Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống sử dụng mô hình rủi ro tỷ lệ Cox

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:66

Thêm vào BST

Báo xấu

25
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Độ tin cậy là xác suất mà một đơn vị hay hệ thống sẽ thực hiện chức năng dự định của mình cho đến một thời điểm nào đó trong các điều kiện sử dụng cụ thể. Việc xác định độ tin cậy như là xác định chất lượng của thiết bị clip thời gian hay chính là xác định tuổi thọ của sản phẩm (thiết bị). Mời các bạn cùng tìm hiểu.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Đánh giá độ tin cậy của hệ thống sử dụng mô hình rủi ro tỷ lệ Cox

I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN Bòi B¡ M¤nh NH GI Ë TIN CY CÕA H THÈNG SÛ DÖNG MÆ HNH RÕI RO T L COX LUN VN THC S TON HÅC H Nëi - 2019
I HÅC QUÈC GIA H NËI TR×ÍNG I HÅC KHOA HÅC TÜ NHIN Bòi B¡ M¤nh NH GI Ë TIN CY CÕA H THÈNG SÛ DÖNG MÆ HNH RÕI RO T L COX Chuy¶n ng nh: L½ thuy¸t x¡c su§t v thèng k¶ to¡n håc M¢ sè: 8460112.02 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc: TS. PHM NH TÒNG H Nëi - 2019
i Líi c£m ìn º ho n th nh ÷ñc luªn v«n mët c¡ch ho n ch¿nh, tæi luæn nhªn ÷ñc sü h÷îng d¨n v gióp ï nhi»t t¼nh cõa TS. Ph¤m ¼nh Tòng, Gi£ng vi¶n Tr÷íng ¤i håc Khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H Nëi. Tæi xin ch¥n th nh b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc ¸n th¦y v xin gûi líi tri ¥n nh§t cõa tæi èi vîi nhúng i·u th¦y ¢ d nh cho tæi. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn pháng o t¤o, Khoa To¡n - Cì - Tin håc, quþ th¦y cæ gi£ng d¤y lîp Cao håc K 17 - 19 (2017 - 2019) Tr÷íng ¤i håc khoa håc Tü nhi¶n - ¤i håc Quèc gia H Nëi ¢ tªn t¼nh truy·n ¤t nhúng ki¸n thùc quþ b¡u công nh÷ t¤o i·u ki»n cho tæi ho n th nh khâa håc. Tæi xin gûi líi c£m ìn ch¥n th nh nh§t tîi gia ¼nh, b¤n b±, nhúng ng÷íi ¢ luæn ëng vi¶n, hé trñ v t¤o måi i·u ki»n cho tæi trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. Tæi xin c£m ìn sü hé trñ cõa ¤i håc Quèc gia H Nëi trong · t i QG.18.03 trong to n bë qu¡ tr¼nh l m Luªn v«n. Xin tr¥n trång c£m ìn! H Nëi, th¡ng ... n«m 20... Ng÷íi vi¸t Luªn v«n Bòi B¡ M¤nh
Danh möc h¼nh 1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i v tuêi thå cõa mët èi t÷ñng . . . . . . . . 6 1.2 H m ph¥n bè x¡c su§t F (t) v h m mªt ë x¡c su§t f (t) . 8 1.3 H m tin cªy R(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 H m bªc thang λ(t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.5 H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc . 12 1.6 Và tr½ cõa MTTF, tm v tmode cõa mët ph¥n phèi . . . . . . 14 1.7 Sì ç khèi cho h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v song song . 16 1.8 H» thèng c§u tróc hén hñp . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.9 Ph¥n phèi mô (µ = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 1.10 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 . . . . 22 1.11 H m tin cªy cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 . . . . . . . . . 23 1.12 H m rõi ro cõa ph¥n phèi Gamma, µ = 1 . . . . . . . . . . 23 1.13 H m mªt ë x¡c su§t cõa ph¥n phèi Weibull vîi mët sè gi¡ trà cõa tham sè h¼nh d¤ng α v β = 1. . . . . . . . . . . . . 25 1.14 H m t¿ l» rõi ro cõa ph¥n phèi Weibull, β = 1. . . . . . . . 25 2.1 Sì ç khèi qu¡ tr¼nh Weibull PHM cho tö i»n . . . . . . . 40 2.2 H m tin cªy ð còng 170 0 C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau . . 48 2.3 H m tin cªy ð còng 180 0 C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau . . 49 2.4 H m tin cªy ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau . . 49 2.5 H m mªt ë ð còng 170 0 C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau . . 50 2.6 H m mªt ë ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau . . 50 2.7 H m ph¥n phèi ð còng 170 0 C vîi 4 mùc i»n ¡p kh¡c nhau 51 2.8 H m ph¥n phèi ð còng 350 V vîi 2 mùc nhi»t ë kh¡c nhau 51 2.9 ç thà Q-Q cho ph¦n d÷ cõa 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t 54 ii
Danh möc b£ng 2.1 K¸t qu£ thû nghi»m cho tuêi thå cõa tö i»n . . . . . . . . 38 2.2 Ph¦n d÷ t÷ìng ùng 32 quan s¡t khæng bà kiºm duy»t . . . . 52 2.3 Tuêi thå trung b¼nh cõa tö i»n ð c¡c mùc i»n ¡p v nhi»t ë . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 iii
Möc löc Giîi thi»u luªn v«n 1 1 Mæ h¼nh ë tin cªy 6 1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tuêi thå . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 H m tin cªy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 H m t¿ l» rõi ro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5 Tuêi thå trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.6 Kiºm duy»t v ch°t cöt dú li»u . . . . . . . . . . . . 14 2 ë tin cªy cõa h» thèng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.1 H» thèng nèi ti¸p v song song . . . . . . . . . . . . 17 2.2 H» thèng gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con . . . 19 3 Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p . . . . . . . . . . . . 20 3.1 Ph¥n phèi mô . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 3.2 Ph¥n phèi Gamma . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Ph¥n phèi Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 ×îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèi tuêi thå . . . . . . 26 2 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) 29 1 Mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 1.1 Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) . . . . . . . . . . . 29 1.2 Mët sè v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2 ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . 32 2.1 ×îc l÷ñng tham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 iv
2.2 Ph÷ìng sai cõa h» sè ÷îc l÷ñng . . . . . . . . . . . . 34 3 Ph¥n t½ch ph¦n d÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 4 Sü phò hñp cõa mæ h¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 5 Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n . . . . . . . . . 37 5.1 Cox PHM cho tö i»n . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 5.2 ×îc t½nh tham sè . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3 C¡c ¤i l÷ñng °c tr÷ng . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.4 Ph¦n d÷ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 5.5 Tuêi thå trung b¼nh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 T i li»u tham kh£o 58 v
Giîi thi»u luªn v«n 1. L½ do chån · t i ë tin cªy l x¡c su§t m mët ìn và hay h» thèng s³ thüc hi»n chùc n«ng dü ành cõa m¼nh cho ¸n mët thíi iºm n o â trong c¡c i·u ki»n sû döng cö thº. Vi»c x¡c ành ë tin cªy nh÷ l x¡c ành ch§t l÷ñng cõa thi¸t bà theo thíi gian hay ch½nh l x¡c ành tuêi thå cõa s£n ph©m (thi¸t bà). Khi ¡nh gi¡ ë tin cªy cõa s£n ph©m ÷ñc thi¸t k¸, ta ph£i xem x²t chi ti¸t v· c¡c tr÷íng hñp g¥y léi s£n ph©m v cì ch¸ th§t b¤i häng hâc cõa qu¡ tr¼nh sû döng s£n ph©m. C¡c nh s£n xu§t th÷íng ÷a ra giîi h¤n cho ë tin cªy ch½nh thùc ho°c khæng ch½nh thùc cõa s£n ph©m thi¸t bà. Nhúng kh¯ng ành â bt nguçn tø kinh nghi»m qu¡ khù vîi c¡c s£n ph©m t÷ìng tü, c¡c ti¶u chu©n trong cæng nghi»p, c¡c y¶u c¦u cõa kh¡ch h ng ho°c mët mong muèn c£i thi»n ë tin cªy hi»n câ cõa s£n ph©m. Trong thèng k¶, thíi gian ho¤t ëng cõa mët thi¸t bà s£n ph©m ÷ñc gåi l tuêi thå hay thíi gian sèng cõa thi¸t bà ÷ñc coi l mët bi¸n ng¨u nhi¶n vîi ph¥n phèi (life distribution) cö thº nh÷ ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Weibull... º ¡nh gi¡ tuêi thå cõa thi¸t bà s£n ph©m khi thay êi c¡c y¸u tè t¡c ëng nh÷ nhi»t ë, ë ©m, ë rung, sèc nhi»t, ... c¡c kÿ s÷ th÷íng sû döng ph÷ìng ph¡p thû nghi»m t«ng tèc trong pháng th½ nghi»m (accelerated life testing). Cæng tr¼nh l m n¶n t¶n tuêi cõa GS. David Cox l b i b¡o Regression models and life-tables ÷ñc cæng bè tr¶n tªp san Journal of the Royal Statistical Society n«m 1972. B i b¡o cõa GS. Cox cho ¸n nay (sau 48 n«m) ¢ câ hìn 45,000 tr½ch d¨n! B i b¡o n y ÷ñc ¡nh gi¡ l mët trong 100 cæng tr¼nh nêi ti¸ng to n c¦u tø tr÷îc ¸n nay. Trong b i b¡o â, æng mæ t£ mët ph÷ìng ph¡p ph¥n t½ch c¡c dú li»u sèng cán theo mæ h¼nh hçi 1
qui. Mæ h¼nh n y sau n y ÷ñc bi¸t ¸n d÷îi thuªt ngú Cox's proportional hazards model. Mæ h¼nh n y phê bi¸n trong h¦u h¸t c¡c ng nh khoa håc, tø y khoa ¸n x¢ hëi håc v khoa håc k¾ thuªt. Ch¯ng h¤n, trong y khoa, mæ h¼nh ÷ñc ¡p döng º nghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c y¸u tè nh÷ tuêi, giîi t½nh, chi·u cao, c¥n n°ng,... ¸n tuêi thå cõa c¡c b»nh nh¥n ung th÷ sau khi ÷ñc i·u trà; trong khoa håc x¢ hëi, nhi·u nh khoa håc ¡p döng mæ h¼nh º nghi¶n cùu thíi gian chung sèng cõa c¡c c°p vñ chçng, tø khi k¸t hæn ¸n lóc li dà; trong khoa håc k¾ thuªt, mæ h¼nh câ thº ÷ñc ¡p döng º nghi¶n cùu sü £nh h÷ðng cõa c¡c t¡c nh¥n ¸n ë tin cªy cõa m¡y mâc. V¼ vªy, chóng tæi chån · t i "¡nh gi¡ ë tin cªy cõa h» thèng sû döng mæ h¼nh rõi ro t l» Cox". 2. Möc ½ch nghi¶n cùu Luªn v«n i t¼m hiºu mæ h¼nh t l» rõi ro Cox v ùng döng mæ h¼nh vîi tr÷íng hñp rõi ro Weibull º kiºm chùng sü phö thuëc cõa nhi»t ë v i»n ¡p ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh. Tr¶n cì sð â, ÷a ra dü b¡o tuêi thå trung b¼nh cõa tö i»n thõy tinh ð c¡c mùc nhi»t ë v i»n ¡p kh¡c nhau. 3. èi t÷ñng v ph¤m vi nghi¶n cùu 3.1. èi t÷ñng nghi¶n cùu Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v ùng döng mæ h¼nh v o ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n thõy tinh. 3.2. Ph¤m vi nghi¶n cùu Nghi¶n cùu ë tin cªy cõa tö i»n b¬ng c¡c thû nghi»m t«ng tèc trong pháng th½ nghi»m, ¡nh gi¡ tuêi thå cõa tö i»n theo c¡c bi¸n £nh h÷ðng (nhi»t ë v i»n ¡p). 2
4. Ph÷ìng ph¡p nghi¶n cùu Sû döng ph÷ìng ph¡p thèng k¶ tham sè vîi mæ h¼nh t l» rõi ro Cox tr÷íng hñp rõi ro Weibull º ¡nh gi¡ ë tin cªy cõa tö i»n. 5. Þ ngh¾a khoa håc v thüc ti¹n cõa luªn v«n 5.1. Þ ngh¾a khoa håc Luªn v«n i t¼m hiºu qu¡ tr¼nh Weibull PHM v ùng döng th nh cæng mæ h¼nh t l» rõi ro Cox º ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n thõy tinh. K¸t qu£ cõa möc 5 trong Ch÷ìng 2 ¢ bê sung cho c¡c cì sð l½ luªn tø â gâp ph¦n ho n thi»n c¡c kiºm chùng º kh¯ng ành r¬ng: "Nhi»t ë v i»n ¡p câ £nh h÷ðng lîn ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh v tuêi thå câ xu h÷îng gi£m khi nhi»t ë thû nghi»m câ xu h÷îng t«ng". Luªn v«n công mð ra c¡ch ti¸p cªn hé trñ cho vi»c sû döng Weibull PHM º dü o¡n c¡c °c t½nh ë tin cªy cõa c¡c thi¸t bà i»n tû nâi chung khi câ ÷ñc bë dú li»u thû nghi»m. 5.2. Þ ngh¾a thüc ti¹n Tø k¸t qu£ cõa Luªn v«n kh¯ng ành r¬ng: Tuêi thå cõa tö i»n câ xu h÷îng gi£m khi nhi»t ë hay i»n ¡p câ xu h÷îng t«ng, ng÷íi dòng câ thº lüa chån mæi tr÷íng l m vi»c câ nhi»t ë th½ch hñp v i·u ch¿nh i»n ¡p hñp l½ º vøa ti»n lñi cho vi»c sû döng công nh÷ k²o d i hìn tuêi thå cõa tö i»n. 6. Tâm tt T¼m hiºu mæ h¼nh t l» rõi ro Cox v ùng döng mæ h¼nh vîi tr÷íng hñp rõi ro Weibull ph¥n t½ch ë tin cªy cõa bë sè li»u:"Thíi gian sèng cõa 64 tö i»n thõy tinh". º gi£i quy¸t ÷ñc c¡c v§n · ¢ n¶u, Luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y th nh 2 ch÷ìng: 3
Ch÷ìng 1. Mæ h¼nh ë tin cªy Tr¼nh b y 3 möc ch½nh: C¡c kh¡i ni»m cì b£n, ë tin cªy cõa h» thèng v mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p. • C¡c kh¡i ni»m cì b£n: Tr¼nh b y kh¡i ni»m bi¸n tr¤ng th¡i; bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T v c¡c °c tr÷ng (h m tin cªy, h m t¿ l» rõi ro, thíi gian th§t b¤i trung b¼nh); kiºm duy»t v ch°t cöt dú li»u. • ë tin cªy cõa h» thèng: Tr¼nh b y têng quan v· ë tin cªy cõa h» thèng v cö thº hâa vîi tr÷íng hñp h» thèng ÷ñc k¸t nèi nèi ti¸p v h» thèng ÷ñc k¸t nèi song song; kh¡i ni»m v ë tin cªy cõa c§u tróc gçm k h» con ÷ñc l§y ra tø n h» con. • Mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p: Tr¼nh b y 3 ph¥n phèi sèng sât th÷íng ÷ñc sû döng cho bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T l : Ph¥n phèi mô, ph¥n phèi Gamma, ph¥n phèi Weibull v ph÷ìng ph¡p ÷îc l÷ñng tham sè cõa ph¥n phèi tuêi thå. Ch÷ìng 2. Mæ h¼nh t l» rõi ro Cox (PHM) Tr¼nh b y 5 möc ch½nh: Mæ h¼nh, ÷îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh, ph¥n t½ch ph¦n d÷, sü phò hñp cõa mæ h¼nh v ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n. • Mæ h¼nh: Tr¼nh b y mæ h¼nh t l» rõi ro Cox. Sau â cö thº hâa mæ h¼nh Cox vîi tr÷íng hñp rõi ro h¬ng sè (λ0 (t) = λ) v tr÷íng hñp rõi ro Weibull (λ0 (t) = αβ α tα−1 ). • ×îc l÷ñng tham sè trong mæ h¼nh: Tr¼nh b y ÷îc l÷ñng tham sè mæ h¼nh t l» rõi ro Cox vîi rõi ro Weibull v ph÷ìng sai cõa h» sè ÷îc l÷ñng. • Ph¥n t½ch ph¦n d÷: Tr¼nh b y ph¦n d÷ Cox - Snell. • Sü phò hñp cõa mæ h¼nh: Tr¼nh b y 3 thèng k¶ º kiºm tra sü phò hñp cõa mæ h¼nh. C¡c thèng k¶ ÷ñc kº ¸n l : 4
Thèng k¶ kiºm ành (t¿ sè hñp l½), thèng k¶ Score v thèng k¶ Wald. • Ùng döng ph¥n t½ch ë tin cªy cõa tö i»n: Thi¸t lªp mæ h¼nh Cox vîi t l» rõi ro Weibull kiºm chùng sü £nh h÷ðng cõa nhi»t ë v i»n ¡p ¸n tuêi thå cõa tö i»n thõy tinh. 5
Ch÷ìng 1 Mæ h¼nh ë tin cªy Ch÷ìng 1, tr¼nh b y c¡c ki¸n thùc têng quan v·: Bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå v c¡c °c tr÷ng, ë tin cªy cõa h» thèng v mët sè ph¥n phèi tuêi thå th÷íng g°p. 1 C¡c kh¡i ni»m cì b£n 1.1 Bi¸n tr¤ng th¡i Tr¤ng th¡i cõa mët èi t÷ñng t¤i thíi iºm t, ÷ñc k½ hi»u l X(t): ( 1 n¸u èi t÷ñng ho¤t ëng t¤i thíi iºm t; X(t) = 0 n¸u èi t÷ñng th§t b¤i t¤i thíi iºm t. Bi¸n tr¤ng th¡i cõa mët èi t÷ñng ÷ñc minh håa nh÷ H¼nh 1.1 v th÷íng l bi¸n ng¨u nhi¶n. H¼nh 1.1: Bi¸n tr¤ng th¡i v tuêi thå cõa mët èi t÷ñng 6
1.2 Tuêi thå Tuêi thå cõa mët èi t÷ñng ÷ñc ành ngh¾a l kho£ng thíi gian tø khi èi t÷ñng ho¤t ëng cho ¸n khi l¦n ¦u ti¶n èi t÷ñng th§t b¤i. °t t = 0 l iºm bt ¦u. Tuêi thå l mët bi¸n ng¨u nhi¶n, ÷ñc k½ hi»u l T . Mèi li¶n h» giúa bi¸n tr¤ng th¡i X(t) v tuêi thå T ÷ñc biºu thà nh÷ H¼nh 1.1. Tuêi thå khæng ph£i lóc n o công ÷ñc o b¬ng thíi gian nh÷ trong làch. Nâ câ thº ÷ñc o b¬ng c¡c kh¡i ni»m thíi gian gi¡n ti¸p hìn, ch¯ng h¤n: • Sè l¦n âng - ngt ÷ñc vªn h nh; • Sè ki-læ-met l¡i xe; • Sè váng quay cõa ê ï tröc; • Sè chu k¼ cõa mët èi t÷ñng l m vi»c ành k¼. Tø nhúng v½ dö tr¶n nhªn th§y r¬ng, tuêi thå T th÷íng l bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c. Tuy nhi¶n, câ thº x§p x¿ bi¸n ng¨u nhi¶n ríi r¤c bði bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc. V¼ vªy, trong Luªn v«n s³ luæn x²t r¬ng tuêi thå T l mët bi¸n ng¨u nhi¶n li¶n töc. K½ hi»u F (t) l h m ph¥n phèi x¡c su§t v f (t) l h m mªt ë x¡c su§t cõa bi¸n ng¨u nhi¶n tuêi thå T . Khi â: Z t F (t) = Pr (T ≤ t) = f (u) du vîi t > 0 (1.1) 0 F (t) ÷ñc hiºu l x¡c su§t mët èi t÷ñng th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (0, t]. H m mªt ë x¡c su§t f (t) ÷ñc ành ngh¾a bði: d F (t + ∆t) − F (t) f (t) = F (t) = lim dt ∆t→0 ∆t Pr (t < T ≤ t + ∆t) = lim (1.2) ∆t→0 ∆t Vîi ∆t nhä th¼ cæng thùc (1.2) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng: Pr (t < T ≤ t + ∆t) ≈ f (t) · ∆t H m ph¥n bè x¡c su§t F (t) v h m mªt ë x¡c su§t f (t) ÷ñc biºu thà nh÷ H¼nh 1.2 7
H¼nh 1.2: H m ph¥n bè x¡c su§t F (t) v h m mªt ë x¡c su§t f (t) 1.3 H m tin cªy H m tin cªy ÷ñc cho bði cæng thùc: R(t) = 1 − F (t) = Pr (T > t) vîi t > 0 (1.3) Sû döng cæng thùc (1.1), cæng thùc (1.3) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng: Z t Z +∞ R(t) = 1 − f (u) du = f (u) du (1.4) 0 t R(t) l x¡c su§t mët èi t÷ñng khæng th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (0, t]. Nâi c¡ch kh¡c, R(t) l x¡c su§t mët èi t÷ñng sèng sât trong kho£ng thíi gian (0, t] v v¨n ho¤t ëng t¤i thíi iºm t. H m tin cªy R(t) cán ÷ñc gåi l h m sèng sât v ÷ñc biºu thà nh÷ H¼nh 1.3 H¼nh 1.3: H m tin cªy R(t) 8
1.4 H m t¿ l» rõi ro X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] vîi i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi iºm t l : Pr (t < T ≤ t + ∆t) F (t + ∆t) − F (t) Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) = = Pr (T > t) R(t) (1.5) B¬ng c¡ch chia x¡c su§t tr¶n cho gia sè thíi gian ∆t, v cho ∆ → 0, ÷ñc h m t¿ l» rõi ro λ(t) cõa mët möc: Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) λ(t) = lim ∆t→0 ∆t F (t + ∆t) − F (t) 1 f (t) = lim = (1.6) ∆t→0 ∆t R(t) R(t) Vîi ∆t nhä th¼ cæng thùc (1.6) câ thº vi¸t d÷îi d¤ng: Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) ≈ λ(t) · ∆t Nhªn x²t: Sü gièng v kh¡c nhau giúa h m mªt ë x¡c su§t f (t) v h m t¿ l» rõi ro λ(t). Pr (t < T ≤ t + ∆t) ≈ f (t) · ∆t (1.7) Pr (t < T ≤ t + ∆t | T > t) ≈ λ(t) · ∆t (1.8) Tø c¡c cæng thùc (1.7) v (1.8) nhªn th§y r¬ng: • T¤i thíi iºm t = 0, x¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] b¬ng t½ch cõa h m mªt ë x¡c su§t f (t) t¤i thíi iºm t vîi sè gia thíi gian ∆t. • X¡c su§t º mët möc s³ th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] vîi i·u ki»n èi t÷ñng v¨n sèng cho ¸n thíi iºm t b¬ng t½ch cõa h m t¿ l» rõi ro λ(t) t¤i thíi iºm t vîi sè gia thíi gian ∆t. N¸u chóng ta ÷a mët sè l÷ñng lîn c¡c möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëng t¤i thíi iºm t th¼ t½ch λ(t) · ∆t s³ ¤i di»n cho t l» t÷ìng èi c¡c èi 9
t÷ñng v¨n ho¤t ëng t¤i thíi iºm t, nh÷ng th§t b¤i trong kho£ng thíi gian (t, t + ∆t] ti¸p theo. Sû döng cæng thùc: d d 0 f (t) = F (t) = (1 − R(t)) = −R (t) (1.9) dt dt thu ÷ñc: 0 f (t) R (t) d λ(t) = =− = − ln R(t) (1.10) R(t) R(t) dt V¼ R(0) = 1 n¶n: Z t t d Z λ(t) dt = − ln R(t) dt = −ln R(t) (1.11) 0 0 dt Tø â suy ra: Z t R(t) = exp − λ(u) du (1.12) 0 Tø c¡c cæng thùc (1.6) v (1.12) suy ra: Z t f (t) = λ(t) · exp − λ(u) du vîi t > 0 (1.13) 0 Do â, thu ÷ñc mèi li¶n h» giúa c¡c h m F (t), f (t), R(t) v λ(t) nh÷ sau: Z t Z t F (t) = f (u)du = 1 − R(t) = 1 − exp − λ(u) du (1.14) 0 0 Z t d d f (t) = F (t) = − R(t) = λ(t) · exp − λ(u) du (1.15) dt dt 0 Z ∞ Z t R(t) = 1 − F (t) = − f (u)du = exp − λ(u) du (1.16) t 0 dF (t) 1 f (t) d λ(t) = · = Z ∞ =− ln R(t) (1.17) dt 1 − F (t) dt − f (u)du t Tø cæng thùc (1.12) th§y r¬ng h m tin cªy (h m sèng sât) R(t) ÷ñc x¡c ành duy nh§t thæng qua h m t¿ l» rõi ro λ(t). º x¡c ành d¤ng cõa λ(t) 10
cho mët möc cö thº, câ thº thüc hi»n c¡c th½ nghi»m sau: Chia kho£ng thíi gian (0, t) th nh c¡c kho£ng ríi r¤c câ ë d i b¬ng ∆t. Sau â, cho n möc gièng h»t nhau v o ho¤t ëng t¤i thíi iºm t = 0. Khi mët möc th§t b¤i, chóng ta ghi l¤i thíi gian cö thº v lo¤i bä möc â. Vîi méi kho£ng thíi gian ∆t, ghi ch²p c¡c i·u sau: • Sè möc n(i) th§t b¤i trong kho£ng i. • Thíi gian ho¤t ëng cho c¡c möc cõa c¡ nh¥n trong kho£ng thíi gian i l (T1i , ..., Tni ), trong â Tji l möc thù j ¢ ho¤t ëng trong kho£ng thíi gian i. Tji = 0 n¸u möc j th§t b¤i tr÷îc kho£ng i, vîi j = 2, ..., n. Xn Do vªy, Tji l têng thíi gian ho¤t ëng cõa c¡c möc trong kho£ng thíi j=1 gian i. T¿ sè n(i) n X Tji j=1 biºu thà sè l÷ñng léi tr¶n méi ìn và thíi gi¤n ho¤t ëng trong kho£ng i v l ÷îc t½nh tü nhi¶n cõa t¿ l» rõi ro trong kho£ng i. ành ngh¾a m(i) l sè c¡c möc ang ho¤t ëng t¤i thíi iºm bt ¦u cõa kho£ng i. Khi â: n(i) λ(i) ≈ m(i)∆t Do â: n(i) λ(i)∆t ≈ m(i) Mët biºu ç mæ t£ λ(i) l mët h m cõa i câ d¤ng nh÷ H¼nh 1.4 11
H¼nh 1.4: H m bªc thang λ(t) Khi n r§t lîn, câ thº sû döng kho£ng thíi gian r§t nhä. N¸u ∆t → 0,s³ k¼ vång r¬ng h m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc, nh÷ H¼nh 1.5 H¼nh 1.5: H m bªc thang λ(t) ti»m cªn ¸n mët ÷íng cong li¶n töc 1.5 Tuêi thå trung b¼nh Tuêi thå trung b¼nh (MTTF) ÷ñc ành ngh¾a bði: Z ∞ MTTF = E(T ) = tf (t) dt (1.18) 0 Khi thíi gian c¦n thi¸t º sûa chúa ho°c thay th¸ mët möc bà häng r§t ngn so vîi tuêi thå trung b¼nh (MTTF) th¼ MTTF công thº hi»n thíi gian 12
trung b¼nh giúa c¡c l¦n th§t b¤i (MTBF). N¸u thíi gian sûa chúa khæng thº bä qua th¼ MTBF bao gçm luæn c£ thíi gian sûa chúa (MTTR). 0 Tø f (t) = −R (t), thu ÷ñc: Z ∞ 0 MTTF = − tR (t) dt 0 Sû döng cæng thùc t½ch ph¥n tøng ph¦n, thu ÷ñc: Z ∞ MTTF = −[tR(t)]|∞ 0 + R(t) dt 0 N¸u MTTF < ∞, câ thº chùng minh r¬ng [tR(t)]|∞ 0 = 0. Tø â suy ra: Z ∞ MTTF = R(t) dt (1.19) 0 Công câ thº x¡c ành tuêi thå trung b¼nh b¬ng c¡ch sû döng bi¸n êi Laplace. Bi¸n êi Laplace cho h m tin cªy (h m sèng sât) R(t) ÷ñc x¡c ành bði cæng thùc: Z ∞ ∗ R (s) = R(t) e−st dt (1.20) 0 Khi s = 0 thu ÷ñc: Z ∞ ∗ R (0) = R(t) dt = MTTF (1.21) 0 Trung và (Median): MTTF ch¿ l mët trong nhi·u bi»n ph¡p o trung t¥m cõa ph¥n phèi. Mët bi»n ph¡p thay th¸ kh¡c l trung và, ÷ñc ành ngh¾a bði: R(tm ) = 0.5 (1.22) Trung và chia ph¥n phèi l m 2 nûa. Mët nûa s³ th§t b¤i tr÷îc thíi gian tm vîi x¡c su§t 50% v nûa cán l¤i s³ th§t b¤i sau thíi gian tm công vîi x¡c su§t 50%. Mode: Mode cõa ph¥n phèi, k½ hi»u tmode l thíi gian l m cüc ¤i h m mªt ë x¡c su§t f (t): f (tmode ) = max 0≤t