Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa Co suy rộng và ứng dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết điểm bất động và ứng dụng là lĩnh vực nghiên cứu hấp dẫn của toán học hiện đại. Đây là lĩnh vực đã và đang thu hút được sự quan tâm của rất nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Lý thuyết điểm bất động là một công cụ quan trọng để nghiên cứu các hiện tượng phi tuyến tính. Luận văn sẽ nghiên cứu về vấn đề này

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý điểm bất động của ánh xạ nửa tựa Co suy rộng và ứng dụng

I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L NH QUÝNH ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO SUY RËNG V ÙNG DÖNG LUN VN THC S TON HÅC Th¡i Nguy¶n - 2019
I HÅC THI NGUYN TR×ÍNG I HÅC S× PHM L NH QUÝNH ÀNH LÞ IM BT ËNG CÕA NH X NÛA TÜA CO SUY RËNG V ÙNG DÖNG Ng nh: TON GII TCH M¢ sè: 8460102 LUN VN THC S TON HÅC Ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. BÒI TH HÒNG Th¡i Nguy¶n - 2019
Líi cam oan Tæi xin cam oan r¬ng nëi dung tr¼nh b y trong luªn v«n n y l trung thüc v khæng tròng l°p vîi · t i kh¡c. Tæi công xin cam oan r¬ng måi sü gióp ï cho vi»c thüc hi»n luªn v«n n y ¢ ÷ñc c£m ìn v c¡c thæng tin tr½ch d¨n trong luªn v«n ¢ ÷ñc ch¿ rã nguçn gèc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 Ng÷íi vi¸t luªn v«n L¶ ¼nh Quýnh X¡c nhªn X¡c nhªn cõa tr÷ðng khoa To¡n cõa ng÷íi h÷îng d¨n khoa håc TS. Bòi Th¸ Hòng i
Líi c£m ìn Tr÷îc khi tr¼nh b y nëi dung ch½nh cõa luªn v«n, tæi xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi TS. Bòi Th¸ Hòng, ng÷íi th¦y tªn t¼nh h÷îng d¨n tæi trong suèt qu¡ tr¼nh nghi¶n cùu º tæi câ thº ho n th nh luªn v«n n y. Tæi xin tr¥n trång c£m ìn Ban Gi¡m hi»u, khoa To¡n còng to n thº c¡c th¦y cæ gi¡o tr÷íng HSP Th¡i Nguy¶n ¢ truy·n thö cho tæi nhúng ki¸n thùc quan trång, t¤o i·u ki»n thuªn lñi v cho tæi nhúng þ ki¸n âng gâp quþ b¡u trong suèt qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n. B£n luªn v«n chc chn s³ khæng tr¡nh khäi nhúng khi¸m khuy¸t v¼ vªy r§t mong nhªn ÷ñc sü âng gâp þ ki¸n cõa c¡c th¦y cæ gi¡o v c¡c b¤n håc vi¶n º luªn v«n n y ÷ñc ho n ch¿nh hìn. Cuèi còng xin c£m ìn gia ¼nh v b¤n b± ¢ ëng vi¶n, kh½ch l» tæi trong thíi gian håc tªp, nghi¶n cùu v ho n th nh luªn v«n. Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn! Th¡i Nguy¶n, th¡ng 4 n«m 2019 T¡c gi£ L¶ ¼nh Quýnh ii
Möc löc Líi cam oan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i Líi c£m ìn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iv Mð ¦u . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Ch÷ìng 1. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach . . 3 1.1. ành ngh¾a v v½ dö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2. Sü hëi tö trong khæng gian metric . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3. Khæng gian metric ¦y õ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Ch÷ìng 2. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng v ùng döng. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.1. Khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ tüa co suy rëng. . . . . . . . . . . 21 2.4. ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng . . . . . . 25 2.5. Ùng döng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 K¸t luªn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 T i li»u tham kh£o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 iii
Mët sè kþ hi»u v vi¸t tt N tªp c¡c sè tü nhi¶n N∗ tªp c¡c sè tü nhi¶n kh¡c khæng R tªp c¡c sè thüc R+ tªp sè thüc khæng ¥m C tªp c¡c sè phùc {xn } d¢y sè ∅ tªp réng A∪B hñp cõa hai tªp hñp A v B A×B t½ch Descartes cõa hai tªp hñp A v B (X, d) khæng gian metric O(x; ∞) quÿ ¤o cõa ¡nh x¤ T t¤i iºm x B(S) tªp t§t c£ c¡c h m thüc bà ch°n tr¶n S vîi chu©n supremum 2 k¸t thóc chùng minh iv
Mð ¦u Lþ thuy¸t iºm b§t ëng v ùng döng l l¾nh vüc nghi¶n cùu h§p d¨n cõa to¡n håc hi»n ¤i. ¥y l l¾nh vüc ¢ v ang thu hót ÷ñc sü quan t¥m cõa r§t nhi·u nh to¡n håc trong v ngo i n÷îc. Lþ thuy¸t iºm b§t ëng l mët cæng cö quan trång º nghi¶n cùu c¡c hi»n t÷ñng phi tuy¸n t½nh. Nâ câ nhi·u ùng döng trong nhi·u l¾nh vüc kh¡c nhau cõa To¡n håc nh÷ sü tçn t¤i nghi»m cõa c¡c ph÷ìng tr¼nh vi, t½ch ph¥n, h» ph÷ìng tr¼nh tuy¸n t½nh, ph÷ìng tr¼nh h m, quÿ ¤o âng cõa h» ëng lüc, ... Hìn núa, nâ cán câ nhi·u ùng döng trong c¡c ng nh khoa håc kh¡c nh÷ khoa håc m¡y t½nh, lþ thuy¸t i·u khiºn, lþ thuy¸t trá chìi, vªt lþ to¡n, sinh håc, kinh t¸, ... Sü ph¡t triºn m¤nh m³ cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng câ thº nâi bt nguçn tø nhúng ùng döng rëng r¢i cõa nâ. Nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach l trung t¥m cõa lþ thuy¸t iºm b§t ëng tr¶n khæng gian metric. Sü ra íi cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach còng vîi ùng döng cõa nâ ¢ mð ra sü ph¡t triºn mîi cõa mët lþ thuy¸t iºm b§t ëng metric. Lþ thuy¸t iºm b§t ëng metric ph¡t triºn chõ y¸u theo ba v§n · sau: Mð rëng c¡c i·u ki»n co cho c¡c ¡nh x¤; mð rëng c¡c ành lþ iºm b§t ëng ¢ bi¸t l¶n c¡c khæng gian câ c§u tróc t÷ìng tü khæng gian metric; v t¼m c¡c ùng döng cõa chóng. èi vîi v§n · mð rëng i·u ki»n co cõa ¡nh x¤, chóng ta ¢ bi¸t ÷ñc nhúng lîp ¡nh x¤ co ti¶u biºu ÷ñc kº ¸n nh÷ cõa Pant- Singh-Mishra [3], Popescu [5], Mot- Perusel [6], Rhoades [7], Singh- Mishra [8], Suzuki [9], ... N«m 1974, Ciric [1] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. N«m 2015, Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ 1
tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. K¸t qu£ n y l mð rëng k¸t qu£ cõa Ciric [1]. N«m 2017, Pant [4] ¢ chùng minh ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. K¸t qu£ n y l mð rëng c¡c k¸t qu£ cõa Ciric [1] v Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2]. Möc ½ch cõa luªn v«n l giîi thi»u l¤i mët sè k¸t qu£ nghi¶n cùu cõa c¡c t¡c gi£ Ciric [1], Kumam- Dung- Sitthithakerngkiet [2] v Pant [4] v· ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa co suy rëng v nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric T - ¦y õ theo quÿ ¤o. Luªn v«n gçm ph¦n mð ¦u, hai ch÷ìng nëi dung, ph¦n k¸t luªn v t i li»u tham kh£o. Ch÷ìng 1 chóng tæi tr¼nh b y kh¡i ni»m v· khæng gian metric v nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach. Ngo i ra chóng tæi cán tr¼nh b y mët sè mð rëng ð d¤ng ìn gi£n cõa nguy¶n lþ ¡nh x¤ co Banach. Ch÷ìng 2 d nh cho vi»c tr¼nh b y kh¡i ni»m khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o v mët sè ành lþ iºm b§t ëng cho ¡nh x¤ tüa co, tüa co suy rëng v nûa tüa co suy rëng tr¶n khæng gian metric ¦y õ theo quÿ ¤o. Ngo i ra, mët ùng döng v o b i to¡n quy ho¤ch ëng công ÷ñc tr¼nh b y trong ch÷ìng n y. 2
Ch÷ìng 1 ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach Trong ch÷ìng n y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè kh¡i ni»m v· khæng gian metric v ành lþ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ co Banach trong khæng gian metric ¦y õ v mët sè bi¸n thº cõa nâ. 1.1. ành ngh¾a v v½ dö ành ngh¾a 1.1.1. Gi£ sû X l tªp hñp kh¡c réng. H m d : X × X → R ÷ñc gåi l metric tr¶n X n¸u thäa m¢n (i) d(x, y) ≥ 0 vîi måi x, y ∈ X v d(x, y) = 0 ⇔ x = y. (ii) d(x, y) = d(y, x) vîi måi x, y ∈ X. (iii) d(x, y) ≤ d(x, z) + d(z, y) vîi måi x, y, z ∈ X. Khi â c°p (X, d) gåi l khæng gian metric. V½ dö 1.1.2. Tr¶n C[0,1], x²t h m sè d : C[0,1] × C[0,1] → R bði 1 vîi måi x, y ∈ C[0,1]. Z d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt, 0 Ta câ 1 vîi måi x, y ∈ C[0,1]. Z d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt ≥ 0, 0 Gi£ sû Z 1 d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt = 0. 0 3
i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi x(t) = y(t), vîi måi t ∈ [0, 1]. i·u n y chùng tä x = y. M°t kh¡c, ta l¤i câ Z 1 d(x, y) = |x(t) − y(t)|dt 0 Z 1 = |x(t) − z(t) + z(t) − y(t)|dt 0 Z 1 Z 1 ≤ |x(t) − z(t)|dt + |z(t) − y(t)|dt 0 0 = d(x, z) + d(z, y). vîi måi x, y, z ∈ C[0,1]. Vªy trong (C[0,1], d) l khæng gian metric. 1.2. Sü hëi tö trong khæng gian metric ành ngh¾a 1.2.1. Cho (X, d) l khæng gian metric, {xn} l mët d¢y c¡c ph¦n tû cõa X , ta nâi {xn} hëi tö ¸n z ∈ X n¸u lim d(xn , z) = 0. n→∞ Ta k½ hi»u n→∞ lim xn = z ho°c xn → z khi n → ∞. ành lþ 1.2.2. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric. Khi â (i) Giîi h¤n cõa mët d¢y (n¸u câ) l duy nh§t. (ii) N¸u n→∞ lim xn = a; lim yn = b th¼ lim d(xn , yn ) = d(a, b). n→∞ n→∞ Chùng minh. (i) Trong X gi£ sû n→∞ lim xn = a; lim yn = b . Ta câ n→∞ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , b) vîi måi n. Cho n → ∞ ta thu ÷ñc d(a, b) = 0. i·u n y k²o theo a = b. (ii) Vîi måi n ta ·u câ d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(xn , yn ) + d(yn , b). 4
Suy ra d(a, b) − d(xn , yn ) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). T÷ìng tü ta công câ d(xn , yn ) − d(a, b) ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). K¸t hñp hai b§t ¯ng thùc tr¶n ta ÷ñc |d(xn , yn ) − d(a, b)| ≤ d(a, xn ) + d(yn , b). Theo gi£ thi¸t, n→∞ lim d(xn , a) = lim d(yn , b) = 0. Tø â suy ra n→∞ lim d(xn , yn ) = d(a, b). n→∞ ành lþ ÷ñc chùng minh. V½ dö 1.2.3. Cho X = R ho°c C vîi metric d(x, y) = |x − y|, ta câ: lim xn = a ⇔ lim |xn − a| = 0. n→∞ n→∞ V½ dö 1.2.4. Cho d¢y {x(k) = (x(k) 1 , ..., xn )}k=1 trong khæng gian R vîi (k) ∞ n kho£ng c¡ch Euclide v x(0) = (x(0) 1 , ..., xn ) ∈ R. Khi â (0) n (k) (0) 1 X (k) (0) lim x =x ⇔ lim ( |xi − xi |2 ) 2 = 0 k→∞ k→∞ i=1 vîi måi i = 1, ..., n. ⇔ lim xi = xi , k→∞ (k) (0) Ta th÷íng gåi sü hëi tö trong khæng gian Rn l sü hëi tö theo tåa ë. V½ dö 1.2.5. Trong khæng gian C[a,b] L , d¢y h m sè {xn }∞ n=1 hëi tö ¸n h m sè x0 ∈ C[a,b] câ ngh¾a l Zb d(xn , x0 ) = |xn (t) − x0 (t)|dt → 0. a Sü hëi tö n y gåi l hëi tö trung b¼nh. 5
1.3. Khæng gian metric ¦y õ ành ngh¾a 1.3.1. Gi£ sû (X, d) l khæng gian metric. D¢y {xn} c¡c ph¦n tû cõa X ÷ñc gåi l d¢y Cauchy (cì b£n ) n¸u m,n→∞ lim d(xm , xn ) = 0. ành ngh¾a 1.3.2. Khæng gian metric X ÷ñc gåi l khæng gian metric ¦y õ n¸u måi d¢y Cauchy c¡c ph¦n tû cõa X ·u hëi tö trong nâ. V½ dö 1.3.3. R, C vîi metric tü nhi¶n l c¡c khæng gian metric ¦y õ. V½ dö 1.3.4. Rn vîi metric Euclide l khæng gian metric ¦y õ. Chùng minh. 1 , ..., xn )}, k = 1, 2, .... l mët d¢y Cauchy Gi£ sû {x(k) = (x(k) (k) trong Rn. Khi â m,k→∞ lim d(x(k) , x(m) ) = 0, tùc l v u n
xi (k) − xi (m)
2 = 0. uX
lim t m,k→∞ i=1 i·u n y t÷ìng ÷ìng vîi vîi måi i ∈ {1, 2, ..., n}.
(k) (m)
lim