Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

54
lượt xem 7
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Trong nội dung Hình học ở bậc phổ thông, tam giác có một vai trò đặc biệt. Việc chứng minh các tính chất hình học, giải bài toán hình học đòi hỏi chúng ta phải vận dụng những kiến thức về tam giác một cách linh hoạt. Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác trong được gọi là đường đối trung của tam giác. Đường đối trung là một trong những vấn đề hấp dẫn của hình học phẳng.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ NGỌC BÍCH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG TRONG TAM GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên, 6/2018
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ——————–o0o——————– ĐỖ NGỌC BÍCH MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐƯỜNG ĐỐI TRUNG TRONG TAM GIÁC Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp Mã số: 8640113 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS. TS. TRẦN VIỆT CƯỜNG Thái Nguyên, 6/2018
i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Danh sách hình vẽ iii Mở đầu 1 Chương 1. Một số vấn đề về đường đối trung 3 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Một số định lý trong hình học . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Đường đối song . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.1.3 Đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2 Đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.1 Định nghĩa và cách dựng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.2.2 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2. Một số ứng dụng của đường đối trung 22 2.1 Bài toán chứng minh quan hệ bằng nhau . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Bài toán liên quan đến yếu cố cố định . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.3 Bài toán chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.4 Bài toán chứng minh ba điểm thẳng hàng . . . . . . . . . . . . 41 2.5 Bài toán chứng minh các điểm cùng thuộc một đường tròn . . . 45 2.6 Một số bài toán khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62
ii Danh mục ký hiệu SABC Diện tích tam giác ABC AB Cạnh có hướng từ A tới B (ABCD) = −1 A, B, C, D là hàng điểm điều hòa O(ABCD) = −1 OA, OB, OC, OD là chùm điều hòa d(L; AB) Khoảng cách từ điểm L tới đường thẳng AB AB k CD Đường thẳng AB song song với CD 4ABC ∼ 4DEF Tam giác ABC đồng dạng với tam giác DEF
iii Danh sách hình vẽ 1.1 Định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Định lý Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.3 AP BQ là tứ giác điều hòa. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.4 M N là đường đối song với BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.5 AM và AH là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.6 AO và AH là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.7 AD và AE là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.8 d1 và d2 là hai đường đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.9 A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường tròn . . . . . . . . . . 12 1.10 AD là đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.11 AM và AD đẳng giác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.12 AN là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . 17 1.13 AQ là đường đối trung . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 1.14 AQ là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . 21 2.1 AD là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . 23 2.2 AM là trung tuyến của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . . . 24 2.3 AF là đường đối trung của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . 26 2.4 AA0 là trung tuyến của tam giác AB 0 C 0 . . . . . . . . . . . . . 28 2.5 Đường đối song DM và DN bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . 28 2.6 Đường đối song P N và QM bằng nhau . . . . . . . . . . . . . . 29 2.7 A0 là trung điểm BC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.8 D đối xứng với A qua KM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 2.9 R không phụ thuộc vào đường tròn Γ . . . . . . . . . . . . . . . 32
iv 2.10 R không phụ thuộc vào đường tròn Γ . . . . . . . . . . . . . . . 33 2.11 M C đi qua trung điểm N P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 2.12 Q luôn nằm trên đường đối trung từ góc A . . . . . . . . . . . . 36 2.13 Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác A0 B 0 C 0 luôn nằm trên AL . 38 2.14 I luôn nằm trên đường thẳng vuông góc với AB tại H . . . . . 39 2.15 AD, BN, CM đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 2.16 S, A, H thẳng hàng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42 2.17 BE chia đôi AC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 2.18 Đường tròn Lemoine thứ nhất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 2.19 Đường tròn Lemoine thứ hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 2.20 Tứ giác EF N P nội tiếp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 2.21 L là trọng tâm tam giác P QR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 2.22 Các tiếp tuyến với (O) tại A, C và BD đồng quy tại S . . . . . 49 2.23 CD = 3F P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 2.24 AO là đường đối trung của tam giác BAD . . . . . . . . . . . . 52 2.25 Tam giác ABC có đường đối trung AS . . . . . . . . . . . . . . 55 2.26 AD là đường đối trung, AM là trung tuyến . . . . . . . . . . . 56 2.27 AH là đường cao của tam giác ABC . . . . . . . . . . . . . . . 57 2.28 AD là đường đối trung ngoài của tam giác ABC . . . . . . . . . 59
1 Mở đầu Trong nội dung Hình học ở bậc phổ thông, tam giác có một vai trò đặc biệt. Việc chứng minh các tính chất hình học, giải bài toán hình học đòi hỏi chúng ta phải vận dụng những kiến thức về tam giác một cách linh hoạt. Trong tam giác, đường thẳng đối xứng với đường trung tuyến qua đường phân giác trong được gọi là đường đối trung của tam giác. Đường đối trung là một trong những vấn đề hấp dẫn của hình học phẳng. Nó có một số tính chất hình học thú vị như: đường đối trung chia cạnh đối diện thành những phần tỉ lệ với bình phương các cạnh kề; đường đối trung xuất phát từ một đỉnh của tam giác và đi qua giao điểm của hai tiếp tuyến với đường tròn ngoại tiếp của tam giác tại hai đỉnh kia; Ba đường đối trung của tam giác đồng quy tại một điểm... Vận dụng những tính chất này, ta có thể giải được nhiều bài toán hình học thú vị. Với mong muốn tìm hiểu sâu hơn về vấn đề đường đối trung, chúng tôi lựa chọn đề tài “Một số vấn đề về đường đối trung trong tam giác” dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Trần Việt Cường. Ngoài phần Mở đầu, Kết luận và Tài liệu tham khảo, luận văn gồm hai chương. Chương 1. Một số vấn đề đường đối trung. Ngoài việc trình bày một số kiến thức chuẩn bị có liên quan đến trong đề tài, chương này được chúng tôi giành để trình bày định nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị của đường đối trung. Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [2, 3, 1, 7, 9]. Chương 2. Một số ứng dụng của đường đối trung. Trong chương này, chúng tôi áp dụng các tính chất của Đường đối trung trong quá trình giải một
2 số bài toán hình học phẳng. Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [2, 3, 1, 5]. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên. Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến PGS. TS. Trần Việt Cường. Thầy đã dành nhiều thời gian hướng dẫn cũng như giải đáp các thắc mắc của học trò trong suốt quá trình học tập, nghiên cứu và giúp đỡ tác giả hoàn thành luận văn này. Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các thầy giáo, cô giáo khoa Toán - Tin, Trường Đại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và nghiên cứu khoa học. Tác giả xin cảm ơn gia đình, bạn bè, đồng nghiệp, lãnh đạo Trường Trung học phổ thông Vũ Văn Hiếu, Hạ Long, Quảng Ninh đã động viên, cổ vũ, tạo điều kiện để tác giả có thể hoàn thành nhiệm vụ của mình. Cuối cùng, tác giả xin gửi làm cảm ơn tới gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, giúp đỡ và tạo điều kiện tốt nhất cho tôi khi học tập và nghiên cứu. Thái Nguyên, tháng 6 năm 2018 Người viết luận văn Đỗ Ngọc Bích
3 Chương 1 Một số vấn đề về đường đối trung Chương 1, trình bày một số kiến thức chuẩn bị như hai đường thẳng đẳng giác trong tam giác, đường đối song của một cạnh tam giác và trình bày định nghĩa, cách dựng và cùng một số tính chất thú vị của đường đối trung. Các nội dung được trình bày trên cơ sở tham khảo các tài liệu [1, 2, 3, 7, 9]. 1.1 Một số kiến thức chuẩn bị 1.1.1 Một số định lý trong hình học Định lý 1.1.1 (Định lý Thales, [2]). Nếu một đường thẳng song song với một cạnh của tam giác và cắt hai cạnh còn lại thì nó định ra trên hai cạnh đó những đoạn thẳng tương ứng tỉ lệ. Định lý 1.1.2 (Định lý Menelaus, [2]). Cho tam giác ABC. D, E, F lần lượt nằm trên các đường thẳng BC, CA, AB sao cho ba điểm có một số chẵn điểm thuộc cạnh tam giác ABC. Khi đó, D, E, F thẳng hàng khi và chỉ khi F A DB EC · · = 1. F B DC EA
4 Hình 1.1: Định lý Menelaus Định lý 1.1.3 (Định lý Pascal, [2]). Cho sáu điểm bất kỳ trên một conic (elip, parabol hoặc hyperbol) khi đó giao điểm của các cặp cạnh đối diện thẳng hàng. Đường thẳng này gọi là đường thẳng Pascal. Hình 1.2: Định lý Pascal Định lý 1.1.4 (Định lý Ceva, [2]). Cho tam giác ABC và ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác và cắt đường thẳng chứa cạnh đối diện tại A0 , B 0 , C 0 sao cho: hoặc cả ba điểm A0 , B 0 , C 0 đều nằm trên ba cạnh của tam giác hoặc một trong ba điểm đó nằm trên một cạnh của tam giác còn hai điểm kia nằm trên phần kéo dài của hai cạnh còn lại. Điều kiện cần và đủ để AA0 , BB 0 , CC 0 đồng quy hoặc song song với nhau là ta có hệ thức: AB 0 CA0 BC 0 · · = 1. B 0 C A0 B C 0 A Người ta thường gọi ba đường thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 xuất phát từ các đỉnh của tam giác ABC và đồng quy tại một điểm là ba đường thẳng Ceva; Các
5 đoạn thẳng AA0 , BB 0 , CC 0 gọi là các đoạn thẳng Ceva; Giao điểm của các đường thẳng Ceva gọi là điểm Ceva. Từ định lý Ceva, có thể suy ra rằng: Trong một tam giác ABC: 1. Ba đường trung tuyến đồng quy (tại trọng tâm của tam giác). 2. Ba đường phân giác đồng quy (tại tâm đường tròn nội tiếp tam giác). 3. Ba đường cao đồng quy (tại trực tâm của tam giác). 4. Ba đường trung trực đồng quy (tại tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác). Dạng lượng giác của định lý Ceva như sau: sin ∠ABB 0 sin ∠BCC 0 sin ∠CAA0 · · = 1. sin ∠CBB 0 sin ∠ACC 0 sin ∠BAA0 hoặc sin ∠ABB 0 · sin ∠BCC 0 · sin ∠CAA0 = sin ∠CBB 0 · sin ∠ACC 0 · sin ∠BAA0 . Định nghĩa 1.1.5 ([4]). Trên một đường thẳng lấy bốn điểm A, B, C, D. Khi đó, ta gọi bốn điểm A, B, C, D là hàng điểm điều hòa nếu nó thỏa mãn hệ thức CA DA =− . Ký hiệu là (ABCD) = −1. CB DE Bốn điểm được gọi là hàng điểm điều hòa khi và chỉ khi một trong các hệ thức sau được thỏa mãn: 2 1 1 1. = + (hệ thức Descarter). AB CA DA 2 2. IA = IC · ID (với I là trung điểm AB) (hệ thức Newton). 3. Gọi J là trung điểm CD, ta có AC · AD = AB · AJ (hệ thức Maclaurin). Cho hàng điểm điều hòa (ABCD) = −1 và O nằm ngoài hàng điểm điều hòa trên. Khi đó ta gọi bốn tia OA, OB, OC, OC là một chùm điều hòa và kí hiệu O(ABCD) = −1. Cho O(ABCD) = −1. Một đường thẳng bất kì cắt các cạnh OA, OB, OC, OD lần lượt tại E, F, G, K, khi đó ta có (E, F, G, K) = −1. AB CB Định nghĩa 1.1.6 ([4]). Tứ giác ABCD nội tiếp và thỏa mãn = AD CD được gọi là tứ giác điều hòa.
6 Định lý 1.1.7. Cho đường tròn (O) và điểm M nằm ngoài đường tròn. M A và M B là tiếp tuyến vẽ từ M đến (O). Một cát tuyến qua M cắt (O) tại P và Q. Khi đó AP BQ là tứ giác điều hòa (Hình 1.3). Hình 1.3: AP BQ là tứ giác điều hòa. Chứng minh. Ta có 4QAM ∼ 4AP M vì ta có AM 2 = P M · M Q (theo định nghĩa phương tích của đường tròn). Do đó, ta có AQ AM = . (1.1) AP MP Tương tự, ta có 4QBM ∼ 4BP M vì ta có BM 2 = P M · M Q. Do đó, ta có BQ BM = . (1.2) BP MP Vì M A và M B là tiếp tuyến kẻ từ M đến (O) nên ta có M A = M B. Do đó, từ (1.1) và (1.2) ta có AQ AM BM BQ = = = . AP MP MP BP Do đó, theo định nghĩa ta có AP BQ là tứ giác điều hòa. Tứ giác điều hòa có một số tính chất như sau: 1. ABCD là tứ giác điều hòa thì AC · BD = 2AB · CD = 2BC · AD. 2. Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp (O), tiếp tuyến tại B và D cắt nhau tại M, I là giao điểm của AC và BD. Khi đó, (M IAC) = −1. 3. Xét tứ giác điều hòa ABCD nội tiếp O, gọi M là giao của hai tiếp tuyến của (O) tại B và D. Gọi I là giao điểm của OM và BD. Khi đó, IB là phân giác của góc AIC.
7 1.1.2 Đường đối song Định nghĩa 1.1.8 ([7]). Một cát tuyến cắt hai cạnh AB, AC của tam giác ABC theo thứ tự tại M , N . Nếu ∠AM N = ∠ACB thì ta nói rằng M N đối song với BC. Hình 1.4: M N là đường đối song với BC Hệ quả 1.1.9 ([7]). 1) Nếu tứ giác CBM N nội tiếp thì M N đối song với BC và ngược lại. 2) Nếu M N đối song với BC thì M N cũng đối song với mọi đường thẳng song song với BC. 3) Nếu từ M kẻ cát tuyến M P sao cho ∠BM P = ∠ACB thì M P đối song với AC. Vậy, từ một điểm trên một cạnh của một tam giác, có thể kẻ được hai đường thẳng lần lượt đối song với hai cạnh còn lại của tam giác. 4) Một cát tuyến vuông góc với cạnh huyền của một tam giác vuông thì đối song với cả hai cạnh của góc vuông. Đặt biệt, đường cao tương ứng với cạnh huyền đối song với cả hai cạnh góc vuông.
8 1.1.3 Đường đẳng giác Định nghĩa 1.1.10 ([3]). Cho góc ∠xOy. Ta nói hai đường thẳng d1 và d2 là các đường đẳng giác trong góc đã cho nếu chúng cùng đi qua đỉnh O và đối xứng với nhau qua phân giác của góc đó. Ví dụ 1.1.11. (a) Một trường hợp tầm thường là: Đường phân giác là đẳng giác với chính nó. (b) Trong một tam giác vuông, đường cao và đường trung tuyến xuất phát từ đỉnh góc vuông là hai đường đẳng giác. Hình 1.5: AM và AH là hai đường đẳng giác Thật vậy, cho tam giác ABC vuông tại A, có đường cao AH, đường phân giác AD, trung tuyến AM (Hinh 1.5). Ta có M \ AC = M \ CA = HAB \ DAC \ = DAB \ (AD là phân giác) ⇒M \ AD = DAH \ Vậy AM và AH đối xứng nhau qua AD hay AM và AH là hai đường đẳng giác. (c) Nếu tam giác ABC nội tiếp trong đường tròn (O) thì AO và đường cao AH hạ từ đỉnh A xuống cạnh BC là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC (Hình 1.6).
9 Hình 1.6: AO và AH là hai đường đẳng giác Chú ý 1.1.12. Góc giữa các đường đẳng giác với hai cạnh của góc đã cho là bằng nhau. Cho nên nói hai đường thẳng đẳng giác là đối với đường phân giác hoặc đối với hai cạnh của góc. Định lý 1.1.13 (Định lý Steiner, [8]). Cho tam giác ABC và hai điểm D, E trên cạnh BC. Khi đó, AD và AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC khi và chỉ khi BD BE AB 2 · = . (1.3) DC EC AC 2 Hình 1.7: AD và AE là hai đường đẳng giác Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử AD và AE là hai đường đẳng giác của góc
10 ∠BAC, AH là đường cao. Ta có 1 BD BD · AH SBAD AD · AB · sin ∠BAD AB · sin ∠BAD = 21 = = = . DC 2 DC · AH SDAC AD · AC · sin ∠DAC AC · sin ∠DAC (1.4) Tương tự, ta cũng có BE AB · sin ∠BAE = . (1.5) EC AC · sin ∠EAC Mặt khác, do AD, AE là hai đường đẳng giác của góc ∠BAC nên ta có ∠BAD = ∠EAC, ∠DAC = ∠BAE. Từ đây kết hợp với (1.4) và (1.5), ta thu được ngay đẳng thức (1.3). Điều kiện đủ. Giả sử AD, AE thỏa mãn (1.3), ta chứng minh AD và AE là hai đường đẳng giác ứng với góc A. Vẽ AD0 là đường đẳng giác của AE, D0 ∈ BC. Khi đó, ta có hệ thức BD0 BE AB 2 · = . D0 C EC AC 2 BD BD0 Kết hợp với (1.3), ta có = 0 . Suy ra D ≡ D0 , tức AD và AE là hai DC DC đường đẳng giác. Nhận xét 1.1.14. Định lý 1.1.13 cho ta tiểu chuẩn để kiểm tra hai đường thẳng có là đường đẳng giác của một góc hay không. Định lý 1.1.15 ([3]). Cho góc ∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểm bất kỳ trên d1 . Gọi H, K lần lượt là hình chiếu của A trên Ox, Oy. Khi đó, đường thẳng d2 là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy khi và chỉ khi d2 qua O và vuông góc với HK. Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử d2 là đường đẳng giác của d1 , ta sẽ chứng minh d2 ⊥ HK. Ta có OHAK là tứ giác nội tiếp đường tròn đường kính OA nên ∠AOH = ∠AKH. Mặt khác, do d1 và d2 là đẳng giác nên ta có ∠KOB = ∠AOH. Do đó, ta có ∠KOB = ∠AKH.
11 Hình 1.8: d1 và d2 là hai đường đẳng giác Vì ∠AKH + ∠HKO = 90◦ nên ta có ∠KOB + ∠HKO = 90◦ , từ đó suy ra OB ⊥ HK. Điều kiện đủ. Giả sử d2 đi qua O và vuông góc với KH, ta sẽ chứng minh d2 là đường đẳng giác của d1 . Gọi d0 là đường đẳng giác của d1 ứng với góc ∠xOy. Theo phần điều kiện cần, ta có d0 ⊥ HK, suy ra d0 trùng d2 . Vậy d2 là đường đẳng giác của d1 . Hệ quả 1.1.16. Cho góc ∠xOy và đường thẳng d1 qua O, A là một điểm bất kỳ trên d1 . Gọi A0 và A01 lần lượt là điểm đối xứng của A qua Ox và Oy. Khi đó, đường trung trực của đoạn A0 A01 là đường đẳng giác của OA. Định lý 1.1.17 ([3]). Cho góc ∠xOy. A và B là hai điểm sao cho OA và OB là hai đường đẳng giác ứng với góc ∠xOy. A1 và A2 lần lượt là hình chiếu của A lên Ox và Oy và B1 , B2 lần lượt là hình chiếu của B trên Ox, Oy. Khi đó, ta có các điều sau: (a) Bốn điểm A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường tròn có tâm là trung điểm của AB. (b) AA1 · BB1 = AA2 · BB2 .
12 Hình 1.9: A1 , A2 , B1 , B2 cùng nằm trên một đường tròn Chứng minh. (a) Ta có OA1 = OA cos ∠AOA1 , OB1 = OB cos ∠BOB1 và OA2 = OA cos ∠AOA2 , OB2 = OB cos ∠BOB2 . Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 = ∠BOB1 . Suy ra OA1 · OB1 = OA2 · OB2 . Do đó, bốn điểm A1 , A2 , B1 và B2 cùng thuộc một đường tròn. Hơn nữa, tâm của đường tròn này chính là trung điểm của AB. (b) Ta có AA1 = OA sin ∠AOA1 , AA2 = OA sin ∠AOA2 và BB1 = OB sin ∠BOB1 , BB2 = OB sin ∠BOB2 . Vì OA và OB là hai đường đẳng giác nên ∠AOA1 = ∠BOB2 và ∠AOA2 = ∠BOB1 . Suy ra AA1 · BB1 = AA2 · BB2 . Định lý 1.1.18 ([3]). Trong một tam giác, những đường thẳng đẳng giác với bộ đường thẳng Ceva cũng là một bộ ba đường thẳng Ceva.
13 Chứng minh. Gọi AA0 , AA00 ; BB 0 , BB 00 ; CC 0 , CC 00 là những cặp đường thẳng đẳng giác. Theo định lý Steiner, ta có AB 0 AB 00 AB 2 CA0 CA00 AC 2 · = , · = CB 0 CB 00 BC 2 BA0 BA00 AB 2 BC 0 BC 00 BC 2 · = AC 0 AC 00 AC 2 Nhân vế với vế các đẳng thức trên, ta có AB 0 AB 00 CA0 CA00 BC 0 BC 00 · · · · · = 1. CB 0 CB 00 BA0 BA00 AC 0 AC 00 Theo giả thiết, AA0 , BB 0 , CC 0 cắt nhau tại một điểm nên ta có AB 0 CA0 BC 0 · · = 1. CB 0 BA0 AC 0 Từ đó, ta có AB 00 CA00 BC 00 · · = 1. B 00 C A00 B C 00 A Vậy AA00 , BB 00 , CC 00 đồng quy. Định nghĩa 1.1.19 ([3]). Hai điểm được gọi là hai điểm đẳng giác nếu các cặp đường thẳng nối chúng với mỗi đỉnh là những cặp đường đẳng giác. Ví dụ 1.1.20. Trong một tam giác, tâm đường tròn ngoại tiếp và trực tâm là điểm đẳng giác. Định lý 1.1.21 ([3]). Cho P và P 0 là hai điểm đẳng giác đối với tam giác ABC. Gọi X, Y, Z lần lượt là các hình chiếu của P trên các cạnh BC, AC, AB và X 0 , Y 0 , Z 0 lần lượt là các hình chiếu của P 0 trên các cạnh BC, AC, AB. Khi đó, sáu điểm X, Y, Z, X 0 , Y 0 , Z 0 cùng nằm trên một đường tròn. Định lý 1.1.22 ([3]). Trong một tam giác, chân các đường cao và trung điểm các cạnh thì cùng thuộc một đường tròn, còn gọi là đường tròn Euler, tâm đường tròn chính là trung điểm của đoạn thẳng nối trực tậm và tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác.
14 1.2 Đường đối trung 1.2.1 Định nghĩa và cách dựng Định nghĩa 1.2.1 ([5]). Trong một tam giác, đường đẳng giác với trung tuyến xuất phát từ một đỉnh được gọi là đường đối trung của tam giác. Ví dụ 1.2.2. Trong một tam giác vuông, đường cao xuất phát từ đỉnh chính là đường đối trung. Định lý 1.2.3 ([5]). Cho tam giác ABC và (O) là đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O. Cho D là giao điểm của hai đường tiếp tuyến của (O) tại điểm B và C. Khi đó AD là đường đối trung của tam giác ABC. Chứng minh thứ nhất. Ký hiệu M 0 là giao của đường đẳng giác của AD với BC. (Hình 1.10). Khi đó, ta có 0 BM 0 AM 0 sin ∠BAM sin ∠ABC sin ∠BAM 0 sin ∠ABD = = M 0C AM 0 sin ∠CAM 0 sin ∠ACB sin ∠ACD sin ∠CAM 0 sin ∠CAD sin ∠ABD CD AD = = = 1. sin ∠ACD sin ∠BAD AD BD Do đó, AM 0 là đường trung tuyến. Vì vậy AD là đường đối trung. Hình 1.10: AD là đường đối trung