Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Coatomic

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:50

Thêm vào BST

Báo xấu

81
lượt xem 6
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Coatomic nêu lên một số khái niệm và tính chất của môđun Coatomic; một số tính chất môđun Coatomic trên vành địa phương; môđun con đối cốt yếu Coatomic. Với các bạn chuyên ngành Toán học thì đây là tài liệu hữu ích.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của môđun Coatomic

1 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Tấn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh - 2014
2 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Văn Tấn MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA MÔĐUN COATOMIC Chuyên ngành: Đại số và lí thuyết số Mã số: 60 46 01 04 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM Thành phố Hồ Chí Minh -2014
3 MỤC LỤC Trang MỞ ĐẦU ............................................................................................................... 1 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ................................................................... 4 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương .................................................. 4 1.2 Đồng cấu môđun ..................................................................................... 7 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp .................................................................. 11 1.4. Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu .................................................. 16 1.5 Môđun nội xạ......................................................................................... 17 1.6 Chiều Krull và định lí cơ bản của lí thuyết chiều.................................. 19 Chương 2. MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA ............................................................ 21 MÔĐUN COATOMIC ....................................................................................... 21 2.1. Một số khái niệm và tính chất của môđun coatomic ............................ 21 2.2. Một số tính chất môđun coatomic trên vành địa phương..................... 31 2.3. Môđun con đối cốt yếu coatomic ......................................................... 40 KẾT LUẬN ......................................................................................................... 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO ................................................................................... 47
1 MỞ ĐẦU Việc nghiên cứu lý thuyết môđun cho đến ngày nay được phát triển mạnh mẽ và có nhiều ứng dụng quan trọng trong nghiên cứu lý thuyết vành. Một trong các hướng nghiên cứu vành là đặc trưng vành qua tính chất của một lớp xác định nào đó các môđun trên chúng. Vì thế ngày nay có khá nhiều lớp môđun được nghiên cứu. Trong đó môđun Coatomic là một môđun khá quan trọng trong đại số hiện đại nói chung và đại số giao hoán nói riêng, hai lớp quan trọng có mối quan hệ khá gần gũi với môđun Coatomic được chúng ta biết đến là môđun hữu hạn sinh và môđun nửa đơn. Trong [9], Zöschinger đã định nghĩa môđun Coatomic trên một vành Noether. Gần đây, Güngöroğlu và Harmanci (trong [8]) cũng đã nêu lên một số kết quả về lớp môđun này. Trong phạm vi luận văn này tôi đi sâu nghiên cứu về lớp môđun coatomic với đề tài “Một số tính chất của môđun coatomic”. Bố cục luận văn chia làm hai chương: ♦ Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Trong chương này chúng tôi trình bày các khái niệm, định nghĩa cơ bản của lý thuyết môđun có liên quan đến nội dung của đề tài. Cụ thể tôi sẽ trình bày tóm tắt các khái niệm, kí hiệu và tính chất cấu trúc đại số của môđun, và khái niệm tính chất về môđun nội xạ, môđun con cốt yếu, môđun con đối cốt yếu. ♦ Chương 2: Một số tính chất của môđun coatomic. Trong chương này chúng tôi đề cập đến ba nội dung chính. Nội dung thứ nhất trình bày chi tiết và hệ thống các khái niệm, chứng minh các tính chất của môđun coatomic và nghiên cứu về cấu trúc đại số của môđun coatomic.
2 Nội dung thứ hai tôi nghiên cứu môđun coatomic trên một vành địa phương với iđêan tối đại m . Nội dung thứ ba tôi sẽ đi nghiên cứu môđun đối cốt yếu trên K -vành. Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh dưới sự hướng dẫn của PGS.TS Trần Tuấn Nam. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới Thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn. Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy cô, các cán bộ trong khoa Toán – Tin của trường Đại học sư phạm thành phố Hồ Chí Minh, đặc biệt là các Thầy trong tổ Đại số đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập. Xin cảm ơn các bạn học viên nghành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn. Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn. Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014 Tác giả Nguyễn Văn Tấn
3 BẢNG KÍ HIỆU VIẾT TẮT  : Vành các số nguyên.  : Nhóm cộng các số hữu tỉ. ⊕ Ai : Tổng trực tiếp ngoài các môđun Ai , i ∈ I . i∈I ⊕ f i : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( f i , i ∈ I ) . i∈I ∏ f : Tổng trực tiếp của họ các đồng cấu ( f i , i ∈ I ) . i∈I i N ≤ M : N là môđun con của M . N ⊆ e M : N là môđun cốt yếu trong M . N ⊆ s M : N là môđun đối cốt yếu trong M .
4 Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Môđun, môđun con, môđun thương Định nghĩa 1.1.1. ([1, §1]) Giả sử R là vành. Một R -môđun phải M là M ×R→M nhóm cộng aben cùng với ánh xạ được gọi là phép nhân vô (m, r )  mr hướng nếu thỏa các hệ thức sau: (mr )r ' = m(rr '), (m + m ')r =mr + m ' r , với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R . m(r + r ') = mr + mr ', m.1 = m. Tương tự, một R -môđun trái là một nhóm aben M cùng với phép nhân vô hướng rm (r ∈ R, m ∈ M ) thỏa: r (r ' m) = (rr ')m, r (m + m ') =rm + rm ', với mọi m, m ' ∈ M và mọi r , r ' ∈ R . (r + r ')m =rm + r ' m, 1.m = m. Nếu R là vành giao hoán thì các khái niệm R -môđun phải và R - môđun trái trùng nhau và được gọi là R -môđun. Ví dụ 1.1.2. - Phép nhân bên phải trên vành R là phép nhân vô hướng của R lên nhóm aben R và thỏa mãn các tiên đề của môđun. Bởi vậy, R là R -môđun phải. Tương tự, R là R -môđun trái. Do đó, R là R -môđun. - Mỗi iđêan phải của R là R -môđun phải, mỗi iđêan trái của R là R -môđun trái. - Giả sử R =  là vành các số nguyên. Mỗi nhóm aben A có cấu trúc như  - môđun.
5 Có thể nói khái niệm môđun là mở rộng của khái niệm nhóm aben và không gian vectơ. Định nghĩa 1.1.3. ([1, §1]) Giả sử M là R -môđun phải. Tập con A của M được gọi là môđun con của M nếu A là môđun trên R với phép cộng và phép nhân vô hướng của M hạn chế trên A . Bổ đề 1.1.4. ([1, §1]) Giả sử M là R -môđun phải. Nếu A là tập con khác rỗng của M thì các phát biểu sau tương đương: (i) A là môđun con của M , (ii) A là nhóm con cộng của M và với mọi a ∈ A, r ∈ R ta có ar ∈ A , (iii) Với mọi a, b ∈ A và r , s ∈ R , ta có ar + bs ∈ A . Ví dụ 1.1.5. (a) Mỗi môđun M đều có các môđun con tầm thường là 0 và M . Môđun con A của M được gọi là thực sự nếu A ≠ 0 và A ≠ M . (b) Giả sử M là R -môđun tùy ý và m0 ∈ M . Khi đó tập con = m0 R {m0 r , r ∈ R} là môđun con của M . Nó được gọi là môđun con cyclic sinh bởi phần tử m0 . (c) Giả sử m0 là phần tử của R -môđun M , I là iđêan phải của vành R . Tập hợp các phần tử m0α trong đó α chạy khắp I là một môđun con của M . Kí hiệu m0 I . (d) Giả sử A và B là hai môđun con của M thì A ∩ B cũng là môđun con của M và A + B = {a + b / a ∈ A, b ∈ B} cũng là môđun con của M . Mệnh đề 1.1.6. ([1, §1]) Giao của một họ bất kì những môđun con của R - môđun M là một môđun con của M . Ví dụ 1.1.7. 1) 2 ∩ 3 = 6 . 2)  p = 0 , với P là tập tất cả các số nguyên tố. p∈P
6 Định nghĩa 1.1.8. ([1, §1]) Giả sử X là một tập con của R -môđun M . Môđun con bé nhất A chứa X gọi là môđun con sinh bởi X và X là một tập sinh hay hệ sinh của A . Trong trường hợp A = M ta nói X là hệ sinh của M và M được sinh bởi X . Nếu M có hệ sinh hữu hạn ta nói rằng M là R - môđun hữu hạn sinh. Nếu môđun con sinh bởi một phần tử thì ta gọi môđun đó là môđun con cyclic. Mệnh đề 1.1.9. ([1, §1]) Giả sử X là một tập con của R -môđun M . Khi đó, các mệnh đề sau tương đương: (i) A là môđun con sinh bởi tập X , (ii) = A {∑ xrx / x ∈ X , rx ∈ R} , trong đó rx bằng 0 hầu hết trừ một số hữu hạn. Ví dụ 1.1.10.  -môđun  các số hữu tỉ không có hệ sinh hữu hạn. 1 Thật vậy, giả sử X = {a1a 2 ,..., an } là hệ sinh hữu hạn của  . Khi đó a1 2 1 có thể biểu diễn dưới dạng tổng hữu hạn a1 =x1a1 +∑ ai xi , ai ∈  . 2 i ≠1 Suy ra a1 =2x1a1 +∑ 2ai xi , ai ∈  . i ≠1 Từ đó ma1 = ∑ 2ai xi , ai ∈  với m = 1 − 2 x1 . i ≠1 1 Giả sử a =y a +∑ a y , y ∈  . m 1 1 1 i ≠1 i i i Khi đó a1 =myi a1 +∑ myi ai = ∑ 2 xi ai yi + ∑ myi ai = ∑ ra i i . i ≠1 i ≠1 i ≠1 i ≠1 Điều này chứng tỏ X \{a1} cũng là hệ sinh của  . Tiếp tục quá trình này sau n bước ta được tập rỗng là hệ sinh của  và do đó  = {0} !.
7 Định nghĩa 1.1.11. ([1, §1]) Giả sử ( Ai / i ∈ I ) là một họ tùy ý những môđun con của R -môđun M . Khi đó môđun con sinh bởi tập S =  Ai được gọi là i∈I tổng của các môđun con Ai và được kí hiệu bởi ∑ Ai . i∈I Định nghĩa 1.1.12. ([1, §1]) Môđun con A của M được gọi là tối đại nếu A ≠ M và nó không chứa trong một môđun con thật sự nào của M . Định lý 1.1.13. ([1, §1]) Trong những môđun hữu hạn sinh mỗi môđun con thật sự được chứa trong một môđun con tối đại. Bổ đề Zorn 1.1.14. ([1, §1]) Cho A là tập sắp thứ tự. Nếu mỗi tập con sắp thứ tự hoàn toàn trong A có cận trên trong A thì A có phần tử tối đại. Hệ quả 1.1.15. ([1, §1]) Mỗi môđun hữu hạn sinh M ≠ {0} đều chứa môđun con tối đại. Định nghĩa 1.1.16. ([1, §1]) Cho A là môđun con của R -môđun M . Khi (M × A) / R → M / A đó tương ứng , là một ánh xạ. Hơn nữa, nhóm (m + A, r )  mr + A thương M / A là R -môđun với phép nhân vô hướng ( m + A ) r =mr + A và được gọi là môđun thương. 1.2 Đồng cấu môđun Định nghĩa 1.2.1. ([1, §1]) Cho hai môđun M R và N R . Một đồng cấu R - môđun hay một ánh xạ tuyến tính f : M → N là một ánh xạ f thỏa các điều kiện : f ( x + y)= f ( x) + f ( y), f ( xr ) = rf ( x), với mọi x, y ∈ M và mọi r ∈ R . Nếu N = M thì f được gọi là tự đồng cấu của M . Một đồng cấu R -môđun còn được gọi đơn giản là đồng cấu nếu không cần chỉ rõ vành cơ sở.
8 Dễ dàng thấy rằng f : M → N là đồng cấu môđun khi và chỉ khi f ( xr + ys)= rf ( x) + sf ( y) , với mọi x, y ∈ M , r , s ∈ R . Tập tất cả các đồng cấu từ M R đến N R , kí hiệu HomR ( M , N ) hay Hom(M , N ) . Tập hợp này là nhóm aben với phép cộng các đồng cấu ( f + g )( x) = f ( x) + g ( x) , với f , g ∈ Hom(M , N ) và x ∈ R . Nếu R là vành giao hoán thì nhóm cộng này có cấu trúc R -môđun với phép nhân vô hướng f (rx) = f ( x)r . Đồng cấu môđun f : M R → N R được gọi là đơn cấu (toàn cấu, đẳng cấu) nếu f là đơn ánh (toàn ánh, song ánh). Đối với đồng cấu môđun f : M → N ,kí hiệu imf = f ( M ) và ker f = {x ∈ M / f ( x ) = 0} = f −1 (0) và gọi imf là ảnh của f và ker f là hạt nhân của f . Mệnh đề 1.2.2. ([1, §1]) Cho đồng cấu môđun f : M → N và U ,V tương ứng là môđun con của M , N . Khi đó : (i) f (U ) là môđun con của N . (ii) f −1 (V ) = {x ∈ M / f ( x) ∈V } là môđun con của M . Đặc biệt, ta có Im f và Kerf là những môđun con tương ứng của N , M . Mệnh đề 1.2.3. ([1, §1]) Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R -môđun. Khi đó các phát biểu sau là tương đương: (i) f là đơn cấu. (ii) f giản ước được bên trái, nghĩa là đẳng thức f ϕ1 = f ϕ2 ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong đó ϕ1 ,ϕ2 là những đồng cấu từ R -môđun tùy ý M tới X .
9 Mệnh đề 1.2.4. ([1, §1]) Giả sử f : X → Y là một đồng cấu R -môđun. Khi đó, các phát biểu sau là tương đương: (i) f là toàn cấu. (ii) f giản ước được bên phải, nghĩa là đẳng thức ϕ1 f = ϕ2 f ⇒ ϕ1 = ϕ2 trong đó ϕ1 ,ϕ2 là những đồng cấu từ Y đến một R -môđun bất kì N . Bổ đề 1.2.5. ([1, §1]) Giả sử ϕ : A → B là một đồng cấu R -môđun và U ,V là những môđun con của A, B . Khi đó, ta có các phát biểu sau: (i) ϕ là đơn cấu khi và chỉ khi ker ϕ = 0 . (ii) ϕ −1 (ϕ (U ))= U + ker ϕ . (iii) ϕ −1 (ϕ (V ))= V ∩ imϕ . Định lý 1.2.6. ([1, §1]) Mỗi đồng cấu R -môđun ϕ : A → B có sự phân tích Trong đó, δ : A → B / ker ϕ là toàn cấu tự nhiên, còn ϕ ' là đơn cấu. Hơn nữa, ϕ ' là toàn cấu khi và chỉ khi ϕ là toàn cấu. Định lý 1.2.7. ([1, §1]) ( định lý đẳng cấu thứ nhất) Nếu B, C là hai môđun con của A thì ( B + C ) / C ≅ B / ( B ∩ C ) . Định lý 1.2.8. ([1, §1]) (định lý đẳng cấu thứ hai) Nếu C ⊂ B ⊂ A thì A / B ≅ ( A / C ) / ( B / C ) .
10 Định lý 1.2.9. Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu môđun và α : A → C là toàn cấu, ngoài ra ker α ⊂ ker ϕ . Khi đó, tồn tại đồng cấu λ :C → B sao cho: (i) ϕ = λα . (ii) imλ = imϕ . (iii) λ đơn cấu khi và chỉ khi ker α = ker ϕ . Định nghĩa 1.2.10. ([1, §1]) Giả sử ϕ : A → B là đồng cấu R -môđun. Khi đó ta đặt co ker ϕ = B / imϕ là đối hạt nhân của ϕ và coimϕ = A / ker ϕ là đối ảnh của ϕ . Như vậy coimϕ ≅ imϕ . Định lý 1.2.11. ([1, §1]) Trong biểu đồng các đồng cấu môđun Nếu ϕψ = 0 thì tồn tại duy nhất đồng cấu ψ ': D → ker ϕ sao cho ψ = iψ ' với i là phép nhúng chính tắc. Tương tự, trong biểu đồ các đồng cấu môđun Nếu pϕ = 0 thì tồn tại đồng cấu duy nhất p ': co ker ϕ → C sao cho p = p ' p với p là phép chiếu chính tắc.
11 Định nghĩa 1.2.12. ([1, §3]) Một dãy hữu hạn hoặc vô hạn các đồng cấu R - môđun ...  → A  β → C  α → B  → ... được gọi là khớp tại B nếu imα = ker β . Dãy được gọi là khớp nếu nó khớp tại mọi môđun khác hai đầu của dãy. Dãy khớp dạng : 0  → A  β → C  α → B  → 0 được gọi là dãy khớp ngắn. Mệnh đề 1.1.13. ([1, §3]) Cho đồng cấu R -môđun α : A → B . Khi đó, ta có các kết quả sau: (i) Dãy 0  → A α → B là khớp nếu α đơn cấu. (ii) Dãy A α → B → 0 là khớp nếu α toàn cấu. (iii) Dãy 0  α → B  → A  → 0 là khớp nếu α đẳng cấu. Một hệ quả trực tiếp của mệnh đề trên là trong dãy khớp ngắn α là đơn cấu còn β là toàn cấu. 1.3 Tích trực tiếp, tổng trực tiếp Định nghĩa 1.3.1. ([1, §2]) Cho một họ những R -môđun ( Ai / i ∈ I ). Khi đó, tích Đề Các ∏ A=i {(ai ) / i ∈ I , ai ∈ Ai } cùng với phép cộng và phép nhân i∈I vô hướng theo các thành phần: (ai ) + (bi ) =(ai + bi ), (ai )r = (ai ri ). là một R -môđun, gọi là tích trực tiếp của họ ( Ai / i ∈ I ). Trường hợp, Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu ∏ Ai = AI . i∈I Phép chiếu p j : ∏ Ai → Aj là một R đồng cấu với mọi j ∈ I . i∈I
12 Định lý 1.3.2. ([1, §2]) Giả sử B là R -môđun cùng với các đồng cấu B j : B → Aj . Khi đó tồn tại duy nhất đồng cấu β : B → ∏ Ai sao cho biểu đồ i∈I sau giao hoán : p ∏ Ai → Aj , ∀j ∈ I . j i∈I β βj B Mệnh đề 1.3.3. ([1, §2]) Giả sử là một họ đồng cấu môđun. Khi đó, tương ứng f : ∏ Ai → ∏ Bi cho bởi f ((ai )) = ( f i (ai )) là một đồng cấu, được kí hiệu i∈I i∈I bởi ∏ f i và được gọi là tích trực tiếp của họ các đồng cấu ( f i / i ∈ I ) . i∈I Định nghĩa 1.3.4. ([1, §2]) Cho một họ những R -môđun ( Ai / i ∈ I ). Một môđun con của ∏ Ai gồm tất cả những phần tử (ai ) mà ai = 0 hầu hết, trừ một i∈I số hữu hạn chỉ số i ∈ I , được gọi là tổng trực tiếp ( hay tổng trực tiếp ngoài) của họ ( Ai / i ∈ I ) và kí hiệu ⊕ Ai . i∈I Trong trường hợp Ai = A với mọi i ∈ I ta kí hiệu ⊕ Ai = A( I ) . i∈I  a j , i = j Với mỗi j ∈ I tương ứng µ j : Aj → ⊕ Ai , a j → (ai ) , ai =  , là một i∈I 0, i ≠ j đơn cấu. Định lý 1.3.5. ([1, §2]) Giả sử B là R -môđun cùng với các đồng cấu α j : Aj → B . Khi đó, tồn tại duy nhất α : Ai → B sao cho biểu đồ sau giao hoán p A ∀j ∈ I ⊕ Ai → j, . j i∈I α αj B
13 Mệnh đề 1.3.6. ([1, §2]) Giả sử ( f i : Ai → Bi / i ∈ I ) là một họ đồng cấu môđun. Khi đó tương ứng f : ⊕ Ai → ⊕ Bi cho bởi f ((ai )) = ( f (ai )) là một i∈I i∈I đồng cấu kí hiệu ⊕ f i và được gọi là tổng trực tiếp của họ các đồng cấu i∈I ( fi / i ∈ I ) . Định nghĩa 1.3.7. ([1, §2]) Môđun AR được gọi là tổng trực tiếp trong của một họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nếu các điều kiện sau thỏa: (i) A = ∑ Ai , i∈I (ii) Ai ∩ ∑ A=j 0, ∀j ∈ I . i≠ j Bổ đề 1.3.8. ([1, §2]) Môđun AR là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nều và chỉ nếu mỗi phần tử a ∈ A biểu diễn duy nhất dưới dạng: a = ai + ai + ... + ai , ai ∈ Ai , i j ∈ I . 1 2 n j j Hệ quả 1.3.9. ([1, §2]) Giả sử A là tổng trực tiếp của những môđun con Ai , A = ∑ Ai . Khi đó, A là tổng trực tiếp trong nếu và chỉ nếu từ i∈I ai + ai + ... + ai = 0, ai ∈ Ai , i j ∈ I suy ra ai = 0,1 ≤ j ≤ n . 1 2 n j j j Hệ quả 1.3.10. ([1, §2]) Môđun A là tổng trực tiếp trong của họ các môđun con ( Ai / i ∈ I ) nếu và chỉ nếu ánh xạ ⊕ Ai → Ai i∈I là đẳng cấu. (ai )  ∑ ai Định nghĩa 1.3.11. ([1, §2]) Môđun con B của A được gọi là hạng tử trực tiếp trong A nếu có môđun con C của A sao cho A= B ⊕ C .
14 Môđun con A ≠ 0 được gọi là không phân tích được nếu 0 và A là những hạng tử duy nhất trong A . Ví dụ 1.3.12. 1) Giả sử V = VK là không gian vectơ trên trường K và {ai / i ∈ I } là cơ sở của nó. Khi đó, hiển nhiên V = ⊕ ai K . i∈I 2) Trong   mọi môđun con đều có dạng m , m∈ . Với m ≠ 0, m ≠ 1 thì m không là hạng tử trực tiếp. Thật vậy, nếu =  m ⊕ n thì mn ∈ m ∩ n = 0 ⇒ n = 0 ⇒ m =  ⇒ m =1 (trái giả thiết). Vậy   không phân tích được. Định nghĩa 1.3.13. ([1, §3]) Đơn cấu α : A → B của các R -môđun được gọi là chẻ ra nếu Im α là hạng tử trực tiếp trong B . Toàn cấu β : B → A được gọi là chẻ ra nếu Ker β là hạng tử trực tiếp trong B . Mệnh đề 1.3.14. ([1, §3]) 1) Đồng cấu α : A → B là đơn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu β : B → A sao cho βα = id A ( ta nói α có nghịch đảo trái). Khi đó β Im α ⊕ Ker β . = 2) Đồng cấu β : B → C là toàn cấu chẻ ra khi và chỉ khi tồn tại đồng cấu γ :C → B sao cho βγ = idC ( ta nói β có nghịch đảo phải). Khi đó =β Ker β ⊕ Im γ . Định nghĩa 1.3.15. ([1, §3]) Dãy khớp ngắn 0  → A  β → C  α → B  →0 được gọi là chẻ ra nếu Im α = Ker β là hạng tử trực tiếp của B.
15 Mệnh đề 1.3.16. ([1, §3]) Đối với dãy khớp ngắn 0  → A  β → C  α → B  →0 ta có các phát biểu sau tương đương: (i) Dãy khớp ngắn trên là chẻ ra. (ii) α là đơn cấu chẻ ra. (iii) β là toàn cấu chẻ ra. Khi đó, ta có β = Im α ⊕ Im γ  A ⊕ C , trong đó γ :C → B là nghịch đảo phải của β . Định lý 1.3.17. ([1, §3]) Cho dãy khớp ngắn 0  → A  β → C  α → B  →0 . Khi đó các dãy sau là khớp α∗ β∗ a) 0  → Hom( M , A)  → Hom( M , B)  → Hom( M , C ) . b) 0  β *→ Hom( B, M )  → Hom(C , M )  α *→ Hom( A, M ) . Trong đó, M là R -môđun tùy ý α = Hom(id M ,α ) , α ∗ = Hom(α , id M ) (tương * tự với β , β * ). * Định lý 1.3.18. ([1, §3]) Cho dãy khớp chẻ ra 0  → A  β → C  α → B  →0 . Khi đó, các dãy sau cũng là khớp chẻ ra:
16 α β a) 0  *→ Hom( M , B)  → Hom( M , A)  *→ Hom( M , C ) . b) 0  β *→ Hom( B, M )  → Hom(C , M )  α *→ Hom( A, M ) . 1.4. Môđun cốt yếu và môđun đối cốt yếu Định nghĩa 1.4.1. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là cốt yếu ( lớn) trong M nếu với mỗi môđun con khác không B của M ta đều có A ∩ B ≠ 0 (Một cách tương tự nếu A ∩ B =0 ⇒ B =0 ). Khi đó, ta cũng nói rằng M là mở rộng cốt yếu của A và kí hiệu A ⊆e M . Ví dụ 1.4.2. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có M ⊆e M . (ii) Xem vành các số nguyên  như môđun trên chính nó. Khi đó, mỗi iđêan khác không trong  đều cốt yếu, bởi vì đối với hai iđêan khác không bất kì a và b ta đều có 0 ≠ ab ∈ a ∩ b . Bổ đề 1.4.3. ([3, §8]) (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ⊂ B ⊂ C thì A ⊆e M ⇒ B ⊆e C . (ii) Nếu Ai ⊆e M , i=1,2,…,n thì  Ai ⊆e M . n i =1 (iii) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và B ⊆e N thì ϕ −1 ( B) ⊆e M . Định nghĩa 1.4.4. ([3, §8]) Môđun con A của M được gọi là đối cốt yếu ( hay bé) nếu với mỗi môđun con E ≠ M ta đều có A + E ≠ M ( một cách tương đương nếu A + E = M ⇒ E = M ).Khi đó, ta kí hiệu A ⊆ s M . Ví dụ 1.4.5. (i) Đối với mỗi môđun M ta đều có 0 ⊆ s M . (ii) Trong  -môđun tự do chỉ có môđun tầm thường 0 là đối cốt yếu.
17 Bổ đề 1.4.6. ([3, §8]) (i) Nếu trong môđun M có dãy các môđun con A ⊂ B ⊂ C thì B ⊆s C ⇒ A ⊆s M . (ii) Nếu Ai ⊆ s M , i=1,2,…,n thì ∑ Ai ⊆ s M . n i =1 (iii) Nếu ϕ : M → N là đồng cấu môđun và A ⊆ s M thì ϕ ( A) ⊆ s N . Mệnh đề 1.4.7. ([3, §8]) Đối với phần tử a ∈ M R thì môđun con aR không là đối cốt yếu trong M khi và chỉ khi tồn tại môđun con tối đại K sao cho a∉K . Bổ đề 1.4.8. ([3, §8]) Cho A là môđun con của M R . Khi đó A ⊆e M khi và chỉ khi với mỗi phần tử khác không m ∈ M thì tồn tại r ∈ R sao cho 0 ≠ mr ∈ A Hệ quả 1.4.9. ([3, §8]) Cho môđun M = ∑ M i và Ai ⊆e M i , i ∈ I và i∈I A = ∑ Ai = ⊕ Ai . Khi đó, ta có A ⊆e M và M = ⊕ M i . i∈I i∈I i∈I Hệ quả 1.4.10. ([3, §8]) Cho môđun M = ⊕ M i và Ai ⊆e M i , i ∈ I . Khi đó, ta i∈I có A = ∑ Ai = ⊕ Ai và A ⊆e M . i∈I i∈I 1.5 Môđun nội xạ Định nghĩa 1.5.1. ([3, §10]) Một môđun Q được gọi là nội xạ nếu với mỗi đồng cấu f : A → Q và mỗi đơn cấu g : A → B của những R -môđun, tồn tại một đồng cấu h : B → Q sao cho hg = f , nghĩa là biểu đồ giao hoán.