Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:41

Thêm vào BST

Báo xấu

20
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh rằng một dãy lặp {xn} hội tụ mạnh đến x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2015
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC NGUYỄN BÍCH LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH CẢI BIÊN CHO THUẬT TOÁN ĐIỂM GẦN KỀ TÌM KHÔNG ĐIỂM CỦA TOÁN TỬ ĐƠN ĐIỆU Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG Thái Nguyên - 2015
i Mục lục Lời cảm ơn ii Danh sách ký hiệu iii Lời mở đầu 1 1 Một số vấn đề cơ bản 2 1.1 Không gian Hilbert và một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert . . . 5 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu . 11 2 Phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề tìm không điểm của toán tử đơn điệu 17 2.1 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Mô tả phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.3 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Kết luận 34 Tài liệu tham khảo 35
ii Lời cảm ơn Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GS.TS Nguyễn Bường, người đã tận tình chỉ bảo, định hướng, chọn đề tài và truyền đạt kiến thức để tôi có thể hoàn thành luận văn này. Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới các thầy cô giáo trong trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, đặc biệt là các thầy cô trong Khoa Toán - Tin, đã giúp đỡ tôi trong suốt quá trình nghiên cứu và học tập. Qua đây tôi cũng xin gửi lời cảm ơn Trường Cao đẳng Sư phạm Hưng Yên, tập thể lớp Cao học K7Y, gia đình, bạn bè, đồng nghiệp đã động viên, góp ý và cho tôi những nhận xét quý báu. Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng luận văn khó tránh khỏi những thiếu sót, tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các quý thầy cô và các bạn để luận văn được hoàn thiện hơn. Tôi xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 12 năm 2015 Tác giả Nguyễn Bích Lương
iii Danh sách ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: R không gian số thực H không gian Hilbert thực X∗ không gian đối ngẫu của X domA miền hữu hiệu của A D(T ) miền xác định của T R(T ) miền ảnh của T NC (x) nón pháp tuyến tại điểm x trên tập C Fix(S) tập điểm bất động của ánh xạ S hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y δC (.) hàm chỉ trên C kxk chuẩn của vectơ x xn → x dãy {xn } hội tụ mạnh tới x xn * x dãy {xn } hội tụ yếu tới x x := y x được gán bằng y ∀x mọi x ∃x tồn tại x ∅ tập rỗng I ánh xạ đơn vị
1 Lời mở đầu Toán tử đơn điệu là một trong những lĩnh vực của giải tích hiện đại đã và đang được nhiều nhà toán học hàng đầu thế giới nghiên cứu, đặc biệt phải kể đến như Browder F. E, Rockafellar R. T, Minty G. J. Bên cạnh các kết quả đặc biệt có ý nghĩa về mặt lý thuyết, toán tử đơn điệu là một trong những công cụ được sử dụng nhiều và rất có hiệu quả trong lĩnh vực toán ứng dụng chẳng hạn như bất đẳng thức biến phân. Nó giúp ích cho việc nghiên cứu ánh xạ dưới gradient và gradient, chứng minh sự tồn tại và duy nhất nghiệm cho rất nhiều các lớp bài toán cân bằng, bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán tối ưu. Mục đích của luận văn là trình bày một phương pháp hiệu chỉnh cải biên cho thuật toán điểm gần kề để chứng minh rằng một dãy lặp {xn } hội tụ mạnh đến x∗ là nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân hF x∗ − u, x∗ − pi ≤ 0. Luận văn được trình bày trong hai chương: Trong Chương 1 chúng tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert, một số ví dụ minh họa và bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian đó. Thuật toán điểm gần kề, khái niệm bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov dựa trên phương trình với toán tử đơn điệu cũng được trình bày trong chương này. Chương 2 dành cho việc mô tả phương pháp hiệu chỉnh cải biên thuật toán điểm gần kề và chứng minh nghiệm duy nhất của bất đẳng thức biến phân dựa trên một số kết quả bổ trợ.
2 Chương 1 Một số vấn đề cơ bản Chương này nhắc lại một số kiến thức của giải tích hàm, giải tích lồi và bài toán đặt không chỉnh. Không gian Hilbert và một số ví dụ được xét trong mục 1.1. Mục 1.2 nhắc lại bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert. Trong mục 1.3 trình bày phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu. Kiến thức trong chương này được tham khảo trong các tài liệu [1], [2], [3]. 1.1 Không gian Hilbert và một số ví dụ Trong mục này, tôi xin trình bày về khái niệm không gian Hilbert và một số ví dụ về không gian đó. Định nghĩa 1.1. Cho H là không gian tuyến tính trên trường R. Một tích vô hướng trong H là một ánh xạ h., .i : X × X → R thỏa mãn các điều kiện sau đây: i. hx, yi = hy, xi với mọi x, y ∈ H. ii. hx + y, zi = hx, zi + hy, zi với mọi x, y, z ∈ H. iii. hλx, yi = λ hx, yi với mọi x, y ∈ H; λ ∈ R. iv. hx, xi ≥ 0 với mọi x ∈ H và hx, xi = 0 khi và chỉ khi x = 0. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai vectơ x và y . Cặp (H, h·, ·i) được gọi là không gian tiền Hilbert (hay còn gọi là không gian Unita).
3 Từ định nghĩa ta thấy rằng tích vô hướng h·, ·i chính là một dạng song tuyến tính xác định dương trên H. Khi đó H được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lí 1.1. Cho H là không gian tiền Hilbert với x, y ∈ H, ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi hy, yi . Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x, y phụ thuộc tuyến tính. Chứng minh. Hiển nhiên bất đẳng thức đúng với y = 0. Giả sử y 6= 0. Với mọi số λ, ta đều có hx + λy, x + λyi ≥ 0 tức là hx, xi + λ hy, xi + λ hx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ 0. hx, yi Lấy λ = − , ta được hy, yi khx, yik2 hx, xi − ≥ 0, hy, yi từ đó suy ra bất đẳng thức cần chứng minh. Định lí 1.2. Cho H là không gian tiền Hilbert. Khi đó kxk = hx, xi1/2 , x ∈ H xác định một chuẩn trên H. Chứng minh. Từ điều kiện d) của Định nghĩa 1.1 suy ra rằng nếu kxk = 0 thì x = 0. Từ a) và c) suy ra kλxk2 = hλx, λxi = |λ|2 kxk2 , từ đó kλxk = |λ| kxk, với mọi x ∈ H, λ ∈ R. Với mọi x, y ∈ H kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + hy, xi + hx, yi + kyk2 ≤ kxk2 + 2| hx, yi | + kyk2
4 (vì hx, yi + hy, xi = 2Re hx, yi ≤ 2 |hx, yi|). Do đó, theo bất đẳng thức Schwarz. kx + yk2 ≤ kxk2 + 2 kxk kyk + kyk2 = (kxk + kyk)2 tức là kx + yk ≤ kxk + kyk . Như vậy, một không gian tiền Hilbert là một không gian tuyến tính định chuẩn. Định nghĩa 1.2. Nếu H là một không gian tiền Hilbert và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng thì được gọi là không gian Hilbert. Sau đây là một số ví dụ về không gian Hilbert. Pn Ví dụ 1.1. Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng hx, yi = i=1 xi yi , trong đó: x = (x1 , x2 , · · · , xn ) ∈ Rn , y = (y1 , y2 , · · · , yn ) ∈ Rn . Ví dụ 1.2. Xét không gian: ∞ ( ) X l2 = x = (xn )n ⊂ K : |xn |2 < +∞ . n=1 Ta đã biết l2 là không gian Banach với chuẩn v u∞ uX x=t |xn |2 . (1.1) n=1 Với x = (xn )n∈R , y = (yn )n∈R ∈ l2 , nhờ bất đẳng thức Bunhiacopski ta có: 2 X∞ xn yn ≤ kxk2 kyk2 < +∞. n=1 P∞ Dễ kiểm tra rằng: hx, yi = n=1 xn yn xác định một tích vô hướng trong l2 và nó cảm sinh (1.1). Vậy l2 là một không gian Hilbert.
5 Ví dụ 1.3. Cho (X, A, µ) là một không gian độ đo và E ∈ A. Xét không gian    Z  2 2 L (E, µ) = f : E → R |f | dµ < ∞   E ta đã biết L2 (E, µ) là một không gian Banach với chuẩn   12 Z kf k =  |f |2 dµ . E Hơn nữa, với f, g ∈ L2 (E, µ), từ bất đẳng thức H¨older về tích phân, ta có   12   12 Z Z Z |f g|dµ ≤  |f |2 dµ  |g|2 dµ < +∞. E E E Ta dễ dàng kiểm tra được Z hf, gi = f gdµ, E xác định một tích vô hướng trong L2 (E, µ) và L2 (E, µ) là không gian Hilbert thực. 1.2 Bài toán cực tiểu phiếm hàm lồi trong không gian Hilbert Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức của giải tích lồi như tập lồi, hàm lồi, dưới vi phân,... Định nghĩa 1.3. Một tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ⇒ λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.4. i. Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 ⇒ λx ∈ C.
6 ii. C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0. iii. Nón C có đỉnh tại 0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 ⇒ λx + µy ∈ C. Cho C ⊂ H là tập lồi khác rỗng và ánh xạ f : C → R ∪ {+∞}. Ta có các định nghĩa về hàm lồi như sau: Định nghĩa 1.5. i. Trên đồ thị của hàm f , kí hiệu là epif và được định nghĩa bởi công thức sau: epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r} . ii. Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công thức sau: domf := {x ∈ C : f (x) < +∞} . Định nghĩa 1.6. Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= 0 và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C. Định nghĩa 1.7. Hàm f được gọi là i. Lồi trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1]. ii. Lồi ngặt trên C nếu f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0, 1). iii. Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C , ∀λ ∈ (0, 1) ta có: 1 f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)α kx − yk2 . 2 iv. Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C .
7 Định nghĩa 1.8. Giả sử f là hàm lồi trên H. i. Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H nếu hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H. ii. Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có ∂f (x) := {x∗ ∈ H : hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x), ∀x ∈ H} . iii. Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) 6= 0. Định nghĩa 1.9. Cho X, Y ∈ H và F : X → 2Y là ánh xạ từ X vào tập hợp gồm toàn bộ các tập con của Y (được kí hiệu là 2Y ). Khi đó ta nói F là ánh xạ đa trị từ X vào Y . Như vậy với mỗi x ∈ X, F (x) là một tập con của Y (F (x) có thể là tập rỗng). Định nghĩa 1.10. Ánh xạ đa trị F : H → 2H được gọi là i. Nửa liên tục trên tại x ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊃ F (x), tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x0 ) ⊆ V, ∀x ∈ U. ii. Nửa liên tục dưới tại x ∈ domF nếu mọi tập mở V ⊂ H thỏa mãn F (x) ∩ V 6= ∅, tồn tại lân cận mở U của x sao cho F (x0 ) ∩ V 6= ∅, ∀x ∈ U ∩ domF. iii. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) trên H nếu F nửa liên tục trên (nửa liên tục dưới) tại mọi điểm iv. F được gọi là liên tục tại x ∈ domF nếu F đồng thời nửa liên tục trên và nửa liên tục dưới tại x. v. Nếu F liên tục tại mọi điểm thuộc H thì F được gọi là liên tục trên H.
8 Dưới đây là một số khái niệm về toán tử đơn điệu, toán tử đơn điệu cực đại và ví dụ. Định nghĩa 1.11. Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T x, ∀v ∈ T y. Ví dụ 1.4. .Cho f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ). Ánh xạ đối ngẫu I là toán tử đơn điệu. Trong không gian Lp (Ω), I còn có tính chất đơn điệu đều và liên tục theo H¨older, vì hI(x) − I(y), x − yi ≥ mI kx − yks , mI > 0 (1.2) kI(x) − I(y)k ≤ c(R) kx − ykϑ , 0 < ϑ ≤ 1, Định nghĩa 1.12. Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thị của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào khác. Ví dụ 1.5. Toán tử đa trị:T : R → 2R cho bởi công thức:  1 nếu x > 0,       T (x) = [0, 1] nếu x = 0,    −x2 nếu x < 0.   là toán tử đơn điệu cực đại. Định lí 1.3. Cho hàm số f : H → R ∪ {+∞} là hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới. Khi đó ánh xạ đa trị T : H → 2H cho bởi công thức T (x) = ∂f (x) là toán tử đơn điệu cực đại.
9 Tiếp theo chúng tôi phát biểu bài toán cực tiểu hàm lồi và thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của toán tử đơn điệu cực đại. Bài toán cực tiểu hàm lồi được phát biểu như sau: Tìm z ∈ H sao cho f (z) = min f (x). x∈H Điểm cực tiểu của bài toán trên chính là không điểm của toán tử đơn điệu cực đại T = ∂f . Để tìm không điểm của T , Rockafellar R. T. đã phát triển thuật toán điểm gần kề cho bài toán tìm không điểm của ánh xạ đơn điệu cực đại T trong không gian Hilbert thực H. Theo Định lí 1.3 nếu T là dưới vi phân của một hàm lồi, chính thường, nửa liên tục dưới f : H → R ∪ {+∞} (tức là T = ∂f ) thì T là toán tử đơn điệu cực đại. Theo định lí Minty, với mỗi z ∈ H và ck > 0, tồn tại duy nhất u ∈ H sao cho z ∈ (I + ck T )(u). Khi đó, toán tử Pk = (I + ck T )−1 là đơn trị, xác định trên toàn bộ H và Pk là toán tử không giãn, tức là kPk (z) − Pk (z 0 )k ≤ kz − z 0 k khi và chỉ khi z ∈ (I + ck T )(z) = z + ck T (z) hay 0 ∈ ck T (z). Do đó z là không điểm của ánh xạ T . Giả sử T là toán tử đơn điệu cực đại, khi đó thuật toán điểm gần kề được trình bày như sau: Thuật toán 1.1 Bước 0. Chọn một dãy số dương {ck } thỏa mãn ck > c > 0 với mọi k = 0, 1, ...,
10 tìm z 0 ∈ H. Bước k (k = 0, 1, ...). Xây dựng điểm z k+1 thông qua công thức z k+1 := Pk (z k ) = (I + ck T )−1 (z k ) Trong trường hợp tổng quát, một điều rất khó thực hiện được ở Thuật toán 1.1 là việc tính toán chính xác điểm z k+1 = Pk (z k ). Thuật toán dưới đây sẽ thay thế cách tính chính xác điểm z k+1 bằng cách tính xấp xỉ với một sai số k mà thuật toán vẫn đảm bảo được sự hội tụ. Thuật toán 1.2 Bước 0. Chọn một dãy số dương ck : ck > c > 0 và k > 0 với mọi k = 0, 1, ... sao cho ∞ 0 P k=1 k < +∞, lấy ω ∈ H. Bước k : (k = 0, 1, ...). Chọn điểm ω k+1 thỏa mãn k+1 − xk+1 ≤ k+1 , ω với xk+1 := Pk (ω k ) = (I + ck T )−1 (ω k ). Nhận xét. Nếu ta thay thế điều kiện ∞ k=1 k < +∞ chỉ bởi điều kiện k → 0 P thì thuật toán có thể không hội tụ. Chẳng hạn lấy hàm f : R → R, với  −x nếu x < 0,  f (x) = 0 nếu x ≥ 0,  2 và dãy k := với mọi k = 1, 2, ... có tổng ∞ k=1 k = +∞ và k → 0 khi P k k → ∞. Ta có ánh xạ dưới vi phân của f xác định bởi  −1 nếu x < 0,       ∂f (x) = [−1, 0] nếu x = 0,    nếu x > 0.  0  Khi đó, Pk (z) = z hay 0 ∈ T (z) khi và chỉ khi z ≥ 0. Ta chọn một dãy z k sao cho
11 1 1 Pk (z k ) = z k , z k+1 − z k = k = , ∀k = 1, 2, ... và z k+1 > z k . 2 k Ta có thể tính toán được rằng n−1 n 1 X 1 z =z + . k=1 k Như vậy, dãy {z k } không hội tụ. Sự hội tụ của thuật toán điểm gần kề được phát biểu qua định lí sau: Định lí 1.4. Cho T : H → 2H là ánh xạ đơn điệu cực đại. Khi đó, nếu T có không điểm thì dãy điểm {ω k } hội tụ yếu tới ω ∗ sao cho 0 ∈ T (ω ∗ ). Nếu T không có không điểm thì dãy {ω k } không bị chặn. 1.3 Phương pháp hiệu chỉnh giải phương trình với toán tử đơn điệu Trong phần này chúng tôi xét bài toán đặt không chỉnh dạng phương trình toán tử A(x) = f, f ∈Y (1.3) trong đó A là một toán tử (ánh xạ) từ một không gian metric X vào không gian metric Y nào đó. Khái niệm về bài toán chỉnh được J. Hadamard đưa ra khi nghiên cứu về ảnh hưởng của các điều kiện biên lên nghiệm của các phương trình elliptic cũng như parabolic. Việc tìm nghiệm x của bất kì một bài toán nào cũng phải dựa vào dữ kiện ban đầu f , có nghĩa là x = R(f ). Ta sẽ coi nghiệm cũng như các dữ kiện đó là những phần tử thuộc không gian X và Y với các độ đo tương ứng là ρX (x1 , x2 ) và ρY (f1 , f2 ), x1 , x2 ∈ X, f1 , f2 ∈ Y. Giả sử đã có một khái niệm thế nào là nghiệm của một bài toán. Khi đó, bài toán tìm nghiệm x = R(f ) được gọi là ổn định trên cặp không gian (X, Y ), nếu
12 với mỗi số ε > 0 ta có thể tìm được một số δ(ε) > 0, sao cho từ ρY (f1 , f2 ) ≤ δ(ε) ta có ρX (x1 , x2 ) ≤ ε, ở đây x1 = R(f1 ), x2 = R(f2 ), f1 , f2 ∈ Y, x1 , x2 ∈ X Định nghĩa 1.13. Bài toán tìm nghiệm x ∈ X theo dữ kiện f ∈ Y được gọi là bài toán đặt chỉnh trên cặp không gian metric (X, Y ), nếu có 1. Với mỗi f ∈ Y tồn tại nghiệm x ∈ X ; 2. Nghiệm x đó được xác định một cách duy nhất; 3. Bài toán này ổn định trên cặp không gian (X, Y ). Trong một thời gian dài người ta cho rằng mọi bài toán đặt ra đều thỏa mãn ba điều kiện trên. Nhưng thực tế chỉ ra rằng quan niệm đó là sai lầm. Trong tính toán các bài toán thực tế bằng máy tính luôn diễn ra quá trình làm tròn số. Chính sự làm tròn đó đã dẫn đến các kết quả sai lệch đáng kể. Nếu ít nhất một trong ba điều kiện trên không thỏa mãn, bài toán tìm nghiệm được gọi là bài toán đặt không chỉnh. Đôi khi người ta gọi là bài toán đặt không chính quy hay bài toán thiết lập không đúng đắn. Cũng cần lưu ý rằng một bài toán có thể thiết lập không đúng đắn trên cặp không gian metric này, nhưng lại thiết lập đúng đắn trên cặp không gian metric khác. Đối với bài toán tìm nghiệm xấp xỉ của phương trình (1.3) dữ kiện ban đầu ở đây chính là toán tử A và vế phải f . Giả sử rằng toán tử A cho trước một cách chính xác, còn vế phải f cho bởi fδ với sai số ρY (fδ , f ) ta cần phải tìm một phần tử xδ ∈ X hội tụ đến nghiệm chính xác x0 của (1.3) khi δ → 0. Phần tử xδ có tính chất như vậy được gọi là nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh trên. Nếu ta kí hiệu Qδ = {x ∈ X : ρY (A(x), fδ ) ≤ δ} thì nghiệm xấp xỉ của phương trình trên thì phải nằm trong tập Qδ . Nhưng tập
13 Qδ lại quá lớn, tức là có các phần tử cách nhau rất xa. Chính vì vậy, không phải tất cả các phần tử của Qδ có thể coi là nghiệm xấp xỉ của (1.3) được. Vì lẽ đó, bài toán đặt ra là phải chọn phần tử nào của Qδ làm nghiệm xấp xỉ cho (1.3). Muốn thực hiện việc chọn đó cần thiết phải có thêm các thông tin định tính và định lượng về nghiệm chính xác x0 . Việc sử dụng thông tin định lượng dẫn đến phương pháp tựa nghiệm, còn việc sử dụng thông tin định tính cho ta một hướng khác trong việc xây dựng thuật toán tìm nghiệm xấp xỉ của bài toán đặt không chỉnh (1.3). Ví dụ 1.6. Xét chuỗi Fourier ∞ X f1 (t) = an cos(nt) n=0 ε với hệ số (a0 , a1 , ..., an , ...) ∈ l2 được cho bởi xấp xỉ cn = an + , n ≥ 1 và n c0 = a0 . Khi đó, chuỗi Fourier tương ứng ∞ X f2 (t) = cn cos(nt) n=0 cũng có hệ số (c0 , c1 , ..., cn , ...) ∈ l2 . Khoảng cách giữa chúng là (∞ ) 21 (∞ )1 s X X 1 2 π2 ε1 = (cn − an )2 =ε 2 = ε . n=0 n=1 n 6 Do đó, khoảng cách giữa hai bộ hệ số này có thể làm nhỏ tùy ý. Trong khi đó ∞ X 1 f2 (t) − f1 (t) = ε cos(nt) n=1 n có thể làm lớn bao nhiêu cũng được. Ví dụ, tại t = 0 chuỗi trên phân kì. Điều đó nói lên rằng nếu khoảng cách giữa hai hàm f1 và f2 được xét trong không gian các hàm với độ đo đều, thì bài toán tính tổng chuỗi Fourier là không ổn định khi hệ số của chuỗi có sự thay đổi nhỏ. Tuy nhiên, nếu xét trong không
14 gian L2 [0, π], thì  21 Z π