Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp Ishikawa cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:34

Thêm vào BST

Báo xấu

11
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là tìm hiểu và trình bày lại một cải tiến của phương pháp lặp Ishikawa tìm điểm bất động chung của một họ vô hạn đếm được các ánh xạ ánh sáng trong không gian. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp lặp Ishikawa cho một họ vô hạn các ánh xạ không giãn

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN VĂN NGA PHƯƠNG PHÁP LẶP ISHIKAWA CHO MỘT HỌ VÔ HẠN CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2019
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------------------------------- NGUYỄN VĂN NGA PHƯƠNG PHÁP LẶP ISHIKAWA CHO MỘT HỌ VÔ HẠN CÁC ÁNH XẠ KHÔNG GIÃN Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số : 8 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC GS.TS. Nguyễn Bường THÁI NGUYÊN - 2019
iii Möc löc B£ng kþ hi»u 1 Mð ¦u 2 1 Khæng gian Banach v iºm b§t ëng 4 1.1 Khæng gian Banach v mët sè t½nh ch§t . . . . . . . . . . 4 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn . . . . . . . . . . . . . 4 1.1.2 nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Banach . . . . . 7 1.2 iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2 Ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa t¼m iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n 15 2.1 iºm b§t ëng chung cõa mët hå ¡nh x¤ khæng gi¢n . . . 15 2.1.1 iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n . . 15 2.1.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p l°p t¼m iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n . . . . . . . . . . . . . . 16 2.2 C£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa . . . . . . . . . . . 20 2.2.1 Mæ t£ ph÷ìng ph¡p . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.2.2 Sü hëi tö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 K¸t luªn 30 T i li»u tham kh£o 31
1 B£ng kþ hi»u H khæng gian Hilbert thüc E khæng gian Banach E∗ khæng gian èi ng¨u cõa E R tªp c¡c sè thüc ∅ tªp réng ∀x vîi måi x I to¡n tû çng nh§t lp , 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c d¢y sè kh£ têng bªc p l∞ khæng gian c¡c d¢y sè bà ch°n Lp [a, b], 1 ≤ p < ∞ khæng gian c¡c h m kh£ t½ch bªc p tr¶n o¤n [a, b] lim supn→∞ xn giîi h¤n tr¶n cõa d¢y sè {xn } lim inf n→∞ xn giîi h¤n d÷îi cõa d¢y sè {xn } xn → x0 d¢y {xn } hëi tö m¤nh v· x0 xn * x0 d¢y {xn } hëi tö y¸u v· x0 J ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc Fix(T ) tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T
2 Mð ¦u B i to¡n t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå húu h¤n c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert hay khæng gian Banach l mët tr÷íng hñp ri¶ng cõa b i to¡n ch§p nhªn lçi: "T¼m mët ph¦n tû thuëc giao kh¡c réng cõa mët hå húu h¤n hay væ h¤n c¡c tªp con lçi v âng {Ci }i∈I cõa khæng gian Hilbert H hay khæng gian Banach E ". B i to¡n n y câ nhi·u ùng döng trong c¡c l¾nh vüc kh¡c nhau nh÷: Xû l½ £nh, khæi phöc t½n hi»u, vªt lþ, y håc,. . . Khi C = Fix(T ), tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n T , th¼ ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc · xu§t düa tr¶n c¡c ph÷ìng ph¡p l°p cê iºn nêi ti¸ng. â l ph÷ìng ph¡p l°p Mann [2], Ishikawa [5], Halpern [4], ph÷ìng ph¡p x§p x¿ m·m [6]. Nh¼n chung, c¡c ph÷ìng ph¡p ch¿ câ sü hëi tö y¸u. V½ dö, S. Reich ch¿ ra r¬ng n¸u khæng gian Banach E l lçi ·u v câ chu©n kh£ vi Fr²chet v n¸u d¢y {αn } thäa m¢n P∞ n=0 αn (1 − αn ) = ∞ th¼ d¢y {xn } ÷ñc t¤o ra tø ph÷ìng ph¡p Mann hëi tö y¸u ¸n mët ph¦n tû cõa Fix(T ). V¼ vªy, r§t nhi·u t¡c gi£ ¢ c£i ti¸n ph÷ìng ph¡p Mann v Ishikawa º câ ÷ñc sü hëi tö m¤nh cho c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Cho ¸n nay ¢ câ nhi·u ph÷ìng ph¡p ÷ñc ÷a ra düa tr¶n sü c£i bi¶n cõa c¡c ph÷ìng ph¡p n y cho c¡c lîp b i to¡n li¶n quan. Möc ti¶u cõa · t i luªn v«n l t¼m hiºu v tr¼nh b y l¤i mët c£i ti¸n cõa ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach lçi ch°t v trìn ·u trong b i b¡o [8] cæng bè n«m 2012. Nëi dung cõa · t i luªn v«n ÷ñc tr¼nh b y trong hai ch÷ìng.
3 Ch÷ìng 1. Khæng gian Banach v iºm b§t ëng Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Banach lçi ch°t, trìn ·u v mët sè t½nh ch§t. Ph¦n thù hai cõa ch÷ìng giîi thi»u v· b i to¡n iºm b§t ëng, tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa còng mët sè c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p. Ch÷ìng 2. Ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa t¼m iºm b§t ëng chung cõa hå ¡nh x¤ khæng gi¢n Trong ch÷ìng n y, luªn v«n tªp trung tr¼nh b y chi ti¸t k¸t qu£ cõa b i b¡o [8] v· mët c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa t¼m iºm b§t ëng chung cõa mët hå væ h¤n ¸m ÷ñc c¡c ¡nh x¤ khæng gi¢n. Luªn v«n ÷ñc ho n th nh t¤i Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. Trong qu¡ tr¼nh håc tªp v thüc hi»n luªn v«n n y, Tr÷íng ¤i håc Khoa håc ¢ t¤o måi i·u ki»n tèt nh§t º t¡c gi£ håc tªp, nghi¶n cùu. T¡c gi£ xin ÷ñc b y tä láng bi¸t ìn ch¥n th nh ¸n c¡c th¦y, cæ trong khoa To¡n - Tin, trong Tr÷íng ¤i håc Khoa håc - ¤i håc Th¡i Nguy¶n. °c bi»t, t¡c gi£ xin b y tä láng bi¸t ìn s¥u sc tîi GS.TS. Nguy¹n B÷íng - Ng÷íi ¢ tªn t¼nh h÷îng d¨n t¡c gi£ ho n th nh luªn v«n n y. T¡c gi£ công xin ÷ñc gûi líi c£m ìn tîi Ban gi¡m hi»u tr÷íng THPT Chuy¶n Bc Ninh, Bc Ninh v tªp thº c¡c th¦y cæ gi¡o trong tê To¡n- Tin cõa Tr÷íng ¢ t¤o i·u ki»n gióp ï t¡c gi£ trong thíi gian t¡c gi£ tham gia håc cao håc. Th¡i Nguy¶n, th¡ng 04 n«m 2019 T¡c gi£ luªn v«n Nguy¹n V«n Nga
4 Ch÷ìng 1 Khæng gian Banach v iºm b§t ëng Ch÷ìng n y tr¼nh b y mët sè ki¸n thùc cì b£n v· khæng gian Banach lçi ch°t, trìn ·u v mët sè t½nh ch§t. Ph¦n thù hai cõa ch÷ìng giîi thi»u v· b i to¡n iºm b§t ëng, tr¼nh b y mët sè ph÷ìng ph¡p t¼m iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n nh÷ ph÷ìng ph¡p l°p Mann, ph÷ìng ph¡p l°p Ishikawa còng mët sè c£i bi¶n cõa ph÷ìng ph¡p. Nëi dung cõa ch÷ìng ÷ñc têng hñp tø c¡c t i li»u [1]-[8]. 1.1 Khæng gian Banach v mët sè t½nh ch§t 1.1.1 Khæng gian Banach lçi, trìn Cho E l mët khæng gian Banach v E ∗ l khæng gian èi ng¨u cõa E . º cho ìn gi£n v thuªn ti»n, ta sû döng k½ hi»u k.k º ch¿ chu©n tr¶n E v E ∗ . Trong luªn v«n n y, ta sû döng t½nh ch§t d÷îi ¥y cõa khæng gian Banach ph£n x¤. M»nh · 1.1.1 (xem [2], trang 41) Cho E l mët khæng gian Banach. Khi â, c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng: (a) E l khæng gian ph£n x¤. (b) Måi d¢y bà ch°n trong E ·u câ mët d¢y con hëi tö y¸u. Sau ¥y l kh¡i ni»m v mët sè c§u tróc h¼nh håc c¡c khæng gian Banach nh÷: t½nh lçi, t½nh trìn, mæun lçi, mæun trìn.
5 ành ngh¾a 1.1.2 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u vîi måi x, y ∈ E, x 6= y m kxk = 1, kyk = 1 ta câ x + y 2 < 1. Chó þ 1.1.3 ành ngh¾a (1.1.2) cán câ thº ph¡t biºu d÷îi c¡c d¤ng t÷ìng ÷ìng sau: Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ch°t n¸u måi x, y ∈ SE thäa m¢n x+y = 1, suy ra x = y ho°c vîi måi x, y ∈ SE v 2 x 6= y ta câ ktx + (1 − t)yk < 1 vîi måi t ∈ (0, 1), trong â SE = {x ∈ E : kxk = 1}. ành ngh¾a 1.1.4 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l lçi ·u n¸u måi ε > 0, tçn t¤i δ(ε) > 0 sao cho vîi måi x, y ∈ E m kxk = 1, kyk = 1, kx − yk ≥ ε ta luæn câ x + y 2 ≤ 1 − δ(ε). D¹ th§y r¬ng n¸u E l mët khæng gian Banach lçi ·u th¼ nâ l khæng gian Banach lçi ch°t. Tuy nhi¶n i·u ng÷ñc l¤i khæng óng. º o t½nh lçi cõa khæng gian Banach E , ng÷íi ta ÷a v o kh¡i ni»m mæ un lçi cõa khæng gian Banach E : x + y δE (ε) = inf 1 − 2 : kxk ≤ 1, kyk ≤ 1, kx − yk ≥ ε . Nhªn x²t 1.1.5 Mæ un lçi cõa khæng gian Banach E l h m sè x¡c ành, li¶n töc v t«ng tr¶n o¤n [0; 2]. Khæng gian Banach E lçi ch°t khi v ch¿ khi δE (2) = 1. Ngo i ra, khæng gian Banach E l lçi ·u khi v ch¿ khi δE (ε) > 0, ∀ε > 0. M»nh · 1.1.6 (xem [1]) Måi khæng gian Banach lçi ·u b§t k¼ l khæng gian ph£n x¤. ành ngh¾a 1.1.7 Cho E l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux t¤i iºm x ∈ SE n¸u vîi méi y ∈ SE , tçn t¤i giîi h¤n d kx + tyk − kxk (kx + tyk)t=0 = lim . (1.1) dt t→0 t
6 ành ngh¾a 1.1.8 Cho E l mët khæng gian tuy¸n t½nh ành chu©n. Khi â: (a) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux n¸u nâ kh£ vi G¥teaux t¤i moi x ∈ SE . (b) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l kh£ vi G¥teaux ·u n¸u vîi moi y ∈ SE giîi h¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi x ∈ SE . (c) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet n¸u vîi moi x ∈ SE giîi h¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi y ∈ SE . (d) Chu©n tr¶n E ÷ñc gåi l kh£ vi Fr²chet ·u n¸u giîi h¤n (1.1) tçn t¤i ·u vîi måi x, y ∈ SE . ành lþ 1.1.9 (xem [2]) Cho E l mët khæng gian Banach. Khi â, ta câ c¡c kh¯ng ành sau: (a) N¸u E ∗ l khæng gian lçi ch°t th¼ E l khæng gian trìn. (b) N¸u E ∗ l khæng gian trìn th¼ E l khæng gian lçi ch°t. ành ngh¾a 1.1.10 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l h m sè x¡c ành bði ρE (τ ) = sup{2−1 (kx + yk + kx − yk) − 1 : kxk = 1, kyk = τ }. Nhªn x²t 1.1.11 Mæ un trìn cõa khæng gian Banach E l h m sè x¡c ành, li¶n töc v t«ng tr¶n kho£ng [0; +∞). ành lþ d÷îi ¥y cho ta bi¸t v· mèi li¶n h» giúa mæ un cõa khæng gian Banach E vîi mæ un lçi cõa E ∗ v ng÷ñc l¤i. ành lþ 1.1.12 (xem [2]) Cho E l mæt khæng gian Banach. Khi â ta câ nτ ε o (a) ρ (τ ) = sup E∗ − δX (ε) : ε ∈ [0, 2] , τ > 0. 2 nτ ε o (b) ρE (τ ) = sup − δX (ε) : ε ∈ [0, 2] , τ > 0. ∗ 2 Nhªn x²t 1.1.13 Tø ành lþ 1.1.12, suy ra ε0 (E ∗ ) ε0 (E) ρ0 (E) = v ρ0 (E ∗ ) = , 2 2 trong â ε0 (E) = sup ε : δE (ε) = 0 , ρ0 (E) = limτ →0 ρEτ(τ ) .
7 ành ngh¾a 1.1.14 Khæng gian Banach E ÷ñc gåi l trìn ·u n¸u ρE (τ ) lim = 0. τ →0 τ Tø Nhªn x²t 1.1.13, ta câ ành lþ d÷îi ¥y. ành lþ 1.1.15 (xem [2]) Cho E l mët khæng gian Banach. Khi â ta câ c¡c kh¯ng ành sau: (a) N¸u E l khæng gian trìn ·u th¼ E ∗ l khæng gian lçi ·u. (b) N¸u E l khæng gian lçi ·u th¼ E ∗ l khæng gian trìn ·u. 1.1.2 nh x¤ ìn i»u trong khæng gian Banach ành ngh¾a 1.1.16 nh x¤ J : E → 2E (nâi chung l a trà) x¡c ành ∗ bði Jx = {u ∈ E ∗ : hx, ui = kxkkuk, kuk = kxk}, ÷ñc gåi l ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc cõa khæng gian Banach E . V½ dö 1.1.17 Trong khæng gian Hilbert H , ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc l ¡nh x¤ ìn và I . ành ngh¾a 1.1.18 nh x¤ èi ng¨u chu©n tc J : E → 2E ∗ cõa khæng gian Banach E ÷ñc gåi l (i) li¶n töc y¸u theo d¢y n¸u J ìn trà v vîi måi d¢y {xn } hëi tö y¸u ¸n x th¼ Jxn hëi tö y¸u ¸n Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . (ii) li¶n töc m¤nh-y¸u theo d¢y n¸u J ìn trà v vîi måi d¢y {xn } hëi tö m¤nh ¸n x th¼ Jxn hëi tö y¸u ¸n Jx theo tæpæ y¸u∗ trong E ∗ . Nhªn x²t 1.1.19 Khæng gian lp, 1 < p < ∞ câ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc li¶n töc y¸u theo d¢y. nh x¤ èi ng¨u chu©n tc trong khæng gian Lp [a, b], 1 < p < ∞ khæng thäa m¢n t½nh ch§t n y. T½nh ìn trà cõa ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc câ mèi li¶n h» vîi t½nh kh£ vi cõa chu©n cõa khæng gian Banach nh÷ kh¯ng ành trong c¡c ành lþ sau ¥y. ành lþ 1.1.20 (xem [2]) Cho E l khæng gian Banach vîi ¡nh x¤ èi ∗ ng¨u chu©n tc J : E → 2E . Khi â c¡c kh¯ng ành sau l t÷ìng ÷ìng:
8 (i) E l khæng gian trìn; (ii) J l ìn trà; (iii) Chu©n cõa E l kh£ vi G¥teaux ∇kxk = kxk−1 Jx. Chó þ 1.1.21 Ta dòng k½ hi»u j º ch¿ ¡nh x¤ èi ng¨u chu©n tc ìn trà. 1.2 iºm b§t ëng 1.2.1 B i to¡n iºm b§t ëng ành ngh¾a 1.2.1 Cho C l mët tªp con kh¡c réng cõa khæng gian Banach E . (i) nh x¤ T : C → E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ L-li¶n töc Lipschitz n¸u tçn t¤i h¬ng sè L ≥ 0 sao cho kT x − T yk ≤ Lkx − yk, ∀x, y ∈ C. (1.2) (ii) Trong (1.2), n¸u L ∈ [0, 1) th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ co; n¸u L = 1 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ khæng gi¢n. Kþ hi»u Fix(T ) := {x ∈ C : T x = x} l tªp iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . Ta câ k¸t qu£ sau v· t½nh ch§t cõa tªp Fix(T ). ành lþ 1.2.2 (xem [2]) Cho C l tªp con kh¡c réng, lçi, âng trong khæng gian Banach lçi ch°t E v T : C → E l ¡nh x¤ khæng gi¢n. Khi â tªp Fix(T ) l tªp lçi âng. ành ngh¾a 1.2.3 nh x¤ A : C → E ÷ñc gåi l ¡nh x¤ λ-gi£ co ch°t n¸u vîi méi x, y ∈ D(A), tªp x¡c ành cõa ¡nh x¤ A, tçn t¤i j(x − y) ∈ J(x − y) sao cho hAx − Ay, j(x − y)i ≤ kx − yk2 − λkx − y − (Ax − Ay)k2 (1.3) vîi méi λ ∈ (0, 1). Trong (1.3), n¸u λ = 0 th¼ T ÷ñc gåi l ¡nh x¤ gi£ co. Ta th§y (1.3) câ thº ÷ñc vi¸t l¤i nh÷ sau h(I − A)x − (I − A)y, j(x − y)i ≥ λk(I − A)x − (I − A)yk2 (1.4) − λkx − y − (Ax − Ay)k2 .
9 Kþ hi»u πC l tªp hñp t§t c£ c¡c ¡nh x¤ co tr¶n C , tùc l πC = {f |f : C → C l ¡nh x¤ co}. Mët trong c¡c c¡ch nghi¶n cùu ¡nh x¤ khæng gi¢n l sû döng ¡nh x¤ co º x§p x¿ ¡nh x¤ khæng gi¢n. Cö thº, ta l§y t ∈ (0, 1) v ành ngh¾a ¡nh x¤ co Tt : C → C bði Tt x = tf (x) + (1 − t)T x, ∀x ∈ C (1.5) trong â f ∈ πC . Nguy¶n l½ ¡nh x¤ co cõa Banach b£o £m r¬ng Tt câ duy nh§t mët iºm b§t ëng xt trong C . B i to¡n. Cho T : C → C l ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi, âng, kh¡c réng C cõa khæng gian Banach E v o ch½nh nâ vîi Fix(T ) 6= ∅. T¼m ph¦n tû x∗ ∈ Fix(T ). Chó þ 1.2.4 N¸u T l ¡nh x¤ co tr¶n C th¼ d¢y l°p Picard x¡c ành bði x0 ∈ C, xn+1 = T (xn ) hëi tö m¤nh v· iºm b§t ëng duy nh§t cõa T . Tuy nhi¶n i·u n y l khæng cán óng èi vîi lîp ¡nh x¤ khæng gi¢n. 1.2.2 Mët sè ph÷ìng ph¡p l°p x§p x¿ iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n Ph÷ìng ph¡p l°p Mann N«m 1953, W.R. Mann ¢ nghi¶n cùu v · xu§t ph÷ìng ph¡p l°p xn+1 = αn xn + (1 − αn )T (xn ), x1 ∈ C, n ≥ 1. (1.6) Æng ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng, n¸u d¢y {αn } ÷ñc chån thäa m¢n ∞ X αn (1 − αn ) = ∞ (L1) n=1 th¼ d¢y {xn } x¡c ành bði (1.6) s³ hëi tö y¸u v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T , ð ¥y T : C → C l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con C lçi, âng v kh¡c réng cõa khæng gian Hilbert H v o ch½nh nâ. Chó þ r¬ng, trong tr÷íng hñp H l mët khæng gian Hilbert væ h¤n chi·u th¼ d¢y l°p (1.6) ch¿ hëi tö y¸u m khæng hëi tö m¤nh. Trong tr÷íng hñp αn = α ∈ (0, 1) vîi måi n th¼ ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.6) trð th nh ph÷ìng ph¡p l°p Kranoselskii.
10 N«m 1979, S. Reich ¢ mð rëng k¸t qu£ cõa Mann cho tr÷íng hñp T : C → C l mët ¡nh x¤ tø mët tªp con C kh¡c réng, lçi, âng cõa mët khæng gian Banach lçi ·u vîi chu©n kh£ vi Fr²chet v o C v æng công ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u d¢y {αn } ÷ñc chån thäa m¢n i·u ki»n limn→∞ αn = 0 th¼ d¢y {xn } s³ hëi tö y¸u v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . N«m 2003, K. Nakajo v W. Takahashi ¢ · xu§t mët c£i ti¸n cõa ph÷ìng ph¡p l°p (1.6) cho tr÷íng hñp T l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Hilbert d¤ng sau:     x0 ∈ C,   y = αn xn + (1 − αn )T (xn ),    n   Cn = {z ∈ C : kyn − zk ≤ kxn − zk}, (1.7)   Qn = {z ∈ C : hxn − z, x0 − xn i ≥ 0},        x n+1 = PCn ∩Qn (x0 ), trong â PK l ph²p chi¸u m¶tric tø H l¶n mët tªp con lçi âng K cõa H . Hå ¢ chùng minh ÷ñc r¬ng n¸u d¢y {αn } thäa m¢n i·u ki»n {αn } ⊆ [0, 1) th¼ d¢y l°p {xn } x¡c ành bði (1.7) hëi tö m¤nh v· PF(T ) (x0 ). N«m 2005, Kim v Xu ¢ mð rëng ph÷ìng ph¡p l°p Mann (1.6) tr¶n khæng gian Banach d¤ng:   x ∈ C,  0   yn = αn xn + (1 − αn )T (xn ), (1.8)   = β u + (1 − β )T (y ).n ≥ 0.  x n+1 n n n ành lþ 1.2.5 Cho C l mët tªp con lçi v âng cõa khæng gian Banach E . Cho T : C → C l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n vîi Fix(T ) 6= ∅. Vîi u ∈ C v c¡c d¢y sè {αn }, {βn } ⊂ (0, 1) thäa m¢n (i) αn → 0, βn → 0; (ii) ∞ P∞ n=0 βn = ∞; P n=0 α n = ∞, (iii) ∞ P∞ n=0 |βn − βn+1 | < ∞. P n=0 |α n − α n+1 | < ∞, Khi â, d¢y l°p {xn } x¡c ành bði (1.8) hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T .
11 Ph÷ìng ph¡p l°p Halpern Ph÷ìng ph¡p l°p cõa B. Halpern [4] ÷ñc · xu§t n«m 1967 d¤ng: xn+1 = αn u + (1 − αn )T (xn ), n ≥ 0, (1.9) trong â u, x0 ∈ C, {xn } ⊂ (0, 1) v T l mët ¡nh x¤ khæng gi¢n tø tªp con lçi âng C cõa khæng gian Hilbert H v o C . Æng ¢ chùng minh n¸u αn = n−α , α ∈ (0, 1) th¼ d¢y {xn } x¡c ành bði (1.9) s³ hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ T . N«m 1977, P.L. Lions ¢ chùng minh sü hëi tö m¤nh cõa d¢y {xn } v· mët iºm b§t ëng cõa T trong khæng gian Hilbert n¸u d¢y sè {αn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n sau: (C1) lim αn = 0, n→∞ X∞ (C2) αn = +∞, n=1 |αn+1 − αn | (C3) lim 2 = 0. n→∞ αn+1 Tuy nhi¶n, vîi c¡c k¸t qu£ cõa Halpern v Lions th¼ d¢y ch½nh tc 1 αn = l¤i bà lo¤i trø. N«m 1992, R. Wittmann ¢ mð rëng k¸t qu£ n+1 cõa Halpern v gi£i quy¸t ÷ñc v§n · tr¶n. Æng ¢ ch¿ ra r¬ng n¸u d¢y sè {αn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v i·u ki»n ∞ X (C4) |αn+1 − αn | < ∞, n=1 th¼ d¢y l°p {xn } x¡c ành bði (1.9) hëi tö m¤nh v· mët iºm b§t ëng cõa T . Sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.9) v· iºm b§t ëng cõa ¡nh x¤ khæng gi¢n trong khæng gian Banach công ¢ ÷ñc nghi¶n cùu v chùng minh. S. Reich ¢ ch¿ ra sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.9) khi d¢y sè {αn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v i·u ki»n (C5) {αn } l mët d¢y gi£m. N«m 2002, H.K. Xu ¢ thu ÷ñc ành lþ v· sü hëi tö m¤nh cõa d¢y l°p (1.9) n¸u d¢y {αn } thäa m¢n c¡c i·u ki»n (C1), (C2) v i·u ki»n
αn − αn+1
(C6) lim