Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl2 trên trường p − adic

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:88

Thêm vào BST

Báo xấu

10
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Lý thuyết biểu diễn của các nhóm p-adic là một hướng nghiên cứu hiện đang được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong những lý do thúc đẩy việc nghiên cứu các biểu diễn của các nhóm p-adic xuất phát từ chương trình Langlands. Luận văn sẽ nghiên cứu thêm về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số biểu diễn Cuspidal của nhóm Gl2 trên trường p − adic

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thị Thu Hà MỘT SỐ BIỂU DIỄN CUSPIDAL CỦA NHÓM GL2 TRÊN TRƯỜNG P − ADIC Chuyên ngành: Đại số và lý thuyết số Mã số: 8460101.04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. ĐỖ VIỆT CƯỜNG Hà Nội - Năm 2019
Mục lục 1 Giới thiệu 3 2 Định giá và trường địa phương 6 3 Các `- nhóm 15 4 Lý thuyết biểu diễn của các `-nhóm 25 5 Độ đo Haar 35 6 Một vài tính chất của nhóm GLr 43 7 Biểu diễn hạn chế và biểu diễn cảm sinh 57 8 Biểu diễn cảm sinh parabolic và môđun Jacquet 62 9 Các biểu diễn của nhóm GL2 pFp q 66 10 Các biểu diễn cuspidal độ sâu 0 của GL2 pQp q 82 1
Lời cảm ơn Để hoàn thành quá trình nghiên cứu và hoàn thiện luận văn này, lời đầu tiên tác giả xin chân thành cảm ơn sâu sắc đến TS. Đỗ Việt Cường, cán bộ khoa Toán - Cơ - Tin Học – trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội. Thầy đã trực tiếp chỉ bảo và hướng dẫn tác giả trong suốt quá trình nghiên cứu để tác giả hoàn thiện luận văn này. Ngoài ra tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy, cô trong khoa Toán-Cơ-Tin Học đã tạo điều kiện và đóng góp những ý kiến quý báu để tác giả hoàn thành khóa học và bản luận văn này. Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ, tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. 2
1 Giới thiệu Lý thuyết biểu diễn của các nhóm p-adic là một hướng nghiên cứu hiện đang được rất nhiều nhà toán học quan tâm. Một trong những lý do thúc đẩy việc nghiên cứu các biểu diễn của các nhóm p-adic xuất phát từ chương trình Langlands. Người ta muốn xây dựng một mối liên hệ giữa các dạng tự đẳng cấu và các biểu diễn của các nhóm adelic mà các biểu diễn của các nhóm p-adic đóng vai trò như các thành phần địa phương của chúng. Một trong những điều đặc biệt quan trọng và mới của các nhóm p-adics (so với các nhóm thực) đó là sự tồn tại của các biểu diễn cuspidal. Chúng ta sẽ thấy rằng các biểu diễn cuspidal có vai trò như những “viên gạch” dùng để xây dựng tất cả các biểu diễn bất khả quy chấp nhận được của các nhóm p-adic. Bushnell và Kutzko trong quyển sách của mình [BK93] đã xây dựng hết tất cả các biểu diễn cuspidal của GLr pF q (với F là một trường p-adic). Các biểu diễn cuspidal được xây dựng cảm sinh từ biểu diễn hữu hạn chiều (đặc biệt nào đó) của các nhóm con mở compact. Mục tiêu của bài viết này là mô tả lại cách xây dựng đó cho trường hợp đơn giản nhất. Các biểu diễn cuspidal GL2 pQp q được xây dựng từ các biểu diễn cuspidal của GL2 pFp q (được xem như là một biểu diễn của nhóm con mở compact K0 : GL2 pZp q thông qua phép chiếu chính tắc GL2 pZp qÑ GL2pFpq). Những biểu diễn này được gọi là biểu diễn cuspidal độ sâu 0 của GL2 pQp q. Các kết quả trong luận văn đều là những kết quả đã biết, đóng góp của tác giả là tổng hợp, trình bày lại các kết quả này và chi tiết hóa chúng sao cho dễ tiếp cận và logic nhất có thể. Để luận văn có độ dài vừa phải, tác giả sử dụng một cách tự do các kết quả của lý thuyết biểu diễn của các nhóm hữu hạn (như lý thuyết đặc trưng, ...) mà không cần phải nhắc lại. Luận văn được trình bày như sau: • Mục 2: Chúng ta nhắc lại các khái niệm về định giá và trường địa phương. Trong mục này chúng ta định nghĩa thế nào là một trường p- adic và các tính chất của nó. Đồng thời ta cũng có được cách biểu diễn một phần tử của trường p-adic. • Mục 3: Chúng ta nhắc lại các khái niệm về `- nhóm tổng quát. Các nhóm GLr pF q mà chúng ta quan tâm chính là các `-nhóm. • Mục 4: Do các nhóm GLr pF q là các nhóm tôpô nên ta cũng cần nghiên cứu những biểu diễn nhóm tương thích với cấu trúc tôpô đó. Trong mục này chúng ta nêu 3
ra các định nghĩa của biểu diễn trơn, biểu diễn bất khả quy, biểu diễn chấp nhận được, cũng như bổ đề Schur, ... trong một ngữ cảnh mới (so với khái niệm biểu diễn của nhóm hữu hạn). • Mục 5: Được dùng để định nghĩa độ đo Haar, một độ đo đặc biệt của không gian compact địa phương. Khái niệm về nhóm đơn modular cũng như đặc trưng modular cũng được đề cập trong mục này. • Mục 6: Được dùng để nghiên cứu kĩ hơn về nhóm GLr pF q. Trong mục này chúng ta sẽ nhắc đến các phân tích phổ biến của nhóm này như: phân tích Bruhat, phân tích Iwasawa, phân tích Cartan. Đồng thời trong mục này ta cũng nói rõ hơn về tôpô của nó. • Mục 7: Được dùng để nhắc tới các khái niệm về biều diễn cảm sinh và hạn chế của một biểu diễn trơn. Trong mục này chúng ta đưa ra khái niệm biểu diễn cảm sinh và biểu diễn cảm sinh compact (được chuẩn hóa). Được chuẩn hóa ở đây được hiểu là nhân thêm căn bậc hai của đặc trưng modular. Lý do của việc chuẩn hóa này là do ta muốn biểu diễn cảm sinh của một biểu diễn unita cũng là một biểu diễn unita (do đối tượng chính của chúng ta không liên quan đến khái niệm biểu diễn unita nên khái niệm này sẽ không được đề cập trong nội dung của luận văn). • Mục 8: Một trong những cách xây dựng biểu diễn của các nhóm p-adic đó là cảm sinh từ những biểu diễn của nhóm con đơn giản hơn như các nhóm xuyến, hay các nhóm con parabolic. Mục này được dành cho việc định nghĩa các biểu diễn cảm sinh parabolic. Những biểu diễn không thể nhận được như một biểu diễn con của một biểu diễn cảm sinh từ một nhóm con parabolic thì được gọi là một biểu diễn cuspidal. Chúng được đặc trưng bằng việc có môđun Jacquet là không gian 0. • Mục 9: Trong mục này chúng ta mô tả tất cả các biểu diễn bất khả quy của nhóm GL2 pFp q. • Mục 10: Biểu diễn bất khả quy cuspidal độ sâu 0 của GL2 pQp q sẽ được trình bày trong mục này. 4
BẢNG THUẬT NGỮ VÀ KÝ HIỆU Q Trường số hữu tỷ R Trường số thực Fp Trường hữu hạn gồm p phần tử Qp Trường p-adic GLr pF q Nhóm tuyến tính tổng quát các ma trận cỡ r r Đơn modular Unimodular Xuyến Torus Phiếm hàm Functional Hoàn toàn không liên thông Totally disconnected Phần tử đơn trị hóa Uniformizer Phụ hợp Adjoint Môđun Jacquet Jacquet module Nâng lên Lifting 5
2 Định giá và trường địa phương Tài liệu tham khảo cho phần này là mục 2 của bài giảng về các biểu diễn của các nhóm p-adic reductive của Murnaghan [FM09]. Cho F là một trường không tầm thường (nghĩa là F 0). Định nghĩa 2.1. Một định giá trên F là một ánh xạ | | : F Ñ R¥0 thỏa mãn tính chất với mọi x, y PF ta có: (1) |x| 0 ô x 0, (2) |x.y | |x|.|y |, (3) |x y | ¤ |x| | y |. Ví dụ 2.2. 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên R là một định giá. 2. Nếu F là một trường hữu hạn, trên F có duy nhất một định giá đó là định giá tầm thường. Trường F hữu hạn nên có số phần tử là pn với p là một số nguyên tố và n là một số nguyên dương nào đó. Do đó xp 1 với mọi x P F . Điều này n dẫn đến |x|p |1|. Mặt khác ta lại có |1| 1 (do |1| |1.1| |1|2 và 1 0), n nên |x| là số thực dương và là căn của của đơn vị. Hay nói cách khác |x| 1. 3. Cho p là một số nguyên tố. Với mỗi số hữu tỉ x P Q , ta có thể viết x duy nhất dưới dạng x pe pa, b P Z, b 0; pa, pq pb, pq pa, bq 1q. Ta định nghĩa |x|p a b pe (và |0|p 0). Khi đó, | |p là một định giá trên Q. Thật vậy: (1) Từ định nghĩa ta có |x|p 0 ô x 0. 1 (2) Xét x pe a b và y pe1 ab1 ta có: e a e 1 a1 e e1 a.a1 e1 q pe .pe1 |x.y|p p .p b b1 p b.b1 p ppe |x|p.|y|p. p (3) Không mất tính tổng quát, giả sử e ¡ e1 , khi đó: e1 1 a a1 |x y |p p pee . b b1 p ¤ pe1 max t|x|p, |y|pu ¤ |x|p |y|p. Hơn nữa, nếu |x|p |y|p, khi đó |x y |p max t|x|p, |y|pu. Định giá này được gọi là định giá p-adic. 6
Định nghĩa 2.3. Hai định giá | |1 và | |2 trên F được gọi là tương đương với nhau nếu | |1 = | |c2, trong đó c là số thực dương nào đó. Định nghĩa 2.4. Một định giá được gọi là rời rạc nếu tồn tại δ ¡ 0 thỏa mãn tính chất 1 δ |a| 1 δ kéo theo |a| 1. Nói một cách khác, định giá | | được gọi là rời rạc nếu nhóm tlogp|a|q|a P F u là nhóm con rời rạc của nhóm pR, q. Ví dụ 2.5. 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên trường số thực R là một định giá không rời rạc. 2. Ta có tlogp|a|p q|a P Qu Z là một nhóm con rời rạc của nhóm pR, q. Định giá p-adic trên trường số hữu tỉ Q là một định giá rời rạc. Định nghĩa 2.6. Một định giá | | được gọi là không acsimet nếu nó (tương đương với) một định giá thỏa mãn tính chất: |x y | ¤ max t|x|, |y |u . Ví dụ 2.7. 1. Giá trị tuyệt đối thông thường trên R là định giá acsimet. 2. Định giá p-adic trên Q là định giá không acsimet. Bổ đề 2.8. Các điều kiện sau là tương đương: (1) | | là không acsimet. (2) |x| ¤ 1 với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. (3) |x| bị chặn với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. Chứng minh. • p1q ñ p2q. Do |1| |1.1| |1|2 và 1 0 nên |1| 1. Khi đó, do | 1|2 |p1q2| |1| 1 nên | 1| 1. Xét x là một phần tử của vành con của F sinh bởi 1 khi đó x chỉ có thể có một trong hai dạng sau: – Hoặc x 1 1 1. Khi đó ta có: |x| |1 1 1| ¤ max t|1|, |1|, , |1|u 1. – Hoặc x p1q p1q p1q. Khi đó ta có: |x| |p1q p1q p1q| ¤ max t| 1|, , | 1|u 1. 7
• p2q ñ p3q. Hiển nhiên. • p3q ñ p1q. Giả sử |x| ¤ c với mọi x thuộc vành con của F sinh bởi 1. Bằng cách đồng nhất các phần tử thuộc vành con của F sinh bởi 1 với các số nguyên ta có: ¸n k k nk |x y |n |px y qn | Cn .x .y k 0 ¸ n k k nk ¤ C .x .y n k 0 ¸n k nk ¸ n ¤ c. x .y ¤ c. |xk |.|ynk | k 0 k 0 ¸n ¤ c. pmax t|x|, |y|uqn cpn 1qpmax t|x|, |y |uqn . k 0 Suy ra |x y | ¤ c n .pn 1 1q n . maxt|x|, |y |u 1 (2.1) Cho n Ñ 8, ta sẽ chứng minh nÑlim8pc .pn 1q q 1. 1 1 n n p q Thật vậy, lim pc .pn 1q q lim pn 1q lim e 1 1 1 ln n 1 . ? n n n n nÑ 8 nÑ 8 nÑ 8 ? Xét f pnq lnpn 1q n, ta có f 1 pnq 1 ? 1 p? n 1q2 . n 1 2 n 2 npn 1q Suy ra ? lnpn 1q f 1 pnq 0 @n ¥ 0 ñ f pnq ¤ f p0q 0 ñ lnpn 1q nñ n ?1n . Lại có lnpn 8 nên lnpnn 1q ¡ n1 . 1q ¡ 1 khi n Ñ lnpn 1q p q Suy ra 1 n n ?1 n , cho n Ñ 8 ta có lim e nÑ 8 1 ln n 1 n Khi đó (2.1) ñ |x y | ¤ max t|x|, |y |u hay | | không acsimet. Một tôpô trên F cảm sinh bởi định giá | | có cơ sở là các tập mở có dạng: U pa, q tb P F ||b a| u a P F, P R . Ví dụ 2.9. Cho F là một trường hữu hạn. Tôpô cảm sinh từ định giá tầm thường trên F chính là tôpô rời rạc. Bổ đề 2.10. Nếu hai định giá | |1 và | |2 là tương đương nhau trên F thì tôpô cảm sinh bởi chúng là một. 8
Chứng minh. Với định giá | |1, ta có tôpô cảm sinh có cơ sở là tập mở có dạng: U1 pa, q tb P F ||b a|1 u pa P F, P R q Với định giá | |2 , ta có: U2 pa, 1 q tb P F ||b a|1 1 u pa P F, 1 P R q Theo giả thiết, | |1 | |2 suy ra Dc P R !sao cho | |1 | |c2). Khi đó U1 pa, q tb P F ||b a|c2 u b P F ||b a|2 . Điều này cho thấy U1 1 c cũng là tập mở trong tôpô cảm sinh bởi định giá | |2 . Tương tự ta cũng có U2 là tập mở trong tôpô cảm sinh bởi định giá | |1 . Vì vậy hai tôpô cảm sinh là một. Một trường F được trang bị một định giá cùng với tôpô cảm sinh từ định giá đó lập thành một không gian metric. Một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là liệu các dãy Cauchy của nó có hội tụ không? Ví dụ sau sẽ chỉ ra rằng không phải mọi dãy Cauchy trên một trường định giá đều hội tụ. Ví dụ 2.11. Xét dãy tan u P pQ, |.|5q xác định bởi a1 2. Lấy số nguyên an sao cho a2n 1 0 mod 5n . Chọn số nguyên b sao cho an 1 an b.5n thỏa mãn a2n 1 1 0 mod 5n 1 (sử dụng bổ đề Hensel cho đa thức f pxq x2 1, ta luôn có thể chọn được số nguyên b). Do an 1 an b.5n nên an 1 an mod 5n suy ra với m ¡ n ta có am an mod 5n . Khi đó, với mọi ¡ 0, tồn tại N P N sao cho @m ¡ n ¥ N , ta có: |am an|5 ¤ 5N suy ra tanu là dãy Cauchy. Mặt khác, giả sử dãy an có giới hạn là L P Q, khi đó cho n Ñ 8 ta có: |L2 1|5 0 suy ra L2 1, như vậy không có tồn tại L trên Q thỏa mãn, khi đó dãy tan u Cauchy nhưng không hội tụ trong Q với định giá 5-adic. Định nghĩa 2.12. Một trường K với định giá } } được gọi là làm đầy của trường F với định giá | | nếu: 1. F K, 2. } }|F | |, 3. K là đầy đủ với định giá } } (hay nói một cách khác là mọi dãy Cauchy trong K tương ứng với tôpô cảm sinh từ định giá } } đều hội tụ ), 4. K là bao đóng của F với tôpô cảm sinh từ } }. Ghi chú: Điều kiện thứ 4 trong định nghĩa trên là cần thiết vì với định giá acsimet thông thường (giá trị tuyệt đối) trên Q, ta có trường R (cùng với định giá giá trị tuyệt đối) và C (cùng với định giá lấy mô đun) đều thỏa mãn cả 3 tính chất đầu của định nghĩa. Tuy nhiên chỉ có R mới là trường làm đầy của Q theo định giá thông thường. 9
Định nghĩa 2.13. Cho trường số hữu tỉ Q và p là số nguyên tố. Làm đầy của Q theo định giá p-adic | |p được gọi là một trường p-adic và được ký hiệu là Qp. Định nghĩa 2.14. Một trường F được gọi là trường địa phương nếu: • trên F được trang bị một định giá không tầm thường và • F là compact địa phương (ở đây được hiểu là mỗi một điểm của F đều có một lân cận compact, đối với không gian Hausdorff thì điều kiện này cũng tương đương với mọi lân cận của một điểm bất kì của F đều chứa một lân cận compact của điểm đó) và đầy đủ tương ứng với tôpô cảm sinh từ định giá đó. Để kết thúc phần này, chúng ta sẽ chứng minh rằng Qp là một trường địa phương không acsimet. Kể từ bây giờ ta xét F là một trường được trang bị một định giá | | không tầm thường, không acsimet. Đặt O : ta P F ||a| ¤ 1u, O cùng với phép toán cộng và nhân cảm sinh từ F lập thành một vành con của F . Chứng minh O là một vành con của F . Với x, y P O ta có: |0| 0 ¤ 1 ñ 0 P O ñ O H. |x.y| |x|.|y| ¤ 1.1 ¤ 1 ñ xy P O. |x y | ¤ max t|x|, |y |u ¤ 1 ñ x y P O. | x| | 1.x| | 1|.|x| |x| ¤ 1 ñ x P O. Định nghĩa 2.15. Vành O : ta P F ||a| ¤ 1u được gọi là vành định giá nguyên. Iđêan P : ta P F ||a| 1u O là iđêan cực đại của O. Chứng minh P là một iđêan của O. Với x, y P P ta có: |0| 0 1 ñ 0 P P ñ P H. |x.y| |x|.|y| 1.1 1 ñ xy P P. |x y | ¤ max t|x|, |y |u 1 ñ x y P P. | x| | 1.x| | 1|.|x| |x| 1 ñ x P O. Với a P O, ta có: |a.x| |a|.|x| ¤ |x| 1 ñ ax P P. 10
Chứng minh P là iđêan cực đại. Giả sử M là iđêan của O sao cho P M O. Khi đó D a P M sao cho a R P. Do a R P nên |a| ¥ 1. Mặt khác ta lại có |a| P M O nên |a| ¤ 1. Vì thế |a| 1. Điều này dẫn đến |a1 | 1. Hay nói một cách khác a là phần tử khả nghịch trong O. Ta vừa chứng minh rằng M O hay P là iđêan cực đại của O. Định nghĩa 2.16. Trường k : O{P được gọi là trường các lớp thặng dư của F . Đặt F là làm đầy của trường F với định giá | |, O là vành định giá nguyên của F và P là iđêan cực đại của O. Ví dụ 2.17. Qp là làm đầy của trường Q với định giá p-adic. Vành định giá nguyên của nó là Zp : tx P Qp ||x|p ¤ 1u và iđêan cực đại của Zp là pZp. Bổ đề 2.18. Ánh xạ tự nhiên: O{P Ñ O{P a P Þ Ñ a P là một song ánh. Chứng minh. + Ánh xạ được định nghĩa tốt: Giả sử a P =b P suy ra a b PP suy ra a b P P (do P là làm đầy của P) ñ a P b P. + Đơn ánh: Giả sử a P b P suy ra a b P P ñ |a b|F 1. Mà a, b P O F , suy ra |a b|F 1 do đó a b P P hay a P b P. +Toàn ánh: Với α P O F bất kì, luôn tồn tại a P F sao cho |α a|F 1 ñ α a P P. Ta lại có |a|F |pa αq α|F ¤ max t|α|F , |a α|F u ¤ 1 nên a P O. Bổ đề 2.19. Định giá | | là rời rạc khi và chỉ khi P là iđêan chính. Chứng minh. + Điều kiện cần: Với || là rời rạc, ta sẽ chứng minh P là iđêan chính. Do |.| là rời rạc nên S : tlogp|a|q|a P F u là nhóm con rời rạc của nhóm cộng tính R (với tôpô thông thường). Do đó t0 ¤ logp|a|q ¤ r|a P F u với r ¡ 0 cố định nào đó chỉ có hữu hạn phần tử. Bằng cách chọn r đủ lớn và do |.| không tầm thường, ta nhận được tập hợp t0 logp|a|q ¤ r|a P F u khác rỗng và hữu hạn phần tử. Tập vừa nhận được có phần tử nhỏ nhất. Do đó t0 logp|a|q|a P F u cũng có phần tử nhỏ nhất. Gọi x ¡ 0 là phần tử nhỏ nhất đó. Xét s P S, tồn tại n P Z sao cho nx s ¤ pn 1qx. Mặt khác ta lại có 0 s nx P S (do S là nhóm con của nhóm cộng tính R), nên theo tính nhỏ nhất của phần tử x ta có s nx ¥ x. Điều này suy ra s pn 1qx. Vậy S Zx. 11
Điều này dẫn đến tập giá trị của định giá có dạng cZx Y t0u với c, x là các hằng số lớn hơn 0. Áp dụng điều trên ta có tập t|a| : a P P u có phần tử lớn nhất. Gọi $ P P là phần tử có định giá lớn nhất đó. Với b P P bất kì, ta có: |$1 b| |$1|.|b| ¤ |b|1|.|b| ¤ 1 ñ $1b P O. Đặt c $1 b, khi đó với b P P bất kì, ta luôn viết b $.c hay P là iđêan chính sinh bởi $. + Điều kiện đủ: Có P là iđêan chính, ta sẽ chứng minh | | là rời rạc. Giả sử P p$q, với a P F bất kì, ta có: |a| 1 ñ a P P ñ D b P O sao cho a b.$. Khi đó |a| |b.$| ¤ |$|. |a| ¡ 1 ñ |a1| 1, tương tự ta có thể suy ra |a1| |$| ñ |a| ¡ |$|1. Chọn δ sao cho 0 δ mint1 |$|, |$|1 1u. Khi đó, nếu 1 δ |a| 1 δ thì |a| 1. Do đó | | là rời rạc. Định nghĩa 2.20. Nếu | | là rời rạc, khi đó phần tử $ thỏa mãn P p$q được gọi là phần tử đơn trị hóa. Bổ đề 2.21. Cho F là một trường được trang bị một định giá | | không acsimet và là đầy đủ với tôpô cảm sinh từ định giá đó. Cho tan , n ¥ 0u là một dãy các phần tử của 8 ¸ F . Khi đó chuỗi ai hội tụ khi và chỉ khi lim an Ñ8 0 i 0 n ¸ n Chứng minh. Đặt sn ai . i 0 8 ¸ + Điều kiện cần: Giả sử chuỗi ai hội tụ, suy ra tồn tại giới hạn lim sn Ñ 8 s. Ta i 0 n có an sn sn1 ñ nÑlim8 an s s 0 + Điều kiện đủ: Giả sử lim an 0. Với M ¡ N ta có: nÑ 8 ¸M ¸ N | sM sN | ai i0 ai | aN 1 aM | ¤ max ¤¤ | ai | i0 N 1 i M Suy ra sn là dãy Cauchy, mà F là đầy đủ nên dãy sn hội tụ. Hay nói một cách khác, 8 ¸ chuỗi ai hội tụ. i 0 12
Bổ đề 2.22. Cho F là một trường được trang bị một định giá rời rạc || không acsimet và là đầy đủ với tôpô cảm sinh từ định giá đó. Cho $ là một phần tử đơn trị hóa của F . Gọi A O là tập chứa các phần tử đại diện của các lớp tương đương của O{P (mỗi lớp ta lấy ra một phần tử đại diện bất kì). Khi đó, với mọi a P O, a luôn có thể viết được dưới dạng 8 ¸ a an .$n , an P A. n 0 Hơn nữa, mọi chuỗi có dạng như trên đều hội tụ đến một phần tử a P O. Chứng minh. Lấy a P O, khi đó tồn tại duy nhất a0 P A sao cho a a0 P P p$q. Suy ra D b1 P O : a a0 b1 $ hay a a0 b1 $. Do b1 P O ñ D a1 P A : b1 a1 P P. Suy ra D b2 P O : b1 a1 b2 $ ñ b1 a1 b2 $. Khi đó a a0 a1 $ b2 $2 . Giả sử ta có a0 , a1 , . . . , aN P A và bN 1 P O sao cho a a0 a1 $ aN $N bN 1 $N 1 . Do bN 1 P O, nên tồn tại duy nhất aN 1 P A sao cho bN 1 aN 1 P P. Điều này suy ra tồn tại bN 2 P O thỏa mãn bN 1 aN 1 bN 2 $. Bằng quy nạp, ta định nghĩa được một dãy duy nhất các ai P A sao cho ¸ N a an $ n ¤ bN 1$ N 1 ¤ $N 1 . n0 Hay nói cách khác 8 ¸ a a0 a1 $ a2 $ 2 ... an $ n . n 0 Khẳng định thứ hai là hệ quả trực tiếp của bổ đề 2.21. Bổ đề 2.23. Cho F là đầy đủ tương ứng với định giá | | rời rạc (không yêu cầu phải là không acsimet) sao cho O{P là một trường hữu hạn. Khi đó O là một tập compact. Chứng minh. O cùng với tôpô cảm sinh từ định giá của F là một không gian metric. Trong không gian metric, compact và compact dãy là như nhau. Lấy taj uj PN P O, ta sẽ chỉ ra nó chứa một dãy con hội tụ. Theo bổ đề (2.22), với mỗi j, tồn tại tajn unPN P A 8 ¸ sao cho aj ajn $n . Vì A hữu hạn nên tồn tại b0 P A sao cho b0 xuất hiện ở vị trí no aj0 vô hạn lần, tồn tại b1 P A sao cho b1 xuất hiện ở vị trí aj1 vô hạn lần của những aj ¸8 có aj0 b0 . Tiếp tục quá trình trên, ta có b bn $n là giới hạn của một dãy con n0 của taj u. 13
Bổ đề 2.24. Cho F là một trường với định giá không tầm thường | |. Khi đó F là compact địa phương nếu và chỉ nếu mọi hình cầu đóng trong F đều compact. Chứng minh. Hình cầu đóng trong F là các tập con có dạng B pa, rq tx P F ||x a| ¤ ru với a P F, r ¡ 0. Rõ ràng nếu mọi hình cầu đóng trong F đều compact thì F là trường compact địa phương. Ngược lại, giả sử F là compact địa phương. Khi đó 0 có một lân cận compact, suy ra tồn tại ¡ 0 đủ nhỏ để quả cầu đóng B p0, q là compact (chọn đủ nhỏ để hình cầu đóng tâm 0 bán kính được chứa trong lân cận compact của 0). Vì | | là không tầm thường nên tồn tại c P F sao cho |c| ¡ 1. Với mọi n ¥ 1, hình cầu đóng B p0, |c|n q cn B p0, q cũng compact. Hơn nữa vì |c| ¡ 1 nên |c|n Ñ 8 khi n Ñ 8, suy ra mọi hình cầu đóng tâm 0 đều compact. Bằng phép tịnh tiến x ÞÑ x y với y P F ta có mọi hình cầu đóng trong F đều compact. Hệ quả 2.25. Cho | | là định giá không acsimet trên trường F . Khi đó, F là compact địa phương với định giá | | nếu và chỉ nếu các điều kiện sau đồng thời thỏa mãn: (1) Trường F là đầy đủ. (2) Định giá | | là rời rạc. (3) Trường thặng dư là hữu hạn. Chứng minh. + Điều kiện cần: Giả sử F compact địa phương. • Xét txn u là một dãy Cauchy bất kì trên F . Khi đó tồn tại N đủ lớn để với mọi n ¥ N ta có |xn xN | ¤ 1, tức là ta có thể giả sử txn u nằm trong hình cầu đóng B pxN , 1q. Theo Bổ đề (2.24) ta có B pxN , 1q compact, suy ra txn u có một dãy con hội tụ. Hơn nữa vì txn u là dãy Cauchy suy ra nó hội tụ. Khi đó F đầy đủ. • Giả sử phản chứng rằng | | không rời rạc, khi đó với mọi n ta luôn tồn tại xn sao cho 1 1{n |xn | 1 (do tính không rời rạc ta luôn có thể tìm được xn mà |xn| 1 mà 1 1{n |xn| 1 1{n, nếu |xn | ¡ 1, ta chỉ cần lấy phần tử nghịch đảo của nó). Ta được một dãy các xn nằm trong tập compact B p0, 1q, do đó ta có thể trích ra được một dãy con xik hội tụ đến x0 khi k tiến đến vô cùng. Với mọi N0 P N tồn tại N1 sao cho với mọi k ¥ N1 ta có |xi x0| ¤ 1{N0. k Chọn k ¥ N1 sao cho 1{N0 1 1{ik . Khi đó ta có |x0 | |x0 xi xi | ¤ k k maxt|x0 xi |, |xi |u |xi | 1. k k k 14
Mặt khác ta lại có 1 1{ik |xi | 1, nên theo nguyên lý kẹp |x0| 1 (mâu k thuẫn). Vậy định giá |.| là rời rạc. • Vành định giá nguyên O của F là hình cầu đóng B p0, 1q, nên theo bổ đề 2.24 nó phải là một tập compact. Do P B p0, 1q với phép toán cộng là một nhóm con mở của O, nên x P lập thành một phủ mở của O khi cho x chạy trên tập các phần tử đại diện của O{P (mỗi lớp tương đương lấy một phần tử đại diện bất kì). Do đó ta có thể trích ra một phủ con hữu hạn (do O là một tập compact). Mặt khác ta lại có O là hợp rời của các tập mở x P với x chạy trên tập các phần tử đại diện của O{P. Điều này suy ra O{P phải là tập hữu hạn. (Ta cũng có thể xem mệnh đề này là hệ quả trực tiếp của mệnh đề 3.7 ở dưới). + Điều kiện đủ: Giả sử F thỏa mãn (1), (2), (3), theo bổ đề (2.23) suy ra O là tập compact. Theo bổ đề 2.19, ta có P là một iđêan chính. Gọi $ là phần tử sinh của P. Khi đó x $n O lập thành một cơ sở gồm toàn các tập compact của x P F . Do đó F là một không gian compact địa phương Hệ quả 2.26. Trường Qp là một trường địa phương không acsimet. 3 Các `- nhóm Tài liệu tham khảo cho phần này là bài giảng về các nhóm tôpô của Ryan Vinroot [RV18]. Định nghĩa 3.1. Cho G là một không gian tôpô, G được gọi là một nhóm tôpô nếu nó được trang bị phép toán hai ngôi “ ” thỏa mãn tính chất: 1. pG, q là một nhóm. 2. Ánh xạ m : G G Ñ G : px, y q ÞÑ x.y là một ánh xạ liên tục. 3. Ánh xạ i : G Ñ G : g ÞÑ g1 là một ánh xạ liên tục. Ví dụ 3.2. 1. Nhóm pQp , q là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh từ định giá p-adic. 2. Nhóm pQ p , q là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh từ tôpô của Qp . 3. Nhóm các ma trận vuông cấp n, pMr pQp q, q là một nhóm tôpô với tôpô là tôpô r2 (ở đây ta đồng nhất không gian Mr pQp q với không gian Qrp ). 2 tích trên Qp 15
4. Nhóm các ma trận vuông cấp n khả nghịch pGLr pQp q, q là một nhóm tôpô với tôpô cảm sinh từ tôpô của Mr pQp q. Ta có tính chất hiển nhiên sau đây: Bổ đề 3.3. Cho G là một nhóm tôpô. Khi đó: (1) Ánh xạ: g ÞÑ g1 là một phép đồng phôi từ G vào chính nó. (2) Cố định g0 P G, các ánh xạ g ÞÑ g0 g, g ÞÑ g g0 và g ÞÑ g0 g g01 là các phép đồng phôi từ G vào chính nó. Cho S, T là hai tập con khác rỗng của G. Ta kí hiệu ST và S 1 cho các tập tương ứng sau: ST : tst|s P S, t P T u, và S 1 : ts1 |s P S u. Tập S được gọi là đối xứng nếu S 1 S. Hệ quả 3.4. Với g0 P G, tập U mở (tương ứng đóng, compact) trong G thì các tập U 1 , g0 U , U g0 , g01 U g0 cũng mở (tương ứng đóng, compact) trong G. Bổ đề 3.5. Cho G là một nhóm tôpô. Mọi lân cận mở U của 1 đều chứa một lân cận mở, đối xứng V của 1 sao cho V V U. Chứng minh. Xét ánh xạ nhân m : U U Ñ G. Do m là ánh xạ liên tục nên m1 pU q là một tập mở và chứa p1, 1q. Do đó tồn tại hai tập mở V1 và V2 của U sao cho p1, 1q P V1 V2 và V1V2 U . Đặt V3 V1 X V2, khi đó V3V3 U và V3 là một lân cận mở của 1. Cuối cùng, đặt V V3 X V31 . Tập V là một tập mở chứa 1, đối xứng và thỏa mãn tính chất V V U . Bổ đề 3.6. Mọi nhóm con mở H của nhóm tôpô G thì cũng là tập đóng. § Chứng minh. Ta có: G gH. Theo hệ quả (3.4), do H mở suy ra gH mở trong § P { g G H § G ñ gH là tập mở trong G. Do đó H G gH là tập đóng trong P { g G H P { g G H,gH H G. Cho H là một nhóm con của nhóm tôpô G (ở đây chúng ta không yêu cầu H là một nhóm con chuẩn tắc), và xét p : G Ñ G{H phép chiếu chính tắc từ G lên G{H. Chúng ta định nghĩa một tôpô thương trên G{H là tôpô mạnh nhất để p là ánh xạ chiếu liên tục. Nói một cách chính xác hơn, V là một tập mở trên G{H nếu tồn tại một tập mở U trên G thỏa mãn tính chất ppU q V . Từ định nghĩa, ta có thể dễ dàng thấy rằng p là ánh xạ mở (biến một tập mở thành tập mở). 16
Mệnh đề 3.7. Cho H là một nhóm con của nhóm tôpô G. Khi đó ta có: 1. Nếu H compact, thì p là một ánh xạ đóng (ánh xạ biến một tập đóng thành tập đóng). 2. G{H là không gian Hausdorff khi và chỉ khi H là một tập đóng. 3. Nếu G compact địa phương, thì G{H cũng compact địa phương. Nếu, ta yêu cầu thêm rằng, H là một tập đóng, thì H cũng là một tập compact địa phương. 4. Nếu G là không gian Hausdorff và H là nhóm con compact địa phương của G, thì H là một tập đóng. 5. Nếu H là nhóm con chuẩn tắc, thì G{H với tôpô thương là một nhóm tôpô. 6. H là một tập mở khi và chỉ khi G{H là tập rời rạc. Nếu G là nhóm compact, thì khi đó H là một tập mở khi và chỉ khi G{H là tập hữu hạn. Chứng minh. 1. Xét S là một tập đóng trên G. Đặt V ppS q, ta có SH p1pV q p1pG{H V cq p1pG{H q p1pV cq G p1pV cq. Do đó p ánh xạ đóng khi và chỉ khi V cũng là đóng khi S chạy trên họ các tập đóng của G. Điều này tương đương với V c (ở đây V c được hiểu là phần bù của V trong G{H) là một tập mở. Theo định nghĩa của tôpô thương thì điều đó tương đương với p1 pV c q là một tập mở trong G. Sử dụng đẳng thức trên thì p1 pV c q là một tập mở trong G khi và chỉ khi SH là một tập đóng trên G. Do đó để chứng minh p là một ánh xạ đóng ta chỉ cần chứng minh rằng S là tập con đóng của G, thì SH cũng là một tập con đóng của G. Nếu SH G, khẳng định trên là hiển nhiên. Bây giờ, ta giả sử rằng pSH qc G SH H. Lấy x P pSH qc , khi đó ta có S X xH 1 H. Chúng ta muốn chứng minh rằng tồn tại một lân cận Vx của x được chứa trong SH c , hay nói một cách khác là tồn tại một lân cận mở Vx sao cho S X Vx H 1 H. Do V Vxx1 là lân cận mở của 1 và xH 1 là một tập compact, nên ta chỉ cần chứng minh khẳng định sau: “Cho S và T tương ứng là tập con đóng và tập con compact của G thỏa mãn SXT H. Khi đó tồn tại một lân cận mở V của 1 sao cho S X V T H.” Lấy t P T , khi đó tồn tại một lân cận mở Wt của 1 thỏa mãn tính chất Wt Wt S c t1 (dễ dàng thấy rằng S c t1 là một lân cận mở của 1). Thật vậy, do m là ánh xạ 17
liên tục nên m1 pS c t1 q là tập con mở của G G và chứa p1, 1q. Theo định nghĩa của tôpô tích, tồn tại hai lân cận mở V1 , V2 của 1 sao cho V1 V2 m1pS ct1q, hay V1 V2 S ct1. Chọn Wt V1 X V2, khi đó WtWt S ct1. Hơn thế nữa, do T tập compact, nên tồn tại một tập hữu hạn J của t P T thỏa mãn tính chất T tPJ Wtt (cho t chạy trong T ta thu được một phủ mở gồm các Wt t của T ). Bây giờ ta đặt V tPJ Wt một lân cận mở của 1. Với t1 P T bất kì, luôn tồn tại t P J sao cho t1 P Wt t. Ta có V t1 Wtt1 WtWtt S c, @t1 P T. Vậy V T S c. Nói một cách khác, ta có S X V T H. 2. Giả sử rằng X là một không gian Hausdorff. Khi đó bất kì tập con gồm có 1 điểm nào của X cũng là một tập đóng. Thật vậy, lấy x P X, và y P txuc. Do X là Hausdorff nên tồn tại một lân cận mở Uy của y sao cho x R Uy , hay nói một cách khác Uy txuc . Do đó txuc là một tập mở. Áp dụng khẳng định trên cho X G{H, ta được trH su là tập đóng trong G{H. Ta lại có p1 ptrH suq H. Từ định nghĩa của tôpô thương, ta suy ra rằng H phải là một tập con đóng của G. Ta vừa chứng minh rằng G{H là Hausdorff thì H là một nhóm con đóng của G. Bây giờ ta sẽ chứng minh điều ngược lại cũng đúng. Giả sử H là một tập con đóng của G. Trước hết chúng ta sẽ chứng minh khẳng định sau đây: “Cho X là một không gian tôpô, và đặt ∆ tpx, xq|x P X u X X. Khi đó X X với tôpô tích.” là Hausdorff khi và chỉ khi ∆ là một tập con đóng của X Giả sử ∆ là tập con đóng của X X. Lấy x y P X, khi đó px, y q P ∆c và ∆c là một tập mở. Theo định nghĩa của tôpô tích, tồn tại một lân cận mở U của x và một lân cận mở V của y sao cho U V ∆c. Do đó U X V H. Giả sử X là một không gian Hausdorff. Lấy px, y q P ∆c , khi đó ta có x y. Do X là Hausdorff, khi đó tồn tại x P U và y P V sao cho U X V H. Do đó U V ∆c là một lân cận mở của px, y q. Điều này suy ra ∆c là một tập con mở của X X, hay X là một tập con đóng. Sử dụng khẳng định này, chúng ta chỉ cần kiểm tra rằng ∆G{H tpgH, gH qu là một tập đóng trong G{H G{H. Ta xét ánh xạ tự nhiên sau đây (ta bỏ qua việc kiểm tra xem ánh xạ có được định nghĩa tốt) f : pgH, g 1 H q ÞÑ pg, g 1 qpH H q 18