Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Pompeiu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:40

Thêm vào BST

Báo xấu

27
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày một số bài toán về tam giác và bất đẳng thức hình học. Cụ thể, nội dung chính của luận văn xoay quanh định lý cổ điển Pompeiu, nói rằng ba độ dài đoạn thẳng nối từ một điểm bất kì trong mặt phẳng đến ba cạnh của một tam giác đều lập thành ba cạnh của một tam giác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Định lý Pompeiu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ LUYẾN ĐỊNH LÝ POMPEIU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- VŨ THỊ LUYẾN ĐỊNH LÝ POMPEIU Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. Nguyễn Tất Thắng THÁI NGUYÊN - 2019
1 Mục lục MỞ ĐẦU 2 1 Định lý Pompeiu 3 1.1 Định lý Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Bất đẳng thức Ptolemy và Định lý Pompeiu . . . . . . . . . 8 1.3 Định lý đảo của định lý Pompeiu . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 Định lý Pompeiu tổng quát 14 2.1 Số phức . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 2.2 Định lý Pompeiu tổng quát . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.3 Công thức diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Tam giác đồng dạng thông qua số phức . . . . . . . . . . . 25 3 Ứng dụng của định lý Pompeiu 27 3.1 Điểm Fermat - Toricelli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.2 Một số bài toán về ba cạnh của tam giác . . . . . . . . . . 31 3.3 Bất đẳng thức hình học . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 KẾT LUẬN 36 Tài liệu tham khảo 37
2 MỞ ĐẦU Hình học phẳng là một nội dung cơ bản của Toán học và Toán sơ cấp nói riêng. Các bài toán về tam giác và về các bất đẳng thức hình học trong tam giác là các vấn đề phổ biến. Để giải quyết các bài toán đó, một số phương pháp được sử dụng như: phương pháp biến hình (phép quay, tịnh tiến, nghịch đảo,..), vẽ thêm hình và điểm mới,.. Bên cạnh đó việc sử dụng số phức cũng là một phương pháp rất hiệu quả, nhất là trong các bài toán bất đẳng thức hình học. Luận văn trình bày một số bài toán về tam giác và bất đẳng thức hình học. Cụ thể, nội dung chính của luận văn xoay quanh định lý cổ điển Pompeiu, nói rằng ba độ dài đoạn thẳng nối từ một điểm bất kì trong mặt phẳng đến ba cạnh của một tam giác đều lập thành ba cạnh của một tam giác. Các tính chất liên quan đến tam giác đó cũng được nghiên cứu; đồng thời phiên bản tổng quát của Định lý Pompeiu, định lí đảo của Định lí Pompeiu và một số ứng dụng của Định lí Pompeiu cũng được trình bày trong luận văn này. Nội dung chính của luận văn gồm 3 Chương: Chương 1: Trình bày Định lý Pompeiu và định lý đảo của nó. Chương 2: Trình bày tổng quát hóa của Định lý Pompeiu. Chương 3: Trình bày ứng dụng của Định lý Pompeiu. Một số vấn đề liên quan đến bài toán tam giác cũng được nhắc đến. Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Tất Thắng. Qua đây, em xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc đến thầy giáo, người hướng dẫn khoa học của mình. TS. Nguyễn Tất Thắng, người đã đưa ra đề tài và tận tình hướng dẫn trong suốt quá trình nghiên cứu của em. Đồng thời em cũng chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Tin học trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã trang bị kiến thức cho em trong thời gian học tập tại trường, tạo mọi điều kiện cho em về tài liệu và thủ tục hành chính để em hoàn thành luận văn này.
3 Chương 1 Định lý Pompeiu Ba đoạn thẳng lập thành ba cạnh của một tam giác nếu tổng độ dài hai cạnh lớn hơn độ dài cạnh thứ ba. Trong Chương này chỉ ra một cách dựng ba cạnh của một tam giác. 1.1 Định lý Pompeiu Định lý 1.1. (Định lý Pompeiu, xem [5]). Cho tam giác đều ABC và M là một điểm trên mặt phẳng chứa tam giác đó. Khi đó M A, M B và M C lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác. Tam giác đó suy biến khi và chỉ khi điểm M nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác. Trong mục này ta sẽ chứng minh nửa đầu của định lý trên, phần còn lại sẽ chứng minh trong mục sau.
4 π Thực hiện phép quay tâm C , góc biến A thành B . Gọi M 0 là ảnh của 3 M qua phép quay ấy. Từ đó M A = M 0 B và M M 0 = M C. Vậy ∆M 0 M B có ba cạnh với độ dài là M B, M C, M A. Định nghĩa 1.1. Với các kí hiệu như trong Định lý 1.1, ta gọi tam giác với độ dài ba cạnh M A, M B , M C là tam giác Pompeiu. Nhận xét 1.1. Theo cách chứng minh của Định lý 1.1, khi M thuộc miền trong của ∆ABC thì tam giác Pompeiu có thể xây dựng một cách tường minh. Định lý 1.2. (Định lý Tabrica, xem [7] ). Cho tam giác đều AB C và M là một điểm nằm miền trong của tam giác. Khi đó các góc và diện tích của tam giác Pompeiu được tính như sau ◦ \ ◦ \ ◦ √C − 60 , CM A − 60 , AM B − 60 , (a) Ba góc của tam giác là BM \ 1 3 (b) Diện tích bằng S∆ABC − |M O|2 , trong đó O là tâm của tam giác 3 4 ABC . Bổ đề 1.1. Cho ∆ABC , với G là trọng tâm của tam giác. Cho M bất kì, ta có: 1 M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + AB 2 + BC 2 + CA2 . 3 Chứng minh. Ta có −−→ −−→ −−→ M A2 + M B 2 + M C 2 = M A2 + M B 2 + M C 2 −−→ −→2 −−→ − −→2 −−→ −→2 = M G + GA + M G + GB + M G + GC −−→ −−→ −→ −→ −−→ −−→ −−→ = M G2 + 2M G.GA + GA2 + M G2 + 2M G.GB −−→ −−→ −−→ −→ −→ + GB 2 + M G2 + 2M G.GC + GC 2 −−→ −−→ −→ −−→ −→ = 3M G2 + 2M G. GA + GB + GC −→ −−→ −→ + GA2 + GB 2 + GC 2 −−→ −−→ → − −→ −−→ −→ = 3M G2 + 2M G. 0 + GA2 + GB 2 + GC 2 −−→ −→ −−→ −→ = 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 . Suy ra M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + GA2 + GB 2 + GC 2 . (1.1) Mà 2 " # 2 2 2 − BC 2 4 4 2 AB + AC GA2 = AA0 = AA02 = . 3 9 9 4
5 Trong đó AA’ là trung tuyến kẻ từ đỉnh A của tam giác ABC Vậy 2 2 1 GA2 = AB 2 + AC 2 − BC 2 . 9 9 9 Tương tự 2 2 1 GB 2 = AB 2 + BC 2 − AC 2 , 9 9 9 2 2 1 GC 2 = AC 2 + BC 2 − AB 2 . 9 9 9 Suy ra 1 GA2 + GB 2 + GC 2 = AB 2 + BC 2 + CA2 . (1.2) 3 Thay (1.2) vào (1.1) ta có 1 M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 + AB 2 + BC 2 + CA2 . 3 Chứng minh Định lý Tabrica. (a) Gọi N là điểm trên mặt phẳng ∆ABC sao cho ∆BN M là tam giác đều và tia BC nằm giữa hai tia BM và BN . Xét hai tam giác AM B và BN C , ta có AB = BC, BM = BN và M \BA = 60◦ − M\ BC = CBN \. Vậy ∆AM B = ∆BN C(c.g.c). Do vậy AM = CN, tức là ∆N M C là một tam giác Pompeiu. Ta có CM \ N = CM\ B−N \ M B = CM \ B − 60◦ , CN \ M = CN\ B−M \ N B = CN \ B − 60◦ = AM \ B − 60◦ .
6 và M \ CN = 180◦ − (CM \ N + CN \ M) = 180◦ − (CM \ B − 60◦ + AM \ B − 60◦ ) = AM \ C − 60◦ . (b) Từ phần (a), suy ra 1 S∆CM N = CM.M N. sin CM \ N 2 1 ◦ = CM.BM. sin CM B − 60 \ 2 √ ! 1 1 3 = CM.BM. sin CM \ B. − cosCM \B. 2 2 2 √ 1 3 = CM.BM. sin CM \ B− .CM.BM. cos CM \ B 4 √ 4 1 3 CM 2 + BM 2 − a2 , = S∆CM B − 2 8 với a = BC = CA = AB. Tương tự ta cũng chứng minh được √ 1 3 CM 2 + M A2 − a2 . S∆CM N = S∆CM A − 2 8 và √ 1 3 BM 2 + M A2 − a2 . S∆CM N = S∆BM A − 2 8 Cộng ba đẳng thức trên, ta được √ 1 3 2M A2 + 2M B 2 + 2M C 2 − 3a2 . 3S∆CM N = S∆ABC − 2 8 Mặt khác, ta có công thức Leibniz cho ∆ABC với trọng tâm G và điểm M 1 M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M G2 +AB 2 + BC 2 + CA2 . 3 Khi ∆ABC đều và G ≡ O (tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác) và a2 = AB 2 = BC 2 = AC 2 , thì M A2 + M B 2 + M C 2 = 3M O2 + a2 .
7 Do đó, ta được √ 1 3 6M O2 + 2a2 − 3a2 3S∆CM N = S∆ABC − 2 √8 √ 1 3.6 3 2 = S∆ABC − M O2 + a. 2 8 8 √ 3 2 Hơn nữa S∆ABC = a , nên 4 √ 1 3 3 1 3S∆CM N = S∆ABC − M O2 + S∆ABC . 2 4 2 √ 3 3 = S∆ABC − M O2. 4 Định lý 1.3. (Định lý Van Schooten, xem [8]). Cho điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp tam giác đều ABC . Khi đó đoạn dài nhất trong ba đoạn thẳng P A, P B , P C có độ dài bằng tổng độ dài hai cạnh còn lại. Chứng minh. Giả sử điểm P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC . Thực hiện phép quay tâm B góc 60◦ biến điểm C thành điểm A, vì AP \ B = 60◦ nên phép quay trên biến điểm P thành P 0 thuộc tia P A. Ta có tam giác P P 0 B đều, vì vậy P 0 nằm trên đoạn P A. Xét hai tam giác AP 0 B và CP B , ta có AB = BC, P \ 0 AB = BCP \. Ngoài ra
8 ABP \ (vì cùng bằng 60◦ − P\ \0 = CBP 0 BC ). Do vậy ∆AP 0 B = ∆CP B. Suy ra AP 0 = CP. Vậy P A = P P 0 + P 0 A = P B + P C. 1.2 Bất đẳng thức Ptolemy và Định lý Pompeiu Bất đẳng thức Ptolemy liên hệ độ dài đường chéo với độ dài cạnh của một tứ giác. Từ bất đẳng thức Ptolemy cũng suy ra Định lý Pompeiu và do đó cũng cho một chứng minh khác của định lý này. Định lý 1.4. (Định lý Ptolemy, xem [4]). Nếu A, B , C , D là 4 đỉnh của một tứ giác lồi nội tiếp đường tròn thì AC.BD = AB.CD + BC.AD. Nhận xét 1.2. Định lý này cũng có thể phát biểu thành định lý thuận và đảo - Thuận: Nếu một tứ giác nội tiếp trong một đường tròn thì tích của hai đường chéo bằng tổng các tích của các cặp cạnh đối diện. - Đảo: Nếu một tứ giác thỏa mãn điều kiện tổng các tích của các cặp cạnh đối diện bằng tích của hai đường chéo thì tứ giác đó nội tiếp một đường tròn. Chứng minh Định lý Ptolemy.
9 Gọi ABCD là tứ giác nội tiếp đường tròn. Trên cung nhỏ BC , ta có các góc nội tiếp BAC \ = BDC \ và trên cung AB ta có ADB \ = ACB.\ Lấy một điểm K trên đoạn AC sao cho ABK \ = CBD.\ Từ ABK \ + CBK \ = ABC \ = CBD \ + ABD,\ suy ra CBK \ = ABD. \ Do vậy ∆ABK v ∆DBC và tương tự ∆ABD v ∆KBC. Suy ra AK CD = AB BD và CK DA = . BC BD Từ đó AK.BD = AB.CD và CK.BD = BC.DA. Cộng hai vế của hai đẳng thức trên, ta được AK.BD + CK.BD = AB.CD + BC.AD hay (AK + CK) · BD = AB.CD + BC.DA. Mà AK + CK = AC nên AC.BD = AB.CD + BC.DA. Định lý 1.5. (Xem [4]) Nếu ABCD là một tứ giác bất kì thì AB.CD + BC.DA ≥ AC.BD. Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi tứ giác ABCD nội tiếp trong một đường tròn. Chứng minh.
10 Sử dụng tính chất tam giác đồng dạng và bất đẳng thức tam giác. Dựng điểm E sao cho ∆BCD v ∆BEA. Khi đó theo tính chất của tam giác đồng dạng, ta có BA BD = . EA CD Suy ra BA.CD = EA.BD. (1.3) Mặt khác, ∆EBC v ∆ABD, do có BA BE = và EBC \ = ABD. \ BD BC Từ đó EC AD = BC BD suy ra AD.BC = EC.BD. (1.4) Cộng (1.3) với (1.4) ta suy ra AB.CD + AD.BC = BD.(EA + EC). Áp dụng bất đẳng thức tam giác ta suy ra AB.CD + BC.DA ≥ AC.BD. Hệ quả 1.1. (Định lý Pompeiu) Cho ∆ABC đều và M nằm ngoài tam giác đó. Khi đó M A, M B , M C lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác. Chứng minh. Không mất tính tổng quát, giả sử M nằm trong góc tạo bởi tia AB và AC . Áp dụng bất đẳng thức Ptolemy cho tứ giác ABM C cho ta nhận ngay được điều cần chứng minh. Định lý Van Schooten có thể mở rộng như sau Định lý 1.6. (Xem [8]) Cho ∆ABC và điểm P nằm trên đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Kí hiệu a, b, c là độ dài ba cạnh của tam giác ABC và da , db , dc là khoảng cách từ P đến BC , CA, AB . Khi đó một trong ba a b c đại lượng , , bằng tổng của hai đại lượng còn lại. da db dc Ta cần chứng minh bổ đề sau
11 Bổ đề 1.2. Trong tam giác ABC, ta có bc h= 2R trong đó h là độ dài đường cao của ∆ABC kẻ từ A, b = AC , c = AB và R là bán kính đường tròn ngoại tiếp tam giác. Chứng minh. Ta có: ah = bc. sin A b = 2.S∆ABC . Theo định lý hàm số sin a = 2R. sin A. b Do đó 2R.h. sin A b = bc. sin A. b Từ đó suy ra điều phải chứng minh. Chứng minh Định lý 1.6. Từ Bổ đề 1.2 ta có P B.P C da = . 2R Tương tự đối với db , và dc do đó a a a.P A.2R = .2R = da P B.P C P A.P B.P C b b b.P B.2R = .2R = db P A.P C P A.P B.P C c c c.P C.2R = .2R = dc P A.P B P A.P B.P C Không mất tính tổng quát, giả sử điểm P nằm trên cung nhỏ BC của đường tròn ngoại tiếp ∆ABC . Theo Định lý Ptolemy, ta có a.P A = b.P B + c.P C. Thay các đẳng thức trên vào ta được a b c = + . da db dc Nhận xét 1.3. Từ chứng minh trên, ta có nếu a = b = c thì a b c P A = P B + P C khi và chỉ khi = + . da db dc Do vậy Định lí 1.6. có thể xem như một mở rộng của Định lý Van Schooten.
12 Định lý 1.7. (Xem [8]) Cho đa giác X1 X2 ...Xn (n > 2) nội tiếp đường tròn (C). Cho P là một điểm bất kì trên (C). Kí hiệu aij = Xi Xj , dij là khoảng cách từ P đến Xi Xj . aij Rij = . dij Giả sử P thuộc cung nhỏ X1 X2 . Khi đó R12 = R23 + R34 + . . . + R(n−1)n + Rn1 . Chứng minh. Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp theo n. Với n = 3, định lý được khẳng định theo định lý trên. Giả sử định lý trên đúng với n = k − 1, k > 3. Ta cần chứng minh định lý đúng cho đa giác k cạnh X1 X2 ...Xk . Đa giác này chia đường tròn thành k cung, giả sử P thuộc cung nhỏ X1 X2 . Xét tam giác X1 X2 X3 có P thuộc cùng X1 X2 của đường tròn ngoại tiếp tam giác. Đa giác X1 X3 X4 ...Xk là đa giác (k − 1) cạnh nội tiếp và P thuộc cung X1 X3 của đường tròn ngoại tiếp tam giác đó. Theo giả thiết quy nạp, ta có R13 = R34 + R45 + . . . + Rk1 . Trong ∆X1 X2 X3 , ta cũng có R12 = R23 + R13 , từ đó suy ra R12 = R23 + R34 + R45 . . . + Rk1 . Vậy đẳng thức cũng đúng với n = k . Theo nguyên lý quy nạp ta có điều cần chứng minh. 1.3 Định lý đảo của định lý Pompeiu Định lý Pompeiu nói rằng với tam giác đều và điểm M bất kỳ trên mặt phẳng thì M A, M B , M C lập thành độ dài ba cạnh của một tam giác. Trong mục này ta chỉ ra rằng giả thiết tam giác đều không thể bỏ qua. Mệnh đề 1.1. Cho ∆ABC không đều. Khi đó tồn tại một điểm K trên mặt phẳng sao cho KA, KB, KC không tạo thành ba cạnh của một tam giác. Chứng minh.
13 Vì ∆ABC không đều, không mất tính tổng quát, ta giả sử BC > AC ≥ AB. Chọn D trên cạnh CB sao cho CD = AB. Gọi E là trung điểm của DB. Lấy F ∈ EB , G ∈ BA sao cho BG = BF. Lấy H ∈ GB , CH cắt đường tròn (B, BG) tại I . Lấy K ∈ IH. Ta chọn K đủ gần H sao cho KH < HB. Khi đó AK < AH + KH < AH + HB = AB = CD. Ta cũng có KB < F B ≤ ED, nên AK + KB < CD + EB = EC, AK < AB = CD, KB < F B < ED. Suy ra AK + KB < CD + EB = CE. Tuy nhiên CK > CI > CF (Vì CI + IB > CB = CF + F B ), CF > CE > AK + KB, do đó KA, KB , KC không thể là độ dài ba cạnh của một tam giác.
14 Chương 2 Định lý Pompeiu tổng quát Chương này trình bày mở rộng của Định lý Pompeiu. Theo Mệnh đề 1.1 thì ba đoạn thẳng nối từ một điểm trên mặt phẳng đến ba đỉnh của một tam giác không đều thì không là ba cạnh của một tam giác. Tuy nhiên, nếu ta nhân thêm ba cạnh của một tam giác nhất định với ba đoạn thẳng đó thì sẽ thu được ba cạnh của một tam giác. Ngoài ra, một kết quả tương tự của Định lý Pompeiu cho trường hợp đa giác đều cũng được trình bày trong Chương này. Công cụ chính được sử dụng trong Chương này là số phức. 2.1 Số phức Khái niệm số phức Số phức là biểu thức có dạng z = a + bi trong đó a, b là các số thực, i là đơn vị ảo, i2 = −1. Ta nói a là phần thực (kí hiệu a = Rez ), b là phần ảo của z (kí hiệu b = Imz ). Tập hợp tất cả các số phức (trường số phức) được kí hiệu là C và nhận R là trường con. Nhận xét - Mỗi số thực a được xem như là số phức với phần ảo b = 0 - Số phức z = a + bi ta có a = 0 được gọi là số thuần ảo của z hay là số ảo Mặt phẳng phức Trong hệ tọa độ Descartes, có thể dùng trục hoành chỉ tọa độ phần thực còn trục tung cho tọa độ phần ảo để biểu diễn một số phức z = x + iy . Khi đó mặt phẳng tọa độ được gọi là mặt phẳng phức. Các phép toán trên trường số phức
15 Cho hai số phức z1 = a + bi và z2 = c + di. - Hai số phức bằng nhau ( a = c, a + bi = c + di ⇔ b = d. - Tổng của hai số phức z = z1 + z2 = (a + c) + (b + d)i. Số phức 0 = 0 + i là số phức duy nhất thỏa mãn z + 0 = 0 + z = z , với mọi số phức z . - Hiệu của hai số phức Với mọi số phức z = a + bi, số phức đối −z := (−a) + (−b)i là số phức duy nhất mà z + (−z) = (−z) + z = 0. Khi đó z = z1 − z2 = (a − c) + (b − d)i. - Tích của hai số phức z = z1 .z2 = (ac − bd) + (ad − bc)i. Tồn tại duy nhất của một số phức 1 := 1 + 0i mà z.1 = 1.z = z , với mọi số phức z . - Thương của hai số phức Nghịch đảo của số phức z = a + bi 6= 0 là số phức 1 1 a − bi a b = = = 2 − i. z a + bi (a + bi)(a − bi) a + b2 a2 + b2 Khi đó z1 a + bi (a + bi)(c − di) z= = = z2 c + di (c + di)(c − di) ac + bd + (bc − ad)i ac + bd (bc − ad)i = = 2 + 2 . c2 + d2 c + d2 c + d2 Số phức liên hợp Số phức a − bi được gọi là số phức liên hợp của số phức z = a + bi (a, b ∈ R) và được kí hiệu là z. Từ định nghĩa các phép toán của hai số phức và định nghĩa số phức liên hợp, ta suy ra một số tính chất của số phức liên hợp. Mệnh đề 2.1. Một số tính chất của số phức liên hợp
16 1) z.z = a2 + b2 là một số thực. 2) z + z 0 = z + z 0 . 3) z.z 0 = z.z 0 . Môđun và acgumen Cho z = a + bi. Giả sử M (a; b) là điểm biểu diễn số phức z = a + bi −−→ trên mặt phẳng tọa độ. Độ dài của véctơ OM chính là môđun của số phức z . Kí hiệu là
|z|.