Luận văn Thạc sĩ Toán học: Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải toán

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

39
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của đề tài "Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải toán" là nghiên cứu đề xuất các tính chất đăc trưng của tâm tỷ cự từ đó đề ra các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để giải các loại toán hình học phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng vào giải toán

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN NGHĨA KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- NGUYỄN VĂN NGHĨA KỸ THUẬT BIẾN ĐỔI TÂM TỶ CỰ VÀ ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2017
i Lời cảm ơn Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo bộ phận sau đại học, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K9B (2015 - 2017) Trường Đại Học Khoa Học - Đại Học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường Đại Học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng 6 năm 2017 Người viết Luận văn Nguyễn Văn Nghĩa
i Danh mục hình 1.1 Quy tắc Archimedes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Tọa độ diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.1 Chọn tâm tỷ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Quĩ tích là đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 I là đỉnh thứ tư hình bình hành . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Trực tâm H . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Tọa độ tỷ cự điểm đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Tính tỷ số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.7 Tính diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.8 Hình chóp tam giác đều . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.1 P, Q, R thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.2 MOP 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.3 USAMO 2001 #2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.4 USAMO 2008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
i Mục lục Lời cảm ơn i Mở đầu 1 1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm 4 1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3 Tâm tỷ cự và diện tích đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.1 Diện tích đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3.2 Tọa độ tỷ cự trong mặt phẳng . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Công thức Lagrang và công thức Jacobi . . . . . . . . . . . . . 15 2 Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng 18 2.1 Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Kỹ thuật diện tích hóa và tọa độ hóa. . . . . . . . . . . . . . . . 26 2.3 Kỹ thuật giao hoán-kết hợp. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.4 Kỹ thuật quán tính. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3 Các vấn đề liên quan 41 3.1 Chứng minh một số định lý nổi tiếng . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2 Một số bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic . . . . . . . . . 50 3.2.1 Véc tơ chuyển chỗ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.2 Đường thẳng vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 3.2.3 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 Tài liệu tham khảo 59
1 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn Khái niệm tâm tỷ cự đã được các nhà toán học đề cập đến từ lâu, chẳng hạn xem ([1], [5], [6]). Tuy nhiên việc ứng dụng khái niệm này còn rất hạn chế vì ngoài định nghĩa thông qua véc tơ, các tính chất và các biểu diễn khác của tâm tỷ cự chưa được nêu trong các tài liệu truyền thống. Mục đích của đề tài này là nghiên cứu đề xuất các tính chất đăc trưng của tâm tỷ cự từ đó đề ra các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để giải các loại toán hình học phẳng. Cụ thể là: - Nghiên cứu các tính chất đặc trưng của tâm tỷ cự của hệ chất điểm. Đưa ra các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự nhằm ứng dụng có hiệu quả vào việc giải toán Hình học. - Ứng dụng các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự vào giải các bài toán tính toán, chứng minh, tìm tập hợp điểm và các vấn đề khác nhằm khắc sâu phương pháp giải các bài toán liên quan đến tâm tỷ cự. - Các kiến thức được nâng cao: Xây dựng một lý thuyết chặt chẽ và có hệ thống về tâm tỷ cự, các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, tính chất mô men quán tính,. . . dựa vào khái niệm véc tơ. Bổ sung thêm một phương pháp hiệu quả khi giải các bài toán hình học sơ cấp. Đặc biệt áp dụng được vào việc giải các bài toán thi olympic Quốc gia và Quốc tế. Có thể nói đây một sáng tạo mới để giải các bài toán hình học, một phương pháp giải toán có hiệu quả. 2. Nội dung của đề tài, những vấn đề cần giải quyết Đề tài sẽ giải quyết các vấn đề sau: Hệ thống, chứng minh các tính chất của tâm tỷ cự, trình bày các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự để ứng dụng vào giải
2 các bài toán hình học có liên quan. Nêu ra được các bài toán mẫu, điển hình minh họa cho các kỹ thuật biến đổi, giải được các bài toán khó, thể hiện được tính hơn hẳn so với cách giải thông thường. Nội dung chia làm 3 chương: Chương 1. Tâm tỷ cự của hệ chất điểm Định nghĩa và nêu các tính chất của tâm tỷ cự chủ yếu là trên mặt phẳng, các kiến thức cần thiết để xây dựng một số kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự, chuẩn bị cho chương hai. Các tính chất được xây dựng và chứng minh chặt chẽ, đầy đủ. Chương 1 gồm 4 mục sau. 1.1. Định nghĩa và ký hiệu. 1.2. Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự. 1.3. Các ví dụ mở đầu. 1.4. Công thức Lagrang và công thức Jacobi. Chương 2. Các kỹ thuật biến đổi tâm tỷ cự và ứng dụng Lần lượt trình bày các kỹ thuật biến đổi dựa vào các tính chất của tâm tỷ cự trên mặt phẳng. Mỗi kỹ thuật được nêu thành các bước vận dụng, các ví dụ và các bài toán mẫu. Hình thành các kỹ năng " chọn tâm tỷ cự, biến đổi tâm tỷ cự, coi diện tích là tọa độ tâm tỷ cự,. . . " để giải các loại toán hình học phẳng: chứng minh, tính toán, tìm quỹ tích,. . . Chương 2 trình bày 4 mục sau: 2.1. Kỹ thuật chọn tâm tỷ cự. 2.2. Kỹ thuật diện tích hóa. 2.3. Kỹ thuật giao hoán và kết hợp. 2.4. Kỹ thuật quán tính. Chương 3. Các vấn đề liên quan Trình bày các bài toán liên quan đến tâm tỷ cự ở mức độ khó hơn, gồm hai nội dung:
3 3.1. Chứng minh một số định lý nổi tiếng của hình học sơ cấp. 3.2. Một số bài toán thi học sinh giỏi và thi Olympic. - Mặc dù đã rất cố gắng nhưng luận văn không tránh khỏi những hạn chế, khiếm khuyết. Tác giả rất mong sự góp ý, bổ sung của các đồng nghiệp và các thầy cô giáo nhằm làm cho kết quả nghiên cứu hoàn chỉnh và có ích hơn. Xin chân thành cảm ơn. Tác giả.
4 Chương 1 Tâm tỷ cự của hệ chất điểm Các khái niệm ở đây được xét trong mặt phẳng hoặc trong không gian. Thuật ngữ "barycentric" được nhiều tác giả dịch là "tâm tỷ cự" hoặc "khối tâm",. . . Thực ra sử dụng các từ này chỉ đúng nghĩa một phần bởi "barycentric" chỉ liên quan đến đoạn thẳng và các khái niệm quen thuộc trong cơ học. Đến nay "barycentric" đã được toán học hóa dựa vào khái niệm không gian véc tơ thì các cách Việt hóa như trên có những hạn chế nhất định. Trong luận văn này chúng tôi vẫn sử dụng chữ "tâm tỷ cự" do tính chất lịch sử của khái niệm và phù hợp với các tài liệu hiện hành (xem [1]). Các ký hiệu cũng được tham khảo và vận dụng vào việc trình bày cho thuận tiện nhất. 1.1 Hệ chất điểm và tâm tỷ cự Mệnh đề 1.1. Cho hai điểm A, B và hai số thực m1 , m2 không đồng thời bằng 0. Khi đó −→ −→ i. Nếu m1 + m2 = 0 thì không có Z sao cho m1 ZA + m2 ZB = ~0. ii. Nếu m1 + m2 6= 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho −→ −→ m1 ZA + m2 ZB = ~0. Khi Z thỏa mãn đẳng thức trên thì với mọi điểm O ta luôn có: −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB OZ = . m1 + m2
5 Chứng minh. −→ −→ −→ −→ −→ −→ i. Ta có m1 ZA+m2 ZB =~0 ⇐⇒ m1 ZA+m2 (ZA+ AB) =~0 ⇐⇒ (m1 +m2 )ZA+ −→ m2 AB = ~0. Nếu m1 + m2 = 0 thì không có Z. −→ m2 −→ ii. Nếu m1 + m2 6= 0 thì đẳng thức trên là AZ = AB, chứng tỏ Z xác (m1 + m2 ) định và duy nhất. −→ −→ Với O tùy ý, xen điểm Z vào m1 OA + m2 OB ta có: −→ −→ −→ −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB = m1 (OZ + ZA) + m2 (OZ + ZB) −→ −→ −→ −→ = (m1 + m2 )OZ + (m1 ZA + m2 ZB) = (m1 + m2 )OZ. Mệnh đề 1.2. Cho ba điểm A, B, C và ba số thực m1 , m2 , m3 không đồng thời bằng O. Khi đó, i. Nếu m1 + m2 + m3 = 0 thì không có Z sao cho −→ −→ −→ m1 ZA + m2 ZB + m3 ZC = ~0. ii. Nếu m1 + m2 + m3 6= 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho −→ −→ −→ m1 ZA + m2 ZB + m3 ZC = ~0 Khi Z thỏa mãn đẳng thức trên thì với mọi điểm O ta luôn có: −→ −→ −→ −→ m1 OA + m2 OB + m3 ZC OZ = . (1.1) m1 + m2 + m3 Chứng minh. Chứng minh tương tự mệnh đề 1.1. Nhận xét 1.1. −→ −→ Trong trường hợp m1 = m2 = m3 6= 0 thì đẵng thức (1.1) trở thành ZA + ZB + −→ ZC = ~0 ⇐⇒ Z ≡ G− trọng tâm tam giác ABC. Mệnh đề 1.3. Cho n điểm A1 , A2 , .., An và n số thực m1 , m2 , ..., mn không đồng thời bằng O . Khi đó i. Nếu m1 + m2 + ... + mn = 0 thì không có Z sao cho −−→ −−→ −−→ m1 ZA1 + m2 ZA2 + ... + mn ZAn = ~0.
6 ii. Nếu m1 + m2 + ... + mn 6= 0 thì tồn tại duy nhất điểm Z sao cho −−→ −−→ −−→ m1 ZA1 + m2 ZA2 + ... + mn ZAn = ~0. (1.2) Khi có Z thỏa mãn (1.2) thì với mọi điểm O ta luôn có : −−→ −−→ −−→ −→ m1 OA1 + m2 OA2 + ... + mn OAn OZ = . (1.3) m1 + m2 + ... + mn −−→ −−→ −−→ Chứng minh. i. Ta có m1 ZA1 + m2 ZA2 + ... + mn ZAn = ~0 −−→ −−→ −−−→ −−→ −−−→ ⇐⇒ m1 ZA1 + m2 (ZA1 + A1 A2 ) + ... + mn (ZA1 + A1 An ) = ~0 −−→ −−−→ −−−→ ⇐⇒ (m1 + ... + mn )ZA1 + m2 A1 A2 + ... + mn A1 An = ~0. Từ đây ta có: Nếu m1 + m2 + ... + mn = 0 thì không có Z. −−→ ii. Nếu m1 + m2 + ... + mn 6= 0 thì đẳng thức trên tương đương với A1 Z = −−−→ −−−→ −−−→ m2 A1 A2 + m3 A1 A3 + ... + mn A1 An , chứng tỏ Z xác định và duy nhất. Với mọi (m1 + m2 + ... + mn ) −−→ −−→ −−→ điểm O, từ m1 OA1 + m2 OA2 + ... + mn OAn ta có: −−→ −−→ −−→ m1 OA1 + m2 OA2 + ... + mn OAn = −→ −−→ −→ −−→ −→ −−→ = m1 (OZ + ZA1 ) + m2 (OZ + ZA2 ) + ... + mn (OZ + ZAn ) −→ −−→ −−→ −−→ = (m1 + m2 + ... + mn )OZ + (m1 ZA1 + m2 ZA2 + ... + mn ZAn ) −→ = (m1 + m2 + ... + mn )OZ. Từ đó suy ra (1.3). Định nghĩa 1.1. Giả sử P là tập hợp điểm trên mặt phẳng, tích Decasterte R×P được gọi là "một hệ chất điểm" trong mặt phẳng. Mỗi chất điểm có hai thành phần, được viết là mA hoặc m.A hoặc (m, A) ∈ R × P, thành phần thứ nhất là số, thành phần thứ hai là điểm. Định nghĩa 1.2. Điểm Z xác định duy nhất từ hệ thức (1.3) với các số thực m1 , m2 , ..., mn thoả mãn điều kiện m1 + m2 + ... + m3 6= 0 được gọi là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {mi Ai }ni=1 , với Σni=1 mi 6= 0 và viết Z ≡ [m1 A1 , m2 A2 , ..., mn An ] hay ký hiệu tắt là Z ≡ [mi Ai ]1≤i≤n . Ký hiệu I ≡ [1A, 1B], tức I là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {1A, 1B}, đó là trung điểm của đoạn AB. Khi G là trọng tâm tam giác ABC, ta viết G ≡ [1A, 1B, 1C] (trọng tâm là tâm tỷ cự của 3 đỉnh tam giác).
7 1.2 Các tính chất cơ bản của tâm tỷ cự Trước hết ta xét 3 tính chất sau của tâm tỷ cự. Tính chất 1.1. Mỗi hệ hữu hạn các chất điểm {m1 A1 , ..., mk An } với m1 + .. + mn 6= 0 đều xác định duy nhất tâm tỷ cự của hệ sai khác một hằng số khác không, tức là tồn tại duy nhất Z sao cho Z ≡ [mi Ai ]1≤i≤n ≡ [kmi Ai ]1≤i≤n , k 6= 0. Chứng minh. Thật vậy, chọn O tùy ý khi đó Z xác định duy nhất theo đẳng thức véc tơ (1.3). Ta có thể viết (1.3) ở dạng sau với k 6= 0: −−→ −−→ −−→ −→ km1 OA1 + km2 OA2 + ... + kmn OAn OZ = . km1 + km2 + ... + kmn Tính chất 1.2. (Quy tắc Archimedes) Tâm tỷ cự của hệ hai chất điểm {m1 A1 , m2 A2 } nằm trên đoạn thẳng (hoặc đường thẳng) nối hai điểm A1 , A2 . Vị trí tâm tỷ cự xác định theo "quy tắc cân bằng của đòn bẩy" của Archimedes (gọi là quy tắc Archimedes): |m1 |d1 = |m2 |d2 . Hình 1.1: Quy tắc Archimedes Chứng minh. Giả sử Z là tâm tỷ cự của hệ hai chất điểm {m1 A1 , m2 A2 }. Khi −−→ −−→ −−→ −−→ đó: m1 ZA1 + m2 ZA2 = ~0 ⇐⇒ m1 ZA1 = −m2 ZA2 . Nếu m1 , m2 cùng dấu (có −−→ −−→ thể coi m1 , m2 > 0) ta thấy các véc tơ ZA1 , ZA2 ngược hướng nên điểm Z nằm −−→ −−→ trên đoạn thẳng A1 A2 , hơn nữa, m1 |ZA1 | = m2 |ZA2 |, tức là m1 d1 = m2 d2 . Nếu −−→ −−→ m1 , m2 trái dấu ta thấy các véc tơ ZA1 , ZA2 cùng hướng nên điểm Z nằm ngoài −−→ −−→ đoạn thẳng A1 A2 , ngoài ra, |m1 ||ZA1 | = |m2 ||ZA2 |, tức là |m1 |d1 = |m2 |d2 . Từ đây ta cũng thấy tâm tỷ cự của hệ hai điểm ở gần điểm có "trọng lượng" lớn hơn trong hai "trọng lượng" của hai chất điểm.
8 β Hệ quả 1.1. Điểm M chia đoạn thẳng AB theo tỷ số − khi và chỉ khi M ≡ α [αA, β B]. Tính chất 1.3. (Tính chất kết hợp) Giả sử ta lấy ra k chất điểm {m1 A1 , m2 A2 , ..., mk Ak } trong hệ n chất điểm {m1 A1 , m2 A2 , ..., mn An } và gọi C là tâm tỷ cự của hệ k chất điểm đó. Khi đó hệ chất điểm ban đầu có cùng tâm tỷ cự với hệ chất điểm là: {(m1 + m2 + ... + mk )C, mk+1 Ak+1 , ..., mn An }. Chứng minh. Gọi Z là tâm tỷ cự của hệ n chất điểm, ta có: −−→ −−→ −−−−→ −−→ m1 ZA1 + ... + mk ZAk + mk+1 ZAk+1 + ... + mn ZAn = ~0. Vì C là tâm tỷ cự của hệ {m1 A1 , m2 A2 , ..., mk Ak } nên ta có: −−→ −−→ − → m1 ZA1 + ... + mk ZAk ZC = . m1 + ... + mk Từ hai đẳng thức trên ta có −→ −−−−→ −−→ (m1 + ... + mk )ZC + mk+1 ZAk+1 + ... + mn ZAn = ~0. Đó là điều cần chứng minh. Từ tính chất kết hợp ta có các hệ quả hiển nhiên sau. Hệ quả 1.2. Nếu Z là tâm tỷ cự của hệ 3 điểm là đỉnh tam giác ABC. Khi đó đường thẳng AZ cắt cạnh BC ở điểm A0 là tâm tỷ cự của hệ hai chất điểm đặt tại B và C. Hệ quả 1.3. Giả sử tại các đỉnh A,B,C của tam giác ABC theo thứ tự đặt các trọng lượng m1 , m2 , m3 . Nếu B0 là tâm tỷ cự của hệ {m1 A, m3C}; C0 là tâm tỷ cự của hệ {m1 A, m2 B} thì Z = BB0 ∩ CC0 là tâm tỷ cự của hệ ba điểm {m1 A, m2 B, m3 C}. Ký hiệu thu gon Trong công thức (1.3), O là điểm tùy ý trong không gian nên có thể quy ước bỏ điểm O và không dùng ký hiệu véc tơ. Như thế (1.3) được ký hiệu thu gọn là m1 A1 + m2 A2 + ... + mn An Z= (1.4) m1 + m2 + ... + mn
9 hay (m1 + m2 + ... + mn )Z = m1 A1 + m2 A2 + ... + mn An (1.5) Mỗi ký hiệu thu gọn nói trên khẳng định điểm Z là tâm tỷ cự của hệ chất điểm 2A + 3B + 8C m1 A1 , m2 A2 , ..., mn An . Khi viết P = nghĩa là điểm P là tâm tỷ cự 13 của hệ điểm {2A, 3B, 8C}. Từ tính chất kết hợp ta có thể sử dụng ký hiệu thu gọn linh hoạt hơn. Chẳng hạn, ký hiệu (2A + 3B) + 8C 5D + 8C P= = =⇒ P ∈ CD 13 13 diễn tả bằng lời:" Giả sử P là tâm tỷ cự của hệ chất điểm {2A, 3B, 8C}, nếu tâm tỷ cự của hệ {2A, 3B} là D thì điểm P là tâm tỷ cự của hệ {5D, 8C}". 1.3 Tâm tỷ cự và diện tích đại số 1.3.1 Diện tích đại số Để xét tính chất quan trọng của tâm tỷ cự liên quan đến diện tích, ta giới thiệu diện tích đại số thông qua khái niệm tích ngoài như sau. Định nghĩa 1.3. Trong mặt phẳng định hướng diện tích đại số của tam giác định hướng ABC, ký hiệu là ABC, là một số thực mà trị tuyệt đối của nó là diện tích (hình học) của tam giác đó với dấu + hay − tùy theo tam giác ABC có hướng thuận hay nghịch: ABC = ±S(ABC) . Trường hợp ∆ABC suy biến thì ABC = 0 ⇔ C ∈ AB. Định nghĩa 1.4. Tích ngoài (hay tích phản vô hướng) của hai véc tơ ~u,~v, ký hiệu là ~u ∧~v là một số thực bằng 0 khi ~u =~0 hoặc ~v =~0, bằng |~u||~v| sin(~u,~v) khi ~u =~v 6= ~0;. Ta có nhận xét ngay: 1 −→ −→ • ABC = AB ∧ AC(từ đó tam giác ABC định hướng thuận khi và chỉ khi −→ −→2 AB ∧ AC > 0). • ~v ∧~u = −~u ∧~v; ~u và ~v cùng phương ⇐⇒ ~u ∧~v = 0. Dạng tọa độ. Xét mặt phẳng tọa độ Oxy, gọi~i,~j là hai véc tơ chỉ phương đơn π vị của hai trục Ox, Oy, góc định hướng (~i,~j) = [mod2π]. Khi đó nếu ~u = 2
10 (u1 , u2 ),~v = (v1 , v2 ) thì
u v
1 1