Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence
lượt xem 2
download
Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Luận văn sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.
Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!
Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
- BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
- LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn tôi lựa chọn và thực hiện đề tài này, cảm ơn Thầy đã tận tâm chỉ bảo, giúp đỡ và truyền đạt kiến thức để tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là khoa Toán- tin và phòng sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Qua đây tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên trong lớp Toán giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ cũ, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 9 năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ
- DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU x = x(x0 , xn ) một điểm điển hình trong Rn . Rn+ = {x ∈ R : xn > 0} không gian Rn với các điểm có xn > 0. Br = {x ∈ Rn : |x| < r} quả cầu mở tâm O, bán kính r trong Rn Br+ = Br ∩ {xn > 0} nửa quả cầu. Qr = Br × (−r2 , 0] hình lập phương parabolic. 2 2i Cr = Br × − r2 , r2 hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ. ΩT = Ω × (0, T ) Miền trụ với chiều cao T và đáy Ω ⊂ Rn . = {(x, t) : x ∈ Rn , t ∈ (0, T )} ∇u(x, t) = (ux1 (x, t), ..., uxn (x, t)) Gradient của u. divf(x, t) = Z ni=1 (f i (x, t))xi P Divergence của f. 1 f Qr = f (x, t)dxdt giá trị trung bình của hàm f trên Qr . |Qr | Qr ∂p ΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) biên của parabolic. ∂p Qr = (∂Br × [−r2 , 0]) ∪ (Br × {−r2 }) biên của parabolic. C0∞ (ΩT ) = {u ∈ C ∞ (ΩT ) : u có giá compact trong ΩT }. Không gian V2 (ΩT ) là tập hợp các hàm v ∈ W 1,2 (ΩT ) sao cho: kvkV2 (ΩT ) = sup kv(·, t)kL2 (ΩT ) + kvkW 1,2 (ΩT ) < ∞. 0≤t≤T n R 1 o L (ΩT ) = u : kukLp (ΩT ) = ( Ω |u|p dxdt) p < ∞ (1 6 p < ∞) p W01,p (ΩT ) là không gian Sobolev với kukW 1,p (ΩT ) = kukLp (ΩT ) + k∇ukLp (ΩT ) 0 Ta nói u ∈ W01,p (Ω) nếu u ∈ W 1,p (Ω) và u = 0 trên biên của Ω. Chuẩn trong không gian BM O (dao Z động trung bình BM O rất bé). 1 [A]BM O = sup sup |A(y, s) − Acr (x,t) |2 dyds 1. r>0 (x,t) |Cr | cr (x,t)
- Mục lục Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.Kết quả chính quy nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . 22 2.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg. . . . . . . . . 41 3.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
- Giới thiệu Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Có khá nhiều phương pháp để khảo sát tính chính quy nghiệm của các lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] hoặc parabolic [14], [15], [11], [5]. Gần đây, một số kết quả về chủ đề này cho các phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục được nghiên cứu trên các miền có biên Lipschitz [4] hoặc thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11], [12]. Ý tưởng chứng minh các kết quả này dựa trên việc sử dụng bổ đề phủ Vitali và một số bất đẳng thức có dạng “level sets” thông qua các toán tử cực đại được nghiên cứu nhiều trong lĩnh vực giải tích điều hòa. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet như sau ut − div(A∇u) = divf trong ΩT , u =0 trên ∂p ΩT , trong đó tham số 1 < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát phương trình này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 6 ξ T A(x, t)ξ 6 Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , 1
- 2 với Λ là hằng số dương cho trước. Chính xác hơn, chúng tôi trình bày lại các chứng minh của tác giả S.-S. Byun và cộng sự về kết quả chính quy của nghiệm yếu phương trình (1.1) trong ba trường hợp, bao gồm kết quả chính quy địa phương bên trong miền xác định và kết quả chính quy toàn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc Reifenberg. Phương pháp chung cho các chứng minh này là xây dựng bất đẳng thức sau đây mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức dạng “level sets”:
- (x, t) ∈ Q1 : M |∇u|2 > N12k
- k X
- n o
- 2 2(k−i)
- 2
- i1
- (x, t) ∈ Q1 : M|f | > δ 2 N1
- + k1
- (x, t) ∈ Q1 : M|∇u| > 1
- ,
- 6
CÓ THỂ BẠN MUỐN DOWNLOAD
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán quy hoạch lồi
60 p | 328 | 76
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý ánh xạ co và phương pháp điểm gần kề cho bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị đơn điệu
45 p | 322 | 70
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán tối ưu trên tập hữu hiệu của bài toán tối ưu đa mục tiêu hàm phân thức a - phin
56 p | 254 | 39
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán ổn định các hệ tuyến tính lồi đa diện có trễ
41 p | 238 | 38
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Hàm giá trị tối ưu và ánh xạ nghiệm của các bài toán tối ưu có tham số
63 p | 230 | 38
-
Tóm tắt luận văn thạc sĩ toán học: Bài toán biên hỗn hợp thứ nhất đối với phương trình vi phân
20 p | 239 | 29
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Cơ sở Wavelet trong không gian L2 (R)
45 p | 230 | 27
-
Luận văn thạc sĩ toán học: Xấp xỉ tuyến tính cho 1 vài phương trình sóng phi tuyến
45 p | 204 | 21
-
Luân văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử trung hòa và phương trình vi phân trung hòa
58 p | 141 | 6
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán cực tiêu chuẩn nguyên tử của ma trận
65 p | 16 | 5
-
Tóm tắt Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán sắp xếp kho vận với ràng buộc sắp xếp
20 p | 44 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Điều kiện tối ưu cho bài toán quy hoạch toán học tựa khả vi
41 p | 45 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển chỉnh hình kiểu Riemann
55 p | 95 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp phân tích trực giao chuẩn (POD) cho bài toán xác định tham số trong phương trình Elliptic
106 p | 17 | 5
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại và tính trơn của tập hút toàn cục đối với bài toán Parabolic suy biến nửa tuyến tính trong không gian (LpN)
43 p | 76 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Vấn đề duy nhất của hàm phân hình chung nhau một hàm nhỏ
48 p | 70 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Thác triển ánh xạ chỉnh hình kiểu Riemann
54 p | 96 | 4
-
Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nhiễu sinh ra đồng bộ hóa cho một số hệ đơn giản
55 p | 38 | 3
Chịu trách nhiệm nội dung:
Nguyễn Công Hà - Giám đốc Công ty TNHH TÀI LIỆU TRỰC TUYẾN VI NA
LIÊN HỆ
Địa chỉ: P402, 54A Nơ Trang Long, Phường 14, Q.Bình Thạnh, TP.HCM
Hotline: 093 303 0098
Email: support@tailieu.vn