Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

22
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Luận văn sẽ tìm hiểu sâu hơn về vấn đề này.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số kết quả chính quy nghiệm cho phương trình Parabolic dạng Divergence

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH Cao Phi Thơ MỘT SỐ KẾT QUẢ CHÍNH QUY NGHIỆM CHO PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC DẠNG DIVERGENCE Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 84 601 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC : TS. NGUYỄN THÀNH NHÂN Thành phố Hồ Chí Minh - 2019
LỜI CẢM ƠN Trước hết tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới TS. Nguyễn Thành Nhân, người trực tiếp hướng dẫn tôi lựa chọn và thực hiện đề tài này, cảm ơn Thầy đã tận tâm chỉ bảo, giúp đỡ và truyền đạt kiến thức để tôi hoàn thành luận văn của mình. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý thầy cô trường Đại học sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là khoa Toán- tin và phòng sau đại học đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu. Qua đây tôi cũng xin gởi lời cảm ơn đến các bạn học viên trong lớp Toán giải tích k28, bạn bè, đồng nghiệp đã luôn cổ cũ, động viên và giúp đỡ tôi hoàn thành khóa học này. Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 28 tháng 9 năm 2019 Học viên Cao Phi Thơ
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU x = x(x0 , xn ) một điểm điển hình trong Rn . Rn+ = {x ∈ R : xn > 0} không gian Rn với các điểm có xn > 0. Br = {x ∈ Rn : |x| < r} quả cầu mở tâm O, bán kính r trong Rn Br+ = Br ∩ {xn > 0} nửa quả cầu. Qr = Br × (−r2 , 0] hình lập phương parabolic. 2 2i Cr = Br × − r2 , r2 hình lập phương parabolic tâm gốc tọa độ. ΩT = Ω × (0, T ) Miền trụ với chiều cao T và đáy Ω ⊂ Rn . = {(x, t) : x ∈ Rn , t ∈ (0, T )} ∇u(x, t) = (ux1 (x, t), ..., uxn (x, t)) Gradient của u. divf(x, t) = Z ni=1 (f i (x, t))xi P Divergence của f. 1 f Qr = f (x, t)dxdt giá trị trung bình của hàm f trên Qr . |Qr | Qr ∂p ΩT = (∂Ω × [0, T ]) ∪ (Ω × {0}) biên của parabolic. ∂p Qr = (∂Br × [−r2 , 0]) ∪ (Br × {−r2 }) biên của parabolic. C0∞ (ΩT ) = {u ∈ C ∞ (ΩT ) : u có giá compact trong ΩT }. Không gian V2 (ΩT ) là tập hợp các hàm v ∈ W 1,2 (ΩT ) sao cho: kvkV2 (ΩT ) = sup kv(·, t)kL2 (ΩT ) + kvkW 1,2 (ΩT ) < ∞. 0≤t≤T n R 1 o L (ΩT ) = u : kukLp (ΩT ) = ( Ω |u|p dxdt) p < ∞ (1 6 p < ∞) p W01,p (ΩT ) là không gian Sobolev với kukW 1,p (ΩT ) = kukLp (ΩT ) + k∇ukLp (ΩT ) 0 Ta nói u ∈ W01,p (Ω) nếu u ∈ W 1,p (Ω) và u = 0 trên biên của Ω. Chuẩn trong không gian BM O (dao Z động trung bình BM O rất bé). 1 [A]BM O = sup sup |A(y, s) − Acr (x,t) |2 dyds 1. r>0 (x,t) |Cr | cr (x,t)
Mục lục Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 Chương 1. Phương trình parabolic với hệ số không liên tục . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.Sự tồn tại nghiệm yếu và bổ đề phủ Vitali. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.5.Kết quả chính quy nghiệm địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 Chương 2. Phương trình với hệ số BMO trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . 22 2.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Lipschitz . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 Chương 3. Phương trình với hệ số BMO trên miền Reifenberg. . . . . . . . . 41 3.1.Bổ đề phủ Vitali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3.2.Các đánh giá địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3.Các đánh giá so sánh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.4.Bất đẳng thức dạng “level sets” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 3.5.Kết quả chính quy nghiệm trên miền Reifenberg . . . . . . . . . . . . . . . 59 Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62 Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63
Giới thiệu Phương trình đạo hàm riêng là một trong những chủ đề được nhiều nhà toán học nghiên cứu, mà một trong các vấn đề cơ bản nhất là sự tồn tại, duy nhất và các tính chất nghiệm. Bên cạnh bài toán về sự tồn tại và duy nhất nghiệm của phương trình đạo hàm riêng, thì các câu hỏi về tính chính quy nghiệm cũng rất được quan tâm. Có khá nhiều phương pháp để khảo sát tính chính quy nghiệm của các lớp phương trình elliptic [2], [3], [8], [9], [7] hoặc parabolic [14], [15], [11], [5]. Gần đây, một số kết quả về chủ đề này cho các phương trình có dạng divergence với hệ số không liên tục được nghiên cứu trên các miền có biên Lipschitz [4] hoặc thỏa điều kiện Reifenberg [10], [11], [12]. Ý tưởng chứng minh các kết quả này dựa trên việc sử dụng bổ đề phủ Vitali và một số bất đẳng thức có dạng “level sets” thông qua các toán tử cực đại được nghiên cứu nhiều trong lĩnh vực giải tích điều hòa. Trong luận văn này, chúng tôi tìm hiểu một số kết quả về tính chính quy nghiệm của phương trình parabolic tuyến tính, có dạng divergence với điều kiện biên Dirichlet như sau  ut − div(A∇u) = divf trong ΩT ,  u =0 trên ∂p ΩT , trong đó tham số 1 < p < ∞, u = u(x, t) với (x, t) ∈ ΩT = Ω × (0, T ] là nghiệm của phương trình và f ∈ Lp (ΩT ; Rn ) là hàm dữ liệu cho trước. Đặc biệt, chúng tôi khảo sát phương trình này với hệ số A không liên tục, nhưng có chuẩn BMO nhỏ và thỏa điều kiện sau: Λ−1 |ξ|2 6 ξ T A(x, t)ξ 6 Λ|ξ|2 , ∀(x, t) ∈ ΩT , ξ ∈ Rn , 1
2 với Λ là hằng số dương cho trước. Chính xác hơn, chúng tôi trình bày lại các chứng minh của tác giả S.-S. Byun và cộng sự về kết quả chính quy của nghiệm yếu phương trình (1.1) trong ba trường hợp, bao gồm kết quả chính quy địa phương bên trong miền xác định và kết quả chính quy toàn cục cho miền có biên thỏa mãn điều kiện Lipschitz hoặc Reifenberg. Phương pháp chung cho các chứng minh này là xây dựng bất đẳng thức sau đây mà chúng tôi gọi là bất đẳng thức dạng “level sets”:
(x, t) ∈ Q1 : M |∇u|2 > N12k
k X
n o
2 2(k−i)
2
i1
(x, t) ∈ Q1 : M|f | > δ 2 N1
+ k1
(x, t) ∈ Q1 : M|∇u| > 1
,
6