Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:43

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày các kết quả về mô đun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành, biểu diễn thứ cấp của mô đun, môđun Cohen-Macaulay và mô đun Cohen-Macaulay suy rộng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN KHÁNH LY MỘT SỐ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COHEN-MACAULAY LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ——————–o0o——————– NGUYỄN KHÁNH LY MỘT SỐ QUỸ TÍCH LIÊN QUAN ĐẾN TÍNH COHEN-MACAULAY Ngành: Đại số và Lý thuyết số Mã số: 8 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Cán bộ hướng dẫn khoa học: TS. Nguyễn Thị Kiều Nga THÁI NGUYÊN - 2019 i
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không bị trùng lặp với các đề tài khác. Mọi sự trích dẫn để hoàn thành luận văn này đã được chỉ rõ nguồn gốc. Nếu có gì sai sót tôi xin hoàn toàn chịu trách nhiệm. Thái Nguyên, tháng 9 năm 2019 Tác giả Nguyễn Khánh Ly Xác nhận Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn của cán bộ hướng dẫn khoa học TS. Nguyễn Thị Kiều Nga iii i
Lời cảm ơn Luận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn và hỗ trợ tận tình của TS. Nguyễn Thị Kiều Nga. Em xin được gửi đến cô sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc về sự tận tâm của cô đối với bản thân trong suốt thời gian làm luận văn. Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban chủ nhiệm khoa Toán và các thầy cô giáo khoa Toán trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái Nguyên đã quan tâm, giúp đỡ, tạo mọi điều kiện để em hoàn thành luận văn này. Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy em rất mong nhận được sự quan tâm, góp ý của các quý thầy cô và các bạn để khóa luận của em được hoàn thiện hơn. Cuối cùng, em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè những người đã giúp đỡ và hỗ trợ em trong suốt thời gian học tập và hoàn thành khóa luận của mình. Em xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 09 năm 2019 Tác giả Nguyễn Khánh Ly ii
Mục lục Lời cảm ơn ii Lời cam đoan iii Lời nói đầu 1 Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 4 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Vành catenary, catenary phổ dụng . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng . 10 Chương 2 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay 14 2.1 Tập giả giá . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.2 Tập giá suy rộng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.3 Quỹ tích giả Cohen- Macaulay . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.4 Quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng . . . . . . . . . . . . 26 2.5 Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc . . . . . 31 Kết luận 35 Tài liệu tham khảo 36 iviii
Lời nói đầu Cho (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m, M là R-môđun hữu hạn sinh với chiều Krull dim M = d. Ta luôn có bất đẳng thức depth M 6 dim M . Nếu depth M = dim M thì môđun M gọi là môđun Cohen-Macaulay. Lớp môđun Cohen-Macaulay có vai trò rất quan trọng trong Đại số giao hoán và xuất hiện trong nhiều lĩnh vực khác nhau của Toán học như: Đại số đồng điều, Hình học đại số, Lý thuyết tổ hợp, Lý thuyết bất biến,... Nhiều mở rộng của môđun Cohen-Macaulay được các nhà khoa học trong và ngoài nước giới thiệu, quan tâm nghiên cứu như môđun Cohen- Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay dãy, môđun Cohen-Macaulay suy rộng dãy, môđun giả Cohen-Macaulay, giả Cohen-Macaulay suy rộng, môđun Cohen-Macaulay chính tắc, môđun Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc,... Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M kí hiệu là nCM(M ) là tập gồm các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay đã được R. Hartshorne nghiên cứu từ năm 1966. Ông chỉ ra rằng, trong trường hợp vành cơ sở R là thương của vành Gorenstein thì nCM(M ) là tập đóng theo tôpô Zariski. Một số kết quả về chiều của nCM(M ) được đưa ra bởi N. T. Cường trong [6]. Năm 2002, M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] đã giới thiệu khái niệm giả giá khi nghiên cứu về chiều và số bội của môđun đối đồng điều địa phương. Cho i > 0 là một số nguyên, giả giá thứ i của M , kí hiệu là PsuppiR (M ) được cho bởi công thức n o i−dim(R/p) PsuppiR (M ) = p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) 6= 0 . Năm 2010, N. T. Cường, L. T. Nhàn và N. T. K. Nga [12] đã sử dụng 1
tập giả giá để mô tả quỹ tích không Cohen-Macaulay của M là [ \ nCM(M ) = (PsuppiR (M ) PsuppjR (M )). 0≤i
quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung luận văn được trình bày trong hai chương: Chương 1: Trình bày các kết quả về môđun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành, biểu diễn thứ cấp của môđun, môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Chương 2: Là chương chính của luận văn. Trình bày và chứng minh chi tiết lại một số kết quả về tập giả giá, giá suy rộng và một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như: quỹ tích giả Cohen-Macaulay, giả Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Các quỹ tích trên được mô tả qua các tập giả giá, giá suy rộng của các môđun thương [Định lý 2.3.7], [Định lý 2.4.5], [Mệnh đề 2.5.6]. Đồng thời tính ổn định với phép tổng quát hóa, tính đóng của các quỹ tích cũng được quan tâm nghiên cứu. 3
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị Trong chương này, chúng tôi nhắc lại một số kiến thức đã biết nhằm thuận tiện cho việc theo dõi các chương sau như: môđun đối đồng điều địa phương, tính catenary của vành, biểu diễn thứ cấp của môđun, môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Trong suốt chương này, ta luôn kí hiệu (R, m) là vành giao hoán địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m, I là iđêan của R và Var(I) là tập các iđêan nguyên tố của R chứa I. 1.1 Môđun đối đồng điều địa phương Lý thuyết đối đồng điều địa phương được giới thiệu đầu tiên bởi A. Grothendieck vào những năm 1960 (xem [13]), sau đó được quan tâm nghiên cứu bởi rất nhiều nhà toán học trên thế giới như R. Hartshorne, M. Brod- mann, J. Rotman, C. Huneke... Lý thuyết đối đồng điều địa phương đã có những ứng dụng to lớn trong nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học. Ngày nay nó trở thành công cụ không thể thiếu trong Đại số giao hoán, Hình học Giải tích, Hình học- Đại số,... Trong mục này, chúng tôi nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của môđun đối đồng điều địa phương theo [3]. Định nghĩa 1.1.1. Cho M là R-môđun. Môđun đối đồng điều địa phương thứ i của M ứng với iđêan I , ký hiệu HIi (M ), được định nghĩa là môđun dẫn xuất phải thứ i của hàm tử I -xoắn ΓI (−), tức là HIi (M ) = Ri (ΓI (M )), 4
trong đó ΓI (M ) = ∪n>0 (0 :N I n ) và được gọi là môđun con I -xoắn của M . Chú ý rằng, nếu f : R → R0 là một đồng cấu vành và N 0 là R0 -môđun thì N 0 có cấu trúc R-môđun cảm sinh bởi f , trong đó phép nhân vô hướng của phần tử r ∈ R với phần tử m ∈ N 0 là f (r)m. Sau đây là một số tính chất quan trọng của môđun đối đồng điều địa phương thường được dùng trong các chứng minh về sau. Định lý sau đây chỉ ra rằng môđun đối đồng điều địa phương không phụ thuộc vào vành cơ sở. Định lý 1.1.2. (Xem [3], Định lý 4.2.1) (Tính độc lập với vành cơ sở). Cho R0 là R- đại số và N 0 là R0 -môđun. Cho I là iđêan của R. Khi đó với mỗi i 0 ∼ i 0 i ≥ 0 ta có đẳng cấu HIR 0 (N ) = HI (N ). Khi R0 là R- đại số phẳng, ta có định lý sau (xem [3], Định lý 4.3.2). Định lý 1.1.3. (Định lý chuyển cơ sở phẳng) Cho R0 là R-đại số phẳng. Khi đó ta có R0 - đẳng cấu HIi (M ) ⊗R R0 ∼ i = HIR 0 0 (M ⊗R R ) với mọi i ≥ 0. Một trong các tính chất quan trọng và có nhiều ứng dụng của lý thuyết đối đồng điều địa phương là tính triệt tiêu và không triệt tiêu của môđun đối đồng điều địa phương (xem [3, 6.12, 6.14]). Định lý 1.1.4. (Định lý triệt tiêu và không triệt tiêu của A. Grothendieck) Các khẳng định sau là tương đương: (i) Nếu M 6= 0 thì dim(M ) = max i | HIi (M ) 6= 0 . (ii) HIi (M ) = 0 với mọi i > dim(M ). (iii) Nếu M 6= 0 thì depth(I, M ) = min i | HIi (M ) 6= 0 . (iv) Nếu dim M = d và M 6= 0 thì Hmd (M ) 6= 0. Mặc dù M là môđun hữu hạn sinh nhưng nhìn chung môđun đối đồng điều địa phương không là môđun hữu hạn sinh và cũng không là môđun Artin. Định lý sau (xem [3], Định lý 7.1.3, Định lý 7.1.6) chỉ ra rằng đối đồng điều địa phương và giá cực đại hoặc tại cấp cao nhất luôn là Artin. Định lý 1.1.5. Giả sử (R, m) là vành địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh. Khi đó (i) Hmi (M ) là R-môđun Artin với mọi số tự nhiên i. (ii) Nếu dim M = d thì HId (M ) là R-môđun Artin với mọi iđêan I của R. 5
1.2 Vành catenary, catenary phổ dụng Trong tiết này, chúng tôi nhắc lại một số khái niệm và kết quả về tính catenary và catenary phổ dụng của vành sẽ được dùng trong luận văn. Định nghĩa 1.2.1. Cho q ⊂ p là các iđêan nguyên tố của R. Mỗi dãy các iđêan nguyên tố q = p0 ⊂ p1 ⊂ ... ⊂ pn = p sao cho pi 6= pi+1 , với mọi i = 0, ..., n − 1, được gọi là một dãy các iđêan nguyên tố bão hoà giữa p và q nếu với mọi 0 ≤ i ≤ n − 1 không tồn tại iđêan nguyên tố q nào thoả mãn pi ⊂ q ⊂ pi+1 và pi 6= q 6= pi+1 . Khi đó n được gọi là độ dài của dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa p và q. Ta nói vành R là catenary nếu với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p và mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p đều có chung độ dài. Nhận xét 1.2.2. Nếu R là vành địa phương Noether thì dim R < ∞. Do đó, với mỗi cặp iđêan nguyên tố q ⊂ p của R luôn tồn tại một dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p. Trong trường hợp này, vành R là catenary khi và chỉ khi mọi dãy iđêan nguyên tố bão hoà giữa q và p đều có chung độ dài. Rõ ràng, nếu dim R ≤ 2 thì R là catenary. Nếu R là vành catenary thì Rp là catenary với mọi p ∈ Spec(R). Hơn nữa, vành thương của vành catenary là catenary. Vì thế hầu hết các vành được biết đến trong Hình học Đại số đều là catenary. Sau đây là một số đặc trưng của vành catenary thường sử dụng trong các chứng minh ở chương sau. Mệnh đề 1.2.3. (Xem [22]) Giả sử (R, m) là vành địa phương Noether. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) R là catenary. (ii) dim R/q = dim R/p + ht p/q với mọi q ⊆ p, p, q ∈ Spec(R). (iii) ht p3 /p1 = ht p3 /p2 + ht p2 /p1 với mọi p1 ⊆ p2 ⊆ p3 , p1 , p2 , p3 ∈ Spec(R). 6
Nhận xét rằng nếu R là miền nguyên địa phương catenary thì nó thỏa mãn công thức chiều ht p + dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố p của R. Kết quả sau đây của Ratliff năm 1972 chỉ ra rằng điều ngược lại cũng đúng. Mệnh đề 1.2.4. [22, Định lý 2.2] Một miền nguyên địa phương Noether R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có: ht p + dim R/p = dim R. Chú ý rằng vành R được gọi là đẳng chiều nếu dim R/p = dim R với mọi iđêan nguyên tố tối tiểu p của R. Trong trường hợp vành R là đẳng chiều, ta có kết quả sau: Định lý 1.2.5. (xem [18]) Giả sử R là vành địa phương Noether đẳng chiều. Khi đó R là catenary khi và chỉ khi với mỗi iđêan nguyên tố p của R ta có ht p + dim R/p = dim R. Một trường hợp đặc biệt của vành catenary là vành catenary phổ dụng được định nghĩa như sau. Định nghĩa 1.2.6 (Xem [17]). Vành R được gọi là vành catenary phổ dụng nếu mỗi R- đại số hữu hạn sinh là catenary. Giả sử S là R- đại số hữu hạn sinh. Khi đó tồn tại a1 , ..., at ∈ S sao cho S = R[a1 , ..., at ]. Do đó có một toàn cấu ϕ : R[x1 , ..., xt ] → S với ϕ(xi ) = ai , ∀i = 1, t. Vì thế S đẳng cấu với một vành thương của vành đa thức R[x1 , ..., xt ]. Vì vành thương của vành catenary là vành catenary nên vành R là catenary phổ dụng khi và chỉ khi mọi vành đa thức hữu hạn biến trên R là catenary. Trước khi đưa ra một số đặc trưng của vành catenary phổ dụng, chúng ta nhắc lại khái niệm vành tựa không trộn lẫn và vành trộn lẫn theo thuật ngữ của M. Nagata [19]. 7
Định nghĩa 1.2.7. Vành R được gọi là tựa không trộn lẫn nếu R b đẳng chiều tức là dim R/ b bp = dim R p ∈ min Ass R b với mọi b b. Vành R được gọi là không trộn lẫn nếu dim R/ p = dim R b b p ∈ Ass R b với mọi b b. Định lý sau đây chỉ ra mối quan hệ giữa tính tựa không trộn lẫn với tính catenary phổ dụng của R. Định lý 1.2.8. [17, Định lý 31.6] Giả sử vành R là tựa không trộn lẫn. Khi đó (i) R là catenary phổ dụng. (ii) Rp là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). (iii) Nếu I là iđêan của R thì R/I là đẳng chiều khi và chỉ khi R/I là tựa không trộn lẫn. Định lý sau cho chúng ta đặc trưng của vành catenary phổ dụng. Định lý 1.2.9. [17, Định lý 31. 7] Các điều kiện sau là tương đương: (i) R là catenary phổ dụng; (ii) Vành đa thức một biến R[x] là catenary; (iii) R/p là tựa không trộn lẫn với mọi p ∈ Spec(R). Vì mọi vành có chiều nhỏ hơn hoặc bằng 2 là catenary nên nếu dim R ≤ 1 thì dim R[x] = dim R + 1 ≤ 2, do đó R[x] là catenary. Vì vậy, R là vành catenary phổ dụng nếu dim R ≤ 1. 1.3 Biểu diễn thứ cấp của môđun Artin Lý thuyết biểu diễn thứ cấp cho các môđun được giới thiệu bởi I. G. Macdonald [15] có thể xem là đối ngẫu của lý thuyết phân tích nguyên sơ. Trong mục này, ta nhắc lại khái niệm và kết quả về biểu diễn thứ cấp. Định nghĩa 1.3.1. (i) Một R-môđun N được goị là thứ cấp nếu N 6= 0 và với mỗi r ∈ R ta có rN = N hoặc tồn tại n ∈ N sao cho rn N = 0. Trong trường hợp này tập các phần tử r ∈ R sao cho phép nhân bởi r ∈ R trên N là luỹ linh làm thành một iđêan nguyên tố, chẳng hạn là p và ta gọi N là p- thứ cấp. 8
(ii) Cho N là R-môđun. Biểu diễn N = N1 + ... + Nn , trong đó mỗi Ni là môđun con pi thứ cấp của môđun N , được gọi một biểu diễn thứ cấp của N . Nếu N = 0 hoặc N có biểu diễn thứ cấp thì ta nói N là biểu diễn được. Biểu diễn này gọi là tối tiểu nếu các iđêan nguyên tố pi là đôi một khác nhau và mỗi Ni là không thừa với mọi i = 1, ..., n. Chú ý rằng, nếu N1 , N2 là các môđun con p- thứ cấp của N thì N1 + N2 cũng là môđun con p- thứ cấp của N . Vì thế mọi biểu diễn thứ cấp của N đều có thể đưa được về dạng tối tiểu bằng cách ghép chúng thành những thành phần thứ cấp ứng với cùng một iđêan nguyên tố và bỏ đi những thành phần thừa. Tập hợp {p1 , ..., pn } là độc lập với việc chọn biểu diễn thứ cấp tối tiểu của N và đươc gọi là tập các iđêan nguyên tố gắn kết của N , kí hiệu là AttR N . Nếu pi là tối tiểu trong tập AttR N thì pi được gọi là iđêan nguyên tố gắn kết cô lập của N và Ni được gọi thành phần thứ cấp cô lập của N . Mệnh đề 1.3.2. Giả sử N là một R-môđun biểu diễn được. Khi đó các khẳng định sau là đúng. (i) AttR N 6= ∅ khi và chỉ khi N 6= 0. (ii) min AttR A = min Var(AnnR A). iii) Cho 0 → N 0 → N → N 00 → 0 là dãy khớp các R-môđun biểu diễn được. Khi đó AttR N 00 ⊆ AttR N ⊆ AttR N 0 ∪ AttR N 00 . Định lý sau đây cho ta một lớp các môđun biểu diễn được. Định lý 1.3.3. [15, Định lý 5.2] Mọi môđun Artin đều biểu diễn được. ˆ - môđun. Cho A là R-môđun Artin. Khi đó A có cấu trúc tự nhiên như R Với cấu trúc này, một môđun con của A xét như R- môđun khi và chỉ khi ˆ - môđun. Do đó A là R nó là môđun con của A xét như R ˆ - môđun Artin và ta có mối liên hệ giữa các tập iđêan nguyên tố gắn kết như sau. Bổ đề 1.3.4. [3, 8.2.4 và 8.2.5] AttR (A) = ˆp ∩ R | ˆp ∈ AttRˆ (A) . 9
Tính chất sau đây gọi là tính chất dịch chuyển địa phương yếu của tập các iđêan nguyên tố gắn kết. Định lý 1.3.5. [24, Định lý 4.8] Giả sử M 6= 0 và p ∈ SuppR (M ) sao cho dim R/p = t. Giả sử i ≥ 0 là một số nguyên và q là iđêan nguyên tố với q ⊆ p sao cho qRp ∈ AttRp (HpiRp (Mp )). Khi đó q ∈ AttR (Hm i+t (M )). Từ Định lý 1.3.5 ta có hệ quả sau. Hệ quả 1.3.6. [24, Hệ quả 4.9] Giả sử M 6= 0 và p ∈ AssR (M ) với dim R/p = t. Khi đó Hmt (M ) 6= 0 và p ∈ AttR Hmt (M ). Đối với môđun đối đồng điều địa phương cấp cao nhất với giá cực đại, I. G. Macdonald và R. Y. Sharp đã đưa ra công thức của tập các iđêan nguyên tố gắn kết cho lớp môđun này. Định lý 1.3.7. [16, Định lý 2.2] Giả sử M 6= 0 và dim M = d. Khi đó Hmd (M ) 6= 0 và AttR (Hmd (M )) = {p ∈ AssR M | dim(R/p) = d}. 1.4 Môđun Cohen-Macaulay, môđun Cohen-Macaulay suy rộng Trước hết chúng ta nhắc lại khái niệm dãy chính quy và độ sâu của môđun. Định nghĩa 1.4.1. (i) Dãy các phần tử x1 , ..., xn của vành giao hoán R gọi là dãy chính quy của R-môđun M (hay M -dãy) nếu (x1 , ..., xn )M 6= M và xi không là ước của không trong M/(x1 , ..., xi−1 )M với mọi i = 1, n. (ii) Phần tử x ∈ R được gọi là phần tử chính quy của M nếu nó không là ước của không trong M , tức là (0 :M x) = 0. (iii) Cho I là iđêan của vành R. Một dãy các phần tử x1 , ..., xi ∈ I được gọi là dãy chính quy cực đại của M trong I nếu không tồn tại b ∈ I để x1 , ..., xn , b là dãy chính quy của M . Chú ý 1.4.2. Cho (R, m) là vành địa phương. Khi đó: 10
+) Nếu x1 , ..., xn ∈ m thì hiển nhiên (x1 , ..., xn )M 6= M (theo Bổ đề Nakayama). +) Mọi hoán vị của một dãy M chính quy là một dãy M chính quy. Phần tử x ∈ m là phần tử chính quy của M khi và chỉ khi x ∈ p, với mọi p ∈ AssR M . +) Nếu R- vành Noether địa phương và M là R-môđun hữu hạn sinh thì mọi dãy chính quy cực đại của M trong iđêan I đều có chung độ dài. +) Một dãy chính quy là một phần của hệ tham số. Định nghĩa 1.4.3. Cho (R, m) là vành Noether, địa phương với iđean cực đại duy nhất m, I là iđêan của R. Độ dài của một dãy M - chính quy cực đại trong I được gọi là độ sâu của M đối với iđêan I , kí hiệu là depthI M . Nếu I = m thì depthm M được gọi là độ sâu của M và viết tắt là depth M . Chú ý rằng ta luôn có depth M ≤ dim M . Từ đó ta có định nghĩa vành và môđun Cohen-Macaulay như sau. Định nghĩa 1.4.4. [17, Trang 134] M là môđun Cohen-Macaulay nếu M = 0 hoặc M 6= 0 và depthM = dim M . Nếu R là môđun Cohen-Macaulay trên chính nó thì ta nói R là vành Cohen-Macaulay. Ví dụ 1.4.5. * Nếu K là trường thì K là môđun Cohen-Macaulay. * Nếu K là trường thì vành đa thức K[x1 , x2 , .., xn ] là vành Cohen-Macaulay và vành các chuỗi lũy thừa hình thức K[[x1 , x2 , .., xn ]] cũng là vành Cohen- Macaulay. Sau đây là một số tính chất của môđun Cohen-Macaulay [17, Định lý 17.3], [17, Trang 137]. Mệnh đề 1.4.6. Các khẳng định sau là đúng. (i) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay. Khi đó dim R/p = dim M , với mọi p ∈ AssR M . (ii) Nếu M là môđun Cohen-Macaulay thì Mp là Rp - môđun Cohen- Macaulay với mọi p ∈ Spec R. (iii) M là môđun Cohen-Macaulay khi và chỉ khi mọi hệ tham số của M đều là M - dãy. 11
(iv) R là vành Cohen-Macaulay khi và chỉ khi vành các chuỗi lũy thừa hình thức R[[x1 , ..., xn ]] là vành Cohen-Macaulay. Trước khi đưa ra một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay, chúng ta nhắc lại khái niệm số bội (xem [26, Trang 24]). Một hệ các phần tử x = (x1 , ..., xt ) của R sao cho `(M/(x1 , ..., xt )M ) < ∞ được gọi là hệ bội của M . Khi đó kí hiệu số bội e(x; M ) của M đối với hệ bội x được định nghĩa quy nạp theo t như sau: Với t = 0, tức là `(M ) < ∞ ta đặt e(∅; M ) = `(M ). Giả sử t ≥ 1. Đặt (0 :M x1 ) = {y ∈ M | yx1 = 0}. Khi đó (x2 , ..., xt ) là hệ bội của M/x1 M và (0 :M x1 ). Vì thế ta có định nghĩa e(x; M ) = e(x2 , ..., xt ; M/x1 M ) − e(x2 , ..., xt ; 0 :M x1 ). Ta luôn có 0 ≤ e(x; M ) ≤ `(M/xM ) (xem [26, Bổ đề 3.3]). Sau đây là một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay thường sử dụng trong luận văn (xem[17, Định lý 1.7.3, Định lý 17.5]). Mệnh đề 1.4.7. Các điều kiện sau đây là tương đương (i) M là môđun Cohen-Macaulay. (ii) Tồn tại hệ tham số x của M sao cho e(x; M ) = `(M/xM ). (iii) Với mọi hệ tham số x của M ta có e(x; M ) = `(M/xM ). (iv) Mc là môđun Cohen-Macaulay. (v) M/xM là môđun Cohen-Macaulay với mọi phần tử M - chính quy x ∈ m. i vi) Hm (M ) = 0 với mọi i = 0, ..., d − 1. Với mỗi hệ tham số x của M , đặt I(x; M ) = `(M/xM ) − e(x, M ). Khi đó I(x; M ) ≥ 0 với hệ tham số x. Chú ý rằng nếu M là môđun Cohen- Macaulay thì I(x; M ) = 0 với mọi hệ tham số x của M . Năm 1965, D.A. Buchsbaum [5] đã đưa ra giả thuyết là: I(x; M ) là hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Năm 1973, W. Vogel và J. Stiickrad [16] đã đưa ra một loạt ví dụ chứng tỏ giả thuyết của D. A. Buchsbaum không đúng. Vì thế dẫn đến việc nghiên cứu một lớp môđun mở rộng của lớp môđun Cohen- Macaulay. Cụ thể, W. Vogel và J. Stiickrad đã giới thiệu lý thuyết môđun Buchsbaum (xem [26]). M được gọi là môđun Buchsbaum nếu I(x; M ) là 12
hằng số không phụ thuộc vào hệ tham số x của M . Ngay sau đó, N. T. Cường, P. Schenzel và N. V. Trung [28] đã nghiên cứu lớp môđun có tính chất sup I(x; M ) < ∞, trong đó cận trên lấy theo tất cả các hệ tham số x của M và gọi lớp môđun đó là lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Như vậy, lớp môđun Cohen-Macaulay suy rộng là mở rộng của lớp môđun Cohen-Macaulay và môđun Buchsbaum. Sau đây là một số tính chất sau của môđun Cohen-Macaulay suy rộng có thể xem trong [24, Bổ đề 1.2; Bổ đề 1.6; Bổ đề 1.7]. Mệnh đề 1.4.8. (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng khi và chỉ khi M/Hm0 (M ) là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng và x là phần tử tham số của M . Khi đó M/xM là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (iii) Giả sử M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. Khi đó Mp là môđun Cohen-Macaulay và dim Mp + dim R/p = d với mọi iđêan nguyên tố p ∈ SuppR (M )\{m}, hơn nữa SuppR (M ) là catenary. Điều ngược lại cũng đúng nếu R là vành thương của vành Cohen-Macaulay. Mệnh đề sau đưa ra một số đặc trưng của môđun Cohen-Macaulay suy rộng (xem [27]). Mệnh đề 1.4.9. Các điều kiện sau là tương đương: (i) M là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (ii) `(Hmi (M )) < ∞ với mọi i = 0, ..., d − 1. (iii) M c là môđun Cohen-Macaulay suy rộng. (iv) Tồn tại một hệ tham số x = (x1 , ..., xd ) của M sao cho I(x, M ) = `(M/(x21 , ..., x2d )M ) − e(x21 , ..., x2d ; M ). 13
Chương 2 Một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay Trong toàn bộ chương này, ta luôn giả thiết (R, m) là vành địa phương Noether với iđêan cực đại duy nhất m và M là R-môđun hữu hạn sinh với dim M = d. Môđun Cohen-Macaulay và môđun Cohen-Macaulay suy rộng là các môđun có vai trò quan trọng trong Đại số giao hoán và của nhiều ứng dụng trong các lĩnh vực khác của Toán học như Đại số đồng điều, Hình học đại số và Tổ hợp. Quỹ tích không Cohen-Macaulay của M kí hiệu nCM(M ), là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố của M sao cho Mp không là Cohen-Macaulay. Quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng của M kí hiệu là nGCM(M ) là tập hợp tất cả các iđêan nguyên tố p của R sao cho Mp không là Cohen-Macaulay suy rộng. Sử dụng các tập giả giá định nghĩa bởi M. Brodmann and R. Y. Sharp [4] và tập giả suy rộng định nghĩa bởi L. T. Nhàn, N. T. K. Nga, P. H. Khánh [20], nCM(M ) và nGCM(M ) được mô tả lần lượt qua các tập giả giá [12] và giá suy rộng [20]. Mục tiêu của chương này là trình bày lại một số kết quả trong bài báo [4], [20] về các tập giả giá, giá suy rộng và trình bày chi tiết lại các kết quả trong bài báo [21] về một số quỹ tích liên quan đến tính Cohen-Macaulay như quỹ tích giả Cohen-Macaulay, quỹ tích giả Cohen-Macaulay suy rộng, quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng chính tắc. Các quỹ tích trên được mô tả qua quỹ tích không Cohen-Macaulay và quỹ tích không Cohen-Macaulay suy rộng. 14
2.1 Tập giả giá Trong mục này chúng tôi trình bày một số kết quả về tập giả giá được định nghĩa bởi M. Brodmann và R. Y. Sharp [4] và tập giá suy rộng được định nghĩa bởi L. T. Nhàn, N. T. K. Nga, P. H. Khánh [20]. Trước hết chúng tôi nhắc lại định nghĩa tập giả giá của môđun hữu hạn sinh. Định nghĩa 2.1.1. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Giả giá thứ i của M , kí hiệu là PsuppiR (M ) được cho bởi công thức n o i i−dim(R/p) PsuppR (M ) = p ∈ Spec(R) | HpRp (Mp ) 6= 0 . Chú ý rằng một tập con T của Spec(R) gọi là tập ổn định với phép đặc biệt hóa nếu mọi p, q ∈ Spec(R), p ⊂ q, p ∈ T thì q ∈ T . Sau đây là một số tính chất của tập giả giá. Bổ đề 2.1.2. [4, Bổ đề 2.2] Giả sử R là vành catenary và i là số nguyên không âm. Khi đó, PsuppiR (M ) là ổn định với phép đặc biệt hóa. Chứng minh. Cho p, q ∈ Spec(R) với p ⊆ q và p ∈ PsuppiR (M ). Suy ra (Mp ) 6= 0. Mặt khác, ta luôn có đẳng cấu Rp ∼ i−dim(R/p) HpRp = (Rq )pRq . i−dim(R/p) Vì p ∈ PsuppiR (M ) nên HpRp (Mp ) 6= 0. Do đó, theo Mệnh đề 1.3.2 ta có i−dim(R/p) AttRp (HpRp (Mp )) 6= ∅ . Vì dim(Rq /p Rq ) = ht(q/p) nên suy ra i−dim(R/p)+ht(q/p) AttRq (HqRp (Mq )) 6= ∅. i−dim(R/p)+ht(q/p) Do đó HqRp (Mq ) 6= 0 (theo Mệnh đề 1.3.2). Vì R là vành catenary nên theo mệnh đề 1.3.2 ta có dim(R/p) − ht(q/p) = dim(R/q). i−dim(R/q) Suy ra HqRp (Mq ) 6= 0. Do đó, q ∈ PsuppiR (M ). Với mỗi tập con T của Spec(R) và mỗi só tự nhiên i ≥ 0, kí hiệu (T )i = {p ∈ T | dim(R/p) = i}. Khi đó, ta có ngay bổ đề sau. Bổ đề 2.1.3. Cho i ≥ 0 là một số nguyên. Các khẳng định sau là đúng. (i) dim(R/p) ≤ i, với mọi p ∈ PsuppiR (M ). (ii) (PsuppiR (M ))i = (AssR M )i . 15