ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ----------------------------------------
ĐẶNG VĂN THẮNG
NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
THÁI NGUYÊN – 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM ---------------------------------------- ĐẶNG VĂN THẮNG NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-AMPERE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS. Phạm Hiến Bằng
THÁI NGUYÊN - 2017
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi. Các tài liệu
trong luận văn là trung thực. Luận văn chưa từng được công bố trong bất cứ
công trình nào.
Tác giả
Đặng văn Thắng
i
LỜI CẢM ƠN
Bản luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm - Đại học
Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn của PGS.TS. Phạm Hiến Bằng. Nhân dịp này
tôi xin cám ơn Thầy về sự hướng dẫn hiệu quả cùng những kinh nghiệm trong
quá trình học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo- Bộ phận Sau Đại học, Ban chủ
nhiệm Khoa Toán, các thầy cô giáo Trường Đại học Sư phạm - Đại học Thái
Nguyên, Viện Toán học và Trường Đại học Sư phạm Hà Nội đã giảng dạy và
tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trong quá trình học tập và nghiên cứu khoa học.
Xin chân thành cảm ơn Trường THPT Lương Tài 2 – Bắc Ninh cùng các
đồng nghiệp đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi về mọi mặt trong quá trình học tập và
hoàn thành bản luận văn này.
Bản luận văn chắc chắn sẽ không tránh khỏi những khiếm khuyết vì vậy rất
mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn học viên
để luận văn này được hoàn chỉnh hơn.
Cuối cùng xin cảm ơn gia đình và bạn bè đã động viên, khích lệ tôi trong
thời gian học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Tháng 04 năm 2017
Tác giả
Đặng Văn Thắng
ii
MỤC LỤC
LỜI CAM ĐOAN i
LỜI CẢM ƠN ii
MỤC LỤC iii
1 MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài 1
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu 1
3. Phương pháp nghiên cứu 2
4. Bố cục luận văn 2
3 Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hòa dưới 3
1.2. Hàm cực trị tương đối 6
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức 9
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford-Taylor 12
17 Chương 2. NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ MONGE-
AMPÈRE TRONG CÁC LỚP CEGRELL
2.1. Các lớp Cegrell 17
2.2. Sự hội tụ theo dung lượng 18
2.3. Một vài định lý hội tụ 20
2.4. Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng 28
41 KẾT LUẬN
42 TÀI LIỆU THAM KHẢO
iii
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Toán tử Monge-Ampère phức
đối với lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, một khái niệm đóng vai trò quan trọng trung tâm trong lý
thuyết đa thế vị được E. Bedford và B.A. Taylor [2] xây dựng từ năm 1982.
Đồng thời các tác giả đã thiết lập và sử dụng nguyên lý so sánh để nghiên cứu
các bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức trong
. Bài toán mở rộng miền xác định của toán tử Monge-Ampère
đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều tác giả. Năm 1998, Cegrell [3]
định nghĩa các lớp năng lượng trên đó toán tử Monge-Ampère phức
hoàn toàn xác định. Năm 2004, Cegrell [4] định nghĩa các lớp và chỉ ra
rằng lớp là lớp hàm định nghĩa tự nhiên của toán tử Monge-Ampère phức
. Đó là lớp hàm lớn nhất trên đó toán tử Monge – Ampère xác định, liên
tục dưới dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới. Các lớp này còn được gọi là các
lớp Cegrell. Nghiên cứu các lớp này dẫn đến nhiều kết quả như nguyên lý so
sánh, giải bài toán Dirichlet [5]. Nguyên lí so sánh cổ điển của Bedford và
Taylor có ứng dụng trong việc giải bài toán Dirichlet trong trường hợp . Gần
đây, nhiều tác giả đã quan tâm nghiên cứu nguyên lý so sánh trong trong một
số lớp tổng quát hơn từ đó áp dụng việc giải bài toán Dirichlet trong các lớp
tổng quát đó. Theo hướng nghiên cứu này, chúng tôi chọn đề tài: “Nguyên lý so
sánh đối với toán tử Monge-Ampère phức trong các lớp Cegrell ”.
2. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
2.1. Mục đích nghiên cứu
Mục đích của luận văn là nghiên cứu và trình bày lại các kết quả của
N.V. Khue và P.H. Hiep ([8]) về Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-
Ampère phức trong các lớp Cegrell.
1
2.2. Nhiệm vụ nghiên cứu
Nghiên cứu một số kiến thức cơ sở trong lý thuyết đa thế vị, nguyên lí
so sánh trong các lớp Cegrell và một vài áp dụng.
3. Phương pháp nghiên cứu
Sử dụng phương pháp của lý thuyết đa thế vị phức.
4. Bố cục của luận văn
Nội dung luận văn gồm 42 trang, trong đó có phần Mở đầu, hai chương
nội dung, phần Kết luận và danh mục Tài liệu tham khảo, được viết dựa trên
các tài liệu [1] và [8].
Chương 1: Trình bày tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính
chất của hàm đa điều hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère,
nguyên lý so sánh Bedford-Taylor.
Chương 2: Là nội dung chính của luận văn. Kết quả chính của chương là
Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh kiểu Xing. Trong Mục 2.1, chúng
tôi nhắc lại một số lớp Cegrell. Trong Mục 2.2, nhắc lại khái niệm dung lương
và sự hội tụ theo dung lượng. Mục 2.3, trình bày các nghiên cứu về sự hội tụ
của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo dung lượng. Mục 2.4 tập trung
vào các Định lý 2.4.2 và 2.4.9. Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về
các lớp Cegrell. Trong Định lý 2.4.4, trình bày ước lượng địa phương đối với
độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối Bedford-Taylor.
Trong phần áp dụng, trong Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả phân rã các độ đo
Monge – Ampère, tương tự Định lý 6.1 ([3]). Cuối cùng từ Mệnh đề 2.3.3 và
Định lý 2.4.2, ta có nguyên lý so sánh kiểu Xing đối với lớp và .
Cuối cùng là phần kết luận trình bày tóm tắt kết quả đạt được.
2
Chương 1
CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ
1.1. Hàm đa điều hoà dưới
Định nghĩa 1.1.1. Cho là một tập con mở của và là
một hàm nửa liên tục trên và không trùng với trên bất kỳ thành phần liên
thông nào của . Hàm được gọi là đa điều hoà dưới nếu với mỗi và
, hàm là điều hoà dưới hoặc trùng trên mỗi thành
phần của tập hợp .
Kí hiệu là lớp tất cả các hàm đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất của hàm đa điều hoà dưới:
Mệnh đề 1.1.2. Nếu và hầu khắp nơi trong thì
.
Mệnh đề 1.1.3. Hàm đa điều hoà dưới thoả mãn nguyên lý cực trị trong miền
và
bị chặn, tức là nếu là một tập con mở liên thông bị chặn của
thì hoặc là hằng hoặc với mỗi ,
.
Định lý 1.1.4. Cho là một tập con mở trong . Khi đó
Họ là nón lồi, tức là nếu là các số không âm và
thì .
3
Nếu là liên thông và là dãy giảm thì
hoặc .
Nếu , và nếu hội tụ đều tới trên các tập
con compact của thì .
Giả sử sao cho bao trên của nó là bị
chặn trên địa phương. Khi đó hàm chính qui nửa liên tục trên là đa điều
hoà dưới trong .
Mệnh đề 1.1.5. Giả sử là tập mở, là tập con mở thực sự, khác
rỗng của . Giả sử và
với mọi . Khi đó
là hàm đa điều hoà dưới trên .
Chứng minh. Rõ ràng là nửa liên tục trên trên . Chỉ cần chứng tỏ nếu
sao cho thì
Với , chọn đủ bé để
4
Khi đó
Từ đó .
Chứng minh tương tự cho trường hợp , ở đó là bao đóng của
. lấy trong . Chỉ cần xét trường hợp . Khi đó
Vậy
và mệnh đề được chứng minh.
Định lý 1.1.6. Cho là một tập con mở của .
Cho là các hàm đa điều hoà trong và . Nếu là lồi,
thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , , và trong . Nếu là lồi
và tăng dần thì là đa điều hoà dưới trong .
Cho , trong , và trong . Nếu
là lồi và thì .
Định lý 1.1.7. Cho là một tập con mở của và
là một tập con đóng của ở đây .
Nếu là bị chặn trên thì hàm xác định bởi
5
là đa điều hoà dưới trong .
1.2. Hàm cực trị tương đối
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử là một tập con mở của và là tập con của .
Hàm cực trị tương đối đối với trong được định nghĩa là:
( ).
Hàm là đa điều hoà dưới trong .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của các hàm cực trị tương đối.
Mệnh đề 1.2.2. Nếu thì .
Định nghĩa 1.2.3. Miền bị chặn gọi là miền siêu lồi nếu tồn tại một
hàm đa điều hoà dưới âm, liên tục sao cho với
.
Mệnh đề 1.2.4. Nếu là miền siêu lồi và là một tập con compact tương đối
của thì tại điểm bất kỳ ta có
.
Chứng minh. Nếu là một hàm vét cạn đối với thì với số nào
đó, trên . Như vậy trong . Rõ ràng,
và như vậy chúng ta thu được kết quả cần tìm.
Mệnh đề 1.2.5. Nếu là miền siêu lồi và là một tập compact
6
sao cho thì là hàm liên tục.
Chứng minh. Lấy và ký hiệu là họ các hàm . Giả sử
là hàm xác định của sao cho trên K. Khi đó trong . Chỉ
cần chứng minh rằng với mỗi tồn tại . Sao cho
trong . Thật vậy, lấy tồn tại sao cho
trong và , trong đó
.
Theo Định lý xấp xỉ chính đối với các hàm đa điều hoà dưới và Định lý Dini
có thể tìm được sao cho trên và
trên . Đặt
Khi đó C( ) ∩ F và như vậy
tại mỗi điểm trong .
Mệnh đề 1.2.6. Cho
là tập mở liên thông và
. Khi đó các điều
kiện sau tương đương :
;
Tồn tại hàm âm sao cho
7
Chứng minh. là hiển nhiên. Thật vậy, nếu như ở trên thì
với mọi , từ đó hầu khắp nơi trong . Như vậy
. Bây giờ giả sử . Khi đó tồn tại sao cho
. Bởi vậy, với mỗi , có thể chọn một sao cho
và .
Đặt
Chú ý rằng , âm trong , và .
Đồng thời là giới hạn của dãy giảm của các tổng riêng của các hàm đa điều
hoà dưới. Vì nên ta kết luận .
Mệnh đề 1.2.7. Cho là tập con mở liên thông của . Giả sử ,
trong đó với . Nếu với mỗi thì .
Chứng minh. Chọn sao cho và . Lấy điểm
. Bằng cách mở rộng mỗi hàm bởi một hằng số
dương thích hợp, ta có thể giả thiết . Khi đó
, và . Suy ra .
Mệnh đề 1.2.8. Cho là tập con siêu lồi của và là một tập con
compact của . Giả thiết rằng là một dãy tăng những tập con mở của
8
và
sao cho . Khi đó .
Chứng minh. Lấy điểm . Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử rằng
. Giả sử là một hàm vét cạn đối với sao cho
trên . Lấy sao cho . Khi đó tồn tại sao cho
tập mở là tập compact tương đối trong . Lấy
và
sao cho trên trên . Khi đó
xác định một hàm đa điều hoà dưới; hơn nữa và . Như vậy
. Vì là một phần tử tuỳ ý của họ , nên ta có
Do đó ta có với mọi và
nhỏ tuỳ ý, suy ra điều phải chứng minh.
1.3. Toán tử Monge-Ampère phức
Giả sử và . Nếu thì toán tử:
,
với là yếu tố thể tích trong gọi là toán tử Monge-Ampère. Toán tử này
9
có thể xem như độ đo Radon trên , tức là phiếm hàm tuyến tính liên tục trên
không gian các hàm liên tục với giá compact trên
.
Bedford và Taylor đã chứng minh rằng nếu là đa điều hoà dưới bị chặn
địa phương trên thì tồn tại dãy sao cho
và hội tụ yếu tới độ đo Radon trên tức là:
.
Hơn nữa không phụ thuộc vào việc chọn dãy như trên, ta ký hiệu:
và gọi là toán tử Monge-Ampère của .
Sau đây là một vài tính chất cơ bản của toán tử toán tử Monge-Ampère.
Mệnh đề 1.3.1. Giả sử là dạng lớp trên tập mở
và là dòng với . Khi đó
.
Mệnh đề 1.3.2. Giả sử là dãy các độ đo Radon trên tập mở hội
tụ yếu tới độ đo Radon . Khi đó
Nếu là tập mở thì .
Nếu là tập compact thì .
Nếu compact tương đối trong sao cho thì
10
.
Chứng minh. Ta có . Giả sử là tập
compact. Lấy , và trên . Khi đó
.
Từ đó
.
Ta có . Giả sử là một lân
cận mở của và , và trên . Khi đó
.
Từ đó
.
. Khi đó Viết
.
Mặt khác
.
Từ đó
.
11
Mệnh đề 1.3.3. Giả sử là miền bị chặn và
sao cho trên và . Giả sử là dòng
dương, đóng trên . Khi đó
.
Đặc biệt, nếu thì .
1.4. Nguyên lý so sánh Bedford và Taylor
Định lý 1.4.1. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho . Khi đó
. (1.1)
Chứng minh. Theo giả thiết ta có , nghĩa là với mọi
tồn tại sao cho thì . Hơn nữa khi
thay bởi thì khi . Nếu bất đẳng
thức (1.1) đúng trên thì cho suy ra (1.1) đúng trên
. Vì vậy có thể giả sử . Vậy
.
Giả sử là các hàm liên tục. Khi đó là tập mở, liên
tục trên và trên . Với , đặt .
Từ giả thiết suy ra hay
12
với gần biên . Vậy gần biên
và trên . Theo công thức Stokes ta có
, hay
.
Vì nên . Vậy ta có
.
Giả sử tùy ý và là miền sao cho . Tồn tại
hai dãy và các hàm đa điều hòa dưới trơn trên lân cận của giảm tới
và sao cho trên với mọi . Có thể coi . Lấy
và giả sử là tập mở sao cho , là các hàm liên
tục trên . Theo Định lí Tietze tồn tại hàm liên tục trên sao cho
trên . Ta có
.
và vì là tập mở nên Nhưng
,
vì và hội tụ yếu tới .
13
và suy ra Từ
.
Áp dụng vào các hàm liên tục và ta thu được
.
Do đó
.
Hơn nữa
và do là tập compact và nên ta có
.
Do tùy ý nên ta được
.
Từ đó với mọi ta có
14
.
Nhưng
và
khi . Do đó
.
Hệ quả 1.4.2. (Nguyên lý so sánh). Giả sử là miền bị chặn trong và
sao cho ,
trên . Khi đó trên .
Chứng minh. Đặt , với được chọn đủ lớn sao cho
trên . Giả sử . Khi đó có sao cho
và do đó nó có độ đo Lebesgue dương. Theo Định lí 1.4.1 ta có
và ta gặp phải mâu thuẫn. Vậy trên .
15
Hệ quả 1.4.3. Giả sử là miền bị chặn và sao
cho và . Khi đó trên .
Chứng minh. Tương tự như Hệ quả 1.4.2. Giả sử . Khi đó có
sao cho và do đó có độ đo Lebesgue dương. Chú ý
rằng do nên . Khi đó như chứng minh của Hệ
quả 1.4.2 ta sẽ gặp mâu thuẫn:
.
16
Chương 2
NGUYÊN LÝ SO SÁNH ĐỐI VỚI TOÁN TỬ
MONGE-AMPÈRE PHỨC TRONG CÁC LỚP CEGRELL
Chương này trình bày nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge-Ampère
phức trong các lớp Cegrell. Kết quả chính của chương là Định lý 2.4.2 và một
vài nguyên lý so sánh kiểu Xing. Đó là tổng quát hóa Bổ đề 5.4 trong [3] và Bổ
đề 3.4 trong [7].
2.1. Các lớp Cegrell (xem [3] và [4])
Ký hiệu là miền siêu lồi bị chặn trong . là lớp các hàm
đa điều hòa dưới âm trên . Ta có các định nghĩa sau:
Định nghĩa 2.1.1.
,
tồn tại lân cận của ,
, trên sao cho
là tập đa cực trong . với mọi
Trong [4], Cegrell đã chứng minh rằng
.
17
Định nghĩa 2.1.2.
.
2.2. Sự hội tụ theo dung lượng
Định nghĩa. 2.2.1. Dung lượng theo nghĩa Bedford và Taylor của đối
với được xác định bởi
.
với mọi tập hợp Borel trong .
Trong [2], Bedford và Taylor đã chứng minh
,
ở đó là chính qui hóa trên của hàm cực trị tương đối đối với , tức là
. trên
Các khái niệm sau được tham khảo trong [9].
Định nghĩa 2.2.2. Dãy hàm trên được gọi là hội tụ tới một hàm theo
dung lượng trên nếu với mọi , ta có:
khi
18
Định nghĩa 2.2.3. Họ các độ đo dương trên được gọi là liên tục tuyệt
đối đều đối với dung lượng trong nếu với mỗi tồn tại
sao cho với mỗi tập con Borel với thì xảy
ra với mọi . Ta viết trong đều đối với .
Định nghĩa 2.2.4. Cho là tập con hữu hạn của .
Hàm Green đa phức (theo Lelong) với các cực trong A được xác định bởi :
,
trong đó
Đặt
Định nghĩa 2.2.5. nếu với mỗi đều tồn tại một tập
compact trong sao cho
với và
với .
Định lý 2.3.6. (Nguyên lý so sánh của Xing ([9]). Cho là một tập con
mở, bị chặn và thỏa mãn: . Khi đó
với và mọi với ta có
19
2.3. Một vài định lý hội tụ
Để nghiên cứu sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo
dung lượng, ta cần một số bổ đề sau:
Bổ đề 2.3.1. Cho sao cho trên và
.
Khi đó
với mọi với mọi dòng dương, đóng .
Chứng minh. Trước tiên, ta giả sử , trên và
trên , . Áp dụng công thức Stokes ta có:
20
Trong trường hợp tổng quát, với mỗi , đặt . Khi đó
trên trên và trên với . Do đó
Vì khi , nên cho , ta nhận được
Bổ đề 2.3.2. Cho sao cho trên và
. Khi đó với ta có:
và với với mọi
mọi
Chứng minh. Để đơn giản, ta đặt
Giả sử , trên và trên ,
Áp dụng Bổ đề 2.3.1 ta nhận được
21
Trong trường hợp tổng quát, với mỗi đặt . Khi đó
trên , trên và trên với . Do đó
Vì , hội tụ yếu đến khi
và nửa liên tục dưới , nên cho ta nhận được
Mệnh đề 2.3.3.
22
Cho sao cho trên . Khi đó với
với mọi và mọi
Cho sao cho trên và trên với nào
đó. Khi đó với ta có:
và với mọi với mọi
Chứng minh.
Cho như trong định nghĩa của lớp . và
Bằng cách thay bởi , ta có thể giả sử với Theo
Bổ đề 2.3.2 ta có:
(2.1)
với Theo Mệnh đề 5.1 trong [4], cho trong bất đẳng thức
(2.1) ta được
23
với Lại theo Mệnh đề 5.1 trong [4], cho ta có điều phải
chứng minh.
Cho là các tập con mở sao cho . Theo chú ý sau
Định nghĩa 4.6 trong [4] ta có thể chọn một hàm sao cho và
trên W. Đặt :
Vì trên nên ta có Dễ thấy
và trên W. Theo ta có :
Vì trên nên ta có
Do trên W và trên nên ta nhận được
24
Mệnh đề 2.3.4. Cho sao cho trên . Khi đó:
với mọi
Chứng minh. Mệnh đề được suy ra từ Mệnh đề 2.3.3 với và với
được thay thế bằng .
Định lý 2.3.5. Cho sao cho Giả sử với
và với mọi khi
Khi đó theo dung lượng trên mỗi khi
Chứng minh. Cho và Đặt:
Ta chứng minh khi Do tính tựa liên tục của và , với
và , sao cho cho trước, tồn tại tập mở
liên tục. Ta có:
trong đó là các tập hợp compact trong và
25
.
Ta sẽ chứng minh . Thật vậy, theo Mệnh đề 2.3.4 ta có:
Vì nên tồn tại sao cho:
Theo giả thiết
với .
Do vậy
với
Vậy và định lý được chứng minh.
Mệnh đề 2.3.6. Cho là hàm Green đa cực trên sao cho:
26
và
Khi đó khi theo dung lượng.
Chứng minh. Theo giả thiết, ta có:
và
khi với
Theo Định lý 2.3.5 ta có khi theo Dung lượng.
Phần này kết thúc với tiêu chuẩn về tính đa cực.
Định lý 2.3.7. Cho sao cho . Khi đó tồn tại một
hằng số sao cho:
là tập đa cực.
Chứng minh.
Với mỗi đặt Theo [6], và
27
Theo [4] ta có .
Theo Mệnh đề 3.1 trong [6] ta có:
trong đó
Theo [2] ta có:
.
2.4. Một vài tính chất của các lớp Cegrell và ứng dụng
Bổ đề 2.4.1. Cho và là hàm đo được trên là độ đo Borel trên
Khi đó các khẳng định sau là tương đương :
với mọi tập hợp Borel
với mọi tập hợp Borel trong .
Chứng minh.
Suy ra từ
Ta chỉ cần chứng minh trên mỗi Theo Định
lý phân hoạch Hahn, tồn tại các tập con đo được và của sao cho
và trên , trên . Ta có:
28
và
Từ đó . Do đó, ta có . trên
Định lý 2.4.2. Cho , và
Khi đó
.
Chứng minh.
Trước tiên, ta chứng minh với . Theo chú ý sau Định nghĩa 4.6
trong [4], không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử . Sử dụng
Định lý 2.1 trong [4], ta có thể tìm được
Vì mở nên ta có:
.
Do đó, từ suy ra
,
trong đó . Theo Hệ quả 5.2 trong [4], ta có:
29
,
.
Do đó, .
Sử dụng Bổ đề 2.4.1, ta có:
trên
Giả sử . Vì , nên ta chỉ cần
chứng minh:
trên
với mọi . Vì ta có: nên theo
(2.2)
(2.3)
. (2.4)
trên tập hợp mở ta có Vì
.
và (2.2), (2.3),(2.4) nên Vì
.
30
Mệnh đề 2.4.3. Cho sao cho . Khi đó
trong đó là hàm đặc trưng của .
Cho là độ đo dương triệt tiêu trên mọi tập hợp con đa cực của . Giả sử
. Khi đó . sao cho
Chứng minh.
Với mỗi , đặt . Vì
với nên tồn tại sao cho với . Mặt khác,
vì nên ta có
. với
Theo Định lý 2.4.2 ta có
+
31
Cho và theo chú ý sau Định lý 5.15 trong [4], ta nhận được
,
vì và khi .
Lập luận tương tự như .
Mệnh đề 2.4.4. Cho và . Khi đó
với mọi tập hợp Borel
khi với mọi
trong đó .
Chứng minh. Ta có thể giả sử với . Mặt khác, theo chú
ý sau Định nghĩa 4.6 trong [4] ta lại giả sử .
Với mỗi tập hợp mở , áp dụng Mệnh đề 2.3.3 và Hệ quả 5.6 trong [4]
ta nhận được
32
Do đó
với mọi tập hợp Borel .
Theo Mệnh đề 2.3.3 ta có
.
Từ đó với mọi . Cho và
sao cho . Khi đó
với mọi , trong đó là hàm Green của với cực tại a. Vì
, nên suy ra.
33
khi
Do đó
khi . Điều này có nghĩa là
khi
Kết hợp điều này với bất đẳng thức:
Ta nhận được
Định lý 2.4.5. Cho . Khi đó tồn tại sao cho
.
Chứng minh. Trước tiên, ta viết
trong đó
34
.
dễ thấy trong mỗi . Thật vậy theo Định lý 2.4.2 ta có
.
Từ đó, theo Định lý 2.4.4 suy ra:
trong mỗi . Vấn đề còn lại là chỉ ra rằng tồn tại sao cho
.
Cho là một dãy tăng vét cạn của . Với mỗi đặt .
Khi đó tồn tại sao cho . Chú ý rằng và
. Áp dụng nguyên lý so sánh ta được
Do đó, và .
Hệ quả 2.4.6. Cho . Khi đó các khẳng định sau là tương đương:
trong mỗi
,
khi với mọi .
35
Chứng minh. Áp dụng trực tiếp Định lý 2.4.5 ta sẽ có kết quả.
Nguyên lý so sánh đối với lớp đã được nghiên cứu trong [5]. Tuy nhiên
bằng cách dùng Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2, ta cũng nhận được nguyên lý
so sánh dạng Xing đối với lớp .
Định lý 2.4.7. Cho , và . Khi đó
và mọi với mọi
Chứng minh. Cho , đặt . Theo trong Mệnh đề 2.3.3
ta có
và sử dụng Định lý 2.4.2 ta có Vì
36
.
Cho ta được
Hệ quả 2.4.8. Cho : với mọi thỏa mãn
Khi đó
với mọi và với mọi
Chứng minh. Cho là một dãy tăng vét cạn các tập con compact tương đối
của . Đặt , trong đó là hàm đặc trưng của .
Áp dụng Định lý 2.4.2 ta có
37
Lấy . Đặt trong đó . Khi
đó trên và
.
Theo Định lý của Kolodziej ([7]) tồn tại sao cho
với mọi . Theo nguyên lý so sánh, ta có . Mặt khác vì
nên suy ra
, yếu khi
. Theo giả thiết, ta có . Áp Do vậy
dụng Định lý 2.4.7 ta có:
Cho ta được
38
Lập luận tương tự như trong Định lý 2.4.7, ta chứng minh được nguyên
lý so sánh Xing đối với lớp .
Định lý 2.4.9. Cho và sao cho . Khi
đó
với mọi , và .
Chứng minh. Cho . Ta đặt . Theo trong Mệnh đề
2.3.3 ta có
Vì và áp dụng Định lý 2.4.2 ta có
39
Cho ta được
.
40
KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày:
- Tổng quan và hệ thống các kết quả về một số tính chất của hàm đa điều
hoà dưới, hàm cực trị tương đối, toán tử Monge-Ampère, nguyên lý so
sánh Bedford-Taylor.
- Khái niệm về các lớp Cegrell, các khái niệm dung lương và sự hội tụ
theo dung lượng. Sự hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới theo
dung lượng. Kết quả tương tự nguyên lý so sánh của Xing ([5])
(Mệnh đề 2.3.3).
- Điều kiện đủ đối với sự hội tụ theo dung lượng của dãy các hàm đa
điều hòa dưới trong lớp (Định lý 2.3.5).
- Áp dụng Định lý 2.3.5, ta có các kết quả về sự hội tụ của các hàm Green
đa cực và tiêu chuẩn đối với tính đa cực.
- Kết quả chính của luận văn là Định lý 2.4.2 và một vài nguyên lý so sánh
kiểu Xing. Áp dụng Định lý 2.4.2, ta có một vài kết quả về các lớp
Cegrell. Trong Định lý 2.4.4, chúng tôi đã trình bày ước lượng địa
phương đối với độ đo Monge – Ampère theo nghĩa dung lượng tương đối
Bedford-Taylor. Trong phần áp dụng, Định lý 2.4.5 đã chỉ ra kết quả
phân rã các độ đo Monge – Ampère. Cuối cùng là nguyên lý so sánh kiểu
Xing đối với lớp và được suy ra từ Mệnh đề 2.3.3 và Định lý 2.4.2.
41
TÀI LIỆU THAM KHẢO
TIẾNG VIỆT
[1]. Nguyễn Quang Diệu và Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị ,
Nxb Đại học sư phạm.
TIẾNG ANH
[2]. Bedford. E and Taylor B.A (1982), “A new capacity for
plurisubharmonic functions”, Acta Math., 149, 1-40.
[3]. Cegrell. U (1998), “Pluricomplex energy”, Acta Math., 180, 187-217.
[4]. Cegrell. U (2004), “The general definition of the complex Monge-
Ampère operator”, Ann. Inst. Fourier (Grenoble) 54, 159-179.
[5]. Cegrell .U (2008), “A general Dirichlet problem for the complex
Monge-Ampère operator”, Ann. Polon. Math., 94, 131-147.
[6]. Cegrell. U, Kolodziej. S and Zeriahi. A (2005), “Subextention of
plurisubharmonic functions with weak singularities”, Math. Zeit., 250, 7-
22.
[7]. Kolodziej. S (1995), “The range of the complex Monge-Ampère
operator”, II, Indiana Univ. Math. J., 44, 765-782.
[8]. Khue. N.V and Hiep. P.H (2009), “A comparison principle for the
complex Monge-Ampère operator in Cegrell’s classes and applications”,
Trans. Amer. Math. Soc. Vol 361, No 10, 5539–5554
[9]. Xing. Y (1996), “Continuity of the complex Monge-Ampère operator”.
Proc. Amer. Math. Soc., 124, 457-467.
42
