ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————
TRẦN THỊ HUỆ
CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
ZALCMAN YẾU
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Thái Nguyên - Năm 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM —————————————————
TRẦN THỊ HUỆ
CÁC ĐỊNH LÝ HỘI TỤ - THÁC TRIỂN ĐỐI VỚI
ÁNH XẠ CHỈNH HÌNH VÀO KHÔNG GIAN PHỨC
ZALCMAN YẾU
Chuyên ngành: GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học TS. TRẦN HUỆ MINH
Thái Nguyên - Năm 2017
Lời cam đoan
Tôi xin cam đoan nội dung trong luận văn này là công trình nghiên cứu
của riêng tôi dưới sự hướng dẫn của TS. Trần Huệ Minh. Tôi không sao
chép từ bất kì một công trình nào khác. Tôi kế thừa và phát huy các thành
quả khoa học của các nhà khoa học với sự biết ơn chân thành.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn
Trần Thị Huệ
Xác nhận Xác nhận
của Trưởng (phó) khoa chuyên môn của người hướng dẫn khoa học
i
TS. Trần Huệ Minh
Lời cảm ơn
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới TS. Trần Huệ Minh, người đã định hướng
chọn đề tài và tận tình hướng dẫn, cho tôi những nhận xét quý báu để tôi
có thể hoàn thành luận văn.
Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới phòng Sau Đại học, các
thầy cô giáo dạy cao học chuyên ngành Toán giải tích trường Đại học Sư
phạm - Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt
quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Nhân dịp này tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn
bè đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt
quá trình học tập.
Thái Nguyên, tháng 4 năm 2017
Người viết luận văn
ii
Trần Thị Huệ
Mục lục
Lời cam đoan i
Lời cảm ơn ii
Mục lục iii
Mở đầu 1
3 1 Kiến thức chuẩn bị
3 1.1 Ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm . . . . . . . .
4 1.2.1 Tô pô compact mở . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 1.2.2 Compact hóa một điểm . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.3 Đa tạp phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
5 1.3.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
6 1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức . . . . . . .
7 1.4 Không gian phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
7 1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . .
8 1.6 Phủ chỉnh hình . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
8 1.7 Giả khoảng cách Kobayashi . . . . . . . . . . . . . . . . . .
iii
9 1.8 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.8.1 Không gian phức hyperbolic . . . . . . . . . . . . . 9
1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy . . . . . . . . . . . 9
1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic . . . . . . . . . . 10
1.9 Miền taut . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
1.10 Hàm đa điều hòa dưới . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2 Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào
không gian phức Zalcman yếu 12
2.1 Không gian phức Zalcman . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
2.2 Tính taut của một miền không bị chặn trong một không gian
phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. . . . . . . . . . 22
2.3 Tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh
xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu. . . . . . . 28
Kết luận 36
iv
Tài liệu tham khảo 37
Mở đầu
Như chúng ta đã biết, bài toán thác triển ánh xạ chỉnh hình là một trong
những bài toán quan trọng bậc nhất của giải tích phức nhiều biến, các định
lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi có liên quan tới nhiều vấn đề trong giải
tích phức hyperbolic và lý thuyết đa thế vị.
Trong [11], các tác giả đã đưa ra khái niệm về một lớp không gian phức
mới gọi là không gian phức Zalcman, từ đó xây dựng khái niệm không gian
phức Zalcman yếu và chỉ ra một số định lý hội tụ - thác triển kiểu Noguchi
đối với những ánh xạ chỉnh hình vào không gian con phức Zalcman yếu của
một không gian phức.
Với mong muốn tìm hiểu và nghiên cứu về không gian phức Zalcman và
các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian
phức Zalcman yếu, em đã chọn đề tài luận văn " Các định lý hội tụ -
thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman
yếu". Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo còn gồm
hai chương nội dung.
Chương một trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về ánh xạ chỉnh
hình, tôpô compact mở và compact hóa một điểm, đa tạp phức, không gian
phức, họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình, phủ chỉnh hình, giả khoảng cách
Kobayashi, không gian phức hyperbolic, miền taut, hàm đa điều hòa dưới.
1
Chương hai trình bày các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức Zalcman yếu. Phần đầu của chương trình bày
một vài lớp không gian Zalcman quan trọng và chỉ ra những tính chất cơ
bản của không gian Zalcman. Phần thứ hai trình bày điều kiện đủ về tính
taut của một miền trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không
compact theo cách tiếp cận từ không gian phức Zalcman có điểm biên đọng
quỹ đạo. Phần cuối của chương dành cho việc nghiên cứu mối quan hệ giữa
tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗− thác triển, tính Zalcman yếu và tính
lồi đĩa yếu của không gian phức.
Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thái Nguyên
dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Trần Huệ Minh. Tác giả xin được bày
tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, trường
Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để
2
tác giả hoàn thành được khóa học của mình.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
[1], [4], [5].
1.1 Ánh xạ chỉnh hình
Nội dung trình bày ở chương này chủ yếu được đưa vào từ các tài liệu
Giả sử X là một tập mở trong Cn và f : X → C là một hàm số. Hàm f
được gọi là khả vi phức tại x0 ∈ X nếu tồn tại ánh xạ tuyến tính λ : Cn → C
= 0,
lim |h|→0
|f (x0 + h) − f (x0) − λ (h)| |h|
2(cid:19)1/2
sao cho
|hi|
. trong đó h = (h1, ..., hn) ∈ Cn và |h| = (cid:18) n (cid:80) i=1
Hàm f được gọi là chỉnh hình tại x0 ∈ X nếu f khả vi phức trong một
lân cận nào đó của x0 và được gọi là chỉnh hình trên X nếu f chỉnh hình
tại mọi điểm thuộc X .
Một ánh xạ f : X → Cm có thể viết dưới dạng f = (f1, ..., fm), trong đó fi = πi ◦ f : X → C, i = 1, ..., m là các hàm tọa độ. Khi đó f được gọi là
chỉnh hình trên X nếu fi chỉnh hình trên X với mọi i = 1, ..., m.
Ánh xạ f : X → f (X) ⊂ Cn được gọi là song chỉnh hình nếu f là song
3
ánh, chỉnh hình và f −1 cũng là ánh xạ chỉnh hình.
1.2 Tô pô compact mở và compact hóa một điểm
1.2.1 Tô pô compact mở
Giả sử X, Y là các không gian tô pô. Gọi F là họ các ánh xạ X vào Y .
+ Với mỗi tập con K của không gian X và với mỗi tập con U của không
W (K, U ) = {f |f (K) ⊂ U } .
gian Y , ta định nghĩa
Họ tất cả các tập W (K, U ), trong đó K là một tập con compact bất kỳ
của X và U là một tập mở trong Y , là một tiền cơ sở của tô pô compact
mở C trên F .
K và U là các tập hợp như trên, lập thành cơ sở của tô pô compact mở trên F . Một phần tử tùy ý của cơ sở có dạng (cid:84) {W (Ki, Ui) |i = 1, ..., n} trong
Do đó họ tất cả các giao hữu hạn các tập hợp dạng W (K, U ), trong đó
đó mỗi Ki là tập con copmact của X và mỗi Ui là một tập con mở của Y .
+ Giả sử {fn} là một dãy trong F . Ta nói dãy {fn} hội tụ tới f ∈ F
đều trên các tập con compact của X (hay hội tụ theo tô pô compact mở)
f (K) ⊂ U , tồn tại n0 > 0 sao cho với mọi n ≥ n0 ta có fn (K) ⊂ U.
nếu với mỗi tập con compact K của X và mỗi tập mở U của Y thỏa mãn
1.2.2 Compact hóa một điểm
Giả sử X là không gian tô pô không compact. Cặp (Y, ϕ), trong đó Y là
Y sao cho ϕ (X) trù mật trong Y , gọi là một compact hóa của X.
một không gian compact, ϕ : X → Y là một phép nhúng đồng phôi X vào
Ta sẽ xét compact hóa bởi một điểm của không gian không compact. Giả
4
sử Y là một không gian tô pô không compact và ∞ là một điểm không
thuộc Y . Đặt Y + = Y ∪ {∞}. Ta trang bị cho Y + một tô pô τ như sau:
- Nếu G là một tập hợp trong Y + không chứa ∞, tức là G ⊂ Y , thì G ∈ τ
khi và chỉ khi G mở trong Y .
- Nếu G là một tập hợp trong Y + chứa ∞, thì G ∈ τ khi và chỉ khi Y +\G
là một tập hợp đóng và compact trong X.
Ta có (Y +, τ ) là một không gian tô pô và Y là không gian con của không
gian tô pô Y +. Nếu gọi i : Y → Y +, i (x) = x là phép nhúng đồng phôi Y
vào Y + thì cặp (Y +, i) là một compact hóa của Y và gọi là compact hóa
1.3 Đa tạp phức
một điểm hay compact hóa Alexandrov của Y.
1.3.1 Định nghĩa
Giả sử X là một không gian tô pô Hausdorff.
+ Cặp (U, ϕ) được gọi là một bản đồ địa phương của X, trong đó U là tập
mở trong X và ϕ : U → Cn là ánh xạ, nếu các điều kiện sau được thỏa
mãn:
(i) ϕ(U ) là tập mở trong Cn,
(ii) ϕ : U → ϕ(U ) là một đồng phôi.
+ Họ A = {(Ui, ϕi)}i∈I các bản đồ địa phương của X được gọi là một tập bản đồ giải tích (atlats)của X nếu các điều kiện sau được thỏa mãn
(i) {Ui}i∈I là một phủ mở của X.
ϕj ◦ ϕ−1
: ϕi (Ui ∩ Uj) → ϕj (Ui ∩ Uj)
i
5
(ii) Với mọi Ui, Uj mà Ui ∩ Uj (cid:54)= ∅, ánh xạ
là ánh xạ chỉnh hình.
Xét họ các atlats trên X. Hai atlats A1, A2 được gọi là tương đương nếu hợp A1 ∪ A2 là một atlats. Đây là một mối quan hệ tương đương trên tập
các atlats. Mỗi lớp tương đương xác định một cấu trúc khả vi phức trên X,
và X cùng với cấu trúc khả vi phức trên nó được gọi là một đa tạp phức n
chiều.
Ví dụ 1.3.1. Giả sử D là miền trong Cn. Khi đó, D là một đa tạp phức n
chiều với bản đồ địa phương {(D, IdD)} .
1.3.2 Ánh xạ chỉnh hình giữa các đa tạp phức
Giả sử M, N là các đa tạp phức, ánh xạ liên tục f : M → N được gọi
là chỉnh hình trên M nếu với mọi bản đồ địa phương (U, ϕ) của M và mọi
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )
bản đồ địa phương (V, ψ) của N sao cho f (U ) ⊂ V thì ánh xạ
là ánh xạ chỉnh hình.
(U, ϕ) và (V, ψ) tại x và y tương ứng sao cho
ψ ◦ f ◦ ϕ−1 : ϕ (U ) → ψ (V )
Hay tương đương, với mọi x ∈ M, y ∈ N , tồn tại hai bản đồ địa phương
là ánh xạ chỉnh hình.
Giả sử f : M → N là song ánh giữa các đa tạp phức. Nếu f và f −1 là
6
các ánh xạ chỉnh hình thì f gọi là ánh xạ song chỉnh hình giữa M và N.
1.4 Không gian phức
X là một tập con đóng của M mà về mặt địa phương được xác định bởi
Định nghĩa 1.4.1. Giả sử M là đa tạp phức. Một không gian phức đóng
V của x trong M và hữu hạn các hàm chỉnh hình ϕ1, ..., ϕm trên V sao cho
X ∩ V = {x ∈ V |ϕi (x) = 0, i = 1, ..., m} .
hữu hạn các phương trình giải tích. Tức là, với x0 ∈ X tồn tại lân cận mở
Giả sử X là một không gian con phức trong đa tạp phức M.
Hàm f : X → Y được gọi là chỉnh hình nếu với mỗi điểm x ∈ X tồn tại
ˆf |U ∩X = f |U ∩X.
một lân cận U (x) ⊂ M và một hàm chỉnh hình ˆf trên U sao cho
Giả sử f : X → Y là ánh xạ giữa hai không gian phức X và Y , f được
Y , hàm hợp g ◦ f là hàm chỉnh hình trên f −1 (V ) .
gọi là chỉnh hình nếu với mỗi hàm chỉnh hình g trên một tập con mở V của
Ký hiệu Hol (X, Y ) là tập các ánh xạ chỉnh hình từ X vào Y được
1.5 Họ chuẩn tắc các ánh xạ chỉnh hình
trang bị tô pô compact mở.
- Một họ F các ánh xạ chỉnh hình từ không gian phức X tới không gian
phức Y được gọi là chuẩn tắc nếu F compact tương đối trong Hol(X, Y )
với tôpô compact mở.
K ⊂ X và với mỗi tập compact L ⊂ Y tồn tại j0 = j (K, L) sao cho
fj (K) ∩ L = ∅ với mọi j ≥ j0 .
7
- Một dãy fj ∈ F được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact
- Một họ F được gọi là không phân kỳ compact nếu F không chứa dãy con
1.6 Phủ chỉnh hình
nào phân kỳ compact.
x ∈ X, có lân cận mở U chứa x mà π−1 (U ) là hợp rời rạc những tập mở Uσ
Uα, Uα là các tập mở trong X (cid:48) và Uα ∩ Uβ = ∅
Ánh xạ chỉnh hình π : X (cid:48) → X được gọi là phủ chỉnh hình nếu với mọi
của X (cid:48) (tức là π−1(U ) = ∪ α∈I
π|Uα : Uα → U là song chỉnh hình.
nếu α, β ∈ I, α (cid:54)= β ) thỏa mãn
x ∈ X, π−1(x) gọi là thớ trên x của phủ π.
1.7 Giả khoảng cách Kobayashi
Khi đó X (cid:48) được gọi là không gian phủ, X gọi là đáy của phủ và với mỗi
Hol (D, Y ) là tập tất cả các ánh xạ chỉnh hình từ D vào Y , được trang bị
Giả sử X là một không gian phức, x và y là hai điểm tùy ý của X.
tô pô compact mở. Xét dãy các điểm p0 = x, p1, ..., pk = y của X, dãy các
điểm a1, a2, ..., ak của D và các dãy ánh xạ f1, ..., fk trong Hol (D, Y ) thỏa
fi (0) = pi−1, fi (ai) = pi, ∀i = 1, ..., k.
mãn
Tập hợp α = {p0, ..., pk, a1, ...ak, f1, ..., fk} thỏa mãn các điều kiện trên
được gọi là một dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X.
Ta định nghĩa
,
ρD (0, ai), α ∈ Ωx,y
dX (x, y) = inf α
i=1
8
(cid:41) (cid:40) k (cid:88)
trong đó Ωx,y là tập tất cả các dây chuyền chỉnh hình nối x và y trong X. Khi đó dX : X × X → R là một giả khoảng cách trên X và gọi là giả
khoảng cách Kobayashi trên không gian phức X.
ρD (0, ai) gọi là tổng Kobayashi của dây chuyền chỉnh hình α.
k (cid:80) i=1
1.8 Không gian phức hyperbolic
Tổng
1.8.1 Không gian phức hyperbolic
Không gian phức X được gọi là không gian hyperbolic (theo nghĩa Kobayashi)
dX (p, q) = 0 ⇔ p = q, ∀p, q ∈ X.
nếu giả khoảng cách Kobayashi dX là khoảng cách trên X, tức là
Nhận xét 1.8.1. Từ định nghĩa và tính chất giảm khoảng cách qua các ánh
xạ chỉnh hình ta có tính hyperbolic của không gian phức là một bất biến
song chỉnh hình.
1.8.2 Không gian phức hyperbolic đầy
- Giả sử X là không gian phức với khoảng cách d. Dãy {xn} ⊂ X được
gọi là dãy cơ bản (hay dãy Côsi) đối với khoảng cách d nếu với mỗi ε > 0,
d (xn, xm) < ε.
tồn tại n0 ∈ N sao cho với mọi m, n > n0 ta có
- Không gian phức X được gọi là hyperbolic đầy nếu X là hyperbolic và đầy
đối với khoảng cách Kobayashi dX, tức là mọi dãy cơ bản đối với khoảng
9
cách dX đều hội tụ.
1.8.3 Không gian phức nhúng hyperbolic
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức Y , X được gọi là
nhúng hyperbolic trong Y nếu với mọi x, y ∈ X, x (cid:54)= y luôn tồn tại các lân
dX (X ∩ U, X ∩ V ) > 0.
1.9 Miền taut
cận mở U của x và V của y trong Y sao cho
Cho M là một miền trong không gian phức X.
j=1 ⊂ Hol(∆, M ) được gọi là phân kỳ compact nếu với mỗi tập compact K ⊂ ∆, với mỗi tập compact L ⊂ M , tồn tại số j0 = j(K, L) sao
- Dãy {fj}∞
j=1 ⊂ Hol(∆, M ) hoặc chứa một dãy con hội tụ đều trên mỗi tập con compact tới ánh xạ chỉnh hình f ∈
Hol(∆, M ) hoặc phân kỳ compact.
1.10 Hàm đa điều hòa dưới
cho fj(K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0. - M được gọi là taut nếu mọi dãy {fj}∞
+ Giả sử D là miền trong C. Một C 2 - hàm h xác định trên D được gọi
= 0 trên D.
∆h := 4
∂2h ∂z∂ ¯z
là điều hòa nếu
+ Hàm u : D → [ − ∞, ∞) được gọi là điều hòa dưới trong miền D nếu u
thỏa mãn hai điều kiện sau:
i) u là nửa liên tục trên trong D, tức là tập {z ∈ D; u (z) < s} là tập mở
với mỗi số thực s;
10
ii) Với mỗi tập con mở compact tương đối G của D và mọi hàm h : G → R
là điều hòa trong G và liên tục trong G ta có: nếu u ≤ h trên ∂G thì u ≤ h
trên G.
Ta có tiêu chuẩn điều hòa dưới sau:
Để hàm u nửa liên tục trên trong miền D là điều hòa dưới trong D, cần
2π (cid:90)
u (z) ≤
u(z + reit)dt với mọi r < r0 (z) .
1 2π
0
và đủ là với mỗi điểm z ∈ D, tồn tại r0 (z) > 0 sao cho
ϕ : G → [ − ∞, ∞)
+ Giả sử G là một tập con mở trong Cn. Một hàm
được gọi là đa điều hòa dưới nếu
(i) ϕ là nửa liên tục trên và ϕ không đồng nhất với −∞ chỉ trên thành phần
liên thông của G;
τ −1 (G) hoặc bằng −∞ hoặc là điều hòa dưới.
(ii) Với mỗi z0 ∈ G và a ∈ Cn mà a (cid:54)= 0, và với mỗi ánh xạ τ : C → Cn, τ (z) = z0 + az, hàm ϕ ◦ τ trên mỗi thành phần liên thông của
Trong không gian phức bất kỳ ta có định nghĩa:
Giả sử X là một không gian phức. Một hàm đa điều hòa dưới trên X là
một hàm ϕ : X → [ − ∞, ∞) thỏa mãn tính chất sau:
Với mỗi x ∈ X tồn tại một lân cận mở U của x sao cho với một ánh xạ
song chỉnh hình h : U → V lên một không gian phức con đóng V của một
miền G ⊂ Cm nào đó và một hàm đa điều hòa dưới ϕ : G → [−∞,∞) sao
cho ϕ|U = ϕ ◦ h.
11
Định nghĩa trên không phụ thuộc vào việc chọn bản đồ địa phương.
Chương 2
Các định lý hội tụ - thác triển đối
với ánh xạ chỉnh hình vào không
gian phức Zalcman yếu
Phần đầu của chương này, chúng tôi trình bày về không gian phức
Zalcman và một số tính chất cơ bản của không gian Zalcman. Phần tiếp
theo, trình bày về tính taut của một miền không bị chặn trong một không
gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact. Cuối cùng, chúng tôi trình
bày về tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh
2.1 Không gian phức Zalcman
hình vào không gian phức Zalcman yếu.
Định nghĩa 2.1.1. [11] Giả sử X là một không gian phức, ∆ là đĩa đơn vị
X thỏa mãn điều kiện sau:
mở trên C. Không gian phức X được gọi là một không gian Zalcman nếu
Với mỗi họ không chuẩn tắc F ⊂ Hol (∆, X) sao cho F là không phân
12
kỳ compact, thì tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F ,
{ρj} ⊂ R với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
gj(ξ) = fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình khác
hằng g : C → X.
Nhận xét 2.1.1. Một không gian taut là không gian Zalcman.
Ví dụ 2.1.1. 1. Từ định lý 2.8 [8] suy ra mỗi không gian phức compact là
một không gian Zalcman.
2. Cho X là một không gian phức compact. Cho H là một siêu diện phức của X. Khi đó X\H là không gian Zalcman, đặc biệt C = CP 1\ (cid:8)1điểm(cid:9)
là không gian Zalcman.
3. Nếu X1 là không gian taut và X2 là không gian Zalcman, thì X1 × X2
cũng là không gian Zalcman.
j ; f 2 j
Thật vậy, giả sử (cid:8)fj = (cid:0)f 1 (cid:1)(cid:9) ⊂ Hol(∆, X1 × X2) sao cho {fj} là
không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ thấy (cid:8)f k j
j (cid:9) là không chuẩn tắc trên ∆.
(cid:9) là chuẩn tắc trên ∆.
Hol(∆, X1). Vì X2 là Zalcman nên không mất tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại một dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R
(cid:9) → f 1 trong (cid:9) cũng không phân kỳ compact trên ∆, (k = 1, 2). Do X1 là taut nên (cid:8)f 1 Vậy (cid:8)f 2 j Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng (cid:8)f 1 j
j (ξ) = f 2 g2
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
13
hội tụ đều trên tập con compact của C đến một hàm nguyên khác hằng
g2 : C → X2. Khi đó
j (ξ) = f 1 g1
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g1 = f 1(p0).
Khẳng định được chứng minh.
X1 × X2 cũng là không gian Zalcman.
4 . Nếu X1 là không gian phức compact và X2 là không gian Zalcman, thì
j ; f 2 j
Thật vậy, giả sử (cid:8)fj = (cid:0)f 1 (cid:1)(cid:9) ⊂ Hol(∆, X1 × X2) sao cho {fj} là
không chuẩn tắc trên ∆ và không phân kỳ compact trên ∆. Khi đó dễ dàng (cid:9) cũng không phân kỳ compact trên ∆. Ta xét hai trường thấy rằng (cid:8)f 2 j
(cid:9) là chuẩn tắc trên ∆.
hợp. Trường hợp 1: (cid:8)f 2 j Khi đó (cid:8)f 1 j
(cid:9) là không chuẩn tắc trên ∆. Không mất tính tổng quát ta (cid:9) → f 2 trên Hol(∆, X2). Do X1 là compact nên có thể giả sử rằng (cid:8)f 2 j
g1 j (ξ) = f 1
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
g1 : C → X1. Khi đó
j (ξ) = f 2 g2
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng
(cid:9) là không chuẩn tắc trên ∆. cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng g2 = f 2(p0). Trường hợp 2: (cid:8)f 2 j
14
Do X2 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {ρj} ⊂ R với
ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
j (ξ) = f 2 g2
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
g2 : C → X2.
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng
j (ξ) = f 1 g1
j (pj + ρjξ), ξ ∈ C.
Xét dãy
(cid:9) là chuẩn tắc thì không mất tính tổng quát ta có thể giả sử (i) Nếu (cid:8)g1 j
j
j
(cid:9) ⊂ C với (cid:8)p(cid:48) (cid:9) → p(cid:48) (cid:9) là không chuẩn tắc, thì do tính compact của X1, không mất 0 ∈ C,
j
j
(cid:9) ⊂ R với ρ(cid:48) rằng {gj} → g ∈ Hol(∆, X1 × X2), g khác hằng số. (ii) Nếu (cid:8)g1 j tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại dãy (cid:8)p(cid:48) (cid:9) → 0+ sao cho j > 0 và (cid:8)ρ(cid:48) (cid:8)ρ(cid:48)
j + ρ(cid:48)
jξ(cid:1), ξ ∈ C,
h1 j (ξ) = g1 j
(cid:0)p(cid:48)
h1 : C → X1. Khi đó
(cid:48)ξ), ξ ∈ C
(cid:48) + ρj
j(ξ) = g2 h2
j (pj
(cid:48)).
hội tụ đều trên tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng
cũng hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm hằng h2 = g2(p0
Điều đó chứng tỏ rằng X1 × X2 là không gian Zalcman
Bây giờ ta chứng minh kết quả đầu tiên của phần này.
π : M1 → M2 là một phủ chỉnh hình. Khi đó không gian phức M1 là Zalcman
Định lý 2.1.1. [11] Giả sử M1, M2 là hai không gian phức. Giả sử
khi và chỉ khi M2 cũng là không gian Zalcman.
F ⊂ Hol(∆, M1) sao cho F là không gian chuẩn tắc trên ∆ và F là không
15
Chứng minh. (⇐) Giả sử rằng M2 là không gian Zalcman. Giả sử
phân kỳ compact trên ∆.
(i) Ta sẽ chứng minh rằng họ π ◦ F là không chuẩn tắc trên ∆. Thật vậy,
giả sử ngược lại rằng họ π ◦ F là chuẩn tắc trên ∆. Lấy {fn} ⊂ F , không
mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng {π ◦ fn} → g ∈ Hol(∆, M2). Với
mỗi y ∈ M2, chọn một lân cận taut Uy của y trong M2.
Khi đó π−1(Uy) là taut.
i=1 của
∆ sao cho Vi (cid:98) Vy, với mỗi y ∈ M2.
Đặt Vy = g−1(Uy), với mỗi y ∈ M2. Lấy một phủ đếm được {Vi}∞
Xét dãy {fn |V1}. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng
fn(V1) ⊂ π−1(Uy1) với mọi n ≥ 1. Do {π ◦ fn |V1} → g |V1 nên tồn tại (cid:111) .
f (1) n
f (1) n
|V2
⊂ {fn} là hội tụ trên Hol(V1, M1). Xét dãy (cid:111)
(cid:110) (cid:111) (cid:110) dãy con
f (2) n
|V2
(cid:110) Như chứng minh trên, dãy này chứa một dãy con
f (k) n
Hol(V2, M1). Tiếp tục quá trình như vậy ta có thể tìm được dãy
hội tụ trên (cid:111) (cid:110) sao
f (k) n
f (k) n
⊂ (cid:110)
(cid:111) (cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111) (cid:110) cho , với mọi k ≥ 2 và là hội tụ trên Hol(Vk, M1).
f (k−1) n (cid:111) f (k) n
Khi đó dãy là hội tụ trên Hol(∆, M1). Vậy họ F chuẩn tắc, điều
này là mâu thuẫn.
(ii) Bây giờ ta chỉ ra rằng họ π ◦ F là không phân kỳ compact trên ∆. Thật
vậy, giả sử ngược lại rằng tồn tại một dãy {fn} sao cho {π ◦ fn} là phân
kỳ compact. Giả sử K là tập con compact bất kỳ trong ∆ và L là tập con
π ◦ fn(K) ∩ π(L) = ∅, với mọi n ≥ n0.
compact trong M1. Khi đó tồn tại n0 sao cho
Do đó fn(K) ∩ L = ∅ với mọi n ≥ n0. Điều đó kéo theo rằng dãy {fn}
cũng là phân kỳ compact. Điều này là không thể xảy ra.
16
(iii) Vì M2 là không gian Zalcman nên tồn tại dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} →
p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và (cid:8)ρ(cid:48)
j
gj (ξ) = π ◦ fj (pj + ρjξ), ξ ∈ C,
(cid:9) → 0+ sao cho
g0 : C → M2.
hội tụ đều trên các tập compact của C đến hàm nguyên khác hằng
Đặt θj(ξ) = fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C. Khi đó {π ◦ θj} → g0 trên Hol(C, M2)
Lặp lại lý luận như trong chứng minh (i), không mất tính tổng quát ta có
thể giả sử rằng {θj} → θ0 trên Hol(C, M1). Do π ◦ θ0 = g0 nên θ0 khác
(⇒) Giả sử rằng M1 là không gian Zalcman. Giả sử {fj} ⊂ Hol(∆, M2) sao
hằng số. Vậy M1 là không gian Zalcman.
∆. Khi đó tồn tại dãy {zj} ⊂ ∆ với {zj} → z0 ∈ ∆ và {fj(zj)} → p ∈ M2. Lấy yj := fj(zj) và lấy (cid:101)yj ∈ π−1(yj) . Khi đó tồn tại một ánh xạ chỉnh
cho {fj} là không chuẩn tắc trên ∆ và {fj} là không phân kỳ compact trên
π ◦ (cid:101)fj = fj và (cid:101)fj(zj) = (cid:101)yj. (cid:111)
hình (cid:101)fj : ∆ → M2 thỏa mãn
(cid:110) +) Bây giờ ta chỉ ra rằng dãy là không chuẩn tắc trên ∆ và không (cid:101)fj
(cid:110) (cid:111) phân kỳ compact trên ∆. Thật vậy, nếu dãy là chuẩn tắc trên ∆, khi (cid:101)fj
fj = π ◦ (cid:101)fj
(cid:110) (cid:111) đó cũng chuẩn tắc trên ∆. Điều này là không thể xảy ra.
(cid:110) (cid:111) Giả sử rằng dãy là phân kỳ compact trên ∆. Giả sử K là tập con (cid:101)fj
compact bất kỳ trong ∆ và L là tập con compact bất kỳ trong M2. Dễ thấy
(cid:111) (cid:110) là (cid:101)fj rằng tồn tại một tập con compact (cid:101)L của M1 sao cho π ◦ (cid:101)L ⊃ L. Vì
phân kỳ compact trên ∆ nên tồn tại j0 sao cho
(cid:101)fj(K) ∩ (cid:101)L = ∅ với mọi j ≥ j0.
Do đó fj (K) ∩ L = ∅, với mọi j ≥ j0. Điều đó kéo theo {fj} cũng là phân
17
kỳ compact. Xảy ra mâu thuẫn.
{ρj} → 0+ sao cho
+) Do M1 là không gian Zalcman nên không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng tồn tại {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và
(cid:101)gj(ξ) = (cid:101)fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C,
gj(ξ) = π ◦ (cid:101)fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C,
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến hàm nguyên khác hằng (cid:101)g0 : C → M1. Do đó
hội tụ đều trên tập con compact của C đến hàm nguyên g0 := π ◦ (cid:101)g0. Vì (cid:101)g0 khác hằng số nên g0 khác hằng số. Điều này kéo theo M2 là không gian Zalcman. Vậy định lý được chứng minh.
Tiếp theo, ta đưa ra khái niệm chuẩn tắc hóa của một không gian phức.
Định nghĩa 2.1.2. [4] Một chuẩn tắc hóa của một không gian phức là
π : (cid:101)X → X thỏa mãn:
(cid:16) (cid:17) cặp gồm không gian phức chuẩn tắc X và toàn ánh chỉnh hình (cid:101)X, π
(i) π là ánh xạ riêng và π−1(x) hữu hạn với mọi x ∈ X,
(ii) Nếu S là phần kỳ dị của X thì (cid:101)X\π−1(S) trù mật trong (cid:101)X
và π : (cid:101)X\π−1(S) → X\S là song chỉnh hình.
X có một chuẩn tắc hóa duy nhất (sai khác một đẳng cấu).
Định lý chuẩn tắc hóa của Oka [4] khẳng định rằng: Mọi không gian phức
Ta có bổ đề sau:
M2 là ánh xạ chỉnh hình riêng sao cho π−1 (y) là hyperbolic với mọi y ∈ M2.
Bổ đề 2.1.1. [8] Giả sử M1, M2 là hai không gian phức. Giả sử π : M1 →
Khi đó không gian phức M1 là không gian Zalcman nếu M2 là không gian
18
Zalcman.
Chứng minh. Giả sử ∆ là đĩa đơn vị trong C, F ∈ Hol(∆, M1) sao cho F
không chuẩn tắc trên ∆ và F không phân kỳ compact trên ∆.
(i) Ta chứng minh họ π ◦ F cũng không chuẩn tắc trên ∆.
Thật vậy, giả sử họ π◦F chuẩn tắc trên ∆. Lấy dãy {fn} ⊂ F , không mất
tính tổng quát ta có thể giả sử {π ◦ fn} hội tụ đến ánh xạ g ∈ Hol(∆, M2).
Do π−1(y) là hyperbolic với mọi y ∈ M2 nên theo một định lý của Urata -
π−1(U ) là hyperbolic đầy.
Zaidenberg [11] ta suy ra tồn tại một lân cận Uy của y trong M2 sao cho
i=1 của
∆ sao cho Vi compact tương đối trong Vy với mọi y ∈ M2 nào đó.
Đặt Vy = π−1(Uy) với mọi y ∈ M2. Lấy một phủ đếm được {Vi}∞
f (1) n
⊂ {fn}
f (1) n
|V2
(cid:111) (cid:110) Xét dãy {fn |V1}, không mất tính tổng quát ta có thể giả sử fn(V1) ⊂ π−1(Uy1), với mỗi n ≥ 1. Do {π ◦ fn |V1} → g |V1 nên dãy {fn |V1} là không phân kỳ compact. Vì π−1(Uy1) là taut nên tồn tại dãy con (cid:110) (cid:111) , bằng cách làm như
f (2) n
|V2
mà nó hội tụ trong Hol(V1, M1). Xét dãy (cid:111) (cid:110) trên, ta suy ra nó chứa dãy con hội tụ trong Hol(V2, M1).
f (k) n
(cid:111) (cid:110) sao cho
⊂
f (k) n
(cid:111) (cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111) (cid:110) với mọi k ≥ 2 và Tiếp tục quá trình này, ta có thể tìm được các dãy f (k) n hội tụ trong Hol(Vk, M1).
f (k−1) n (cid:111) (cid:110) f (n) n
Do đó dãy hội tụ trong Hol(Ω, M1). Vậy họ F chuẩn tắc. Mâu
thuẫn xảy ra.
(ii) Tiếp theo ta chứng minh họ π ◦ F không phân kỳ compact trên ∆. Thật
K là tập con compact bất kỳ của ∆ và L là tập con compact bất kỳ của
M1. Khi đó tồn tại n0 sao cho
π ◦ fn(K) ∩ π(L) = ∅ với mọi n ≥ n0.
vậy, giả sử tồn tại dãy {fn} ⊂ F sao cho {π ◦ fn} là phân kỳ compact. Lấy
19
Do đó fn(K) ∩ L = ∅, với mọi n ≥ n0. Từ đó ta suy ra dãy {fn} cũng phân
kỳ compact. Điều này không thể xảy ra.
gj (ξ) = π ◦ fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C
(iii) Do M2 là không gian Zalcman nên tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
hội tụ đều tới ánh xạ g0 : C → M2, g0 khác hằng.
θ0 khác hằng.
Đặt θj(ξ) = fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C. Khi đó {π ◦ θj} hội tụ tới g0 trong Hol(C, M2). Lặp lại lý luận như trong (i), không mất tính tổng quát ta có thể giả sử {θj} → θ0 ∈ Hol(C, M1) trong Hol(C, M1). Do π ◦ θ0 = g0 nên
Từ bổ đề này, ta chứng minh được định lý sau:
Định lý 2.1.2. [11] Giả sử X là một không gian phức. Khi đó X là không
gian Zalcman khi và chỉ khi (cid:103)SiX là không gian Zalcman với mọi i ≥ 0, ở
đó S0X = X, S1X = S(X) là phần kỳ dị của X và SiX = S(Si−1X) với
mọi i ≥ 2.
Chứng minh. (⇒) Cho X là một không gian Zalcman. Khi đó SiX là không
gian Zalcman với mọi i ≥ 0. Theo bổ đề trên, chuẩn tắc hóa (cid:103)SiX của SiX
(⇐) Giả sử (cid:103)SiX là không gian Zalcman với mọi i ≥ 0.
cũng là không gian Zalcman với mọi i ≥ 0.
Giả sử F ⊂ Hol(∆, X) là họ ánh xạ sao cho F là không chuẩn tắc và F là
không phân kỳ compact trên ∆.
Khi đó tồn tại một dãy {fn} trong F sao cho {fn} không chứa dãy con
nào hội tụ đều và không chứa dãy con phân kỳ compact (*).
Dễ thấy rằng ta có thể tìm được i ≥ 0 và một dãy con {fnk} của {fn}
20
sao cho fnk(∆) ⊂ SiX nhưng fnk(∆) (cid:54)⊂ Si+1X, với mọi k ≥ 1.
πi
θi
∆×SiX (cid:103)SiX (cid:121)
∆
(cid:101)fnk−−→ (cid:103)SiX (cid:121) fnk−−→ SiX
Xét biểu đồ giao hoán
SiX bởi ánh xạ chỉnh hình fnk.
trong đó θi : ∆×SiX (cid:103)SiX → ∆ là phân thớ kéo lùi của phân thớ πi : (cid:103)SiX →
Vì πi là hữu hạn và riêng nên θi cũng vậy. Dễ thấy θi : ∆×SiX (cid:103)SiX → ∆
i (z)) = 1, với mọi z ∈ ∆. Do đó, ta
: ∆ → (cid:103)SiX là chỉnh hình với mọi k ≥ 1.
là ánh xạ phủ giải tích. Từ đó card(θ−1
i
kết luận rằng gk = (cid:101)fnk ◦ θ−1
Đặt G := {gk}. Ta sẽ chứng minh hai khẳng định sau:
(i) G là không chuẩn tắc.
Thật vậy, giả sử ngược lại G là chuẩn tắc, khi đó G chứa dãy {gkl} hội tụ (cid:111) hội tụ đều đến ánh xạ G ∈ Hol(∆, (cid:93)SiX) trong Hol(∆, (cid:93)SiX). Do đó (cid:110) fnkl
đều địa phương đến πi ◦ G = F trong Hol(∆, X).
Điều này mâu thuẫn với (*).
(ii) G là không phân kỳ compact.
Thật vậy, giả sử G là phân kỳ compact. Khi đó tồn tại một dãy con phân
kỳ compact của {gk}. Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử rằng {gk}
là phân kỳ compact. Giả sử K và L là hai tập con compact trong ∆ và SiX
i (L) là compact, nên tồn tại k0 sao cho
gk(K) ∩ π−1
i (L) = ∅, với mọi k > k0.
tương ứng. Vì π−1
Điều này kéo theo fnk(K) ∩ L = ∅ với mọi k > k0, và do đó dãy {fnk} là
phân kỳ compact. Điều này là mâu thuẫn.
21
Từ (i), (ii) và tính Zalcman của (cid:103)SiX, ta suy ra tồn tại một dãy {ph} ⊂ ∆ với {ph} → p0 ∈ ∆, {gkh} ⊂ G, {ρh} ⊂ R với ρh > 0 và {ρh} → 0+ sao
ϕh(ξ) = gkh(ph + ρhξ), ξ ∈ C,
cho
ϕ : C → (cid:103)SiX.
(ph+ρhξ), ξ ∈ C, hội tụ đều trên các tập con compact
hội tụ đều trên tập con compact của C tới một ánh xạ khác hằng
Khi đó γh(ξ) = fnkh
của C tới ánh xạ γ : C → X , ở đó γ = πi ◦ ϕ.
i (a) là một tập
Giả sử rằng γ là hằng, γ ≡ a trên C. Khi đó ϕ(C) ⊂ π−1
hữu hạn, điều này không thể xảy ra. Vậy γ là ánh xạ khác hằng. Từ đó cho
2.2 Tính taut của một miền không bị chặn trong một không
gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact.
thấy X là không gian Zalcman.
Phần này trình bày điều kiện đủ về tính taut của một miền (không
nhất thiết bị chặn) trong một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không
compact từ góc độ của lý thuyết không gian phức Zalcman có điểm biên
đọng quỹ đạo.
Đầu tiên, ta nhắc lại các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.2.1. [6]
(i) Một không gian phức X được gọi là hyperbolic Brody yếu nếu mỗi ánh
xạ chỉnh hình f : C → X với f (C)(cid:98) X là ánh xạ hằng.
(ii) Một không gian phức X được gọi là hyperbolic Brody nếu mỗi ánh xạ
chỉnh hình f : C → X là ánh xạ hằng.
Theo định lý Liouville, dễ thấy rằng Cn là hyperbolic Brody yếu, nhưng
không phải hyperbolic Brody.
22
Định nghĩa 2.2.2. Cho M là một miền trong không gian phức X. Cho
X + = X ∪ {∞} là compact hóa Alexandrov một điểm của X. Kí hiệu
M là bao đóng của M trong X +. Ta nói rằng M là không bị chặn nếu
∞ ∈ M . Nếu M là không bị chặn và φ là hàm được xác định trên M , ta
đặt φ(∞) = c ∈ R nếu limz→∞φ(z) = c.
Giả sử M là một miền không bị chặn trong không gian phức X.
p ∈ ∂M ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận U của p trong X + sao cho ϕ là đa
(i) Một hàm ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại
ϕ(p) = 0,
ϕ(z) < 0 với mọi z ∈ (U ∩ M )\ {p} .
điều hòa dưới trên U ∩ M , liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn
p ∈ ∂M ∪ {∞} nếu tồn tại một lân cận U của p trong X + sao cho ϕ là đa
(ii) Một hàm ϕ được gọi là hàm đa điều hòa dưới antipeak địa phương tại
ϕ(p) = −∞,
ϕ(z) > −∞ với mọi z ∈ (U ∩ M )\ {p} .
điều hòa dưới trên U ∩ M , liên tục trên U ∩ M và thỏa mãn
Ta có bổ đề sau:
Bổ đề 2.2.1. [11] Cho M là một miền không bị chặn trong một không gian
phức X. Giả sử tồn tại là hai hàm đa điều hòa dưới peak và antipeak địa
phương ϕ và ψ tại ξ0 trên ∂M ∪ {∞}. Khi đó với mọi lân cận (cid:101)U của ξ0
trong X + tồn tại một lân cận (cid:101)U (cid:48) của ξ0 trong X + sao cho mọi ánh xạ chỉnh
f (0) ∈ (cid:101)U (cid:48) ⇒ f (∆N
1/2) ⊂ (cid:101)U .
hình f : ∆N → M thỏa mãn
Chứng minh. Vì ϕ là hàm đa điều hòa dưới peak địa phương tại ξ0 nên tồn
23
tại hai lân cận U, V của ξ0 (U ⊂ V ) và hai hằng số dương c, c(cid:48) (c > c(cid:48))
infz∈M ∩∂U ϕ(z) = −c(cid:48),
supz∈M ∩∂V ϕ(z) = −c.
sao cho
Khi đó hàm ˜ϕ được xác định trên M bởi:
) nếu z ∈ M ∩ (V \U ),
(c + c(cid:48)) 2
(c + c(cid:48)) 2
nếu z ∈ M \V, (cid:101)ϕ(z) = ϕ(z) nếu z ∈ M ∩ U, (cid:101)ϕ(z) = sup(ϕ(z), − (cid:101)ϕ(z) = −
là hàm đa điều hòa dưới peak toàn cục tại ξ0.
Giả sử f : ∆N → M là ánh xạ chỉnh hình. Giả sử α là một số âm tùy ý
sao cho ( (cid:101)ϕ ◦ f )(0) > α. Ký hiệu mes (Eα) là độ đo của tập hợp
.
Eα =
(cid:111)
(cid:110) θ = (θ1, θ2, ..., θN ) ∈ [0, 2π]N | ( (cid:101)ϕ ◦ f ) (cid:0)eiθ1, eiθ2, ..., eiθN (cid:1) ≥ 2α
Vì hàm (cid:101)ϕ ◦ f là điều hòa dưới nên từ bất đẳng thức giá trị trung bình
kéo theo
( (cid:101)ϕ ◦ f ) (cid:0)eiθ1, eiθ2, ..., eiθN (cid:1) dθ1dθ2...dθN
α < ( (cid:101)ϕ ◦ f ) (0) ≤
1 (2π)N
[0,2π]N
2α
≤
(2π)N mes([0, 2π]N \Eα)
(cid:90)
.
=
2α (2π)N
(cid:16) (2.1) (cid:17) (2π)N − mes (Eα)
(2π)N 2
. Vậy mes (Eα) >
infM ∩∂U (ϕ + εψ) (z) = −c1 < 0,
supM ∩∂V (ϕ + εψ) (z) = −c2 < −c1.
Lấy ε > 0 đủ nhỏ sao cho
24
Hàm ρ được xác định trên M bởi
ρ(z) = (ϕ + εψ)(z) nếu z ∈ M ∩ U,
ρ(z) = sup((ϕ + εψ)(z), −
) nếu z ∈ M ∩ (V \U ),
(c1 + c2) 2
ρ(z) = −
(c1 + c2) 2
nếu z ∈ M \V,
ρ−1(−∞) = {ξ0} .
là một hàm đa điều hòa dưới âm liên tục trên M và thỏa mãn
Giả sử g : ∆ → M là ánh xạ chỉnh hình. Sử dụng tích phân Poisson, với
2π (cid:90)
bất kỳ điểm λ trên ∆1/2, ta có
(ρ ◦ f ) (λ) ≤
) (ρ ◦ f ) (cid:0)eiθ(cid:1) dθ.
Re(
1 2π
eiθ + λ eiθ − λ
0
(2.2)
Re(
) =
1 3
eiθ + λ eiθ − λ 2π (cid:90)
. Do đó, ta có min λ∈∆1/2
(ρ ◦ g) (cid:0)eiθ(cid:1) dθ, với mọi λ ∈ ∆1/2.
1 6π
0
Vì vậy (ρ ◦ g) (λ) ≤
λ = (λ1, λ2, ..., λn) ∈ ∆N
1/2,
Giả sử f : ∆N → M là ánh xạ chỉnh hình. Khi đó, với mọi
2π (cid:90)
(ρ ◦ f ) (eiθ1, λ2, ..., λN )dθ1
(ρ ◦ f ) (λ1, λ2, ..., λN ) ≤
1 6π
0
ta có
≤
(ρ ◦ f ) (cid:0)eiθ1, eiθ2, ..., eiθN (cid:1) dθ1dθ2...dθN .
1 (6π)N
[0,2π]N
(cid:90) (2.3)
25
Vì (cid:101)ϕ là hàm peak tại ξ0 và ρ thỏa mãn ρ(ξ) = −∞, nên với mỗi n ≥ 1 tồn tại một hằng số âm αn sao cho với bất kỳ điểm z ∈ M bất đẳng thức
z ∈ M : ρ(z) < −
Un =
1 2.3N n
n=1
n là một lân cận ξ0 trong M được
(cid:27)(cid:27)∞ (cid:26) là (cid:101)ϕ(z) ≥ 2αn kéo theo ρ(z) < −n. (cid:26) Do ρ−1(−∞) = {ξ0} nên họ
n = (cid:8)z ∈ M : (cid:101)ϕ(z) > αn
một cơ sở lân cận của ξ0 trong M . Cho U (cid:48) (cid:9). xác định bởi U (cid:48)
n. Khi đó
Giả sử f : ∆N → M là ánh xạ chỉnh hình thỏa mãn f (0) ∈ U (cid:48)
(2π)N 2
. Sử dụng (2.2) và ρ là
1/2, thì
(cid:101)ϕ(f (0)) > αn. Theo (2.1) ta có mes (Eαn) > một hàm âm ta suy ra với mỗi λ = (λ1, λ2, ..., λN ) ∈ ∆N
(ρ ◦ f ) (λ1, λ2, ..., λN ) ≤
(ρ ◦ f ) (cid:0)eiθ1, eiθ2, ..., eiθN (cid:1) dθ1dθ2...dθN
Eαn
1 (6π)N (cid:90)
+
(ρ ◦ f ) (cid:0)eiθ1, eiθ2, ..., eiθN (cid:1) dθ1dθ2...dθN
1
≤
(−n)dθ1...dθN = −
[0,2π]N \Eαn (cid:90) 1 (6π)N
(6π)N n.mes (Eαn)
Eαn
(cid:90)
< −
= −
(2π)N 2
1 2.3N .n.
1 (6π)N n.
(2.4)
⊂ Un. Bổ đề được chứng minh.
∆N 1/2
(cid:17) (cid:16) Vậy f
Định lý sau chỉ ra điều kiện đủ đối với tính taut của một miền (không
nhất thiết bị chặn) trong không gian phức qua điều kiện hình học của điểm
biên.
ξ0 ∈ ∂M ∪{∞}. Giả sử rằng tồn tại ϕ và ψ là hai hàm đa điều hòa dưới peak
Định lý 2.2.1. [11] Cho M là một miền trong không gian phức X và
và antipeak địa phương tại ξ0. Hơn nữa, giả sử W ∩M là Zalcman đối với lân
cận hyperbolic Brody yếu W nào đó của ξ0 và tồn tại dãy {σp} ⊂ Aut(M )
sao cho lim σp(x0) = ξ0 với mỗi x0 ∈ M. Khi đó M là taut.
26
Chứng minh. (i) Theo bổ đề 2.2.1, ta có dãy {σp} hội tụ đều trên tập con
compact của M đến ξ0 khi M là đa đĩa đơn vị ∆N trong CN . Nhưng ta có
thể tổng quát điều này với một miền tùy ý.
(ii) Giả sử (cid:102)W là một lân cận compact tương đối của ξ0 trong W . Theo bổ
đề 2.2.1, tồn tại một lân cận W(cid:48) của ξ0 trong X + sao cho mỗi ánh xạ chỉnh
f (0) ∈ W(cid:48) ⇒ f (∆1/2) ⊂ (cid:102)W ∩ M.
hình f : ∆ → M thỏa mãn
Rút gọn W(cid:48) nếu cần thiết, ta có thể giả sử rằng W(cid:48) (cid:98) (cid:102)W. Giả sử {fk} là
dãy bất kỳ trong Hol(∆, M ) sao cho {fk(0), k ≥ 0} là compact tương đối
trong M . Khi đó, σ [{fk(0), k ≥ 0}] ⊂ W(cid:48) ∩ M với mỗi σ := σp ∈ Aut(M ). Ký hiệu σ ◦ fk là ˜fk. Khi đó (cid:101)fk(∆1/2) ⊂ (cid:102)W ∩ M với bất kỳ k ≥ 0.
), ∀z ∈ ∆.
gk(z) = (cid:101)fk(
z 2
Ta xác định ánh xạ chỉnh hình gk : ∆ → (cid:102)W ∩ M bởi
Do (cid:102)W ∩ M (cid:98) W ∩ M nên dãy {gk} là không phân kỳ compact. Giả sử
⊂
ρj → 0 sao cho
hj(z) = gj(zj + ρjz), z ∈ C,
(cid:110) (cid:111) (cid:110) (cid:111) dãy {gk} là không chuẩn tắc. Khi đó, do W ∩ M là không gian Zalcman , {ρj} ⊂ R+ với nên tồn tại dãy {zj} ⊂ ∆ với zj → z0 ∈ ∆, (cid:101)fk (cid:101)fj
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến một ánh xạ chỉnh hình khác
hằng h : C → W ∩ M .
Vì h(C) (cid:98) W và do tính hyperbolic Brody yếu của W nên ánh xạ h có thể
là hằng số, điều này là mâu thuẫn. Do đó, tồn tại một dãy con {gkl} ⊂ {gk}
Hol(∆, W ∩ M ). Điều đó kéo theo dãy { (cid:101)fkl|∆1/2} ⊂ Hol(∆1/2, W ∩ M )
hội tụ đều trên các tập con compact của ∆ đến một phần tử nào đó của
27
hội tụ đều trên các tập con compact của ∆1/2 đến phần tử nào đó của
Hol(∆1/2, W ∩ M ). Dãy con tương ứng
fkl |∆1/2= σ−1 ◦ ( (cid:101)fkl |∆1/2)
(cid:110) (cid:111) hội tụ
đều trên các tập con compact của ∆1/2 đến phần tử nào đó của Hol(∆1/2, M ).
Bằng quá trình chéo hóa ta thu được {fk} chứa một dãy con hội tụ đều trên
các tập con compact của ∆ đến phần tử nào đó của Hol(∆, M ).
Tiếp theo ta có các định lý hội tụ - thác triển đối với các ánh xạ chỉnh
2.3 Tính lồi đĩa yếu và các định lý hội tụ - thác triển đối với
ánh xạ chỉnh hình vào không gian phức Zalcman yếu.
hình vào không gian phức Zalcman yếu.
Trước hết ta có một số định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.1. [11] Giả sử X là một không gian con phức của không
{fn} ⊂ Hol(∆, Y ) thì dãy đó sẽ hội tụ trong Hol(∆, Y ), nếu dãy {fn |∆∗}
gian phức Y , X được gọi là lồi đĩa yếu đối với Y khi và chỉ khi với mỗi dãy
là nằm trong Hol(∆∗, X) và hội tụ trong Hol(∆∗, X), ở đây ∆∗ = ∆\ {0} .
Khi X = Y ta có khái niệm lồi đĩa yếu của không gian phức X.
Ví dụ 2.3.1. Nếu X là compact tương đối và là nhúng hyperbolic trong Y
thì X là lồi đĩa yếu đối với Y.
Định nghĩa 2.3.2. [11] Cho X là không gian con phức của không gian
K ⊂ X, tồn tại tập con compact L ⊂ Y thỏa mãn điều kiện: Với mọi f ∈ Hol(∆, Y ) ∩ C (cid:0)∆, Y (cid:1), nếu f (∂∆) ⊂ K thì f (cid:0)∆(cid:1) ⊂ L. Nếu
X = Y thì X được gọi là A- lồi đĩa.
phức Y. X được gọi là A- lồi đĩa đối với Y nếu với mọi tập con compact
Định lý sau cho ta thấy mối liên hệ giữa tính A- lồi đĩa, tính hyperbolic
28
yếu và tính lồi đĩa yếu.
Định lý 2.3.1. [8] Cho X là không gian con phức của không gian phức
hyperbolic Brody yếu Y sao cho X là A- lồi đĩa đối với Y. Khi đó X là lồi
đĩa yếu đối với Y .
Chứng minh. Giả sử {fn} ⊂ Hol(∆, Y ) sao cho dãy {fn |∆∗} hội tụ đều
fnk(∂∆s), với
trên các tập con compact tới ánh xạ f ∈ Hol(∆∗, X).
0 < s < 1. Dễ thấy rằng K là compact trong X.
Giả sử {fnk} là dãy con bất kỳ của dãy {fn} . Đặt K = ∪ k≥1
fnk(∂∆s) ⊂ L ⊂ Y.
∪ k≥1
Từ giả thiết suy ra tồn tại một tập con compact L sao cho
Vì Y là hyperbolic Brody yếu nên tập con compact L không chứa đường
thẳng phức. Do đó, từ định lý của Brody- Urata- Zaidenberg (xem [6]), tồn
{fnk |∆s} là đồng liên tục.
tại một lân cận hyperbolic W của L trong Y . Điều này kéo theo rằng họ
Mặt khác, vì {fnk(λ)} là compact tương đối với mỗi λ ∈ ∆s nên theo
fnkl
định lý Ascoli, họ {fnk : k ≥ 1} là compact tương đối trong Hol(∆s, Y ). (cid:110) (cid:111) Từ đó tồn tại dãy con của dãy {fnk}, hội tụ đều trên các tập con
compact tới ánh xạ F trong Hol(∆, Y ). Đẳng thức F |∆∗= f xác định F
một cách duy nhất, do đó không phụ thuộc vào việc chọn dãy con {fnk} của
dãy {fn}. Từ đó suy ra dãy {fn} hội tụ đều trên các tập compact tới ánh
xạ F trong Hol(∆, Y ). Vậy X là lồi đĩa yếu.
Tiếp theo ta khảo sát tính lồi đĩa yếu theo cách nhìn từ tính Zalcman
của không gian phức.
Ta có định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.3.3. [11] Cho X là không gian con phức của không gian
29
phức Y . X được gọi là Zalcman yếu đối với Y nếu với mỗi tập con compact
K ⊂ X, tồn tại một lân cận mở U của K trong Y thỏa mãn hai điều kiện
sau
(i) U là Zalcman; (ii) Với mỗi f ∈ Hol(∆, Y ) ∩ C (cid:0)∆, Y (cid:1), nếu f (∂∆) ⊂ K thì f (∆) ⊂ U .
Nếu X = Y thì X được gọi là Zalcman yếu.
Ví dụ 2.3.2. Mọi không gian con phức X của không gian phức Zalcman Y
là Zalcman yếu đối với Y .
Định nghĩa 2.3.4. [11] Cho X là một không gian con phức của không
gian phức Y . Ta nói rằng X có tính chất ∆∗− thác triển đối với Y nếu mọi
F : ∆ → Y . Nếu X có tính chất ∆∗− thác triển đối với chính nó thì X
ánh xạ chỉnh hình f : ∆∗ → X đều thác triển thành ánh xạ chỉnh hình
được gọi là có tính chất ∆∗− thác triển (gọi tắt là có tính ∆∗− thác triển
ký hiệu là ∆∗ − EP ).
Ví dụ 2.3.3. (i) Theo định lý của Kobayashi [4, ĐL 6.3.7, p.284], nếu X là
compact tương đối và là nhúng hyperbolic trong Y thì X có tính ∆∗ − EP
đối với Y .
(ii) Dễ dàng thấy từ định lý thác triển Riemann rằng nếu D là một miền
∆∗ − EP đối với Ω.
bị chặn trong Cn và Ω là một lân cận mở của D trong Cn khi đó D có tính
Định lý sau chỉ ra mối quan hệ giữa tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗−
thác triển tính Zalcman yếu và tính lồi đĩa yếu của không gian phức.
Định lý 2.3.2. [11] Cho X là một không gian con phức của không gian phức
hyperbolic Brody Y . Nếu X là Zalcman yếu đối với Y và có tính ∆∗ − EP
30
đối với Y thì X là lồi đĩa yếu đối với Y .
{fn |∆∗} ⊂ Hol(∆∗, X)
Chứng minh. Giả sử rằng {fn}n≥1 ⊂ Hol(∆, Y ) sao cho dãy
và hội tụ đều trên các tập con compact tới ánh xạ f ∈ Hol(∆∗, X). Vì X
∆∗.
có tính ∆∗ − EP đối với Y nên tồn tại g ∈ Hol(∆, Y ) sao cho g = f trên
Đặt x0 := g(0) ∈ X, lấy 0 < s < 1 và lấy một lân cận compact tương
đối (cid:101)K của f (∂∆s) trên X. Khi đó, tồn tại n0 ≥ 1 sao cho fn(∂∆s) ⊂ (cid:101)K với
mọi n ≥ n0.
Đặt K = {x0} ∪ (cid:101)K. Khi đó K là tập con compact của X. Do X là
Zalcman yếu đối với Y nên tồn tại lân cận mở Zalcman U của K trong Y
fn(∆s) ⊂ U với mọi n ≥ n0
thỏa mãn (ii) trong định nghĩa 2.3.3. Từ đó suy ra
Với mỗi n ≤ n0, ta xác định ánh xạ chỉnh hình (cid:101)fn : ∆ → U bởi
⊂ Hol(∆, U ). Dễ
n≥n0
(cid:110) (cid:111) (cid:101)fn(z) = fn(sz) với mỗi z ∈ ∆. Khi đó F = (cid:101)fn
thấy họ F là không phân kỳ compact.
Giả sử họ F là không chuẩn tắc, khi đó theo tính Zalcman của U suy
ρj > 0 và {ρj} → 0+ sao cho
gj(ξ) = fj(pj + ρjξ), ξ ∈ C
ra tồn tại các dãy {pj} ⊂ ∆ với {pj} → p0 ∈ ∆, {fj} ⊂ F , {ρj} ⊂ R với
g : C → U . Điều này là mâu thuẫn, vì Y không chứa đường thẳng phức.
hội tụ đều trên các tập con compact của C đến ánh xạ chỉnh hình khác hằng
∆ đến g trên Hol(∆, Y ).
Vì vậy F là chuẩn tắc. Do đó {fn} hội tụ đều trên các tập con compact của
31
Ta có các định lý hội tụ - thác triển đối với các ánh xạ chỉnh hình vào
không gian phức Zalcman yếu.
Định lý 2.3.3. [11] Cho X là không gian phức con của không gian phức
hyperbolic Brody Y sao cho X là không gian Zalcman yếu đối với Y và có
j=1 là một dãy của ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M \A tới ánh xạ chỉnh hình
tính ∆∗ − EP đối với Y . Giả sử A là siêu mặt giải tích không kỳ dị của đa tạp phức M . Giả sử {fj : M \A → X}∞
f : M \A → X. Khi đó tồn tại thác triển chỉnh hình duy nhất f j : M → Y và f : M → Y của fj và f lên M , và (cid:8)f j compact của M tới f .
(cid:9)∞ j=1 hội tụ đều trên các tập con
Chứng minh. Theo định lý 2.3.2, X là lồi đĩa yếu đối với Y .
(i) Ta chứng minh rằng mọi ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X thác triển
đến một ánh xạ chỉnh hình f : M → Y .
Bằng cách xét về địa phương, ta có thể giả sử rằng M = ∆m = ∆m−1 × ∆
và A = ∆m−1 × {0}.
fz(cid:48)(z) = f (z(cid:48), z), với mọi z ∈ ∆∗. Do giả thiết ta suy ra tồn tại thác triển
: ∆ → Y của fz(cid:48) với mỗi z(cid:48) ∈ ∆m−1. Xác định ánh xạ
Với mỗi z(cid:48) ∈ ∆m−1, xét ánh xạ chỉnh hình fz(cid:48) : ∆∗ → X được cho bởi
0, 0) ∈ ∆m−1 × ∆.
chỉnh hình f z(cid:48) f : ∆m−1 × ∆ → Y bởi f (z(cid:48), z) = f z(cid:48)(z) với mọi {(z(cid:48), z)} ∈ ∆m−1 × ∆. Ta chỉ cần chứng minh rằng f liên tục tại (z(cid:48)
k, zk)} ∈ ∆m−1 × ∆ sao cho {(z(cid:48)
k, zk)} → (z(cid:48)
0, 0) .
0. Khi đó dãy {σk |∆∗} hội tụ
Thật vậy, giả sử {(z(cid:48)
k, với mỗi k ≥ 1 và σ0 = ¯fz(cid:48)
Đặt σk = f z(cid:48)
đều tới ánh xạ {σ0 |∆∗} trong Hol(∆∗, X).
k, zk)(cid:9) → σ0(0) = f (z(cid:48)
0, 0) và do
Do X là lồi đĩa yếu đối với Y nên dãy {σk} hội tụ đều tới ánh xạ σ0
0, 0).
32
trong Hol(∆, Y ). Khi đó, (cid:8)σk(zk) = f (z(cid:48) đó f là liên tục tại (z(cid:48)
(ii) Giả sử {fk} ⊂ Hol(M \A, X) sao cho {fk} → f0 trên Hol(M \A, X). Ta sẽ chứng minh (cid:8)f k (cid:9) → f 0 trong Hol(M, Y ).
Bằng cách xét địa phương, ta có thể giả sử rằng M = ∆m = ∆m−1 × ∆
và A = ∆m−1 × {0}. Giả sử {(z(cid:48)
k, zk)} ⊂ ∆m−1 × ∆ là dãy bất kỳ hội tụ k, zk)(cid:9) hội tụ đến
0, z0) ⊂ ∆m−1 × ∆. Ta chứng minh rằng dãy (cid:8)f k(z(cid:48) 0, z0).
f 0 (z(cid:48)
đến (z(cid:48)
Thật vậy, với mỗi k ≥ 0 xét ánh xạ chỉnh hình ϕk : ∆ → X cho
k, zk)(cid:9) → ϕ0(z0) = f 0(z(cid:48)
0, z0).
bởi ϕk(z) = f k(z(cid:48) k, z), với mọi z ∈ ∆. Khi đó {ϕk |∆∗} → ϕ0 |∆∗ trong Hol(∆∗, X). Do X là lồi đĩa yếu đối với Y nên ta có {ϕk} → ϕ0 trong Hol(∆, Y ). Vì vậy (cid:8)ϕk(zk) = f k(z(cid:48)
Nhận xét 2.3.1. Sử dụng các kết quả ở trên, ta có :
Giả sử X là không gian con phức của không gian phức hyperbolic Brody
j=1 là một dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M \A tới ánh
yếu Y sao cho X là lồi đĩa yếu đối với Y . Giả sử A là siêu mặt giải tích không kỳ dị của đa tạp phức M . Cho {fj : M \A → X}∞
(cid:9)∞ j=1 hội tụ đều
xạ chỉnh hình f : M \A → X. Khi đó tồn tại các thác triển chỉnh hình duy nhất f j : M → Y và f : M → Y của fj và f lên M , và (cid:8)f j trên tập các con compact của M tới f .
Định lý 2.3.4. [11] Giả sử X là không gian con phức của không gian phức
hyperbolic Brody Y sao cho X là Zalcman yếu đối với Y và có tính ∆∗ −EP
đối với Y . Cho M đa tạp phức m chiều, và cho A là tập con không đâu trù
j=1 là một dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X. Khi đó
mật trong đa tạp con phức không kỳ dị B ⊂ M có chiều ≤ m − 1. Cho {fj : M \A → X}∞
33
tồn tại các thác triển chỉnh hình duy nhất f j : M → Y và f : M → Y của
fj và f lên M , và (cid:8)f j ánh xạ f .
(cid:9)∞ j=1 hội tụ đều trên các tập con compact của M tới
Chứng minh. Theo định lý 2.3.2, X là lồi đĩa yếu đối với Y .
(i) Ta chứng minh rằng mọi ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X thác triển
đến một ánh xạ chỉnh hình f : M → Y .
Lấy một điểm tùy ý a ∈ A, bằng cách xét địa phương ánh xạ f , ta có thể
giả sử rằng M = ∆m = ∆m−1 × ∆ và A = A(cid:48) × {0}, trong đó A(cid:48) là tập
z ∈ ∆m, ký hiệu z = (t, u) với t ∈ ∆m−1 và u ∈ ∆.
con không đâu trù mật của ∆m−1, và a = (t0, 0) ∈ A(cid:48) × {0}. Với mọi điểm
Giả sử dãy {aj = (tj, uj)} ⊂ (cid:0)∆m−1\A(cid:48)(cid:1) × ∆ hội tụ đến điểm a.
Xét các ánh xạ chỉnh hình fj : ∆ → X, u (cid:55)→ fj(u) = f (tj, u) với mỗi j ≥ 1,
và ft0 : ∆∗ → X, u (cid:55)→ ft0(u) = f (t0, u).
Dễ thấy rằng {fj |∆∗} → ft0 trên Hol(∆∗, X). Do X là lồi đĩa yếu đối
g |∆∗= ft0.
với Y nên dãy {fj} hội tụ đều đến ánh xạ chỉnh hình g ∈ Hol(∆, Y ), ở đó
Đặt g(0) = p ∈ X. Khi đó {fj(uj)} → g(0), tức là {f (aj)} → p. Do đó, dãy {f (aj)} hội tụ tới p với bất kỳ dãy {aj} ⊂ (cid:0)∆m−1\A(cid:48)(cid:1) × ∆ hội tụ đến a (∗). Chọn một lân cận compact tương đối Vp của p trên Y sao cho V p
được chứa trong một lân cận tọa độ địa phương chỉnh hình của p trong Y .
Do (∗) nên tồn tại một lân cận mở T0 ×U0 của a = (t0, 0) trong ∆m−1 ×∆
sao cho f ((T0\A(cid:48)) × U0) ⊂ Vp.
fu : ∆m−1 → X, t (cid:55)→ fu(t) = f (t, u)
Với mọi điểm u ∈ U0\ {0}, xét ánh xạ chỉnh hình
Vì fu(T0\A(cid:48)) ⊂ Vp nên ta suy ra fu(T0\A(cid:48)) = fu(T0) ⊂ V p.
34
Do đó f (T0 × (U0\ {0})) ⊂ V p. Theo định lý thác triển Riemann, ánh xạ
f thác triển chỉnh hình tới T0 × U0.
(ii) Lặp lại lý luận chứng minh như trong định lý 2.3.1, ta có thể chỉ ra
rằng nếu dãy {fk} ⊂ Hol(M \A, X) hội tụ đều địa phương đến ánh xạ f0 trong Hol(M \A, X), thì dãy (cid:8)f k (cid:9) hội tụ, đều địa phương tới f 0 trong Hol(M, Y ).
Hệ quả 2.3.1. Cho X là một không gian phức Zalcman yếu sao cho X có
tính ∆∗ −EP đối với Y . Cho M đa tạp phức m chiều, và giả sử A là tập con
j=1 là một dãy các ánh xạ chỉnh hình hội tụ đều trên các tập con compact của M \A tới ánh xạ chỉnh hình f : M \A → X. Khi
không đâu trù mật trong không gian con phức B ⊂ M có chiều ≤ m−1. Giả sử {fj : M \A → X}∞
(cid:9)∞ j=1 hội tụ đều trên các tập con compact của M
35
đó tồn tại các thác triển chỉnh hình duy nhất f j : M → Y và f : M → Y của fj và f lên M , và (cid:8)f j tới ánh xạ f .
Kết luận
Luận văn " Các định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh
hình vào không gian phức Zalcman yếu" trình bày được các kết quả
• Trình bày một vài lớp không gian Zalcman quan trọng và những tính
chính sau:
• Điều kiện cần và đủ về tính taut của một miền không bị chặn trong
chất cơ bản của không gian Zalcman.
• Mối quan hệ giữa tính hyperbolic Brody yếu, tính ∆∗- thác triển, tính
một không gian phức với nhóm tự đẳng cấu không compact.
• Định lý hội tụ - thác triển đối với ánh xạ chỉnh hình vào không gian
Zalcman yếu của không gian phức.
36
phức Zalcman yếu.
Tài liệu tham khảo
Tiếng Việt
[1] Phạm Việt Đức (2005), Mở đầu về lý thuyết các không gian phức Hy-
perbolic, NXB Đại Học Sư Phạm.
Tiếng Anh
[2] Duc. P. V (2003), "On weakly hyperbolic spaces and a convergencev-
vextension theorem in weakly hyperbolic spaces",Internat. J. Math.
14(10), 1015 - 1024.
[3] Gaussier. H (1999), "Tautness and complete hyperbolicity of domains
in Cn", Proc. Amer. Math.Soc. 127, 105-116.
[4] Kobayashi. S (1998), "Hyperbolic Complex Spaces", Springer-Verlag,
Grundlehren der Math. Wissenchaften, 318.
[5] Lang. S (1987), "Introduction to Complex Hyperbolic Spaces", Springer
Verlag.
[6] Noguchi. J and Ochiai. T (1990), "Geometric Function Theory in Sev-
eral Complex Variables", Transl. Math. Monogr, Amer. Math. Soc. 80.
[7] Thai. D. D (1991), "On the D∗− extension and the Hartogs extension",
Ann. della Scuo. Nor. Super.di Pisa, Sci. Fisi. e Mate., Ser. A 18, 13-
37
38.
[8] Thai. D. D, Mai. N. T. T and Son. N. T (2003), "Noguchi-type conver-
gence - extension theorems for (n,d)-sets", Ann. Pol. Math. 82, 189-201.
[9] Thai. D. D and Mai. P.N (2003), "Convergence and extension theorems
in geometric function theory", Kodai Math. Jour. 26,179-198.
[10] Thai. D. D, Trang. P. N. T and Huong. P. D (2003), "Families of normal
maps in several complex variables and hyperbolicity of complex spaces",
Complex Variables 48, 469-482.
[11] Trao. N. V and Trang. P. N. T (2007), "On Zalcman complex spaces
and Noguchi - type convergence - extension theorems for holomorphic
mappings into weakly Zalcman complex spaces", Act . Mathematica
38
VietNamtica,Volume 32, Number 1, 83 - 97.
