Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tọa độ diện tích trong hình học phẳng

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:44

Thêm vào BST

Báo xấu

16
lượt xem 4
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục đích của luận văn này là trình bày một cách hệ thống các kiến thức về tọa độ diện tích và một số ứng dụng của tọa độ diện tích trong việc giải các bài toán hình học phẳng. Mời các bạn cùng tham khảo nội dung chi tiết.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương pháp tọa độ diện tích trong hình học phẳng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2017
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC PHẠM VĂN THẮNG PHƯƠNG PHÁP TỌA ĐỘ DIỆN TÍCH TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60 46 01 13 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. NGÔ VĂN ĐỊNH Thái Nguyên - 2017
Mục lục Lời cảm ơn ii Kí hiệu và quy ước iii Mở đầu 1 Chương 1 . Tọa độ diện tích 3 1.1 Khái niệm về tọa độ diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 1.3 Vị trí tương đối giữa hai đường thẳng . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.4 Quan hệ vuông góc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.5 Khoảng cách . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.6 Phương trình đường tròn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 Chương 2 . Một số ứng dụng của tọa độ diện tích 19 2.1 Định lý Ceva và định lý Menelaus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2.2 Công thức Conway . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Một số bài toán chứng minh đồng quy . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.4 Một số bài toán về diện tích . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Một số bài toán trong đề thi học sinh giỏi . . . . . . . . . . . . . . . 31 Kết luận 38 Tài liệu tham khảo 39 i
Lời cảm ơn Luận văn này được thực hiện tại Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên và hoàn thành với sự hướng dẫn của TS. Ngô Văn Định (Trường Đại học Khoa học - Đại học Thái Nguyên). Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc tới người hướng dẫn khoa học của mình, người đã đặt vấn đề nghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn và tận tình giải đáp những thắc mắc của tác giả trong suốt quá trình làm luận văn. Tác giả xin trân trọng cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Khoa học – Đại học Thái Nguyên, Ban Chủ nhiệm Khoa Toán–Tin, cùng các giảng viên đã tham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tác giả học tập và nghiên cứu. Tác giả muốn gửi những lời cảm ơn tốt đẹp nhất tới tập thể lớp Cao học Toán khóa 9B (2015-2017) đã động viên và giúp đỡ tác giả rất nhiều trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng, tác giả xin gửi những lời cảm ơn đặc biệt nhất đến gia đình vì những động viên và chia sẻ để tác giả hoàn thành luận văn này. Thái Nguyên, 2017 Phạm Văn Thắng ii
Kí hiệu và quy ước Trong luận văn này, ta luôn kí hiệu ∆ABC là một tam giác trong mặt phẳng với các đỉnh theo thứ tự có chiều dương (ngược chiều kim đồng hồ). Độ dài các cạnh được kí hiệu bởi a = BC, b = CA, c = AB. Ngoài ra, với ba điểm P, Q, R bất kỳ trong mặt phẳng ta kí hiệu [P QR] là diện tích có hướng của tam giác ∆P QR với dấu được quy ước là dấu âm khi và chỉ khi thứ tự các đỉnh theo chiều âm (cùng chiều kim đồng hồ). Hình 1 là ví dụ về diện tích có hướng của tam giác. Hình 1: [P QR] < 0, [P RQ] > 0 iii
Mở đầu Trong hình học phẳng, bên cạnh các hệ tọa độ quen thuộc như hệ tọa độ Descartes, tọa độ cực, tọa độ Affine của hình học xạ ảnh, hình học hiện đại còn có một lý thuyết rất thú vị thể hiện mối quan hệ mật thiết giữa hình học và đại số mà ở đó, tọa độ các điểm xác định nhờ một hình tam giác cơ sở thông qua các đại lượng vectơ, đó chính là tọa độ diện tích (areal coordinate) hay còn gọi là tọa độ tỉ cự (barycentric coordinate). Cụ thể hơn, với một tam giác cơ sở ∆ABC trong mặt phẳng, tọa độ diện tích của mỗi điểm P là bộ ba số thực (x, y, z) duy nhất thỏa mãn x + y + z = 1 và −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0. Ba số thực này được xác định bởi [P BC] [P CA] [P AB] x= ,y = ,z = , [ABC] [ABC] [ABC] trong đó kí hiệu [XY Z] là diện tích có hướng của tam giác ∆XY Z, tức là, diện tích lấy dấu dương nếu ba đỉnh X, Y, Z theo thứ tự ngược chiều kim đồng hồ và lấy dấu âm trong trường hợp còn lại. Khái niệm tọa độ diện tích đã được giới thiệu lần đầu tiên bởi nhà toán học người Đức August Ferdinand M¨obius vào năm 1827. Sau đó, nhiều nhà toán học khác đã quan tâm nghiên cứu về khái niệm này. Hiện nay, tọa độ diện tích thể hiện rõ tính hữu ích của nó trong việc nghiên cứu hình học phẳng và đặc biệt là các tính chất của tam giác. Mục đích của Luận văn này là trình bày một cách hệ thống các kiến thức về tọa độ diện tích và một số ứng dụng của tọa độ diện tích trong việc giải các bài toán hình học phẳng. 1
Cấu trúc của luận văn Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, nội dung chính của Luận văn được trình bày thành 2 chương: • Chương 1: Tọa độ diện tích. Trong chương này, chúng tôi trình bày về khái niệm tọa độ diện tích và một số khái niệm cơ bản của hình học phẳng trong tọa độ diện tích như: phương trình đường thẳng, vị trí tương đối của hai đường thẳng, quan hệ vuông góc, khoảng cách và phương trình đường tròn. • Chương 2: Một số ứng dụng của phương pháp tọa độ diện tích. Trong chương này, chúng tôi trình bày một số ứng dụng của tọa độ diện tích trong việc giải quyết các bài toán hình học phẳng. Đầu tiên chúng tôi trình bày chứng minh của hai định lý nổi tiếng, Định lý Ceva và Định lý Menelaus, bằng việc sử dụng tọa độ diện tích. Sau đó chúng tôi trình bày ứng dụng tọa độ diện tích trong việc giải một số bài toán chứng minh đồng quy, một số bài toán về diện tích và một số bài toán hình học phẳng trong các đề thi học sinh giỏi. Trước đó, chúng tôi trình bày kí hiệu và công thức Conway. 2
Chương 1 Tọa độ diện tích Trong chương mở đầu này, chúng tôi trình bày về khái niệm tọa độ diện tích trong mặt phẳng và một số khái niệm cơ bản của hình học phẳng trong tọa độ diện tích. 1.1 Khái niệm về tọa độ diện tích Trong mặt phẳng, để xây dựng hệ tọa độ diện tích (tiếng Anh: “areal coordinate system”), ta cần chọn một tam giác ∆ABC cố định với thứ tự các đỉnh theo chiều dương, được gọi là tam giác cơ sở. Tam giác này đóng vai trò như các trục tọa độ trong hệ tọa độ Descartes. Khi tam giác cơ sở này đã được chọn, mỗi điểm P trong mặt phẳng tương ứng với duy nhất bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z) thỏa mãn x+y +z = 1. Bộ ba số thực này được gọi là tọa độ diện tích của P và ta viết P = (x, y, z). Cụ thể ta có định nghĩa: Định nghĩa 1.1. Tọa độ diện tích của điểm P trong mặt phẳng với tam giác cơ sở [P BC] [P CA] [P AB] ∆ABC là [ABC] , [ABC] , [ABC] (xem Hình 1.1). Theo định nghĩa, ta có A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1). Giả sử P = (x, y, z). Khi đó, P nằm trên đường thẳng BC khi và chỉ khi x = 0, P nằm trên đường thẳng CA khi và chỉ khi y = 0, P nằm trên đường thẳng AB khi và chỉ khi z = 0. Hơn nữa, Các đường thẳng AB, BC, CA chia mặt phẳng thành 7 miền xác định bởi dấu của các tọa độ diện tích (xem Hình 1.2). Dựa vào quy ước về dấu của diện tích có hướng của tam giác ta dễ dàng kiểm tra được rằng nếu (x, y, z) là tọa độ diện tích của một điểm trên mặt phẳng thì x + y + z = 1. 3
Hình 1.1: Tọa độ diện tích của điểm P (x, y, z) Hình 1.2: Các miền phẳng xác định bởi dấu của tọa độ diện tích 4
Như vậy, với Định nghĩa 1.1, mỗi điểm P trong mặt phẳng xác định một tọa độ diện tích. Để chỉ ra định nghĩa này là có nghĩa ta cần chứng minh mỗi bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z) thỏa mãn x + y + z = 1 là tọa độ diện tích của duy nhất một điểm trong mặt phẳng. Trước tiên, định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ để bộ ba số thực (x, y, z) là tọa độ diện tích của điểm P . Định lý 1.2. Bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z) là tọa độ diện tích của điểm P với tam giác cơ sở ∆ABC khi và chỉ khi −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 và x + y + z = 1. Chứng minh. • Điều kiện cần: Giả sử (x, y, z) là tọa độ diện tích của điểm P . Ta cần chứng minh −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0. Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh −→ −−→ −→ [P BC]P A + [P CA]P B + [P AB]P C = ~0. Ta thấy rằng trong số ba cặp đường thẳng (P A, BC), (P B, CA) và (P C, AB) có ít nhất một cặp đường thẳng không song song với nhau. Không làm mất tính tổng quát ta có thể giả sử P A 6 kBC. Khi đó P A cắt BC tại một điểm A0 (xem Hình 1.3). Ta có −−→0 −−0→ −−→ −−→0 −−0→ −→ P A + A B = P B, P A + A C = P C. Suy ra −−0→ −−→0 −−0→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −−→ −→ A C(P A + A B) = A0 C.P B, A0 B(P A0 + A0 C) = A0 B.P C. −−→ −−→ −−→ −→ Do A0 C.P B = A0 B.P C nên −−→0 −−0→ −−0→ −−→ −−→ −−→ −→ −−→ A0 C −−→ A0 B −→ P A (A C − A B) = A0 C.P B − A0 B.P C ⇐⇒ P A0 = .P B − .P C. BC BC 5
Hình 1.3 Mặt khác, ta có A0 C [AA0 C [P A0 C P CA − 0 = = = . AB ABA0 P BA0 P AB Suy ra A0 C A0 C [P CA] A0 B [P AB] = 0 = và − = . BC A C − A0 B [P CA] + [P AB] BC [P CA] + [P AB] Vì vậy −−→0 [P CA] −−→ [P AB] −→ PA = .P B + .P C. (1.1) [P CA] + [P AB] [P CA] + [P AB] Ta lại có P A0 [P CA0 ] [P A0 B] [P CA0 ] + [P A0 B] [P BC] = = = =− . PA [P CA] [P AB] [P CA] + [P AB] [P CA] + [P AB] Suy ra −−→0 [P BC] −→ PA = − .P A. (1.2) [P CA] + [P AB] Từ (1.1) và (1.2) suy ra điều phải chứng minh. 6
• Điều kiện đủ: Để chứng minh điều kiện đủ của Định lý 1.2 ta chỉ cần chứng minh rằng có duy nhất bộ ba số thực có thứ tự (x, y, z) sao cho −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 và x + y + z = 1. Thật vậy, giả sử rằng (x0 , y 0 , z 0 ) là một bộ ba khác cũng thỏa mãn điều kiện trên. Khi đó, ta có −→ −−→ −→ −→ −−→ −→ x0 P A + y 0 P B + z 0 P C = xP A + y P B + z P C. Do đó, ta có −→ −−→ −→ (x0 − x)P A + (y 0 − y)P B + (z 0 − z)P C = ~0. (1.3) Mặt khác, ta có x + y + z = x0 + y 0 + z 0 = 1. Suy ra x0 − x = (y − y 0 ) + (z − z 0 ). Thay vào (1.3) ta được −→ −−→ −→ −→ (y − y 0 )(P A − P B) + (z − z 0 )(P A − P C) = ~0 hay −→ −→ (y − y 0 )BA + (z − z 0 )CA = ~0. Do A, B, C không thẳng hàng nên suy ra y − y 0 = z − z 0 = 0. Từ đây suy ra x = x0 , y = y 0 và z = z 0 . Ta có thể sử dụng điều kiện được nêu trong Định lý 1.2 để định nghĩa tọa độ diện tích của một điểm trong mặt phẳng. Đây là lý do mà tọa độ diện tích còn được gọi là tọa độ tỉ cự (tiếng Anh: “barycentric coordinate”). Định lý 1.3. Nếu (x, y, z) là bộ ba số thực thỏa mãn x + y + z 6= 0 thì tồn tại duy nhất một điểm P trong mặt phẳng thỏa mãn điều kiện −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0. 7
Chứng minh. Để chứng minh Định lý 1.3 ta cần bổ đề sau đây: Bổ đề 1.4. Cho M, N là hai điểm phân biệt trong mặt phẳng và α, β là hai số thực không đồng thời bằng không. Nếu α + β 6= 0 thì tồn tại duy nhất một điểm P trong mặt phẳng sao cho: −−→ −−→ αP M + β P N = ~0. −−→ −−→ Chứng minh. Theo giả thiết, ta có αP M + β P N = ~0 nên −−→ −−→ −−→ −αM P + β(M N − M P ) = ~0. Biến đổi đẳng thức này ta thu được −−→ −−→ (α + β)M P = β M N . Do α + β 6= 0 nên ta rút được −−→ β −−→ MP = MN. α+β Đẳng thức này suy ra tính tồn tại và duy nhất của điểm P . Bây giờ, chúng ta chứng minh Định lý 1.3. Vì x + y + z 6= 0 nên tồn tại một trong ba số x + y, y + z, z + x khác không. Không mất tính tổng quát, ta giả sử x + y 6= 0. −−→ −−→ Theo Bổ đề 1.4, tồn tại duy nhất điểm M thỏa mãn xM A + y M B = ~0. Từ điều kiện −→ −−→ −→ xP A + y P B + z P C = ~0 ta suy ra −−→ −−→ −−→ −−→ −→ x(P M + M A) + y(P M + M B) + z P C = ~0. Do đó −−→ −−→ −−→ −→ (x + y)P M + (xM A + y M B) + z P C = ~0 hay −−→ −→ (x + y)P M + z P C = ~0. Vì (x + y) + z 6= 0 nên điểm P được xác định duy nhất theo Bổ đề 1.4. Từ Định lý 1.3 ta có được hệ quả sau đây. 8
Hệ quả 1.5. Nếu (x, y, z) là bộ ba số thực thỏa mãn x + y + z = 1 thì tồn tại duy nhất một điểm P trong mặt phẳng nhận (x, y, z) làm tọa độ diện tích đối với một tam giác cơ sở nào đó. Hệ quả 1.5 chứng tỏ rằng Định nghĩa 1.1 là hoàn toàn có nghĩa. Ví dụ 1.6. Với tam giác cơ sở ∆ABC, kí hiệu S là hai lần diện tích tam giác ABC, a SA = a2 SA + b2 SB + c2 SC và P 2 SA = S cot A, SB = S cot B, SC = S cot C, cyclic SB SC = SB SC + SC SA + SA SB . Khi đó, ta có tọa độ diện tích của một số điểm P cyclic đặc biệt của tam giác ∆ABC như sau: Ba đỉnh A = (1, 0, 0), B = (0, 1, 0), C = (0, 0, 1) 1 1 1 Trọng tâm G= , , 3 3 3 a b c Tâm đường tròn nội tiếp I= , , a + b + c a + b + c a + b + c   a2 SA b2 SB c2 SC  Tâm đường tròn ngoại tiếp O =  P 2 , P 2 , P 2  a SA a SA a SA cyclic cyclic cyclic   SB SC SC SA SA SB  Trực tâm H= P , P , P SB SC SB SC SB SC  cyclic cyclic cyclic 1.2 Phương trình đường thẳng Định lý sau đây cho ta điều kiện cần và đủ đối với tọa độ diện tích để ba điểm trong mặt phẳng thẳng hàng. Điều kiện này chính là cơ sở để ta xây dựng phương trình đường thẳng trong hệ tọa độ diện tích. Định lý 1.7. Ba điểm P = (x1 , y1 , z1 ), Q = (x2 , y2 , z2 ) và R = (x3 , y3 , z3 ) trong mặt phẳng thẳng hàng khi và chỉ khi
x1 y1 z1