Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất định tính của bao hàm thức vi phân

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Trúc

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2013

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Nguyễn Hoàng Trúc

MỘT VÀI TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số : 60 46 01

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS NGUYỄN ĐÌNH HUY

Thành phố Hồ Chí Minh - 2013

MỤC LỤC

Trang

Trang phụ bìa

Mục lục .............................................................................................................. i

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt ............................................................ iii

MỞ ĐẦU ........................................................................................................... 1

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ .............................................................. 5

1.1. Không gian các tập đóng của một không gian metric ............................ 5

1.2. Trường hợp của không gian đều, đồng đều Hausdorff ......................... 12

1.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương ............... 15

1.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi ............................................................. 20

1.5. Định nghĩa hàm đa trị đo được ............................................................. 25

Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC

CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN ............................................................... 33

2.1. Mở đầu. ................................................................................................. 33

2.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương. .............................................................. 34

2.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục .................................................................... 38

2.4. Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm ......................................... 43

Chương 3. TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO

HÀM THỨC VI PHÂN .................................................................................. 45

3.1. Mở đầu .................................................................................................. 45

3.2. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều khiện ban đầu. ........................ 46

3.3. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào tham số. .......................................... 52

3.4. Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu .............................................. 56

Chương 4. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN

DẠNG CỰC BIÊN ......................................................................................... 61

4.1. Mở đầu. ................................................................................................. 61

4.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương. .............................................................. 63

4.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục. ................................................................... 71

KẾT LUẬN ..................................................................................................... 76

TÀI LIỆU THAM KHẢO ............................................................................... 77

iii

 tập số thực

 tập số tự nhiên

n không gian Euclide n-chiều

x trị tuyệt đối của số thực x

x chuẩn Euclide của x

,x y tích vô hướng của 2 vecto x, y

y= x được định nghĩa bằng y

Danh mục một số các kí hiệu và các chữ viết tắt

Gph S đồ thị của ánh xạ S

C bao đóng của C

int C phần trong của C

d(x,C) khoảng cách từ x đến tập C

*C nón đối ngẫu của C

h(A,B) khoảng cách Hausdorff giữa hai tập A và B

x∀ với mọi x

x∃ tồn tại x

x→ dãy { kx } hội tụ tới x

hàm liên hợp của f

h.k.n (h.k) hầu khắp nơi (hầu khắp)

n.l.t.d (n.l.t.t) nửa liên tục dưới (nửa liên tục trên)

FDI bao hàm thức vi phân

MỞ ĐẦU Lý thuyết bao hàm thức vi phân, hay còn gọi là phương trình vi phân đa

trị, là lĩnh vực nghiên cứu được phát triển rất mạnh trong lý thuyết tổng quát

về phương trình vi phân hiện nay. Như mọi người đã biết, mọi lĩnh vực mới

trong toán học đều xuất hiện và phát triển, hoặc là do mục đích phát triển tự

nhiên của toán học, hướng đến các khái niệm và các kết quả ngày càng tổng

quát hơn, hoặc do nhu cầu ứng dụng đòi hỏi. Lí thuyết bao hàm thức vi phân

không phải là trường hợp ngoại lệ của qui luật này. Xuất hiện ban đầu như sự

mở rộng của khái niệm phương trình vi phân thường, lý thuyết bao hàm thức

vi phân ngày càng thâm nhập mạnh mẽ vào các lĩnh vực khác nhau của toán

học và các ngành khoa học khác nhờ các ứng dụng to lớn của nó.

Một cách tổng quát, lý thuyết bao hàm thức vi phân nghiên cứu phương

∈

trình dạng:

( , ( )), ,

x 0

• x t G t x t ( )  = (0) x 

• (.)x

(0.1)

trong đó x(.) là hàm chưa biết, là đạo hàm của x(.) theo nghĩa nào đó và G

E× của đoạn [0,

]T và không gian Banach

là hàm đa trị từ không gian tích [0,

E vào E.

Có thể nói mọi vấn đề nghiên cứu trong lý thuyết phương trình vi phân

thường đều đặt ra các bài toán tương tự trong lý thuyết bao hàm thức vi phân.

Các vấn đề được nghiên cứu nhiều nhất là vấn đề tồn tại nghiệm, các tính chất

định tính và cấu trúc của tập nghiệm, các tính chất phụ thuộc liên tục vào

tham số và điều kiện ban đầu, các nghiệm tuần hoàn, lý thuyết rẽ nhánh và lí

thuyết nhiễu,…

Các nghiên cứu về vấn đề tồn tại nghiệm và về lí thuyết định tính của bao

hàm thức vi phân được phát triển theo hai hướng rõ rệt. Đầu tiên, các nghiên

cứu tập trung vào dạng bao hàm thức vi phân với vế phải lồi (tức là hàm đa trị

ở vế phải có giá trị lồi) với các công trình của Filippov (1959,1960), Plis

(1965), Lasota và Opial (1965), Castaing (1966,1969)… Đối với bao hàm

thức vi phân với vế phải không lồi, các kết quả ra đời muộn hơn, nhưng cũng

thu được nhiều kết quả thú vị, như các kết quả của Olech (1975), Antosiewicz

và Cellina (1975), Aubin và Cellina (1983), DeBlast và Piagiaru (1982,

1987), P.V. Chương (1985),… Một lĩnh vực nữa không kém phần quan trọng

trong lí thuyết bao hàm thức vi phân là các nghiên cứu về các tính chất của

tập nghiệm, có ý nghĩa quan trọng về phương diện ứng dụng. Các kết quả của

Aubin và Clarke (1981), Haddad (1981), Bressan (1982), Tolstonogov

(1986),… là những đóng góp đáng kể nhất trong lĩnh vực này.

Trong nhiều bài toán điều khiển hệ thống người ta thường giả thiết rằng,

hệ đang xét được điều khiển bởi nguyên lí nhân quả, tức là trạng thái tương

lai của hệ đang xét độc lập với trạng thái quá khứ của hệ và chỉ xác định bởi

hiện tại. Trong trường hợp đó, các mô hình toán học của hệ được mô tả bởi

phương trình vi phân thường, hoặc bởi các bao hàm thức vi phân thường. Có

nhiều vấn đề nếu không xét đến mối liên hệ với quá khứ sẽ không có nghĩa.

Chính vì lẽ đó đã xuất hiện lí thuyết phương trình vi phân với biến số lệch,

hay tổng quát hơn, lí thuyết phương trình vi phân phiếm hàm, và sau đó là sự

ra đời tự nhiên của bao hàm thức vi phân phiếm hàm.

Nội dung cơ bản của luận văn là các định lí tồn tại nghiệm địa phương và

tồn tại nghiệm toàn cục của các bao hàm thức vi phân phiếm hàm, nghiên cứu

các tính chất định tính của tập nghiệm của nó, ứng dụng vào bài toán điều

khiển tối ưu và các định lí sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng

cực biên. Các nội dung này được viết trong các bài báo “N.D. Huy and N.K.

Son, On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions

Banach Spaces ( ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1,

(1991), 49-60)

On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional

VIETNAMICA 19(2)(1991), 45-58)

Differential Inclusions In Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA

On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with

Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331-

340)”

Luận văn sử dụng đắc lực các công cụ của giải tích hàm, giải tích đa trị

và giải tích lồi; đặc biệt là sử dụng các kết quả mới nhất của lí thuyết ánh xạ

đa trị đo được. Các định lí được sử dụng nhiều trong các chứng minh của luận

văn là định lí điểm bất động Kakutani-Ky Fan, định lí Ascoli, định lí Baire về

phạm trù, định lí Krein- Milmann, định lí tách Hahn – Banach, các định lí về

ánh xạ đa trị đo được,…

Ngoài lời nói đầu và tài liệu tham khảo luận văn chia làm 4 chương.

Chương 1 nhắc lại một số kiến thức về khoảng cách Hausdorff, tính liên tục

của hàm đa trị và khái niệm hàm đa trị đo được. Chương 2 phát biểu và trình

bày chứng minh các định lí về sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân

phiếm hàm, trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm. Chương 3 xét tính

chất định tính của tập nghiệm của bao hàm thức vi phân: sự phụ thuộc của tập

nghiệm vào điều kiện ban đầu và tham số, ứng dụng vào bài toán điều khiển

tối ưu. Chương 4 phát biểu và trình bày chứng minh các định lí về sự tồn tại

nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên.

Qua đây, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy

đã hết lòng hướng dẫn, giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các PGS,TS của khoa Toán trường

ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, và hướng dẫn cho học viên

chúng tôi hoàn thành các môn học và các kiến thức mới trong chương trình

đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho học viên chúng tôi có điều kiện

học tập và nghiên cứu trong suốt quá trình vừa qua.

Tôi xin chân thành cảm ơn.

Nguyễn Hoàng Trúc

Chương 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Không gian các tập đóng của một không gian metric

( ,

d x y < ∞ . )

Cho X là không gian metric với metric d . Chúng ta không giả thiết:

Định nghĩa 1.1. Cho A, B là hai tập hợp con của X , độ dôi của A trên B

e A B , (

)

sup{ ( ,

∈ . } d x B x A ) /

]∞ , và sup

0∅ = ).

được xác định như sau

( cận trên đúng nhận giá trị trong [0,

h A B , (

) max{ (

e A B e B A ), (

)}

Khoảng cách Hausdorff của A và B là

)

Những tính chất cơ bản

e A ∅ = ∞ nếu A ≠ ∅ .

B∅ = ( 0 )

e A B ,

)

i) (

= ⇔ ⊂ A B

h A B ,

(

)

= ⇔ = A B

≤

e A C ,

)

e A B ( ,

)

e B C ( ,

)

ii) (

≤

h A C ( ,

)

h A B ( ,

)

h B C ( ,

)

iii) (

)

( f X

Do đó , tập tất cả các tập con đóng của X , với khoảng cách

)

Hausdorff trở thành một không gian metric.

f X (

Chú ý. Trong tập , ∅ là điểm cô lập. Nếu d bị chặn, thì h cũng bị

f X − ∅ ( ) { }



)

. chặn trên

A→ trong không gian metric

( f X

ε , )

)

A m

B A ( m

W A ( m

  ≥ n m n

   ε > ≥ n m n

   ∈ ≥ W n m n 

= ∈

≤

ε , ) {

( ,

)

ε }

Định lí 1.1. Nếu , thì

B A ( m

x X d x A / m

= ∈

∃ ∈

) {

y X

sao cho ( ,

∈ x y W )

}

, và  là tập tất cả các lân cận Trong đó

W A ( m

x A m

của cấu trúc đều của X và .

∈

ε >

x A

Chứng minh.

∈ ,

A m

=   ≥ n m n

)

d x A ( ,

)

ε≤ 2

A∈ sao cho

. Cho thì tồn tại m n≥ sao cho 1) Giả sử

mh A A ε≤ , suy ra (

ε≤ và tồn tại m x

d x x ( , m

A m

∈  ≥ m n

x { }

Bởi vậy với mỗi n ∈  . Điều này chứng tỏ A B⊂ .

→ ∪ (điều này sẽ chứng tỏ B

A⊂ ).

x∪

{ })

A→ , suy ra

→ . Tiếp theo chúng ta sẽ kiểm tra

Giả sử x B∈ , ta chứng minh

e A A ( n

∪

e A (

{ },

) max{ (

( ,

)}

→ . Nó là đúng nếu chứng minh được

x A n

e A A d x A ), n n

,m n

)

(

)

p≥ thì

ε≤ . Từ x B∈ suy ra

d x A → . Cho p ∈  sao cho ( ,

h A A n m

d x A ( ,

Từ

ε≤ , do vậy nếu n

p≥ thì

≤

)

(

)

ε 2

tồn tại m p≥ sao cho

d x A ( , n

d x A ( , m

h A A m n

ε , )

( ,

)

d x A → , dễ thấy x B∈ .

B A ( m

=    > ε ≥ 0 n m n

2) Cho . Nếu x A∈ , và

0, n

d x A ( ,

∀ ≥ ,

ε≤ , do

ε > ∃ ∈  sao cho m n

∪

x∪

e A

)

{ })

Ngược lại, nếu x B∈ , với

→ . Và dễ thấy (

→ . 0

e A A n

x A { }, n

A A

x { }

x∪

{ })

vậy (

→ và 0

= ∪ .

nh A A ( ,

Vậy

≤

∧

⊂

{( ,

x y

) /

d x y ( ,

)

ε ε }(

)

ε , )

)

3) Đẳng thức thứ ba là rõ ràng vì một lân cận cơ sở là họ

W ε

W A ( ε m

B A ( m

W A ( ε 2 m

)

( f X

Định lí 1.2. Nếu X là không gian metric đầy đủ, thì là không gian

metric đầy đủ.

)

Chứng minh.

)nA là dãy Cauchy trong

( f X

≥

n N m N ,

) 1

Giả sử ( .

h A A ≤ . ( m

≠ ∅ ∀ ≥

= ∅ ∀ ≥

n N

kéo theo 1) Thứ nhất lưu ý rằng có N sao cho

hoặc . Trong trường hợp thứ nhất Khi đó, hoặc

)nA hội tụ về ∅ . Giả sử chúng ta có trường hợp thứ hai.

≠ ∅

dãy (

A m

  ≥ n m n

0ε > (điều này sẽ được sử dụng đầy đủ trong 3)).Chọn

1ε = là đủ.

. 2) Chúng ta sẽ chứng tỏ rằng

(

)

ε−< 2 k

m n N≥

Cho

h A A n m

kN sao cho

N≥

thì có . Giả Với mỗi k ∈  tồn tại

x o

)kn là dãy tăng nghiêm ngặt sao cho

n k

A∈ n o

ε− i

∈

,...,

sử ( . Cho , giả sử chúng

)

1kx +

1, x x o

x với tính chất k

+ 1

x i

A d x x ( i

n i

(

ε− 2 k

. Khi đó ta đã chọn được

+ < )

d x x k k

1knA + thỏa

−

≤

được chọn trong (điều này có thể thu được bởi vì

(

)

(

)

d x A k n k

h A A n n k k

)nx là dãy Cauchy trong không gian metric đầy đủ X , nó giới hạn

Dãy (

A m

∈   ≥ n m n

(

ε≤ 2

đến x . Khi đó .

od x x , )

. 3) Điểm x thu được ở phần 2) thỏa mãn

∈

x A A

(

N≥

(

ε≤ 2

Do đó:

A )m

x o

od x x , )

n o

A∈ n o

=   ≥ n m n

ε≤ 2 ,

và tồn tại sao cho Với mọi

∀ ≥ n o

e A A ) on

)

e A A → . Khi đó theo phần 3) sẽ chứng

. Vì vậy: (

4) Bây giờ chúng ta chứng minh (

nh A A → . )

,n m N≥

(

)

0ε > và N sao cho

tỏ được (

ε< . Lấy x A∈ . Khi

h A A n m

( ,

)

N≥

thì có Giả sử

d x y ε≤ . Cho m N≥

A m

y A∈ on

∈  ≥ m N

≤

)

(

)

ε 2

)

ε≤ 2

. Tồn tại và sao cho thì đó

d x A ( , m

e A A , m

d x A ( , n o

h A A n m o

)

. Vì vậy ( . có

tb X (

)

X . Khi đó

Định lý 1.4. Cho là tập hợp tất cả các tập đóng hoàn toàn bị chặn của

tb X (

f X (

là đóng trong .

)

(

)

Chứng minh.

0ε > tồn tại

)nA là dãy trong

( tb X

∈ 

n sao cho (

e A A ε< và )n

ix , bán kính ε

1,..., x

x sao cho họ các quả cầu tâm p

Giả sử ( hội tụ đến . Cho

nA . Khi đó họ các quả cầu tâm

ix , bán kính 2ε phủ A.

(

)

phủ

∈ 

Do đó .

)

Chú ý: Chúng ta có thể dễ dàng thấy rằng nếu X là hoàn toàn bị chặn, thì

0ε > cho trước, giả sử

x thỏa n

x 1,...,

f X (

hoàn toàn bị chặn. Thực vậy với

(

)

ix , bán kính ε phủ X . Giả sử

∈ 

)

(

Aε , )

}

∩ ≠ ∅ . Khi đó tập

∈ có tính chất

h A B ε≤ . Tập (

i B x { / i

x { / i

)

mãn họ các quả cầu mở tâm và

x 1{ ,..., }n

( f X

các tập con của tập là hữu hạn. Điều đó chứng tỏ hoàn toàn

)

bị chặn.

f X (

)

là compact. Do đó nếu X là compact thì

k X (

X , là đầy đủ.

Định lý 1.5. Nếu X là đầy đủ, thì , tập tất cả các tập con compact của

Chứng minh. Điều này hiển nhiên theo định lý 1.3 và 1.4.

Chú ý. Định lý 1.5 vẫn đúng nếu X là không gian đều.

∈

⊂

)

X K U

) /

}

X ,

Định lý 1.6. Topo Hausdorff trên không gian tất cả các tập con compact của

k X (

(  k

∈

{

X K V

∩ ≠ ∅ }

) /

, là được sinh ra bởi tập { (U mở) và

oK bao gồm các tập

(  k

⊂

{

,...,

∩ ≠ ∅ (ở đó }

V là mở) chứa

∩ ≠ ∅ K K U K V 1

K V n

U V 1,

oK .

(V mở). Cơ sở lân cận của

∈

⊂

(

X K U

) /

}

= { 

Chứng minh.

 k

oK ∈

ε =

∈ −

∈

inf{ ( ,

d x y

) /

x K y E U

} 0

1) Chúng ta sẽ chứng minh là mở. Giả sử

> . Khi đó

oK ,

< ⇒ ε

K U

h K K ,

(

)

e K K ( ,

)

< ⇒ ⊂ , điều đó là K ∈.

∈

(

X K V

∩ ≠ ∅ }

) /

= { 

Bởi tính compact của

oK ∈ 

 k

∈ ∩ , bán kính ε chứa trong V . Khi đó

là mở. Giả sử Chúng ta chứng minh

x o

h K K ,

Tồn tại một quả cầu mở tâm

ε< , thì K gặp quả cầu. Do đó K V∩ ≠ ∅ và K ∈ .

nếu (

(

)

0ε > cho

∈  k

2) Ngược lại chúng ta sẽ chứng minh rẳng nếu và

oK và bán kính ε chứa tập:

⊂

K K U

{

} { 

} ... {  

∩ ≠ ∅ K K V } n

∩ ≠ ∅ K K V 1

trước, quả cầu tâm

oK .

{ /

x d x K ( ,

)

ε }

tập này chứa

V là các quả cầu mở bán

V 1,...,

e K K ,

12 ε−

Thật vậy, chọn và

V thì

ε≤ , nếu K gặp 1,...,

oK . Khi đó nếu K U⊂ thì (

e K K ε≤ . ( )

)

kính phủ

k X (

, là liên Chú ý. Nếu T là không gian topo, Γ là hàm đa trị từ T đến

tục nếu và chỉ nếu là n.l.t.d. và n.l.t.t

)

Hệ quả 1.1. Nếu X là không gian metric, topo Hausdorff trên không gian tất

k X (

cả các tập con compact của X , , chỉ phụ thuộc vào topo của X (không

)

phụ thuộc metric).

k X (

là không gian Định lý 1.7. Nếu X là không gian metric khả ly, thì

metric khả ly.

Chứng minh.

)nx là dãy trù mật trong X . Giả sử  là tập hợp tất cả các tập

}

)

Giả sử (

k X (

x { ,..., i 1

x i n

)

, và dễ kiểm . Khi đó  là một phần đếm được của hữu hạn

k X (

)

tra rằng  là tập trù mật trong .

( k X

Hệ quả 1.2. Nếu X là một không gian Polish, thì với topo được mô tả

trong định lý 1.6 là Polish.

∈

⊂

X K U

)

) /

}

Định lý 1.8. Nếu X là không gian metric khả ly, thì σ-trường Borel trong

k X (

(  k

∈

X K V

∩ ≠ ∅ }

) /

(với topo Hausdorff) được sinh bởi những tập { (U

(  k

mở) và cũng sinh bởi các tập { (V mở).

/K K V∩ ≠ ∅ .

Chứng minh.

}

−

≥

)

}

{ / ( , x d x E V

1) Xét tập {

F=  với n

1 n

∩ ≠ ∅ =

K K V

}

. Chú ý rằng:

∩ ≠ ∅ K K F } n

{  n

⊂ −

(

− ) {

}]

Khi đó: {

K K E F n

[   k n

}

/K K V∩ ≠ ∅ là bao hàm σ-

K K U⊂

}

Do vậy σ- trường sinh bởi tất cả các tập {

K K U⊂

}

trường sinh bởi tất cả các tập { .

−

x d x E U ( ,

)

− E U

. 2) Xem xét tập {

{

}1 n−

=  . V n n

∩

≠ ∅ ⇔ ∀

(

− X U

)

∩ ≠ ∅ . Chiều thuận là

Đặt , khi đó

n K V n

∩ ≠ ∅ ∀ , giả sử n

∈ ∩ . Khi đó điểm tụ của

Chúng ta kiểm chứng

K V n

x n

K V n

hiển nhiên. Đảo lại nếu

)nx thuộc vào K và X U− . Do đó

⊂

− ) {

K K U

}

dãy (

∩ ≠ ∅ } K K V n

(  k

{  n

K K U⊂

}

/K K V∩ ≠ ∅ .

Điều đó chứng tỏ rằng σ- trường sinh bởi tất cả các tập { là

}

bao hàm σ- trường sinh bởi tất cả các tập {

)

⊂ 

k X (

K K U⊂

}

σ- trường sinh bởi tất cả các tập {

3) Bây giờ chúng ta sẽ chứng minh rằng mọi tập mở thuộc về

} /K K V∩ ≠ ∅ . Thật vậy 

K K U⊂

}

và {

)

/K K V∩ ≠ ∅ (định lý 1.6). Nhưng vì

và là hợp của một họ  của giao hữu hạn của các tập {

{

}

k X (

khả li (định lý 1.8) nên 

cũng là hợp của một họ con đếm được của  .

1.2. Trường hợp của không gian đều, đồng đều Hausdorff

Trong phần này X là không gian đều Hausdorff, cấu trúc đều được định

d ∈ . )i i I

nghĩa bởi các nửa metric (

ie và hàm

ih được xác định như sau:

)

sup

( ,

{

e A B , ( i

} ∈ d x B x A ) i

(

)}

Khi đó hàm

h A B , ( i

e A B e B A ) max{ ( ), i

)

ie A ∅ = ∞ nếu A ≠ ∅ . (

B∅ = ( 0 )

≤

(

)

(

)

(

)

e A C , i

e A B , i

e B C , i

≤

)

h A C ( i

h A B ( i

h B C ( i

∀

i e A B , (

)

= ⇔ ⊂ A B

∀

i h A B , (

)

A B

= ⇔ = .

có những tính chất: Và

Họ { }ih là lọc.

Chứng minh ba tính chất cuối.

∀

i e A B , (

)

= và nếu a A∈ , ta

∀

)

= . Khi đó mọi

1) Thứ nhất ⇐ là hiển nhiên. Ngược lại, nếu

i d a B , ( , i

id -quả cầu bán kính dương và tâm a có phần

có

chung với B . Do đó mọi lân cận của a có phần chung với B . Vì vậy a B∈ .

h là tăng.

)

2) Tính chất cuối cùng được suy ra từ tương ứng d

f X (

Chúng ta xem xét một định nghĩa khác về cấu trúc đồng đều trong

Giả sử  là cơ sở lân cận của cấu trúc đồng đều của X . Nếu W ∈  ta

∈

⊂

 W

{(

A B ,

)

(

) /

A W B B W A ),

(

)}

.2  f

= ∈

∃ ∈

∈

W B (

) {

y E

x B x y W : ( ,

)

}

định nghĩa W bởi

)

Nhắc lại:

f X (

. Nó xác định Định lý 1.9. Tập  của tất cả W là cơ sở lân cận trong

)ih .

cùng cấu trúc đồng đều như họ của các nửa khoảng cách (

Chứng minh.

o là một cơ sở lân cận

Thứ nhất ánh xạ W W là tăng. Khi đó nếu

  chứa một W ∈  W ∈ 

  và ngược lại. Bây giờ ta xem xét

o tập của tất cả

∈

)

d x y ( ,

)

∈ ) I

ε ,

{ x y ( ,

} ε ε (

< ⇒ ⊂

⇒

khác của X , mỗi

(

)

ε 2

(

)

e A B i

A U B i

ε ,

( e A B i

< ⇒ ⊂

⊂

⇒

(

)

(

) và

(

)

Khi đó

h A B i

A U B i

ε ,

) B U A i

ε ,

h A B i

và . ε 2

 là một cơ sở của cấu trúc đồng đều xác định bởi họ

(

)ih .

Điều đó chứng tỏ

Chú ý.

⊂ +

A B A B V B

) /

(

)

∈  tạo thành cơ sở lân cận của

1) Nếu X là một nhóm topo Abel, giả sử  là một cơ sở lân cận của 0 . Khi

} A V V

)

đó các tập { (

f X (

)

. cấu trúc đều của

( f X

là metric hóa, nhưng nó có thể Nếu X là không gian Fréchet thì

⊂ +

A B A B V B

) /

A V

{ (

}

thích hợp hơn để định nghĩa Haudroff đều bởi tập của các lân cận

với V là lân cận đóng của 0 (hoặc lân cận mở).

)

2) Định lý 1.6 vẫn đúng:

f X (

∈

⊂

X K U

(

) /

Cho X là một không gian đều Hausdorff. Topo Hausdorff trong

 f

}

/K K V∩ ≠ ∅ (V mở).

{

}

),(

)

thì được sinh ra bởi những (U mở) và tập {

e i

h , ngoại trừ luận điểm i

⊂

K K U

}

= { 

Chứng minh vẫn có giá trị, sử dụng họ (

là mở. Giả thứ nhất. Nó phải được thay thế bởi chứng minh

U⊂ . Do đó có i

I∈ và

oK ∈. Tồn tại một lân cận W sao cho

)oW K (

( ,

)

}

0ε > sao cho { /

Uε< ⊂ .

x d x K i

< ⇒ ε

(

)

(

)

K U

sử

< ⇒ ⊂ , nghĩa là K chứa trong .

h K Ko , i

e K Ko , i

Khi đó

1.3. Không gian các tập lồi đóng của không gian lồi địa phương

p ∈ là )i i I

−

d x y ( ,

)

Cho E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff. Giả sử (

p x ( i

là nửa họ lọc của nửa chuẩn xác định topo của E . Khi đó

d ∈ . )i i I

khoảng cách, và áp dụng 1.2 vào E với họ (

Fα α∈ là dãy suy rộng những tập đóng của E . Giả sử

} A

{

}Fα hội tụ đến F đối với topo được xác định ở 1.2. Khi đó nếu tất cả Fα là

Định lý 1.10. Giả sử {

lồi thì F là lồi, nếu tất cả Fα bị chặn thì F bị chặn.

∈

x y F λ∈ ,

[0;1]

λ x

+ − (1

λ )

Chứng minh.

⊂

và

và . Với mỗi lân 1) Giả sử Fα là lồi. Lấy

⊂ + . F V

F β

∪

⊂

z { }

và

⊂ ∪ F (

z { })

cận lồi của 0 , V , tồn tại α sao cho: cho β α≥ thì

+ . V

F β

{ }

z∪ cũng là giới hạn của (

Do đó

)Fα . Điều đó chứng tỏ rằng z F∈ .

Cho nên

0λ> sao cho F

2) Giả sử các Fα là bị chặn. Với mỗi lân cận lồi của 0 , V , tồn tại α sao cho

Vα⊂ F

α λ⊂ V

+ . Mà Fα là bị chặn nên có

Vλ⊂ + 1)

(

, do đó

, và F là bị chặn.

−

( W A

{( ,

x y

) /

≤ y ε ) }

(

Chú ý: Nếu E là metric hóa được phần thứ nhất suy ra từ công thức cuối cùng

p x ( i

)mW A là lồi, do đó

 ≥ m n

W A (

của định lý 2 : nếu thì

  ≥ n m n

là lồi, vì vậy nó là hợp của dãy suy rộng những tập lồi. là lồi, và

Định lý 1.11. Nếu E là không gian vector Fréchet thì những không gian sau

đây với metric hóa được Hausdorff đều là đầy đủ:

tập tất cả các tập lồi đóng -

tập tất cả các tập bị chặn đóng -

tập tất cả các tập bị chặn lồi đóng -

tập tất cả các tập lồi compact. -

Chứng minh. Suy ra từ các định lý 1.3, 5 và 10.

Ta nhắc lại

A là một tập con của E . Hàm tựa của A là hàm xác định trên

*E bởi

* δ

* x A )

(

* x x ,

Định nghĩa1.2. Giả sử E là không gian vector lồi địa phương Hausdorff và



sup ∈ x A

]

* E Eσ

(

)

Định lý 1.12. Có một tương ứng 1-1 giữa các tập lồi đóng khác rỗng với các

*E (với giá trị trong (

−∞ +∞ ) .

n.l.t.d, tuyến tính dưới trên hàm

*(. Aδ )

Tương ứng 1-1 là ánh xạ .

*(. )Aδ

* E Eσ

(

)

Chứng minh.

*(. )Aδ

Hàm tựa là tuyến tính dưới, n.l.t.d, và > −∞ , khi A ≠ ∅ .

* E Eσ

(

)

mô tả đặc điểm của A, bởi định lý Hahn – Hơn nữa A đóng và lồi,

≤

)}

{ / x

* ∀ ∈ x

E x x

xϕ (

Banach. Cuối cùng mỗi hàm ϕ tuyến tính dưới n.l.t.d là hàm tựa

. Điều này là hệ quả của định lý I.4 của tập

−

* ϕ 2 ( ) x

* x x sup{ 2 ,

ϕ 2 (

)}

−

* x x sup{ 2 ,

* x (2 )}

* ϕ

x ( )

*( ) xϕ =

0 hay

xϕ= ( )

x { /

∞ . Tập

trong [3] với ϕ là tuyến tính dưới

có hàm tựa ϕ. Vì vậy với mọi x ,

* δ

[0,

+  A B

)

A )

)

+ = +  A B A B

Định lý 1.13. Giả sử A và B là những tập lồi đóng khác rỗng, và viết

λ∈ ∞ thì )

* δ λ λδ= ) A

) A

. Khi đó và nếu

= + 

+ 

A C B C

Nếu A, B và C là những tập đóng lồi bị chặn khác rỗng thì

bao hàm A B= .

Chứng minh.

* δ

≥

+ 

* x A B

)

(

sup{

* x z ,

∈ +  z A B

} sup{

* x z ,

∈ + z A B }

≥

* x x ,

* x y ,

∀ ∈ ∀ ∈ . x A y B ,

Thứ nhất ta có

* δ

−

≥

∀ ∈

+ 

* x A B

)

(

* x x ,

* x y ,

y B

* δ

−

≥

* δ

+ 

* x A B

)

(

* x x ,

* x B

)

(

Khi đó với mỗi x A∈ thì

* δ

≥

* δ

∀ ∈

+ 

* x A B

)

(

* x B

)

(

* x x ,

x A

suy ra .

* δ

≥

* δ

+ 

* x A B

)

(

* x B

)

(

* x A )

(

Do đó .

hay

* δ

* δ+

≥

* x A )

(

* x B

)

(

* x x ,

* x y ,

* x x ,

∀ ∈ ∀ ∈ x A y B ,

* δ

* δ+

≥

* x A )

(

* x B

)

(

sup{

* x z ,

∈ + z A B }

Mặt khác

* δ

≥

* δ

+ 

* x A )

(

* x B

)

(

sup{

* x z ,

∈ +  z A B }

* x A B

)

(

suy ra

Vì vậy .

∈

− 1 λ

λ A

* δ λ A x ( )

sup{

} ∈ x A

− 1 λ

sup

{ − 1 * = λ λ x } sup } ∈ x A

* λδ

* x x , { * x A

(

= + 

+ 

Thứ hai ta có

* δ

+  A C

)

+  B C

)

+  A C

)

A )

)

. Sau cùng, giả sử A C B C

* δ

* δ=

+  B C

)

A )

)

Khi đó ta có , và

)

(

. Do vậy , kéo theo A B= .

cb E là không gian các tập bị chặn đóng lồi khác rỗng

Định lý 1.14. Giả sử

x p x { /

( ) 1}

≤ . Giả sử e là độ dôi và h là nửa khoảng cách Hausdorff liên

của E . Giả sử p là nửa chuẩn liên tục trên E , và U là nửa quả cầu đóng

−

* δ

∈

e A B ( ,

)

sup

* x A )

(

* x B x U ) /

(

{ * δ

}

kết với p . Khi đó

−

* δ

∈

(

)

sup

(

, h A B

* ) x A

* ) / x B x U

và

{ * δ

}

(

)

cb E được xác định bởi họ nửa khoảng

Bởi vậy cấu trúc đều trong

* δ−

∈

sup

* x A )

(

* x B x

) /

(

cách

{ * δ

}

( K là tập liên tục đồng bậc).

−

* δ

∈

e A B ,

(

)

sup

* x A )

(

* x B x U ) /

(

Chứng minh.

{ * δ

}

Giả sử .

(

)

0ε > ,

e A B ε≤ tương đương với

* δ

−

* δ

≤

* εδ

* x A )

(

* x B

)

(

* x U

(

)

* ∀ ∈ x

* δ

*( x U

)

Khi đó, cho

< ∞ , thì

* δ∈

)

*( x U U

Thật vậy điều kiện đủ là hiển nhiên. Chú ý rằng nếu

* δ

≤

* δ

* εδ

* x B

* x U

* x A )

(

)

(

)

* ∀ ∈ x

⊂ +

. Nhưng

inf

0 /

⊂ + ε  A B U

tương đương với A B Uε .

{ ε

}

( e A B ,

)

ε>

⊂ +

e A B ( ,

)

Cuối cùng .

e A B ε≤ . Và nếu

⊂ + thì A B Uε

thì ( Thật vậy nếu A B Uε

sup−

vì vậy bất đẳng thức “ ≤ ” không đổi chiều.

−

e A B ( ,

)

p x (

)

sup inf ∈ y B ∈ x A

−

* x x ,

sup inf sup ∈ y B * ∈ x A ∈ x U

−

* δ

* x x ,

* x B

(

)}

sup sup{ ∈ x A x U ∈

−

* δ

* x B

* x A )

(

)}

* δ sup{ ( * ∈ x U

Chú ý. Định lý cũng được chứng minh bằng cách sử dụng inf :

cb E ) (

Bây giờ ta xem xét vấn đề của

Định nghĩa 1.3. Giả sử  là không gian tất cả hàm thực thuần nhất dương,

*E là bị chặn và liên tục

sự thu hẹp của  trên tập đồng liên tục K của

mạnh. Với topo của hội tụ đều trên tập đồng liên tục,  trở thành không gian

vecto lồi địa phương Hausdorff.

(

)

cb E đến  được xác

i A :

* Aδ→ )

Định lý 1.15. Không gian  là đẩy đủ. Ánh xạ từ

định bởi có tính chất:

+  i A B (

)

+ i A i B ( )

(

)

- Là đơn ánh

= λ λ ( i A )

i A ( )

∀ ∈ ∞ [0, )

(

)

cb E vào chính nó.

- Là phép đồng phôi từ

1.4. Tính liên tục của hàm đa trị lồi

Định lý 1.16. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương

Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con khác rỗng của E . Giả

)otΓ (

*( xδ Γ

(.))

sử compact yếu và lồi. Khi đó Γ là nửa liên tục trên yếu tại ot nếu và

chỉ nếu những hàm vô hướng là n.l.t.t tại ot .

)otΓ (

Γ ∈ . ( )t U

, tồn tại một Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.t tại ot nếu mọi tập mở U chứa

lân cận V của ot sao cho t V∈ kéo theo

* > α δ

*( x

t (

)) (

∈  , đặt )

Chứng minh.

= ∈ {

* x E x x α }

1) Nếu Γ là n.l.t.t tại ot và

( )t U

Γ ∈ với mọi t V∈ . Do đó

* δ

*( x

t ( ))

≤ . α

*( xδ Γ

(.))

*(0 ( δ Γ

Tồn tại một lân cận V của ot sao cho

= ∅ thì

= −∞ , và

))ot

)otΓ (

δ Γ

< Γ

*(0 ( )) 0, t

t ( )

2) Giả sử tất cả là n.l.t.t. Nếu

= ∅ . Do đó Γ là n.l.t.t tại ot . Ta giả sử

′Γ

= Γ

−

t∈ Γ (

)

t ( )

≠ ∅ . Cho

chọn t sao cho

x o

)otΓ (

. Xét . Ta có

′Γ

= −

* δ

(

t ( ))

(

t ( ))

* x x , o

)ot∈ Γ (

)otΓ (

V U

+ ⊂ . Có thể giả sử V là cực của tập

Ta có thể giả sử 0 . Cho U là tập mở yếu chứa . Tồn tại lân

)ot (

*E .

cận lồi đóng của 0 , V , sao cho

,...,

t∈ Γ (

)

con hữu hạn của

)otΓ (

x x , 2

x n

1 V+ 2

,...,

sao cho bao Bởi vì là compact nên tồn tại 1

+ . Khi đó A là đóng và A U⊂ .

)otΓ (

x x co{ , 1 2

x }n

∈

,...,

. Cho phủ

oA là tập đa

x x 0 co{ , 1 2

x }n

)ot∈ Γ (

(bởi vì 0 ), khi đó Ta có thể giả sử

oV :

,...,

}

o A

diện hữu hạn chiều được chứa trong

* * co{ , x x 1 2

* x k

⊂

)

,...,

}

( t

⊂ ⊂ A U

{ , co x x 1 2

x n

1 2

* δ

≤

* δ

(

t (

))

(

)

(

≤ . ) 1

Từ

* j

* x x j i

* x A j

sup i

1 2

suy ra

* δ

≤ ∀ ∈

1,...,

( )) 1 t

t V j

*( jx

Γ ⊂ ⊂

A U

( )t

Cho V là một lân cận của ot sao cho

∀ ∈ . t V

Khi đó

Định lý 1.17. Giả sử T là không gian topo, là E không gian lồi địa phương

t ( )

Hausdorff, và Γ là hàm đa trị từ T đến những tập con lồi bị chặn hoàn toàn

Γ ∈ t T

*( xδ Γ

(.))

của E . Giả sử bị chặn hoàn toàn. Khi đó Γ là n.l.t.d tại ot nếu và chỉ

nếu những hàm vô hướng là n.l.t.d tại ot .

t∩ Γ (

≠ ∅ , tồn

∩ Γ

t V

t ( )

≠ ∅ ∀ ∈ .

Chú ý. Ta nói rằng Γ là n.l.t.d tại ot nếu mọi tập mở U mà

tại một lân cận V của ot sao cho

∩ ≠ ∅

* < α δ

*( x

t (

)) (

∈  thì )

)ot (

Chứng minh.

x { /

* x x α }

1) Giả sử Γ là n.l.t.d tại ot . Nếu

ot thì

* δ

( )t U

*( x

t ( ))

*( x

t (

Γ ∩ ≠ ∅ , và

> . Nếu

= −∞ (điều đó xảy ra nếu

))o

* *( xδ

(.))

= ∅ ) thì

)otΓ (

với . Khi đó nếu t nằm trong một lân cận của

* *( xδ

(.))

vẫn n.l.t.d tại ot .

≠ ∅

)otΓ (

t∩ Γ (

là n.l.t.d. Ta có thể giả sử 2) Bây giờ ta giả sử tất cả

≠ ∅ .

∈ ∩ Γ

( t

(nếu ngược lại thì hiển nhiên Γ là n.l.t.d.). Cho tập mở U mà

. Ta cũng giả sử rằng U Như trong định lý 1.16 ta có thể giả sử 0

là tập mở lồi.

)tα hội tụ đến ot , sao cho

∩ = ∅ . Bởi Hahn – Banach tồn tại

Eα ∈ sao cho x

*xα nhận giá trị nhỏ

UαΓ )t (

Nếu định lý sai thì tồn tại một dãy suy rộng (

1≥ − trong U . Do đó

x Uα ∈

)tαΓ (

∀ ∈

{

x U x x ,

và nhận giá trị hơn hoặc bằng 1− trong

oU như là

≥ − ) và

* δ

))

≤ − . Như vậy

oU là đồng liên tục nó là compact đối với topo hội

*( x α

t ( α

*z là điểm tụ của

(đặc biệt nếu ta định nghĩa

*( )xα

* δ

)) 0

*( z

( t

tụ đều trong những tập bị chặn hoàn toàn của E . Cho

≥ . Cho

*z , từ giả

*xβ đủ gần

)ot∈ Γ (

t ( )

đối với topo này.Từ 0 suy ra

Γ ∈ t T

* δ

≤

* δ

∀ t

(

t ( ))

(

t ( ))

* x β

1 + . 2

thiết hoàn toàn bị chặn ta có

*xβ thuộc vào một lân cận được

*z .

Nhưng với mỗi α tồn tại β α≥ sao cho

* δ

≤

* δ

(

))

(

))

cho trước của

+ ≤ − .

t ( β

* x β

t ( β

1 2

* *( zδ

(.))

Vì vậy

Điều này là không thể bởi vì là n.l.t.d tại ot .

Hệ quả 1.3. Giả sử T là không gian topo, E là không gian lồi địa phương

t ( )

T∈ có một lân cận V sao cho

Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập con compact lồi khác trống

Γ ∈ t V

* *( xδ

(.))

chứa trong của E . Giả sử rằng mỗi ot

là liên tục, thì Γ là một tập compact. Khi đó nếu những hàm tựa

liên tục đối với topo Hausdorff.

t ( )

Chứng minh.

Γ ∈ t V

∈ t V

Γ ⊂ ( ) t

}

Gọi K là tập compact chứa . Cho U là tập mở. Khi đó U K∩ là

∈ t V

t ( )

}

là mở. Nếu Θ là một tập mở, tập mở yếu, và bởi định lý 1.16, {

Γ ∩ Θ là mở. Theo chú ý 2 của định lý 1.9, Γ

bởi định lý 1.16, thì {

là liên tục trên V đối với topo Hausdorff.

(.))

*( * xδ

Hệ quả 1.4. Giả sử T là không gian topo, và Γ là ánh xạ từ T đến những tập

n . Khi đó nếu những hàm tựa

con compact lồi khác trống của là

liên tục, thì Γ liên tục.

(

Chứng minh.

T∈ thì tồn tại một lân

* * e e { , 1 2

* e là cơ sở của ,..., }n

)n . Khi đó nếu ot

(

(.))

Cho

*( ieδ

ieδ − Γ

và là bị chặn trên V . cận của ot , V , sao cho hàm

t ( )

Γ ∈ t V

Do đó là bị chặn. Vì vậy ta có thể áp dụng hệ quả 1.3.

Hệ quả 1.5. Giả sử không gian topo T là compact địa phương hoặc metric

hóa được, E là không gian lồi địa phương Hausdorff, và Γ là ánh xạ từ T

(.))

* *( xδ

đến những tập con lồi compact yếu khác trống của E . Khi đó nếu những hàm

E Eσ (

)

là liên tục, thì Γ là liên tục đối với topo Hausdorff tương ứng tựa

. Ngoài ra nếu E là Montel, thì Γ là liên tục đối với topo với

Hausdorff.

Chứng minh.

1) Do định lý 1.16, Γ là n.l.t.d. đối với topo yếu. Nếu T là compact địa

t n ∈  trong }

phương ta có thể giả sử T là compact. Nếu T là metric hóa được thì nó là đủ

t→ (bởi vì Γ là n.l.t.d tại t (tương ứng n.l.t.t.))

để chứng minh những tính chất liên tục trên những tập như { , nt

)nt⇔ ∀ (

( )t

hội tụ đến t đó nt

Γ ∩ ≠ ∅ (tương ứng

⊂ ), thì với n đủ lớn

∩ ≠ ∅ (tương ứng

⊂ ). Do đó ta luôn có thể giả sử T compact.

)nt (

t ( )

và V mở U , nếu

Γ ∈ t V

là compact yếu. Bởi một định lý của Berge (định lý 1.18 bên dưới)

Khi đó bởi định lý 1.17, Γ là n.l.t.d.

Cuối cùng nếu E được trang bị cấu trúc đều Hausdorff yếu, thì Γ là liên

t ( )

tục theo chú ý 2 của định lý 1.9.

Γ ∈ t V

2) Nếu E là không gian Montel, thì tập trong phần thứ nhất là

( ))

compact đối với topo mạnh của E . Do đó Γ là n.l.t.d đối với topo mạnh (bởi

tΓ  (

vì nếu U mở thì cũng là mở yếu). Và Γ là n.l.t.d đối với topo

mạnh bởi định lý 1.17.

Định lý 1.18. (Berge) _ Giả sử T là không gian compact, E là không gian

t ( )

Γ là n.l.t.t thì tập

Haudorff, và Γ là hàm đa trị tử T đến những tập compact của E . Khi đó nếu

Γ ∈ t T

là compact.

t ( )

Chứng minh.

( )tΓ là được phủ bởi một

i IU ∈ là họ những tập phủ mở

Γ ∈ t T

Cho ( . Mỗi

tV , với

tV là hợp của một họ con hữu hạn của (

)iU . Tập

t { /

Γ ∈ t ( )

tập mở

T θ

V } θ

Tθ θ∈ phủ T . Nhưng T compact,

) T

...

,...,

  .

chứa θ và là mở. Do đó (

θ θ θ sao cho n

T θ n

= T T θ 1

t ( )

nên tồn tại 1

...  

V θ n

V θ 1

Γ ∈ t T

được chứa trong . Điều đó kết thúc chứng minh. Khi đó

1.5. Định nghĩa hàm đa trị đo được

– tức là

Giả sử X là một không gian metric đầy đủ, khả li, và  là một σ-đại số các tập con của tập hợp T. Các tập thuộc  được gọi là các tập đo được. Tập T xét với σ-đại số  (hay cặp (T,  )) được gọi là không gian đo được. Ký hiệu σ-đại số Borel của không gian metric X bởi là σ-đại số nhỏ nhất chứa tất cả các tập mở của X. 𝔅 𝔅

 ,

Nhắc lại rằng họ  được gọi là một σ-đại số nếu nó thỏa mãn ba tính chất sau:

 ,

(i) X

(ii) X\A thuộc  với mọi A ∈

∈

 và giao của một họ tùy ý gồm một số đếm

(iii) Hợp của một họ tùy ý gồm một số đếm được các tập thuộc  là một tập thuộc 

Từ (i)-(iii) suy ra rằng được các tập thuộc  là một tập thuộc  . ∅∈

: T

σ → được gọi

Trong định nghĩa sau ta không cần giả thiết X là không gian metric đủ, vẫn ký hiệu σ-đại số khả li, mà chỉ cần giả sử X là không gian topo. Khi đó, sinh ra bởi các tập mở của X. Hiển nhiên chứa tất cả các tập đóng của X. 𝔅

𝔅

= ∈

− 1( σ V

) : {t

t ( )

∈ } V

Định nghĩa 1.4 (Ánh xạ đơn trị đo được). Ánh xạ đơn trị là đo được nếu ta có

:Tϕ →  là đo được khi và chỉ khi với mọi α∈ 

là tập thuộc  với mỗi tập mở V X⊂ .(Ảnh ngược của mỗi tập mở là tập đo được)

= ∈

− −∞ 1((

α ,

)) : {t

< ϕ α }

t ( )

Dễ thấy rằng hàm số thực tập hợp

là đo được.

: T

σ → là ánh xạ đa trị có giá trị đóng. Ta nói Γ là

Định nghĩa sau đây mở rộng khái niệm ánh xạ đơn trị đo được trong định nghĩa 1.4.

−Γ

= ∈ Γ

1( V

) : {t

t ( )

≠ ∅ }



Định nghĩa 1.5. Giả sử đo được nếu với mỗi tập mở V X⊂ ,

là tập thuộc  .(ảnh ngược của mỗi tập mở là tập đo được.)

: T

t ( )

σ → thỏa mãn điều kiện

Định nghĩa 1.6. (Lát cắt)

σ ∈ Γ với mọi t T∈ được Ánh xạ đơn trị gọi là một lát cắt của . Nếu σ là ánh xạ đo được, thì ta nói nó là một lát cắt . Nếu T là tập con trong không gian định chuẩn và nếu σ là ánh đo được của xạ liên tục hoặc Lipschitz địa phương, thì ta nói nó là một lát cắt liên tục hoặc lát cắt Lipschitz địa phương của

: T

Γ .

Định lí 1.19 (Von Neumann, 1949). Cho (T,  ) là không gian đo được, T là Γ không gian metric đủ, khả li, và Γ → là ánh xạ đa trị đo được, có giá trị σ → của Γ. đóng, khác rỗng. Khi đó, tồn tại lát cắt đo được X

Trong việc chứng minh của định lí 1.19, các giả thiết sau đã được sử dụng triệt để:

(i) T là không gian metric khả li,

(ii) T là không gian metric đầy đủ,

(iii) là ánh xạ đo được,

(iv) là ánh xạ có giá trị đóng, khác rỗng. Γ

kσ ∈ sao cho

= ( ) { t

kσ ( ) : t

t T∀ ∈ ) (1.1)

∈  ( }

}

C. Castaing đã phát hiện ra rằng các điều kiện (i)-(iv) được thỏa mãn, thì chẳng những tồn tại một lát cắt đo được nào đó của ánh xạ Γ, mà còn tồn tại một họ đếm được các lát cắt đo được {

kσ ( ) : k t

( )tΓ . Khi tính chất (1.1) nghiệm đúng, thì người ta nói {

Như vậy, với mỗi t T∈ , tập giá trị {

∈  của các lát cắt là trù mật }nσ là họ

trong tập

đếm được các lát cắt đo được trù mật.

d x ( ,

tΓ

( ))

Định lí sau đây vừa chỉ ra sự tồn tại họ đếm được các lát cắt đo được trù mật của ánh xạ đa trị đo được, vừa khẳng định rằng tính chất đó cũng đặc trưng cho tính đo được của các ánh xạ đa trị. Ở đây cũng sẽ chứng tỏ rằng ta có thể đặc trưng tính đo được của ánh xạ đa trị thông qua tính đo được họ hàm khoảng cách



: T

( x X∈ ).

Định lý 1.20 (C. Castaing, 1967). Cho (T,  ) là không gian đo được, E là không gian metric đủ, khả li, và Γ → là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, các khẳng định sau là tương đương:

(a) Γ là ánh xạ đa trị đo được;

kσ ∈ của Γ;

d x ( ,

tΓ

( ))

(b) Tồn tại một họ đếm được các lát cắt đo được trù mật {



là đo được. (c) Với mỗi x X∈ , hàm số

Chứng minh. Xem [3].

[0,

]

Aµ → +∞ được gọi là một độ đo dương trên σ-đại số  nếu kA ∈ 

kA ∈ , ở đó

Định nghĩa 1.7. (Độ đo; không gian có độ đo; độ đo đủ; độ đo σ-hữu hạn).

µ (

)

µ (

)

1) Ánh xạ với mọi họ đếm được các tập đôi một không giao nhau { }k với mọi k ∈  , ta có

A k

= ∑



∈



2) Tập X với σ-đại số  và độ đo dương μ trên  (hay bộ ba (X,  ,μ)) được gọi là không gian có độ đo.

 ta có A’

 ,

 thỏa mãn μ(A) = 0 và với mọi A’ 4) Nếu với mọi A thì ta nói rằng σ-đại số  là μ-đủ (tức là đủ theo độ đo μ).

3) Ta nói μ là σ-hữu hạn nếu X là hợp của một họ đếm được các tập có độ đo hữu hạn.

∈ ⊂ ∈

5) Bộ ba (X,  ,μ) được gọi là một không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn và  là μ-đủ.

× ⊂ ×

∈

{

A B

X Y A



∈B }

Cho (X,  ) là không gian đo được, Y là không gian metric. Như đã quy ước từ đầu mục này, ký hiệu σ-đại số Borel của Y. Ta xét σ-đại số sinh ra bởi họ tập 𝔅

× ⊂ ×

∈

X Y A

A B



là σ-đại số nhỏ nhất trong X Y×

và ký hiệu nó bởi ⊗ B . Như vậy, ⊗ B ∈B chứa họ tập { } : .

Để chứng minh Định lí đặc trưng, chúng ta phải dựa vào hai bổ đề sau.

= ∈

∃ ∈

∈

pr (

) : {

)

}

x X

, ( , y Y x y M

X M

Bổ đề 1.1 (xem [3]). Cho (X,  ,μ) là không gian có độ đo đủ, σ-hữu hạn, Y là không gian metric đủ, khả li. Nếu M ∈ ⊗ B , thì

là đo được

là tập thuộc  . (Hình chiếu lên X của một tập đo được theo ⊗ B theo  .)

Bổ đề 1.2. Giả sử (X,  ) là không gian đo được, Y và Z là hai không gian × → là ánh xạ Caratheodory (điều đó có nghĩa là với mọi metric khả li, g:X Y Y ánh xạ g(.,y) là đo được, và với mọi x X∈ ánh xạ g(x,.) là liên tục). Khi y đó g là đo được theo ⊗ B ∈ Chứng minh.

g :X Y

× → ( k ∈  )

}

Ta chỉ cấn chứng minh rằng tồn tại dãy ánh xạ

X Y

x y

)

∈

i k= ( )

)

y B y k − (

iy i ∈  là tập điểm ∈ × . Với mỗi k ∈  , kí hiệu hay, hoàn toàn tương tự,

và hội tụ theo điểm đến g. Giả sử { : đo được theo ⊗ B

∈

B y k − ( ,

)

đếm được trù mật trong Y. Giả sử ( , ∈  là chỉ số nhỏ nhất sao cho

(1.2)

g x y ( ,

)

Ta đặt

g x y ( , i

)

g x y

( , g x y

)

( i k

lim ( , k →∞ k

lim ( , →∞ k

x y

)

X Y

Do (1.2) và do tính liên tục của ánh xạ g(x,.) ta có

∈ × . Ta chỉ còn phải chứng minh rằng

kg là đo được theo

⊗ B

với mọi ( ,

− 1

= :

) \ (

(

))

. Đặt

( B y k i

B y k j

Y i k ,



= 1

}

iy i ∈  là trù mật trong Y, nên ta có

∞

Vì { :

i k ,

= Y

= 1

. (1.3)

i k ∈ ×  . Ngoài ra,

,i kY ∈ B với mọi ( , )

∀

∈ ×

)

( , g x y

x y ( ,

)

X Y

Rõ ràng

( , g x y i

i k ,

kg đo được theo ⊗ B

Điều đó chứng tỏ rằng . Thật vậy, giả sử W Z⊂

∈ ×

x y

)

X Y g x y :

( ,

∈ ) W}

− 1(W) {( , = k

∞

∈ ×

{( ,

x y

)

X Y

∈ ) W}

g x y ( , i

i k ,



= 1

∞

− 1

g (( (.,

))

(W)

)

y i

Y i k ,



= 1

là tập mở tùy ý. Ta có

: T

. là tập thuộc ⊗ B

Định lí 1.20 (Định lí đặc trưng). Cho (T,  ,μ) là không gian có độ đo đủ, σ- Γ → là ánh xạ đa trị có hữu hạn, E là không gian metric đủ, khả li. Cho giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, các khẳng định (a), (b), (c) trong Định lí 1.20 và các khẳng định sau là tương đương:

)C−Γ 1(

∈  với mọi tập đóng C X⊂ ;

(d) gphΓ ∈ ⊗ B

)B−Γ 1(

∈  với mọi tập Borel B ∈ B.

(e)

(f)

Chứng minh.

(b) (c), định lí sẽ được chứng minh nếu chúng ta chứng tỏ

Do (a) được rằng ⟺

(f) (e), (e) (c), (c) (d), (d) (f). ⟺ (a), (a)

(Tất nhiên ta không cần chứng minh khẳng định (a) (c) nữa.) ⇒ ⇒ ⇒ ⇒ ⇒

(f) (e). Hiển nhiên, vì mọi tập đóng là tập Borel. ⇒

X⊂ là tập mở. Khi đó ta có thể biểu diễn V dưới dạng

∞

(e) (a). Cho V ⇒

(

)

B x τ j j

jτ > với mọi j)

= 

= 1

⇒ (

Khi đó,

∞

− 1

V (

)

(

))

B x τ j j

Γ

= 1

d x Γ ( ,

(.))

Do đó: Γ đo được

(d). Giả sử rằng với mọi x X∈ hàm số là đo được. Vì Γ có giá trị

Γ =

∈ ×

gph

t x {( , )

T X d x ( , :

= ( )) 0} t

(.,

tΓ

( ))

(1.4) .

là liên tục, nên áp dụng bổ đề 1.2 cho

∀

∈ ×

g t x

= ( , ) :

d x ( ,

t ( ))

t x ( , )

T X

Vì với mỗi t T∈ hàm số trường hợp

:g T X× →  là đo được theo ⊗ B

Γ =

gph

g −

1({0})

ta suy ra rằng . Do (1.4),

g −

1({0})

∈ ⊗ B

, do đó gphΓ ∈ ⊗ B . Khi đó vì 0 ∈  suy ra

X⊂ là tập Borel bất kì. Dễ

(f). Giả sử rằng gphΓ ∈ ⊗ B và giả sử B

−Γ

)

pr gph (

))

(d) thấy rằng ⇒

× ( T B

)B−Γ 1(

∈  theo bổ đề 1.2.

Vì gphΓ ∈ ⊗ B và T B× ∈ ⊗ B . Từ đó ta có

: T

)C−Γ 1(

Định lí đặc trưng cho ta hệ quả sau đây về sự tương đương giữa tính đo được (còn gọi là tính đo được yếu) và tính đo được mạnh của ánh xạ đa trị.

T =  ,  là σ-đại số các tập đo được theo Lebesgue của Hệ quả 1.6. Cho n . Cho X là không gian metric đủ, khả li, và ,n μ là độ đo Lebesgue trên Γ → là ánh xạ đa trị có giá trị đóng, khác rỗng. Khi đó, Γ là đo được khi và chỉ khi

∈  với mọi tập đóng C X⊂ .

f x = ( ) {1}

:Γ →  cho bởi công thức

Nhận xét 1.1. Có những ánh xạ đa trị là đo được nhưng không là nửa liên tục trên hoặc nửa liên tục dưới tại bất cứ điểm nào thuộc miền xác định của nó. f x = Ví dụ, ( ) {0} nếu x ∈ và nếu x ∉

Một số tính chất khác của hàm đa trị đo được đề nghị xem lại trong chương 3 của Castaing và Valadier 1977 [3].

Chương 2. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM ĐỊA PHƯƠNG, NGHIỆM TOÀN CỤC CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN

2.1. Mở đầu.

( ,

• ∈ ( ) x t G t x

Trong chương này sẽ trình bày các định lí về sự tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục của bao hàm thức vi phân phiếm hàm trong không gian Banach, có dạng sau đây:

x θ ϕ θ= ( ) ( )

với

] [ T∈ 0, ], 0h [ θ∈ −

với (2.1) (2.2)

Để thuận tiện, chúng tôi liệt kê một vài kí hiệu được sử dụng trong phần *E , Eσ này. E chỉ đến không gian Banach khả ly với đối ngẫu mạnh và chuẩn

*E trang bị topo yếu

sE là không gian E và

( *,E Eσ

)

( ,E Eσ

−

h T− ,

h T ,

và và .

[

]

[

]

0T ≥ và ,h T−

và là các không gian của các

0h ≥ , ]

−

⊂

−

h T ,

Đối với hàm liên tục từ [ vào E và Eσ. Dễ thấy rằng

]

[

]

E σ

−

h T− ,

h T ,

,h T−

[

]

[

]

−

h T ,

Chúng tôi sẽ kết hợp và .

]

−

⊂

h T ,

∈ f C

]

[

]

chứa các tập có dạng với topo hội tụ đều trên [ [

)

E σ

}

T là không gian của tất cả các hàm khả tích (hay, các lớp

]

( [ 1 0, EL

∞

1 L

, với V là lân cận của gốc trong Eσ. Chúng ta sử

] 0,T vào

]

[

]

[ * 0,

]

1 L R

sEL

] 0,T vào

; và là không gian

[

]

∞= L R

∞ * E L ; [ s 0,

]

Lưu ý rằng, cơ sở trong lân cận của { dụng kí hiệu tương đương khả tích) từ [ của tất cả các lớp hàm đo được và bị chặn hầu khắp nơi từ [ . Tích phân ở đây được hiểu theo cách của Bochner.

→ là một đa hàm khả đo được, mà với mỗi

[ : 0,

]

( )tΓ

Cuối cùng, gọi

[ T∈ 0,

]

( ,E Eσ

, là một tập lồi không rỗng , là tập con compact của E.

Chúng ta kí hiệu SΓ là tập hợp của tất cả các tập đo được của Γ. Chúng ta ( ).m để cũng giả sử rằng Γ khả tích, nghĩa là tồn tại một hàm khả tích dương

( ) t∈ Γ

[ T∈ 0,

]

t t ,

cho đối với mỗi . Khi đó, rõ ràng,

Γ ⊂

( ) ≤ x m t [ ] 1 0, L E

∈

. Theo định nghĩa, đối với , và mỗi ] [ T∈ 0,

( ) s ds

( ) f s ds

SΓ

∫

    

    

]

Một chú ý quan trọng, khái niệm đo được và yếu hay đo được vô hướng đối với các hàm từ [ 0,T vào E trùng nhau vì E là một không gian Banach khả ly.

2.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương.

−

⊂

, 0

Cho U là lân cận mở của gốc trong Eσ, kí hiệu tập

[

] , 0 :

[

]

( ϕ

)

{ = ∈ ϕ

}

h−

[

], 0

ta xem D như tập con mở của .

T D× → là một hàm đa trị có giá trị lồi khác rỗng,

[ : 0,

]

( ,E Eσ

)* 0 Dϕ ∈ , chúng ta xét bao hàm

Lấy -

∈

(

)

compact trong E. Đối với một hàm cho trước thức vi phân (FDI) có dạng:

[

]

• ( ) ∈ x t G t x t

h , 0

(2.1) ,

( ( 0 θ ϕ θ θ

)

[ ∈ −

]

∀ ∈ t

, 0

, (2.2)

( ) θ

( x t

) θ

[

]

[ ∀ ∈ −

]

(

)

−

h T ,

∈ x C

. Chúng ta nói ở đây, bằng định nghĩa,

tx ]

[

( T∈ 0,

rằng, một hàm

]

T 0

(0,

điều kiện ban đầu (2.2) nếu tồn tại liên tục tuyệt đối trên

để cho ]T và thỏa mãn bao hàm (2.1) hầu khắp nơi trên [ là nghiệm địa phương của FDI (2.1) thỏa mãn ( ).x ]00,T và (2.2). Nếu

thì x được gọi là nghiệm toàn cục.

−

h T ,

→ là nghiệm địa phương của bao hàm

Do đó ta có định nghĩa.

]

[

T∈ (0,

]

Định nghĩa 2.1. Ta gọi hàm

( )x ⋅ liên tục trên

T 0

thức vi phân (2.1)-(2.2) nếu tồn tại số , sao cho

, 0]h−

]00,T , thỏa mãn (2.2) trên [

]0,h T− [ hầu khắp [

]00,T .

và thỏa (2.1) , liên tục tuyệt đối trên [

và G, giả

ϕ )

∀ ∈ t

D G t , ( ,

t ( )

Định lí 2.1. Ngoài các giả thiết cho ở trên đối với các hàm đa trị sử G thỏa mãn các điều kiện sau đây: Γ

[

]

(.,

)

] 0,T ;

; (i)

∀ ∈ t

(ii)

∀ ∈ ϕ ⊂ Γ , G ϕ là hàm đa trị đo được trên [ Dϕ∀ ∈ , ] [

( , )G t ⋅ là hàm đa trị nửa liên tục (n.l.t.t) trên từ D vào Eσ

o Dϕ ∈ , tập các nghiệm địa phương của bao hàm thức vi phân

, (iii)

Khi đó với mọi (2.1)-(2.2) khác rỗng.

( ) 0 0 U

Chứng minh.

0 Dϕ ∈ và

ϕ ∈ nên tồn tại lân cận V của gốc đối với topo yếu

Vì

ϕ + ⊂ . Vì đa hàm

( )0 V U

( ) s ds

]

0,T vào Eσ

( ,E Eσ

→ Γ∫

T > sao cho

sao cho là n.l.t.t từ [

( ) s ds V

[

)0 ] T

( ⊂ ∀ ∈

∫

. (xem Th.II-20 trong [3]), nên tồn tại

ϕ + Γ (0)

⊂ ∀ ∈ U t ,

Do đó, ta có

( ) s

[

]

T 0

∫

(2.3)

∈

−

0 ϕ

∀ ∈ t

( ) .

( ( 0 θ ϕ θ θ

)

( ) x t

( ) 0

( ) s ds

∈ σ Γ , S

[

]

[ ∀ ∈ −

] , 0 ,

[

]

h T , 0

T 0

∫

    

    

Chúng ta định nghĩa một tập của các hàm

[

]0, h T−

−

Rõ ràng, X là một tập con không rỗng và lồi của

]0, h T

ra rằng X là compact khi xem nó như là một tập con của . . Chúng tôi sẽ chỉ [

( ) s ds

[ ]00, T∈

Γ∫

Trước hết, ta nhận thấy ứng với mỗi , là một tập con

compact của Eσ. Hơn nữa, khi sử dụng định lý Ascoli có thể chứng minh

0δ > sao cho với mỗi x X∈ ,

−

∈ V

( ) x t

( x t

−

t t ,

được X là đồng liên tục đều, chẳng hạn, đối với lân cận V bất kì của gốc 0 trong E, tồn tại

[ ∈ −

x E e x :

* e

với . Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể chọn

0ε > . Vì

0ϕ liên

ε ,

= V V * e

E∈ và

< và t δ ' { = ∈

]0 h T , } ε

với giá trị khác không

( ) m s ds

], 0h−

]00,T , nên tồn tại

∫

δ δ ε=

−

t δ '

t t ,

và tục đều trên [ hoàn toàn liên tục trên [

< , ta có

(

) 0 > sao cho

[ ∈ −

]0 h T ,

t t ,

* e

với

( ) m s ds

[ ]0 T∈ 0,

∫

ε 2

, nếu ;

0 ϕ

0 ϕ−

t t ,

, 0

và

* e

[ h∈ −

]

( ) t

(

)

ε 2

−

t t ,

t δ '

, nếu .

< ,

[ ∈ −

]0 h T ,

−

Điều này dẫn đến, đối với bất kì x X∈ và bất kì với

< vẫn đúng, hoặc tương đương với

( ) *, e x t

( x t

)

−

( ) x t

( x t

∈ . Như vậy, X là tập con đồng liên tục đều của

điều kiện kéo theo

[

]0, h T

, tính

2 X

XΦ → được xác định bởi

đóng kín của X có thể chứng minh tương tự như trong [3, định lí VI.1] và tính compact của X dẫn ra từ định lý Ascoli.

•

= ∈

∈ y X y t G t x h k

( )

( ) x

)

(

[ . 0,

Bây giờ, xét một đa hàm

{

} ]

∈

∈ . Hơn nữa, dễ thấy rằng hàm

]

[

T x D t

Tuy nhiên, sử dụng [3, Đlí. VI-6], tồn tại một hàm đo được Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng Φ xác nhận một điểm cố định trong X. Trước hết lưu ý đến đặc trưng của (2.3) đối với mỗi x X∈ và đối với mỗi ]00,T vào D. x→ là liên tục từ [ t [ ]0 → sao : 0,T

)

Sσ Γ∈ . Chúng ta nhóm

( ) ( σ ∈ t G t x t

]00,T . Dưới điều kiện (i),

cho h.k trên [

thành

, 0

( ) t

]

[ ∈ −

( ) y t

∈

( ) s ds t ,

( ) 0

]

[

T 0

∫

0  ϕ  =  0 ϕ  

∈ Φ

( ) x

( )xΦ

−

. Như vậy, là tập con lồi và không rỗng của mỗi Rõ ràng

x X∈ . Để áp dụng định lý điểm xác định Kakutani-Ky Fan, cần phải chỉ ra rằng Φ là n.l.t.t, hay graph của Φ là đóng kín trong X X× (cùng với topo [ − cảm sinh của

]

h T , 0

E σ

∞

). Để làm được điều này, lưu ý rằng X X×

[ , h T 0 { là metric, chúng ta giả sử rằng (

} 1 )

∈ ×

,x y

X X

)

là một chuỗi trong graph của Φ hội

• ( ) k ∈ y t G t x t

(

)

* e

] 0,T và 0ε > bất kì, tồn tại N sao

E∈ và đối với

. Khi đó, bằng định nghĩa, tụ tại ( h.k trên [

−

* e x ,

đối với giá trị khác không bất kì cho

( ) t

( ) x t

[ < ∀ ≥ ∀ ∈ − k N t

]

h T , 0

( ε

)

−

k N

, 0

Do đó,

( ) θ

)

[ < ∀ ≥ ∀ ∈ −

]

*, k e x t

x t

( ( θ ε

)

−

[

], 0

tx trong topo của

tx hội tụ tại

, 0

( ) t

[ ∈ −

]

( ) t

∈

( ) 0

( ) s ds t ,

[

]

σ k

T 0

∫

0  ϕ  =  0 ϕ  

Nói cách khác, . Mặc khác, lấy

, 0

( ) t

[ ∈ −

]

( ) y t

∈

( ) 0

( ) s ds t ,

[

]

T 0

∫

0  ϕ  =  0 ϕ  

và

kσ và σ thuộc vào SΓ .

−

ở đây

ky hội tụ về y trong

[

]0, h T

* e

* E∈ ,

Vì , dẫn đến, đối với giá trị bất kì của

→

* e

∀ ∈ t

σ ,

( ) s ds

[

]

σ , k

T 0

(

)

∫

(2.4)

Vì tập SΓ (thương của SΓ tương đương h.k.n) là compact đối với topo

]

[

]

[

Sσ Γ∈ . Điều

1 L E

T 0

∞ L E

σ ∞ } 1 = hội tụ về

)

( σ

* s

∞

* e ∈ , chuỗi

yếu , tồn tại một chuỗi con {

( ) e σ *, .

( ) .

* e σ , ki

{

}(

) = 1

hội tụ về

∞ L [ 0,

1 L [ 0,

,T ]

T 0

( σ

)

. Hơn nữa, chúng ta có thể áp dụng định lý VI.4 đối với topo yếu

]00,T . Từ đây, ta dẫn ra rằng

→

s ds

* e

σ ,

trong [3] để kết luận rằng h.k trên [ này cho thấy rằng, đối với mỗi ) ] ( ( ) σ ∈ t G t x t

( ) s ds

[

] ' ,

σ (

) ( )

∫

E∈ . Sử dụng (2.4), ta có

[ ]00, T∈

* e

∀ ∈ t

và đối với mỗi * e với mỗi

( ) s

[

]

T 0

(

)

∫

∀ ∈ t

Vì E là không gian Banach khả ly, nên

( ) s ds

[

(

)0 ] T

∫

t ∫ σ= 0

∈ Φ

( ) x

. Như vậy, graph của Φ là một tập con đóng của X X× Hệ quả là

∈ Φ

. Theo định lý Kakutani-Ky Fan, Φ xác định tại một điểm x X∈ , nghĩa là

( ) x

. Rõ ràng, x là một nghiệm của (2.1) thỏa điều kiện ban đầu (2.2).

Định lý 2.1 được chứng minh hoàn toàn.

Nhận xét 2.1. Định lí này là mở rộng của Định lí VI-7 trong [3] của Castaing và Valadier cho bao hàm thức vi phân phiếm hàm. Kết quả còn là sự mở rộng cho lớp các bao hàm thức vi phân có chậm sẽ đề cập ở phần sau.

, 0

2.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục

− → là hàm đa trị với giá trị lồi h

[ : 0,

]

[

]

T 0

E σ

E Eσ (

)

Trong phần này, xét

compact trong E. và khác rỗng,

0 ϕ ∈

[

]

T 00,

∈

(

)

Với cho trước, ta xét FDI sau

]

[

• ( ) ∈ x t G t x t

, (2.1)

với điều kiện ban đầu

( ) x θ ϕ θ=

(

)

[ θ∈ −

], 0h

∈

(.)

(2.2)

[

]

0,T , thỏa mãn

]

gọi là nghiệm toàn cục của bao hàm Định nghĩa 2.2. Hàm

(.)x và thỏa mãn (2.1) hầu khắp [

− h T , liên tục tuyệt đối trên toàn [ ] 0,T .

thức vi phân (2.1)-(2.2), nếu ], 0h− (2.2) trên [

ϕ∈

−

Định lí 2.2. Ngoài các giả thiết trên đây, giả sử hàm đa trị G thỏa mãn các tính chất:

(

)

.,G ϕ đo được trên [

] 0,T ;

[

], 0

−

, (i) Đối với mỗi

.,G ϕ là một hàm đa trị n.l.t.t từ

(

)

[ T∈ 0,

]

[

], 0

, (ii) Đối với mỗi

vào Eσ;

( ,E Eσ

- tập compact K E⊂ và tồn tại (iii) Tồn tại một tập lồi cân bằng

[ T∈ 0,

]

( ) .

TLα ∈

1 [

]

ϕ∈

−

một hàm dương sao cho đối với mỗi và mỗi

[

], 0

( G t

) ⊂ ϕ α ,

( )( t 1

)

0 ϕ ∈

−

, 0

[

]

Khi đó, đối với mỗi , tập nghiệm toàn cục của (2.1)-(2.2) khác

rỗng.

Chứng minh.

sup

∈ x K

Đặt

{

}

và

0 ϕ

= : sup

h , 0

) ( ϕ θ θ

[ ∈ −

{

} ]

( ).x

) ( x θ ϕ θ=

)

(

Giả sử rằng là nghiệm toàn cục của (2.1) thỏa mãn (2.2), khi đó

[ ∀ ∈ −

], 0

∈

0 ϕ=

∀ ∈ t

)

(

( ) x t

( ) 0

. ( ) x s ds

]

[

]

• ( ) ∈ x t G t x t

+ ∫

h T ,

và ( với ). Do đó, với mỗi

[ ∈ −

]

≤ +

≤ + a

a c

( ) x t

• ( ) x s

x s

( )( s 1

)

∫

≤ +

a c

) θ

( x t

x s

( )( s 1

)

∫

Điều này dẫn đến

[ θ∈ −

], 0h

≤ +

a c

∀ ∈ t

, và do đó, với mọi

[

]

x t

x s

)

( )( s 1

∫

( ).x

của (2.1)- Sử dụng bổ đề Gronwall, chúng ta dẫn ra rằng mỗi nghiệm

≤

− ∀ ∈

+ a i

exp

(2.2) phải thỏa bất đẳng thức sau

(

)

( ) s ds

[

]

∫

  

  

− ∀ ∈

( ) z t

( ) s ds

( ) z t

) 1 exp

(

[

]

∫

  

   nghiệm duy nhất của phương trình

= + a

( ) z t

( ) s

( 1

) ( ) z s ds

∫

. Dễ dàng chỉ ra rằng là Đặt

( ) t

( 1

) ( ) z t K

(tính đơn nhất được dẫn ra từ bổ đề Gronwall). Bây giờ xét hàm đa trị

T , compact đối

Khi đó, bằng cách sử dụng [3, Hệ quả V.4], thương SΓ của tập SΓ với tất

]

[ 1 0, EL

cả các tập đo được của là một tập lồi không rỗng của

[

]

[ 1 0, L E

với topo yếu . Khi đó, SΓ là metric.

( σ

)

] ∞ T L , Γ E

* s

SΓ∈ , chúng ta đặt

, 0

( ) t

[ ∈ −

]

Đối với mỗi f

( ) t

∈

( ) 0

. ( ) f s ds t ,

[

]

∫

0  ϕ  =  0 ϕ  

∈

−

h T ,

(2.5)

( ) .

[

]

Dễ thấy rằng . Chúng ta đưa vào đa hàm Φ bằng cách

SΓ∈ ,

→

E g :

− đo được

đặt, đối với mỗi f

(

)

]

( ) ∈ g t G t x t

{ : 0, [ g

(

)}

−

x→ là liên tục từ [

] 0,T vào

[

], 0

t )fΦ (

Vì hàm , cùng với [3, Hệ quả VI-

SΓ∈ . Hơn nữa, sử dụng định nghĩa của

5] dẫn đến khác rỗng với mọi f

SΓ∈ , ta có

, đối với mỗi f

α≤

∀ ∈ t

( ) t

( ) z t

( ) t

[

]

( 1

)

Γ ,

≤ +

≤ + a

a c

∀ ∈ t

Và do đó,

( ) t

( ) f s ds

( ) s

( ) z t

[

]

( 1

) ( ) z s ds

∫

∈ Φ

(

)

[ T∈ 0,

]

⊂

= Γ

( ) t

( )

∈ g t G t x t

x t

)

(

( )( t 1

)

⊂

và h.k. , Điều này dẫn đến, đối với mỗi

∀ ∈ . Như vậy, Φ là một đa hàm với trị lồi khác rỗng

(

)

∞

Γ× SΓ

f g ,k

{ . Giả thiết rằng một chuỗi (

Kéo theo,

( )

,f g . Khi đó,, sử dụng định nghĩa,

từ một tập compact metric SΓ vào chính nó. Để áp dụng định lý điểm cố định Kakutani-Ky Fan, điều kiện đủ là graph của Φ là một tập con đóng của } 1 ) = thuộc graph của Φ hội tụ trong

)

Γ× SΓ

∈ g t G t x t

(

)

đối với h.k về (

∞

* e

* e g ,

* e

E∈ , chuỗi

( ) .

[ T∈ 0,

]

{

}

= 1

*, e

*, e g

. Rõ ràng đối với mỗi (hay, )

= 1 ) đối với topo yếu

( ) .

{ [ 1 0, L

] ∞ T L ,

[

]

)

) ( N N t ε

( σ sao cho

0ε≥ và mỗi

(hay, tại . hội tụ tại

( ) . [ T∈ 0,

]

−

≤

* e

, tồn tại Thực tế, đối với mỗi

( ) s

( ) f s ds

∫

ε 2

δ δ=

khi k N≥ .

> đủ nhỏ, chúng ta có thể viết,với mọi

( ) 0 t

[ ∈ − t

] + ∩ σ δ t

[

]

Lấy

−

≤

−

* e

( ) s

( ) f s ds

( ) s

( ) f s ds

∫

−

* e

* e c

( ) s

( ) f s ds

( ) s

( 1

) ( ) z s ds

∫

ε ≤ + 2

t ε ε < + 2 2

, ta có ước lượng sau và đối với mọi k N≥

∈

1, 2,...,

m ,

[

]

− ≤ t i

δ i

{ t

}

0,T và định nghĩa

Xét

]

max

1, 2,...,

là một lớp phủ hữu hạn đối với [

( N t

) ε

N ε

{

} m

[ T∈ 0,

]

−

* e

( ) s

( ) f s ds ε

∫

, Khi đó, đối với tất cả

∀ ∈ t

< ,

. Từ đó, ta rút ra với k Nε≥

( θ ε

)

[

]

[ θ∀ ∈ −

], 0h

*, e x t

( ) − xθ t

, ,

−

[

tx trong

tx hội tụ về kf

. Điều này cho thấy đối với topo với k Nε≥

∈ g t G t x t

)

], 0 h (

∈ Φ

0,T , do đó

,f g thuộc graph của Φ . Như vậy, bằng cách

h.k.n trên

(

)

]

SΓ∈ . Hàm

EC hội tụ đều. Hơn nữa, sử dụng [3, Th. VI-4], ta được ( ) [ sử dụng định lý Kakutani-Ky Fan, Φ xác định một điểm cố định fx

( ) .

, hay là (

, được định nghĩa bởi (2.5), là nghiệm toàn cục của FDI (2.1) thỏa điều

kiện ban đầu (2.2). Đây là điều phải chứng minh.

Nhận xét 2.2. Định lí 2.2 là mở rộng của định lí VI-13 trong [3]. Định lí 2.2 có vai trò quan trọng trong bài toán điều khiển đối với phương trình vi phân phiếm hàm. Định lí này không những chỉ ra sự tồn tại nghiệm toàn cục mà chỉ ra không gian pha của tập nghiệm. Điều này rất có ích cho bài toán điều khiển được.

, 0h

0 :

2.4. Trường hợp bao hàm thức vi phân có chậm

[ : 0,

]

[ h→ 0,

]

] ϕ − → liên

[

Giả sử là các hàm liên tục i=1,2,…,p;

p × → E

[ : 0,

] T U

E Eσ (

)

tục mạnh. U là lân cận mở của gốc trong Eσ và hàm đa trị

- compact. Ta xét bao hàm thức vi phân có

∈

−

• x t ( )

F t x t ( , (

x t ( )), (

x t ( )),..., (

( )))

có giá trị lồi, khác rỗng, chậm sau:

[ T∈ 0,

]

r t 1

r t 2

r t p

x θ ϕ θ= ( ) ( )

(2.6) , với ,

[ θ∈ −

], 0h

E Eσ (

)

, với (2.7)

→ là một đa hàm khả tích với

[ : 0,

]

Hệ quả 2.2. Giả sử rằng lồi

T U× → là một hàm đa trị với

]

E Eσ (

)

[ : 0, lồi, khác rỗng – giá trị compact trong E thỏa mãn các điều kiện sau

1 x x ,

(

,....,

U∈

khác rỗng – giá trị compact trong E và

[ T∈ 0,

]

F t x x

( ,

,....,

)

, với mọi , (i) Với mọi

,....,

1 x x ,

(

U∈

⋅ ( , F x x

,....,

t⊂ Γ ( ) )p , là hàm đa trị đo được

(ii) Với mọi ] trên [ 0,T ;

( , )

F t ⋅ là hàm đa trị nửa liên tục trên từ

[ T∈ 0,

]

pU vào Eσ

, (iii) Với mọi

[ T∈ 0,

]

T 0

với . Khi đó bao hàm thức vi phân (2.6)-(2.7) có nghiệm địa phương trên ]0,h T− [

Chứng minh.

−

⊂

h , 0

[

] , 0 :

[

]

( ϕ

)

{ = ∈ ϕ

}

Để chứng minh điều này, cần xét tập

2E T D× →

[ : 0,

]

−

,...,

Và định nghĩa một đa hàm

( G t

) ϕ ,

( ) t

( ) r t 1

r 2

r p

( ϕ ,

)

( ϕ ,

)

( ϕ

)

( F t

)

Kết quả được dẫn ra trực tiếp từ Định lý 2.1.

Chương 3. TÍNH CHẤT ĐỊNH TÍNH CỦA TẬP NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN

3.1. Mở đầu

∈

• ( ) ( ) x t G t x ξ

Trong chương này, chúng tôi đề cập đến một số tính chất của tập nghiệm Caratheodory đối với một bao hàm thức vi phân (FDI) phụ thuộc tham số dưới dạng

[ T∈ 0,

]

, ,

( ) x t

( ) tϕ=

[ h∈ −

], 0

−

, h T

, .

[

]

Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng với những giả thiết về tính liên tục và tính lồi phù hợp trên một đa hàm G, tập hợp của tất cả các nghiệm của bao hàm thức vi phân trên đây là một hàm đa trị nửa liên tục trên theo giá trị ban đầu ϕ và tham số ξ , với giá trị compact khác rỗng trong . Đối với các bao

hàm thức vi phân thường, tính chất topo của tập nghiệm đã được nghiên cứu mở rộng trong những năm gần đây. Tuy nhiên, một vài trường hợp được biết đến của bao hàm thức vi phân và các kết quả được rút ra chỉ ứng với các FDI trong không gian có số chiều hữu hạn. Trong chương này, chúng tôi xem xét các bao hàm thức vi phân tổng quát trong không gian Banach. Ứng dụng kết quả thu được, chúng tôi xem xét một vấn đề điều khiển tối ưu đối với một hệ động lực được mô tả bởi một phương trình vi phân, sự tồn tại của nghiệm tối ưu và tính liên tục của hàm tương ứng Bellman sẽ được chứng minh.

*E kết hợp với topo yếu

*E , Eσ và

sE là không gian E và

Xuyên suốt chương này, E là không gian Banach khả ly với chuẩn . và

( *,E Eσ

( ,E Eσ

và với đối ngẫu mạnh )

(

) ( L E . Với

) dùng để kí hiệu EC a b và , , a b ],a b vào E và Eσ, cùng với topo hội

⊂

a b ,

. Không gian Banach của tất cả các toán tử tuyến tính từ E )

,a b R∈ , vào E được kí hiệu là các không gian của các hàm liên tục từ [ ( C a b

)

(

)

E σ

a b ,

tụ đều. Rõ ràng . Không gian

(

, )

EC a b kết hợp với topo cảm ( EC a b ,

(

)

) sinh hội tụ đều của các hàm khả tích Bochner từ [

. Không gian của tất cá

EL a b . Như đã biết

được kí hiệu là ],a b vào E được kí hiệu là

a b ,

(

)

( 1 L a b E

∞= L E

* s

],a b vào

sE . Để tiện giản, chúng tôi sẽ bỏ qua việc định nghĩa

,a b trong các kí hiệu trên đây của các không gian hàm khi không

) ( chặn từ [ khoảng (

)

, kí hiệu này dùng để chỉ không gian các hàm đo được bị

0,T vào E, khi

( )tΓ

]

cần thiết. Cuối cùng, đặt là một hàm đa trị đo được từ [

. đó chúng tôi sẽ dùng kí hiệu SΓ để chỉ tất cả các tập đo được của

Γ 3.2. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào điều khiện ban đầu.

T > cho trước và

0h ≥ , đặt

, 0

(

) − → h E

[ : 0,

] × T C

Gọi E là không gian Banach khả ly. Đối với

−

, 0

là một hàm đa trị, thỏa mãn các điều kiện sau đây:

,F t ϕ là một tập con có giá trị lồi

) ϕ ∈ ,

(

)

(

)

] × T C

E Eσ (

)

[ compact của E,

−

ϕ∈

, 0

(

)

(

(3.i) Đối với mỗi ( khác rỗng,

.,F ϕ là một hàm đa trị đo được trên [

] 0,T ;

, 0

(3.ii) Đối với mỗi ,

),.F t (

( σ −

)

[ T∈ 0,

]

(3.iii) Đối với mỗi , là một hàm nửa liên tục trên từ

E Eσ (

)

vào Eσ,

ϕ∈

−

, 0

compact K

→ sao cho, đối với mỗi

(

)

( ) [ . : 0,T

]

(3.iv) Điều kiện tăng tuyến tính: Tồn tại một tập lồi, cân, α và một hàm khả tích dương ,

( F t

) ⊂ ϕ α ,

( )( t 1

)

( L E→

)

[ : 0,

]

A t dt < ∞

là một hàm khả tích Bochner, thỏa Đặt

( )

∫

∈

• ( ) x t

( ) ( ) A t x t

)

Chúng ta xét bao hàm thức vi phân có dạng

[

]

( F t x , t

, (3.1)

Với điều kiện ban đầu

( ) x t

( ) tϕ=

[ h∈ −

], 0

h−

, 0

(

)

, , (3.2)

và sử dụng định nghĩa

( ) θ

( x t

) θ

], 0h

∈

( ) .

(

)

với . ở đây ϕ là một phần tử cho trước trong [ θ∈ −

0,T và thỏa mãn (3.1) với mọi

− , h T hoàn toàn liên tục trên [

[ T∈ 0,

]

−

h , 0

Một hàm ( ).x (3.2) nếu thỏa mãn (3.2) là một nghiệm của FDI (3.1)- ]

(

)

−

h , 0

là một tập con compact cho trước sao cho M compact Lấy

∈ M C ) (

trong .

Mϕ∈ , tập hợp

)N ϕ của

h T− ,

)

( (

Định lý 3.1. Với các giả thiết trên đây, đối với mỗi

→

−

N M C

h T ,

(

E σ

Hơn nữa, đa hàm là n.l.t.t. tất cả các nghiệm của (3.1)-(3.2) là một tập con khác rỗng của )

Chứng minh.

Phần đầu cần chứng minh tương tự với Định lý 2.2, nhưng có đôi chút phức tạp hơn bởi vì sự hiện diện của hạng tử tuyến tính ( )A t x trong vế phải

∈

sup

của (3.1). Chúng ta sẽ chỉ ra một cách chi tiết ở đây:

( ) t

[ ∈ −

] h , 0 ,

{

}

∈

max

sup

x x K

, Kí hiệu

{ }1 c ,1

c 1

{

}

và .

( ).x

là một nghiệm của FDI (3.1)-(3.2), Vì K compact yếu, ta có c < ∞ . Giả sử

[ T∈ 0,

]

∈

khi đó dễ thấy rằng, đối với ,

( ) x t

( ) 0

( ) ( ) A s x s

)

( F s x s

 

 

∫

≤ + a

α c

Do đó, sử dụng (3.iv),

( ) x t

( ) A s

( ) x s

( )( s 1

)

x s

 

 

∫

Điều này dẫn đến

≤ +

a c

( ) A s

( ) s

x t

x s

)

)( 1

(

∫

≤

−

= :

Sử dụng bổ đề Gronwall, thu được

( ) z t

(

) 1 exp

( ) A s

) ( ) s ds

(

∫

  

  

[ T∈ 0,

]

0,T vào E sau đây

. với

]

Ta xét hàm hàm đa trị từ [

( ) t

( 1

) ( ) z t K

−

ϕ∈

, 0

(

)

là Khi đó, như đã biết, tập hợp SΓ của tất cả các tập hợp đo được của

SΓ∈ và

( ∞ 1 , L Lσ E E

. Đối với mỗi f compact trong topo yếu , ta đi Γ

( ) t

[ ∈ −

] , 0 ,

ϕ ,

( ) t

−

+ Φ

∈

( ) ( ) s f s ds t ,

( ) t

( ) 0

( ) t

]

[

∫

 ϕ  =   

→

định nghĩa hàm

( L E

)

[ : 0,T

]

• ( ) x t

( ) ( ) A t x t

• ( ) Φ = t

( ) A t

ở đây toán tử hàm là nghiệm toán tử cơ bản của phương trình

( )tΦ thỏa phương trình

( ) Φ và t

= (toán tử đơn vị trong E).

( )0

,fx

, ví dụ tuyến tính

( ) tϕ

cho

]

ϕ=

• x

( ) 0

đơn giản. Dễ thấy rằng, đối với , Trong phần dưới, chúng ta lược bỏ chỉ số trên ϕ trong kí hiệu [ T∈ 0,

( ) t

( ) A t x

( ) t

(3.3) và

≤

∈

Chúng tôi sẽ chỉ ra rằng

( ) z t

( ) t

[

]

ϕ=

≤ = a

(3.4)

( ) 0

Hơn nữa, .

t sao cho

2,t

≤ ≤ 0 t 1

≤ và T

≤

Giả sử ngược lại, có tồn tại 1

( ) z t

( ) t

]

[ ]10, t∈

( 1 t∈ t 2,

đối với và đối với (3.5)

( ).z

≤

sup

, 0

z t ( )

(

) θ θ ,

[ ∈ −

{

} ]

Vì là một hàm không giảm, nên

]10, [ t∈

≥

( ) t

đối với và

( ) z t

, (3.6)

( 1 t∈ 2, t đối với

]

] . Hệ quả, bằng cách sử dụng (3.5) và (3.6), bất đẳng thức sau đúng ( 1 t∈ t 2,

t 1

≤ +

a c

( ) t

( ) A s

( ) s

( ) A s

( ) s

x s

)

( 1

) ( ) z s ds

)

(

)( 1

(

∫

t 1

. ds

)

( ) A s

( ) s

x s

( z t 1

)

)( 1

(

∫

t 1

với

( ) t

bằng trong vế trái của Với cùng lý do trên đây, ta có thể thay

≤

−

)

( ) A s

x t

( z t 1

(

) 1 exp

) ( ) s ds

(

∫

t 1

   

   

t 1

−

(

) 1 exp

( ) A s

) ( ) s ds

(

) ( ) s ds

(

∫

t 1

   

   

− = 1

(

) 1 exp

( ) A s

( ) z t

) ( ) s ds

(

∫

  

  

bất đẳng thức này. Khi đó, sử dụng bổ đề Gronwall, ta được

]

( 1 t∈ t 2,

, điều này mâu thuẫn với (3.6). Do đó, (3.4) được chứng minh. với

SΓ∈

∈

→

h k .

E g :

− đo được,

Bây giờ ta đưa vào đa hàm Ψ bằng phương pháp đặt, đối với mỗi f

( ) g t

(

)

]

{ : 0, [ g

( F t x , t

)

}

∈ Ψ

)fΨ (

(

)

là tập lồi khác rỗng. Hơn nữa, đối với mỗi

]

∈

⊂

= Γ

và h.k , bằng cách sử dụng (3.iv) và (3.4), Dễ thấy rằng [ T∈ 0,

( ) g t

( ) t

x t

( 1

) ( ) z t K

( F t x , t

)

( )( t 1

)

)fΨ (

Như vậy, là một đa hàm với trị lồi khác rỗng từ , tập

( ∞ 1 , L Lσ E E

)*

∈

0f là một

]

( ) t

( , F t x t

(

, và do đó, xem lại (3.3), h.k chẳng hạn compact SΓ vào chính nó. Sử dụng cách làm giống như trong phần chứng minh Định lý 2.2, chúng tôi rút ra, Ψ xác nhận một điểm cố định SΓ∈ , [ ( ) T∈ . 0,

nghiệm của FDI (3.1)-(3.2). Như vậy chúng tôi đã chỉ ra rằng, đối với mỗi )N ϕ của (3.1)-(3.2) là một tập con khác rỗng của tập Mϕ∈ , tập các nghiệm

ϕ ,

∈

hợp X được xác định bởi

( ) . :

ϕΓ ,

{

}

−

h T ,

[

]

Chúng ta nhận thấy rằng X chỉ compact khi xem nó là một tập con của . Để hoàn tất phần chứng minh này, sử dụng định lý Ascoli, chúng EC

∈ x X

= :

( ) x t

( ) X t

}

{

h T ,

ta phải chứng minh rằng tập hợp

[ ∈ −

]

−

h T ,

và X là tập con đồng liên tục đóng của là compact trong Eσ đối với

[

−

h T− ,

. Mệnh đề thứ hai là rõ ràng vì X là tập hợp đồng liên tục hoàn toàn

] [

[

], 0

∈

= :

. Hơn nữa vì M là compact trong , nên với mỗi

EC ], 0

] ( ) M t

{ ( ) ϕ ϕ t

}

, trong [ h∈ − là compact trong Eσ.

EL và các ánh xạ tuyến tính

→ Φ

( ) t x

Nói cách khác, vì SΓ là compact yếu trong

( ) ( ) s f s ds

−→ Φ∫

và là liên tục yếu đối với mỗi điểm cố định

[ T∈ 0,

]

− 1

= Φ

+ Φ

∈

( ) X t

( ) t M

( ) t

( ) ( ) s f s ds

∫

    

    

, dẫn đến tập hợp

[ T∈ 0,

]

)Nϕ ( ϕ→

, x M X

nxϕ ,n

là compact yếu đối với mỗi . Cuối cùng, tính đóng của X có thể được

) ϕ ∈ ×

−

. là một chuỗi của graph của N hội tụ tại ( chứng minh theo cách tương tự như đã làm cho định lý 2.2. Do đó, theo định lý Berge, để hoàn tất phần chứng minh cho định lý này, cần phải chỉ ra rằng graph của đa hàm . Để làm được điều này, ta là đóng trong M X× ) xét (

], 0

]

[

tx trong

tx hội tụ về

tϕ hội tụ về

( )

], 0

[ T∈ , và 0, ( )tϕ trong Eσ. Nói cách khác, bằng cách

đối với mỗi , Khi đó, rõ ràng đối với mỗi [ h∈ −

−

= Φ

n ϕ

+ Φ

sử dụng định nghĩa, ta có

( ) t

( ) 0

( ) t

( ) s f

( ) s ds

[ T∈ 0,

]

Φ∫

∈

[ T∈ 0,

]

( ) s

( n F s x s

)

−

= Φ

+ Φ

đối với hầu hết các giá trị , và Với

( ) ( ) s f s ds

( ) x t

( ) t

( ) 0

( ) t

[ T∈ 0,

]

Φ∫

, (3.7)

SΓ∈ . Vì SΓ là compact yếu trong

EL , một chuỗi con { }nf

với f

SΓ∈ nào đó trong topo yếu

, điều này giống nhau) hội tụ tại điểm g (với chỉ số )*

( ∞ 1 , L Lσ E E

có nghĩa là

( ) h s

( ) s ds

( ) h s g s ds

( )

∫

lim →∞ n

(3.8)

[ T∈ 0,

]

( ) .

L∞∈ * sE

' E

(

)

( ) .

( ) eγ= .

với mỗi và với mỗi giá trị cố định . Cụ thể, bằng cách đặt

* e ∈ và

γ ∞∈ RL

e f ',

e g→

với , (3.8) cho ta

khi n → ∞

( 1 ,R L Lσ R

) ∞ . Do đó, sử dụng Định lý hội tụ (xem Định lý VI.6

đối với topo yếu

∈

trong [3]), dẫn đến

( ) g s

)

[ T∈ 0,

]

( F s x s

đối với hầu hết . (3.9)

nϕ

ϕ→

* e

* E∈ và

( ) 0

Hơn nữa, vì trong Eσ, dẫn đến, đối với mỗi

[ T∈ 0,

]

n ϕ

* e

( ) t

( ) 0

( ) t

( ) 0

* e lim , →∞ n

nx và x ta được

∗

∗− 1

Hệ quả là biểu diễn trên đây của

( ) f s ds

( ) * t e

( ) s

( ) * t e

( ) s ds

∫

lim →∞ n

t ∫ = Φ 0

−

= Φ

Kết hợp với (3.8) cho ta

( ) ( ) s g s ds

( ) t

( ) ( ) s f s ds

( ) t

∫

) x N ϕ∈

(

. Như vậy graph của N Điều này cùng với (3.7) và (3.9) cho thấy

đóng, chứng minh được hoàn tất.

)N ϕ của các nghiệm của FDI (3.1)-

(

−

, h T

Hệ quả 3.1. Đối với mỗi

( ) ϕ

Mϕ∈ , tập hợp ]

[

= ∪ ∈ ϕ M

−

h T ,

. Hơn nữa, tập hợp là compact (3.2) là compact trong

[

]

. trong

Nhận xét 3.1. Kết quả này mở rộng Định lý VI.13 trong [3] của Castaing và ( )N ϕ có ý nghĩa quan trọng đối với Valadier. Tính compact của các tập N và bài toán điều khiển tối ưu.

ϕ∈

−

h> 0,

≥ và

3.3. Sự phụ thuộc của tập nghiệm vào tham số.

], 0

[

Gọi Q là một không gian metric compact kết hợp với metric ρ và E là cho trước. một không gian Banach tách được.Lấy

∈

• ( ) x t

( A t

) ξ ,

Trong phần này,, chúng tôi sẽ xét FDI có dạng

[ T∈ 0,

]

) ( ξ F t x ,t ,

( ) x t

( ) tϕ=

, (3.10)

[ h∈ −

], 0

với điều kiện ban đầu: , (3.11)

Trong đó vế phải của (3.10) thỏa mãn các giả thiết sau:

−

, 0

) ϕξ ∈ ,

(

)

(

)

× , Q

F t ϕξ là một tập con lồi

[

] × T C

(3’.i) Đối với mỗi (

( ,E Eσ

−

, 0

) ϕξ ∈

(

)

(

)

× , Q

F ϕξ là một hàm đa trị đo được

khác rỗng, compact của E,

] 0,T ;

,.,.

, 0

(3’.ii) Đối với mỗi ( trên [

× Q

( F t

)

( σ −

)

[ T∈ 0,

]

(3’.iii) Đối với mỗi , là một hàm đa trị n.l.t.t từ

−

, 0

)

(

vào Eσ

] × T C

[

⊂

) × , ϕξ ∈ , Q , ( ).α và K giống như ở điều kiện (3.iv) trong

(3’.iv) Điều kiện tăng tuyến tính: Đối với tất cả (

( F t

) ϕξ α ,

( )( t 1

)

, ở đây

× ,

phần 2 của chương này;

) ξ ∈ ,

( ,A t

) ξ ∈

( L E

)

] T Q

[ khả tích dương γ sao cho

−

≤

ξ ξ ∈ và Q

và hơn nữa tồn tại một hàm (3’.v) Đối với mỗi (

[ T∈ 0,

]

( A t

)

( A t

)

( ) t

)

ξ , 1

ξ , 2

( γ ρ ξ ξ 2

(

Qξ∈ , tập hợp

)N ξ của tất

. , với 1

→

−

N Q C

h T ,

h T− ,

Định lý 3.2. Với các giả thiết trên đây, đối với mỗi

)

(

E σ

. Hơn nữa, đa hàm là n.l.t.t. cả các nghiệm toàn cục của (3.10)-(3.11) là một tập con khác rỗng của ( EC

Chứng minh:

Qξ∈ , lấy

( )tξΦ

• ( ) x t

( A t

( ) ) x tξ ,

Với mỗi là nghiệm cơ bản của phương trình tuyến tính

( )tξΦ

= + I

...

. Dễ thấy có thể viết được dưới dạng

( ) t

( A s

) ξ ,

( A s

) ξ ,

Φ ξ

( A s 1

dsds 1

∫

γ≤ q

(3.12)

( ,A t

) ξ

( ) t

Sử dụng (3’.v) và tính compact của Q, với q < ∞ nào đó,

≤

exp

tính toán đơn giản cho ta

[ T∈ 0,

]

( ) t

(

)

ξΦ

, (3.13)

( ) s ds

γ= ∫ q

ở đây . Hơn nữa, sử dụng (3’.v) và (3.12), dễ dàng thấy rằng

( )tξΦ 3.2, ta kí hiệu

sup

, 0

( ) t

[ ∈ −

{

} ]

∈

max

sup

x x K

liên tục đều mạnh trong ξ. Bây giờ, trong phần chứng minh Định lý

{ }1 c ,1

c 1

{

}

−

γ q

( ) z t

(

) 1 exp

( ) s

[ T∈ 0,

]

 

( )  s ds 

∫

  

  

, ,

và

[ T∈ 0,

]

( ) t

( 1

) ( ) z t K

Qξ∈ , ta định nghĩa

, .

SΓ∈ và

( ) t

] , 0 ,

[ ∈ −

ξ ,

Đối với mỗi f

( ) t

−

∈

( ) t

( ) ( ) s f s ds t ,

( ) 0

( ) t

Φ ξ

+ Φ ξ

Φ ξ

[

]

∫

 ϕ  =   

(3.14)

ξ ,

∈

( ) . :

ξΓ ,

{

} ∈ . Q

(

Qξ∈ , tập hợp Khi đó, sử dụng Định lý 3.1, đối với mỗi giá trị cố định )N ξ của tất cả các nghiệm của (3.10)-(3.11) là tập con khác rỗng của H. Hơn

−

h T ,

và

(

)

nữa, lập luận tương tự như trong phần chứng minh Định lý 3.1, chúng ta có thể chỉ ra rằng H là compact khi xem nó như là một tập con của .

Như vậy, lại sử dụng định lý Berge, tính nửa liên tục trên của hàm đa trị ( )Nξ ξ→ sẽ được chứng minh bằng cách chứng tỏ graph của N là đóng với

n xξ ,

)

) ξ ∈ ×

là một chuỗi . Để hoàn tất chứng minh, lấy (

−

h T ,

không gian compact Q H× trong graph của N hội tụ tại (

x→ trong topo của

, x Q H ) (

[ T∈ 0,

]

n x t

, . Điều này dẫn đến, đối với mỗi khi n → ∞ . Nói cách khác, lấy

và f là các tập hợp tương ứng đo được của

[ T∈ 0,

( ) 0

( ) t

nx và x . Khi đó, dễ thấy rằng đối với mỗi giá trị cố định → Φ ξ

Φ ξ n

, đối với các biểu diễn tích phân ] Γ (3.14) của ( ) ( ) t 0 trong Eσ khi n → ∞ . Điều này cho thấy

( ) t

( ) s ds

( ) t

( ) f s ds

= Φ ξ

− 1 Φ ξ

Φ ξ n

− 1 Φ ξ n

∫

lim →∞ n

(3.15)

nf hội tụ về

trong Eσ. Không mất tính tổng quát, chúng ta có thể giả sử rằng

)

SΓ∈ trong topo yếu

( N ξ∈ n

. Vì , bằng định nghĩa, ta có

( ∞ 1 , L Lσ E E

)*

∈

( ) s

F s x ξ , n

,n s

(

)

∈

( ) g s

) F s x ξ ,

(

* e

* E∈ và

nf tiến về g trong topo yếu

EL , nên đối với mỗi

h.k trên [ ] T∈ 0,

* e

Do đó, ta có thể áp dụng Định lý hội tụ để có được ] [ 0,T . Vì ta có

( ) t

( ) .

( ) t

( ) .

Φ ξ

− 1 Φ ξ

* → Φ e ξ

− 1 Φ ξ

(3.16)

( 1 ,R L Lσ R

) ∞ . Khi đó đối với mọi t và n

−

* e

( ) t

( ) s

( ) f s

( ) g s

Φ ξ

− 1 Φ ξ

(

)

∫

≤

* e

( ) t

( ) ( ) s f s

( ) t

( ) s f

( ) s ds

Φ ξ

− 1 Φ ξ

− Φ ξ n

− 1 Φ ξ n

∫

* e

( ) t

( ) s

( ) t

( ) s

( ) s ds

− Φ ξ

− 1 Φ ξ

(

)

Φ ξ n

− 1 Φ ξ n

∫

−

* e

( ) t

( ) s

( ) g s

Φ ξ

− 1 Φ ξ

(

)

∫

khi n → ∞ trong topo yếu

Từ (3.15) và (3.16), ta nhận thấy hạng tử thứ nhất và hạng tử thứ ba trong vế phải của bất đẳng thức trên tiến về 0 khi n → ∞ . Xét hạng tử thứ hai

* e

( ) s ds

( ) t

( ) s

( ) t

( ) s

− Φ ξ

− 1 Φ ξ

(

)

Φ ξ n

− 1 Φ ξ n

∫

≤

* e

( ) s ds

( ) t

( ) s

( ) t

( ) s

− Φ ξ

− 1 Φ ξ

Φ ξ n

− 1 Φ ξ n

∫

−Φ

( ) 1 .ξ

( ).ξΦ

nf khả tích bị chặn đều, nên

liên tục đều trong ξ và và

( ) t

( ) ( ) s f s ds

( ) t

( ) ( ) s g s ds

Φ ξ

− 1 Φ ξ

∫

t ∫ = Φ ξ 0

ξ ,

∈

Vì hạng tử thứ hai cũng tiến về 0 khi n → ∞ . Do đó, ta rút ra

( ) g s

) F s x ξ ,

(

) x N ξ∈

(

Như vậy, với , nghĩa là . Định lý

được chứng minh hoàn toàn.

)N ξ của tất cả các nghiệm của FDI (3.10)-(3.11)

(

−

h T ,

( ) ξ

Hệ quả 3.2. Tập hợp

(

)

= 

∈

−

h T ,

compact trong . Hơn nữa, tập hợp compact trong

(

)

Nhận xét 3.2. Mục đích chương này nhằm nghiên cứu một số vấn đề về các tính chất định tích của bao hàm thức vi phân phiếm hàm (2.1)-(2.2). Tuy nhiên còn nhiều tính chất định tính khác của bao hàm thức vi phân (2.1)-(2.2) chưa được xét đến, chẳng hạn như tính liên thông, tính phụ thuộc nửa liên tục dưới vào điều kiện đầu và tham số,…

3.4. Ứng dụng vào bài toán điều khiển tối ưu

h−

, 0

)

Trong phần này, chúng ta áp dụng một số kết quả thu được trong phần trước vào bài toán điều khiển tối ưu của hệ phương trình bao hàm thức vi phân.

0h ≥ cho trước và T > và 0 , sao cho M là tập compact hội tụ đều của

Ω

−

, 0

(

)

Cho U và E là các không gian Banach khả ly, ( M là tập con lồi của

→ là hàm đa trị đo được nhận giá trị compact yếu

[ : 0,T

EC ]

−

(

h , 0)

. Cho

× → là hàm được cho

[ : 0,

] × T C

khác rỗng có giá trị trong U. Cho

thỏa mãn các giả thiết sau đây:

ϕ ∈

−

(.,

, )

u C

(

, 0)

uϕ là hàm đo được, với mọi ( , )

× ; U

−

T∈ [0,

]

t ( ,.,.) :

(

, 0)

(3”.i)

× → là hàm liên tục với mọi

E σ

σ E

t ( ,

ϕ ∈ )

t ( ,

( ))

(3”.ii) ;

tϕ Ω là 1 tập lồi khác rỗng với mọi

[

] × T C

(.)α và một tập hợp B compact yếu lồi

(3”.iii) ;

Ω

ϕ , ,

t ( )

t B ( ) .

(

)

( ⊂ + 1

) ϕ α

−

ψ − C

(

, 0)

(

h T ,

)

→ là một hàm liên tục, lồi. Ta chú ý bài toán

(3”.iv) Tồn tại hàm khả tích xác định cân bằng thỏa:

Cho

∈

0 ϕ (

= ) : min

(.)

0 ϕ (

, (.)) : x

{ 0 ψ ϕ (

} ) ,

)

điều khiển tối ưu (P):

fN ϕ là tập hợp của tất cả các quỹ đạo chấp nhận được của hệ

trong đó

, ( )),

• ( ) x t

thống điều khiển (CS):

[ T∈ 0,

]

( , t x u t t

( ),

( ) x t

0 tϕ=

h.k , (3.17)

[ h∈ −

], 0

u t ( )

t∈ Ω h.k ( ),

, (3.18)

[ T∈ 0,

]

−

h T ,

(.) :

. (3.19)

→ là một quỹ đạo chấp nhận

]

[ được của hệ thống điều khiển (CS) nếu tồn tại một hàm đo được U→ thỏa mãn (3.19) sao cho (3.17) và (3.18) cho trước. u

[ (.) : 0,

]

G t ( ,

ϕ )

ϕ= ( , t ,

t ( ))

)

Ta nhớ lại rằng hàm liên tục

Ω và chú ý rằng

GN ϕ là tập hợp của tất cả các

Ta đặt

• ∈ x t G t x ( )

( ,

nghiệm của bao hàm thức vi phân

[ T∈ 0,

]

),t

x t ( )

0 tϕ= ( )

h.k , (3.20)

[ h∈ −

], 0

)

0 Mϕ ∈ ,

, , (3.21)

Sau đó dễ dàng kiểm tra lại được rằng FDI ở trên thỏa tất cả các giả thiết GN ϕ là tập khác rỗng của của định lí 3.1. Bởi vậy, với mỗi

−

(

h T− ,

)

(

)

, h T

(.)GN

−

(

h T ,

)

, nó là compact trong topo của , và hơn nữa là hàm

−

0 ϕ∀ ∈

Nϕ ( )

(

)

(

, 0)

đa trị n.l.t.t từ M vào

0 ϕ= G

Bổ đề 3.1. ,

Nϕ ( )

)

Chứng minh.

0 ϕ⊂ G

là hiển nhiên, điều này cho chúng ta thừa Bao hàm thức

( thỏa (3.20)-(3.21). Tiếp theo, đặt

Θ = ( ) : t

• x t ( )

= ( ) : { } t

nhận rằng (.)x

× Ω , ( ) t

x t

t ( ))

g t ( ,

θ ∈ ( ) t

σ ∈ Σ ( ) t

t ( )

Θ = ( ) t

tσ

g t ( ,

v t ( )

( ))

• x t ( )

, ( ))

, ,

t x v t ( , t

(.)

(

)

và chúng ta dễ dàng kiểm tra được rằng tất cả các ta có được giả thiết của định lí hàm ẩn của Fillipov-Castaing ( Định lí III.38 trong [3]) là được thỏa mãn. Điều đó chỉ ra rằng tồn tại hàm đo được thỏa t∈ Ω . Do ( ) với một số hàm đo được , hay

0 N ϕ∈ f

⊂

và hệ quả đã được chứng minh. đó

Z C a b ( , ) E

Bổ đề 3.2. Cho là một tập lồi compact. Thì Z là compact khi xem

EC a b ( , )

. nó là một tập con của

Z t

( ) : { ( ) :

x t

}

( , )

∈ là tập x Z

Chứng minh.

Vì Z là compact trong

EC a b nên kéo theo rằng EC . Bởi vậy

compact của E và Z là đồng liên tục trong

( )Z t là compact yếu và EC σ , do đó từ định lí Ascoli, Z là compact tương đối

Z là đồng liên tục trong

EC σ .

EC σ . Điều đó chỉ ra rằng Z đóng trong

∈

= Π :

t E t ,

],E a b , do đó, đóng trong topo tích [

} a b [ , ]

{

* (Y,Y )

trong

. Mặt khác, theo (Định

t *

∈

* (Y,Y )

),t

{ t σ= Π E E ( ,

} a b [ , ]

Thực tế, từ Định đề 0.4.9 trong [5], Z đóng theo nguyên lí hội tụ từng . Vì Z điểm của topo trên lồi, điều này chỉ ra rằng Z đóng trong topo yếu lí 4.3 trong [6, Chương 4]) ta có

suy ra Z đóng theo nguyên lí hội tụ từng điểm của topo tích trên

đồng liên tục của Z trong

[ ],E a b σ . Sự EC σ được chỉ ra, xem lại trong (Định đề 0.4.9 trong EC σ được chứng tỏ.

[5]), do đó Z đóng theo nguyên lí hội tụ đều của topo trong

Từ việc chứng minh của bổ đề trên, chúng ta thu được

EC thì Z là tập đóng

Hệ quả 3.3. Nếu Z là tập con đóng, lồi, đồng liên tục của

EC σ

của

Bây giờ chúng ta phát biểu kết quả chính của phần này.

Định lí 3.3. Những giả thiết được đề cập trên đây, bài toán điều khiển tối ưu (P) có lời giải tối ưu và hơn thế nữa hàm Bellman )ϕ là hàm nửa liên tục dưới từ M vào R.

Nϕ ( )

(

)

Chứng minh.

0 Mϕ ∈ , điều này dẫn đến, từ định

0 ϕ= G

−

)

(

h T ,

)

Từ bổ đề 3.1, với mỗi

fN ϕ là tập con compact khác rỗng trong 0(

)

lí 3.1, chỉ ra rằng .

fN ϕ là tập con

Chúng ta chú ý rằng, từ việc chứng minh định lí 3.1 ở trên,

ϕ ,

∈

= :

của tập lồi

ϕΓ ,

}

{

( (t)= 1+z(t)

) (t)B,α

z(t)=(a+1) exp(

− ) 1,

( ) s ds

∫

0 ϕθ ϕ

∈

sup{ ( ) ,

θ ,

∈ − [

, 0]},

∈

sup{

x x B

t ( ),

∈ − [

h , 0],

ϕ ,

t ( )

ở đây, định nghĩa

∈

(0)

g s ds t ( ) ,

[0,

∫

ϕ   =  ϕ  

và

(

h T− ,

)

Điều này dẫn đến X là đồng liên tục trong và do đó X (bao

EC ) cũng là đồng liên tục trong

EC . Vì hàm

0( ψ ϕ

,.) : X

→ là lồi và liên tục, nên với mỗi

Rλ∈ , tập

∈

≤

λ ( )

(.)

0 ψ ϕ : (

, (.)) x

{

} λ

hàm đóng của X trong

( )Z λ là đóng

EC . Do đó, từ Hệ quả 3.3,

là đồng liên tục, đóng, tập con lồi của

,.)ψ ϕ là n.l.t.t trên X khi xem nó như một hàm từ

EC σ . Có nghĩa là

−

(

h T ,

)

trong

0( fN ϕ là )

vào R. Do đó, tập hợp của những quỹ đạo chấp nhận được

,.)ψ ϕ , là một

EC σ phải nhận một điểm cực tiểu cho

, 0)

h−

(

một tập con compact của

−

, 0)

(

lời giải tối ưu của vấn đề (P). Lúc này, từ M lồi và compact trong

cùng kết quả với những trình bày trên rằng hàm lồi xem nó như một hàm từ , (., )xψ là n.l.t.d trên M khi đến R. Cho nên chúng ta cần áp dụng

0 ϕ

∈

) min

x , (.)), (.)

0 ϕ (

{ 0 ψ ϕ (

} )

(Định lí 1 trong 2.5, Chương 2 của [1]) để kết luận rằng hàm Bellman

là n.l.t.d trên M. Định lí đã được chứng minh.

Chương 4. SỰ TỒN TẠI NGHIỆM CỦA BAO HÀM THỨC VI PHÂN DẠNG CỰC BIÊN

4.1. Mở đầu.

∈ ∂

• ( ) x t

)

Trong chương này, ta sẽ trình bày các định lí về sự tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục của bao hàm thức vi phân dạng sau đây:

[ T∈ 0,

]

( G t x , t

θ∈ − [

, 0]h

x θ ϕ θ= ( ) ( )

, , (4.1)

0 ϕ ∈

−

[

, 0]

)

(

, , (4.2)

G t x , ,

( ∂ G t x , t

−

× T C ]

[

, 0]

→ . E

Trong đó là tập các điểm cực biên của , E

là không gian Banach thực, phản xạ, và hàm đa trị G: [0,

Như mọi người đã biết, trong lý thuyết điều khiển tối ưu đã chứng minh được rằng nghiệm của nhiều bài toán điều khiển tối ưu là hàm điều khiển nhận giá trị cực biên, hay còn gọi là điều khiển Bang-Bang. Điều này được suy ra từ nguyên lý cực đại Pontryagin. Từ đó, thông qua định lí hàm ẩn cổ điển của Filippov, có thể chỉ ra rằng quỹ đạo tối ưu tương ứng là nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên. Do đó sự tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên chính là điều kiện cần của sự tồn tại điều khiển tối ưu. Đó là một trong những lí do thúc đẩy việc nghiên cứu bài toán tồn tại nghiệm của bao hàm thức vi phân dạng cực biên.

h T− ,

h−

, 0]

[

]

[

Ta chứng minh bằng cách sử dụng định lí Baire về phạm trù rằng bao hàm thức vi phân (4.1)-(4.2) có nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục. Ý tưởng sử dụng định lí Baire về phạm trù được đề ra lần đầu tiên bởi Celline cho bao hàm thức vi phân hữu hạn chiều.

, 0]h−

h T− ,

]

và

EC và [

(0,1)

B B=

gian Banach của các hàm liên tục từ [ Xuyên suốt chương này, E là không gian Banach thực, khả ly, phản xạ và E* là đối ngẫu mạnh. Cho T > 0, h > 0, r >0, là không vào E, B(x,r) là quả

. Với A E⊂ , A là bao và A∂ là tập tất cả các điểm biên của A. Bao lồi đóng

≥

∃ ∈

⊂

sup

0 :

x A B x : ( ,

ρ )

cầu trong E có bán kính r, tâm x thuộc E, đóng của A, E A \ của A kí hiệu coA. Đặt

{ ρ

} A

−

d x A ( , )

inf ∈ y A

H A B m ,

)

(

d x B

),sup ( ,

d y A )

Khoảng cách Hausdorff giữa 2 tập A,B trong E được xác định bởi

ax sup ( , ∈ x A

∈ y B

  

  

∈

−

[

]

, h T

( ).

[ T∈ 0,

]

tx là phần tử của

−

[

]

θ ( )

x t (

θ ),

= : C C

, h T

và mọi , ta kí hiệu Với mọi

− ≤ ≤ . θ h

không gian hàm với

x→ là liên tục trên [0,T] và thỏa

(.)

x t ( )

Khi đó ánh xạ

x t

m ax ∈ T t [0, ]

m ax ∈ T t [-h, ]

( ,

)

2E G I C× → thỏa với t

I∈ ,

Cϕ∈ ,

G t ϕ có giá trị lồi, đóng với 0 Cϕ ∈ là hàm ban đầu. Tóm lại với (4.1)-

( ,

• ( ) ∈ x t G t x

Giả sử phần trong khác rỗng trong E và (4.2) ta nghĩ đến bao hàm thức vi phân sau:

[ T∈ 0,

]

θ∈ − [

, 0]h

x θ ϕ θ= ( ) ( )

, , (4.3)

∈

−

θ∈ − [

, 0]h

(.)

[

h T ,

]

x θ ϕ θ= ( ) ( )

, . (4.4)

(.)x

T∈ (0,

]

[0,

với , là Chúng ta nói rằng hàm

T 0

(.)x

T= thì

nghiệm địa phương của bài toán Cauchy (4.1)-(4.2) (hay (4.3)-(4.4)) nếu tồn tại ]T thỏa bao hàm thức vi liên tục tuyệt đối trên sao cho

]T∈ [0, 0

được gọi là phân (4.1) (hay (4.3)) với h.k . Hơn nữa nếu 0T

nghiệm toàn cục của bài toán Cauchy tương ứng.

−

(.) :[

h T ,

]

(.)x

T∈ (0,

]

[0,

4.2. Sự tồn tại nghiệm địa phương.

→ là nghiệm địa phương của (4.1)- ]T , thỏa

T 0

E liên tục tuyệt đối trên

[0,

]T và thỏa mãn (4.2) trên [-h,0] .

Định nghĩa 4.1. Ta gọi hàm (4.2) nếu tồn tại số sao cho

−

⊂ U C

[

, 0]

(4.1) hầu khắp

0 Uϕ ∈ và

G I U× → có

là một tập con mở, Định lí 4.1. Cho

(.,

)

Uϕ∈ ,

G ϕ đo được trên I

giá trị lồi, đóng với phần trong khác rỗng trong E. Hơn nữa, giả sử thỏa các điều kiện sau:

Uϕ∈ và với

I∈ ,

(i) Với mọi

0ε > , tồn tại lân cận Vϕ của ϕ thỏa: với h.k t

H G t ( ( ,

G tϕ ), ( ,

'))

ϕ ε< ,

' V Uϕϕ∀ ∈ ∩ .

(ii) Với mọi

0δ ≥ sao cho với h.k t

I∈ ,

( ,

Gr t ϕ δ> ≥ 0 )

( ) 0

tα ≥ trên I sao cho với h.k t

I∈ và mọi ϕ

[0,

]

(iii) Tồn tại

T thì

ϕ α⊂

G t ( ,

)

t B ( )

(iv) Tồn tại một hàm dương trong tập con bị chặn Q của

]T .

Khi đó bài toán Cauchy (4.1)-(4.2) có nghiệm địa phương trên [0,

0ε > , tồn tại

0δ > sao cho với h.k

Chú ý ở mệnh đề (ii) tương đương với mệnh đề sau:

∩

H G t ( ( ,

G tϕ ), ( ,

'))

∀ ∈ ϕ '

ϕδ ( , )

ϕ ,

ϕ ε< ,

∈ (4.5)

Kϕ∈ , tồn tại

Với mọi tập compact K U⊂ và với I∈ , t

0ϕδ ≥ và tập con Iϕ của

Thật vậy, (ii) chỉ ra rằng, với mỗi

Iϕ∈ ,

∀ ∈ ϕ '

)

ϕ < ,

tập I đo được hoàn toàn, sao cho với mọi t

H G t ( ( ,

ϕ ),

G t ( ,

'))

ϕδ ( , ϕ

ε 2

ϕϕ δ ( ,

} 1 )

là một phủ giới hạn của K. Tập Giả sử {

ε ,

min ≤ ≤ 1 i n

=  . I ϕ i

δ i 2

= 1

I ε∈

,KI ε là hoàn toàn đo được và (4.5) cố định với mọi

. Khi đó

Chứng minh.

)Ω  là một không gian hoàn toàn đo được và

Để chứng minh định lí trên ta sử dụng 2 bổ đề đã biết trong [4] như sau

)

(

ω ( )

int

ω ( )

là một hàm (.)ρ là một hàm Γ Bổ đề 4.1. Cho ( đa trị đo được từ Ω vào không gian metric tuyệt đối (E,d) và đo được từ Ω vào R+ , sao cho với mọi ε∈ Ω ,

> r ω ρω ) Γ

, và .

EΩ → thỏa

c d S ω ω ρω ) (

( (

))

(

Khi đó tồn tại hàm đo được :S

, ω∀ ∈ Ω .

1M là tập lồi đóng với phần

(

)

cM ,

cM khác rỗng và

H M M < +∞ . Khi

Bổ đề 4.2. Cho E là một không gian Banach và M,

trong khác rỗng trong E, sao cho

≤

∂

c H M M

(

)

H M M

(

)

H M M

(

)

đó:

c 1

0ω> và với mỗi x C∈ , ta có

. (i)

≤

∂ , (

)

∂ d x M ( ,

)

+ , x M∀ ∈ .

( ε d x M B

)

(ii) Với mọi

]

[

T∈ (0,

(.) :[

]

Tiếp theo ta chứng minh một vài kết quả giúp ta sử dụng định lí Baire về phạm trù trong việc chứng minh định lí 4.1.

h T− , 0

[0,

]T , sao cho

0 θ ϕ θ θ

t x ( ), ( )

( ),

∈ − [

, 0]

và hàm Bổ đề 4.3. Cho G thỏa các giả thiết của định lí 4.1. Khi đó tồn tại một số , liên tục tuyệt đối trên → , liên tục trên T 0

•

( ),

( ,

)

và

d x t G t x t

]

inf ∈ T [0, 0

  

  

ess

]

Chứng minh.

E→ , sao cho

0 :[0,

0 ( ),

( d u t G t ϕ δ> , ( ,

)0 )

Từ (iii) và bổ đề 4.1, tồn tại một hàm đo được

h.k trên I

∈

( ) 0

( ) τ τ d t ,

∫

( ) t

0 [ ∈ −

] , 0 .

 0 ϕ  =   0 ϕ 

Tập

⊂ của

0ϕ , sao cho với h.k

Uϕ 0V

I∈ ta có

Từ (ii) và bổ đề 4.2.i, ta có tồn tại lân cận

ϕ∀ ∈ ,

ϕ ),

c ( , G t

( ( , H G t

)0 ϕ < )

0Vϕ

δ 2

0 ϕ

≥

−

Do đó

ϕ∀ ∈ .

)

ϕ ),

c G t ( ,

)

( d u t G t ( ), ( ,

)

( d u t G t ( ), ( ,

)

( H G t ( ,

)

0Vϕ

δ 2

x→ là liên tục với

t = và 0

T > sao 0

0 t

0x ϕ=

]

∈ với mọi

Mặc khác, vì ánh xạ , tồn tại 0

T∈ (0, 0

0 tx

Vϕ

∀ ∈ t

[0,

]

. Do đó, cho

( ,

T 0

0 ( ),

( d u t G t x t

)0 )

δ 2

, .

[0,

]

T 1

Vậy bổ đề đã được chứng minh.

1S (hay

Để đơn giản hơn, ta có thể kí hiệu như sau: 1 I của I; là một đoạn cố định 2S ) là tập tất cả các nghiệm của bài toán Cauchy (4.1)-(4.2)

(.)x

(.) :[

]

→ sao cho

0S là tập các hàm liên tục

h T− , 1

liên

0x ϕ=

•

( ),

( ,

)

, (hay (4.3)-(4.4)); tục tuyệt đối trên 1I ,

d x t G t x t

inf ∈ I t 1

  

  

∈

)

( )

ess

I∈ và

1 RL

α 1

I 1(

G t x ( , t

t Bα⊂ 1

và x(.) thỏa bao hàm thức với h.k .

2S đóng trong

[

]

h T− , 1

Bổ đề 4.4. Cho G thỏa các giả thiết của định lí 4.1.Khi đó

đối với topo hội tụ đều.

∈

−

0 ϕ=

(.)

[

]

(.)

Chứng minh.

h T , 1

, 0]h−

(.)x

[0,

]

Cho { (.)} là một dãy hội tụ của hàm . Vì , n∀ ,

2S và (iv), với h.k

∈ = I 1

T 1

, thỏa (4.2). Từ định nghĩa của , trên [

∈

⊂

• n x

t Bα ( ) 1

( ( ) n t G t x t

)

∈

)

ta có

1 RL

α 1

I 1(

)

. Điều đó chỉ ra rằng { (.)} với

1 RL

∈

(.)

)

metric hóa được của bị chặn trong tập con compact yếu, . Do đó không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử

I+ 1( hội tụ yếu về một hàm

1 L R

I+ (

(.)}

rằng { (.)} . Sử dụng định lí Mazur, tồn tại

l n

n u t ( )

+• n i x

t ( )

xác định bởi dãy {

n λ i

iλ ≥ ,

= ∑

=∑ n λ i

= 1

)

(.)u

, với ,

I∈ ,

1 RL

I+ 1( → khi n → ∞ . Do đó ta có

n u t ( )

u t− ( )

0 ϕ

x t ( )

(0)

u s ds ( )

hội tụ về trong topo yếu của . Điều này dẫn đến, với h.k

∫

lim →∞ n

(.)x

u t ( )

• x t ( )

0ε > và n đủ lớn, ta có

Điều này chỉ ra rằng liên tục tuyệt đối trên 1I và h.k trên 1I

Kết hợp với (ii), với mỗi

⊂

)

( ,

)

n G t x ( , t

B G t x t

ε 2

∈

n u t ( )

( ,

)

B G t x t

ε 2

Do đó, h.k trên 1I .

∈

• x t ( )

( ,

)

Suy ra

B G t x t

n u t lim ( ) →∞ n

h.k trên 1I .

[

]

Vậy chứng minh đã được hoàn thành.

0σ > , ta xét tập con trong

h T− , 1

T 1

∈

c d x t G t x dt

(.)

• ( ( ),

( ,

))

Bây giờ, cho sau

∫

    

  σ   

[

]

h T− , 1

0σ > , Sσ

. với 0S là không gian metric với metric cảm sinh từ

0S .

Bổ đề 4.5. Cho G thỏa mọi giả thiết của định lí 4.1. Khi đó với mọi mở trong

⊂

(.)x

nx { (.)}

Sσ

Chứng minh.

nx và { (.)}

, 0]h−

Cho hội tụ về trong không gian metric

0x ϕ=

0S . . Do đó nó xác định trên 1I . Bằng lập luận tương tự nu

(.)}

trên [ Rõ ràng

l n

≥

n u t ( )

t ( )

+• n i x

có dạng như trong việc chứng minh hệ quả 4.4, tồn tại dãy {

n λ i

= ∑

=∑ n λ i

= 1

• ( )x t

, với

1I về

∈

)

( ,

)

( ,

B G t x

. Theo (ii), với n đủ lớn, hội tụ hầu khắp nơi trên

n G t x ( , t

B G t x t

1I . Do đó,

1I .

ε T 1

hầu khắp nơi trên h.k trên

Theo bổ đề 4.2(ii) ta có hàm

→

B G t x

( ,

)

d u G t x , ( t

ε T 1

  

  

lõm trên ,

•

≥

−

( ),

( ,

)

( ,

)

d x t G t x t

d x t G t x ( ), ( t

∫

  

  

ε T 1

•  

  

I 1

≥

−

( ,

)

d u t G t x ( ), ( t

∫

lim →∞ n

ε T 1

  

  

I 1

l n

+• n i

≥

−

( ,

)

t G t x ( ), ( t

∑ ∫ n λ i

lim →∞ n

= 1

ε T 1

 d x  

  

I 1

l n

+• n i

≥

−

( ,

)

+ n i c t G t x ( ), t

∑ ∫ n λ i

lim →∞ n

= 1

  

 d x  

I 1

≥

− = − λδ ε δ ε

ta có thể kết luận

n i

∑

= 1

( ),

( ,

)

> dt δ

Vì ε nhỏ tùy ý nên

d x t G t x t

∫

  

•  

I 1

⊂

(.)

Sσ

0σ > , tập Sσ trù mật trong

, chứng minh đã được hoàn tất. Do đó,

0S .

Bổ đề 4.6. Với mỗi

(.)x

Chứng minh.

S∈ và

0ε > , đặt

0S . Cho tùy ý

•

( ),

( ,

)

Ta chứng minh rằng Sσ trù mật trong

d x t G t x t

inf ∈ I t 1

  

  

min

r > . Đặt

. r = ess

0S ,

σ 2 r , T 2 3 1

  

  

và Từ định nghĩa của tập

≥

( ,

))

y E d y G t x ( , t

G t 1( )

} δ

{ = ∈

t G t→ 1( )

(

)E⊗ B

)

là đo được, do đó Theo giả thiết của định lí 4.1, ánh xạ đa trị

→

(

)E⊗ B

( ,

)

- đo được chính nó (nghĩa là, graph của nó thuộc E∈B ) (

c t G t x t

→

( ,

))

thuộc , là graph của nó là trường σ- nhỏ nhất chứa tất cả các tập dạng M A× với M ∈  và (xem chương I). Từ đó graph của ánh xạ đa trị

d y G t x t

)

∈ ⊗ B (

các đường cong đo được. Hay ánh xạ

G 1

1G là đo được. Hơn nữa ∈ ∂

I∈ và

và đo đó Suy ra graph đo được với mọi y E∈ . 1G có giá trị lồi,

G t 1( )

( ,

))

δ= . (4.6)

d y G t x t

, ta có đóng, phần trong khác rỗng và với mỗi

0ρ> sao cho

Chọn

H G t ( ( ,

ϕ ),

c G t ( ,

ϕ < '))

δ 2

∈

ϕ∈

ϕ '

ϕ ρ ( , )

I∈ . Chú ý rằng tồn tại ρ theo

(4.7)

 và mọi

∈ , I } 1

tx t { :

• ∈ ( ) ( ) x t G t

với mọi

−

≤

• x s ( )

ρε min{ , }

giả thiết (ii) và (i) của bổ đề 4.2. Rõ ràng, h.k.n trên 1I và

∫

m ax ∈ I t 1

  

 u s ds ( )  

. (4.8)

∈

(0)

x s ds t ( ) ,

[0,

]

T 1

∫

t z( )

0 ∈ − [

t ( ),

h , 0].

 0 ϕ  =   0 ϕ 

∈

Uρ )

Đặt

 , do đó

( B x t

Từ (4.7), (4.8) suy ra ( ) z t

( ,

)

H G t x G t z t

(

)

δ 2

≥

( )

( ,

)

( ,

)

d z t G t x t

H G t x G t z t t

(

)

•  

  

3 2

Xem lại (4.6) ta có thể viết

( ),

( ,

)

d z t G t z t

• ≥  

  

≥

−

( ),

( ,

)

( ,

)

d z t G t x t

H G t x G t z t t

(

)

•  

  

δ 2

h.k.n trên 1I .

•

( ,

)

Hay

d z t G t z ( ), t

inf ∈ I t 1

  

  

ess

( ),

( ,

)

d z t G t z t

< Tδ δ 1

∫

  

•  

3 2

I 1

−

x t ( )

z t ( )

ε ,

và

Sσ∈ . Hơn nữa, từ (4.8), ta có

< ∀ ∈ và t

I 1

x 0

0 = z ϕ 0

Do đó, (.)z .

Vậy bổ đề đã được chứng minh.

T∈ (0,

]

Bây giờ ta trở lại định lí 4.1

1S ≠ ∅ . Từ bổ đề 4.3, tồn tại

T 0

T 1

0S được định nghĩa như trên với

sao cho

0σ > , (

T= . Do đó, vì bổ đề 4.4 ta 0S là một không gian metric tuyệt đối. Từ bổ đề 3.5, 3.6 ta có với mọi )cSσ là tập của phạm trù thứ nhất trong 0S . Do đó theo định lí phạm trù

Ta cần chứng minh được 0S ≠ ∅ , với được

∞

1 p

≠ ∅

Baire, ta có



= 1

∞

1 p

≠ ∅ ⊂

Mặc khác, rõ ràng

S 1



= 1

1S khác rỗng.

Do đó,

Vậy ta đã chứng minh xong định lí 4.1

∈ ∂

−

• x t ( )

F t x t ( , (

x t ( )),...., (

( )))

T∈ [0,

]

Nhận xét 4.2.1. Ta xét bao hàm thức vi phân có chậm:

r t 1

r t p

θ∈ − [

, 0]h

x θ ϕ θ= ( ) ( )

(a) với

T V× ]

với . (b)

, 0]h

→ liên tục. Khi đó:

] T V

T V× ]

Trong đó các hàm ir (i=1,2,…,p) tương tự như ở bao hàm thức vi phân có chậm ở chương 2; F là hàm đa trị từ [0, vào E với V là hình cầu đơn vị đóng trong E, F có giá trị lồi, đóng, có phần trong khác rỗng trong E, 0 :[ ϕ −

× → đã cho ở trên, liên tục đối với khoảng bị chặn. Khi đó , với

]oh T− ,

]

T∈ (0,

Giả sử hàm đa trị F:[0, cách Hausdorff tương thích với chuẩn trong E và F([0, bao hàm thức vi phân (a)-(b) có nghiệm địa phương trên [

Kết quả này được suy trực tiếp từ định lí 4.1.

∈

−

(.)

[

]

h T ,

4.3. Sự tồn tại nghiệm toàn cục.

(.)x

Định nghĩa 4.2. Ta nói hàm

liên tục tuyệt đối trên [0, là nghiệm toàn cục của (4.1)-(4.2) C ]T , thỏa mãn (4.2) trên [-h,0] và thỏa mãn

]T .

G I C× → có giá trị lồi, đóng, có phần trong khác rỗng

nếu (4.1) hầu khắp [0,

0 Eϕ ∈ cho trước. Giả sử G thỏa các điều kiện sau:

(.,

)

Cϕ∈ ,

G ϕ đo được trên I.

Định lí 4.2. Cho trong E và

−

⊂ U C

[

, 0]

(i) Với mỗi

0ε > , tồn tại

0δ > sao cho với

∈

ϕ '

ϕδ ( , )

Uϕ∈ và mọi

∩ , U

và mọi (ii) Với mỗi tập bị chặn

G tϕ ( , ),

( H G t ( ,

ϕ ε< . )

−

[

, 0]

⊂ U C

mọi

I∈ ,

Uρ > sao cho với h.k t

, tồn tại (iii) Với mỗi tập bị chặn

ρ U

r ϕ inf G t ( , ) ϕ ∈ U

∈

ϕ∈

−

(.)

I ( )

[

, 0]

1 RL

I∈ ,

G t ( ,

ϕ )

t B ( )

(iv) Tồn tại hàm khả tích sao cho với mọi và với h.k

( ⊂ + 1

) ϕ α

]T .

Khi đó bài toán Cauchy (4.1)-(4.2) có nghiệm toàn cục trên [0,

Chứng minh.

(.)x

Trước hết ta xét 2 bổ đề sau:

[

]h T− ,

Bổ đề 4.7. Cho là một nghiệm của bài toán Cauchy (4.3)-(4.4) trên

≤

0 ϕ

x t ( )

s ds ( )

− ) 1

, khi đó

(

) 1 exp(

∫

∈ − [

h T ,

]

. với t

−

, 0]h−

h T ,

(.)x

]

Chứng minh của bổ đề trên có thể tìm được ở [8].

0x ϕ=

]T và thỏa:

, Bổ đề 4.8. Cho G là ánh xạ đa trị thỏa các giả thiết của định lí 4.2. Khi đó tồn → sao cho tại một hàm liên tục liên tục trên [

•

tuyệt đối trên [0,

( )

( ,

)

d x t G t x t

∈ I

  

  

ess inf

Chứng minh.

0 ϕ

s ds ( )

− ) 1

(

) 1 exp(

∫

Đặt

ρ ρ= B

(0,

)

. Từ (i) của bổ đề 4.2 và giả thiết (ii) của định lí 4.2, tồn tại δ và

thỏa

< < +

)

s ds ( )

∫

ϕ∈

(0,

)

I∈ ta có

∀ ∈ Bϕ '

ϕδ ( , )

thỏa, với và với h.k t

ϕ ),

c ( , G t

( ( , H G t

) ϕ < ')

ρ 2

∈

(.)

I ( )

, .

0δ > , ta có thể chọn một số

'm N∈ thỏa

1 RL

s ds ( )

∫

δ + R

I⊂ với

Mặt khác, vì , nên với

µ < ( ) J

T m

. cho mỗi khoảng J

Từ bổ đề 4.1 và điều kiện (iii) của định lí (4.2), tồn tại một hàm đo được

E→ , ' l

0 :[0,

T m

( ,

0 ( ),

( d u t G t ϕ

)0 )

ρ>

']l

sao cho

. h.k.n trên [0,

∈

(0)

[0,

u s ds t ( ) , 0

∫

( ) x t

0 ∈ − [

t ( ),

h , 0].

 0 ϕ  =   0 ϕ 

']l

[

, 0]

h−

x→ từ [0,

Bây giờ ta đặt

l∈ [0,

0δ > , tồn tại

"m N∈ sao cho, với mọi

đến là liên tục trên [0, , với Khi đó, vì ánh xạ

− < 0

T m

−

< .

x t

x 0

0 x ϕ δ t

m m m m

ax{ ',

thỏa , ta có

]T thành m phần bằng nhau

T m

và chia khoảng [0, Đặt , = l

h T− ,

]

bởi các điểm 0, l, 2l,…,…T; i = 1,2,…,m. Ta sử dụng phép nội suy cho hàm (.)x trên [ .

⊂ ϕ α )

Rϕ ≤

∈ u s G s ( , 0 ( )

ϕ 0 + ( ) 1 s

 

Trước hết, vì , và

−

0 ϕ

≤

x t ( )

(0)

s ( )[1

R ds ]

h.k.n trên [0, ]l ta có

∫

−

l∈ [0, ]

< , do đó

x δ 0

∈ t B ϕ δ ) (

, . Điều này chỉ ra Mặt khác, với mỗi

( ),

( ,

)

( ,

)

d x t G t x t

( d u t G t x ( ), t

)

•  

  

≥

0 ϕ

−

0 ϕ

)

c ( , G t x t

( ( , 0 ( ), d u s G t

)

( ( , H G t

)

ρ 2

rằng

(.)x

h.k.n trên [0, ]l .

l+ 1) ]

1) l

, ( i

]il với i m< như sau, cho

hoàn toàn xác định trên [0,

]

[ : iu il

, thỏa mọi tính chất + → là Giả sử hàm yêu cầu. Chúng ta nội suy nó trên [ , ( i

( ,

)

ρ>

( d u t G t x ( ), il

)

i , (

l+ 1)

một hàm đo được sao cho

]

iu như trong điều kiện (iii) của định lí

(tức là tồn tại hàm h.k.n trên [

x t ( )

x il ( )

( )

( ,

)

i , (

l+ 1)

4.2 và bổ đề 4.1).

]

u s ds ( ) i

∈ u s G s x i il

+ ∫

i , (

l+ 1)

, ta xác định . Vì h.k.n Trên [

]

ilx

∈

i , (

l 1)

và trên [ (theo bổ đề 4.7).

[

]

+ ( 1) i

−

≤

x t ( )

x il ( )

s ( )[1

R ds ]

, ta có Do đó, với mỗi

u s ds ( ) i

∫

−

∈

i [ , ( il

l 1) ]

< với mọi

< . Điều này

x t

x δ il

∈

(

Hơn nữa, vì t ta có

x t

B x δ ) il

( ),

( ,

)

( ,

)

d x t G t x t

( ( ), d u t G t x t

)

•  

  

≥

−

( ),

( ,

)

( ,

)

H G t x G t x il t

( d u t G t x t

)

(

)

ρ 2

i , (

l+ 1)

tương đương với và

]

(.)x

. h.k.n trên [

h T− ,

[

]

thỏa các tính chất yêu cầu thì xác định trên toàn bộ

Do đó, với hàm đoạn . Bổ đề đã được chứng minh.

(0,

)

Ta trở lại việc chứng minh định lí 4.2.

T T= 1

∞

1 p

≠ ∅

Dễ thấy rằng ánh xạ đa trị G thỏa mọi giả thiết của định lí 4.1 trên , với R được định nghĩa như trong bổ đề 4.8. Nhớ lại, việc chứng × I B và áp dụng định lí minh định lí 4.1, sử dụng bổ đề 4.4, 4.5, 4.6, với



= 1

Baire về phạm trù với tập (là tập khác rỗng, từ bổ đề 4.8), ta có .

1S ≠ ∅

Do đó, . Định lí đã được chứng minh. với

G∂

Chú ý 4.3.1. Hoàn toàn tương tự như ở sự tồn tại nghiệm địa phương, ta có hệ quả hiển nhiên đối với bao hàm thức vi phân có chậm.

Nhận xét 4.3.1. Trong các kết quả trên đây đối với bao hàm thức vi phân (4.1)-(4.2) các giả thiết đặt lên cho hàm đa trị G chứ không đặt lên cho hàm đa trị .

Nhận xét 4.3.2. Như đã biết, phương trình vi phân với vế phải liên tục trong không gian vô hạn chiều chưa chắc tồn tại nghiệm. Mặc dầu vậy, các kết quả của chương này cho một thí dụ về phương trình vi phân đa trị thực sự trong không gian Banach vô hạn chiều có nghiệm, tuy rằng vế phải của bao hàm thức vi phân (4.1) là không lồi, không đóng và không liên tục.

KẾT LUẬN Bài toán về sự tồn tại nghiệm và các tính chất định tính của các bao hàm thức vi phân phiếm hàm là lĩnh vực được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều người nghiên cứu trong lĩnh vực phương trình vi phân và ứng dụng. Với việc sử dụng rộng rãi và ngày càng hiệu quả nhiều công cụ sâu sắc khác nhau của toán học hiện đại, đặc biệt là các thành tựu mới của giải tích phi tuyến vào giải tích đa trị.

Các hướng nghiên cứu được phát triển về sau như các vấn đề về tồn tại nghiệm và các tính chất định tính của bao hàm thức vi phân phiếm hàm với vế phải là ánh xạ đơn điệu và các vấn đề về tính trù mật của tập nghiệm ,…

Các nội dung chủ yếu của luận văn:

1) Chứng minh các định lí tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn cục của

bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng tổng quát.

2) Nhận được các kết quả về tính phụ thuộc liên tục vào điều kiện đầu và

tham số của tập nghiệm của bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng tổng quát.

3) Ứng dụng các kết quả thu được trong bài toán điều khiển tối ưu.

4) Chứng minh được các kết quả tồn tại nghiệm địa phương và nghiệm toàn

cục của bao hàm thức vi phân phiếm hàm dạng cực biên.

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc PGS.TS Nguyễn Đình Huy đã hết

lòng hướng dẫn giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành luận văn này.

Tôi cũng xin chân thành cảm ơn các PGS,TS của khoa Toán trường

ĐHSP TP Hồ Chí Minh đã tận tình giảng dạy, và hướng dẫn cho học viên

chúng tôi hoàn thành các môn học và các kiến thức mới trong chương trình

đào tạo cao học khóa 21, chuyên ngành Toán giải tích.

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng sau đại học Trường ĐHSP thành phố

Hồ Chí Minh đã tạo điều kiện tốt nhất cho học viên chúng tôi có điều kiện

học tập và nghiên cứu trong suốt quá trình vừa qua.

Tôi xin chân thành cảm ơn.

TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Aubin J.B., Cellina, Differential Inclusions, Springer – Verlag – New York – Berlin, 1984

[2] Berge C., Espaces topologiques et fonctions multivoques, Paris 1959.

[3] Castaing C., Valadier M., Convex analysis and measurable multifunctions.

Lecture Notes in Mathematics, Springer – Verlag, No 580, 1977

[4] P. V. Chuong, A density theorem with application in relaxation of non- convex valued differential equations, J. Math. Anal. Appl. 124 (1987) 1-14.

[5] Edwards R. E.: Functional Analysis, Holt, New York, 1965.

[6] Schaefer H.H. : Topological Vector Spaces, Macmillan Co., New York, 1966.

[7] Nguyen Khoa Sơn and Nguyen Dinh Huy

On the Existence of Solutions for Fucctional Differential Inclusions

Banach Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA, Volume 16, Number 1,

1991)

On The Qualitative Properties Of The Solution Set To Functional

Differential Inclusions In Banch Spaces (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA

19(2)(1991), 45-58)

On The Existence of Solution to Functional Differential Inclusions with

Boundary Values (ACTA MATHEMATICA VIETNAMICA 25:4 (1997) 331-340)

[8] A. Tolstonogov, Differential Inclusions in Banach Spaces, Nauka,