Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi và áp dụng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:67

Thêm vào BST

Báo xấu

28
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn này trình bày một cách hệ thống những lớp phương trình hàm với đối số biến đổi và phương pháp giải chúng. Đồng thời nêu ra một số áp dụng của phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi vào lớp các phương trình hàm đa thức đại số và lượng giác. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi và áp dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ PHƯƠNG ANH MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI ĐỐI SỐ BIẾN ĐỔI VÀ ÁP DỤNG Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 60.46.01.13 LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. NGUYỄN VĂN MẬU Thái Nguyên - 2015
Mục lục LỜI CẢM ƠN i DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ii MỞ ĐẦU 1 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 3 1.1 Tính trù mật . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Tính chất cơ bản của hàm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . 3 1.2.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . 4 1.3 Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Phương trình hàm Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.5 Một số phương pháp giải phương trình hàm . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.1 Phương pháp thế . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.5.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.5.4 Phương pháp quy nạp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2 PHƯƠNG TRÌNH HÀM VỚI CÁC PHÉP BIẾN HÌNH SƠ CẤP 14 2.1 Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình . . . . . 14 2.1.1 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính . . . . . . . . . 14 2.1.2 Hàm tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính . . . . . . . . 20 2.1.3 Hàm số chẵn, hàm số lẻ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.4 Hàm số sinh bởi phép nghịch đảo . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.2 Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính . . 26 2.2.1 Phương trình dạng f (αx + β) = af (x) + b . . . . . . . . . . . 26
ax + b 2.2.2 Phương trình dạng f = αf (x) + β . . . . . . . . . . 29 cx + d 2.2.3 Phương trình dạng a (x) f (x) + b (x) f (ω (x)) = c (x) . . . . . 32 2.3 Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi . . . . . . . . . . . 36 3 MỘT SỐ ÁP DỤNG 42 3.1 Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức . . . . . . . . . . . . . . . 42 3.1.1 Một số bài toán xác định đa thức cơ bản . . . . . . . . . . . 42 3.1.2 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) . . . . . . . . . . . . . . 45 3.1.3 Phương trình dạng P (f )P (g) = P (h) + Q . . . . . . . . . . . . 50 3.2 Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác . . . . . . . . . . . . . . 53 KẾT LUẬN 60 TÀI LIỆU THAM KHẢO 61
i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành luận văn này tôi xin bày tỏ lòng kính trọng và sự biết ơn sâu sắc tới GS-TSKH Nguyễn Văn Mậu. Thầy đã truyền đạt cho tôi những kiến thức, kinh nghiệm quý báu trong học tập và là thầy trực tiếp hướng dẫn tôi hoàn thành luận văn. Tôi xin chân thành cảm ơn: - Ban giám hiệu, Phòng đào tạo sau đại học, khoa Toán - Tin của trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên, các thầy cô đã tham gia giảng dạy cho lớp Cao học toán K7A. - Sở giáo dục & Đào tạo tỉnh Tuyên Quang, Ban giám hiệu trường THPT Chuyên Tuyên Quang, bạn bè đồng nghiệp và gia đình đã quan tâm động viên, tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong thời gian học tập, nghiên cứu.
ii DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU ∀, ∃ : Các ký hiệu của logic R : Tập hợp các số thực R+ : Tập hợp các số thực dương R− : Tập hợp các số thực âm Q : Tập hợp các số hữu tỷ Z : Tập hợp các số nguyên Z+ : Tập hợp các số nguyên dương N : Tập hợp các số tự nhiên x ∈ M : x là phần tử của M ∩, ∪, ⊂, ⊃ : là các phép toán trên tập hợp
1 MỞ ĐẦU Phương trình hàm là một trong những chuyên đề quan trọng thuộc chương trình chuyên toán trong các trường THPT chuyên. Trong các kỳ thi Olympic toán quốc gia, khu vực và quốc tế thường xuất hiện các dạng toán khác nhau có liên quan đến phương trình hàm. Chúng được xem như là những bài toán khó và mới mẻ đối với học sinh THPT. Những tài liệu tham khảo dành cho học sinh về lĩnh vực này không nhiều. Đặc biệt trong các tài liệu sách giáo khoa dành cho học sinh THPT thì phương trình hàm với đối số biến đổi chưa được trình bày một cách hệ thống và đầy đủ. Xuất phát từ thực tế đó, trong luận văn này tác giả trình bày một cách hệ thống những lớp phương trình hàm với đối số biến đổi và phương pháp giải chúng. Đồng thời nêu ra một số áp dụng của phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi vào lớp các phương trình hàm đa thức đại số và lượng giác. Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn được chia thành ba chương: Một số kiến thức cơ bản - Tính trù mật - Tính chất cơ bản của hàm số - Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp - Các phương trình hàm dạng Cauchy - Một số phương pháp giải phương trình hàm Phương trình hàm với các phép biến hình sơ cấp - Biểu diễn một số lớp hàm bất biến với các phép biến hình - Phương trình hàm với dịch chuyển bậc nhất và phân tuyến tính - Một số lớp phương trình hàm với đối số biến đổi
2 Một số áp dụng - Phương trình hàm trong lớp hàm đa thức - Phương trình hàm trong lớp hàm lượng giác . Thái Nguyên, ngày 10 tháng 4 năm 2015 Tác giả Nguyễn Thị Phương Anh
3 Chương 1 MỘT SỐ KIẾN THỨC CƠ BẢN 1.1 Tính trù mật Tập hợp A ⊂ R được gọi là trù mật trong R nếu và chỉ nếu với mọi x, y ∈ R, x < y đều tồn tại a ∈ A sao cho x < a < y. Một số ví dụ về tập trù mật a) Q là trù mật trong R. nm o b) Tập hợp A = , m ∈ Z, n ∈ N là tập trù mật trong R . 2n 1.2 Tính chất cơ bản của hàm số Xét hàm số f (x) với tập xác định D (f ) ⊂ R và tập giá trị R (f ) ⊂ R. 1.2.1 Hàm số chẵn, hàm số lẻ Định nghĩa 1.1 (Xem [4]). a) f (x) được gọi là hàm số chẵn trên M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt là hàm chẵn trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = f (x) , ∀x ∈ M. b) f (x) được gọi là hàm số lẻ trên M, M ⊂ D (f ) (gọi tắt là hàm lẻ trên M ) nếu ∀x ∈ M ⇒ −x ∈ M và f (−x) = −f (x) , ∀x ∈ M. 1.2.2 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn cộng tính Định nghĩa 1.2 (Xem [4]). a) Hàm số f (x)được gọi là hàm tuần hoàn cộng tính chu kì a (a > 0) trên M ∀x ∈ M ⇒ x ± a ∈ M nếu M ⊂ D (f ) và f (x + a) = f (x) , ∀x ∈ M.
4 b) Cho f (x) là một hàm tuần hoàn cộng tính trên M . Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) tuần hoàn với chu kì T mà không là hàm tuần hoàn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T . Định nghĩa 1.3 (Xem [4]). a) Hàm số f (x)được gọi là phản tuần hoàn cộng tính chu kì b (b > 0) trên M ∀x ∈ M ⇒ x ± b ∈ M nếu M ⊂ D (f ) và f (x + b) = −f (x) , ∀x ∈ M. b) Cho f (x) là một hàm phản tuần hoàn cộng tính trên M . Khi đó T (T > 0) được gọi là chu kì cơ sở của f (x) nếu f (x) phản tuần hoàn cộng tính với chu kì T mà không là hàm phản tuần hoàn cộng tính với bất cứ chu kì nào bé hơn T . 1.2.3 Hàm số tuần hoàn và phản tuần hoàn nhân tính Định nghĩa 1.4 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm tuần hoàn nhân tính chu kì a (a ∈ / {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và ∀x ∈ M ⇒ a±1 x ∈ M f (ax) = f (x) , ∀x ∈ M. Định nghĩa 1.5 (Xem [4]). f (x) được gọi là hàm phản tuần hoàn nhân tính chu kì a (a ∈ / {0; 1; −1}) trên M nếu M ⊂ D (f ) và ±1 ∀x ∈ M ⇒ a x ∈ M f (ax) = −f (x) , ∀x ∈ M. 1.3 Một số đặc trưng hàm của hàm số sơ cấp Trong phần này ta nêu những đặc trưng của một số hàm số sơ cấp thường gặp trong chương trình phổ thông. Nhờ các đặc trưng hàm này mà ta có thể dự đoán kết quả của các phương trình hàm tương ứng cũng như có thể đề xuất những dạng bài tập tương ứng với các đặc trưng hàm đó. Các hàm số được xét trong phần này thoả mãn điều kiện liên tục trên toàn miền xác định của hàm số. 1. Hàm bậc nhất: f (x) = ax + b(a 6= 0, b 6= 0) có tính chất x + y 1 f = [f (x) + f (y)], ∀x, y ∈ R. 2 2
5 2. Hàm tuyến tính: f (x) = ax (a 6= 0) có tính chất f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. 3. Hàm mũ: f (x) = ax (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. 4. Hàm logarit: f (x) = loga |x| (a > 0, a 6= 1) có tính chất f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R\{0}. 5. Hàm lũy thừa: f (x) = |x|a có tính chất f (xy) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R\{0}. 6. Hàm lượng giác: - Hàm f (x) = sin x có tính chất f (3x) = 3f (x) − 4[f (x)]3 , ∀x ∈ R. - Hàm f (x) = cos x có các tính chất f (2x) = 2[f (x)]2 − 1, ∀x ∈ R và f (x + y) + f (x − y) = 2f (x)f (y), ∀x, y ∈ R. - Hàm f (x) = tan x có tính chất f (x) + f (y) f (x + y) = , ∀x, y ∈ R. 1 − f (x)f (y) - Hàm f (x) = cot x có tính chất f (x)f (y) − 1 f (x + y) = , ∀x, y ∈ R. f (x) + f (y) c 7. Hàm f (x) = có tính chất x f (x)f (y) f (x + y) = , ∀x, y ∈ R\{0}. f (x) + f (y) 1.4 Phương trình hàm Cauchy Bài toán 1.1. Xác định các hàm số f liên tục trên R và thỏa mãn điều kiện f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R. (1.1)
6 Lời giải. Từ phương trình (1.1), suy ra f (0) = 0, f (−x) = −f (x) và với y = x thì f (2x) = 2f (x), ∀x ∈ R. (1.2) Giả sử với k nguyên dương, f (kx) = kf (x), ∀x ∈ R. Khi đó f ((k + 1)x) = f (kx + x) = f (kx) + f (x) = kf (x) + f (x) = (k + 1)f (x), ∀x ∈ R. Từ đó, theo nguyên lí quy nạp, ta có f (nx) = nf (x), ∀x ∈ R. Kết hợp với tính chất f (−x) = −f (x) ta được f (mx) = mf (x), ∀m ∈ Z, ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. Từ (1.2) ta có x x x 2 n f (x) = 2f =2 f = ··· = 2 f . (1.3) 2 22 2n Từ đó suy ra x 1 f = f (x), ∀x ∈ R, ∀n ∈ N. (1.4) 2n 2n Kết hợp (1.3) và (1.4), ta được m m f = f (1), ∀m ∈ Z, n ∈ N∗ . 2n 2n Sử dụng giả thiết liên tục của hàm f (x), suy ra f (x) = ax, ∀x ∈ R, a = f (1). Thử lại, ta thấy hàm f (x) = ax thỏa mãn phương trình (1.1). Kết luận: f (x) = ax, a ∈ R tùy ý. Nhận xét 1.1. 1) Từ điều kiện (1.1), ta thấy chỉ cần giả thiết f (x) là hàm liên tục tại một điểm x0 ∈ R cho trước là đủ. Khi đó, hàm f (x) thỏa mãn (1.1) sẽ liên tục trên R. Thật vậy, theo giả thiết thì lim f (x) = f (x0 ) và với mỗi x1 ∈ R ta đều có x→x0 f (x) = f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ), ∀x ∈ R. Từ đó suy ra lim f (x) = lim [f (x − x1 + x0 ) + f (x1 ) − f (x0 )] x→x1 x→x1 = f (x0 ) + f (x1 ) − f (x0 ) = f (x1 ). 2) Kết quả của bài toán 1.1 sẽ không thay đổi nếu ta thay R bằng [α, +∞) hoặc (−∞, β] tùy ý.
7 1.5 Một số phương pháp giải phương trình hàm Trong lí thuyết cũng như trong thực hành, không có những định lí cũng như các thuật toán chung để giải phương trình hàm. Bởi vậy, để giải phương trình hàm ta phải nghiên cứu kỹ các tính chất đặc thù của hàm số cần tìm, đơn giản hóa bằng các phép thế các giá trị đặc biệt của biến, đặt ẩn phụ, đổi biến hoặc tìm nghiệm riêng,. . . để đưa về các phương trình hàm cơ bản đã biết cách giải. Sau đây ta sẽ nghiên cứu một số phương pháp giải phương trình hàm với đối số biến đổi. 1.5.1 Phương pháp thế a) Thế ẩn tạo phương trình hàm mới. Nhận xét 1.2. Đối với phương trình hàm dạng f (A) = B với A, B là các biểu thức chứa x, trong đó A có hàm ngược, ta thường sử dụng cách đặt: Đặt A = t, suy ra biểu thức x theo t. Tiếp theo, thay các giá trị này vào các biểu thức A, B . Đối với phương trình hàm dạng hàm hợp f (g (x)) = h (x), nếu g (x) có hàm ngược, người ta thường đặt ẩn phụ g (x) = t để xác định hàm số f (t) . Ví dụ 1.1. Tìm hàm số f : R\ {2} → R thỏa mãn điều kiện 2x + 1 f = x2 + 2x, ∀x 6= 1. (1.5) x−1 Lời giải. Đặt 2x + 1 t= (1.6) x−1 t+1 3t2 − 3 Suy ra x = , thế vào (1.5) ta được f (t) = , ∀t 6= 2. t−2 (t − 2)2 Thử lại thấy đúng. 3x2 − 3 Vậy hàm số cần tìm có dạng f (x) = . (x − 2)2 Ví dụ 1.2. Tìm hàm số f : (−∞; −1] ∪ (0; 1] → R thỏa mãn điều kiện p p f (x − x2 − 1) = x + x2 − 1, ∀ |x| ≥ 1 . (1.7) √ √ Lời giải. Đặt t = x − x2 − 1 ⇔ x2 − 1 = x − t ( x−t≥0 x≥t x≥t ⇔ ⇔ ⇔ t2 + 1 x2 − 1 = (x − t)2 x2 − 1 = x2 − 2xt + t2 x= 2t t2 + 1 Hệ có nghiệm x ⇔ ≥ t ⇔ t ∈ (−∞; −1] ∪ (0; 1] . 2t √ √ 1 1 Với t = x − x2 − 1 thì x + x2 − 1 = ⇒ f (t) = thỏa mãn (1.7). t t
8 1 Vậy f (x) = là hàm số cần tìm. x b) Thế ẩn tạo ra hệ phương trình hàm mới. Ví dụ 1.3. Tìm hàm số f : R\ { 0, 1 } → R thỏa mãn điều kiện x − 1 f (x) + f = 1 + x, ∀x ∈ R∗ (1.8) x Lời giải. x−1 Đặt x1 = , thay vào (1.8) ta được f (x) + f (x1 ) = 1 + x. x x −1 1 Đặt x2 = 1 = , thay vào (1.8) ta được f (x1 ) + f (x2 ) = 1 + x1 . x1 x−1 x −1 Đặt x3 = 2 = x, thay vào (1.8) ta được f (x2 ) + f (x) = 1 + x2 . x2  f (x1 ) + f (x) = 1 + x Ta có hệ f (x2 ) + f (x1 ) = 1 + x1 . f (x) + f (x2 ) = 1 + x2  1 + x − x1 + x2 1 1 1 Giải hệ trên ta được f (x) = = x+ + 2 2 x 1−x Thử lại thấy đúng. 1 1 1 Vậy hàm số cần tìm là f (x) = x+ + . 2 x 1−x Định nghĩa 1.6 (Xem [4]). Dãy {xn } được gọi là dãy tuần hoàn nếu tồn tại một số nguyên dương k sao cho xn+k = xn , ∀n ∈ N∗ (1.9) Số nguyên dương k nhỏ nhất để dãy {xn } thỏa mãn (1.9) được gọi là chu kì cơ sở (còn gọi tắt là chu kì) của dãy. Nhận xét 1.3. Xét phương trình dạng a (x) f (x) + b (x) f (g (x)) = c (x) (1.10) trong đó a (x) , b (x) , c (x) , g (x) là những hàm số đã biết. Giả sử miền xác định của hàm số cần tìm là D (f ), với mỗi x ∈ D (f ) ta xét dãy {xn } xác định bởi biểu thức x1 = g (x) ; xn+1 = g (xn ) , n ∈ N∗ . Nếu dãy {xn } tuần hoàn chu kì k , ta sẽ đưa (1.10) về hệ k phương trình k ẩn. Giải hệ này ta tìm được f (x).
9 Ví dụ 1.4. Tìm hàm số f : R\ { −1 ; 0 ; 1 } → R thỏa mãn điều kiện x − 1 x f (x) + 2f = 1, ∀x 6= −1. (1.11) x+1 Lời giải. x−1 Đặt x1 = . Thay vào (1.11) ta được x f (x) + 2f (x1 ) = 1. x+1 x −1 1 Đặt x2 = 1 = − . Thay vào (1.11) ta được x 1 f (x1 ) + 2f (x2 ) = 1. x1 + 1 x x2 − 1 x+1 Đặt x3 = = . Thay vào (1.11) ta được x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = 1. x2 + 1 x−1 x3 − 1 Đặt x4 = = x. Thay vào (1.11) ta được x3 f (x3 ) + 2f (x) = 1. x3 + 1   x f (x) + 2f (x1 ) = 1 x1 f (x1 ) + 2f (x2 ) = 1  Ta có hệ   x2 f (x2 ) + 2f (x3 ) = 1 x3 f (x3 ) + 2f (x) = 1  4x2 − x + 1 Giải hệ trên ta được f (x) = . 5x (x − 1) Thử lại thấy đúng. 4x2 − x + 1 Vậy hàm số cần tìm là f (x) = . 5x (x − 1) 1.5.2 Phương pháp chuyển qua giới hạn Cơ sở của phương pháp này là dựa trên phương pháp thế tạo thành hệ phương trình hàm trong trường hợp các hàm đặt không tuần hoàn. Sau đó sử dụng giới hạn để tìm ra hàm số. Ví dụ 1.5. Tìm hàm số f : R → R liên tục, thỏa mãn điều kiện 2x 3x f (x) + f = , ∀x ∈ R. (1.12) 3 5 Lời giải. 2x 3 Đặt x1 = . Từ (1.12) suy ra f (x) + f (x1 ) = x. 3 5 2x1 3 Đặt x2 = . Từ (1.12) suy ra f (x1 ) + f (x2 ) = x1 . 3 5 2xn 3 Đặt xn+1 = , n ∈ N∗ . Từ (1.12) suy ra f (xn ) + f (xn+1 ) = xn . 3 5
10 3  f (x) + f (x1 ) = x (1) 5   3   f (x1 ) + f (x2 ) = x1 (2)  Ta có hệ 5   . . . . . . f (xn ) + f (xn+1 ) = 3 xn   (n + 1) 5 Nhân dòng phương trình thứ (i) với (−1)i+1 rồi cộng lại ta được 3 2 2 2 2 n f (x) + (−1)n+2 f (xn+1 ) = x 1 − + − ··· + − (1.13) 5 3 3 3 Xét lim
(−1)n+2 f (xn+1 )
= lim |[f (xn+1 )]| = |f (lim xn+1 )| = |f (0)|
Mặt khác, (1.12) suy ra f (0) = 0 nên lim (−1)n+2 f (xn+1 ) = 0. 3 1 9x Lấy giới hạn hai vế của (1.13) ta được f (x) = x = . 5 2 25 1+ 3 Thử lại thấy đúng. 9x Vậy f (x) = là hàm số cần tìm. 25 1.5.3 Phương pháp tìm nghiệm riêng Tìm nghiệm riêng của phương trình hàm đã cho, nghiên cứu các tính chất của nghiệm riêng đó. Hiển nhiên, nghiệm cần tìm cũng phải có những tính chất đó. Từ đó, ta có được hướng giải phương trình đã cho. Trước hết nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm hằng, hàm số bậc nhất, hàm số đa thức. . . Nói chung, nên tìm nghiệm riêng trong lớp các hàm số sơ cấp, bắt đầu từ các hàm đơn giản nhất. Nên chú ý đến các đặc trưng của các hàm số sơ cấp. Sau khi tìm được nghiệm riêng dạng f0 (x) ta thường xét đến hàm số phụ g (x) = f (x) − f0 (x) và xét phương trình hàm mới thu được đối với g (x). Khi tìm nghiệm riêng, nên chú ý đến một số nhận xét sau Nhận xét 1.4 (Điều kiện để một hàm số là hàm hằng). a) f ≡ C ⇔ f (x) = f (y) , ∀x, y ∈ D. f (x) = C, b) f (x) = g (y) , ∀x, y ∈ D ⇔ (C là hằng số) g (x) = C, ∀x ∈ D. Nhận xét 1.5 (Điều kiện để một đa thức là hàm hằng). Cho đa thức P (x) ∈ R [x] , deg P ≤ n. Khi đó