Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:45

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 5
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Dãy số Fibonaci là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho tàng Toán học, nó vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lý thú và ứng dụng quan trọng. Dãy Fibonaci được công bố bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano Bogollo (tên thường gọi là Fibonaci) vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một vài tính chất số học của các dãy số được xây dựng từ các dãy số của Roettger

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ KIM NGÂN MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN THỊ KIM NGÂN MỘT VÀI TÍNH CHẤT SỐ HỌC CỦA CÁC DÃY SỐ ĐƯỢC XÂY DỰNG TỪ CÁC DÃY SỐ CỦA ROETTGER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH Thái Nguyên - 2016
i Mục lục Danh mục ký hiệu ii Mở đầu 1 Chương 1. Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan 4 1.1 Dãy số Roettger . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các kết quả liên quan dãy Roettger . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Chương 2. Dãy {Dn } 17 2.1 Một số tính chất của dãy {Dn } . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Quy tắc phân bố của m trong Dn . . . . . . . . . . . . . . . . . 26 Chương 3. Dãy {En } 28 3.1 Một số kiến thức bổ trợ cho dãy {En } . . . . . . . . . . . . . . 28 3.2 Một số tính chất của dãy {En } . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 Chương 4. Một số bài toán sơ cấp ứng dụng 34 4.1 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Lucas . . . . . . . . . . . . . 34 4.2 Phép kiểm tra tính nguyên tố của Roettger . . . . . . . . . . . . 37 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41
ii Danh mục ký hiệu un = un (p, q) số hạng thứ n của dãy Lucas vn = vn (p, q) số hạng thứ n của dãy Lucas cn = cn (P, Q, R) số hạng thứ n của dãy Roettger wn = wn (P, Q, R) số hạng thứ n của dãy Roettger Un , Vn các dãy Roettger mở rộng gcd(a, b) ước chung lớn nhất của hai số a, b {Dn } dãy Dn {En } dãy En a|b a là ước của b a-b a không là ước của b ω hạng phân bố của m trong {Dn } aλ kb aλ là ước của b nhưng aλ+1 không là ước của b
1 Mở đầu Dãy số Fibonaci là một trong những vẻ đẹp đặc biệt trong kho tàng Toán học, nó vô cùng biến hóa với nhiều tính chất lý thú và ứng dụng quan trọng. Dãy Fibonaci được công bố bởi nhà toán học Ý tên là Leonardo Pisano Bogollo (tên thường gọi là Fibonaci) vào năm 1202 trong cuốn sách Liber Abacci. Nói đến dãy Fibonaci không thể không nói đến dãy số Lucas bởi chúng có mối liên hệ chặt chẽ với nhau. Dãy số Lucas là dãy số được đưa ra bởi nhà toán học Francois E’douard Anatole Lucas (1842-1891). Cũng giống như dãy số Fibonaci, mỗi số trong dãy Lucas được xác định bằng tổng hai số liền nhau đứng trước nó. Dãy số được xác định bởi thương của 2 số Lucas đứng liền nhau sẽ hội tụ đến giới hạn bằng tỉ lệ vàng, đây là một con số diệu kỳ, lí tưởng trong toán học cũng như trong tự nhiên. Việc nghiên cứu các dãy số tương tự như dãy số Lucas đã được rất nhiều nhà toán học trên thế giới quan tâm và có rất nhiều kết quả lý thú. Cho p, q ∈ Z là hai số nguyên thỏa mãn (p, q) = 1, ký hiệu α, β là nghiệm của đa thức bậc hai x2 − px + q và δ = (α − β)2 = p2 − 4q. Lucas đã xây dựng hai dãy số của ông là {un } và {vn } xác định như sau: un = un (p, q) = (αn − β n )/(α − β) và vn = vn (p, q) = αn + β n . Chúng ta đã biết các dãy {un } và {vn } có nhiều tính chất thú vị và có nhiều ứng dụng trong toán học và thực tế. Một cách tương tự như Lucas, Roettger đã xây dựng các dãy {cn } và {wn } như sau: Cho P, Q, R ∈ Z thỏa mãn (P, Q, R) = 1, và α, β, γ là nghiệm của đa thức bậc ba h(x) = x3 − P x2 + Qx − R, với biệt thức ∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 = Q2 P 2 − 4Q3 − 4RP 3 + 18P QR − 27R2 6= 0.
2 Các dãy số Roettger được định nghĩa bởi: (αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn ) cn = cn (P, Q, R) = (α − β)(β − γ)(γ − α) và wn = wn (P, Q, R) = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn . Người ta đã chứng minh được rằng các dãy {cn } và {wn } có nhiều tính chất tương tự những tính chất của dãy Lucas, ví dụ chúng đều là các dãy chia được. Gần đây nhất, các dãy này tiếp tục được mở rộng thêm bởi Roettger, Williams và Guy. Nếu ta ký hiệu γ1 = α/β, γ2 = β/γ, γ3 = γ/α, λ = R, thì ta có thể viết: (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n ) cn = λn−1 , (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 ) wn = vn − 2Rn , trong đó vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ). Ta xác định λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n ) Un = , Vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ), (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 ) trong đó γ1 , γ2 , γ3 , λ ∈ Q với γ1 , γ2 , γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j và γ1 γ2 γ3 = 1. Người ta đã chứng minh được nếu Un , Vn ∈ Z khi n ≥ 0, thì {Un } là dãy đệ quy tuyến tính và cũng là dãy chia được, và khi đó ta có λ = R ∈ Z và ρi = R(γi + 1/γi ) (i = 1, 2, 3) là các nghiệm của đa thức bậc ba g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 , trong đó S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3 và S1 , S2 ∈ Z. Ta có Rγi và R/γi (i = 1, 2, 3) là sáu nghiệm của đa thức G(x) = (x2 − ρ1 x + R2 )(x2 − ρ2 x + R2 )(x2 − ρ3 x + R2 ) = x6 − S1 x5 + (S2 + 3R2 )x4 − (S3 + 2R2 S1 )x3 + R2 (S2 + 3R2 )x2 − R4 S1 x + R6 . Đặt Wn = Vn − 2Rn , thì ta sẽ nhận được các dãy {Un } và {Wn } là các dãy đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x).
3 Ta xác định Dn = gcd(Wn − 6Rn , Un ), En = gcd(Wn , Un ). Ta nhận được các dãy {Dn } và {En } cũng có nhiều tính chất số học tương tự như các dãy {un } và {vn }. Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày các tính chất số học của các dãy {Dn } và {En }. Luận văn gồm 4 chương chính là: Chương 1: Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan Trong chương này trình bày các định nghĩa và các tính chất quan trọng (không chứng minh) của các dãy Lucas, Roettger. Chương 2: Dãy {Dn } Trình bày định nghĩa dãy {Dn }, các tính chất số học của dãy {Dn }. Chương 3: Dãy {En } Trình bày định nghĩa dãy {En } và các tính chất của dãy này. Chương 4: Một số bài toán sơ cấp ứng dụng Trước tiên, tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới PGS.TS. Nông Quốc Chinh, người đã đặt đề tài và tận tình hướng dẫn để luận văn này được hoàn thành. Tôi xin chân thành cảm ơn Khoa Toán - Tin, Phòng Đào Tạo Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi giúp tôi hoàn thành khóa học. Tôi cũng xin được cảm ơn sự nhiệt tình giảng dạy của các thầy, cô trong suốt thời gian tôi học tập. Cuối cùng, tôi xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất tới đại gia đình, bạn bè và các anh chị em đồng nghiệp, những người luôn động viên khích lệ giúp tôi hoàn thành luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn. Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Học viên Nguyễn Thị Kim Ngân
4 Chương 1 Các dãy của Roettger và các kết quả liên quan Trong Chương 1, chúng tôi xin đưa ra khái niệm dãy Lucas, dãy Roettger, một vài tính chất cơ bản, công thức tính và một số kết quả liên quan dãy Roettger. Nội dung chương này chủ yếu theo tài liệu [1], [2] và tham khảo thêm một số tài liệu khác. Các chứng minh chi tiết các định lý và hệ quả đã được trình bày trong các tài liệu [1] và [2] nên ở đây, chúng tôi chỉ nêu kết quả chính mà không chứng minh. 1.1 Dãy số Roettger p Bài toán 1.1.1. Chứng minh rằng nếu phân số tối giản ((p, q) = 1) là q nghiệm của đa thức với hệ số nguyên f (x) = an xn + an−1 xn−1 + · · · + a1 x + a0 thì p là ước của a0 và q là ước của an . p Giải. Giả sử phân thức tối giản là nghiệm của đa thức f (x). Khi đó, ta có q n n−1 p p p p f = an + an−1 + · · · + a1 + a0 = 0. q q q q Từ đó, ta có an pn = −q(an−1 pn−1 + · · · + a1 q n−2 p + a0 q n−1 ) (1.1)
5 và a0 q n = −p(an pn−1 + an−1 pn−2 q + · · · + a1 q n−1 ). (1.2) Từ (1.1) suy ra an pn chia hết cho q mà (p, q) = 1 nên an chia hết cho q. Từ (1.2) suy ra a0 q n chia hết cho p mà (p, q) = 1 nên a0 chia hết cho p. Định nghĩa 1.1.2 (Dãy Lucas). Gọi p, q ∈ Z là các số nguyên tố cùng nhau và α, β là các nghiệm của đa thức bậc hai x2 − px + q với biệt thức δ = (α − β)2 = p2 − 4q. Đặt αn − β n un = un (p, q) = , vn = vn (p, q) = αn + β n . α−β Khi đó, hai dãy {un } và {vn } được gọi là hai dãy Lucas. 1−1 Với n = 0, ta được u0 = = 0, v0 = α0 + β 0 = 2; với n = 1, ta có α−β α−β u1 = = 1 và v1 = α + β = p. α−β Ví dụ 1.1.3. Cho tam thức bậc hai (x − 2)2 = x2 − 4x + 4 không thỏa mãn điều kiện (p, q) = 1 nên không thuộc dạng đang xét. Ví dụ 1.1.4. Cho tam thức bậc hai x2 + 3x + 2, ta được (−1)n − 2n 2n − (−1)n un = = , vn = (−1)n + 2n . −1 − 2 3 Ví dụ 1.1.5. Cho tam thức bậc hai x2 − 5x + 1 (có hai nghiệm không nguyên), ta được √ 5+ 21 n √ 5− 21 n √ !n √ !n 2 − 2 5 + 21 5 − 21 un = √ , vn = + . 21 2 2 Ta vẫn có tính chất un , vn là các số nguyên. Từ định nghĩa, ta có thể chứng minh được cả hai dãy Lucas đều thỏa mãn công thức truy hồi tuyến tính Xn+1 = pXn − qXn−1 .
6 Tức là ta cũng có un+1 = pun − qun−1 và vn+1 = pvn − qvn−1 , trong đó u0 = 0, u1 = 1 và v0 = 0, v1 = p. Từ công thức truy hồi này, ta thể có thể tính được un và vn với mọi giá trị nguyên n. Các dãy Lucas có nhiều tính chất thú vị và có nhiều ứng dụng trong kiểm tra tính nguyên tố của số nguyên lớn, nghiệm của đồng dư thức bậc hai và bậc ba, và trong lý thuyết mật mã (xem [4]). Roettger [2] đề xuất việc mở rộng dãy Lucas bằng cách mở rộng đa thức từ bậc 2 lên bậc n. Trong khuôn khổ luận văn này, chúng tôi chỉ trình bày giới hạn trong đa thức bậc 3. Trong trường hợp này ta gọi P, Q, R ∈ Z là các số nguyên thỏa mãn gcd(P, Q, R) = 1 và gọi α, β, γ là các nghiệm của h(x) = x3 − P x2 + Qx − R, (1.3) với biệt thức ∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 = Q2 P 2 − 4Q3 − 4RP 3 + 18P QR − 27R2 . Giả sử rằng ∆ 6= 0. Định lý 1.1.6 (Định lý Vieta). Ba nghiệm α, β, γ thỏa mãn công thức sau     α+β+γ =P  αβ + βγ + γα = Q   αβγ = R.  Định nghĩa 1.1.7 (Dãy Roettger). Với P, Q, R, α, β và γ xác định như trên, đặt (αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn ) cn = cn (P, Q, R) = (1.4) (α − β)(β − γ)(γ − α) và wn = wn (P, Q, R) = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn . (1.5) Khi đó {cn } và {wn } được gọi là hai dãy Roettger. Với n = 0 thì c0 = 0 và w0 = 2 · 2 · 2 − 2R0 = 6;
7 với n = 1 thì c1 = 1 và w1 = (α + β)(β + γ)(γ + α) − 2R = α2 β + αγ 2 + α2 γ + β 2 γ + αβ 2 + βγ 2 + 2αβγ − 2R = αβ(α + β) + αγ(γ + α) + βγ(β + γ) = (α + β + γ)αβ + (α + β + γ)αγ + (α + β + γ)βγ − 3αβγ = (α + β + γ)(αβ + βγ + γα) − 3αβγ = P Q − 3R. Ví dụ 1.1.8. Đa thức (x − 1)(x − 2)(x − 5) có 3 nghiệm nguyên α = 1, α = 2, α = 5. Ta được (1n − 2n )(2n − 5n )(5n − 1n ) (1n − 2n )(2n − 5n )(5n − 1n ) cn = = (1 − 2)(2 − 5)(5 − 1) 12 wn = (1n + 2n )(2n + 5n )(5n + 1n ) − 2(1 · 2 · 5)n = (1n + 2n )(2n + 5n )(5n + 1n ) − 2 · 10n . Các công thức của dãy Roettger còn được viết dưới dạng tổ hợp tuyến tính của αn β 2n , β n γ 2n , γ n α2n , α2n β n , β 2n γ n , γ 2n αn như sau: (αn β 2n + β n γ 2n + γ n α2n ) − (α2n β n + β 2n γ n + γ 2n αn ) cn = δ và wn = (αn β 2n + β n γ 2n + γ n α2n ) + (α2n β n + β 2n γ n + γ 2n αn ), √ trong đó δ = ∆ = (α − β)(β − γ)(γ − α). Định lý 1.1.9 ([2, tr. 54]). Với m cố định, các dãy {cn } và {wn } thỏa mãn công thức đệ quy Xn+6m = a1 Xn+5m − a2 Xn+4m + a3 Xn+3m − a4 Xn+2m + a5 Xn+1m − a6 Xn , (1.6) trong đó 2 a1 = w m , a2 = (wm − ∆c2m )/4 + Rm wm , a3 = Rm (w2m + 2Rm wm + 2R2m ), a4 = R2m a2 , a5 = R4m a1 , a6 = R6m .
8 Chứng minh. Đặt Am = (αm β 2m + β m γ 2m + γ m α2m ), Bm = (α2m β m + β 2m γ m + γ 2m αm ), thì Am − Bm cm = , wm = Am + Bm . δ Thực hiện các phép tính: a1 = wm = Am + Bm , 2 wm − ∆c2m m (Am + Bm )2 − (Am − Bm )2 a2 = + R wn = + R m wn 4 4 m = Am Bm + R (Am + Bm ), a3 = Rm (w2m + 2Rm wm + 2R2m ) 1 = Rm (∆c2m + wm 2 − 4Rm wm ) + 2Rm wm + 2R2m , 2 m 2 2 − 2Rm wm + 2Rm wm + 2R2m = R A m + Bm = Rm (A2m + Bm 2 + 2R2m ) = (A2m + Bm 2 )Rm + 2R3m , a4 = R2m a2 = Am Bm R2m + (Am + Bm )R3m , a5 = R4m a1 = (Am + Bm )R4m , a6 = R6m . Xét đa thức p(x) = x6 − a1 x5 + a2 x4 − a3 x3 + a4 x2 − a5 x + a6 = x6 − (Am + Bm )x5 + [Am Bm + Rm (Am + Bm )]x4 − [(A2m + Bm 2 )Rm + 2R3m ]x3 + [Am Bm R2m + (Am + Bm )R3m ]x2 − (Am + Bm )R4m x + R6m = x6 + (Am + Bm )[−x5 + Rm x4 + R3m x2 − R4m x] + Am Bm (x4 + R2m x2 ) − (A2m + Bm 2 )Rm x3 − 2R3m x3 + R6m . Ta kiểm tra αm β 2m , β m γ 2m , γ m α2m , α2m β m , β 2m γ m , γ 2m αm đều là nghiệm của p(x). Mặt khác, ta thấy Am − Bm cn = , wn = Am + Bm δ đều là tổ hợp tuyến tính của αm β 2m , β m γ 2m , γ m α2m , α2m β m , β 2m γ m , γ 2m αm nên cn và wn cũng thỏa mãn đa thức p(x).
9 Công thức (1.5) là công thức đệ quy tuyến tính bậc 6 được dùng để tính giá trị của dãy Roettger {cn } và {wn } với mọi n ≥ 0. Hệ quả 1.1.10. Với mọi n ≥ 0, ta có cn , wn ∈ Z. Định lý 1.1.11 ([2, tr. 55]). R2n c−n = −cn và R2n w−n = wn . Tương tự như dãy Lucas, ta cũng có công thức cộng cho dãy Roettger. Định lý 1.1.12 ([2, tr. 56]). 2w2n+m = wn wn+m + ∆cn cn+m − Rn (wn wm − ∆cn cm − 2R2m wn−m ), 2c2n+m = cn+m wn + cn wn+m − Rn (cm wn − cn wm + 2R2m cn−m ). Hệ quả 1.1.13 ([2, tr. 57]). 2w2n = ∆c2n + wn2 − 4Rn wn , c2n = cn (wn + 2Rn ), 4w3n = 3∆c2n (wn + 2Rn ) + wn2 (wn − 6Rn ) + 24R3n , 4c3n = cn (∆c2n + 3wn2 ). Nếu ta thay n bằng m và m bằng n + m trong Định lý 1.1.12, ta bỏ được dấu trừ ở chỉ số dưới trong công thức của wn và cn . Hệ quả 1.1.14 ([2, tr. 58]). 2wn+3m = ∆cm cn+2m + wm wn+2m − Rm wm wn+m + Rm ∆cm cn+m + 2R3m wn 2cn+3m = wm cn+2m + cm wn+2m − Rm wm cn+m + Rm cm wn+m − 2R3m cn . Định lý dưới đây là công thức nhân của wn và cn . Định lý 1.1.15 ([2, tr. 65]). c5n 16 = ∆2 c4n + 20R2n ∆c2n + 20Rn ∆c2n wn + 10∆c2n wn2 + 80R3n wn cn − 20R2n wn2 − 20Rn wn3 + 5wn4 + 80R4n , 16w5n = 5∆2 c4n (wn + 2Rn ) + 10∆c2n (wn3 − 2R2n wn + 4R3n ) + wn (wn4 − 10Rn wn3 + 20R2n wn2 + 40R3n wn − 80R4n ).
10 Một trong những tính chất quan trọng nhất của dãy Lucas {un } với n ≥ 0 đó là nó là một dãy chia được. Định nghĩa 1.1.16. Một dãy số nguyên {An } được gọi là dãy chia được nếu An | Am miễn là n | m và An 6= 0, tức là khi một chỉ số là bội của chỉ số khác thì số hạng tương ứng cũng là bội của số hạng kia. Ví dụ 1.1.17. Mọi dãy có dạng an = kn, với k là số nguyên khác không, là một dãy chia được. Mọi dãy có dạng an = An − B n , với A > B > 0 cũng là dãy chia được. Định lý 1.1.18 ([1]). Dãy số Roettger {cn } (n ≥ 0) là một dãy chia được, tức là cm | cn nếu m | n. Chứng minh. Giả sử m | n, khi đó tồn tại s ≥ 0 sao cho n = ms. Ta có (αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn ) cn (P, Q, R) = (α − β)(β − γ)(γ − α) (α − β ms )(β ms − γ ms )(γ ms − αms ) ms = (α − β)(β − γ)(γ − α) (α − β m )(β m − γ m )(γ m − αm ) m = (α − β)(β − γ)(γ − α) (α − β ms )(β ms − γ ms )(γ ms − αms ) ms · (αm − β m )(β m − γ m )(γ m − αm ) = cm (P, Q, R) · cs (Am , Bm , Rm ), trong đó An = αn + β n + γ n , Bn = αn β n + β n γ n + γ n αn (xem [2]). Lưu ý, dãy Roettger {wn } (n ≥ 0) không nhất thiết là dãy chia được. Xét w1 = (α + β)(β + γ)(γ + α) − 2R = α2 β + αγ 2 + α2 γ + β 2 γ + αβ 2 + βγ 2 + 2αβγ − 2R = αβ(α + β) + αγ(γ + α) + βγ(β + γ) = (α + β + γ)αβ + (α + β + γ)αγ + (α + β + γ)βγ − 3αβγ = (α + β + γ)(αβ + βγ + γα) − 3αβγ = P Q − 3R, w2 = (α2 + β 2 )(β 2 + γ 2 )(γ 2 + α2 ) − 2R2
11 = α2 β 2 (α2 + β 2 ) + α2 γ 2 (γ 2 + α2 ) + β 2 γ 2 (β 2 + γ 2 ) = (α2 + β 2 + γ 2 )(α2 β 2 + β 2 γ 2 + γ 2 α2 ) − 3α2 β 2 γ 2 = [(α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα)] · [(αβ + βγ + γα)2 − 2(αβ 2 γ + α2 βγ + αβγ 2 )] − 3α2 β 2 γ 2 = [(α + β + γ)2 − 2(αβ + βγ + γα)] · [(αβ + βγ + γα)2 − 2αβγ(α + β + γ)] − 3α2 β 2 γ 2 = (P 2 − 2Q)(Q2 − 2RP ) − 3R2 . Nếu ta chọn P = 3, Q = 2R = 0, ta có gcd(P, Q, R) = gcd(3, 2, 0) = 1. Khi đó, w1 = P Q − 3R = 6, w2 = (P 2 − 2Q)(Q2 − 2RP ) − 3R2 = 20, chứng tỏ w2 không là bội của w1 . Vậy dãy Roettger {wn } không là dãy chia được. 1.2 Các kết quả liên quan dãy Roettger Gần đây, các dãy Roettger được tiếp tục mở rộng thêm bởi Roettger và Williams và Guy [3]. Nhắc lại, gọi P, Q, R ∈ Z là các số nguyên thỏa mãn gcd(P, Q, R) = 1, gọi α, β, γ là các nghiệm của h(x) = x3 − P x2 + Qx − R. Đặt γ1 = α/β, γ2 = β/γ, γ3 = γ/α, λ = R, thì theo định lý Vieta cho phương trình bậc ba, ta thu được (αn − β n )(β n − γ n )(γ n − αn ) cn = (α − β)(β − γ)(γ − α) (β − αn )(γ n − β n )(αn − γ n ) n = (β − α)(γ − β)(α − γ) n n n n n n αn β n γ n · β β−α n · γ γ−β n · α α−γ n = αβγ · β−α β · γ−β γ · α−γ α α n β n γ n n−1 R 1− β 1− γ 1− α = 1 − αβ 1 − βγ 1 − αγ λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n ) = . (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 ) Đặt vn = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn )
12 n n nα n β n γ n =α β γ 1+ 1+ 1+ β γ α = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ) thì ta thu được wn = (αn + β n )(β n + γ n )(γ n + αn ) − 2Rn = vn − 2Rn , trong đó vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ). Với α, β, γ là các nghiệm của (1.3) thì ta thu được các dãy {cn } và {wn } hoàn toàn tương tự (1.4) và (1.5). Giả sử ta định nghĩa λn−1 (1 − γ1n )(1 − γ2n )(1 − γ3n ) Un = (1.7) (1 − γ1 )(1 − γ2 )(1 − γ3 ) Vn = λn (1 + γ1n )(1 + γ2n )(1 + γ3n ), (1.8) trong đó λ, γ1 , γ2 , γ3 ∈ Q; γ1 , γ2 , γ3 6= 1; γi 6= γj khi i 6= j và γ1 γ2 γ3 = 1. Trong [3], các tác giả chứng minh rằng nếu Un , Vn ∈ Z (n ≥ 0), {Un } là một dãy đệ quy tuyến tính và {Un } cũng là một dãy chia được, thì λ = R ∈ Z và ρi = R(γi + 1/γi ) (i = 1, 2, 3) phải là các nghiệm của đa thức bậc ba g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 , (1.9) trong đó S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3 (1.10) và S1 , S2 ∈ Z. Với ρi (i = 1, 2, 3) xác định như trên, sáu nghiệm của đa thức G(x) = (x2 − ρ1 x + R2 )(x2 − ρ2 x + R2 )(x2 − ρ3 x + R2 ) = x6 − S1 x5 + (S2 + 3R2 )x4 − (S3 + 2R2 S1 )x3 + R2 (S2 + 3R2 )x2 − R4 S1 x + R6 là Rγi , R/γi (i = 1, 2, 3). Nếu định nghĩa Wn = Vn − 2Rn , (1.11)
13 thì cả {Un } và {Wn } là các dãy đệ quy tuyến tính với đa thức đặc trưng G(x). {Un } và {Wn } là các dãy tổng quát hơn {cn } và {wn }. Ta có: U0 = 0, U1 = 1, U2 = S1 + 2R, U3 = S12 + RS1 − S2 − 3R3 , W0 = 6, W1 = S1 , W2 = S12 − 2S2 − 6R2 , W3 = S13 − 3S1 S2 + 3RS12 − 6RS2 − 3R2 S1 − 12R3 . Hơn nữa, tương tự như Định lý 1.1.11 ta có Un Wn U−n = − , W−n = . R2n R2n Do đó, Un , Wn ∈ Z nếu n ≥ 0. Thêm vào đó trường hợp này {Un } là dãy chia được. Trong [3], các tác giả chỉ ra rằng nếu S1 = P Q − 3R, S2 = P 3 R + Q3 − 5P QR + 3R2 , (1.12) thì Un (S1 , S2 , R) = cn (P, Q, R), Wn (S1 , S2 , R) = wn (P, Q, R). Trong biểu thức (1.7), nếu ta định nghĩa ∆ = λ2 (1 − γ1 )2 (1 − γ2 )2 (1 − γ3 )2 = R2 (γ1 + γ2 + γ3 − 1/γ1 − 1/γ2 − 1/γ3 )2 , (1.13) ta thấy rằng ∆ = S12 − 4S2 + 4RS1 − 12R2 , (1.14) nhưng biểu thức này cũng giống với biệt thức của h(x) là Q2 P 2 −4Q3 −4RP 3 + 18P QR − 27R2 , khi S1 và S2 được cho bởi (1.12). Nếu ký hiệu d là biệt thức của g(x), thì như đã chứng minh trong [3], ta có d = ∆Γ, trong đó Γ = R4 (γ1 − γ2 )2 (γ2 − γ3 )2 (γ3 − γ1 )2 (1.15) = S22 + 10RS1 S2 − 4RS13 − 11R2 S12 + 12R3 S1 + 24R2 S2 + 36R4 . (1.16) Biệt thức D của G(x) được cho bởi D = Ed2 R12 , trong đó E = R2 ∆(S1 + 2R2 ) = (ρ1 − 4R2 )(ρ2 − 4R2 )(ρ3 − 4R3 ).
14 Nếu S1 và S2 được cho bởi (1.12), thì Γ = (RP 3 − Q3 )2 . (1.17) Chú ý, điều kiện tương tự với gcd(P, Q, R) = 1 của các dãy Roettger là gcd(S1 , S2 , R) = 1 cho các dãy tổng quát hơn {Wn } và {Un }. Dạng công thức nhân đôi là 2W2n = Wn2 + ∆Un2 − 4Rn Wn , U2n = Un (Wn + 2Rn ) (1.18) và dạng công thức nhân ba là 4W3n = 3∆Un2 (Wn + 2Rn ) + Wn2 (Wn − 6Rn ) + 24R2n , (1.19) 4U3n = Un (3Wn2 + ∆Un2 ). (1.20) Định lý 1.2.1 ([2, tr. 94]). Nếu p là một số nguyên tố, p - 6R∆, p | Un và p | Wn − 6Rn , thì p3 | Un và p2 | Wn − 6Rn . Định lý 1.2.2 ([1]). Nếu n ≥ 0, thì 2 | gcd(Wn , Un ) khi và chỉ khi 2 | Un . Chứng minh. Điều kiện cần. Giả sử 2 | gcd(Wn , Un ). Đặt a = gcd(Wn , Un ) ∈ Z, thì a | Un . Do 2 | a, nên ta có 2 | Un . U3n Điều kiện đủ. Giả sử 2 | Un . Do Un là dãy chia được nên ta có ∈ Z (n ≥ 0). Un Từ (1.20) kéo theo U3n 4· = 3Wn2 + ∆Un2 Un nên 4 | 3Wn2 + ∆Un2 = 3Wn2 − 3∆Un2 + 4∆Un2 . do vậy 4 | Wn2 − ∆Un2 hay 4 | Wn2 . Suy ra 2 | Wn . Do đó 2 | gcd(Wn , Un ). Chú ý 1.2.3. Khi cho trước S1 , S2 , R ∈ Z không phải lúc nào cũng tồn tại P, Q ∈ Z sao cho (1.12) xảy ra. Ví dụ khi S1 = −1, S2 = −4 và R = 1; ta không thể tìm các số nguyên P, Q sao cho P Q = 2 và P 3 + Q3 = 3. Do đó, các dãy {Wn (S1 , S2 , R)}, {Un (S1 , S2 , R)} biểu diễn phép mở rộng không tầm thường của các dãy Roettger {wn } và {cn }.
15 Bổ đề 1.2.4 ([2, tr. 80, 81]). (i) Nếu 2 - R và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈ 2 2 {0, 1}, và nếu 2 | Wn thì Q˜ n = Wn − ∆Un là số lẻ. 4 ˜n (ii) Nếu 2 | R, 2 - Q và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈ {0, 1}, và nếu 2 | Wn , thì Q lẻ. Từ bổ đề trên ta suy ra được định lý sau. Định lý 1.2.5 ([2, tr. 81]). Nếu gcd(Q, R) = 1 và 2α k gcd(Wn , Un ), thì α ∈ ˜ n lẻ. {0, 1}. Nếu 2 | Wn , thì Q Công thức nhân tổng quát của {Wn } và {Un } được trình bày trong [3]: X m(m − λ0 − 1)! n(λ0 +λ3 ) ˜ λ2 Wmn = (−1)λ0 R Qn vλ1 −λ2 , (1.21) λ1 !λ2 !λ3 ! X m(m − λ0 − 1)! n(λ0 +λ3 ) ˜ λ2 Umn = Un (−1)λ0 R Qn uλ1 −λ2 . (1.22) λ1 !λ2 !λ3 ! P Tổng được lấy trên tập tất cả các số nguyên khác không λ0 , λ1 , λ2 , λ3 thỏa mãn 3 X 3 X λi = iλi = m i=0 i=0 và un = un (P˜n , Q ˜ n ), vn = vn (P˜n , Q ˜ n ), với P˜n = Wn , Q ˜ n = (Wn2 − ∆Un2 )/4. Cho đa thức p(x) trên trường L, mở rộng tách được K của p(x) trên L là trường mở rộng K mà trên đó p phân tích được thành các nhân tử tuyến tính deg(p) Y p(x) = (x − ai ), i=1 trong đó với mỗi i ta có (x − ai ) ∈ K[x]. Cho g(x) = x3 − S1 x2 + S2 x − S3 , trong đó S3 = RS12 − 2RS2 − 4R3 , S1 , S2 ∈ Z. Cho số nguyên tố p - 6∆R. Có ba khả năng của mở rộng tách được K của h(x) ∈ Fp [x]: 1. nếu K = Fp , ta nói rằng p là một S-nguyên tố, 2. nếu K = Fp2 , ta nói rằng p là một Q-nguyên tố, 3. nếu K = Fp3 , ta nói rằng p là một I-nguyên tố.
16 Ta có δ = (α − β)(β − γ)(γ − α), ∆ = (α − β)2 (β − γ)2 (γ − α)2 . Nếu p là Q-nguyên tố, ta có thể giả sử α ∈ Fp , β, γ ∈ Fp2 \Fp . Nên αp = α, β p = γ và γ p = β. Khi đó, trong K, δ p = (α − β)p (β − γ)p (γ − α)p = (αp − β p )(β p − γ p )(γ p − αp ) = (α − γ)(γ − β)(β − α) = −δ. Nên δ p−1 = −1 ⇔ ∆(p−1)/2 = −1 ⇔ ∆p = −1. Nếu p là S-nguyên tố thì αp = α, β p = β, γ p = γ , và nếu p là I-nguyên tố thì αp = β, β p = γ, γ p = α. Trong hai trường hợp này δ p = δ ⇒ ∆p = 1. Do đó p là Q-nguyên tố khi và chỉ khi ∆p = −1. Bổ đề 1.2.6 ([3]). (i) Nếu p là S-nguyên tố thì γip = γiε , (i = 1, 2, 3), (ii) Nếu p là Q-nguyên tố thì γ2p = γ3ε , γ3p = γ2ε , γ3p = γ1ε , (iii) Nếu p là I-nguyên tố thì γ1p = γ2ε , γ2p = γ3ε , γ3p = γ1ε , với ε = ( ∆p ). Định nghĩa Dn = gcd(Wn − 6Rn , Un ) và En = gcd(Wn , Un ). Khi đó, các dãy {Dn } và {En } có nhiều tính chất lý thuyết chung với {un } và {vn }. Một số tính chất đã được trình bày trong [3] mà chưa có chứng minh. Trong Chương 2 và Chương 3 của luận văn này sẽ trình bày một số kết quả mới liên quan {Dn } và {En }.