Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

71
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá trình bày một số vấn đề cơ bản về C* đại số và K –lý thuyết của chúng; Tôpô phân lá và K – lý thuyết của phân lá; k – lý thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến T2 và phân lá kim cương thực.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: K-Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD-Phân lá

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Hiếu Thảo Chuyên ngành : Hình học và tôpô Mã số : 60 46 10 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. LÊ ANH VŨ Thành phố Hồ Chí Minh – 2009
DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU A B hợp rời của A và B Ab phạm trù các nhóm aben A hoặc A   đại số bổ sung đơn vị của   đại số A  A  A H tích xiên của A và H bởi tác động  C( X )   đại số các hàm phức liên tục trên X C  (V , F )   đại số liên kết với phân lá (V , F ) Cc ( H , A) các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A C0 (, A)   đại số các hàm liên tục từ  vào A triệt tiêu ở vô cùng C0 ( X )   đại số các hàm phức liên tục trên X triệt tiêu ở vô cùng Ext ( B, J ) KK  nhóm của Kasparov S không gian đối ngẫu của không gian S  không gian Hilbert Index A chỉ số của *  đại số A k ( )   đại số các toán tử compact trên  K i ( A) K i  nhóm của   đại số A (  ) các toán tử tuyến tính bị chặn trên  L2 () không gian các hàm thực bình phương khả tích M n ( A) đại số các ma trận vuông cấp n trên đại số A 2 xuyến hai chiều (V , F ) phân lá F trên đa tạp V Xˆ compact hóa một điểm của không gian X
MỞ ĐẦU 1. Lí do chọn đề tài Đa tạp phân lá là một nhánh tương đối mới mẻ thuộc lĩnh vực Hình học vi phân. Mặc dù ở địa phương, mọi phân lá k chiều trên một đa tạp vi phân n chiều đều hoàn toàn giống nhau  cụ thể là chúng luôn có “dáng điệu” của phân lá tầm thường nhưng trên toàn cục thì chúng có thể rất khác nhau. Bởi thế, khi nghiên cứu phân lá, ta chỉ quan tâm đến các vấn đề toàn cục, tức là nghiên cứu những yếu tố bất biến qua các phép tương đương tôpô. Chẳng hạn như tìm hiểu số các lá đóng, lá tuần hoàn, lá trù mật hay lá compact, ... của từng kiểu phân lá. Một yếu tố phản ánh khá tốt thông tin của phân lá (V , F ) là không gian lá V F của phân lá đó. Tuy nhiên, dù các đa tạp phân lá có tôpô tốt (do có cấu trúc vi phân), nhưng không gian lá của nó thường lại rất xấu, có thể không Hausdorff, thậm chí là không nửa tách. Mà ta đã biết, khi tính K  lý thuyết hình học của một không gian tôpô X , ta hay thay X bởi một   đại số C0 ( X ) . Với tôpô xấu của V F thì cách thay thế này không còn phù hợp vì C0 (V F ) không cho ta thông tin cần thiết về phân lá (V , F ) . Đây là một cản trở lớn trong nghiên cứu tôpô phân lá. Để khắc phục nhược điểm trên, Alain Connes đã liên kết chính tắc một phân lá (V , F ) với một   đại số C  (V , F ) nhưng vẫn cho ta thông tin cần thiết về phân lá (V , F ) . Cần chú ý rằng trong trường hợp phân lá cho bởi phân thớ p : V  B (có không gian lá là B với tôpô tốt) thì K  lý thuyết của C  (V , F ) chính là K  lý thuyết hình học của không gian lá V F  B như thông thường. Khái niệm   đại số có nguồn gốc vật lý và do Gelfand – Naimark đưa ra năm 1943. Việc mô tả các   đại số cũng hết sức khó khăn. Một trong những phương pháp mô tả hiệu quả các   đại số là phương pháp K  hàm tử do Đỗ Ngọc Diệp đưa
ra vào năm 1974. Nhờ phương pháp này các nhà toán học đã mô tả được khá nhiều các   đại số. Việc dùng phương pháp K  hàm tử để mô tả   đại số liên kết của một phân lá gọi là K  lý thuyết của phân lá đó. Ta đã biết K  lý thuyết của một số phân lá đơn giản đã được giải quyết. Năm 1980, Pimsner và Veiculeseu đã tính K  lý thuyết của phân lá Kronecker. Ngay sau đó,   đại số liên kết của phân lá Reeb trên S 3 cũng được mô tả. Năm 1984, A. M. Torpe đã giải quyết cho các phân lá Reeb trên 2 . Đến năm 1990, Lê Anh Vũ cũng thành công trong trường hợp phân lá tạo bởi các K  quĩ đạo chiều cực đại của lớp nhóm Lie MD 4 . Sau khi tìm hiểu và nhìn nhận vấn đề, chúng tôi thấy thú vị với việc mô tả   đại số tương ứng của phân lá bằng phương pháp K  hàm tử và nó vẫn là việc làm mở đối với nhiều phân lá. Vì vậy, với luận văn tốt nghiệp này, chúng tôi quyết định tìm hiểu công việc trên và đã chọn đề tài “ K  Lý thuyết đối với không gian phân lá của phân lá Reeb và một vài MD  phân lá”. 2. Nội dung và phương pháp nghiên cứu Nội dung chính của luận văn là tìm hiểu kĩ thuật tính K  lý thuyết của Torpe cho một số phân lá đơn giản trên trụ [0,1]  S 1 và trên xuyến 2 . Ngoài ra, vì các phân lá này đều nhận được bởi tác động của nhóm Lie  và khi tính K  lý thuyết thì các   đại số liên kết với chúng đều nhúng được chính tắc vào một mở rộng một tầng. Nên chúng tôi đã mở rộng hơn phạm vi các phân lá bởi việc tìm hiểu công trình của Lê Anh Vũ về K  lý thuyết của phân lá kim cương thực. Phân lá này là một MD  phân lá được cho bởi tác động của  2 và   đại số của nó không nhúng được vào một mở rộng đơn mà phải dùng đến dãy mở rộng lặp hai tầng. Về phương pháp nghiên cứu, trước tiên chúng tôi phân tích một số công trình nghiên cứu có liên quan để khái quát được con đường chung của quá trình tính K  lý
thuyết của một phân lá. Sau đó chúng tôi cố gắng cụ thể hóa quy trình chung đó cho một số phân lá cụ thể để từ đó vấn đề được sáng tỏ hơn. 3. Ý nghĩa khoa học của luận văn Đến nay số lượng công trình về tính K  lý thuyết của phân lá còn khá khiêm tốn, K  lý thuyết của rất nhiều phân lá vẫn chưa được nghiên cứu. Do vậy, luận văn ít nhiều cung cấp được các kiến chuẩn bị hữu ích cho những độc giả mới bắt đầu tìm hiểu K  lý thuyết của phân lá. Đồng thời với việc mô tả các   đại số bằng phương pháp K  hàm tử, ở gốc độ nào đó luận văn tiếp cận được một số vấn đề của đại số toán tử. 4. Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần mở đầu, 3 chương nội dung và phần kết luận. Phần mở đầu: Khái quát lịch sử và nội dung vấn đề, cũng như phạm vi và phương pháp nghiên cứu đề tài. Chương 1: Gồm một số vấn đề cơ bản về   đại số và K –lý thuyết của chúng. Ở đây chúng tôi chỉ trình bày các vấn đề và tính toán cần thiết cho chương 3. Chương 2: Gồm một số vấn đề về tôpô phân lá và K –lý thuyết của phân lá. Chương này cũng đóng vai trò cung cấp các kiến thức chuẩn bị cho chương 3. Chương 3: Chương này chứa nội dung chính của luận văn, trình bày K –lý thuyết của các thành phần Reeb, vài phân lá trên xuyến 2 và phân lá kim cương thực. Phần kết luận: Chúng tôi khái quát lại các vấn đề đã làm trong luận văn và nêu lên hướng nghiên cứu mà chúng tôi sẽ tiếp tục sau khi hoàn thành luận văn này. 5. Ký hiệu trong luận văn Các ký hiệu được dùng trong luận văn này hoặc là các ký hiệu thông dụng có liệt kê trong Danh mục các ký hiệu hoặc sẽ được giải thích khi dùng lần đầu. Để trích dẫn một kết quả hay tài liệu tham khảo, chúng tôi cũng viết theo các quy cách chung. Chẳng hạn, nếu ghi “2.1.3” có nghĩa là tiểu mục 3 trong mục 1 ở chương 2, còn nếu ghi “[1, tr.44  45]” tức là chỉ từ trang 44 đến trang 45 của tài liệu tham khảo số 1.
Chương 1 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ K  LÝ THUYẾT CỦA   ĐẠI SỐ Trong chương này, phần đầu chúng tôi trình bày tóm tắt một số kiến thức chuẩn bị về   đại số cần thiết cho các tính toán ở các chương 2 và 3. Bên cạnh đó, cùng với việc xây dựng các K  nhóm và các dãy khớp K  nhóm, chúng tôi có tính chi tiết các K  nhóm của một vài   đại số như  , C ( S 1 ) , C0 () hay M n () . Đây chính là xuất phát điểm để chúng tôi tính toán các K  nhóm được đề cập đến trong phần chính của luận văn. Một trình bày đầy đủ hơn về nội dung của chương này, độc giả quan tâm có thể tham khảo trong [4], [5], [10] và [12]. 1.1 Một số vấn đề về   đại số Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả các ví dụ kinh điển về   đại số cùng với hai dạng tích thớ và tích xiên của nó. Các   đại số liên kết của các phân lá được xét đến trong luận văn của chúng tôi đều có một trong hai dạng này. 1.1.1 Định nghĩa (xem [10, tr.35  37]) Một   đại số A là một đại số Banach trên trường số phức  cùng với ánh xạ đối hợp  : A  A, x  x thỏa mãn các tính chất sau: (i) Với x, y  A,   , ta có: ( x  y )  x  y , ( xy )  y  x , ( x)   x và ( x )  x . 2 2 (ii) Thỏa   đồng nhất x* x  x (điều này tương đương với x x*  x ). Một ánh xạ tuyến tính bị chặn  : A  B giữa các   đại số được gọi là một   đồng cấu nếu với x, y  A , ta có  ( xy )   ( x) ( y ) và  ( x )   ( x) . Từ   đồng nhất ta suy ra  bị chặn với chuẩn  1 .
1.1.2 Các ví dụ (i) Đại số M n () là một   đại số nếu xét các ma trận như là các toán tử trên  không gian Euclide  n , và dùng chuẩn toán tử f  sup f (v) : v   n , v  1 cho  các ma trận. Còn ánh xạ đối hợp chính là phép chuyển vị và liên hợp  : A  A . (ii) Không gian () các toán tử tuyến tính bị chặn trên không gian Hilbert  là một   đại số với ánh xạ đối hợp  : x  x là toán tử phụ hợp của toán tử x :   . (iii) Xét không gian Hausdorff compact địa phương X , không gian C0 ( X ) các hàm liên tục nhận giá trị phức trên X triệt tiêu ở vô cùng làm thành một   đại số giao hoán với phép nhân, phép cộng và phép đối hợp theo từng điểm. C0 ( X ) có đơn vị nhân khi và chỉ khi X compact. Tuy nhiên trường hợp X Hausdorff compact địa phương thì C0 ( X ) vẫn có phần tử đơn vị xấp xỉ như sau: Xét tập định hướng các tập con compact của X , với mỗi tập compact K ta ký hiệu f K là hàm đồng nhất 1 trên K . Các hàm như vậy tồn tại theo định lí mở rộng Tietze và X luôn được phủ bởi các tập compact K như thế, ta gọi { f K }K là phần tử đơn vị xấp xỉ của   đại số C0 ( X ) . Ta có kết quả quan trọng về các   đại số như sau: Định lí Gelfand  Naimark. A là một   đại số giao hoán có đơn vị nếu và chỉ nếu A  C ( X ) ,   đại số các hàm phức liên tục trên không gian Hausdorff compact X . Và A là một   đại số nếu và chỉ nếu A   đẳng cấu với một   đại số con đóng của () ,   đại số các toán tử bị chặn trên một không gian Hilbert  . (iv) Xét  là không gian Hilbert vô hạn chiều khả tách. Đại số k ( ) các toán tử compact trên  là một đại số con đóng với chuẩn của   đại số () . k ( ) cũng đóng với phép đối hợp nên nó cũng là một   đại số.
1.1.3 Tích xiên (xem [4, tr.175  177]) Cho A là một   đại số, H là nhóm Lie compact địa phương và  : H  AutA là một tác động liên tục của H lên A . Tức là với mỗi h  H ,  h  AutA là một   tự đẳng cấu của A và với mỗi a  A , ánh xạ h   h (a ) liên tục theo chuẩn. Khi đó, ta xác định một   đại số A  A H gọi là tích xiên của A và H bởi tác động  như sau: Xét không gian véctơ Cc ( H , A) (các hàm phức liên tục có giá compact từ H vào A) với phép nhân và phép đối hợp như sau ( dh là độ đo Haar trái trên H ):   f1. f 2 (h)   f1 (h1 ). h1 f 2 (h11h) dh1 , với f1 , f 2  Cc ( H , A), h  H ,   f  (h)   (h) 1. h f (h 1 ) , với đồng cấu  : H  * , d (h 1 )   (h).d (h) . Khi đó Cc ( H , A) là một   đại số. Ta sẽ xây dựng một chuẩn trên Cc ( H , A) . Một biểu diễn hiệp biến  của ( A,  ) là một cặp gồm một biểu diễn unita  A của A và một biểu diễn  H của H trên một không gian Hilbert sao cho:  H (h). A (a). H (h 1 )   A  h (a)  , h  H , a  A Với mỗi  ta định nghĩa một biểu diễn đối hợp  của Cc ( H , A) như sau:  ( f )    A  f (h)  . H (h)dh, f  Cc ( H , A) Khi đó ta định nghĩa A là   đại số bổ sung của   đại số Cc ( H , A) bởi chuẩn f  sup   ( f ) :   (với  là biểu diễn hiệp biến của ( A,  ) ). Tính chất của tích xiên: (i) Nếu f : A  B là một   đồng cấu H  đẳng biến giữa các   đại số, thì nó sẽ cảm sinh một   đồng cấu đối ngẫu ˆf :   xác định bởi công thức: A B  fˆ (a)  (h)  f  a(h)  , với a  C ( H , A), h  H . c
j  (ii) Nếu 0  J   A   B  0 là một dãy khớp ngắn (chẻ ra) H  đẳng biến ( H tác động liên tục lên các   đại số J , A,B ), thì dãy các tích xiên sau đây j ˆ  ˆ cũng khớp (chẻ ra) 0  J  H   A H   B H  0 . 1.1.4 Tích thớ Cho A1 , A2 , A' là các   đại số,  i : Ai  A ' (i  1, 2) là các   đồng cấu.   đại số A và cặp đồng cấu pi : A  Ai (i  1, 2) được gọi là tích thớ (hay còn gọi là sơ đồ kéo lại) của cặp ( 1 ,  2 ) nếu thỏa 2 điều kiện sau: (i) Có sơ đồ giao hoán: p1 A   A1 p2  1 A2    A' 2 (ii) Bộ ba ( A, p1 , p2 ) có tính chất phổ dụng, tức là với mọi bộ ba ( B, q1 , q2 ) có tính chất tương tự và làm cho sơ đồ sau giao hoán: q1 B   A1 q2  1 A2    A' 2 Thì tồn tại duy nhất một   đồng cấu  : B  A sao cho   pi  qi (i  1, 2) . 1.2 Một số vấn đề về K  lý thuyết K  lý thuyết đại số là một lý thuyết đồng điều suy rộng và việc tìm hiểu K  lý thuyết là một vấn đề không hề dễ dàng. Tuy nhiên, vì mục tiêu của luận văn, ở đây chúng tôi chỉ trình bày một cách đơn giản nhất việc xây dựng K  lý thuyết cho một   đại số. Các ví dụ trong phần này đều là các kết quả cần thiết cho việc tính toán K  lý thuyết của các phân lá trong chương 3.
1.2.1 Phân thớ véctơ (xem [5, tr.4  9]) Một phân thớ véctơ n chiều trên không gian Hausdorff compact X là cặp ( E , p ) gồm không gian tôpô E và ánh xạ liên tục p : E  X thỏa các điều kiện sau: (i) Mỗi x  X , thớ E x   1 ( x) trên X có cấu trúc của một không gian véctơ n chiều. (ii) Tất cả các thớ được “buộc” với nhau một cách liên tục bởi các tầm thường địa phương. Các ví dụ cơ bản của phân thớ véctơ là phân thớ tiếp xúc TM và phân thớ đối tiếp xúc TM  trên một đa tạp compact M , ví dụ TS n1  {( x, v)  S n1   n : x.v  0} . Trong luận văn này chúng ta chỉ xét các phân thớ véctơ phức. Nếu ( E , p) là một phân thớ véctơ trên X , một nhát cắt của E là một hàm liên tục f : X  E sao cho s ( x)  E x , x  X . Tập  ( E ) các nhát cắt của E có cấu trúc không gian véctơ một cách tự nhiên với ( s   t )( x)   s ( x)   t ( x) , trong đó tổ hợp tuyến tính trong vế phải được thực hiện trong không gian véctơ E x . Thực ra  ( E ) là một môđun trên C ( X ) theo cách tự nhiên với ( f .s )( x)  f ( x).s ( x) . Định lí Serre  Swan. Nếu ( E , p ) là một phân thớ véctơ trên không gian Hausdorff compact X , thì  ( E ) là một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) (tức là tồn tại s1 , s2 ,..., sn   ( E ) sao cho  ( E )   i 1 C ( X ).si ). Ngược lại, mọi môđun xạ n ảnh hữu hạn sinh trên C ( X ) đều có dạng này. 1.2.2 Xây dựng các K  nhóm (xem [12, tr.144  154]) Xét A là một   đại số có đơn vị, thì một cách tự nhiên M n ( A) cũng là một   đại số có đơn vị, các phép toán đại số là các phép toán thông thường và chuẩn trên M n ( A) cũng thu được một cách tự nhiên. Do đó, nếu nhúng A  () (   đại số các toán tử bị chặn trên không gian Hilbert  ), thì ta có thể nhúng
M n ( A)  M n  ()   (  ...  ) ( n lần), ta sẽ đồng nhất M n ( A) với “góc Tây  x 0 Bắc” của M n1 ( A) bởi x   .  0 0 Ta ký hiệu Pn ( A)  P  M n ( A)  và U n ( A)  U  M n ( A)  trong đó P ( B ) (tương ứng U ( B ) ) ký hiệu tập hợp các phép chiếu { p  B : p  p 2  p} (tương ứng các phần tử unita {u  B : u u  uu   1} ) trong một   đại số B bất kì. Xem Pn ( A) và U n ( A) theo thứ tự bao hàm trong Pn1 ( A) và U n1 ( A) qua phép  p 0 u 0  đồng nhất p    và u    , ta lần lượt ký hiệu các tập P ( A)   n1 Pn ( A) ,  0 0 0 1   M  ( A)   n1 M n ( A) và U  ( A)   n1U n ( A) . Mọi A  môđun xạ ảnh hữu hạn sinh đều có dạng V p  {  M1n ( A) :    p} với p  Pn ( A) và số nguyên dương n , ở đây hiển nhiên A tác động lên V p theo quy tắc (a. )i  a i . Với p, q  P ( A) , thì V p  Vq  (u  M  ( A) : u u  p, uu   q ) , khi đó ta viết p  q . Mệnh đề. Tập thương K 0 ( A)  P ( A)  có cấu trúc một vị nhóm aben với phép cộng [ p ]  [q ]  [ p  q ] và có đơn vị là [0] . Ta đã biết, nếu S là một vị nhóm aben, thì tập {a  b : a, b  S } các hiệu hình thức trong S , trong đó (a  b  c  d )  (a  d  f  c  b  f ), f  S , làm thành một nhóm, gọi là nhóm Grothendieck của S . Định nghĩa. Nếu A là một   đại số có đơn vị, ta định nghĩa: (i) K 0 ( A) là nhóm Grothendieck của vị nhóm aben K 0 ( A) . (ii) K1 ( A) là nhóm thương của nhóm U  ( A) trên nhóm con chuẩn tắc U  ( A)(0) (thành phần liên thông của phần tử đơn vị trong U  ( A) ). Khi đó K1 ( A) cũng là một nhóm aben với phép toán như sau:
 u 0    1 0   [uv]  [u ][v]      0 v    [u  v], u , v  U  ( A)  0 1     Một số tính chất của các K  nhóm: (i) K i (i  0,1) là các hàm tử hiệp biến từ phạm trù các   đại số đến phạm trù Ab các nhóm aben, tức là nếu   Hom( A, B ) là một đồng cấu giữa các   đại số, thì tồn tại các đồng cấu nhóm K i ( )   * : K i ( A)  Ki ( B) (i  0,1) thỏa mãn các điều kiện của hàm tử. (ii) Một môđun xạ ảnh hữu hạn sinh trên  (vành chính) đều được đặc trưng bởi số phần tử sinh của nó, do đó K 0 ()    , nên ta có K 0 ()   . Ta cũng có U  () liên thông đường vì một ma trận unita bất kì trong M n () đều biến đổi được về ma trận đơn vị I n bằng các phép biến đổi sơ cấp (tức nối được với I n ). Do đó, U n ()  U n ()(0) hay K1 ()  {0} .  a 0 (iii) Nếu  : A  M n ( A),  (a )    , thì  * : K i ( A)  K i  M n ( A)  là đẳng  0 0 cấu nhóm. (iv) Bất biến đồng luân. Nếu { t : t  [0,1]} là một họ liên tục các đồng cấu từ A đến B (tức là tồn tại một đồng cấu a   t   t (a )   C ([0,1], B) ), thì ( 0 )  (1 ) . Từ điều này ta suy ra, nếu X ,Y là hai không gian Hausdorff compact đồng luân, thì hai   đại số của chúng đẳng cấu, C ( X )  C (Y ) , nên K i  C ( X )   K i  C (Y )  . (v) Đẳng cấu Thom  Connes. Nếu  n (nhóm Lie trung bình hóa) tác động liên tục  lên   đại số A , thì ta có các đẳng cấu nhóm i : Ki ( A)  Ki  n ( A  n ) . Trường hợp n  1 , ta có i : Ki ( A)  Ki 1 ( A ).
Ví dụ. Nếu X là không gian co rút được thì K i  C ( X )   K i () . Thật vậy, ta gọi {ht : t  [0,1]} là phép đồng luân với h1  id X , h0 ( x)  x0  X , x  X . Xét  t : C ( X )  C ( X ),  t ( f )  ( x)  f  ht ( x)  , thì 1  idC ( X ) và  0 ( f ) là hàm hằng f ( x0 ), f  C ( X ) . Nếu ta xét ánh xạ nhúng j :   C ( X ), j ( ) là hàm hằng nhận giá trị bằng  , và ký hiệu ev0 : C ( X )  , ev0 ( f )  f ( x0 ) , thì ta có các biểu đồ giao hoán sau: 0 C ( X )  C( X ) K i  C ( X )   ( 0 )  Ki  C ( X )  ( ev0 ) ev0  j ev0 và  j ( ev0 )   id   K i () id   K i () Vì ( 0 )  (1 )  id , nên từ sơ đồ thứ hai ta thấy ngay j là đẳng cấu và ( j ) 1  (ev0 ) . Bây giờ ta xét các   đại số không có đơn vị A (tương ứng với việc xét các phân thớ véctơ trên các không gian Hausdorff compact địa phương không compact). Nếu A là một   đại số, thì A  A   là một   đại số có đơn vị với phép nhân và chuẩn như sau: ( x,  ).( y,  )  ( xy   y   x,  ) và ( x,  )  sup  xa   a : a  A, a  1 Với phép cộng và phép đối hợp theo từng thành phần và đơn vị là (0,1) . Hơn nữa ánh xạ  : A  ,  ( x,  )   là một   đồng cấu giữa các *  đại số có đơn vị và ker  A. Ví dụ. Xét A  C0 ( X ) là đại số các hàm liên tục triệt tiêu ở vô cùng trên một không gian Hausdorff compact địa phương X , thì A chính là C ( Xˆ ), Xˆ  X  {} là không gian compact hóa một điểm của X , và  ( f )  f () .
Với   đại số không có đơn vị A , ta định nghĩa K i ( A)  ker   trong đó   : K i ( A )  K i () (i  0,1) . 1.2.3 Dãy khớp 6 thành phần trong K  lý thuyết  j Nếu 0  J   A  B  0 (1.1) là dãy khớp ngắn các   đại số, thì tồn tại một dãy khớp 6 thành phần các K  nhóm liên kết với dãy khớp ngắn trên: j  K1 ( J )   K1 ( A)   K1 ( B ) 0  1 (1.2)  j K 0 ( B )   K 0 ( A)   K0 ( J ) Trong đó,  i (i  0,1) được gọi là các đồng cấu nối. Trường hợp đặc biệt khi dãy khớp trên chẻ ra (tức là tồn tại một   đồng cấu s : B  A sao cho   s  id B ) thì   cũng là một toàn cấu, và khi đó cả 2 đồng cấu nối đều là đồng cấu không. Do đó dãy khớp 6 thành phần trên chẻ ra thành 2 dãy khớp j  ngắn 0  K i ( J )   K i ( A)   Ki ( B)  0 . j ev0 Ví dụ. Xét dãy khớp ngắn 0  C0 ((0,1])   C ([0,1])    0 . Do [0,1] co rút được nên (ev0 ) : K i  C ([0,1])   Ki () , nên từ dãy khớp trên ta có K i  C ((0,1])   {0} (i  0,1) . j ev1 Ta xét tiếp dãy khớp 0  C0 ((0,1))   C ((0,1])     0 , có dãy khớp 6 thành phần là: K1  C0 ((0,1))   j ( ev1 )  0   K1 () 0  1 ( ev1 ) K 0 ()  j*  0   K 0  C0 ((0,1))  Từ đây ta có K i  C0 ()   K i  C0 ((0,1))   K i 1 () (1.3) .
Tương tự trên, ta áp dụng cho C0 (, A) (các hàm liên tục f :   A triệt tiêu ở vô cùng) ta có kết quả Ki  C0 (, A)   Ki 1 ( A) . Áp dụng một cách qui nạp theo n cho A  C0 ( n ) ta được kết quả sau: , neáu n  i (mod 2),  K i C0 ( n )     0, neáu n  i (mod 2). j ev Tiếp theo, xét dãy khớp ngắn chẻ ra 0  C0 ( n )   C ( S n )  0 (chẻ ra vì tồn tại đồng cấu nhúng  :   C ( S n ) thỏa ev    id ), thì ta có các dãy khớp ngắn các K  nhóm chẻ ra sau:  j 0  Ki C0 ( n )    ( ev )  Ki C ( S n )   K i ( )  0     Do đó ta có K i C ( S n )  Ki C0 ( n )  K i () . Cuối cùng vì M n ()   n nên Ki  M n ()   Ki ( n )  Ki () (do qui nạp của 2 2 K1 ( 2 )  K1 ()  K1 ()  0, K 0 ( 2 )  K 0 ()  K 0 ()   ), nên ta có kết quả:  neáu i  0, K i  M n ( )   K i ( )    0 neáu i  1. 1.2.4 Dãy khớp Mayer  Vietoris (xem [6, tr.16  17]) Xét sơ đồ tích thớ: p1 A   A1 p2  1 (1.4) A2    A' 2 Nếu một trong hai   đồng cấu  1 ,  2 là toàn cấu, thì tích thớ trên sẽ sinh ra dãy khớp Mayer  Vietoris như sau:
 1  2 K1 ( A)   K1 ( A1 )  K1 ( A2 )   K1 ( A ') 0  1 (1.5)  1  2 K 0 ( A ')   K 0 ( A1 )  K 0 ( A2 )  K 0 ( A) Việc tính các   đồng cấu  1   2 cho ta thông tin về   đại số A . 1.3 KK  nhóm của Kasparov (xem [1, tr.64  67]) Giả sử J ,B là các   đại số cho trước, J có đơn vị xấp xỉ, còn B hạch và tách được. Xét các mở rộng   đại số dạng 0  J  k  A  B  0 (1.6) . Lưu ý rằng có một song ánh giữa các mở rộng (1.1) và các mở rộng (1.6) . Mà các mở rộng dạng (1.6) lại tương ứng 1  1 với các đồng cấu  : B   ( J  k ) từ B vào đại số đa nhân tử ngoài trên J  k ,  được gọi là bất biến Busby của mở rộng (1.6) . Ta sẽ đồng nhất mở rộng (1.6) với A cũng như với bất biến Busby  của nó. Hai mở rộng 1 , 2 dạng (1.6) được gọi là tương đương unita nếu có một toán tử unita u  ( J  k ) (đại số đa nhân tử trên J  k ) sao cho với mỗi x  B ta có  2 ( x).u  u . 1 ( x) , ở đây u  u (mod J  k ) . Tổng  1  2 của các mở rộng 1 ,2 được định nghĩa như tổng trực tiếp. Ta ký hiệu: (i) xt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng dạng (1.6) . (ii) Sxt ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng chẻ ra dạng (1.6) . Cả hai tập này đều là các nhóm cộng và Sxt ( B, J ) là nhóm con chuẩn tắc trong xt ( B, J ) . Định nghĩa. KK  nhóm Ext ( B, J ) của Kasparov được định nghĩa là nhóm thương xt ( B, J ) Sxt ( B, J ) . Mở rộng  gọi là hấp thụ (absorbing) nếu nó tương đương unita với tất cả các mở rộng   0 , ở đó 0 là một mở rộng chẻ ra bất kì. Ký hiệu Exta ( B, J ) là tập các lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ.
Mặc dù mỗi mở rộng  xác định một phần tử duy nhất của Ext ( B, J ) . Nhưng mỗi phần tử Ext ( B, J ) không đủ xác định một mở rộng  mà chỉ xác định duy nhất một lớp tương đương unita các mở rộng hấp thụ, tức là một phần tử của nhóm Exta ( B, J ) . Nói rõ hơn Ext ( B, J )  Exta ( B, J ) . Tuy nhiên, với mỗi mở rộng  dạng (1.6) hoặc (1.1) có duy nhất một mở rộng hấp thụ 1 sao cho   1 lại hấp thụ. Bởi vậy, một phần tử của Ext ( B, J ) chỉ xác định cái gọi là “kiểu ổn định” của mở rộng  . Bất biến chỉ số của   đại số. Theo trên, mỗi mở rộng dạng (1.1) xác định duy nhất một phần tử  của nhóm Ext ( B, J ) . Ký hiệu   index A và gọi là chỉ số của   đại số A. Ta đã biết mở rộng (1.1) sinh ra dãy khớp 6 thành phần K  lý thuyết (1.2) với cặp đồng cấu nối ( 0 , 1 ) . Theo định lí Rosenberg về hệ tử phổ dụng ta có dãy khớp: 0  Ext1  K 0 ( B ), K 0 ( J )   Ext1  K1 ( B), K1 ( J )   Ext ( B, J )    (1.7)  Hom  K 0 ( B), K1 ( J )   Hom  K1 ( B ), K 0 ( J )   0   Trong đó  (index A)  ( 0 , 1 ) và Ext1 là nhóm các mở rộng thông thường. Nếu như mở rộng (1.1) có K ( B ) là các nhóm aben tự do, thì các nhóm Ext1  K i ( B ), K i ( J )   0 (i  0,1) . Khi đó dãy khớp (1.7) cho ta  là một đẳng cấu, nên ta có thể đồng nhất index A với cặp ( 0 , 1 ) . Nói cách khác chính cặp ( 0 , 1 ) xác định kiểu ổn định của   đại số A . Đặc biệt khi mở rộng (1.1) là hấp thụ, thì ( 0 , 1 ) xác định duy nhất   đại số A, sai khác một tương đương unita.
Chương 2 MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ PHÂN LÁ VÀ K  LÝ THUYẾT CỦA PHÂN LÁ Tôpô phân lá xuất hiện một cách tự nhiên từ việc tìm nghiệm của các phương trình vi phân và các hệ khả tích, và trở thành một lĩnh vực được nghiên cứu độc lập sau công trình nổi tiếng của Ehresmann và Reeb. Kể từ đó lý thuyết phân lá không ngừng được phát triển và trở thành một ngành toán học khá phong phú bởi Reeb (1952), Haefliger (1956), Novikov (1964), Thurston (1974), Molino (1988) và đặc biệt là Alain Connes với công trình xây dựng   đại số liên kết với phân lá. 2.1 Một số vấn đề về tôpô phân lá Mục tiêu của phần này là cung cấp cho độc giả một số kiến thức mở đầu về đa tạp phân lá, và ví dụ mà chúng tôi dùng thường xuyên để minh họa cho các khái niệm ở đây là phân lá Kronecker. Phần lớn nội dung ở đây được tham khảo từ [1], [11]. 2.1.1 Định nghĩa phân lá (xem [1, tr.41  42]) Cho V là đa tạp vi phân n chiều, TV là phân thớ tiếp xúc trên V , F là phân thớ con k chiều của TV ( F còn được gọi là phân bố k chiều trên V ). Phân thớ F được gọi là khả tích nếu một trong bốn điều kiện tương đương sau đây thỏa mãn: (i) Mỗi x  V , tồn tại đa tạp con k chiều W của V , sao cho x  W: Fy  TyW , với y  W , ở đó Fy là thớ trên y của F . (ii) Mỗi x  V , U  V , U mở chứa x , và một phép ngập p : U   nk thỏa mãn Fy  ker p y , y  U . Tập U được gọi là tập con mở đơn . (iii) C  ( F )  { X  C  (TV ) : X x  Fx , x  V } là một đại số Lie. (iv) Ideal J ( F ) các dạng vi phân ngoài trơn, triệt tiêu trên F ổn định với phép lấy vi phân ngoài. Tập W trong (i) được gọi là một đa tạp con tích phân của phân bố F đi qua điểm x  V . Mỗi phân bố khả tích k chiều F trên V được gọi là phân lá (trơn) k
chiều (đối chiều n  k ) trên V , ký hiệu là (V , F ) ; V được gọi là đa tạp phân lá. Mỗi đa tạp con liên thông đường tối đại của F trong V được gọi là một lá của phân lá (V , F ) . Mỗi lá là một đa tạp con dìm k chiều của V , ta cũng ký hiệu tập các lá này bởi chính ký hiệu F . Một tập con A của đa tạp phân lá V được gọi là bảo hòa đối với phân lá (V , F ) nếu A là hợp của các lá. Cho T là một đa tạp con dìm của V , có số chiều bằng đối chiều của phân lá (V , F ) , T được gọi là tập con hoành (hay tập hoành) của phân lá (V , F ) , nếu tại mỗi x  T ta có TxV  TxT  Tx Lx , trong đó Lx là lá chứa x . 2.1.2 Các ví dụ 2 1 x 2 Ví dụ 1. Xét hàm số f : (1,1)  , x  e x  1 , V  [1,1]   và họ F  {L   x,   f ( x)  , x  (1,1)}  {L , L } , với L  {( 1, y ), y  } . Ta sẽ kiểm tra (V , F ) là phân lá 1 chiều. Thật vậy, xét phân bố 1 chiều trên V (vẫn ký hiệu là F ) như sau: Với ( x0 , y0 )  V , ta định nghĩa trường véctơ:    (1, y0 ), neáu x0  1,  y   2x 2 2  F ( x0 , y0 )   ( x0 , y0 )  .e x 1 x . ( x0 , y0 ), neáu x0  (1,1),  x y 2 (1  x)    (1, y0 ), neáu x0  1.  y F là một trường véctơ trơn một chiều trên V , do đó tính khả tích của nó là tầm thường. Hơn nữa, các đường cong tích phân thông thường của trường véctơ này chính là họ F được xác định như trên. Cần chú ý rằng đa tạp V có biên là hợp của các đường cong tích phân, đây là một đặc điểm quan trọng của các đa tạp phân lá có biên. Như vậy F xác định một phân bố trơn một chiều trên V , và theo định nghĩa ta có (V , F ) là một phân lá 1 chiều, đối chiều 1 (Hình 2.1 ).
1k 1k x  1 x 1 0 1 0 1 Hình 2.1 Hình 2.2 Hình 2.3 Ví dụ 2 (Phân lá Kronecker). Xét M  {( x, y ) : x  [0,1], y  [0,1]} , phân hoạch M thành P ( M ) họ các đoạn thẳng song song có hệ số góc k (ta chỉ cần xét k  0 ). Đồng nhất các biên đối diện của M ta thu được xuyến 2 . Khi đó mỗi họ các đoạn thẳng của P ( M ) “nối được” với nhau (tức điểm cuối của đoạn này đồng nhất với điểm đầu của đoạn kế tiếp) sẽ tạo thành một lá trên 2 . Tức ta thu được một phân lá trên 2 , phân bố khả tích 1 chiều xác định phân lá này là ảnh của trường véctơ song song X  (1, k ) qua phép đồng nhất trên. Nhận xét. Nếu k  m n   , (m, n)  1 (Hình 2.2 ) thì mỗi lá của phân lá trên là hợp khép kín của m đoạn trong P ( M ) . Vì qua mỗi lần đồng nhất sẽ “nhích” được một đoạn 1 k  n m (để “nối” được khép kín thì ta cần phải nhích một khoảng nguyên), nên sau m vòng thì sự nối đuôi được lặp lại. Do đó trường hợp này mỗi lá đều đồng phôi với S 1 (là một đường khép kín quấn quanh 2 m vòng). Nếu k   (Hình 2.3 ), thì quá trình nối đuôi sẽ diễn ra vô hạn không lặp lại (vì với mọi số nguyên n   , thì n k   ). Do đó mỗi lá đều đồng phôi với  (quấn quanh 2 một cách vô hạn) và trù mật trong 2 .