Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b-metric và không gian b-metric nón

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

6
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b - metric và không gian b-metric nón. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điểm bất động chung đối với các ánh xạ dãn trong không gian b-metric và không gian b-metric nón

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM NGUYỄN ĐỨC THẮNG ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b-METRIC VÀ KHÔNG GIAN b-METRIC NÓN Ngành: Toán giải tích Mã số: 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng THÁI NGUYÊN - 2020
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Các tài liệu trong luận văn là trung thực. Các kết quả chính của luận văn chưa từng được công bố trong các luận văn Thạc sĩ của các tác giả khác. Tôi xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện Luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong Luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Tác giả Nguyễn Đức Thắng i
LỜI CẢM ƠN Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên để luận văn này được hoàn chỉnh hơn. Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn. Tháng 04 năm 2020 Tác giả ii
MỤC LỤC LỜI CAM ĐOAN i LỜI CẢM ƠN ii MỤC LỤC iii MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 3 1.1. Không gian b metric 3 1.2. Điều kiện T thác triển 7 1.3. Không gian b metric nón 9 Chƣơng 2. ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b METRIC VÀ KHÔNG GIAN b METRIC NÓN 16 2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric 16 2.2. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển trong không gian b metric 22 2.3. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b metric nón 25 2.4. Điểm bất động đối với điều kiện T thác triển cho ánh xạ dãn trong không gian b metric nón 32 KẾT LUẬN 36 TÀI LIỆU THAM KHẢO 37 iii
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Năm 1922, Banach đã chứng minh một định lý nổi tiếng về điểm bất động trong không gian metric, gọi là nguyên lý ánh xạ co Banach, từ đó đã thiết lập sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình toán tử Tx  x . Đã có nhiều mở rộng của nguyên lý ánh xạ co Banach về điểm bất động. Sự mở rộng được thiết lập cho nhiều loại ánh xạ khác nhau trên các không gian kiểu metric. Năm 2007, Huang và Zhang đã giới thiệu không gian metric nón và chứng minh định lí điểm bất động đối với ánh xạ co trong không gian đó. Năm 2012, Stanic, Cvetkovic, Simic và Dimitrijevic đã đạt được một số kết quả về điểm bất động chung dưới điều kiện co kiểu Ciric trên không gian metric nón, Tương tự, năm 1989, Bakhtin đã giới thiệu không gian b  metric, là sự mở rộng khác của không gian metric. Năm 1993, Czerwik đã mở rộng định lý điểm bất động Banach trong không gian b  metric. Không gian b  metric nón là sự mở rộng của cả không gian metric nón và không gian b  metric. Việc nghiên cứu về ánh xạ giãn cũng là lĩnh vực nghiên cứu rất thú vị trong lý thuyết điểm bất động. Điều này đã được phát triển vào năm 1984 từ công trình của Wang, Li, Gao và Iseki bằng cách giới thiệu các khái niệm về ánh xạ dãn trong không gian metric đầy đủ. Daffer và Kaneko sử dụng hai tự ánh xạ trong không gian metric đầy đủ, để tổng quát kết quả của Wang và các cộng sự. Kể từ đó, các định lý điểm bất động và điểm bất động chung đã được nhiều tác giả chứng minh cho ánh xạ giãn trong các không gian khác nhau, chẳng hạn: không gian G-metric, không gian d  metric, không gian b  metric, không gian b  metric riêng, không gian metric nón, không gian b  metric nón, … Một số kết quả về không gian b  metric nón sử dụng ánh xạ kiểu giãn đã được thiết lập bởi Huang, Zhu và Xi-Wen vào năm 2012. Gần đây, năm 2016, P.K Verma đã thiết lập một số kết quả về điểm bất động chung đối với 1
các ánh xạ giãn trong không gian b  metric nón. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và không gian b  metric nón”. Ý nghĩa thời sự: Đề tài có ý nghĩa thời sự, đã và đang được nhiều nhà toán học trong và ngoài nước quan tâm nghiên cứu. 2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày một số kết quả về Điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và không gian b  metric nón. 3. Phương pháp nghiên cứu Sử dụng các phương pháp của giải tích hàm. 4. Bố cục luận văn Nội dung đề tài được viết dựa trên các tài liệu [8] và [9] gồm 37 trang, trong đó có phần mở đầu, hai chương nội dung, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1: Trình bày một số khái niệm và tính chất cơ bản của không gian b  metric và không gian b  metric nón. Chương 2: Là nội dung chính của đề tài, trình bày một số kết quả về điểm bất động chung đối với các ánh xạ giãn trong không gian b  metric và không gian b  metric nón. Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được. 2
CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Không gian b  metric Định nghĩa 1.1.1. Cho E là một tập khác rỗng và k  1 là số thực cho trước. Hàm số  : E  E  [0, ) được gọi là một b  metric nếu với mọi u, v, w  E các điều kiện sau được thỏa mãn: a ) (u, v )  0  u  v ; b ) (u, v )  (v, u ) ; c ) (u, v )  k (u, w )  (w, v ) . Bộ ba (E , , k ) được gọi là không gian b  metric với hệ số k  1 . Ví dụ 1.1.2. Mỗi không gian metric là không gian b  metric với k  1 , nhưng ngược lại không đúng. Ví dụ lấy E   và  : E  E  [0, ) là ánh xạ xác định bởi (u, v )  | u  v |2 với mọi u, v  E . Khi đó (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  2 . Nhưng (E , ) không phải là không gian metric. Ví dụ 1.1.3. Cho E  {  1, 0,1} và d : E  E  [0, ) là ánh xạ xác định bởi (u, v )  (v, u ) với mọi u, v  E , (u, u)  0, u  E , (1, 0)  3, (1,1)  (0,1)  1 . 3 Khi đó (E, , k ) là không gian b  metric với k  , nhưng không là không 2 gian metric vì bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn. Thật vậy, ta có (1,1)  (1, 0)  1  1  2  3  (1, 0) . 3
Định nghĩa 1.1.4. Cho (E , ) là không gian b  metric, u  E và {un } là một dãy trong E . Khi đó (i ) {un } hội tụ đến u khi và chỉ khi lim (un , u)  0 . n  Kí hiệu lim un  u hoặc un  u khi n   . n  (ii ) {un } là dãy Cauchy khi và chỉ khi lim (un , um )  0 . n ,m  (iii ) (E , ) là đầy đủ khi và chỉ khi mọi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Định nghĩa 1.1.5.Cho (E , ) là không gian b  metric và ánh xạ T : E  E . Ta nói rằng T liên tục tại u0  E nếu với mọi dãy {un } trong E , un  u0 khi n   thì Tun  Tu0 khi n   . Nếu T liên tục tại mỗi điểm u0  E thì ta nói T liên tục trên E . Mệnh đề 1.1.6. Cho (E, , k ) là không gian b  metric, giả sử {un } và {vn } là các dãy hội tụ đến u, v  E tương ứng. Khi đó 1 (u, v )  lim inf (un , vn )  lim sup (un , vn )  k 2(u, v ) . k 2 n  n  Đặc biệt, nếu u  v thì lim (un , vn )  0 . Ngoài ra, với mỗi w  E , ta có n  1 (u, w )  lim inf (un , w )  lim sup (un , w )  k (u, w ) . k n  n  Bổ đề 1.1.7. Cho (E, , k ) là không gian b  metric với hệ số k và {un } là dãy trong E sao cho un  u và un  v . Khi đó u  v . Chứng minh. Giả sử (u, v )    0 . Khi đó theo giả thiết un  u và un  v   nên n 0 sao cho với mọi n  n 0 thì (un , u )  và (un , v )  . Suy ra 2k 2k   0  (u, v )  k ((u, un )  (un , v ))  k       2k 2k  4
với mọi n  n 0 . Điều này mâu thuẫn với (u, v )    0 . Bổ đề 1.1.8. Cho (E, , k ) là không gian b  metric với hệ số k và {uk }kn0  E . Khi đó (u n , u 0 )  k (u 0 , u 1 )    k n 1(u n 2 , u n 1 )  k n 1(u n 1, u n ) . Chứng minh. Ta có (un , u 0 )  k [ (u 0, u1 )  (u1, u 2 )]  k (u 0, u1 )  k (u1, un )  k (u0, u1 )  k 2[(u1, u2 )  (u2 , un )]  k (u0, u1 )  k 2(u1, u2 )  k 2(u2, un ) …  k (u0, u1 )    k n 1(un 2, un 1 )  k n 1(un 1, un ) . Bổ đề 1.1.9. Cho {un } là dãy trong không gian b  metric (E , , k ) với hệ số k  1 sao cho  (u n , u n  1 )   (u n 1, u n ) với n   và 0    1 / k . Khi đó {un } là dãy Cauchy trong (E , , k ) . Chứng minh. Cho m, n   và m  n . Áp dụng bất đẳng thức kiểu tam giác vào bộ ba {um , um 1, un },{um 1, um 2, un },...,{un 2, un 1, un } ta có (um , un )  k ((um , um 1 )  (um 1, un ))  k (um , um 1 )  k 2 ((m 1, um 2 )  (um 2, un ))  ...  k (um , um 1)  k 2(um 1, um 2 )  ... k n m 1((un 2, un 1 )  (un 1, un ))  k (um , um 1 )  k 2(um 1, um 2 )  ... k n m 1(un 2, un 1 )  k n m (un 1, un ) . Bây giờ từ  (u n , u n  1 )   (u n 1, u n ) và k  1 suy ra 5
(um , un )  (k m  k 2m 1  ...  k n mn 1 )(u0, u1 )  km (1  (k)  ...  (k)n m 1 )(u0, u1 ) km  (u0 , u1 )  0 khi m   . 1  k Vậy {un } là dãy Cauchy.  Năm 2016, Daheriya, Likhitker và Ughade ([2]) đã chứng minh định lý sau đây về điểm bất động đối với một ánh xạ với điều kiện kiểu giãn cho không gian b  metric: Định lý 1.1.10 ([2]) Cho (E , , k ) là một không gian b  metric đầy đủ với hệ số k  1 và T là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện: (u,Tu ) 1  (v,Tv )  Tu,Tv    (u, v ) , 1  (u, v ) với mọi u, v  E , u  v ; trong đó ,   0 là các hằng số thực với k     k và   1 . Khi đó T có một điểm bất động trong E . Kết quả sau đây đã được chứng minh bởi Mohanta (Th.3.3 [5]) đối với ánh xạ liên tục trong không gian b  metric: Định lý 1.1.11. [5] Cho (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  1 và T : E  E là ánh xạ liên tục thỏa mãn điều kiện sau: .(u,Tv ) 1  (v,Tv ) (Tu,Tv )  .max (u,Tv ), (v,Tu )   (u, v ) 1  (u, v ) với u, v  E , u  v ,trong đó , ,   0 , k     (1  )k  k 2 ,   1   . Khi đó T có một điểm bất động trong E . Định nghĩa 1.1.12. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric (E , ) vào chính nó. Cặp ánh xạ (S ,T ) được gọi là tương thích nếu lim n  (STun ,TSun )  0 , với mọi dãy {un }  E sao cho 6
lim n  Sun  lim n  Tun  t với t nào đó thuộc E . Định nghĩa 1.1.13. Cho S và T là các ánh xạ từ không gian metric (E , ) vào chính nó. Nếu v  Su  Tu với u  E thì u được gọi là điểm trùng của S và T , v được gọi là giá trị trùng của S và T . Định nghĩa 1.1.14. Cho (E , ) là không gian metric. Cặp ánh xạ S ,T : E  E gọi là tương thích yếu nếu chúng giao hoán tại những điểm trùng, tức là nếu Su  Tu với u  E thì STu  TSu . Mệnh đề 1.1.15. Cho (E ,  ) là không gian metric và S ,T : E  E là các ánh xạ tương thích yếu. Nếu S và T có một điểm trùng duy nhất, tức là v  Su  Tu thì v là điểm bất động chung duy nhất của S và T . 1.2. Điều kiện T  thác triển Ozturk và Kaplan [6] đã chỉ ra rằng tồn tại ánh xạ S : E  E không thỏa mãn điều kiện co, nhưng nếu một ánh xạ T : E  E được chọn phù hợp thì nó xảy ra “điều kiện co”, còn được gọi là điều kiện T  co. Ở đây, lưu ý rằng S có một điểm bất động. Điều này cho thấy sự quan trọng của điều kiện T  co trong lý thuyết điểm bất động. Điều kiện T  co được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.2.1. Cho (E , ) là một không gian metric và T : E  E  F . Khi đó T được gọi là   co Banach nếu với u, v  E ,   (0,1) sao cho (Tu,Tv )  (u, v ) . Định nghĩa 1.2.2. Cho S và T là hai ánh xạ từ không gian metric (E ,  ) vào chính nó. Ánh xạ S được gọi là T  co nếu tồn tại số k  (0,1) sao cho (TSu,TSv )  k (Tu,Tv ) , với mọi u, v  E . Ví dụ 1.2.3. Cho E  [1,  ] với metric cảm sinh trong  và  : E  E   là hàm số xác định bởi (u, v )  | u  v | . Lấy S : E  E là ánh xạ xác định bởi Su  8 / u , với mọi u  E . Khi đó S không thỏa mãn điều kiện   co 7
Banach (Su, Sv )  (u, v ),   1 , vì (Su, Sv)  8 u  8 v  8(u, v) là co  xy   x  y  8. uv( u  v ) Bây giờ, lấy ánh xạ T : E  E   xác định bởi Tu  1  ln u , với u  E . Khi đó S là một ánh xạ T  co, thỏa mãn: (TSu,TSv )  1  ln Su  1  ln Sv 8 8  ln  ln u v 1 1  ln u  ln v   Tu,Tv  2 2 Như vậy, S là một ánh xạ T  co, nhưng nó không phải là ánh xạ co. Ngoài ra u  4 là điểm bất động chung duy nhất trong E . Lấy ý tưởng bởi Ozturk và Kaplan [6], chúng ta định nghĩa khái niệm T  thác triển trong không gian b  metric như sau: Định nghĩa 1.2.3. Cho (E , , k ) là không gian b  metric với hằng số k  1 và ánh xạ S : E  E . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T  thác triển trong không gian b  metric, đối với ánh xạ đơn ánh và liên tục T : E  E , nếu bất đẳng thức: (Tu,Tv )  (TSu,TSv ) thoả mãn với mọi u, v  E , u  v , trong đó k. Sau đây là ví dụ về ánh xạ T  thác triển trong không gian b  metric: Ví dụ 1.2.4. Cho E  [1, ) và  : E  E   là ánh xạ xác định bởi (u, v )  | u  v |2, u, v  E . Khi đó (E , , k ) là không gian b  metric với hệ số k  2 . Lấy ánh xạ S : E  E xác định bởi Su  2 / u . Khi đó S là ánh xạ co. Thật vậy, với u  v ta có 8
2 4 u v 2 4 u v (Su, Sv )   uv uv(  2 u  v) 4  .(u, v )  (u, v )  (u, v ) uv(  2 u  v) 4 với mọi u, v  E , trong đó   . Ở đây chú ý rằng   1 , uv(  2 u  v) u, v  E , u  v . Do đó S là co. Bây giờ lấy T : E  E là ánh xạ xác định bởi Tu  1  4 ln u . Khi đó ta có 2 2 (Tu,Tv )  16 ln u  ln v và (TSu,TSv )  4 ln u  ln v . Do đó  Tu,Tv   4. TSu,TSv   . TSu,TSv   k  TSu,TSv  . Ở đây   4  k  2 . Như vậy, S là T  thác triển trong không gian b  metric (E , , k ) . Chú ý rằng 1 u  (4) là một điểm bất động của S . 3 1.3. Không gian b  metric nón Định nghĩa 1.3.1 Cho E là tập khác rỗng và  là quan hệ được xác định trong nó. Khi đó (E , ) được gọi là tập sắp thứ tự bộ phận nếu i )  là phản xạ, tức là u  u với mọi u  E , ii )  là phản đối xứng, tức là u  v và v  u  u  v , với mọi u, v  E . iii )  có tính chất bắc cầu, tức là u  v và v  w  u  w , u, v, w  E . Định nghĩa 1.3.2. Cho E là không gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ và C là tập con khác rỗng của E . Khi đó, C được gọi là một nón khi và chỉ khi i ) C đóng và C  {}, ở đó  là phần tử không của E . 9
ii ) u, v  C và a, b  0  au  bv  C , iii ) C  (C )  . Sử dụng định nghĩa trên của nón C , ta định nghĩa quan hệ thứ tự bộ phận  trong C thỏa mãn: i) u  v  v  u  C , ii ) u  v  u  v và u  v ; iii ) u  v tức là v  u  C với mọi u, v  C . Nón C được gọi là chuẩn tắc, nếu K  0 sao cho: iv )   u  v || u ||  K || v || với mọi u, v  C . Số thực dương bé nhất thỏa mãn iv ) gọi là hằng số chuẩn tắc của C . Nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy tăng và bị chặn trên đều hội tụ. Tương đương, nón C gọi là chính qui nếu mỗi dãy giảm và bị chặn dưới đều hội tụ. Mỗi nón chính qui đều chuẩn tắc, nhưng tồn tại nón chuẩn tắc mà không chính qui. Định nghĩa 1.3.3. Cho E là tập khác rỗng và  : E  E  F là ánh xạ thỏa mãn các điều kiện sau i )   (u, v ) với u, v  E và (u, v )    u  v, u, v  E ; ii ) (u, v )  (v, u ), u, v  E ; iii ) (u, v )  v(u, w )  (w, v ), u, v, w  E . Khi đó (E ,  ) được gọi là không gian metric nón. Định nghĩa 1.3.4. Giả sử E là tập khác rỗng và k  1 là hằng số. Cho  : E  E  F là một ánh xạ. Khi đó bộ ba (E , , k ) (hay gọn là (E , ) ) được gọi là không gian b  metric nón với hệ số k nếu: i )   (u, v ), u, v  E và (x , y )    x  y với x , y  X , ii ) (u, v )  (v, u ), u, v  E , 10
iii ) (u, v )  k[(u, w )  (w, v )] với u, v, w  E . Chú ý rằng không gian metric nón là không gian b  metric nón (với k  1 ), nhưng ngược lại không đúng. Xét ví dụ sau: Ví dụ 1.3.5. Lấy E  {1,2, 3, 4}, F   2, C  (u, v )  F : x  0, y  0 . Xét ánh xạ  : E  E  F xác định bởi (u, v )  (| u  v |1,| u  v |1 ) nếu u  v , (u, v )   nếu u  v . Khi đó (E ,  ) là một không gian b  metric nón có hệ số k  6 / 5  1 . Nhưng bất đẳng thức tam giác không thỏa mãn. 1 1 1 1 5 5 (1,1)  (1, 2)  (1, 4)  (4, 2)  ( , )  ( , )  ( , ) , 3 3 2 2 6 6 1 1 1 1 5 5 (1, 1)  (3, 4)  (3,1)  (1, 4)  ( , )  ( , )  ( , ) . 2 2 3 3 6 6 Do đó (E ,  ) không là không gian metric nón. Ví dụ 1.3.6. Cho E là tập hợp các hàm đo được Lebesgue trên [0,1] sao cho 1  0 | s(u ) |2 du   . Xét ánh xạ  : E  E  [0,  ] xác định bởi 1 (s, t )   0 | s(u )  t(u ) |2 du Khi đó,  thỏa mãn các tính chất sau: i ) (s, t )  0  s  t , ii ) (s, t )  (t, s ) , iii ) (s, t )  2[(s, r )  (r, t )], r, s, t  E . Vì vậy, (E ,  ) là không gian b  metric nón có hằng số k  2 . Ví dụ 1.3.7. Cho E   , F  2 , C  {(u, v )  F : u, v  0}   2 và ánh xạ  : E  E  F xác định bởi 11
(u, v )  (| u  v |,  | u  v |) , trong đó   0 là hằng số. Khi đó (E ,  ) là một không gian metric nón. Ví dụ 1.3.8. Cho B  {ei : i  1, 2,..., n } là cơ sở trực giao của n với tích trong (.,.) và p  0 . Xét không gian   1 E p  [u ] | ui : [0,1]   n với  0 | (u(x ),e j ) |p dx  , j  1,2,..., n , trong đó [u ] là lớp tương đương của u đối với quan hệ của các hàm bằng nhau hầu khắp nơi. Lấy F  Rn và   C B  v  n : (v,e j )  0, j  1,2,... là một nón đặc. Định nghĩa n (u, v )   ei  | ((u  v )(x ), ei ) |p dx , u, v  E p . 1 0 i 1 Khi đó (E p , ) là không gian metric nón với k  2p1 . Nếu p  1 thì (E p , ) là không gian b  metric nón. Định nghĩa 1.3.9. Cho (E ,  ) là không gian b  metric nón, u  E và {un } là một dãy trong E . Khi đó i ) {un } hội tụ đến u nếu với mỗi c  E ,   c , tồn tại N sao cho (un , u )  c với mọi n  N . Ký hiệu lim n  un  u hoặc un  u khi n  . ii ) {un } là một dãy Cauchy nếu với mỗi c  E với   c , tồn tại một số tự nhiên N sao cho (un , um )  c với mọi n, m  N . iii ) (E , d ) là một không gian b  metric nón đầy đủ nếu mỗi dãy Cauchy trong E đều hội tụ. Bổ đề 1.3.10. Cho C là một nón và {un } là một dãy trong E . Nếu a  intC và   un   khi n   , thì N sao cho với mọi n  N , ta có u n  a . 12
Bổ đề 1.3.11. Cho u, v, w  E , nếu u  v và v  w , thì u  w . Bổ đề 1.3.12. Cho C là một nón và   u  a với a  intC . Khi đó u   . Bổ đề 1.3.13. Cho C là một nón. Nếu u  C và u  u với một số 0    1 nào đó, thì u   . Bổ đề 1.3.14. Cho C là một nón và a  b  c với mỗi c  intC . Khi đó a  b Định nghĩa 1.3.15. Cho (E , ) là một không gian metric và T : E  E  F . Khi đó T được gọi là ánh xạ dãn nếu với mọi u, v  E , tồn tại   1 , sao cho (Tu,Tv )  (u, v ) . Tương tự, trong không gian b  metric ta có khái niệm T  thác triển như sau: Định nghĩa 1.3.16. Cho S : E  E là tự ánh xạ của không gian b  metric nón (E, d ) với hằng số k  1 . Ánh xạ S được gọi là thỏa mãn T  thác triển đối với ánh xạ đơn ánh liên tục T : E  E , nếu bất đẳng thức sau thỏa mãn: (Tu,Tv )  .(TSu,TSv ) , với mọi u, v  E , u  v , ở đây   k . Ví dụ 1.3.17. Cho E  [0, ] với metric cảm sinh trong  ,  : E  E   là ánh xạ xác định bởi (u, v)  | u  v | với mọi u, v  E và S : E  E là 4 ánh xạ xác định bởi Su  với mọi u  E . Ta sẽ chỉ ra rằng S không thỏa u mãn điều kiện (Su, Sv)  (u, v) , ở đó   1 . Ta có 4 4 4 (u, v ) 4d (u, v ) (Su, Sv )      u v uv ( u  v ) [2(uv )]3/4 (Su, Sv )  2(u, v) vì (uv )3/4  1 với mọi u, v  E , u  v . Như vậy S không thỏa mãn điều kiện thác triển với   2 . Mặt khác, lấy ánh xạ T : E  E   xác định bởi Tu  1  4 ln u , thì ta có (TSu,TSv )  | 1  4 ln Su  1  ln Sv | 13
4 4 1 1  4 ln  ln  | 4 ln u  4 ln v |  (Tu,Tv ) . u v 2 2 Suy ra (Tu,Tv)  2(TSu,TSv ) . Do đó S là T  thác triển với   2 . Đồng thời u  2 là điểm bất động chung duy nhất trong E . Năm 2012, Huang và Wen [3], sử dụng điều kiện thác triển, đã chứng minh các định lí sau: Định lí 1.3.18. Cho (E, ) là không gian metric nón đầy đủ và T : E  E là toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại   1 sao cho (Tu,Tv )  (u, v ) với mọi u, v  E . Khi đó T có một điểm bất động duy nhất. Định lí 1.3.19. Cho (E, ) là không gian metric nón đầy đủ và T : E  E là toàn ánh. Giả sử rằng tồn tại 1, 2 , 3  0 với 1  2  3  1 thỏa mãn điều kiện: (Tu,Tv )  1(u, v )  2(u,Tu )  3(v,Tv ) với mọi u, v  E , u  v . Khi đó T có một điểm bất động duy nhất. Bây giờ, ta sẽ trình bày việc tổng quát hóa kết quả trên cho hai tự ánh xạ. Trước tiên ta chứng minh Bổ đề sau sẽ sử dụng trong kết quả chính. Bổ đề 1.3.20. Cho (E, ) là không gian b  metric nón và {un } là một dãy trong E . Nếu tồn tại số   (0,1 / k ) , ở đó k  1 sao cho (un 1, un )  (un , un 1 ) với n  1, 2,... thì {un } là dãy Cauchy trong E . Chứng minh. Bằng qui nạp ta có (un 1, un )  (un , un 1 )  2(un 1, un 2 )  ...  n (u1, u0 ) . Từ đó với các số nguyên m  1, p  1 , suy ra (um  p , um )  k[(um p , um  p1 )  (um  p 1, um )] 14
 k (um p , um  p1 )  k (um  p 1, um )  k (um  p , um  p 1 )  k 2[(um  p 1, um  p 2 )  (um  p 2, um )]  k (um  p , um  p 1 )  k 2(um  p 1, um  p 2 )  k 2(um  p 2, um )  k (um  p , um  p 1 )  k 2(um  p 1, um  p 2 )  k 3d (um  p 2 , um  p 3 )  ... k p 1(um 2, um 1 )  k p 1(um 1, um )  k m  p 1(u1, u 0 )  k 2m  p 2(u1, u0 )  ...  k p 1m 1(u1, u0 )  k p 1m (u1, u 0 )  [km p 1  k 2m  p2  ...  k p1m 1 ](u1, u0 )  k p1m (u1, u 0 )  k m p     1  (k / )  ...  (k / )p 2 (u1, u0 )  k p 1m (u1, u0 ) k m  p 1  (k / )p 1   (u1, u 0 )  k p 1m (u1, u 0 )  1  (k / ) k /  p 1 1  k m p (u1, u0 )  k p 1m (u1, u0 ) k  k p   m 1(1  k 1 p p 1 )(u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 ) k  k p m 1  (u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )   khi m   với  tùy ý. k  Giả sử   c đã cho, khi đó theo Bổ đề 1.3.10 tồn tại m 0   sao cho k p  m 1 (u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )  c với mỗi m  m 0 . k  Như vậy k p m 1 (um  p , um )  (u1, u 0 )  k p 1 m (u1, u 0 )  c k  với mọi m  m 0 và mỗi p   bất kì. Do đó theo Bổ đề 1.3.11, {un } là dãy Cauchy trong (E, ) . Bổ đề được chứng minh. 15
CHƯƠNG 2 ĐIỂM BẤT ĐỘNG CHUNG ĐỐI VỚI CÁC ÁNH XẠ DÃN TRONG KHÔNG GIAN b  METRIC VÀ KHÔNG GIAN b  METRIC NÓN 2.1. Điểm bất động chung đối với ánh xạ dãn trong không gian b  metric Trước tiên, trong không gian metric, Daffer và Kaneko [1] đã chứng minh kết quả về điểm bất động chung sau đây: Định lý 2.1.1 [1]. Cho (E ,  ) là một không gian metric đầy đủ, S : E  E là đơn ánh và T : E  E là toàn ánh, đồng thời tồn tại một số   1 sao cho (Tu,Tv )  (Su, Sv ) , với mỗi u, v  E . Khi đó S và T có một điểm bất động chung duy nhất . Sử dụng khái niệm ánh xạ tương thích cho một cặp ánh xạ, Rhoades [7] đã tổng quát hóa kết quả trên của Daffer và Kaneko, như sau: Định lý 2.1.2 ([7]). Cho (E , ) là một không gian metric đầy đủ, S ,T : E  E là các ánh xạ tương thích thỏa mãn điều kiện (Tu,Tv )  (Su, Sv ) , với mỗi u, v  E , và S (E )  T (E ) trong đó T liên tục. Khi đó S và T có một điểm bất động chung duy nhất. Đối với không gian b  metric, kết quả sau là tổng quát hóa của Định lý 1.14 ([1]) cho một cặp ánh xạ đã làm yếu đi điều kiện về tính liên tục và tính đầy đủ: Định lý 2.1.3. Cho (E , , k ) là một không gian b  metric với hệ số k  1 và S ,T : E  E là các ánh xạ thỏa mãn i) S (E )  T (E ) (Su,Tu )[1  (Sv,Tv )] ii) (Tu,Tv )   (Su, Sv ) , (2.1) 1  (Su, Sv ) với mọi u, v  E , u  v ; ở đó   0 ,   1 và k     k . 16