Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:68

Thêm vào BST

Báo xấu

32
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích chính của luận văn là trình bày các tính chất của điểm Feuerbach để từ đó đưa ra cách dựng 4 điểm Feuerbach tối ưu nhất. Bằng phương pháp sơ cấp, tìm hiểu các đường thẳng và đường tròn có tính chất gì sẽ đi qua các điểm Feuerbach. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC --------------------------- PHẠM VĂN TUYẾN MỘT SỐ VẤN ĐỀ XUNG QUANH ĐIỂM FEUERBACH Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 8 46 01 13 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS NGUYỄN VIỆT HẢI THÁI NGUYÊN - 2019
i Mục lục Danh mục hình ii Một số ký hiệu iii Lời cảm ơn iv Mở đầu 1 1 Điểm Feuerbach và một số tính chất 3 1.1 Sự xác định các điểm Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Điểm Feuerbach và các điểm chân phân giác . . . . . . . . . 10 1.3 Các công thức khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác . 14 1.3.2 Khoảng cách giữa các điểm Feuerbach . . . . . . . . 17 2 Các đường thẳng và các đường tròn đồng quy 21 2.1 Điểm Feuerbach và các đường thẳng Euler . . . . . . . . . . 21 2.1.1 Điểm Feuerbach trong Fe . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.1.2 Các điểm Feuerbach ngoài Fa , Fb , Fc . . . . . . . . . 24 2.2 Bốn đường tròn đi qua điểm Feuerbach . . . . . . . . . . . 28 2.3 Bốn đường thẳng đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3 Tam giác Feuerbach trong tọa độ barycentric 36 3.1 Tọa độ các điểm Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 3.2 Quan hệ của 3 khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 3.3 Các cặp tam giác phối cảnh . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 3.4 Đường cô nic Feuerbach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 3.5 Một số ứng dụng khác . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 Kết luận 61 Tài liệu tham khảo 62
ii Danh mục hình 1.1 Đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp . . 4 1.2 Đường tròn Euler tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn bàng tiếp 6 1.3 N x là tiếp tuyến . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.4 Dựng các điểm Feuerbach bằng compa thước kẻ . . . . . . . 9 1.5 Bổ đề 1.2.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.6 Bổ đề 1.2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.7 ∆XY Z và ∆Fa Fb Fc đồng dạng . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.8 Khoảng cách từ Fe đến các đỉnh tam giác . . . . . . . . . . 14 1.9 Khoảng cách từ Fa , Fb , Fc đến các đỉnh . . . . . . . . . . . 17 2.1 6 điểm A, E 0 , F 0 , I, E1 , F1 nằm trên một đường tròn . . . . 22 2.2 Đường thẳng Euler của ∆D0 Y1 Z1 đi qua Fe . . . . . . . . . 23 2.3 Đường thẳng Euler của T0a đi qua điểm Sc0 = X442 . . . . . 25 2.4 Hyperbol Jerabek đi qua D0 , E 0 , F 0 I, Ge . . . . . . . . . . . 27 2.5 Mệnh đề 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 2.6 Mệnh đề 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 2.7 Mệnh đề 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 2.8 Ni ≡ X942 ; P ≡ X113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.1 Các điểm Feuerbach và các chân đường phân giác . . . . . . 42 3.2 Fe E = F e D + Fe F . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 3.3 Điểm Feuerbach ngoài . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 3.4 Tam giác Fa Fb Fc và tam giác XY Z phối cảnh, tâm Fe . . . 52 3.5 Sáu điểm Xb , Xc , Yc , Ya , Za , Zb thuộc cô níc . . . . . . . . . 55 3.6 Điểm X2160 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
iii MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN Stt Ký hiệu Nội dung ký hiệu Trang 1 D, E, F Trung điểm của BC, CA, AB 17 2 D0, E 0, F 0 Tiếp điểm của đường tròn nội tiếp và cạnh TG 24 3 ∆D0 E 0 F 0 Tam giác tiếp xúc trong 28 4 I, O Tâm nội tiếp và tâm ngoại tiếp ∆ABC 6 5 O9 Tâm đường tròn chín điểm (Euler) 6 6 Ia , Ib , Ic Tâm đường tròn A, B, C –bàng tiếp 6 7 X, Xa Chân các phân giác trong và ngoài Ab 13 8 Y, Yb Chân các phân giác trong và ngoài Bb 13 9 Z, Zc Chân các phân giác trong và ngoài Cb 13 10 Fe Điểm Feuerbach trong 10 11 Fa , Fb , Fc Điểm Feuerbach ngoài 10 12 ∆Fa Fb Fc Tam giác Feuerbach 15 13 σ, σθ 2SABC ; σ. cot θ 40 2 2 2 2 2 2 2 2 2 b +c −a c +a −b a +b −c 14 σA , σB , σC , , 17 2 2 2
iv Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS. Nguyễn Việt Hải, Giảng viên cao cấp Trường đại học Hải Phòng. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều thầy đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn phòng Đào tạo, Khoa Toán Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học K11 (2017 - 2019) Trường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn! Hải Phòng, tháng ... năm 20... Người viết Luận văn Phạm Văn Tuyến
1 Mở đầu 1. Mục đích của đề tài luận văn Một trong những định lý đẹp nhất của hình học Euclid phẳng là định lý Feuerbach: Trong mọi tam giác, đường tròn Euler tiếp xúc với đường tròn nội tiếp và ba đường tròn bàng tiếp. Liên quan đến định lý đó là một loạt các vấn đề được khám phá: Dựng các điểm Feuerbach như thế nào? Các tính chất của điểm Feuerbach có liên quan gì đến điểm và đường thẳng đã biết? Các đường thẳng và đường tròn nào sẽ đi qua điểm Feuerbach? Các tính chất của tam giác Feuerbach... Trình bày cách giải quyết các vấn đề trên là lý do để tôi chọn đề tài “Một số vấn đề xung quanh điểm Feuerbach”. Mục đích của đề tài là: - Trình bày các tính chất của điểm Feuerbach để từ đó đưa ra cách dựng 4 điểm Feuerbach tối ưu nhất. - Bằng phương pháp sơ cấp, tìm hiểu các đường thẳng và đường tròn có tính chất gì sẽ đi qua các điểm Feuerbach. - Phát hiện ra các cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach. Kết hợp với tọa độ barycentric tìm ra mối quan hệ giữa các khoảng cách. 2. Nội dung đề tài, những vấn đề cần giải quyết Nội dung chia làm 3 chương: Chương 1. Điểm Feuerbach và một số tính chất Chương này giới thiệu định lý Feuerbach và các tính chất cơ bản của điểm Feuerbach trong và điểm Feuerbach ngoài, xác định khoảng cách từ
2 các điểm Feuerbach đến các đỉnh và khoảng cách giữa các điểm Feuerbach. Nội dung bao gồm các mục (tổng hợp, bổ sung từ sách tham khảo [1] và các bài báo [3], [6]): 1.1. Sự xác định các điểm Feuerbach 1.2. Điểm Feuerbach và các điểm chân phân giác 1.3. Các công thức khoảng cách. Chương 2. Các đường thẳng và các đường tròn đồng quy Nội dung chương này chủ yếu là tìm các đường tròn đi qua mỗi điểm Feuerbach, các đường thẳng chứa điểm Feuerbach đồng quy tại tâm Euler. Ngoài ra là mối quan hệ của các điểm Feuerbach với các đường thẳng Euler. Chương này bao gồm các mục sau (tổng hợp, bổ sung từ [2], [5]): 2.1. Điểm Feuerbach và các đường thẳng Euler 2.2. Bốn đường tròn đi qua điểm Feuerbach 2.3. Bốn đường thẳng đi qua tâm Euler Chương 3. Tam giác Feuerbach trong tọa độ barycentric Chương 3 xét các tính chất của tam giác Feuerbach, đặc biệt khảo sát các cặp tam giác vị tự liên quan đến điểm Feuerbach. Dùng tọa độ barycentric để xác định tọa độ các điểm Feuerbach, lập phương trình các đường thẳng, chứng minh mối quan hệ giữa các khoảng cách từ điểm Feuerbach và kết thúc bằng việc xét đường cô níc Feuerbach. Chương này được tham khảo và tổng hợp theo các bài báo [3]. Nội dung của chương được chia thành 5 phần: 3.1. Tọa độ các điểm Feuerbach 3.2. Quan hệ của 3 khoảng cách 3.3. Các cặp tam giác vị tự 3.4. Đường cô nic Feuerbach 3.5. Một số ứng dụng khác
3 Chương 1 Điểm Feuerbach và một số tính chất Trong tam giác ABC , 9 điểm sau nằm trên một đường tròn: 3 trung điểm 3 cạnh, 3 chân đường cao, 3 trung điểm của đoạn thẳng nối trực tâm đến đỉnh tam giác. Đường tròn đó là đường tròn Euler, tên nhà toán học vĩ đại tìm ra nó (hay còn gọi là đường tròn chín điểm). Nếu (O, R) R là đường tròn ngoại tiếp tam giác thì bán kính đường tròn Euler bằng , 2 tâm đường tròn Euler ký hiệu là O9 , thẳng hàng với tâm O và trực tâm H . Ngoài ra 4 điểm O, H, O9 và trọng tâm G tạo thành một hàng điểm điều hòa. Chính đường thẳng chứa 4 điểm đó được gọi là đường thẳng Euler. Ta có kết quả đặc sắc sau: Với tam giác ABC cho trước, đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp (I, r) và tiếp xúc ngoài với mỗi đường tròn bàng tiếp (Ia , ra ), (Ib , rb ), (Ic , rc ). Bốn tiếp điểm đó là những điểm đặc biệt của tam giác. Kết quả nổi tiếng này thuộc về Feuerbach. Nội dung chương 1 trình bày cách xác định các điểm Feuerbach và các tính chất đặc biệt của chúng. Một số kết quả mới của các điểm này được tham khảo chính trong [3] với sự chọn lọc và sắp xếp cần thiết. 1.1 Sự xác định các điểm Feuerbach Ta sẽ tách định lý Feuerbach thành 2 mệnh đề. Định lý có nhiều cách chứng minh, ở đây ta sẽ trình bày phép chứng minh bằng hình học thuần túy tham khảo trong [1]. Mệnh đề 1.1 (Feuerbach,[1]). Trong tam giác ABC đường tròn Euler
4 (O9 ) tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp (I, r). Chứng minh. Hình 1.1: Đường tròn Euler tiếp xúc trong với đường tròn nội tiếp Gọi EOF là đường kính vuông góc với BC, AE là tia phân giác đi qua I . Hạ AK ⊥ EF, O9 L ⊥ BC , ta có OK = AA1 − OA0 = AH + HA1 − OA0 = 2OA0 + HA1 − OA0 = OA0 + HA1 = 2O9 L. ∆AKF đồng dạng ∆IDX (các cạnh tương ứng vuông góc). Vậy FK DX FK DX = hay = . Từ đó, AK IX A0 A1 IX IX.F K = A0 A1 .DX (1.1) Ta sẽ chứng minh A0 A1 .DX = XA0 .XA1 .
5 ED EI Thật vậy, ∆EDC đồng dạng với ∆EAC nên = . Số đó EIC [ = EC EA 1 _ _ _ _ (EC + AN ), AN =BN . Vậy EIC [ = nửa cung EN nhưng ICE [ lại 2 bằng nửa cung EN . Như vậy ∆EIC cân và EC = EI : ED A0 X = 0 ⇐⇒ A0 X 2 = A0 D.A0 A1 . EI A A1 Ta có thể viết A0 X.A0 A1 − A0 X 2 = A0 X.A0 A1 − A0 D · A0 A1 hay A0 X(A0 A1 − A0 X) = A0 A1 (A0 X − A0 D), tức là XA0 .XA1 = A0 A1 · DX (1.2) Dựa vào đẳng thức (1.2), chuyển (1.1) về IX.F K = XA0 .XA1 (1.3) Bây giờ từ O9 hạ O9 L ⊥ IX , ta có 2 O9 I 2 = (O9 L − IX)2 + (A0 L − A0 X) 2 2 1 1 0 0 = OK − IX + A A1 − A X 2 2 1 1 = OK 2 − OK.IX + IX 2 + A0 X 2 − A0 X.A0 A1 + A0 A21 4 4 1 1 = OK 2 + A0 A21 − OK.IX − A0 X. (A0 A1 − A0 X) + IX 2 4 4 1 = OA2 + IX 2 − OK.IX − XA0 .XA1 4 Dựa vào (1.3) 1 O9 I 2 = OA2 + IX 2 − OK.IX − IX.KF 4 1 = OA2 + IX 2 − IX.OF 4 2 1 2 R = R + r2 − Rr = −r 4 2 R Suy ra O9 I = − r. 2 R Vì đường tròn Euler có bán kính , đường tròn nội tiếp có bán kính r 2 nên đẳng thức cuối chứng tỏ hai đường tròn tiếp xúc trong.
6 Cho tam giác ABC , ba đường tròn bàng tiếp (Ia , ρa ), (Ib , ρb ), (Ic , ρc ). Để thuận tiện cho cách phát biểu ta quy ước gọi đường tròn A−bàng tiếp là đường tròn bàng tiếp nằm trong góc BAC \ của tam giác. Tương tự như vậy có đường tròn B−bàng tiếp, đường tròn C−bàng tiếp. Mệnh đề 1.2 (Định lý Feuerbach,[1]). Trong tam giác ABC đường tròn Euler (O9 ) tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn bàng tiếp. Chứng minh. Hình 1.2: Đường tròn Euler tiếp xúc ngoài với 3 đường tròn bàng tiếp Hạ Ia Xa ⊥ BC . Ta có X và Xa đối xứng nhau qua trung điểm A0 của a b−c BC . Đó là vì A0 X = A0 Xa = (s − c) = . 2 2 Tam giác ∆AKF đồng dạng với ∆Ia DXa vì các cạnh tương ứng của chúng vuông góc. Vậy FK Xa D FK Xa D = ⇐⇒ 0 = . AK Xa Ia A A1 Xa Ia
7 Từ đó, F K.Xa Ia = Xa D.A0 A1 (1.4) Đẳng thức (1.2) cho ta A0 X · XA1 = A0 A1 · XD (1.5) Nhận xét thấy hai tam giác ∆Ia Xa D, ∆IXD đồng dạng, ta biến đổi (1.5) và (1.4): A0 X.Xa A1 = A0 A1 .Xa D; F K.Xa Ia = A0 Xa · A1 Xa (1.6) Từ O9 hạ O9 P ⊥ Ia Xa , ta có Ia Xa .F K = A0 A1 .DXa = A0 Xa · Xa A1 (1.7) 2 O9 Ia2 = (O9 L + Ia Xa )2 + (A0 Xa + A0 L) 1 1 = OK 2 + OK · Ia Xa + Ia Xa2 + A0 A21 + A0 Xa (A0 Xa + A0 A1 ) 4 4 1 = OA2 + Ia Xa2 + OKIa Xa + A0 Xa· A1 Xa 4 Dựa vào đẳng thức (1.6) ta có: 1 O9 Ia2 = OA2 + Ia Xa2 + Ia Xa (OK + F K) 4 2 1 2 2 R = R + ρa + Rρa = + ρa 4 2 R = O9 Ia = + ρa . 2 Vậy đường tròn nội tiếp (I, r) tiếp xúc ngoài với đường tròn bàng tiếp (Ia , ρa ). Đối với hai đường tròn (Ib , ρb ), (Ic , ρc ) chứng minh tương tự. Định nghĩa 1.1. Tiếp điểm của đường tròn Euler và đường tròn nội tiếp tam giác được gọi là điểm Feuerbach trong, ký hiệu là Fe . Các tiếp điểm của đường tròn Euler với các đường tròn A−bàng tiếp, B−bàng tiếp, C−bàng tiếp lần lượt được gọi là các điểm Feuerbach ngoài, ký hiệu bằng Fa , Fb , Fc .
8 Để vẽ các điểm Feuerbach ta phải dựng 5 đường tròn: Đường tròn Euler, đường tròn nội tiếp và 3 đường tròn bàng tiếp. Điều đó khá cồng kềnh, tuy nhiên ta có cách dựng khác không cần vẽ các đường tròn nói trên. Cách dựng hoàn toàn sơ cấp sau được tham khảo và sắp xếp lại theo tài liệu [1]. Mệnh đề 1.3. Hoàn toàn dựng được các điểm Feuerbach bằng com pa và thước kẻ. Hình 1.3: N x là tiếp tuyến Chứng minh. Ta có nhận xét sau: Nếu trên một dây cung AB , từ một đầu mút A ta đặt AK = đường kính của đường tròn và từ trung điểm N của đoạn thẳng BK ta dựng đường N x vuông góc với AB thì đường thẳng N x là tiếp tuyến của đường tròn, hình 1.3 Thật vậy, vì AK bằng đường kính và CN = CB + BN = AC + N K 1 nên CN = đường kính, tức CN là bán kính đường tròn, hay N F là tiếp 2 tuyến. Nhận xét được chứng minh. Xét ∆ABC , vì đường kính đường tròn Euler bằng bán kính đường tròn ngoại tiếp, nên từ nhận xét trên để dựng các tiếp tuyến của đường tròn Euler ta sẽ đặt trên một dây cung của đường tròn Euler bán kính của đường tròn ngoại tiếp.
9 -Coi đoạn H1 H10 là dây cung của đường tròn Euler. Áp dụng nhận xét trên vào dây H1 H10 ta được tiếp tuyến thứ nhất của đường tròn Euler. - Tương tự từ hai dây cung H2 H20 , H3 H30 dựng được hai tiếp tuyến nữa của đường tròn Euler. - Ba đường thẳng tạo thành tam giác A1 B1 C1 mà các cạnh tiếp xúc với đường tròn Euler, hình 1.4. Hình 1.4: Dựng các điểm Feuerbach bằng compa thước kẻ Điểm Feuerbach thứ nhất là tâm vị tự ngoài của đường tròn nội tiếp và đường tròn Euler. Đường tròn Euler có thể coi là nội tiếp trong tam giác A1 B1 C1 , vị tự với tam giác ABC . Tâm vị tự của đường tròn trùng với tâm vị tự của các tam giác. Do đó, điểm F = Fe có thể dựng được như tâm vị tự của ∆ABC và A1 B1 C1 . - Để tìm ba điểm Fa , Fb , Fc trước hết ta qui về dựng ∆A2 B2 C2 giống như ∆A1 B1 C1 , chỉ khác là khi đặt đường kính thì không đặt ở H10 , H20 , H30 mà đặt ở H1 , H2 , H3 . Để dựng Fa ta xét 2 tam giác vị tự ABC và A2 P2 P1 . Đối với tam giác A2 P2 P1 đường tròn Euler là đường tròn bàng tiếp (B2 −bàng tiếp). Tâm vị tự của 2 tam giác trùng với tâm vị tự của 2 đường tròn bàng tiếp, tức
10 là trùng với một điểm Feuerbach. Như vậy để dựng Fa ta đi dựng tâm vị tự của 2 tam giác ABC và A2 P2 P1 . Để dựng 2 điểm Fb , Fc ta đi dựng tâm vị tự của ∆ABC và ∆Q1 B2 Q2 ; tâm vị tự của ∆ABC và ∆R1 R2 C2 . 1.2 Điểm Feuerbach và các điểm chân phân giác Các điểm là chân đường phân giác liên quan chặt chẽ đến các điểm Feuerbach. Trước hết ta xét các điểm X, Y, Z là chân các phân giác trong của các góc A, b B, b C b . Ta chứng minh 2 bổ đề sau: (tham khảo trong [2],[3]) Bổ đề 1.2.1. Giả sử (O, R) là đường tròn tiếp xúc ngoài với hai đường tròn O1 (r1 ), O2 (r2 ), tương ứng ở A, B . Nếu XY là một tiếp tuyến chung ngoài của (O1 , r1 ) và (O2 , r2 ) thì R AB = p XY. (1.8) (R + r1 ) (R + r2 ) Hình 1.5: Bổ đề 1.2.1
11 2R2 − AB 2 Chứng minh. Trong tam giác cân AOB có cos AOB = \ = 2R2 AB 2 1− . Áp dựng định lý cô sin vào O1 OO2 , hình 1.5, ta có: 2R2 AB 2 2 2 2 O1 O2 = (R + r1 ) + (R + r2 ) − 2 (R + r1 ) (R + r2 ) 1 − 2R2 AB 2 2 = (r1 − r2 ) + (R + r1 ) (R + r2 ) . R Từ hình thang XO1 O2 Y có O1 O22 = (r1 − r2 )2 + XY 2 . Từ đó có (1.8). Bổ đề 1.2.2. Nếu X, Y là chân đường phân giác trong của A, b Bb thì p abc R (R + 2ra ) XY = . (1.9) (c + a)(b + c)R Hình 1.6: Bổ đề 1.2.2 Chứng minh. Trong hình 1.6, gọi A2 , B2 là các tiếp điểm của đường tròn C−bàng tiếp và 2 cạnh CA, CB . Lại gọi K ∈ Ic A2 , L ∈ Ic B2 sao cho
12 a+b+c b OLkCB, OLkCA. Vì CA2 = CB2 = = s nên OL = s − = 2 2 c+a a b+c ; OK = s − = . 2 2 2 CA2 a ba Theo tính chất đường phân giác trong = , suy ra CY = . A2 A c c+a ab CY b+c OK Tương tự, CX = . Ngoài ra: = = . Như vậy ∆CXY b+c CX c+a OL đồng dạng với ∆OLK . Ta suy ra XY CY 2ab = = (1.10) LK OK (c + a)(b + c) Vì OIc là đường kính của (OLK) nên theo định lý sin: \ = OIc sin C = OIc · c . LK = OIc sin LOK (1.11) 2R Tổ hợp (1.10), (1.11) và OIc2 = R(R+2rc ) (hệ thức Euler) cho ta (1.9). Mệnh đề 1.4. ∆XY Z đồng dạng ∆Fa Fb Fc . Thêm nữa, hai tam giác đó còn phối cảnh. Chứng minh. Xét tam giác ABC , bán kính đường tròn ngoại tiếp là R, (Ic , rc ) là đường tròn C−bàng tiếp. (a) Đồng dạng. Xét đường tròn Euler tiếp xúc với các đường tròn A−bàng tiếp và B−bàng tiếp, hình 1.7. Độ dài tiếp tuyến chung ngoài của 2 đường tròn bàng tiếp là P Q = AQ + BP − AB = s + s − c = a + b. Theo bổ đề 1.2.1, R (a + b) · (a + b)R Fa F b = s 2 =p . (R + 2r ) (R + 2r ) R R a b + ra + rb 2 2 So sánh với (1.9) ta được p XY abc R (R + 2ra ) (R + 2rb ) (R + 2rc ) = . Fa Fb (a + b)(b + c)(c + a)R2 Do tỷ số trên đối xứng đối với a, b, c, ra , rb , rc nên XY YZ C1 A1 = = . F a Fb Fb Fc Fc Fa
13 Hình 1.7: ∆XY Z và ∆Fa Fb Fc đồng dạng Như vậy ∆XY Z đồng dạng với ∆Fa Fb Fc . (b) Phối cảnh. Ta chứng minh các điểm Fe , Y và Fb thẳng hàng. Theo định lý Feuerbach, Fe là tâm vị tự của đường tròn nội tiếp và đường tròn Euler và Fb là tâm vị tự trong của đường tròn Euler và đường tròn B−bàng tiếp. Chú ý rằng Y là tâm vị tự trong của đường tròn nội tiếp và đường tròn B−bàng tiếp. Ba tâm vị tự này chia cạnh tam giác Ib O9 I theo tỷ số O9 F e R IY r Ib Fb 2rb =− ; = ; = , Từ đó, O9 I 2r Y Ib rb Fb O9 R O9 Fe IY Ib Fb R 2rb · · =− · = −1 O9 I Y Ib Fb O9 2r R Theo định lý Menelaus, ba điểm Fe , Y, Fb thẳng hàng. Hoàn toàn tương tự: các bộ ba điểm Fe , Z, Fc , Fe , X, Fa thẳng hàng. Điều đó có nghĩa là các tam giác XY Z và Fa Fb Fc phối cảnh với tâm phối cảnh là Fe . Mệnh đề 1.5. Đường tròn đi qua chân các phân giác của ∆ABC chứa điểm Feuerbach Fe . Nói cách khác tứ giác XY ZFe là tứ giác nội tiếp.
14 Chứng minh. Từ mệnh đề 1.4 suy ra: ◦ ZF \ e X + ZY X = Fc Fe F a + Fc Fb F a = 180 \ \ \ Ta suy ra đường tròn (XY Z) đi qua Fe . 1.3 Các công thức khoảng cách 1.3.1 Khoảng cách từ điểm Feuerbach đến đỉnh tam giác 1 Nhắc lại rằng s là nửa chu vi tam giác ABC còn σA bằng (b2 +c2 −a2 ). 2 Tương tự cho σB , σC . Các kết quả được tham khảo trong [3], có giải thích cặn kẽ các chứng minh. Mệnh đề 1.6. Khoảng cách từ điểm Fe đến các đỉnh tam giác ABC : (s − a)2 R − rσA (s − b)2 R − rσB (s − c)2 R − rσC AFe2 = 2 ; BFe = 2 ; CFe = . R − 2r R − 2r R − 2r Hình 1.8: Khoảng cách từ Fe đến các đỉnh tam giác