Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:46

Thêm vào BST

Báo xấu

9
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn trình bày phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert, trình bày một số định lý hội tụ, các kết quả cơ bản và áp dụng. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG TRUNG THÔNG PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI BÀI TOÁN CHẤP NHẬN TÁCH TỔNG QUÁT TRONG KHÔNG GIAN HILBERT Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. NGUYỄN BƯỜNG THÁI NGUYÊN - 2016
i Mục lục Bảng ký hiệu iii Mở đầu 1 Chương 1. Một số kiến thức bổ trợ 3 1.1 Không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Định nghĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Một số ví dụ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.3 Một số tính chất . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 Hàm lồi và dưới vi phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 Tập lồi. Hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3 Toán tử trong không gian Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.1 Toán tử đơn điệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.3.2 Toán tử tuyến tính . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 1.4 Điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . 13 1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động . . . . . . . . . 13 1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 Chương 2. Phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert 17 2.1 Bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.1.2 Một số bổ đề bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
ii 2.2 Phương pháp giải bài toán chấp nhận tách . . . . . . . . . . 22 2.2.1 Giới thiệu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2.2 Sự hội tụ của phương pháp . . . . . . . . . . . . . . 27 2.2.3 Một ví dụ áp dụng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 41
iii Bảng ký hiệu Trong toàn luận văn, ta dùng những ký hiệu với các ý nghĩa xác định trong bảng dưới đây: N tập số nguyên không âm N∗ tập số nguyên dương R tập số thực H không gian Hilbert thực C tập con đóng lồi của H ∅ tập rỗng ∀x mọi x ∃x tồn tại x hx, yi tích vô hướng của hai véctơ x và y kxk chuẩn của véctơ x xn → x xn hội tụ mạnh đến x xn * x xn hội tụ yếu x T toán tử đơn điệu trong không gian Hilbert I toán tử đồng nhất trong H Jr toán tử giải của T P phép chiếu mêtric từ H lên T −1 0 lim supn→∞ xn giới hạn trên của dãy số {xn } lim inf n→∞ xn giới hạn dưới của dãy số {xn } ∂f dưới vi phân của hàm lồi f
1 Mở đầu Bài toán chấp nhận tách tổng quát đóng vai trò đặc biệt quan trọng trong việc mô hình hóa nhiều bài toán ngược xuất hiện trong thực tế như bài toán nén hình ảnh, chụp hình cộng hưởng từ, mạng nơ ron, khôi phục ảnh. Một trong những phương pháp đã và đang được nhiều tác giả sử dụng để giải bài toán chấp nhận tách là phương pháp chiếu trong đó cần phải thực hiện phép chiếu mêtric lên các tập con lồi đóng của không gian Hilbert. Tuy nhiên, việc tính ảnh của ánh xạ chiếu mêtric trên một tập lồi đóng bất kỳ cũng không dễ thực thi. Do vậy, việc xây dựng các phương pháp xấp xỉ điểm bất động để giải bài toán chấp nhận tách là hướng nghiên cứu được nhiều nhà toán học quan tâm. Nhiều kết quả công bố gần đây về phương pháp giải cho lớp bài toán này thường đòi hỏi tính liên tục Lipschitz và hệ số Lipschitz của ánh xạ. Tuy nhiên trong thực hành tính toán, việc tính hệ số Lipschitz thường khá phức tạp và tốn kém, dẫn đến việc cần thiết phải cải tiến và loại bỏ điều kiện này để xây dựng các phương pháp giải hiệu quả hơn. Đề tài của luận văn là phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert. Đây là một đề tài vừa có ý nghĩa về mặt lý thuyết, đồng thời vừa có ý nghĩa thực tiễn cao. Nội dung của bản luận văn được trình bày trong hai chương. Chương 1: giới thiệu một cách hệ thống lại các định nghĩa, ví dụ và một số tính chất quan trọng của không gian Hilbert thực. Chương 2: trình bày phương pháp lặp giải bài toán chấp nhận tách tổng quát trong không gian Hilbert, trình bày một số định lý hội tụ, các kết quả cơ bản và áp dụng. Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TS. Nguyễn Bường.
2 Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới thầy, người đã tận tình hướng dẫn, giúp đỡ cho tác giả trong quá trình học tập, nghiên cứu và viết bản luận văn này. Tác giả chân thành cảm ơn Lãnh đạo trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, cô giáo Nguyễn Thị Thu Thủy cùng toàn thể các thầy cô trong trường đã giảng dạy và giúp đỡ cho tác giả trong suốt thời gian học tập tại trường. Tác giả xin bày tỏ lòng cảm ơn tới tập thể lớp Cao học Toán K8A (khóa 2014–2016), bạn bè, đồng nghiệp và gia đình đã động viên, góp ý và cho tác giả những nhận xét quý báu. Xin chân thành cảm ơn! Thái Nguyên, tháng 5 năm 2016 Tác giả luận văn Hoàng Trung Thông
3 Chương 1 Một số kiến thức bổ trợ Trong chương này, ta sẽ trình bày một số kiến thức được sử dụng trong chương sau. Đó là nhắc lại các kiến thức cơ bản về không gian Hilbert, các tính chất quan trọng của không gian Hilbert và giải tích lồi, trình bày về dưới vi phân. Bên cạnh đó ta cũng sẽ nhắc lại một số toán tử trong không gian Hilbert và phương pháp lặp Mann để tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Các kiến thức trong chương được tổng hợp từ các tài liệu [1]–[6]. 1.1 Không gian Hilbert 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1.1.1 Cho không gian véctơ X trên trường số thực R. Tích vô hướng xác định trong X là một ánh xạ h., .i :X × X → R (x, y) 7→ hx, yi thỏa mãn các điều kiện sau đây: (i) hx, xi ≥ 0, với mọi x ∈ X, hx, xi = 0 ⇔ x = 0; (ii) hy, xi = hx, yi, với mọi x, y ∈ X; (iii) hx + x0 , yi = hx, yi + hx0 , yi với mọi x, x0 , y ∈ X; (iv) hλx, yi = λhx, yi với mọi x, y ∈ X, λ ∈ R. Số hx, yi được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x, y trong X.
4 Nhận xét 1.1.2 Từ định nghĩa suy ra với mọi x, y, z ∈ X, λ ∈ R: (1) hx, y + y 0 i = hx, yi + hx, y 0 i; (2) hx, λyi = λhx, yi; (3) hx, 0i = 0. Định nghĩa 1.1.3 Cặp (X, h., .i), trong đó X là một không gian tuyến tính trên R, h., .i là tích vô hướng trên X được gọi là không gian tiền Hilbert thực. Định lý 1.1.4 Mọi không gian tiền Hilbert X đều là không gian tuyến tính định chuẩn, với chuẩn xác định bởi công thức p kxk = hx, xi (1.1) Định nghĩa 1.1.5 Nếu X là không gian tiền Hilbert thực và đầy đủ đối với chuẩn cảm sinh từ tích vô hướng xác định bởi (1.1) thì X được gọi là không gian Hilbert thực. Định nghĩa 1.1.6 Cho H là không gian Hilbert. Dãy {xn } được gọi là hội tụ mạnh tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn → x, nếu kxn − xk → 0 khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.7 Dãy {xn } trong không gian Hilbert H được gọi là hội tụ yếu tới phần tử x ∈ H, ký hiệu xn * x, nếu hxn , yi → hx, yi khi n → ∞ với mọi y ∈ H. Chú ý 1.1.8 (a) Trong không gian Hilbert H, hội tụ mạnh kéo theo hội tụ yếu, nhưng điều ngược lại không đúng. (b) Mọi không gian Hilbert đều có tính chất Kadec-Klee, tức là nếu dãy {xn } trong không gian Hilbert H thỏa mãn các điều kiện kxn k → kxk và xn * x, thì xn → x khi n → ∞. Định nghĩa 1.1.9 Cho C là tập con của không gian Hilbert H. Khi đó C được gọi là:
5 (a) Tập đóng nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn → x khi n → ∞, ta đều có x ∈ C; (b) Tập đóng yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C thỏa mãn xn * x khi n → ∞, ta đều có x ∈ C; (c) Tập compact nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ về một phần tử thuộc C; (d) Tập compact tương đối nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ; (e) Tập compact yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu về một phần tử thuộc C; (f) Tập compact tương đối yếu nếu mọi dãy {xn } ⊂ C đều có một dãy con hội tụ yếu. Nhận xét 1.1.10 (a) Mọi tập compact đều là tập compact tương đối, nhưng điều ngược lại không đúng. (b) Mọi tập đóng yếu đều là tập đóng, nhưng điều ngược lại không đúng. Mệnh đề 1.1.11 Cho H là không gian Hilbert thực và C là một tập con của H. Khi đó, ta có các khẳng định sau: (a) Nếu C là tập lồi, đóng thì C là tập đóng yếu; (b) Nếu C là tập bị chặn thì C là tập compact tương đối yếu. Định nghĩa 1.1.12 Cho C là một tập con khác rỗng, lồi, đóng của không gian Hilbert thực H. Ta biết rằng với mỗi x ∈ H, đều tồn tại duy nhất một phần tử PC (x) ∈ C thỏa mãn kx − PC (x)k = inf kx − yk y∈C Phần tử PC (x) được xác định như trên được gọi là hình chiếu của x lên C và ánh xạ PC : H → C biến mỗi phần tử x ∈ H thành PC (x) được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C.
6 Đặc trưng của phép chiếu mêtric được cho bởi mệnh đề dưới đây. Mệnh đề 1.1.13 Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H. Khi đó, ánh xạ PC : H → C là phép chiếu mêtric từ H lên C khi và chỉ khi hx − PC (x), y − PC (x)i ≥ 0 với mọi y ∈ C. Nhận xét 1.1.14 Về phương diện hình học, với mọi y ∈ C, nếu ta gọi α π là góc tạo bởi các véc tơ x − PC (x) và y − PC (x), thì α ≤ . 2 1.1.2 Một số ví dụ Ví dụ 1.1.15 Rn là không gian Hilbert thực với tích vô hướng n X hx, yi = λk α k k=1 trong đó x = (λ1 , λ2 , . . . , λn ) và y = (α1 , α2 , . . . , αn ) và chuẩn cảm sinh n X n X 2 kxk = hx, xi = αk αk = |αk |2 . k=1 k=1 Ví dụ 1.1.16 Không gian ∞ ( ) X l2 = x = {xn }n ∈ R : xn yn k=1 ∞ P là không gian Hilbert với tích vô hướng hx, yi = xn yn và chuẩn cảm n=1 sinh v u∞ uX kxk = t |xn |2 k=1 với mọi x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N ∈ l2 .
7 1.1.3 Một số tính chất Định lý 1.1.17 (Bất đẳng thức Cauchy–Schwartz) Trong không gian tiền Hilbert X, với mọi x, y ∈ X ta luôn có bất đẳng thức sau |hx, yi|2 ≤ hx, xi.hy, yi (1.2) Chứng minh. Với y = 0 bất đẳng thức hiển nhiên đúng. Giả sử y 6= 0 khi đó với mọi số λ ∈ R ta đều có hx + λy, x + λyi ≥ 0 tức là hx, xi + λhy, xi + λhx, yi + |λ|2 hy, yi ≥ 0. hx, yi Chọn λ = − ta được hy, yi |hx, yi|2 hx, xi − ≥ 0 ⇔ |hx, yi|2 ≤ hx, xihy, yi. hy, yi Định lí được chứng minh. Định lý 1.1.18 Giả sử {xn }n , {yn }n là hai dãy hội tụ đến a, b trong không gian tiền Hilbert thực X. Khi đó lim hxn , yn i = ha, bi. n→∞ Chứng minh. Giả sử lim xn = a, lim yn = b trong không gian X. Ta sẽ n→∞ n→∞ chứng minh lim hxn , yn i = ha, bi trong R. n→∞ Thật vậy, ta có |hxn , yn i − ha, bi| = |hxn , yn i + hxn , bi − hxn , bi − ha, bi| ≤ |hxn , yn − bi + hxn − a, bi| ≤ kxn k.kyn − bk + kxn − ak.kbk.
8 Vì dãy {xn }n hội tụ trong X nên tồn tại M > 0 sao cho kxn k ≤ M với mọi n ∈ N. Khi đó ta có bất đẳng thức |hxn , yn i − ha, bi| ≤ M kxn k.kyn − bk + kxn − ak.kbk. Cho n → ∞ suy ra lim hxn , yn i = ha, bi. n→∞ Định lý được chứng minh. Định lý 1.1.19 Với mọi x, y thuộc không gian tiền Hilbert X ta luôn có đẳng thức hình bình hành sau kx + yk2 + kx − yk2 = 2(kxk2 + kyk2 ). (1.3) Chứng minh. Với mọi x, y ∈ X, ta có kx + yk2 = hx + y, x + yi = kxk2 + kyk2 + hx, yi + hy, xi, kx − yk2 = hx − y, x − yi = kxk2 + kyk2 − hx, yi − hy, xi. Cộng hai đẳng thức trên ta được đẳng thức (1.3). Áp dụng đẳng thức hình bình hành cho hai véctơ x − y và x − z ta có hệ quả sau: Hệ quả 1.1.20 Giả sử X là không gian tiền Hilbert và x, y, z ∈ X. Khi đó ta có đẳng thức Apollonius y+z 2 2(kx − yk2 + kx − zk2 ) = 4(kx − k + ky − zk2 ). 2 1.2 Hàm lồi và dưới vi phân 1.2.1 Tập lồi. Hàm lồi Định nghĩa 1.2.1 Cho H là một không gian Hilbert. Tập C ⊆ H được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] ta có λx + (1 − λ)y ∈ C. Định nghĩa 1.2.2 Một tập C ⊆ H được gọi là nón có đỉnh tại 0 nếu ∀x ∈ C, ∀λ > 0 thì λx ∈ C.
9 C được gọi là nón có đỉnh tại x0 nếu C − x0 là nón có đỉnh tại 0. Nón C có đỉnh tại x0 được gọi là nón lồi nếu C là một tập lồi, nghĩa là ∀x, y ∈ C, ∀λ, µ > 0 thì λx + µy ∈ C. Định nghĩa 1.2.3 Cho C 6= ∅ là tập lồi trong H và x ∈ C. Nón pháp tuyến ngoài của C tại x ∈ C, nón đối cực và nón đối ngẫu của C là các tập hợp lần lượt được kí hiệu và xác định bởi: NC (x) := {w ∈ H : hw, y − xi ≤ 0, ∀y ∈ C}; C0 := {w ∈ H : hw, xi ≤ 0, ∀x ∈ C}; C+ := {w ∈∈ H : hw, xi ≥ 0, ∀x ∈ C}. Định nghĩa 1.2.4 (i) Trên đồ thị của hàm f, kí hiệu là epif và được định nghĩa bởi công thức epif := {(x, r) ∈ C × R : f (x) ≤ r}. (ii) Miền hữu hiệu của hàm f , kí hiệu domf và được định nghĩa bởi công thức domf := {x ∈ C : f (x) < +∞}. Định nghĩa 1.2.5 Hàm f được gọi là chính thường nếu domf 6= ∅ và f (x) > −∞ với mọi x ∈ C. Định nghĩa 1.2.6 Hàm f được gọi là (i) Lồi trên C nếu f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y), ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ [0; 1]. (ii) Lồi ngặt trên C nếu f (λx+(1−λ)y) < λf (x)+(1−λ)f (y), ∀x, y ∈ C, x 6= y, ∀λ ∈ (0; 1). (iii) Lồi mạnh trên C với hệ số α > 0 nếu với ∀x, y ∈ C, ∀λ ∈ (0; 1) ta có 1 f (λx + (1 − λ)y) ≤ λf (x) + (1 − λ)f (y) − λ(1 − λ)αkx − yk2 . 2
10 (iv) Lõm trên C nếu −f là hàm lồi trên C. Nhận xét 1.2.7 (1) Nếu f là hàm lồi ngặt hay lồi mạnh trên C thì f là hàm lồi trên C. (2) f là hàm lồi trên C nếu epif là tập lồi trong H × R. (3) f là hàm lồi suy ra domf là tập lồi. 1.2.2 Dưới vi phân hàm lồi Định nghĩa 1.2.8 Giả sử f là hàm lồi trên không gian Hilbert H. (i) Phiếm hàm x∗ ∈ H được gọi là dưới đạo hàm của hàm f tại x ∈ H nếu hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H. (ii) Tập tất cả các dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân của hàm f tại x, kí hiệu là ∂f (x), một cách tương đương ta có ∂f (x) := {x∗ ∈ H ∗ : hx∗ , x − xi ≤ f (x) − f (x) ∀x ∈ H}. (iii) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân tại x nếu ∂f (x) 6= ∅. 1.3 Toán tử trong không gian Hilbert 1.3.1 Toán tử đơn điệu Định nghĩa 1.3.1 Cho H là một không gian Hilbert. Toán tử đơn trị T : H → H, được gọi là toán tử đơn điệu nếu hT (x) − T (y), x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ H. Ví dụ 1.3.2 Cho toán tử đơn trị T xác định trên R cho bởi công thức T (x) = x, ∀x ∈ R. Khi đó T là toán tử đơn điệu vì với mọi x, y ∈ R, ta có hT (x) − T (y), x − yi = hx − y, x − yi = kx − yk2 ≥ 0, ∀x, y ∈ R.
11 Định nghĩa 1.3.3 Toán tử đa trị T : H → 2H được gọi là toán tử đơn điệu nếu hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ domT, ∀u ∈ T (x), ∀v ∈ T (y). (1.4) Ví dụ 1.3.4 Cho f : H → R ∪ {∞} là hàm lồi, chính thường. Ánh xạ dưới vi phân ∂f : H → 2H của f là toán tử đơn điệu đa trị trên dom(∂f ). Thật vậy, với mọi x, y ∈ dom(∂f ), u ∈ ∂f (x), v ∈ ∂f (y) ta có u ∈ ∂f (x) ⇔ hu, y − xi ≤ f (y) − f (x), ∀y ∈ H, v ∈ ∂f (y) ⇔ hv, x − yi ≤ f (x) − f (y), ∀x ∈ H. Cộng vế với vế ta được hv, x − yi − hu, x − yi ≤ 0 ⇔ hv − u, x − yi ≤ 0 ⇔ hu − v, x − yi ≥ 0. Vậy ∂f là toán tử đơn điệu đa trị. Định nghĩa 1.3.5 Toán tử đơn điệu T : H → 2H được gọi là cực đại nếu đồ thị Gr(T ) của T không là tập con thực sự của đồ thị của bất kì một toán tử đơn điệu nào khác. Ví dụ 1.3.6 Toán tử đa trị T : R → 2R cho bởi công thức  1  nếu x > 0 T (x) = [0, 1] nếu x = 0  −x2 nếu x < 0  là toán tử đơn điệu cực đại. Thật vậy, với mọi điểm M (x, y) ∈ / Gr(T ) ta luôn tìm được điểm M0 (x0 , y0 ) ∈ −−→ −−→ Gr(T ) sao cho góc giữa hai véctơ OM và OM0 là góc tù, điều này có nghĩa là −−→ −−→ h(x, y), (x0 , y0 )i = OM .OM0 < 0. Do vậy T là toán tử đơn điệu cực đại.
12 1.3.2 Toán tử tuyến tính Định nghĩa 1.3.7 Cho H1 , H2 là các không gian Hilbert. Một ánh xạ A : H1 → H2 gọi là một ánh xạ tuyến tính hay toán tử tuyến tính nếu: 1) A(x1 + x2 ) = Ax1 + Ax2 với mọi x1 , x2 ∈ H1 ; 2) A(αx) = αAx với mọi x ∈ H1 và với mọi số α. Định nghĩa 1.3.8 Cho H1 , H2 là các không gian Hilbert. Một toán tử A : H1 → H2 gọi là liên tục nếu xn → x0 luôn luôn kéo theo Axn → Ax0 . Định nghĩa 1.3.9 Toán tử tuyến tính A : H1 → H2 gọi là bị chặn (giới nội) nếu có một hằng số r > 0 để cho (∀x ∈ H1 ) kAxk ≤ rkxk (1.5) (để ý rằng chuẩn bên trái bất đẳng thức là chuẩn trong H2 , còn chuẩn bên phải là chuẩn trong H1 ). Định lý 1.3.10 Một toán tử tuyến tính A : H1 → H2 là liên tục khi và chỉ khi nó bị chặn. Chứng minh. Giả sử toán tử A liên tục. Trước hết ta chứng minh rằng phải có một hằng số r để cho kAxk ≤ r với mọi x có kxk = 1. Thật vậy, nếu trái lại tức là (∀n) (∃xn ) : kxn k = 1, kAxn k > n, xn xn kAxn k thì lấy x0n = ta có x0n → 0 và kAx0n k = kA k = > 1 trái với n n n giả thiết A liên tục. Vậy phải có r với tính chất trên. x kAxk Với mọi x 6= 0 ta có k k = 1, cho nên ≤ r, do đó kAxk ≤ rkxk. kxk kxk Ngược lại, giả sử có hằng số r thỏa mãn công thức (1.5), và xn → x0 . Ta có kAxn − Ax0 k = kA(xn − x0 )k ≤ rkxn − x0 k → 0. Vậy A liên tục tại x0 . Số r ≥ 0 nhỏ nhất thỏa mãn điều kiện (1.5) gọi là chuẩn của toán tử A và được ký hiệu kAk. Như vậy:
13 1) (∀x ∈ H1 ) kAxk ≤ kAk.kxk; 2) Nếu (∀x ∈ H1 ) kAxk ≤ rkxk thì kAk ≤ r. 1.4 Điểm bất động của ánh xạ không giãn 1.4.1 Ánh xạ không giãn và điểm bất động Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng trong không gian Hilbert thực H, T : C → H là một ánh xạ. Định nghĩa 1.4.1 Ánh xạ T được gọi là (i) Ánh xạ không giãn nếu kT x − T yk ≤ kx − yk, ∀x, y ∈ C. (ii) Không giãn chặt nếu kT x − T yk2 ≤ hT x − T y, x − yi, ∀x, y ∈ C. Ta thấy rằng nếu T là không giãn chặt thì T = (I + V )/2 với toán tử không giãn V . Vì vậy toán tử không giãn chặt là một toán tử không giãn. Chú ý rằng nếu T là không giãn thì tập điểm bất động của T , Fix(T ) là đóng và lồi. Bài toán 1.4.2 Cho C là một tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert H, T : C → C là một ánh xạ không giãn. Hãy tìm x∗ ∈ C : T (x∗ ) = x∗ . (1.6) Phần tử x∗ ∈ C thỏa mãn (1.6) được gọi là một điểm bất động của ánh xạ T . Tập điểm bất động của T ký hiệu là Fix(T ). Sự tồn tại điểm bất động của ánh xạ không giãn trong không gian Hilbert được cho bởi định lý dưới đây. Định lý 1.4.3 Cho C là tập con lồi, đóng, bị chặn của không gian Hilbert H và T : C → C là một ánh xạ không giãn. Khi đó, T có ít nhất một điểm bất động.
14 Nhận xét 1.4.4 Từ tính lồi chặt của không gian Hilbert H và tính liên tục của ánh xạ không giãn T , ta thấy nếu tập điểm bất động Fix(T ) khác rỗng thì nó là tập lồi và đóng. Vấn đề xấp xỉ điểm bất động của lớp ánh xạ không giãn là đề tài có tính thời sự và thu hút sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhà toán học trong và ngoài nước. Dưới đây, ta đề cập đến một số phương pháp xấp xỉ tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn. Chú ý 1.4.5 Nếu T : C → C là ánh xạ co, thì dãy lặp Picard xác định bởi x0 ∈ C và xn+1 = T (xn ) hội tụ mạnh về điểm bất động duy nhất của T . Tuy nhiên điều này không còn đúng đối với lớp ánh xạ không giãn. Bổ đề 1.4.6 Giả sử T là ánh xạ không giãn trên tập con lồi, đóng, khác rỗng C của không gian Hilbert H. Khi đó I − T là nửa đóng trên C, nghĩa là nếu dãy {xn } ⊂ C hội tụ yếu tới x ∈ C và dãy {(I − T )xn } hội tụ mạnh tới y thì (I − T )x = y. Định nghĩa 1.4.7 Phép chiếu mêtric của H lên tập C, PC được xác định bởi PC x = arg minkx − uk, ∀x ∈ H, u∈C có nghĩa PC x là điểm trong C với tính chất kx − PC xk ≤ kx − uk, ∀u ∈ C. Ta thấy PC là không giãn chặt, đồng thời PC được đặc trưng bởi: PC x ∈ C : hx − PC x, u − PC xi ≤ 0, ∀u ∈ C. Bổ đề 1.4.8 Cho C là một tập con lồi và đóng của không gian Hilbert H và cho T : C → H là một ánh xạ không giãn từ C vào H. Nếu Fix(T ) 6= ∅, thì Fix(T ) = Fix(PC T ). Bổ đề 1.4.9 Cho T là một ánh xạ L-liên tục Lipschitz và η-đơn điệu mạnh trên không gian Hilbert H. Khi đó, với µ ∈ (0, 2η/L2 ), λ ∈ (0, 1), thì ta luôn có kT λ x − T λ yk ≤ (1 − λτ )kx − yk,
15 p trong đó τ = 1 − 1 − µ(2η − µL2 ) ∈ (0, 1) và T λ x = (I − λµT )x với mọi x ∈ H. Bổ đề 1.4.10 Cho dãy {xn } và {zn } là các dãy bị chặn trong không gian Hilbert H sao cho xn+1 = (1 − βn )xn + βn zn , n ≥ 1, trong đó {βn } ⊂ [0, 1] thỏa mãn 0 < lim inf βn ≤ lim supβn < 1. n→∞ n→∞ Nếu lim sup(kzn+1 − zn k − kxn+1 n − xn k) ≥ 0, thì lim ||xn − zn || = 0. n→∞ n→∞ Bổ đề 1.4.11 Cho {an } là dãy số thực không âm thỏa mãn điều kiện an+1 ≤ (1 − bn )an + bn cn với mọi n ≥ 1, trong đó {bn }, {cn } là các dãy số thực dương thỏa mãn ∞ P (i) bn ∈ [0, 1], bn = ∞; n=1 (ii) lim sup cn ≤ 0. n→∞ Khi đó lim an = 0. n→∞ 1.4.2 Phương pháp lặp Mann tìm điểm bất động của ánh xạ không giãn Năm 1953, Mann W. R. đã nghiên cứu và đề xuất phương pháp lặp sau ( x0 ∈ C là một phần tử bất kì (1.7) xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0 ở đây {αn } là một dãy số thực thỏa mãn α0 = 1, 0 < αn < 1, n ≥ 1, P∞ αn = ∞. Dãy lặp (1.7) được gọi là dãy lặp Mann. Mann W. R. đã n=0 ∞ P chứng minh rằng nếu dãy {αn } được chọn thỏa mãn αn = ∞, thì dãy n=0 {xn } xác định bởi (1.7) sẽ hội tụ yếu tới một điểm bất động của ánh xạ
16 T . Chú ý rằng nếu H là không gian Hilbert vô hạn chiều thì dãy lặp (1.7) chỉ cho sự hội tụ yếu.