Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số thuật toán Runge - kutta với bước lưới thay đổi giải một lớp phương trình vi phân đại số

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:62

Thêm vào BST

Báo xấu

29
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày lại các kiến thức cơ bản về: Phương trình vi phân đại số, phương pháp Runge-Kutta cho PTVPT, đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số thuật toán Runge - kutta với bước lưới thay đổi giải một lớp phương trình vi phân đại số

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2019
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Phan Quang Tuyển MỘT SỐ THUẬT TOÁN RUNGE - KUTTA VỚI BƯỚC LƯỚI THAY ĐỔI GIẢI MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN ĐẠI SỐ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 8460112.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh Hà Nội - 2019
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo PGS. TSKH. Vũ Hoàng Linh, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ dạy để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến Khoa Toán- Cơ- Tin học, Phòng Sau đại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội − Đại học Quốc gia Hà Nội, cũng như quý thầy cô giáo tham gia giảng dạy khóa cao học 2017- 2019 đã dạy bảo tôi tận tình trong suốt quá trình học tập tại trường. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, các đồng nghiệp ở Khoa khoa học cơ bản, Trường Sĩ quan Pháo binh, nơi tôi đang công tác, đã luôn hỗ trợ, động viên và tạo mọi điều kiện cho tôi học tập, nghiên cứu và thực hiện luận văn này. Cuối cùng, tôi xin chân thành cảm ơn TS. Nguyễn Duy Trường, giảng viên trường Sĩ quan lục quân 1, cùng toàn thể bạn bè, anh chị em lớp cao học 2017- 2019 đã động viên và giúp đỡ cho tôi trong quá trình thực hiện luận văn. Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Quang Tuyển
Mục lục 1 Giới thiệu 13 1.1 Phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.1.1 Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số . . . . 13 1.1.2 Chỉ số của phương trình vi phân đại số . . . . . . . . . . . 15 1.2 Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường . . 18 1.2.1 Phương pháp Runge-Kutta tổng quát . . . . . . . . . . . . 19 1.2.2 Sự hội tụ và tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta . 20 1.3 Đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng . . 21 1.3.1 Ý tưởng của phương pháp nhúng RK . . . . . . . . . . . . 21 1.3.2 Phương pháp nhúng RK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2 Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải phương trình vi phân đại số 25 2.1 Trường hợp phương trình vi phân đại số dạng nửa hiện chỉ số 1 . 25 2.2 Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ . . . . . 27 2.2.1 Phân tích bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28 2.2.2 Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện . . . . . . . . . . . . . 30 2.3 Trường hợp phương trình vi phân đại số không có tính lạ và có cấu trúc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.3.1 Phân tích cấu trúc của bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . 35 2.3.2 Sự phụ thuộc của nghiệm vào dữ liệu . . . . . . . . . . . . 37 2.3.3 Rời rạc hóa bằng phương pháp Runge-Kutta nửa hiện . . . 39 2.3.4 Sự hội tụ của phương pháp Runge-Kutta nửa hiện . . . . . 42 4
2.3.5 Tính ổn định tuyệt đối của phương pháp Runge-Kutta nửa hiện . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 3 Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải phương trình vi phân đại số 48 3.1 Phương pháp nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 3.1.1 Phương trình vi phân đại số không có tính lạ . . . . . . . . 50 3.1.2 Phương trình vi phân đại số không có tính lạ và có cấu trúc 51 3.2 Thử nghiệm số . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 Kết luận 65 Tài liệu tham khảo 66 5
DANH MỤC KÝ HIỆU N Tập hợp số tự nhiên R Tập số thực C Tập số phức I Đoạn [0, T ] ⊂ R Rm , (Cm ) Không gian véc tơ m chiều trên R, (C) Rm1 ,m2 Không gian ma trận thực cỡ m1 × m2 C p (I, Rm ) Không gian các hàm véc tơ m chiều khả vi liên tục cấp p C p (I, Rm1 ,m2 ) Không gian các hàm ma trận cỡ m1 × m2 khả vi liên tục cấp p Ik Ma trận đơn vị cấp k rank( A) Hạng của ma trận A Const Hằng số nào đó O(hk ) Vô cùng bé cùng bậc với hk Điều phải chứng minh 6
DANH MỤC VIẾT TẮT BTGTBĐ Bài toán giá trị ban đầu ÔĐTĐ Ổn định tuyệt đối PTVPT Phương trình vi phân thường PTVPĐS Phương trình vi phân đại số RK Phương pháp Runge-Kutta HERK Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện (Half explicit Runge-Kutta) IRK Phương pháp Runge-Kutta ẩn (Implicit Runge-Kutta) HEOL Phương pháp một chân nửa hiện (Half explicit One - leg ) HELM Phương pháp đa bước nửa hiện (Half explicit linear multistep) 7
LỜI MỞ ĐẦU Trong thực tế, chúng ta gặp rất nhiều bài toán trong các lĩnh vực khoa học kĩ thuật như cơ học, hóa học, hệ mạch điện, lý thuyết điều khiển, động lực học chất lỏng, v.v. được mô hình hóa dưới dạng một hệ hỗn hợp các phương trình vi phân kết hợp với các ràng buộc đại số. Các hệ đó được gọi là phương trình vi phân đại số (PTVPĐS, DAEs). PTVPĐS có dạng tổng quát F (t, x, x 0 ) = 0, (0.0.1) trong đó t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , m, n ∈ N. Nếu ma trận Jacobi của F theo x 0 không suy biến, theo định lý hàm ẩn, từ phương trình (0.0.1) ta có thể giải được x 0 = f (t, x ), đây chính là dạng của phương trình vi phân thường (PTVPT). Trong trường hợp tổng quát, ma trận Jacobi của F theo x 0 có thể suy biến. Khi đó, chúng ta có một PTVPĐS, hay còn gọi là phương trình vi phân ẩn. Ví dụ 0.0.1. [5, Example 1.3 ]Xét một con lắc đơn có khối lượng m và chiều dài l. Đặt hệ trục tọa độ Đề các Oxy như hình vẽ: Hình 1: Con lắc đơn Động năng và thế năng của con lắc là T = 21 m x 02 + y02 , U = mgy, g là gia tốc trọng trường, với ràng buộc x2 + y2 − l 2 = 0, ta có hàm Lagrange L = 12 m x 02 + y02 − mgy − λ x2 + y2 − l 2 , 8
với tham số Lagrange λ. Phương trình chuyển động của con lắc có dạng d ∂L ∂L 0 − , dt ∂q ∂q với biến q = x, y, λ, nghĩa là ta có: mx 00 + 2λx = 0, my00 + mg + 2λy = 0, (0.0.2) x2 + y2 − l 2 = 0. Bằng cách đặt biến mới u = x 0 , v = y0 , phương trình (0.0.2) trở thành x 0 − u = 0, y0 − v = 0, mu0 + 2λx = 0, (0.0.3) mv0 + mg + 2λy = 0, x2 + y2 − l 2 = 0. Đây chính là một PTVPĐS có chỉ số 3 với các biến là x, y, u, v, λ. Giả sử, ta đi giải bài toán giá trị ban đầu (BTGTBĐ) (0.0.1) với điều kiện đầu x (0) = x0 , x0 ∈ Rm . Sự tồn tại và duy nhất nghiệm của BTGTBĐ (0.0.1) phụ thuộc vào điều kiện ban đầu x0 . Trong ví dụ (0.0.1) để hệ (0.0.3) có nghiệm thì điều kiện ít nhất ta cần có là x02 + y20 = l02 . Không những vậy, điều kiện ban đầu của PTVPĐS còn có thể liên quan đến đạo hàm của các ràng buộc tại thời điểm ban đầu, xem [3]. Các PTVPĐS xuất hiện từ các bài toán thực tế thường là các hệ rất phức tạp, không có hy vọng giải đúng, trong khi nhiều trường hợp chúng ta chỉ cần biết thông tin về nghiệm số hoặc nghiệm gần đúng với mức độ chính xác nhất định nào đó. Việc nghiên cứu giải số cho PTVPT đã phát triển từ lâu, trong khi việc nghiên cứu lý thuyết và các phương pháp số của PTVPĐS mới phát triển mạnh trong khoảng hơn 30 năm trở lại đây. Các phương pháp số cho PTVPĐS đều được mở 9
rộng từ các phương pháp số cho PTVPT. Tuy nhiên, có nhiều ví dụ cho thấy các phương pháp quen thuộc giải PTVPT khi áp dụng cho PTVPĐS gặp những khó khăn như: lời giải số không ổn định hoặc thậm chí không tồn tại, xảy ra hiện tượng giảm cấp chính xác, v.v. Trong những năm cuối thế kỉ 20 đầu thế kỉ 21, các nghiên cứu tập trung vào PTVPĐS dạng ẩn. Nhóm tác giả P. Kunkel và V. Mehrmann đã có những nghiên cứu một cách có hệ thống các PTVPĐS dạng (0.0.1) có chỉ số tùy ý. Các tác giả đã nghiên cứu chỉ số lạ của bài toán và đề xuất các thuật toán đưa bài toán PTVPĐS dạng (0.0.1) về dạng chính tắc không có tính lạ, sau đó áp dụng các công thức rời rạc hóa để thu được nghiệm số của bài toán (0.0.1). Gần đây, lớp các PTVPĐS đang thu hút sự quan tâm của các nhà toán học là các PTVPĐS ẩn không có tính lạ có dạng f (t, x, x 0 ) = 0, (0.0.4) g(t, x ) = 0, ∀t ∈ [t0 , T ]. Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử t0 = 0 và f : I × Rm × Rm → Rm1 , g : I × Rm → Rm2 , (m = m1 + m2 ) là các hàm đủ trơn và có các đạo hàm riêng bị chặn và thỏa mãn f x0 (t, x, x 0 ) không suy biến dọc theo nghiệm x(t). (0.0.5) gx (t, x ) Tác giả V.H. Linh và V. Mehrmann [7] đã nghiên cứu tính chất của bài toán (0.0.4) và đề xuất các phương pháp một chân nửa hiện (HEOL), phương pháp đa bước nửa hiện (HELM), phương pháp Runge-Kutta nửa hiện (HERK) để giải hiệu quả các PTVPĐS (0.0.4) không có tính cương. Khi nghiên cứu một lớp PTVPĐS có cấu trúc dạng f (t, x, E(t) x 0 ) = 0, (0.0.6) g(t, x ) = 0, trên đoạn [0, T ], trong đó E ∈ C1 (I, Rm1 ,m ) và các hàm f = f (t, u, v) : I × Rm × Rm1 → Rm1 , g = g(t, u) : I × Rm → Rm2 , (m, m1 , m2 ∈ N, m = m1 + m2 ) đủ trơn 10
và có các đạo hàm riêng bị chặn. Giả sử BTGTBĐ có nghiệm duy nhất x (t) và fv E h i g không suy biến dọc theo nghiệm x(t). (0.0.7) u Đây là một lớp các PTVPĐS nằm trong dạng PTVPĐS không có tính lạ (0.0.4). Hai tác giả V.H. Linh và N.D. Trường [8] đã nghiên cứu và đưa ra các phương pháp Runge-Kutta nửa hiện (HERK) và phương pháp Runge-Kutta ẩn (IRK) để tìm nghiệm số và đánh giá sai số, cấp chính xác. Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện đã được kế thừa từ phương pháp Runge- Kutta cho PTVPT được áp dụng cho lớp bài toán (0.0.4) và (0.0.6). Phương pháp HERK được các tác giả V.H. Linh và V. Mehrmann [7], V.H. Linh và N.D. Trường [8] áp dụng cho bước đi đều h. Trong luận văn này, tôi tiếp tục nghiên cứu phương pháp HERK áp dụng cho bài toán (0.0.4) và (0.0.6) dựa vào hai kết quả trong [7], [8], kết hợp với phương pháp nhúng với bước lưới thay đổi h để tìm nghiệm số, đánh giá sai số và bước lưới h. Ngoài Lời mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn của tôi được chia ra gồm 3 chương. Chương 1. Giới thiệu Trong chương thứ nhất, tôi sẽ trình bày lại các kiến thức cơ bản về: Phương trình vi phân đại số, phương pháp Runge-Kutta cho PTVPT, đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng. Chương 2. Phương pháp Runge-Kutta nửa hiện giải PTVPĐS Trong chương thứ hai, tôi sẽ trình bày phương pháp Runge-Kutta nửa hiện để giải PTVPĐS cho 3 trường hợp: PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1, PTVPĐS không có tính lạ, PTVPĐS không có tính lạ và có cấu trúc. Chương 3. Phương pháp Runge-Kutta với bước lưới thay đổi giải PTVPĐS Trong chương này, tôi sẽ trình bày phương pháp nhúng với bước đi h thay đổi kết hợp với phương pháp Runge-Kutta nửa hiện trình bày trong chương 2. Sau đó thực hiện một số thử nghiệm số để so sánh và có sự đánh giá với trường hợp áp dụng phương pháp Runge-Kutta với bước lưới đều h. 11
Hà Nội, ngày 28 tháng 11 năm 2019 Học viên Phan Quang Tuyển 12
Chương 1 Giới thiệu Trong chương này, chúng ta sẽ nhắc lại một số khái niệm cơ bản và các kiến thức bổ trợ sẽ được sử dụng trong luận văn. Phần đầu tiên, chúng ta sẽ giới thiệu về PTVPĐS. Phần thứ hai, tôi sẽ trình bày tóm tắt về phương pháp RK cho PTVPT. Phần cuối cùng của chương 1, tôi sẽ trình bày việc đánh giá sai số và lựa chọn bước đi bằng phương pháp nhúng áp dụng cho PTVPT. 1.1. Phương trình vi phân đại số 1.1.1. Khái niệm và phân loại phương trình vi phân đại số Phương trình vi phân đại số dạng tổng quát là phương trình F (t, x, x 0 ) = 0, (1.1.1) trong đó t ∈ I = [0, T ], F : I × Rm × Rm → Rn , m, n ∈ N, nếu ma trận Jacobi ∂F ∂x 0 suy biến. Ví dụ 1.1.1. Xét hệ x1 − x10 + 1 = 0, (1.1.2) x10 x2 + 2 = 0, Ta có x1 − x10 + 1 0 F (t, x, x ) = , x10 x2 + 2 13
0 x1 với x0 = 0 , ma trận Jacobi ∂F ∂x 0 là x2 ∂F −1 0 = x2 0 . ∂x 0 Ta thấy rằng, ma trận Jacobi là ma trận suy biến với bất cứ giá trị nào của x = x1 x2 . Do đó, hệ (1.1.2) là một PTVPĐS. Nhận xét 1.1.1. Trong ví dụ trên ta thấy đạo hàm x20 không xuất hiện. Giải phương trình đầu tiên của (1.1.2), ta được x10 = x1 + 1. Thay x10 vào phương trình thứ hai, thì phương trình (1.1.2) sẽ được viết lại là x10 = x1 + 1, (1.1.3) ( x1 + 1) x2 + 2 = 0. Ta thấy phương trình đầu tiên của (1.1.3) là một phương trình vi phân, trong khi đó phương trình thứ hai là một phương trình đại số. Như vậy, nói một cách dễ hiểu, thì một PTVPĐS sẽ bao gồm các phương trình vi phân kết hợp với các ràng buộc đại số. Để thảo luận về câu hỏi sự tồn tại và duy nhất nghiệm của PTVPĐS, chúng ta xét BTGTBĐ (1.1.1) với điều kiện x (t0 ) = x0 , t0 ∈ I, x0 ∈ Rm . Định nghĩa 1.1.1. ([5]). Cho C k (I, Cn ) là một không gian véc tơ tất cả các hàm khả vi, liên tục k lần từ một đoạn I vào không gian véc tơ phức Cn . 1. Một hàm x ∈ C1 (I, Cn ) được gọi là một nghiệm của (1.1.1) nếu nó thỏa mãn (1.1.1) tại từng điểm. 2. Một nghiệm x của PTVPĐS(1.1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu được gọi là nghiệm của BTGTBĐ. 3. Một điều kiện ban đầu x (t0 ) = x0 được gọi là tương thích với PTVPĐS (1.1.1) nếu bài toán (1.1.1) kết hợp với điều kiện ban đầu có ít nhất một nghiệm. Khi đó, bài toán (1.1.1) với điều kiện x (t0 ) = x0 gọi là giải được. 14
Thông thường các PTVPĐS có cấu trúc toán học tùy thuộc vào phạm vi ứng dụng nhất định. Do đó, chúng ta có các hệ PTVPĐS phi tuyến, PTVPĐS tuyến tính, PTVPĐS nửa hiện, PTVPĐS ẩn hoàn toàn. 1. Phương trình vi phân đại số phi tuyến. Trong PTVPĐS (1.1.1), nếu hàm F là phi tuyến đối với bất kì các biến t, x, hoặc x 0 thì nó được gọi là PTVPĐS phi tuyến. 2. Phương trình vi phân đại số tuyến tính. PTVPĐS có dạng A(t) x 0 + B(t) x (t) = q(t). Ở đây, A(t) và B(t) là ma trận n × n, tuyến tính. Nếu A(t) ≡ A và B(t) ≡ B thì ta sẽ có PTVPĐS tuyến tính với hệ số hằng. 3. Phương trình vi phân đại số ẩn hoàn toàn. PTVPĐS dạng (1.1.1) thuộc dạng ẩn hoàn toàn. 1.1.2. Chỉ số của phương trình vi phân đại số Một cách phân loại khác của PTVPĐS dựa vào độ phức tạp của bài toán là phân loại theo chỉ số (index). Trong lý thuyết PTVPĐS có rất nhiều loại chỉ số, trong luận văn ta chỉ quan tâm tới chỉ số vi phân (differentiation index) và chỉ số lạ (strangeness index). Định nghĩa 1.1.2. Phương trình vi phân đại số f (t, x (t), x 0 (t)) = 0 có chỉ số là µ nếu µ là số lần lấy vi phân tối thiểu d f (t, x (t), x 0 (t)) dµ f (t, x (t), x 0 (t)) f (t, x (t), x 0 (t)) = 0, = 0, . . . , = 0, dt dtµ sao cho các phương trình trên có thể rút ra một PTVPT x 0 (t) = g(t, x (t)). Chỉ số vi phân như là một thước đo về khoảng cách giữa PTVPĐS với PTVPT qua các phép lấy đạo hàm. Thước đo này dường như không phản ánh được chính xác bản chất của PTVPĐS bởi trong đó chúng ta hầu như chỉ quan tâm tới tính chất vi phân mà không để ý đến đặc trưng của các ràng buộc đại số. Thực tế, các 15
ràng buộc đại số đôi khi làm cho bài toán trở nên phức tạp hoặc đôi khi làm cho bài toán trở nên đơn giản. Tiếp theo, chúng ta đề cập tới khái niệm chỉ số lạ đã được P. Kunkel và V. Mehrmann đưa ra phản ánh được cả bản chất vi phân và các đặc trưng của phần đại số của PTVPĐS. Để định nghĩa chỉ số lạ, chúng ta xét hệ sau F` (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ) = 0, (1.1.4) trong đó F` có dạng F (t, x, x 0 )   d 0 dt F ( t, x, x )   F` (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ) =  ..     .  ( dtd )` F (t, x, x 0 ) F (t, x, x 0 )    Ft (t, x, x 0 ) + Fx (t, x, x 0 ) x 0 + Fx0 (t, x, x 0 ) x 00  =   .. ,   .  .. . và định nghĩa các ma trận Jacobi M` (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ) = F`;x0 ,...,x(`+1) (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ), (1.1.5) N` (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ) = − F`;x (t, x, x 0 , . . . , x (`+1) ), 0, . . . , 0 Giả thiết 1.1.1. ([5]). Tồn tại các số nguyên µ, a, d sao cho tập nghiệm Lµ = {(t, x, x 0 , . . . , x (µ+1) ) ∈ R(µ+2)n+1 | Fµ (t, x, x 0 , . . . , x (µ+1) ) = 0} (1.1.6) ( µ +1) khác rỗng và mỗi (t0 , x0 , x00 , . . . , x0 ) ∈ Lµ đều tồn tại một lân cận đủ nhỏ sao cho trong lân cận đó các tính chất sau được thỏa mãn 1. Chúng ta có rank Mµ (t, x, x 0 , . . . , x (µ+1) ) = (µ + 1)n − a trên Lµ sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn Z2 có cỡ (µ + 1)n × a có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn Z2T Mµ = 0. 2. Chúng ta có rank Aˆ 2 (t, x, x 0 , . . . , x (µ+1) ) = a, trong đó Aˆ 2 = Z2T Nµ [ In 0 . . . 0] sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn T2 có cỡ n × d, d = n − a, có hạng lớn nhất theo từng điểm thỏa mãn Aˆ 2 T2 = 0. 16
3. Chúng ta có rank Fx0 (t, x, x 0 ) T2 (t, x, x 0 , . . . , x (µ+1) ) = d sao cho tồn tại một hàm ma trận trơn Z1 có cỡ n × d và có hạng lớn nhất theo từng điểm, thỏa mãn rank Eˆ 1 T2 = d, trong đó Eˆ 1 = Z1T Fx0 . Định nghĩa 1.1.3. Xét PTVPĐS dạng (1.1.1), giá trị nhỏ nhất µ ∈ N sao cho F thỏa mãn giả thiết (1.1.1) được gọi là chỉ số lạ của (1.1.1). Nếu µ = 0 thì PTVPĐS (1.1.1) được gọi là không có tính lạ (strangeness-free). Nhận xét 1.1.2. 1. Mục đích chính của chỉ số vi phân là đưa ra khoảng cách để biến đổi PTVPĐS trở thành một PTVPT. Tuy nhiên, nghiệm của bài toán sau khi biến đổi thường không trùng với nghiệm của bài toán ban đầu. 2. Mục đích chính của chỉ số lạ là đưa ra khoảng cách biến đổi bài toán PTVPĐS trở thành một PTVPĐS có cùng nghiệm nhưng có tính chất giải tích tốt hơn. Tính chất đó có thể tách biệt được phần ràng buộc vi phân và phần ràng buộc đại số cho các biến. Từ đó ta có thể thu được PTVPT bằng việc giải biến đại số từ các ràng buộc và thế vào các phương trình còn lại. Lý thuyết về chỉ số lạ cho PTVPĐS phi tuyến tổng quát (1.1.1) đã được nghiên cứu. Trong bài báo ([5]) có thuật toán biến đổi dạng (1.1.1) về một PTVPĐS dạng không có tính lạ (0.0.4). Chúng ta quy ước rằng khi nhắc đến chỉ số của PTVPĐS mà không nói gì thêm thì đó là chỉ số vi phân của bài toán. Dựa vào đó, chúng ta giới thiệu lớp PTVPĐS thường gặp có dạng: 1. PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 1 (Hessenberg chỉ số 1), xem ([3]) x 0 = f (t, x, z) (1.1.7) 0 = g(t, x, z). Trong đó, ma trận hàm Jacobi gz được giả thiết là không suy biến với mọi t. Từ phương trình thứ hai của (1.1.7), theo định lý hàm ẩn ta có thể giải ra z = φ(t, x ), thế vào phương trình thứ nhất ta thu được phương trình vi phân đối với x là x 0 = f (t, x, φ(t, x )). 17
Như vậy, chúng ta có thể thấy PTVPĐS (1.1.7) có chỉ số vi phân bằng 1 nhưng có chỉ số lạ bằng 0 hay dạng không có tính lạ. 2. PTVPĐS dạng nửa hiện chỉ số 2 (Hessenberg chỉ số 2), xem ([3]) x 0 = f (t, x, z) (1.1.8) 0 = g(t, x ). Giả thiết rằng, ma trận Jacobi gx f z không suy biến với mọi t. Biến đại số z không xuất hiện trong phương trình thứ 2 của (1.1.8). Từ phương trình thứ hai của (1.1.8), lấy đạo hàm theo t ta được: 0 = gt (t, x ) + gx (t, x ) f (t, x, z), tiếp tục lấy đạo hàm theo t, ta được: 0 = gtt (t, x ) + gtx (t, x ) f (t, x, z) + f (t, x, z)( gxt (t, x ) + gxx (t, x ) f (t, x, z)) + gx (t, x )( f t (t, x, z) + f x (t, x, z) f (t, x, z) + f z (t, x, z)z0 ). Từ giả thiết, ma trận Jacobi gx f z không suy biến với mọi t. Suy ra, z0 = −( gx (t, x ) f z (t, x, z))−1 ( gtt (t, x ) + gtx (t, x ) f (t, x, z) + f (t, x, z)( gxt (t, x ) + gxx (t, x ) f (t, x, z)) + gx (t, x )( f t (t, x, z) + f x (t, x, z) f (t, x, z))). Ta cần 2 bước lấy đạo hàm để mô tả z0 nên PTVPĐS (1.1.8) có chỉ số 2. 1.2. Phương pháp Runge-Kutta cho phương trình vi phân thường Các phương pháp một bước, tiêu biểu là các phương pháp Runge-Kutta (RK) có ưu điểm là đơn giản, dễ lập trình, dễ dàng thay đổi và điều chỉnh bước lưới khi tính toán. Phương pháp RK được hai nhà toán học người Đức là Runge và Kutta xây dựng từ 1895-1901. Trong phần này, tôi sẽ trình bày sơ đồ rời rạc, sự ổn định và tính hội tụ, cấp chính xác, miền ÔĐTĐ của phương pháp RK hiện. 18
1.2.1. Phương pháp Runge-Kutta tổng quát Tổng quát, phương pháp RK s nấc cho PTVPT y0 = f (t, y) có thể được viết dưới dạng s Yi = yn−1 + hn ∑ aij f (tn−1 + c j hn , Yj ) (1.2.1) j =1 s y n = y n −1 + h n ∑ bi f (tn−1 + ci hn , Yi ), (1.2.2) i =1 trong đó, hn = tn+1 − tn , Yi ≈ y(tn−1 + ci hn ) là nghiệm xấp xỉ tại điểm nấc Ti = tn−1 + ci hn , i = 1, 2, . . . , s. Các hệ số của phương pháp RK thường được cho dưới bảng Butcher c A , (1.2.3) bT với A = [ aij ]s×s , b = (b1 , b2 , . . . bs ) T , c = (c1 , c2 , . . . cs ) T , chúng ta sẽ luôn chọn s ci = ∑ aij , i = 1, 2, . . . s. (1.2.4) j =1 Phương pháp RK là hiện nếu aij = 0 với j ≥ i, các trường hợp còn lại là phương pháp RK ẩn. Một số ví dụ về phương pháp RK hiện: 0 0 • Phương pháp Euler hiện: 1 0 0 0 • Phương pháp có cấp chính xác 2: α 0 , nếu α = 1 ta có công α 1 1 1 − 2α 2α thức hình thang hiện, nếu α = 21 ta có công thức trung điểm hiện. 0 0 0 0 0 1 1 2 2 0 0 0 1 1 • Công thức RK 4 nấc cổ điển: 2 0 2 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 1 6 3 3 6 Phương pháp RK s nấc còn có thể viết lại dưới dạng: ! s Ki = f t n −1 + c i h n , y n −1 + h n ∑ aij K j , (1.2.5) j =1 s y n = y n −1 + h n ∑ bi K i . (1.2.6) i =1 19
1.2.2. Sự hội tụ và tính ổn định của phương pháp Runge-Kutta Phương pháp RK có thể được viết lại theo phương pháp một bước dưới dạng y n = y n −1 + h n Ψ ( t n −1 , y n −1 , h n ), (1.2.7) trong đó Ψ thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo y, từ đó suy ra phương pháp RK 0- ổn định, xem ([3]). Việc xác định cấp chính xác cho các phương pháp RK s nấc với s > 2 không đơn giản. Chúng ta có một kết quả về cấp chính xác và sự hội của phương pháp RK. Định lý 1.2.1 ([5], Theorem 5.9). Nếu các hệ số aij , bi , ci của phương pháp RK thỏa mãn các điều kiện: s 1 B( p) : ∑ bi cik−1 = k , k = 1, 2, . . . p. i =1 s 1 C (q) : ∑ aij ckj −1 = k cik , i = 1, 2, . . . s, k = 1, 2, . . . q, (1.2.8) j =1 s 1 D (r ) : ∑ bi cik−1 aij = k bj (1 − ckj ), j = 1, 2, . . . s, k = 1, 2, . . . r, i =1 với p ≤ q + r + 1 và p ≤ 2q + 2, thì phương pháp RK tương thích và có cấp hội tụ là p. Để tìm hiểu về miền ÔĐTĐ của các phương pháp RK hiện, ta nhớ lại rằng miền ÔĐTĐ của một phương pháp được xác định bởi giá trị của z = hn λ, chúng ta cho |yn | ≤ |yn−1 | khi áp dụng phương pháp cho phương trình thử y0 = λy. Ta thu được công thức h i T −1 yn = R(z)yn−1 = 1 + zb ( I − zA) 1 y n −1 , (1.2.9) trong đó 1 = (1, 1, . . . 1) T . Như vậy, hàm ổn định của phương pháp RK tổng quát trên là R(z) = 1 + zb T ( I − zA)−1 1 và miền ÔĐTĐ của phương pháp RK là S = {z = hn λ ∈ C : | R(z)| ≤ 1}. 20