦n nh§t. Ch¯ng h¤n, (1.2)-(1.4) l c¡c ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh, trong â (1.2) l thu¦n nh§t, (1.4) l khæng thu¦n nh§t. 5
ành ngh¾a 1.1.4. Mët ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng khæng tuy¸n t½nh th¼ ÷ñc gåi l phi tuy¸n. Ch¯ng h¤n ph÷ìng tr¼nh (1.5) l ph÷ìng tr¼nh phi tuy¸n. Nâi chung c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng phùc t¤p hìn c¡c ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng v¼ vîi ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n th÷íng, º t¼m mët nghi»m ri¶ng tø nghi»m têng qu¡t ta ch¿ ph£i t¼m c¡c gi¡ trà cõa c¡c h¬ng sè tòy þ, trong khi â vîi ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng, vi»c chån nghi»m ri¶ng thäa m¢n c¡c i·u ki»n bê sung câ khi cán khâ hìn c£ vi»c t¼m nghi»m têng qu¡t do nghi»m têng qu¡t cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng phö thuëc v o c¡c h m tòy þ (xem v½ dö sau ¥y) v nâ câ thº câ væ h¤n c¡c nghi»m ëc lªp tuy¸n t½nh. V½ dö 1.1.1. Gi£i ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng tuy¸n t½nh c§p hai uξη (ξ, η) = 0. (1.8) T½ch ph¥n ph÷ìng tr¼nh n y theo η (giú ξ cè ành) ta câ uξ = f (ξ) , (do ξ cè ành n¶n h¬ng sè t½ch ph¥n câ thº phö thuëc ξ ). T½ch ph¥n theo ξ (giú η cè ành) ta nhªn ÷ñc Z u(ξ, η) = f (ξ)dξ + G(η). Do t½ch ph¥n ð tr¶n l mët h m cõa ξ n¶n nghi»m cõa (1.8) l u(ξ, η) = F (ξ) + G(η), trong â F, G l hai h m kh£ vi b§t ký. Nh÷ vªy, º nhªn ÷ñc mët nghi»m ri¶ng thäa m¢n mët sè i·u ki»n n o â ta s³ ph£i x¡c ành hai h m F, G. 6
1.2 Ph÷ìng tr¼nh ¤o h m ri¶ng c§p hai 1.2.1 Ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh D¤ng têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai vîi hai bi¸n sè ëc lªp x v y câ d¤ng a(x, y)uxx +2b(x, y)uxy +c(x, y)uyy +d(x, y)ux +e(x, y)uy +f (x, y)u = g(x, y), (1.9) trong â a, b, c, d, e, f, g ∈ C 2 (Ω) , Ω ⊆ R2 v a2 + b2 + c2 6= 0 trong Ω. X²t to¡n tû ¤o h m ri¶ng ∂2 ∂2 ∂2 ∂ ∂ ∂ ∂ L , := a 2 + 2b +c 2 +d + e + f. ∂x ∂y ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂y Khi â ph÷ìng tr¼nh (1.9) ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng Lu = g, v ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng cho ph÷ìng tr¼nh (1.9) l Lu = 0. (1.10) To¡n tû L l tuy¸n t½nh tø i·u ki»n L(c1 u1 + c2 u2 ) = c1 Lu1 + c2 Lu2 thäa m¢n cho måi c°p cõa h m sè u1 , u2 ∈ C 2 (Ω) v h¬ng sè b§t ký u1 , u2 ∈ R. D¤ng tuy¸n t½nh cõa to¡n tû nh÷ sau n¸u u1 , ..., un l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (1.10), khi â vîi b§t ký c¡ch chån h¬ng sè c1 , ..., cn cho h m sè c1 u1 + ... + cn un công l mët nghi»m cõa (1.10). Hìn núa, n¸u up l nghi»m ri¶ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9), khi â L(c1 u1 + ... + cn un + up ) = L(c1 u1 + ... + cn un ) + Lup = Lup = g. V¼ vªy u = c1 u1 + ... + cn un + up , công l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) cho vîi h¬ng sè c1 , ..., cn b§t ký. X²t tr÷íng hñp ìn gi£n nh§t khi c¡c h» sè cõa ph÷ìng tr¼nh (1.9) l 7
h¬ng sè thüc. Gi£ thi¸t g l h m cho tr÷îc l h m gi£i t½ch câ gi¡ trà thüc trong Ω. Khi â trong mët sè tr÷íng hñp, câ thº nhªn ÷ñc nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.10) l mèi quan h» hai chu ký tu¦n ho n C 2 (Ω), n¶n u = uh + up , ÷ñc gåi l sè nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t. Ph¥n lo¤i ¤o h m to¡n tû tuy¸n t½nh L ∂x , ∂y , ∂ ∂ (i) L ∂x , ∂y l kh£ quy ho°c ph¥n t½ch ÷ñc n¸u nâ câ d¤ng t½ch cõa ∂ ∂ tuy¸n t½nh thù nh§t- c§p thøa sè cõa a ∂x ∂ ∂ + b ∂y + c. (ii) L ∂x , ∂y l b§t kh£ quy ho°c khæng ph¥n t½ch ÷ñc n¸u nâ khæng ∂ ∂ câ d¤ng tr¶n. a) Ph÷ìng tr¼nh kh£ quy Trong tr÷íng hñp nghi»m têng qu¡t câ thº ÷ñc t¼m th§y, gi£ sû L = L1 L2 ∂ ∂ ∂ ∂ = a1 + b1 + c1 a2 + b2 + c2 . ∂x ∂y ∂x ∂y ∂2 ∂2 Tø â h» sè ∂x∂y = ∂y∂x l h¬ng sè v to¡n tû L1 L2 giao ho¡n, tùc l L1 L2 = L2 L1 . N¸u u1 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p mët L1 u = 0, do â Lu1 = (L1 L2 )u1 = (L2 L1 )u1 = L2 (L1 u1 ) = L2 (0) = 0, tùc u1 l nghi»m cõa (1.10). T÷ìng tü, n¸u u2 l nghi»m cõa L2 (u) = 0, khi â u2 l nghi»m cõa (1.10). Tø â L l to¡n tû tuy¸n t½nh khi u = u1 + u2 công l nghi»m. Do â, n¸u a = a1 a2 6= 0 v c¡c thøa sè L1 , L2 l ri¶ng bi»t, th¼ nghi»m têng qu¡t cõa (1.10) ÷ñc t½nh b¬ng c¡ch c1 c2 uh = e− a1 x ϕ(b1 x − a1 y) + e− a2 x ψ(b2 x − a2 y), (1.11) trong â ϕ v ψ l h m l§y ¤o h m mët c¡ch li¶n töc g§p æi tuý þ. N¸u L1 = L2 tùc l 2 ∂ ∂ L = L1 L1 = a1 + b1 + c1 , ∂x ∂y 8
khi â nghi»m têng qu¡t l c1 uh = e− a1 x (xϕ(b1 x − a1 y) + ψ(b1 x − a1 y)). To¡n tû L luæn kh£ quy khi nâ l to¡n tû thu¦n nh§t cõa ph÷ìng tr¼nh câ d¤ng ∂2 ∂2 ∂2 L = a 2 + 2b + c 2. ∂x ∂x∂y ∂y N¸u a 6= 0 v λ1 , λ2 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh bªc hai aλ2 + 2bλ + c = 0. Khi â ∂ ∂ ∂ ∂ L=a − λ1 − λ2 . ∂x ∂y ∂x ∂y N¸u a = 0 th¼ ∂ ∂ ∂ L= 2b +c . ∂y ∂x ∂y Chó þ r¬ng c«n cõa λ1 , λ2 l thüc n¸u b2 − ac ≥ 0. V½ dö 1.2.1. T¼m nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh uxx + ux = uyy + uy . Ph÷ìng tr¼nh n y câ d¤ng Lu = 0 trong â L l to¡n tû ∂2 ∂2 ∂ ∂ L= 2− 2+ − . ∂x ∂y ∂x ∂y To¡n tû quy v· ∂ ∂ ∂ ∂ L = L1 L2 = − + +1 , ∂x ∂y ∂x ∂y v tø ph÷ìng tr¼nh (1.11) nghi»m têng qu¡t l u = ϕ(x + y) + e−x ψ(x − y), m°t kh¡c công câ thº l vi¸t d÷îi d¤ng u = ϕ(x + y) + e−x ex−y h(x − y) = ϕ(x + y) + e−y h(x − y), trong â ϕ, ψ v h l c¡c h m tuý þ. 9
Mët ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh c§p hai trong n bi¸n ëc lªp x1 , ...xn câ d¤ng n n X ∂ 2u X ∂u Aij + Bi + Cu = G. (1.12) i,j=1 ∂x i ∂x j i=1 ∂x i N¸u x²t to¡n tû n n X ∂2 X ∂ L= Aij + Bi + C, i,j=1 ∂x i ∂x j i=1 ∂x i khi â ph÷ìng tr¼nh (1.12) ÷ñc vi¸t nh÷ sau Lu = G, v ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t t÷ìng ùng l Lu = 0. (1.13) Gi£ sû r¬ng h» sè Aij , Bi , C trong L l sè thüc, v Aij = Aji ; i, j = 1, ..., n. Khi L l kh£ quy L = L1 L2 ∂ ∂ ∂ ∂ = a1 + ... + an +c b1 + ... + bn +d . ∂x1 ∂xn ∂x1 ∂xn Khi â bi¸n êi t÷ìng tü trong tr÷íng hñp cõa hai bi¸n ëc lªp. V¼ vªy nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh (1.13) l c d uh = e− a1 x1 ϕ(a2 x1 −a1 x2 , ..., an x1 −a1 xn )+e− b1 x1 ψ(b2 x1 −b1 x2 , ..., bn x1 −b1 xn ), trong â ϕ, ψ l c¡c h m tuý þ. N¸u a1 ho°c b1 b¬ng 0 th¼ nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh têng qu¡t ÷ñc bi¸n êi th½ch hñp. Nghi»m têng qu¡t cõa ph÷ìng tr¼nh khæng thu¦n nh§t (1.12) l u = uh + up , trong â up l nghi»m ri¶ng. b) Ph÷ìng tr¼nh b§t kh£ quy Cho to¡n tû L ∂x , ∂y b§t kh£ quy, khæng ph£i lóc n o công câ thº t¼m ∂ ∂ ÷ñc nghi»m têng qu¡t, nh÷ng câ thº x¥y düng nghi»m bao h m nhi·u 10
h¬ng sè tuý þ nh÷ mong muèn. i·u n y ¤t ÷ñc b¬ng c¡ch thû nghi»m câ d¤ng mô u = eαx+βy , trong â α, β l h¬ng sè x¡c ành. Tø â ∂u ∂u = αu, = βu. ∂x ∂y Th§y r¬ng ∂ ∂ L= , eαx+βy = L (α, β) eαx+βy , ∂x ∂y v tr÷îc â u = eαx+βy l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh thu¦n nh§t (1.10) khi L (α, β) = 0. Gi£ sû quan h» cuèi còng l k¸t qu£ cõa β thu ÷ñc h m sè β = h(α). Khi â h m sè u = eαx+h(α)y , l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.10). Ngo i ra u = ϕ (α) eαx+h(α)y , chån h m ϕ l nghi»m b§t ký. Kh¡i qu¡t hìn X Z αx+h(α)y u= ϕ (α) e , u = ϕ (α) eαx+h(α)y dα, α l c¡c nghi»m méi khi ành ngh¾a h m C 2 (Ω), v ph²p l§y ¤o h m trong k½ hi»u têng ho°c trong k½ hi»u t½ch ph¥n l hñp l½. Kh¡i ni»m tr÷îc mð rëng cho ph÷ìng tr¼nh (1.13) khi h» sè khæng êi. V½ dö, x²t ph÷ìng tr¼nh nhi»t l÷ñng 1 xxx − ut = 0, h¬ng sè k > 0. (1.14) k To¡n tû ∂2 1∂ L= 2− ∂x k ∂t 11
l b§t kh£ quy. T¼m nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh u = eαx+βt , thu ÷ñc 1 α2 − β = 0. k Do â β = kα2 v vîi måi gi¡ trà cõa h m sè α vîi 2 u = eαx+kα t 2 l nghi»m. N¸u l§y α = in khi â h m u = einx−kn t l nghi»m v câ d¤ng ∞ 2 X u= Cn einx−kn t n=1 ∞ 2 X = (An cos nx + Bn sin nx)e−kn t , n=1 l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh (1.14). ành ngh¾a 1.2.1. Ph÷ìng tr¼nh auxx + 2buxy + cuyy F (x, y, u, ux , uy ) = 0, (1.15) t¤i iºm P (x, y) ∈ Ω l (i) hyperbolic, n¸u ∆ (x, y) > 0. (ii) parabolic, n¸u ∆ (x, y) = 0. (iii) eliptic, n¸u ∆ (x, y) < 0. Ph÷ìng tr¼nh l hypebolic (parabolic, eliptic) trong tªp con G ⊂ Ω n¸u nâ l hypebolic (parabolic, eliptic) t¤i måi iºm cõa G. Ti¸p theo, t¼m to¤ ë mîi ξ v η sao cho vîi i·u ki»n cõa to¤ ë mîi ph÷ìng tr¼nh (1.15) câ ph¦n ch½nh °c bi»t ìn gi£n. Khi â ph÷ìng tr¼nh l d¤ng chu©n tc. ành lþ 1.2.2. Gi£ sû r¬ng ph÷ìng tr¼nh (1.15) l hyperbolic, parabolic ho°c elliptic trong l¥n cªn iºm P0(x0, y0). Khi â tçn t¤i thay êi kh£ nghàch cõa bi¸n sè ( ξ = ξ(x, y) Φ: η = η(x, y) 12
x¡c ành trong l¥n cªn iºm P0(x0, y0) sao cho ph÷ìng tr¼nh (1.15) câ thº rót gån th nh mët trong ba d¤ng d÷îi ¥y (i) N¸u P0(x0, y0) l mët iºm hyperbolic uξη + Ψ(ξ, η, u, uξ , uη ) = 0. (1.16) (ii) N¸u P0(x0, y0) l mët iºm parabolic uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ , uη ) = 0. (1.17) (iii) N¸u P0(x0, y0) l mët iºm elliptic uξξ + uηη + Ψ(ξ, η, u, uξ , uη ) = 0. (1.18) Trong tr÷íng hñp cõa ph÷ìng tr¼nh hypebolic ph²p bi¸n êi α = ξ + η, β = ξ − η, rót gån (1.16) º uαα −uββ +θ(α, β, u, uα, uβ ) = 0, ÷ñc gåi l d¤ng chu©n tc thù hai cho ph÷ìng tr¼nh hyperbolic. Chùng minh. (i) Gi£ sû P0(x0, y0) l mët iºm thuëc hyperbolic. Chån ξ v η câ thù tü A = aξx2 + 2bξx ξy + cξy2 = 0, C = aηx2 + 2bηx ηy + cηy2 = 0, câ ξ v η l nghi»m cõa ph÷ìng tr¼nh khæng tuy¸n t½nh c§p mët d¤ng aϕ2x + 2bϕx ϕy + cϕ2y = 0. (1.19) B¬ng lþ thuy¸t ¢ tr¼nh b y ta câ dϕ = pFp + qFq = 2(ap2 + 2bpq + cq 2 ) = 0, dt v¼ vªy còng vîi nhúng °c tr÷ng cõa ph÷ìng tr¼nh (1.19) th¼ ϕ (x, y) = const. 13