Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

Chuyên ngành : Toán giải tích

: 60 46 01 02

Mã số

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

Học viên xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng học viên. Luận

văn được hoàn thành bởi cá nhân dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông.

Các tài liệu tham khảo, các định lí, bổ đề và các kết quả trích dẫn, sử dụng trong

luận văn đều được nêu đầy đủ nguồn gốc cụ thể, rõ ràng.

TP. Hồ Chí Minh, ngày 14 tháng 9 năm 2014

Học viên thực hiện

Lê Nhật Nguyên

MỤC LỤC

Trang phụ bìa

Lời cam đoan

Mục lục

MỞ ĐẦU ................................................................................................................... 1

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ ............................................................... 3

1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi .................................................................... 3

1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi ................................................................................. 7

1.3. Phép tính vi phân phức ........................................................................................ 9

1.4. Hàm đa điều hòa dưới ........................................................................................ 15

1.5. Đa tạp Stein ....................................................................................................... 17

1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler ......................................................................... 19

1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối .................. 20

1.8. Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt ....... 24

Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE

TRÊN ĐA TẠP PHỨC ......................................................................... 27

2.1. Dòng dương đóng .............................................................................................. 27

2.2. Toán tử Monge-Ampere .................................................................................... 33

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA

TẠP COMPACT KAHLER ................................................................ 43

3.1. Mở đầu ............................................................................................................... 44

3.2. Nguyên lý so sánh .............................................................................................. 47

3.3. Ước lượng L ................................................................................................... 49

3.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm ................................................................... 55

KẾT LUẬN ............................................................................................................. 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 61

MỞ ĐẦU

Một nhánh trong giải tích phức nhiều biến phát triển mạnh mẽ trong vòng 30

năm trở lại đây là lý thuyết đa thế vị. Nhiều kết quả quan trọng của lý thuyết này được

người ta biết đến từ khá sớm trước những năm 80 của thế kỉ trước. Các kết quả đặc sắc

của E.Berford và B.A.Taylor năm 1982 là việc xây dựng thành công toán tử Monge –

Ampere phức cho lớp hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương, tìm ra nghiệm đa điều

hòa dưới của bài toán Dirichlet cho phương trình Monge – Ampere phức và đưa ra

n . Có thể xem đây

khái niệm dung lượng của một tập Borel trong một tập mở trong

như là một công cụ hữu hiệu cho việc phát triển lý thuyết đa thế vị cho đến nay. Trong

cdd u

dµ= ,

những năm gần đây bài toán Dirichlet đối với phương trình Monge-Ampere phức:

(

)

u ϕ= trên biên

được giải với một lớp rộng rãi các độ đo khác nhau. Việc đưa ra các điều kiện để

phương trình có nghiệm liên tục cũng như mô tả các độ đo này để phương trình có các

nghiệm thuộc lớp rộng hơn các hàm đa điều hòa dưới được sự quan tâm của các nhà

toán học trên thế giới.

Phương trình Monge-Ampere cũng được nghiên cứu gắn với hình học các đa tạp

Kahler. Ở đây nghiệm của phương trình sinh ra một mê tric Kahler với độ cong Ricci

cho trước. Vào những năm 70 Yau giải phương trình Monge-Ampere trên các đa tạp

compact Kahler với dữ liệu trơn suy biến, chứng minh một phỏng đoán lừng danh của

Calabi là đúng. Trong chứng minh ông sử dụng phương pháp liên tục cùng với phương

pháp đánh giá tiên nghiệm đối với đạo hàm của nghiệm. Theo cách tương tự phương

trình cũng được nghiên cứu trên miền giả lồi ngặt bởi Caffarelli. Kohn, Nirenberg và

Spruck. Khi đó ngoài việc chỉ ra sự tồn tại nghiệm, Aubin, G.Tian còn chỉ ra tính

chính quy của nghiệm với các giả thiết phù hợp. Năm 1998, S.Kolodziej đã khái quát

định lý của Yau với dữ liệu không trơn, suy biến. Đặc biệt, ông chỉ ra sự tồn tại của

nghiệm của phương trình Monge-Ampere trên đa tạp Kahler compact với vế phải

pL p > .

thuộc lớp

Với mong muốn tìm hiểu một số kết quả của lý thuyết đa thế vị và phương trình

Monge – Ampere phức trên đa tạp Kahler compact nên tôi chọn nội dung “Tìm hiểu

bước đầu về phương trình Monge-Ampere phức trên đa tạp compact Kahler”

làm đề tài luận văn của mình. Nội dung chính của luận văn này trình bày về sự tồn tại,

tính duy nhất và ổn định của các nghiệm của phương trình Monge-Ampere phức trên

một đa tạp Kahler compact bằng cách áp dụng các phương pháp của lý thuyết đa thế

vị. Luận văn gồm 3 chương:

Chương 1 trình bày các kiến thức chuẩn bị.

Chương 2 trình bày về dòng dương đóng và toán tử Monge – Ampere trên đa tạp

phức.

Chương 3 trình bày về phương trình Monge- Ampere phức trên đa tạp compact

Kahler.

Phương pháp nghiên cứu luận văn chủ yếu là tổng hợp, so sánh, tham khảo các

tài liệu, trình bày lại các kết quả.

Luận văn được hoàn thành tại trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh

dưới sự hướng dẫn của TS. Nguyễn Văn Đông. Nhân dịp này tôi xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới thầy, người đã tận tình chu đáo và động viên tôi rất nhiều trong suốt quá

trình học tập cũng như quá trình hoàn thành luận văn.

Tôi xin cảm ơn tất cả các thầy đã nhiệt tình giảng dạy và giúp đỡ tôi trong suốt

quá trình học tập.

Xin cảm ơn các bạn học viên ngành toán đã động viên giúp đỡ tôi và có nhiều ý

kiến đóng góp trong quá trình hoàn thành luận văn.

Do trình độ và thời gian có hạn nên luận văn không tránh khỏi những thiếu sót.

Tôi rất mong nhận được sự chỉ bảo và góp ý của các thầy cô và các bạn.

Thành phố Hồ Chí Minh, tháng 9 năm 2014

Tác giả

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1. Phép tính vi phân trên đa tạp khả vi

1.1.1. Đa tạp khả vi

{ } k ∈ ∪ ∞ 

kC .

. Ta ký hiệu lớp các hàm khả vi k lần v ới các đạo hàm Cho m   và

liên tục là

kC là một không gian tôpô X

kC với

Một đa tạp khả vi m chiều thực thu ộc lớp

kC m chiều trên X là họ

Hausdorff, khả ly, nghĩa là có một cơ sở đếm được, được trang bị một atlas lớp

m . Một atlas lớp

} { ( ) ϕ , Uα α α

∈

Aα∈ .

thỏa mãn: giá trị trong

i) Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi

m với mọi

ϕ α

→ là đồng phôi từ Uα lên một tập mở Vα trong

V α

Aα∈ .



ii)







→

. iii)

kC với mọi



φ ϕ ϕ ϕ  β α

− 1 : α

βα

ϕ β

( U

)

( U

)

α β∈ .

iv) là một vi phôi lớp

)

,Uα αϕ được gọi là bản đồ địa phương.

+ (

+ Uα được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó.

,...,

( ) x

αϕ

α α x x , 1 2

α x n

(

)

+ Các thành phần của được gọi là hệ tọa độ địa phương



 

trên Uα xác định bởi αϕ .



  



được gọi là phép biến đổi tọa độ (phép chuyển dịch). Ta có mối +

α x

(

)

αβφ=

liên hệ

∈ ∪ ∞

≤ ≤ s

(

Nếu k = ∞ ta nói X là đa tạp trơn m chiều.

sC   là tập )

{ }, 0



Nếu Ω là tập con mở của X và ta ký hiệu

sC trên Ω , nghĩa là

sC trên

)

Ω

( αϕ Uα



hợp các hàm thuộc lớp thuộc lớp .

(

)

sC   là tập hợp các hàm có mở rộng thuộc

sC trên một lân cận nào đó của Ω ,

Nếu Ω không là tập con mở của X thì

lớp

+ Một vec-tơ tiếp xúc ξ tại điểm a X∈ được định nghĩa là một toán tử vi phân





a ( )



f C

tác động lên các hàm, có dạng:

  , )

 f   x

 1

,..,

với

x 1(

x )m

trong hệ tọa độ địa phương bất kỳ trên tập mở Ω chứa a. Khi đó ta viết

= 1

∂ ∂∑ ξ j jx

∂      ∂ x  ≤ ≤ 1

j m

. Với mọi a ∈ Ω bộ là cơ sở của không gian tiếp xúc của không

,X aT

gian X tại a, ký hiệu là

,X aT được định nghĩa

Vi phân của hàm f tại a là dạng tuyến tính trên không gian

∀ ∈ ξ

= ξ ξ ( ) .

a ( ) ,

, X a

∂ f ∂∑ ξ j x

= 1

(

,..,

bởi:

dx 1

dx ξ ξ= ( ) j

∂ f ∂∑ x

= 1

nên ta có thể viết . Như vậy là cơ Đặc biệt

,X aT . Các hợp

T X

X x ,

  và T

 x X

 ∂     ∂ x  ≤ ≤ 1

j m

* T X

* X x ,

  được gọi là phân thớ tiếp xúc và phân thớ đối tiếp xúc của X.

 x X

trong không gian đối tiếp xúc sở đối ngẫu của

sC trên Ω nếu nó là một ánh xạ



x ( )



x ( )

Ta nói ξ là một trường vec-tơ thuộc lớp

sC .



ξ j

X x ,

∑

∂ ∂ x

= 1

sao cho có các hệ số thuộc lớp

1.1.2. Các dạng vi phân trên đa tạp khả vi

T∈ Λ

u x ( )

Một dạng vi phân bậc p, hay vắn tắt một p- dạng trên X là một ánh xạ trên X lấy

* X x ,

. Trong một tập mở tọa độ Ω ⊂ X, một p-dạng vi phân có thể được giá trị

u x ( )

u x dx ( )

= ∑

viết là:

i 1( ,..,

< < và i p

= :

∧ ∧ ...

trong đó là một đa chỉ số với các thành phần là các số nguyên 1 i

dx i

dx i 1

0,1,...,

s C X (

)

. Ký hiệu I là số các thành phần của I, đọc là độ dài của I.

k≤ , ta ký hiệu

{ } s ∈ ∪ ∞ 

p * TΛ X

sC , nghĩa là với các hệ số

sC .

Với mọi số nguyên và , s là

Iu thuộc lớp

không gian các p-dạng vi phân thuộc lớp

v x ( )

u x ( )

u x dx ( )

Các phép toán trên dạng vi phân cũng được định nghĩa một cách tự nhiên.

v x dx ( ) J

= ∑

= J q

Tích ngoài. Nếu là một p-dạng vi phân và là một





 u v x ( )

( )

u x v x dx J





p J ,

q-dạng vi phân, tích ngoài của u và v là một dạng p+q được xác định bởi:

sC là toán tử vi

Đạo hàm ngoài. Đạo hàm ngoài của một p- dạng vi phân thuộc lớp

 1







s d C X

(

)

(

)

* T X

 1 * T X

phân:





được xác định trong hệ tọa độ địa phương bởi:

dx k

k m

   ,1

 u  x k

(1.1)

Thuận lợi của công thức (1.1) là nó không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ.

deg

∧ + −

d u v

∧ = )

(

du v

( 1)

∧ u dv

d = 0

du = và được gọi là khớp nếu có thể viết

Hai tính chất cơ bản của đạo hàm ngoài là:

dv=

Một dạng u được gọi là đóng nếu

F X :

với v là một dạng nào đó.

X→ là một ánh xạ khả vi từ đa tạp X đến đa tạp X’,

dim '

X m=

Kéo ngược. Nếu

( ) v y

( ) y dy

= ∑



y F x ( )

*F v là một p- dạng vi phân trên X nhận được bằng cách thay

và nếu là một p dạng vi phân trên X’, thì kéo ngược

vào v, nghĩa

F v x * ( )

(

∧ ∧ ..

dF i

v F x dF ( )) I i 1

∑

là:

G X :

X→ và nếu w là dạng vi phân trên X’’ thì

*( * )

z G y y F x ( )

( ),

F G w nhận được bằng các thay thế

Nếu ta có ánh xạ thứ hai

F G w *( * )

  ( G f w

d F v ( * )

F dv *(

)

do đó:

Hơn nữa ta luôn có . Điều này dẫn đến kéo ngược F* là đóng

nếu v đóng và là khớp nếu v khớp.

Tích phân của các dạng vi phân. Một đa tạp X được gọi là được định hướng nếu và chỉ

)

,Uα αϕ sao cho các αβφ bảo tồn hướng, nghĩa là có định thức

nếu tồn tại một atlas (

u x ( )

,...,

∧ ∧ ..

Jacobi dương.

f x ( 1

x dx ) 1 m

dx m

là một dạng liên Giả sử X được định hướng. Nếu



,...,

∧ ∧ ..

f x ( 1

x dx ) m 1

dx m

∫



tục với bậc cực đại m = dim X , với giá compact trong một tập mở tọa độ Ω , ta đặt:

Qua phép đổi biến, kết quả độc lập với việc chọn các tọa độ nên chúng ta chỉ xét

các tọa độ tương ứng với định hướng đã cho. Khi u là một dạng tùy ý với giá compact,

u∫

định nghĩa của được mở rộng bằng phép phân hoạch đơn vị tương ứng với các tập

F X :

X→ là một vi phôi giữa các đa tạp có định hướng và v là dạng thể

mở tọa độ phủ suppu.

Cho

= ±

F v *

∫

tích trên X’. Công thức đổi biến:

phụ thuộc vào F có bảo toàn hướng hay không .

(

,...,

Cho K là một tập con compact của X với biên khả vi liên tục từng khúc. Với giả

K∈ ∂ có các tọa độ

x x , 1 2

x )m

thiết này chúng ta hiểu rằng với mỗi a trên một lân

≤

0,...,

K V

cận V của a , tâm a , sao cho:

1l ≥ .

{ ∩ = ∈

} 0

x V x 1

x l

với chỉ số l nào đó

∂ ∩ là một hợp của các siêu mặt trơn với các biên khả vi liên tục từng

Khi đó K V

∈

≤

0,...,

x l

{

} 0

∂ ∩ = K V U x V x 1 ≤ ≤ 1 j l

khúc:

,...,

)

1( x

 x j

x m

jx = thì 0

K∂ Chúng ta lấy một định hướng của K∂ được cho bởi các tọa độ hoặc bởi tọa độ đối

( 1) j− −

Tại các điểm thuộc K∂ mà xác định các tọa độ trên

1C bậc

1m − trên X ta có:

. Mọi dạng u thuộc lớp tùy thuộc và dấu

=∫ u

∫

∂ K

(Công thức Stokes)

∞ C m ,

dim

1.2. Dòng trên các đa tạp khả vi



s C X (

)

. Trước hết ta giới Cho X là một đa tạp khả vi có định hướng lớp

XΩ ⊂ là một tập

p TΛ X

= ∑

( ) u x

( ) u x dx

thiệu một tô-pô trên không gian các dạng vi phân . Cho

mở tọa độ và u là một p − dạng trên X, được viết là trên Ω . Đối với

s P u ( ) L

α D u x ( ) I

sup max ≤ α= p I , ∈ x L

,...,

mọi tập con compact L ⊂ Ω và mọi số nguyên s   ta xét nửa chuẩn:

m và

α α α 1(

∂ α α ∂ ∂ ... x x m 1 m 1

+ + ...

chạy khắp là một đạo hàm cấp với

= α α 1

α m

P Xε (

)

s P X (

)

∞ C X (

)

1.2.1. Định nghĩa

* T X

s C X (

)

a) Ta ký hiệu (tướng ứng ) là không gian (tướng

s L Ω thay ,

P * TΛ X

LP khi

), được trang bị tô pô xác định bởi các nửa chuẩn ứng

,L Ω thay đổi).

(

)

X⊂ là một tập compact ta ký hiệu

PD K là không gian con của

đổi (tương ứng khi

P Xε (

)

P Xε∈

(

)

b) Nếu K

P D X (

) :

(

)

(

PD X ký hiệu tập hợp tất cả các phần tử với giá compact, nghĩa là

P U D K K

(

)

(

với các phần tử có giá compact trong K , cùng với tô pô cảm sinh ;

sC − dạng

PD K và )

PD X được định nghĩa tương

P Xε (

)

c) Các không gian của các

P Xε (

)

s P Xε (

)

tự. Vì các đa tạp được ta giả thiết là khả ly nên tô pô của được xác định bởi họ

LP và do đó

)

(

(cũng như ) là một không gian đếm được các nửa chuẩn

PD K được sinh bởi mọi tập hữu hạn các nửa chuẩn

KjP sao cho

)

(

Frechet. Tô pô của

PD K là một không gian Banach. Tuy nhiên,

jK phủ K . Do đó

các tập compact

(

)

(

)

P Xε (

)

PD X không là một không gian Frechet,

PD X trù mật trong

Không gian các dòng được định nghĩa như là đối ngẫu của các không gian trên,

tương tự như định nghĩa thông thường về các phân bố.

' (

1.2.2. Định nghĩa

pD X các )

)

(

)

PD X sao cho hạn chế của T lên mọi không gian

PD K , (

Không gian các dòng chiều p (hay bậc m p− ) trên X là không gian

K X là ánh xạ liên tục. Bậc được chỉ ra bằng các chỉ số mũ do đó ta đặt :

− m p

(

)

) :

= (

PD X (

)) ',

PD X (

)) '

dạng tuyến tính T trên

' D X ( p

− m p

(

)

) :

(

)) '

p ( D X

trong đó ( là đối ngẫu tôpô của

PD X ( ) được định nghĩa tương tự và được

' ( D X p

Không gian

∈

〈 ,T u

u D X

(

)

〉 là cặp giữa một dòng T và một dạng thử

gọi là không gian dòng cấp s trên X.

∈

' (

)

T D X

. Rõ ràng Ta đặt

pD X được đồng nhất như là một không gian con các dòng

' ( p

)

(

PD K với mọi tập compact K nằm trong một mảnh tọa độ

mà liên tục

KP trên

Ω . Giá của T, ký hiệu suppT , là tập con đóng nhỏ nhất A X⊂ sao cho hạn chế của T

)

(

PD X A bằng 0. Đối ngẫu tô pô

với các nửa chuẩn

' ( p Xε

)

' (

pD X với giá compact.

được đồng nhất với tập các dòng của lên

1.2.3. Đạo hàm ngoài và tích ngoài của dòng trên đa tạp khả vi

Nhiều phép toán trên các dạng vi phân có thể được mở rộng cho các dòng bằng

+ 1

∈

s ∈

' q D X (

)

(

)

(

)

các lí luận đối ngẫu.

' X− ( m q

' m q

− − 1

Cho . Đạo hàm ngoài được

+ 1

m q

− − 1

= −

∈

dT u ,

( 1)

T du u

(

)

+ 1

− − m qD

)

định nghĩa bởi :

m q

+ 1

− − 1

−→ s m q D

(

)

(

)

được suy ra từ tính liên Tính liên tục của dạng tuyến tính dT trên

q r

∈

∧ ∈

q ' ( D X

)

s r Xε∈

(

)

s g D

X+ (

)

tục của ánh xạ .

− − m q r

∧

g u ,

T g u

s ∈ u D

(

)

và tích ngoài xác định bởi: + Với

1.2.4. Mệnh đề

∈

,...,

q ' ( D X

)

XΩ ⊂ . Mọi dòng

x 1(

x )m

Cho là hệ tọa độ trên một tập con mở

bậc q có thể được viết dưới dạng duy nhất :

T dx I

= ∑

= I q

trên Ω

IT là các hàm phân bố cấp s trên Ω , được xem như là các dòng bậc 0.

ở đây

Dòng bậc 0 trên X có thể xem như một dạng vi phân với hệ số là độ đo. Để hợp

T u ,

∧ T u

∫

m P

∩

∈

suppu

(

)

s P Xε∈

)

X− (

)

nhất các ký hiệu liên quan đến các dạng và dòng, ta đặt:

' D X ( P

và sao cho suppT là tập Khi

)

' (

compact.

PD X là tô pô được xác định bởi họ nửa chuẩn :

 

T f ,

f D X

(

)



Tô pô yếu trên

X X có duy nhất một dòng trên

X X×

Tích ten xơ. Nếu S,T là các dòng trên các đa tạp

∈  u D X

(

)

∈  v D X

(

, ký hiệu S T⊗ và được định nghĩa tương tự như tích ten xơ các phân bố, sao

T deg deg

⊗

∧

= −

S u T v

S T u v ,

( 1)

deg

( 1)

)

(

d S T

⊗ = ⊗ + − dS T

và cho với mọi

⊗ dT

Ta có thể kiểm tra được

1.3. Phép tính vi phân phức

1.3.1. Đa tạp phức

Cho n   . Một đa tạp phức n chiều (phức) X là một không gian tôpô

} { ( ) ϕ Uα α α ,

∈

thỏa mãn: Hausdorff cùng với một atlas phức



i. Uα là tập con mở khác rỗng của X với mọi α∈ A .

n với mọi α∈ A .

  là đồng phôi từ Uα lên một tập mở trong

U :





ii.







→

. iii.

,α β∈ A .





− 1 : ϕ ϕ ϕ α α

ϕ β

( U

)

( U

)

iv. chỉnh hình với mọi

)

,Uα αϕ được gọi là bản đồ địa phương.

+ (

+ Uα được gọi là miền tọa độ hay mảnh tọa độ của bản đồ địa phương đó.

( ) αϕ = z

α α z 2, z 1

α z ,..., n

(

)

được gọi là hệ tọa độ địa phương + Các thành phần của

trên Uα xác định bởi αϕ .

 





được gọi là phép đổi tọa độ (phép chuyển dịch). +

Nhận xét. Một đa tạp phức với chiều phức n là một đa tạp khả vi được trang bị atlas

n , các phép chuyển dịch là các ánh xạ chỉnh hình.

chỉnh hình với giá trị trong

m n≤

,U ϕ trên X sao cho

Mξ∈ , có một bản đồ địa phương (

)

Uξ∈ và

ϕ− 1

∈

nếu với mỗi Định nghĩa. Một tập con M của đa tạp phức n chiều X được gọi là đa tạp con m chiều (

,...,

...

(

)

M U 



z z , 1

+ 1

{

} 0

(

)

= − .

Số n m− được gọi là đối chiều của M . Ký hiệu: co dim M n m

Định nghĩa

,U α là một bản đồ địa phương với hệ tọa độ (

)

z z 2, 1

z ,..., n

và f là a. Giả sử (

ϕ− 1

hàm giá trị phức xác định trên U . Khi đó ta có thể xem f như một hàm n biến phức

,...,

(

)

(

)

f  

z z 2, 1

z ,..., n

z z , 1

. xác định bởi: (

k ∈

XΩ ⊂ và số tự nhiên

:f    được gọi là

{ } ∞ 

Ω

b. Cho tập mở . Hàm

kC trên Ω nếu



( U

)





− ∈ 1 ϕ α

Aα∈ mà U   

( ϕ α

)

với mọi . thuộc lớp

kC trên Ω là

(

)

kC Ω  . ,

Ký hiệu tập tất cả các hàm (phức) thuộc lớp

XΩ ⊂ , hàm

:f    được gọi là chỉnh hình trên Ω nếu với mỗi

Cho tập mở

p ∈ Ω

p U∈ sao cho

( ) ,U ϕ với

( ϕ ϕ− 1 : U

) Ω →





 là chỉnh hình.

tồn tại một bản đồ địa phương

)O Ω . (

Tập tất cả các hàm chỉnh hình trên Ω ký hiệu là:

(

)

( ) ,U ϕ

z z 2, 1

z ,..., n

ϕ− 1

là hệ tọa độ địa phương ứng với thì Nếu

,...,

(

)

(

)

f  

z z , 1

là hàm chỉnh hình theo nghĩa thông thường.

Định nghĩa chỉnh hình là độc lập với cách chọn hệ tọa độ địa phương.

V T X =

1.3.2. Dạng vi phân trên đa tạp phức

,...,

là không gian tiếp xúc của X Cho X là một đa tạp phức n chiều. Xét

)

z z 2, 1

z ,..., n

       z 

      z  1

là các tọa độ trên V , là một cơ sở trên V , tại x X , (

*V . Ta ký hiệu

(

)

( ,p q X

)

1,...,

,p q trên X , tức là các dạng u có biểu diễn:

là cơ sở của đối ngẫu là tập tất cả các dạng vi

)

∧

phân kiểu (

− dz J

u dz I J ,

∑

p J q

(1.2)

,p q tương ứng

,...,

i 1

i 2

j 1

j 2

j q

(

)

≤

là các tập đa chỉ số độ dài trong đó

...

< < ...

≤ < < < i 2

i 1

j 1

j 2

j q

( 1

)

∧

, và :

∧ ∧ ...

d z

∧ ∧ ...

d z

dz d z , i

dz i 1

dz i 2

j 1

j 2

j q

d z

Định nghĩa

)1,1 trên X có biểu diễn:

∧∑ dz

= 1

được gọi là a. Dạng vi phân kiểu (

dạng Kahler trên X .

ndV

1 n β= ! n

∈

. b. Dạng thể tích trên X có biểu diễn

,I J ;

sC nếu

( s C X

)

 với mọi

I Ju ,

,I Ju

được gọi là các + Ta nói u thuộc lớp

hệ số của u .

sC kiểu (

)

(

) X .

s p qC ,

,p q trên X là

Ký hiệu tập tất cả các dạng vi phân lớp

+ Ta nói u là dạng vi phân bậc r trên X nếu trong hệ tọa độ địa phương

(

)

z z 2, 1

z ,..., n

ju là các dạng vi

= ∑ trong đó

= 1

+ = .

,p q thỏa p q

bất kỳ, u được biểu diễn dưới dạng

)

phân kiểu (

( r XΛ

)

. Tập tất cả các dạng vi phân bậc r trên X được ký hiệu

∈

Các toán tử vi phân phức

1 f C X

)

(

)

 thì trong hệ tọa độ địa phương (

z z 2, 1

z ,..., n

d z

∂ = f

d z

∂ = f

a. Nếu ta có:

∑

∂ f ∂∑ z

∂ f ∂ z

∂ f ∂∑ z

= 1

, , .

u C

X∞∈

)

(

)

,p q

z z 2, 1

z ,..., n

b. Nếu , u có biểu diễn và trong hệ tọa độ địa phương (

→

d C :

(

)

∞ , p q

∞ + p

+ 1

∂

→

∞ , p q

∞ + p

∂

→

( ( (

) ) )

( (

X ) )

∞ , p q

+ 1

(1.2) thì các toán tử vi phân ngoài:

∧

∂ = u

d z

∑ ∑

≤ ≤

∂ u I J , ∂ z

, 1 I J

k n

∧

∂ = u

d z

∂ u ∂∑ ∑

≤ ≤

I J , z

I J , 1

k n

= ∂ + ∂ u u

xác định bởi:

∂∂ = −∂∂ .

2 d = ∂ = ∂ =

∈

Lưu ý.

∂ − ∂ , khi đó:

∂∂ và nếu

2 u C X

(

)

 thì trong hệ

(

)

i π

1 iπ 2

∧

c. Đặt

c dd u

d z

)

z z 2, 1

z ,..., n

∂ u ∂ ∂∑ z z

i π = , j k 1

ta có: . tọa độ địa phương (

,p q mà các hệ số thuộc

( ,p qD

X . Trong

Không gian các dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Họ tất cả các dạng vi

)

( C X∞

)

) (

 được ký hiệu là

p q ,

(

j ϕ

∧

⊂

d z

phân kiểu (

( ,p qD

) (

)

) (

)

}

X ta xét sự hội tụ: Nếu { j ϕ

≥

∑ j ϕ= I J , , I J

jϕ

ϕ→∞→ khi và chỉ khi các điều kiện sau thỏa:

và trong

XΩ ⊂ thì

mỗi tập mở tọa độ

supp

∀ K i I J ,

j ϕ ⊂ , I J

. i. Tồn tại tập compact K ⊂ Ω sao cho

,I J và

α ϕ→ D

2nα +∈  .

, I J

( j ϕ , I J

)

(

ii. đều khi j → ∞ với mọi

,q p , trong đó nếu

Các phép toán trên dạng vi phân phức. Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó:

,p q thì ϕ là dạng kiểu (

)

∧

a. Nếu ϕ là dạng kiểu (

)

, I J

− dz J

z z 2, 1

z ,..., n

∑

p J q

∧

thì trong hệ tọa độ địa phương (

d z

I J ,

∑

p J q

,ϕ ψ λϕ λ

,ϕψ là các dạng kiểu (

) ,p q thì

(

)

∈  cũng là các dạng kiểu

(

) ,p q .

p q thì ϕ ψ∧ là dạng

b. Nếu

,p q , ψ là dạng kiểu (

)

c. Nếu ϕ là dạng kiểu (

p q q

)

pqp q

ϕ ψ

' ψ ϕ ∧

và ta có: kiểu(

) ( ∧ = − 1

+ p q

∧

ϕ ψ ∧ d

( ϕ ψ ϕ ψ =

( ∧ + −

)

Công thức Stokes đối với dạng vi phân phức. Giả sử K là tập con compact của X

1n − lớp

1C trên X . Khi đó:

ϕ .

∫

∫ dϕ =

∂ K

với biên trơn từng khúc và ϕ là dạng vi phân bậc

,f g là các dạng thuộc lớp

2C trên

Công thức tích phân từng phần đối với dạng vi phân phức. Giả sử Ω là tập mở bị

p q

+ = − . Khi đó: 1

Ω kiểu (

,p p và ( )

) ,q q với

∧

chặn, compact tương đối trong X có biên trơn và

− dd g dd f

− d g d f

(

)

(

)

Ω

∂Ω

∫

1.3.3. Dòng trên đa tạp phức

−

− p n q

X được gọi là một dòng song bậc (

)

Định nghĩa. Cho đa tạp phức n chiều X . Một phiếm hàm tuyến tính liên tục trên

) ,p q ) trên

)

,p qD (

) (

−

− p n q

X . Mỗi

(hoặc song chiều (

)

X . Tập tất cả các dòng song bậc (

' p qD (

) (

trên X được ký hiệu

∈ T D

)

' p q (

) (

có thể viết được dưới dạng: dòng

∧

∈

d z

( D X '

)

T dz IJ

T IJ

∑

= −

, I n p J n q

φ∈

(

)

,p qD (

) (

T φ hoặc T φ∧∫ .

được ký hiệu: Giá trị của T tại

) X :

' p qD (

) (

φ φ

φ → ⇔ ∧ → ∧ ∀ ∈

Tôpô (yếu) trên

)

, p q

D (

) (

∫

φ∀ ∈

)

,p qD (

) (

p q

+ + 1

∧ ∂

) ( ∂ ∧ = − φ T 1

∫

p q

+ + 1

∧ ∂

) ( ∂ ∧ = − φ T 1

∫

p q

+ + 1

∧ T d

) ( ∧ = − 1

∫

∂ và

Đạo hàm của dòng. , ta có

∂ dT T T

cdd T cũng là các dòng.

dT = .

Khi đó

Dòng T được gọi là đóng nếu

X⊂ sao cho thu hẹp của T

Giá của dòng T , ký hiệu: suppT , là tập đóng nhỏ nhất A

) D X A là không.

(

trên

ψ∈

Ví dụ

)

,p qD (

) (

−

a. Cho dạng . Khi đó ta có thể xem ψ là dòng Tψ song bậc

− p n q

(

)



  

   ,



    T

  , n p n q

D 





xác định bởi công thức:

[ Z=

]

∈

ϕ ϕ ,

)

b. Cho Z là đa tạp con đóng p chiều của X . Khi đó dòng tích phân

[

p p ,

D (

) (

∫

sinh bởi Z là dòng xác định bởi: ]( ) ϕ

]Z là đóng.

≤

ϕ∈

Hơn nữa, nếu Z đóng thì [

≤ . Khi đó

n q q ,

∈ T D

)

' p q (

) (

p qD (

) (

∧ ∈ ϕ

Tích ngoài. Cho và với

)

' p p q q (

) (

∧

∀ ∈

∧

tích ngoài xác định bởi:

)

(

)( ) ϕ ψ

( ) ϕ ψ ψ

− −

n p p n q q ',

D (

) (

− − n p q

∧

∧ T d

( d T

) ϕ

)2 ( ∧ + − 1

− − n p q

∂

∧

∧ ∂ ϕ

(

) ϕ

)2 ( = ∂ ∧ + − 1

− − n p q

∂

∧

∧ ∂ ϕ

(

) ϕ

)2 ( = ∂ ∧ + − ϕ 1

Đạo hàm của tích ngoài.

Công thức Stokes đối với dòng. Cho K là tập con compact của X với biên trơn và T

1C trên lân cận của K∂ .

1n − xác định trên một lân cận của K và T là

là dòng bậc 2

Khi đó:

∫

∂ K

1.4. Hàm đa điều hòa dưới

n

1.4.1. Hàm đa điều hòa dưới trên

u Ω → −∞ ∞ được gọi là đa điều hòa dưới

n    . Hàm

)

[

Định nghĩa. Cho tập mở

trên Ω nếu:

a) u là hàm nửa liên tục trên

n L   ta có

Lu  điều hòa dưới trên L  

b) Với mọi đường thẳng phức

( PSH Ω .

)

Họ tất cả các hàm đa điều hòa dưới trên Ω được ký hiệu là

n     sao cho

 

d a ( ,

 thì: )







 i



Một cách phát biểu tương đương tính chất b) là: Với mỗi

)

( ) u a

( u a



1  2

Sau đây là một số tính chất cơ bản của hàm đa điều hòa dưới:

PSH

 , hàm giới hạn (

)



1) Với mọi dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới

u lim k



là hàm đa điều hòa dưới trên  .

h C 

:h 

 là hàm xác định bởi   h t



  .



−

. Khi đó 2) Đặt

C h

( ) χ = x

( 1

)

( . 1

∫

) 0,1

(

Định nghĩa trong đó .

) 1

 1 te    0  (

supp

Bχ=

Cχ ∞∈

(

) 0,1

( ) x dx

(

)m  và

∫

Ta có , .

0ε > , ta định nghĩa:

( ) xεχ

1 m ε

x ε

 χ  

  

Với . Khi đó εχ được gọi là nhân trơn.

supp

(

) ε

( ) x dx

= 0,Bεχ

εχ

∫

Khi đó: và .

u v L∈  thì tích chập u v∗ của u và v được định nghĩa như sau: ,

(

)

−

∗ u v

Nếu

(

)( ) x

( u x

) ( y v y dy

)

∫



∗ = ∗ . Ngoài ra, tích chập u v∗ cũng được định nghĩa tốt nếu

v L∈  , v có giá compact.

1 u L∈ loc

(

v u (

)

Dễ thấy u v )  và

m    . Nếu

   thì ta đặt:

( d x

) ∂Ω >

{ Ω = ∈ Ω x

} ε

m    thì

   .

0ε > nếu

với Cho tập mở

u PSH∈

n    và

(

) Ω

Định lý xấp xỉ cho hàm đa điều hòa dưới. Cho tập mở

∞

sao cho u   trên mọi thành phần liên thông của  .

PSH

(

)



u ε

χ = ∗ ∈ ε

Ω ε

0ε > và εΩ ≠ ∅ thì :

Nếu .

( ) u x

( ) limu x ε ε→



với mỗi x ∈ Ω . Ngoài ra, uε đơn điệu giảm khi ε giảm và

,..,

PSH

 và (

)

p 

 là hàm lồi sao cho

u u , 1

t 1( ,...,



3) Cho

,...,

jt . Khi đó

u 1(

không giảm với mỗi là hàm đa điều hòa dưới trên  . Đặc biệt,

max

,..,

log(

)pu

.. + +

... + +

u u , 1

u 1

{

}

⊂

Ω bị chặn trên đều địa phương và

PSH

, , là hàm đa điều hòa dưới trên  .

(

)

uα

u α α∈

sup α∈ A

4) Cho { }

PSH∈

*u là chính quy hóa nửa liên tục trên của u . Khi đó

(

) Ω và

Gọi

εχ= ∗ u

limu ε ε→ 0

đơn điệu giảm khi ε giảm và hầu khắp nơi trên Ω . Ngoài ra, u ε



 

trên Ω .

 u C

2 (

 ,

)

PSH

 (



trên mọi thành phần liên thông của  , 5) Nếu

   :

thì với mọi

∈

Ω

ξ ( ) :

(

)

ξξ k j

∂ u ∂ ∂∑ z z

≤ 1

≤ , j k n

v D

 sao cho '(

)

( )Hv ξ là một độ đo dương với

là một độ đo dương. Ngược lại, nếu

Ω khả tích địa phương trên  sao

u PSH∈

(

)

   , tồn tại duy nhất một hàm

mọi

cho v là một phân bố tương ứng với u.

PSH

 đóng trong (

)

1 L  ( ) loc

1 ( locL  , và nó có tính chất mọi tập con

6) Nón lồi

bị chặn là compact tương đối.

1.4.2. Hàm đa điều hòa dưới trên đa tạp phức

2C trên một đa tạp phức n chiều X.

Bây giờ ta giả sử u là một hàm thuộc lớp





d z

a dz ( )

 u   z z

  j k n 1 ,



Dạng Hess phức của u tại một điểm a X là dạng Hecmit trên XT được xác định bởi

:F X

Y là một ánh xạ chỉnh hình và nếu

2 ( , v C Y

)

 thì với mọi

Nếu

,X aT 

∂

F a

'( ).

(

) ξ

H v F ( 

ξ ) ( ) a

ξ j

ξ k

F a (

)

∑

∂ F a ( ) l ∂ z

∂ F a ( ) m ∂ z

j k l m , , ,

( ( )) v F a ∂ ∂ z z l

ta có:

)

z 1,..., n z

aHu không phụ thuộc vào việc chọn tọa độ (

trên X, và Đặc biệt,

(

)

H v F  

F aHv  trên Y dẫn đến

(

)

trên X. Do đó khái niệm hàm đa điều hòa

dưới có nghĩa trên mọi đa tạp phức.

:F X

Y là một ánh xạ chỉnh hình và



Định lý. Cho X, Y là các đa tạp phức, nếu

(

)

v PSH Y ( )

v F PSH X



∈

thì .

f O X

log f

(

)

( PSH X

)

∈

thì . Tổng Ví dụ Vì log z điều hòa dưới trên  nên

≥ 0

log(

α + + ...

( PSH X

)

( f O X α j j

f 1

quát ta có với mọi

1.5. Đa tạp Stein

1.5.1. Định nghĩa

Cho X là đa tạp phức và K là tập con compact của X . Bao chỉnh hình của K

trong X xác định bởi:

= ∈

∀ ∈

≤

O X

)

  ( = K K

f O X

( ) z X f z :

(

{

sup K

)O XK

của mỗi tập

} ) Đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu bao chỉnh hình  (

X⊂ cũng là tập compact.

compact K

⊂

Lưu ý: Đa tạp phức X là lồi chỉnh hình nếu và chỉ nếu có một dãy các tập

X⊂ sao cho:

o K



}vK với

− 1

 K K , v v

K K , v

. compact {

1.5.2. Định nghĩa

Xψ → −∞ ∞ trên không gian tôpô X được gọi là một vét kiệt nếu tất

)

[

Hàm

z X

ψ :

( ) z

{ = ∈

} c

cả các tập mức dưới là compact tương đối với mọi c   .

Cho đa tạp phức n chiều X . Khi đó:

∈

a. X được gọi là giả lồi yếu nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa dưới trơn

( PSH X

)

( ∞ C X

)



∈

( ∞ C X

( PSH X

)



dưới ngặt trơn, nghĩa là và Hψ xác định dương tại mọi điểm, b. X được gọi là giả lồi ngặt (mạnh) nếu tồn tại một hàm vét kiệt đa điều hòa )





trong đó

   

 ' D X



  j k

    z z

  1 , j k n

1.5.3. Định lí. Mọi đa tạp lồi chỉnh hình X là giả lồi yếu.

1.5.4. Định nghĩa. Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Stein nếu:

∃ ∈

≠

i. X là lồi chỉnh hình.

f O X

∈ y V

{ } x

( f y

)

(

)

. với mỗi ii. X là tách chỉnh hình, tức là mỗi điểm x X∈ có một lân cận V sao cho: ( ) f x

Lưu ý:

n . Do đó một tập mở

   là Stein nếu và chỉ nếu Ω là miền chỉnh hình (Tập mở

   được gọi là

- Điều kiện ii là hiển nhiên nếu X = Ω là tập con mở của

n cắt ∂Ω và với mỗi

miền chỉnh hình nếu với mỗi tập con mở liên thông U của

) f O∈ Ω sao cho

(

không có mở rộng thành phần liên thông V của U  tồn tại

chỉnh hình đến U )

XΩ ⊂ được gọi là tập mở Stein nếu Ω cũng thỏa các điều kiện i.

- Tập con mở

và ii.

1.5.5. Định lý. Mọi đa tạp Stein là giả lồi ngặt.

−

Ω =

−∞

1.5.6. Mệnh đề. Nếu X là đa tạp giả lồi yếu (ngặt) và u là hàm trơn đa điều hòa dưới

(

)

(

)

ψ−= 1

−∞

là giả lồi yếu (ngặt). Đặc biệt, các tập mức dưới trên X thì tập mở

(

)

(

)

của hàm đa điều hòa dưới (ngặt) vét kiệt ψ cũng là giả lồi yếu

(ngặt).

1.6. Đa tạp Hecmit và đa tạp Kahler

:h V V  

h u v ( , )

h v u ( , )

,u v V∈ có

+ Cho V là không gian vec tơ phức hữu hạn chiều. Một ánh xạ

được gọi là Hecmit nếu với mọi

h u v ( , )

h v u ( , )

Nếu dimV n= , một dạng Hecmit H trên V được biểu diễn bởi một dạng n n×

)jkh



;

  , j k

1,...,

jkh

và điều kiện tương đương với: ma trận (

z ), một dạng như

+ Cho X là một đa tạp phức n chiều. Một mêtric Hecmit trên X là một dạng

⊗

h z ( )

z dz ( )

d z

Hecmit xác định dương lớp C ∞ trên XT ; trong một hệ tọa độ ( 1,..., n

jkh ) là một ma trận Hecmit

∑

j k n

≤ ≤ ≤ 1

thế có thể được viết là: , với (

dương có hệ số thuộc lớp C ∞ .

ω= −

∧

≤

Dạng (1,1) cơ bản ω ứng với h là dạng dương loại (1,1):

d z

j k ,

( 1

)

h dz jk

i = ∑ 2

)X ω với ω là dạng (1,1) xác định dương lớp

Định nghĩa:

C ∞ trên X .

dω= 0

a. Một đa tạp Hecmit là một cặp (

b. Mêtric Hecmit với dạng (1,1) cơ bản ω được gọi là mêtric Kahler nếu

c. Đa tạp phức X được gọi là đa tạp Kahler nếu X được trang bị ít nhất một

∂ = ω

mêtric Kahler.

∂ = là tương đương. ω

dω

Vì ωlà thực nên điều kiện

= tương đương với:

0ω∂

≤

Trong hệ tọa độ địa phương

j k l , ,

( 1

)

∂ h lk ∂ z

∂ h jk ∂ z l

∧

det(

)

(

)

det(

∧ ∧ ...

d z

dx n

) h dx jk 1

dy 1

Λ ≤ ≤ j n 1

1 2

n ω ! n

Tính toán dẫn đến:

x n

với .

1 n ω= ! n



n  

là dương và trùng với phần tử thể tích Hecmit Do đó ( , )n n − dạng

(

)

n Vol X !



. của X . Nếu X là compact thì

= ∂∂ được gọi là thế vị Kahler địa

Một hàm thực địa phương u thỏa mãn h i u

phương của mêtric h

j dz d z

, ,

Một vài ví dụ về các đa tạp Kahler

n



∑

= 1

  

  

với , ký hiệu mêtric Hecmit là đa tạp Kahler. a) 

(

)

b) Đa tạp Riemann định hướng 2 chiều là đa tạp Kahler.

)

(

c) Đa tạp xạ ảnh phức

nP  được trang bị mêtric Fubini-Study là đa tạp Kahler. nP  xác định bởi các đa thức thuần

d) Đa tạp xạ ảnh, nghĩa là đa tạp con của

1n là đa tạp Kahler.

nhất trong

1.7. Một số kết quả về dung lượng tương đối và hàm cực trị tương đối

n .

∈

sup

u PSH

Ω − ≤ < , 1

c dd u

Trong phần này ta cho Ω là tập mở trong

( cap E

) Ω =

(

)

(

)

∫

  

  

Định nghĩa. Đại lượng được gọi là

dung lượng tương đối của tập Borel E (đối với Ω )

−

n k n k ,

)

∧

sup

∈ T u PSH

c dd u

) Ω =

(

) Ω − ≤ < , 1

( cap E T

(

)

∫

  

  

: Ta sẽ xét các hàm tập hợp gắn với dòng dương đóng T song bậc (

Một số tính chất của dung lượng được liệt kê ở mệnh đề sau.

jE của miền bị chặn Ω ta có:

Mệnh đề 1.7.1. Cho tập con Borel

Ω nếu

) Ω ≤

)

E 1

E⊂ . 2

( cap E 1

( cap E 2

Ω nếu dãy tăng đến E ,

( cap E

) Ω ≥

( cap E

)

lim →∞ j

Ω

E= ∪ .

( cap E

) Ω ≤

)

( cap E

∑

3) với

Trong mệnh đề tiếp theo ta ước lượng dung lượng tương đối của một tập mức

dưới của một hàm đa điều hòa dưới âm.

  ,khi đó tồn tại hằng số C phụ thuộc vào các tập hợp ∈

Ω

u PSH

0 :

Mệnh đề 1.7.2. Cho K U Ω

(

này sao cho với bất kỳ

} ∩ < − Ω ≤ j

{ u

( cap K

)

1 ( L U

)

C j

cap với C cũng phụ thuộc T .

Bất đẳng thức cũng đúng cho

ju các hàm xác định trên Ω được gọi là hội tụ theo dung lượng

Định nghĩa. Một dãy

t > và K Ω

u u

{ ∩ −

}

( cap K

) > Ω = .

lim →∞ j

đến u nếu với bất kỳ

cap . T

Tương tự ta có định nghĩa sự hội tụ theo dung lượng đối với

∞

Toán tử Monge-Ampere liên tục đối với các dãy hội tụ theo kiểu này.

j k

1, 2,...,

PSH L∞ ∩

là dãy bị chặn đều địa phương các hàm đa Định lý 1.7.3 (Định lý hội tụ). Cho { } 1

Ω theo dung

(

)

j k

→ ∈ u k

loc

1, 2,...,

và cho điều hòa dưới trên Ω với

→

c dd u

∧ ∧ ...

c j dd u 1

c dd u 1

j n

. Khi đó: lượng capβ khi j → ∞ với

cap β∧ thì:

trong tôpô yếu của các dòng. Nếu dãy hội tụ theo dung lượng

c dd u

∧ → T

c dd u

∧ ∧ ...

∧ T

j N

j c dd u 1

c dd u 1

∈

) Ω .

T D −

−

' n N n N (

) (

với dòng dương

cap

n n cap

Kết luận của định lý đúng nếu sự hội tụ theo dung lượng capβ được thay thế bởi

β ≤

sự hội tụ theo dung lượng cap vì theo định nghĩa . Đặc biệt, như mệnh đề

sau đây chỉ ra, với dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới ta có sự hội tụ của các dòng

∈

PSH L∞ ∩

tương ứng.

Ω với

u↓

(

)

∩

∈

u PSH L∞

Ω theo dung lượng. Vì thế, với các dãy giảm kết luận của định lý 1.7.3

(

)

∞

Mệnh đề 1.7.4. Dãy trong Ω hội tụ tới

j k

1, 2,...,

;

là dãy bị chặn đều địa đúng. Định lý 1.7.5 (Định lý hội tụ của dãy tăng). Cho { } 1

PSH L∞ ∩

1, 2,...,

Ω hầu khắp nơi khi j → ∞ với

và cho phương các hàm đa điều hòa dưới trên Ω với

(

)

j k

↑ ∈ u k

loc

→

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

. Khi đó :

c j dd u 1

c dd u 1

j N

Nguyên lý so sánh là một trong công cụ hiệu quả nhất trong lý thuyết đa thế vị.

cdd u với u là hàm đa điều hòa dưới

Nó khai thác đầy đủ tính dương của

n . Với

Ω

∈ ,u v PSH

L∞

≥ với bất kỳ z ∈ ∂Ω ta có:

Định lý 1.7.6 (Nguyên lý so sánh). Cho Ω là tập con mở bị chặn của

lim ζ

→

(

) Ω ∩

(

)

)(

)

( − z u v

c dd v

c dd u

(

)

(

)

∫

{ } < u v

≤ { } < u v

≤

c dd u

c dd v

thỏa mãn

(

)

c dd u

c dd v

− u v

kéo theo Hệ quả 1.7.7. Với giả thiết của định lý 1.7.6 bất đẳng thức (

= với z ∈ ∂Ω thì u

v= .

(

)(

)

v u≤ . Nếu (

)

(

)

lim → ζ z

và

Tiếp theo ta ước lượng độ đo Monge-Ampere của cực đại của hai hàm đa điều

∈ u v PSH

L∞

hòa dưới.

Ω . Khi đó:

n . Giả sử

(

) Ω ∩

(

)

loc

≥

max

u v ,

c dd u

c dd v

Định lý 1.7.8. Cho Ω là tập con mở của

(

)

(

)

χ { ≥ u v

} (

χ { < u v

} (

Eχ là ký hiệu hàm đặc trưng của tập E.

trong đó

∈

u PSH

1.7.9. Hàm cực trị tương đối

(

)

) ( Ω ∩ Ω C

Một miền Ω được gọi là siêu lồi nếu tồn tại hàm khác không

u = trên ∂Ω .

sao cho

   ta định nghĩa hàm cực trị tương đối bởi công

Cho E là tập con của miền

∈

Ω

≤ −

sup

0, à

v u

1 trên

(

)

Ω =

{ u PSH

}

thức

PSH∈

(

) Ω .

* Eu

Do bổ đề Choquet Eu là giới hạn của dãy các hàm đa điều hòa dưới tăng. Do đó

Mệnh đề 1.7.10

u≤

E 1

E⊂ thì 2

E 1

E 2

≤

. i) Nếu

E ⊂ Ω ⊂ Ω thì

Ω 1

Ω 2

. ii) Nếu

K↓

lim

* K

* jK

jK là tập compact trong Ω thì (

iii) Nếu , với .

Kết quả tiếp theo chứng tỏ rằng đối với các tập compact cận trên đúng trong

cap xác *

* E

định nghĩa của dung lượng tương đối đạt được khi . Dung lượng ngoài

Ω

⊂

inf{

E U U

định như sau:

( cap E Ω =

)

( cap U

)

mở}

cap E *

c dd u

(

) Ω = ∫

Ω

E↓ là một dãy các tập compact thì:

Định lý 1.7.11. Cho tập compact tương đối E trong miền siêu lồi Ω ta có:

cap E *

( cap E

) Ω =

(

) Ω .

( cap E

) Ω =

lim →∞ j

Nếu

1.8. Bài toán Dirichlet cho phương trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt

Trong phần này ta sẽ tóm tắt một số kết quả về bài toán Dirichlet cho phương

Ω ⊂  .

trình Monge-Ampere trong miền giả lồi ngặt

Xét bài toán Dirichlet sau:

∈

u PSH

(

)

) ( Ω ∩ Ω C

cdd u

fdV=

∈ ∂Ω ∈ ∂Ω ,

(I) (

( u z

)

( ) z

)

(

lim → ' z z

ϕ ,

với hàm f không âm tùy ý và liên tục trong bao đóng của Ω .

)



( + → ∞ 1,

∞

−

/ n

< ∞

1 xh

( ) x

) 1

(

∫

,b> 1

> và 1

là chấp nhận được nếu nó thỏa: Ta gọi một hàm liên tục tăng

x > 0

≤

và nếu với

)

( ) bh x

x> 0

với ta có: ( h ax

Ta định nghĩa họ các độ đo Borel không âm trong Ω gắn với một hàm chấp nhận

≤

Ω

A,h

F cap K ,



được h và một hằng số dương A như sau:

(

)

(

)

( ) F x

(

)

{ ( µ µ :

1/ n

Ax ( h x−

)

:

 sao cho

với và tập compact K ⊂ Ω tùy ý}





( )x x

≥

≤

: f

)

( 1 ∈ Ω L

)

(

( ψ L c 0

) f dV c 0

∫ ψ Ω

  

  

= ∈

∈

∩

∂Ω

A,h,

u PSH

A,h

, u

trên



)

(

)

(

Với một hàm tăng ra ∞ khi x → ∞ ta định nghĩa

) ψ ϕ ,c ; 0

( ψ L c 0

)

) ( c : dd u

( Ω ∩ Ω C

và

{

}

log

Đặt:

( ) ψ = t

( 1

)

( 1

)

(

)

( h log

ψ hL

A,h

⊂ 

(

)

(

)

c 0

với h là hàm chấp nhận được. Đầu tiên ta chứng minh rằng :

. ∞ các nghiệm bài toán



với A dương. Khi đó, ước lượng tiên nghiệm với chuẩn

(

)A,h

( cψ∈ L

Dirichlet đối với các độ đo thuộc sẽ được chỉ ra, dẫn đến rằng với

phương trình (I) có nghiệm. Cụ thể ta có các kết quả sau:

≤

∈

ϕ∈

1 nf

1,1C

∂ B

(

)

( 1,1 C B

)

) ( 1,1C B và

Định lý 1.8.1. Giả sử và . Khi đó bao u thuộc

≤

const.

nghiệm của bài toán Dirichlet (I) nằm trong quả cầu đơn vị.

( ) h x

( 1

)

c > tùy ý, tồn tại

0A > sao cho:

k < ∞ nào đó và với 0

ψ hL

A,h

⊂ 

với Bổ đề 1.8.2. Với hàm chấp nhận được h tùy ý thỏa mãn

(

)

(

)

c 0

∈

v PSH

n ,

(

( Ω ∩ Ω và

)

∈

u PSH

L∞

Ω . Giả sử rằng với số dương A nào đó và một hàm chấp nhận được

(

) Ω ∩

(

)

h thỏa mãn bất đẳng thức sau:

−

/ n

−

≤

Ω

c dd u

Bổ đề 1.8.3. Cho Ω là một miền giả lồi ngặt trong

( Acap K ,

)

( cap K ,

)

(

)

(

) 1

∫

− <

= :

( ) U s

{ u s

} v

∈

+ S ,S D

Ω với

với tập compact K tùy ý. Nếu khác rỗng và compact tương đối trong

[

]

( ) cap U S D ,

(

( κ≤

) ) Ω ,

thì:

∞

−

− 1 y h

trong đó:

( ) s

( ) 1/ c n A

(

) y dy h

(

)

∫

−

   

   

( ) c n chỉ phụ thuộc vào n .

∈

PSH

và hằng số

n . Giả sử

(

)

) ( Ω ∩ Ω C

u PSH∈

Định lí 1.8.4. Cho Ω là một miền giả lồi ngặt trong

Ω và với j tùy ý:

(

)

−

)( ) 0 ≥ u z

( lim inf u Ω→∂

là dãy bị chặn đều hội tụ yếu tới

c dd u

f dV j

(

∈

∩

A,h



Ngoài ra giả sử:

u→

(

)

( L cψ

( )x x

với , trong đó tăng tới ∞ khi x tiến tới ∞ . Khi đó

A,h,

đều trong Ω .

(

) ,c ;ψ ϕ 0

Định lý 1.8.5. Với ψ như trong Định lí 1.8.4, tập thì liên tục đồng bậc.

( cψ∈ L

Định lý 1.8.6. Với tùy ý, bài toán Dirichlet (I) có nghiệm.

Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE

TRÊN ĐA TẠP PHỨC

Nội dung chính của chương trình bày về toán tử Monge-Ampere mở rộng trên

các đa tạp phức đối với lớp các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và không bị

chặn.

Để xây dựng toán tử này mục 2.1 trình bày về tính dương của dạng vi phân và

dòng trên đa tạp phức.

2.1. Dòng dương đóng

T X x

,...,

là không gian tiếp xúc của X Cho X là một đa tạp phức n chiều. Xét

)

z z 2, 1

z ,..., n

       z 

      z  1

là các tọa độ trên V , là một cơ sở trên V , tại x X , (

*V . Ta xét đại số ngoài :

(

)

1,...,



p q ,

  



 

 

p V

 V 

p q ,



 

là cơ sở của đối ngẫu

V 

,p q trên X ,





)

Ta ký hiệu là tập tất cả các dạng vi phân kiểu (

T X x

trước tiên ta nhận xét rằng luôn có một định hướng chính tắc cho bởi (n,n)-







idz

d z

  z ( )

  ...

dx n

idz 1

d z 1

dx 1

dy 1

dạng:

w là một tọa độ khác thì :

  . Nếu  iy



w 1,...,







(

w )

det

z ( )



với

  ...

det

  ...

dw 1

dz 1

dw n

w  z

   w         z 

và

Như vậy đa tạp phức luôn có một định hướng chính tắc. Tổng quát hơn ta có khái

niệm về tính dương:

Định nghĩa 2.1.1

,p p

∈ Λ

)

(



  j

1,...,

 , j V

  ta có: p

∧

∧ u i

∧ ∧ ...

∧ ω ω ω ω 2

∧ ω ω i q

a) Dạng vi phân kiểu (p,p) được gọi là dạng dương nếu với mọi

∈ Λ

là một (n,n)- dạng dương.

q q , (

)

b) Dạng vi phân kiểu (q,q) được gọi là dạng dương mạnh nếu v là

∧

∧ ∧ ...

∧ ω ω i

γ ω ω ,1 s s

s p ,

∑



 và

tổ hợp lồi:

,s j V

s  .



1)/2

( p p

 ( 1)

 nên

với

Nhận xét: Vì

∧ ∧ ...

...

(

)

∧ ω ω i 1

∧ ω ω i p

∧ ∀ = ω ω ω ω , 1

∧ ∧ ∈ Λ ω p

(

 p m

)

∀ ∈ Λ α

∀ ∈ Λ β

 

 

 

 

   

   ,

(

)

(

)

 

 



  thì ta có

  ...

dz 1

   

   

2  



Nếu ta lấy m n với    nào đó và

2pi   là một (p,p)- dạng

z ( )

   thì ...

  1

α∈ Λ

. Nếu ta đặt

( ,0p X

)

. Đặc biệt, mọi dạng dương mạnh là dạng dương. dương với mọi

,p p

∈ Λ

Tập hợp các dạng dương và dạng dương mạnh là các nón lồi đóng. Theo định

(

)

,q q

∈ Λ

là dương nếu và nghĩa nón dương đối ngẫu với nón dương mạnh, nghĩa là

u v  với mọi dạng dương mạnh

(

)

chỉ nếu . Ngoài ra, v là dương mạnh

v u

u v

    với mọi dạng dương u .

nếu và chỉ nếu

)

( ,p q X

z z 2, 1

z ,..., n

nhận một là các tọa độ tùy ý trên V . Khi đó Bổ đề 2.1.2. Cho (







 i

  ...

 i

, 1

s p ,

    

2  n       p



cơ sở gồm các dạng dương mạnh:

, j k

 . n

dz

idz

,s l có dạng

ở đây hay , 1

Chứng minh. Vì ta có thể thu được một cơ sở từ một tập các phần tử sinh nên ta

( ,p q X

)

cần chỉ ra rằng họ các dạng kiểu trên sinh ra . Điều này suy ra từ các đồng

∧

−

∧

−

d z

(

)

(

)

(

)

(

)

∧

−

∧

−

idz

( i dz

)

( i dz

)

(

)

(

)

∧

∧ ∧ ...

d z

∧ ∧ ...

d z

k 1

nhất thức sau

j 1

= ± Λ ≤ ≤ s p 1



u= .Theo ngôn ngữ tọa độ,





Hệ quả 2.1.3. Mọi dạng dương u là dạng thực nghĩa là u

u dz , I J

I J ,

J I ,



  J

nếu: thì .

Chứng minh. Mọi dạng dương mạnh kiểu (q,q) là dạng thực. Theo Bổ đề 2.1.2

( ,q q X

)

,p p

∈ Λ

các dạng này sinh bởi các phần tử thực thuộc nên do tính đối ngẫu các dạng

)

Su trên

Hệ quả 2.1.4. Một dạng là dương nếu và chỉ nếu hạn chế của nó dương kiểu (p,p) là dạng thực.  (

mọi không gian con p- chiều S V là dạng thể tích dương trên S .

Chứng minh. Nếu S là một không gian con p- chiều tùy ý ta có thể tìm được tọa

...

)

z 1,..., n z

+ 1

{

} 0



  ...

d z

idz

d z

idz 1

 S

trên V sao cho . Khi đó: độ(

∧

+ 1

∧ u idz

d z

∧ ∧ ...

idz

d z

+ 1

zλτ ( ) s

trong đó:

S  nên 0

Su dương với mọi S. Điều ngược lại cũng đúng vì

−



− dạng

Nếu u dương thì

p n ,

)

idz

d z

  j p

sinh ra tất cả các dạng dương mạnh khi S là các (

không gian con p- chiều. 





d z

u dz jk



j k ,



Hệ quả 2.1.5. Một dạng song bậc (1,1) là dạng dương nếu và chỉ

n .

  u

nếu là dạng Hec mit nửa dương (không âm) trên

t là tham số

Chứng minh. Nếu S là đường thẳng phức được sinh bởi  và t

idtdt

  j

  (

hóa của S thì . 

Nhận xét rằng có một tương ứng 1-1 giữa các dạng Hec mit và các dạng thực









d z

z dz ( )





  j k n 1 ,

i   j k n 1 ,

kiểu (1,1). Tương ứng được cho bởi:

và tương ứng này không phụ thuộc vào việc chọn các tọa độ.

h  nếu và chỉ nếu (1,1) dạng

u  . Phép chéo hóa

 

Hơn nữa, dạng Hec mit

1,1(

)





có thể được viết là: của h chỉ ra rằng mọi dạng (1,1)- dạng dương

 , r là hạng u j V

 

i   r j 1

Đặc biệt mọi (1,1) - dạng dương là dương mạnh. Do tính đối ngẫu điều này cũng

đúng với các (n-1, n-1) - dạng. Như vậy ta có hệ quả sau :



0,1,

 .  n

Hệ quả 2.1.6. Các khái niệm dạng kiểu (p,p)- dương và dương mạnh trùng nhau với

   . n

u là các dạng dương.

Lưu ý. Tính dương và dương mạnh khác nhau trong mọi song bậc (p,p) sao cho

  là dạng dương

...

Mệnh đề 2.1.7. Cho 1,...,

u là các dạng dương mạnh thì 1 u s

a) Nếu tất cả các 1,...,

  là u

...

mạnh.

u là các dạng dương mạnh thì 1 u s

b) Nếu tất cả trừ một trong các 1,...,

dạng dương.

Chứng minh. Kết luận suy ra từ định nghĩa 2.1.1. 

∈ Λ

  là ánh xạ tuyến tính và

:W V

, ( p p

)

∗

,p p

Mệnh đề 2.1.8. Nếu là dạng dương

∗ Φ ∈ Λ u

(tương ứng dương mạnh) thì là dương (tương ứng dương mạnh).

∗Φ

∧

∧ ∧ ...

ω ω ∧ ( i 1

ω ω β β = ) i 1

β β ∧ i p



 







Chứng minh. Kết quả rõ ràng với tính dương mạnh vì

 j W

 . Với u là dạng dương ta áp dụng hệ quả j V

∗

với mọi trong đó

∗ u

)

( = Φ

)

(

)

)Su Φ

(

là 2.1.4 nếu S là không gian con p-chiều của W thì và (

S ( )

u∗Φ

=  0

→ Φ là đẳng cấu. Ngược lại, ta có (

)

S S :

dương khi

Tính đối ngẫu của nón các dạng dương và nón các dạng dương mạnh được sử

dụng để định nghĩa các khái niệm tính dương tương ứng của các dòng.

∈ T D

)

' p p (

) (

ϕ∈

Tϕ ,

≥ với mọi dạng thử

Định nghĩa 2.1.9. Một dòng được gọi là dương (tương ứng dương

p− nếu

) ( ϕ=

)

,p pD (

) (

là dương mạnh) bậc n

mạnh (tương ứng dương) tại mỗi điểm.

p− được ký hiệu là

Tập tất cả các dòng dương (tương ứng dương mạnh) bậc n

)

X ' p pD ( ,

X ' p pD ( ,

(tương ứng ). Tính dương (dương mạnh) có tính địa phương.Ta có

(

)

(

)

 ' , p p

 D ' , p p

là các nón lồi đóng đối với tô pô yếu. Một cách khác phát biểu

định nghĩa dòng dương là :

  T u D

(

)

T là dòng dương (dương mạnh) nếu và chỉ nếu

0,0'

là một độ đo

u C

)

X , ( p p



. Điều này có là do một phân dương với mọi dạng dương mạnh (dương)

S D X

)

S f  với mọi hàm không âm

(

)

f D X

(

)

n p

∧

bố mà là một độ đo dương.

X+ (

)

( −= i

d z

p pD ' ,

T dz I J ,

∑

trong là thực và Mệnh đề 2.1.10. Mọi dòng dương

T

I J ,

J I ,

,I JT của nó là các độ đo phức và thỏa mãn

đối có cấp 0, nghĩa là các hệ số

   Hơn nữa p

I IT  và các trị tuyệt đối

,I JT

của các với mọi đa chỉ số I

,I JT thỏa bất đẳng thức :

độ đo



   

J M I

  I

I J ,

2 T M M M

  2 p

, I

k  là các hệ số tùy ý và

 I

  .  k

 k I

trong đó

Chứng minh. Vì các dạng dương là dạng thực , do tính đối ngẫu các dòng dương cũng

,I J trong



  

 . Mặt khác, từ

p T i dz

d z



 1, 2,..n . Phân bố

I I ,

,I IT là độ đo dương vì:

là các đa chỉ số bù có thứ tự của là thực. Ta ký hiệu K CI và L CJ

  











p T i dz

d z

 T



I J ,





/4  

 



∧

= ± ± . 1,

chứng minh của Bổ đề 2.1.2 ta có:

γ α

ε α

α i dz s l

(

)

(

)

= Λ ≤ ≤ 1 s p

i 4

ở đây

 là độ đo dương nên

,I JT là độ đo phức và:



  







,I JT





∧

α i dz s l

(

)

(

)

= ∧ Λ ≤ ≤ 1 s p

∈

i ∑ /4 4  

α s

  

∧

idz

d z

idz l

   (

)

= ∧ Λ ≤ ≤ s p 1

Bây giờ, mỗi T







  . Vì

Tích ngoài cuối cùng là tổng nhiều nhất 2 p số hạng, mỗi số hạng có kiểu

p T i dz

d z

2p i dz

d z

T CM CM ,

 

 

và với M p và M K L

J CK CL CM

, I J

, M M

  2 p

  M I J

= Λ =

ta có :

,...,

)

(

)

z 1

ω λω λω 1 1 n

  n

 1,...,

với Xét phép biến đổi tọa đô ( .

T và các hệ số của nó trở thành

ωΛ . Do đó bất đẳng thức trên dẫn đến:

)

I JTλλ , (



  I

, I J

2 T M M M

  2 p

Trong hệ tọa độ mới dòng T trở thành

k  bằng cách cho qua giới hạn. Bất đẳng

Bất đẳng thức này vẫn đúng đối với

  được thay bằng 0, nên

 ,k k

  .  J

M  đối với M I

thức cần chứng minh được suy ra khi mọi hệ số

,I J

  (hiển T

Lưu ý. Nếu T có cấp 0 ta định nghĩa độ đo khối lượng của T bởi

nhiên T phụ thuộc vào sự chọn tọa độ). Theo định lý Radon-Nikodym, ta có thể viết

T I J ,

I J ,

,I Jf

I Jf 

n p

∧

với một hàm Borel sao cho . Do đó:

( −= i

d z

T f

f dz , I J

∑

  , n p n p

 

( ) f x

với .

 T X x

là dương Khi đó T là dương (dương mạnh) nếu và chỉ nếu

∈

(dương mạnh) tại T - hầu hết x X .

)

∈ T D

(

)

0 u C X , ( s s

p p ,

Hệ quả 2.1.11. Nếu và dương, một trong chúng (tương ứng

cả hai) dương mạnh thì tích ngoài T u là dòng dương (tương ứng dương mạnh).





u PSH X

(

)

Sau đây là ví dụ cơ bản về dòng dương:

1 L X ( loc

Cho X là một đa tạp phức n chiều và là một hàm đa điều

  

dz d z j

 u   z z

i   j k n 1 ,

hòa dưới. Khi đó:

dT = .

là dòng dương song bậc (1,1). Hơn nữa T là d- đóng , nghĩa là

∈

u PSH X

2.2. Toán tử Monge-Ampere

(

)

,p p ). Ta muốn định nghĩa tích ngoài

Cho X là đa tạp phức n chiều. Giả sử và T là dòng dương đóng

cdd u T∧ ngay cả khi

p− (song chiều (

)

u và T không trơn. Tích này không có nghĩa vì

cdd u và T đều có hệ số độ đo và các

bậc n

cdd u T∧ là dòng dương đóng

độ đo không nhân được. Do đó, ta không thể định nghĩa

nếu không bổ sung thêm giả thiết.

p− và u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương

T là dòng dương đóng bậc n

Trước hết ta xét trường hợp u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương. Cho

∧ =

trên X . Khi đó dòng uT là xác định vì u là hàm Borel bị chặn địa phương và T có

c dd u T

( c dd uT

)

các hệ số độ đo. Theo Bedford – Taylor ta định nghĩa: , trong đó

cdd

( )..

p− và u là hàm đa điều hòa dưới

được hiểu theo nghĩa lý thuyết phân bố hoặc dòng).

cdd u T∧ là dòng dương đóng.

Mệnh đề 2.2.1. Cho T là dòng dương đóng bậc n

bị chặn địa phương trên X . Khi đó

n Ω ⊂  . Sử

Chứng minh. Kết quả là địa phương nên ta chỉ cần xét trên tập mở

dụng tích chập với họ các nhân trơn chính quy hóa ta tìm được một dãy giảm các hàm

  . Do định lý hội

u  

u 1

1 k

w →

đa điều hòa dưới trơn hội tụ điểm về u . Ta có

uT . Do đó

( c dd u T

)

( c dd uT

)

ku T

tụ bị chặn Lebesgue (tính liên tục của

cdd ) .

toán tử

∧ theo nghĩa thông thường. Vì

T ≥ và 0

c dd u

( c dd u T

)

ku trơn nên

c dd u

dd u là dạng dương (1,1) nên

T  . Theo tính hội tụ yếu ta có

cdd u T  0

u là các hàm đa điều hòa dưới bị

p− và 1,...,

Cho T là dòng dương đóng bậc n

∧

chặn địa phương trên X . Khi đó bằng quy nạp theo q ta định nghĩa:

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

∧ = T

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

c dd u 1

( c dd u 1

)

∧

∧ cũng là dòng dương

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

c dd u 1

Theo mệnh đề 2.2.1 ta có

∧

c dd u

∧ ∧ ...

cdd u )

đóng. Đặc biệt, nếu u là hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương thì:

(

)

2C thì:

( n hạng tử

∧

xác định và là một độ đo dương. Hơn nữa, nếu u thuộc lớp

c dd u

det

∧ ∧ ...

idz

d z

idz 1

d z 1

(

)

   

 ∂ u n !  .  n z π ∂ ∂ z  j k

det



∂ u ∂ ∂ z z j

   

   

Toán tử đạo hàm riêng phi tuyến là toán tử Monge-Ampere

)qcdd

xác định như theo nghĩa cổ điển. Bằng việc mở rộng, ta cũng gọi các toán tử (

∧

trên là toán tử Monge-Ampere.

d u T

n− 1,

Từ định nghĩa trên ta cũng có thể xác định dòng

∧ khi u là hàm đa ) − 1

∧

∧ =

∧ −

d u T

c dd u

T udd u T

∧ .

điều hòa dưới bị chặn địa phương và T là dòng dương đóng song bậc (

1 2

bằng đồng nhất thức:

Cho T là một dòng bậc 0 và K là tập con compact của X . Khi đó ta định nghĩa

T IJ

= ∑ ∑∫

, I J

nửa chuẩn khối lượng trên K bởi:

K=  là một phân hoạch của K sao cho mỗi tập

jK chứa trong một

trong đó

IJT là các hệ số (độ đo) tương ứng của T .

β =

cdd z

mảnh tọa độ và

≤

∧

p β

Đặc biệt, khi K chứa trong một mảnh tọa độ và trên K thì nếu

T ≥ tồn tại các hằng số dương

,C C sao cho:

C T 1

≤ C T 2

∫

(

)

. Ký hiệu

L K L K∞ 1( ),

lần lượt là không gian các hàm khả tích hoặc các hàm đo được bị chặn

trên K.

Định lý 2.2.2 (Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg)

L K⊂ . Khi đó tồn tại hằng số

,K L là các tập con compact của X thỏa

K LC ≥ sao cho:

∧

≤

Cho

c dd u

∧ ∧ ...

...

c dd u 1

K L ,

u 1

)

∞ ( L K

)

⊂

= . Tồn tại một họ các tập

Chứng minh. Bằng quy nạp ta chỉ cần chứng minh kết quả trên cho trường hợp

u 1

⊂ sao cho {

}'jB

là một phủ của L ,

'jB compact trong

jB và các tập

jB chứa trong một mảnh tọa độ của X . Cố định

∈

= . Ta có:

≥ χ χ 0,

( D B

)

B ' j

− 1

∧

≤

∧ ∧

p β

≤

∧ ∧

p β

một chỉ số j và lấy

c dd u T

∫

L B '  j

B ' j

− 1

∧ ∧

p β

∧

p β

p ∧ χ β

≤

c dd u T

∧ uT dd

( c dd uT

)

∫

− 1

≤

p ∧ χ β

≤

p ∧ χ β

C uT '

− 1

≤

p ∧ χ β

≤

C u '

C u ''

∞ ( L K

)

∞ ( L K

)

∈

v PSH X

Mặt khác vì T và  là đóng ta có:

)

≤

c dd v

Nhận xét: Nếu thì Trường hợp tổng quát suy ra từ quy nạp theo q .  (

K L ,

1 ( L K

)

; a)

+ ≤ v

.K L ,

1 ( L K

)

sup L

. b)

 1 n

 1

 1 n















  

c dd V

Vdd



 L B

Thật vậy, bất đẳng thức:



dẫn đến a) và b) suy ra từ bất đẳng thức giá trị trung bình.

     với các dạng (1-1) hỗn hợp

c dd u

  j

q T

 1





Lưu ý. Tích có dạng hay

c d w

c  dw d v

u v w là các hàm đa điều hòa

  j

cũng được xác định với

dưới địa phương.

,...,

u là các hàm đa điều hòa dưới hữu hạn, liên tục trên

u u , 1

u lần lượt là các dãy hàm đa điều hòa dưới hội tụ đều địa phương đến

,...,

X và

k q

k u u , 1

k 2

,...,

u . Khi đó, nếu

kT là dãy các dòng dương đóng hội tụ yếu đến T thì ta có:

u u , 1

 

u dd u

  ...

c dd u

  ...

c dd u

 . T

k a) 1

k 2

k q

u dd u 1



 



Hệ quả 2.2.3. Giả sử

c dd u

  ...

c dd u

  ...

c dd u

 . T

c k dd u 1

k 2

k q

c dd u 1

cdd .

Chứng minh. Rõ ràng b) là hệ quả của a) do tính liên tục yếu của toán tử

u .

q  và 1u 1

)ku

là dãy hàm đa điều hòa dưới hội tụ đều địa phương đến hàm một hàm đa Bằng quy nạp theo q , ta chỉ cần chứng minh a) cho trường hợp Giả sử (

0ε > bất kỳ, xét hàm u ε

ερ= ∗ u

là chính quy điều hòa dưới liên tục hữu hạn u . Với

−

(

)

(

) u T

u ε

k u T k

) u u T ε k

( u T ε k

(

) u T k

hóa địa phương của u . Ta có:

−

≤

−

(

)

(

) u T

u ε

k u T k

) u u T ε k

( u T ε k

(

) u T k

suy ra:

−

≤

−

với mỗi tập compact K . Do dãy { }kT hội tụ yếu nên { }kT bị chặn đều địa phương, tức

→ khi k → ∞ . Tương

{

}

) u T k

< ∞ . Từ đó: (

k K

)

∞ ( L K

sup k

−

là:

)

u u Tε−

( u T ε k

) k K

tự cũng hội tụ đến 0 khi k → ∞ . Hơn nữa ta có thể chọn (

0ε > đủ bé. Vậy

) u T

uT .

ε − u

k ku T

bé tùy ý với , (

Định lý liên tục sau đây được Bedford-Taylor chỉ ra rằng giả thiết về tính liên tục

kT là dãy hằng.

)k ju

giảm và và hội tụ đều có thể bỏ nếu mỗi dãy (

u là các hàm đa điều hòa dưới bị chặn địa phương và

u 1,...,

,...,

u lần lượt là các dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới hội tụ điểm đến

k u u , 1

k 2

k q

u . Khi đó:

,...,

u u , 1

 

u dd u

c dd u

 . T

  ...

k q

k a) 1

k 2

u dd u 1



 



Định lý 2.2.4. Giả sử

c dd u

 . T

  ...

k q

c k dd u 1

k 2

c dd u 1

cdd và

1q = do định lý hội tụ bị chặn Lebesgue. Ta chứng minh a) bằng quy nạp

Chứng minh. Rõ ràng b) là hệ quả của a) do tính liên tục yếu của toán tử

ju bị chặn địa phương nên họ (

)k ju

∈

giảm và bị chặn đều địa a) đúng với theo q . Vì dãy (

phương. Kết quả cần chứng minh là địa phương, do đó ta chỉ cần xét trên các tập Ω là

tập mở Stein compact tương đối trong X có biên giả lồi ngặt. Khi đó:

● Tồn tại hàm ψ đa điều hòa dưới ngặt thuộc lớp C ∞ trên một lân cận của Ω

ψ= 0,

dψ

0ψ < trên Ω ,

< −

thỏa:

0δ > .

ψ :

( ) z

{ Ω = ∈ Ω z

≠ trên ∂Ω . } δ

−

với mỗi ● Đặt

≤ − trên một lân cận của Ω .

≤ M u

k j

Không mất tính tổng quát ta có thể giả sử

]

ju khi

( ε∈ 0, 0

) ju ε ε ,

−

≤ − trên Ω . Đặt

, là họ các hàm chính quy hóa tăng và hội tụ đến Ký hiệu (

0ε→ sao cho

0δ > bé và thay

M u ε ≤

k j

ju bởi

ε ,





với

max

A uψ ,

max





ju ε bởi

k j

{

}

{ ε ψ A u ,

M δ }



    trên

và là trong đó max

u trên δΩ vì A

 , và

k j

chính quy hóa của hàm max. Khi đó

  .

A

k jv

 M

trên

ju và

ju  đồng nhất bằng

A trên một lân cận cố định của  . Để tiếp tục chứng minh định lý ta cần chứng

Không mất tính tổng quát, ta có thể giả sử tất cả các

minh bổ đề sau:

kf là dãy các hàm nửa liên tục trên, giảm và hội tụ về f trên không

Bổ đề 2.2.5. Cho

kµ là dãy các độ đo dương hội tụ yếu về µ



gian X compact địa phương tách được và

 f

f  thỏa mãn k

0kf





là dãy giảm các hàm liên tục hội tụ về với trên X . Khi đó mọi giới hạn yếu ν của )pg Chứng minh. Thật vậy, nếu (

k , do đó

 k

 pg

0k nào đó thì :



với một khi k   .

 f

 0kf

0k   . Chứng minh tiếp theo của định lý 2.2.4

Áp dụng định lý hội tụ đơn điệu ta có khi khi p   và

1q − . Ta có:

w ∧ → =

c dd u

∧ . T

∧ ∧ ...

k q

k 2

Giả sử a) đúng với

k u S 1

)

có khối lượng địa phương bị chặn, do đó dãy là Theo định lý 2.2.2 dãy (

compact tương đối đối với tôpô yếu. Để chứng minh a) ta chỉ cần chứng minh mọi giới

,m m là song chiều của S và  là dạng

)

k u S bằng 1

,m m . Khi đó độ đo dương

 hội tụ yếu đến

hạn yếu  của

1u S . Giả sử ( )

 

 



 

 . Từ bổ đề 2.2.5 suy ra:

 . Do đó

dương ngặt trơn bất kỳ có song bậc (

1u S

≤







 và chứng minh:

. Để có đẳng thức, ta đặt

cdd

m u S β ∧ 1

Ω

m θ β ∧ Ω

∫

m β

≤

m β

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

, tức là:

u dd u 1

k u dd u 1

k 2

k q

Ω

∫

liminf →+∞

≤

u ε 1,

0ε > nên ta có:

u 1

k u 1

k 1

ε 1,

m β

≤

m β

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

u dd u 1

k u 1

Ω

∫

ε , 1

m β

∧

m β

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

Thật vậy, do với mọi 1

k u 1

k c dd u 1

u dd u 3

Ω

∫

(áp dụng công thức tích phân từng phần).

ε 1,

m β

≤

∧

m β

c dd u

∧ ∧ T

c dd u

∧ ∧ T

∧ ∧ ...

Suy ra:

u dd u 1

k c dd u 1

u dd u 3

Ω

∫

,...,

u u , 2 3

u ta được: q

− 1

ε , 1

∧

≤

m β

c dd u

∧ ∧ T

c dd u

∧ ∧ ...

k q

u T q

u dd u 1

k c dd u 1

ε , q − 1

Ω

ε , q

ε , 1

ε , 2

∫ ≤

m β

c dd u

∫ ∧ ∧ T

∧ ∧ ...

k q

k u 1

k 2

Ω

∫

→

0,...,

Lặp lại biến đổi trên với

ku ε = trên biên nên cho

→ theo thứ tự ta được:

qε

ε 1

≤

m β

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

∧ ∧ ...

c dd u

∧ ∧ T

Do tính hội tụ yếu và

u dd u 1

k u dd u 1

k 2

k q

Ω

∫



  ...

c dd u

,...,

. 

 là đối xứng đối với

c dd u 1

u u , 1

u . q

,...,

Hệ quả 2.2.6. Tích

, u u 1

u trơn. Trường hợp tổng q

, 1

Chứng minh. Kết quả là đúng với các hàm

≤ ≤ . q

k j

ρ 1* k

L K⊂

,K L là các tập con compact của X sao cho

quát, áp dụng định lý 2.2.4 cho các dãy hàm trơn

,...,

v u 1,

u là các hàm đa điều hòa dưới trên X sao cho q

u u , 1

u bị chặn địa phương. q

. Giả sử Mệnh đề 2.2.7. Cho

≤

∧ ∧ ...

c dd u

...

Khi đó:

vdd u 1

u 1

, K L

∞ ( L K

)

1 ( L K

)

∞ ( L K

)

(2.1)

< ⊂ (nếu K

{ ψΩ =

Chứng minh. Giả sử L chứa trong tập mở giả lồi ngặt

ju bị chặn trên K

\ L sao cho

    trên K . Thay

ngược lại thì ta có thể phủ L bởi các quả cầu chứa trong K ). Do

ju trên

nên không mất tổng quát giả sử 2

  sao cho L

0χ≥ là

A

δ⊂ Ω . Lấy

  với A là hằng số cố định và

trên

= . Khi đó: V+ bị

)

1 ( L K

hàm trơn với giá compact trên Ω và bằng ψ− trên δΩ . Đặt

v ≤ trên 0

δΩ . Không mất tổng quát giả sử

δΩ . Trước hết, giả sử

chặn đều trên

n≤ − . Vì 1

Aψ=

\ δΩ Ω nên ta có:

n q





 

  ...

c dd u

vdd u 1



 

  1 n q

 1 n













  ...

c dd u

 v

vdd u 1





  \ 

  n q 1

 1 n















  ...

c dd u

 v

 dd v dd u 1





  \ 

  I 1 2

 1 n

n q













  

trên

 v

  ...

c dd u

I 1

 dd v dd u 1





  \ 

1I bị chặn đều (do Định lý 2.2.2 và nhận xét a) sau định lý này).

2I bị chặn do

< ∞ . Suy ra (2.1) đúng với

n≤ − .

)

1LV Ω (

, với

,...,

n= : xét tương tự với X ×  thay cho X và các hàm

v u 1,

u là q

Trường hợp q

các hàm trên X ×  không phụ thuộc vào biến được thêm vào. 

∧

Sau đây ta xét trường hợp các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn:

∧ trong một số trường hợp khi

c dd u

∧ ∧ ...

c dd u

c dd u 1

u là các hàm đa điều hòa dưới không bị chặn dưới khắp nơi nhất là khi

1,..., u

ju có

∈

u PSH X

Ta muốn định nghĩa

(

)

cực điểm loga. Trước hết ta xét trường hợp q =1 và . Tập cực của u được

−∞ . Ta gọi

( )L u là tâp hợp các điểm x X∈ mà u không bị

P u ( )

u −=

(

)

định nghĩa là

( )L u đóng và

P u ( )

L u⊂ ( )

chặn trong mọi lân cận của X. Khi đó , nhưng nói chung hai

tập này khác nhau.

Mệnh đề 2.2.8. Ngoài các giả thiết trên, giả sử:

a) T có bậc nhỏ hơn 2n .

supp

 không cắt

b) X được phủ bởi một họ các tập mở Stein Ω compact tương đối trong X và

( ) L u



Khi đó: uT có khối lượng địa phương hữu hạn trong X .

Chứng minh. Bằng cách thu nhỏ Ω , ta có thể giả sử Ω có biên trơn giả lồi ngặt.

supp

Lấy ψ là hàm xác định như trong định lý 2.2.4. Do u bị chặn trên trên Ω nên ta có

( ) L u



  không cắt

= ∅

suppT

và

( )L uω 

) δΩ Ω 

∈

max

sao cho . thể giả sử u ε≤ − trên Ω . Lấy δ cố định sao cho chọn một lân cận ω của (

( ) u z s

max

{ } < − ψ δ

∈ Ω = δ

} { ( ) ( ) ψ u z A z , } { ( ) s u z

  =  

Định nghĩa .

0M > sao cho u M≥ −

Theo cách xây dựng ω ta có: tồn tại trên ω. Lấy

 cố định và s M≤ −

M 

. Khi đó:

max

( )

( ) u z

  

{ } ( ) ψ = u z A z ,

{ ( ) u z

} s

trên

  (

( )



  là 

su z là xác định. Rõ ràng

su z là hàm xác định trên

Aψ=

Do đó

suppT

Ω Ω \

Ω 



( ) su z

ε A

  

  

). Do trên nên áp dụng định lý một lân cận của

− 1

−

c ψ

c dd u

∧ ∧ T

Add

∧ ∧ T

(

) c ψ

(

) c ψ

Ω

∫

− 1

−

∧ ∧ T

(

) ψ A

(

) c ψ

Ω

∫

  

  

− 1p

−

Stokes ta có:

∧ ∧ T

) ψ A

 )

(

) c ψ

có giá compact và chứa trong (do dòng(

su và  cùng triệt tiêu trên  nên tích phân từng phần ta có:

− 1

∧

c dd u

∧ ∧ T

u T s

(

) c ψ

(

) c ψ

Ω

ψ Ω

∫

− 1p

≥ −

∧

= −

∧

T dd u

Vì

(

) c ψ

(

) p c ψ

∞ L

(

∞ Ω ( L

)

) Ω Ω

∫

∫ A T Ω

M  trên  ta được:

 , cho s   và sử dụng u

M 

∧

≥ −

∧

u T s

(

) c ψ

(

) c ψ

(

) c ψ

Ω

∫

∫ M T ω

∫

lim →−∞ s

≥ −

∧

> −∞

(

) c ψ

Ω

∞ L

(

)

Ω

∫

M δ

  

  

Lấy

Tích phân cuối cùng hữu hạn. 

u là các hàm đa điều hòa dưới trên X và X được phủ bởi q

∂Ω

= ∅

Hệ quả 2.2.9. Giả sử 1,...,

,...,

u lần

supp



k u u , 1

k 2

k q

( jL u

)

p≤

các tập mở Stein Ω thỏa mãn: . Khi đó nếu

,...,

u (

)

u u , 1

lượt là các dãy giảm các hàm đa điều hòa dưới hội tụ điểm đến thì

tính chất a), b) trong Định lý 2.2.4 đúng.

max

k j

{ } u Aψ ,

supp

Chứng minh. Tương tự định lý 2.2.4, trong đó hàm áp dụng

  đủ bé và



δΩ

δΩ Ω \

ju gần suppT

(

)

trên lân cận ω của với . Khi

suppT

Ω 

k ju và

ju  là xác định gần

đó, tích phân từng phần cần xét cho các hàm . 

∈

v PSH X

Mệnh đề 2.2.10. Cho Ω là tập mở Stein compact tương đối trong X . Nếu

≤ ≤ − là các hàm đa điều hòa dưới sao cho

(

)

u ( 1

) 1

u 1,...,

∂Ω

= ∅

và

∧ ∧ ...

c dd u



vdd u 1

)jL u (

thì có khối lượng địa phương hữu hạn trong Ω .

0δ > lấy đủ bé sao cho

∀ ∈ j

δΩ ⊃

Chứng minh. Tương tự mệnh đề 2.2.7, trong đó

( jL u

)

. 

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP

COMPACT KAHLER



 

d z

Xét một đa tạp compact Kahler n-chiều M trang bị dạng cơ bản:

h dz kj

i  ,2 k j

)kjh

là một ma trận Hec-mit xác định Theo định nghĩa của một đa tạp Kahler (

d  . Dạng thể tích liên kết với metric Hec-mit được cho bởi

dương và

ndV

1  ! n

n ω

Ta sẽ nghiên cứu phương trình Monge-Ampere:

)n ( ω ϕ dd

cddω ϕ+

(3.1)

)1,1 không âm. Một hàm

trong đó  là hàm chưa biết sao cho là dạng (

( 1 L M∈

)

f 

không âm cho trước được chuẩn hóa bởi điều kiện:



  M

do định lý Stokes. Sự chuẩn hóa này cần thiết cho sự tồn tại của nghiệm.

f  trên M ta cần tìm một mê tric Kahler (được biểu diễn bởi

Khi f là hàm trơn, dương phương trình (3.1) có ý nghĩa hình học như sau:



cdd 

Cho dạng thể tích

) sinh ra dạng thể tích này. Hơn nữa, ta có phương trình (3.1) dạng cơ bản

phát sinh khi cho một dạng (1,1) đóng  biểu diễn lớp Chern của M (trong hình học







Ricci

(

vi phân các lớp Chern có thể được biểu diễn như là các đa thức trong các hệ số của

' sao cho

' ) và

một dạng độ cong) và ta muốn tìm một dạng Kahler (  là

' thuộc cùng một lớp Chern với  . E. Calabi phỏng

dạng độ cong Ricci của

' ,

đoán rằng điều này có thể xảy ra. Ông cũng đã chứng minh được tính duy nhất của

tương đương với kết quả 2 nghiệm của (3.1) sai khác nhau một hằng số. Phỏng đoán

của Calabi đã được chứng minh bởi S.T Yau trong định lý sau.

∈

≥ , khi đó tồn tại một nghiệm của (3.1) thuộc

)

( k f C M k

Định lý Yau. Cho

≤ .

1α≤

( Mα+

)

(

)

:f X

lớp Holder với bất kì 0

Y được gọi là

(

Y d ,

(Cho

là các không gian mê tric, một hàm liên tục  Holder nếu tồn tại các hằng số thực không âm C, α, sao cho

,x y X . Nếu

1  ta nói f thỏa điều kiện

x y ,

( f y

)

( ( ) d f x

)

( ( ρ≤ C

)

với mọi

0  thì f là hàm bị chặn.

Lipschitz. Nếu

k  là một số

,kC α Ω trong đó W là một tập con mở của X và

(

)

Lớp Holder

nguyên bao gồm các hàm trên Ω có đạo hàm đến cấp k và có các đạo hàm riêng cấp k

là liên tục   Holder với 0 < α ≤ 1.)

Trong chương này ta sẽ mở rộng phần tồn tại nghiệm của kết quả này.

3.1. Mở đầu

n  

Ta sẽ làm việc với một đa tạp compact Kahler M với một dạng cơ bản  và giả

p ∈ ∞ . Để ngắn gọn ta có

) pL M với

(

[ 1,

]

p là chuẩn trong



  



thiết . Kí hiệu

cdd



  (hoặc nói vắn tắt là hàm   đđhd). Tập tất cả các hàm  -đa điều hòa dưới kí

và gọi hàm liên tục  là hàm  - đa điều hòa dưới nếu thể viết:

( PSH ω .

)



c dd 

hiệu là

Nếu trong một tập con mở M tồn tại một hàm thế vị v thỏa mãn thì

với  là hàm  -đa điều hòa dưới, hàm v  là một hàm đa điều hòa dưới. Do đó, các

tính chất của hàm đa điều hòa dưới như Bổ đề Hartog hoặc định lý nói rằng sự hội tụ

locL cũng đúng với hàm  -đa điều hòa dưới.

yếu dẫn đến sự hội tụ trong

∈

≤ ≤

Với tập Borel E M ta có thể định nghĩa dung lượng:

sup

PSH

)

( ω ϕ ,0

)

( cap E ω

ϕω ϕ :

∫

  

 1  

1, 2,...

}

V s

V và s

∈

của M sao cho Ta xét hai phủ mở hữu hạn { } { V ,

 và

)

sV tồn tại

sV . Cho

v s

( PSH V s

c dd v s

 

K V

trong mỗi tập giả lồi ngặt với

sv  trên 0 . Ta sẽ chứng minh rằng

)

( cap Kω

một tập compact K M ta định nghĩa so

cap

cap K V kí hiệu dung lượng tương

(

)

(

' ω

( cap K V s

= ∑

sánh được với , trong đó

∈

≤

c dd u

= : sup

u PSH V u

≤ − 1

tr K ên

c dd u

( cap K V

)

(

)

* K V ,

(

)

(

)

∫

  

  

đối của K đối với V ( xem mục 1.7). Ta biết:

* ,K Vu

,K Vu

 . Khi đó

sK và

s  trên 0

sV . Ta

  s

v s

K V ,s s

là chính quy hóa nửa liên tục trên của . ở đây

s   trên 1



    3

Với s cố định đặt

( ω ∞ ∩

( C M

)

s

∈ s PSH

sV và

s  bên ngoài

1  , 2

max

có thể tìm sao cho

)

( δϕ δψ− s

'sV với cùng δcho tất cả các s . Lấy

sχ bằng

sV và bằng 0

 trên một

trên trên

s

nơi khác trên M . Chú ý rằng hàm này là  -đa điều hòa dưới và bằng

sK . Vì vậy:

n n δ ω δ ω δ

≥

n δ

c dd u

( + − 1

)

( cap K V s

)

(

n ω χ s

n ϕ s

* , K V s s

 δω  ϕ s

 

∫

lân cận của

≥

n δ

)

( cap K ω

( cap K V s

Do đó:

≤

)

(

)

( cap K ω

( cap K V s

) + ∑ 1 1

∈

PSH

C  với bất kì s . Thật vậy, giả sử

Theo định nghĩa:

( ) ω

1C chọn sao cho

0   . Khi đó:

−

≤

)

(

) 1

(

) 1

n ω ϕ

( cap K V s

C 1

∑

∫

với trong đó

≤

cap

Như vậy bất đẳng thức trên đúng. Cuối cùng ta được:

(

)

(

) 1

(

)

' ω

( cap K ω

' ω

C 1

n δ N

(3.2)

j các hàm xác định trong M được gọi là hội tụ theo dung lượng đến 

Một dãy

t  : 0

−

≥

cap

= 0

}

( { ω ϕ ϕ

)

lim →∞ j

nếu với bất kì

∈

PSH

cdd ϕ γ≥ thì

)1,1 liên tục trên M sao cho

( ) ω

Bổ đề 3.1.1. Nếu

< + và

với và γ là dạng ( 0δ > cho trước ta có thể tìm một hàm trơn ψthỏa mãn ϕ ψ ϕ δ

cdd ψ γ δω≥ −

∈

trên M .

1 g L M∈

ϕψ ,

PSH

(

)

( ) ω

≥

và thỏa mãn: Bổ đề 3.1.2. Giả sử

n n ω ω ω ω ,

n ψ

n ϕ

ω− n k ng ≥

∧ ψω ω

k ϕ

thì

∈

∩

Chứng minh. Mệnh đề có tính địa phương nên nó tương đương với:

,u v PSH B

n ) thỏa mãn:

(

)

( C B

)

≥

c dd u

gdV

(

)

( , gdV dd v

)

− n k

∈

∧

≥

( B là một quả cầu trong Với mọi

1 g L B

c dd u

c dd v

gdV

(

)

(

)

,u v và

g  thì bất đẳng thức trên là bất đẳng thức ma trận quen

, trong đó . ta có (



log det n 1/

Với hàm trơn

1,1

,u v C

biết được suy ra từ tính lõm của ánh xạ

Hecmit xác định dương. Nếu thì xác định trên tập các ma trận dd u dd v có thể ước lượng từng điểm hầu

∈

khắp nơi và vì thế mệnh đề cũng đúng trong trường hợp này. Tiếp theo ta sẽ chứng

2 g L B

(

)

jg là một dãy các hàm đa điều hòa dưới, dương

minh mệnh đề với . Cho

2L B . Cố định hai dãy

(

)

f h các hàm trơn trên B∂ sao ,j

u→

trên B và tiến đến g trong

v→ đều trên B∂ .

∈

∩

và cho

( PSH B

)

( 1,1 C B

)

u v ,j

thỏa mãn bài toán Áp dụng Định lý 1.8.1 ta có thể tìm

c dd u

g dV u

∂ B

ên

c dd v

g dV v

∂ B

ên

( (

) )

Dirichlet với phương trình Monge-Ampere:

ju và

jv lần lượt tiến đều đến u và v . Do đó ta có thể áp dụng

Do Định lý 1.8.5

1,1C dẫn đến:

định lý hội tụ và khẳng định đối với hàm thuộc lớp

− n k

∧

c dd u

c dd v

c dd u

c dd v

(

)

(

)

(

)

lim →∞ j

≥

) = g dV gdV

lim →∞ j

∈

g với

( 2 L B

)

và lặp lại chứng Trong trường hợp tổng quát ta lấy dãy tăng

minh trên bằng cách sử dụng Định lý 1.8.6 để giải bài toán Dirichlet thích hợp. Bây

giờ sự hội tụ của dãy xấp xỉ là không đều, nhưng dãy là giảm dựa vào nguyên lý so

sánh. Vì thế định lí hội tụ vẫn được áp dụng trong trường hợp này. ⁯

3.2. Nguyên lý so sánh

Ω =

Bây giờ ta sẽ chứng minh nguyên lý so sánh cho toán tử Monge-Ampere trên đa

}ϕ ψ { <

n ψ

∫

n ∫ ≤ ω ω ϕ

Ω

ta có: tạp compact Kahler. Định lý. Nếu ϕ và  là ω-đa điều hòa dưới trên M thì với

,ϕ ψ và biên của Ω là trơn. Đặt:

> . Khi đó gần với  ta có

ϕ ϕ= + . Định nghĩa dòng

max

) ( + ϕ ψ t

ϕ t

Chứng minh. Đầu tiên giả sử

−

− n k

∧

T t

c ϕ t

(

) 1

∑

= 1

  n   k  



(đóng):

limt

T t 0

n ω

c ϕ t

∧ + T t

c ϕ t

∧ + T t

n ω ϕ t

∫

Ω

∂Ω

c ϕ

∧ + T

∫

n ∫ ω ω = ϕ

∫

∂Ω

Ω

và đặt . Do Định lý Stokes:

tϕ ψ↓ trong Ω khi

t → ta áp dụng định lý hội tụ:

n ω ω→ trong Ω ϕ

n ϕ t

1χ≤

Vì

≤ ta được







n 

n   t

n   t



lim  0 t

lim inf  0 t



Do đó đối với hàm thử  trong Ω mà 0

Vì thế:







n 

n  

n   t



lim inf  t 0



và ta hoàn thành chứng minh với trường hợp hàm trơn. Bây giờ giả sử  và  là liên

−

≥

−

≥

c ϕ δ ω ψ δ ω dd

tục và chúng thỏa mãn giả thiết bổ sung:

) 1

(

) 1

(

(3.3)

0δ > nào đó. Sau đó, áp dụng Bổ đề 3.1.1, ta có thể tìm hai dãy hàm ω-đa điều

với

jϕ và

jψ lần lượt hội tụ đều đến ϕ và ψ. Cho một tập compact K ⊂ Ω ta tìm

⊂ Ω

− ⊂ Ω với

hòa dưới

(

j> 0

< ϕ ψ j

}

) { =

t > và số nguyên dương

0j sao cho

và biên

( jΩ ,t

)



 

max{

n m

1,1}

là trơn (sử dụng định lý Sard). của

kC với

n 

 là hàm thuộc lớp

(Định lý Sard: Cho

x Î  tại đó ma trận Jacobi của

)

f có hạng nhỏ hơn m ). Khi đó ảnh

f X có độ đo Lebesgue bằng 0 trong (

m .

và X là tập các điểm tới hạn của f ( là tập các điểm

,M N có

Tổng quát kết quả cũng đúng cho các ánh xạ giữa các đa tạp khả vi

:f N M thuộc lớp

kC bao

:df TN

chiều lần lượt là m, n. Tập các điểm tới hạn của một hàm

TM có hạng nhỏ hơn m. Nếu

≥

− +

)

gồm các điểm tại đó vi phân

f X (như là tập con của tập có độ đo 0). (

max{

n m

1,1}

thì ảnh

≤

n ω ψ

n ω ψ j

n ϕ j

∫

n ∫ ω ω ≤ ϕ

lim inf →∞ j

Ω

∫ (

)

∫ (

)

Áp dụng phần đâu tiên của chứng minh và định lý hội tụ ta được:

t ∈

Vét cạn Ω bởi các tập compact ta được bất đẳng thức mong muốn trong trường

(

)0,1

  nào đó. Cố

cố định và hợp này. Việc còn lại là thoát khỏi giả thiết bổ sung. Chú ý rằng với

⊂ Ω =

t ∈

các hàm ω- đa điều hòa dưới  ,  các hàm t và t thỏa (3.3) với

  và 0

{ } < ϕ ψ

(

)0,1

⊂ Ω

−

và xét như sau: định tập compact

( δ

), t

δ t

 ϕ ψ <  

  

≤

n ω ψ

n ϕ t

∫

liminf → 1 t

Ω

∫ ( δ ,

n ω ψ t )

∫ ( δ ,

n ∫ ≤ ω ω ϕ )

Do chứng minh trên và định lý hội tụ ta có:

Một lần nữa để hoàn thành chứng minh ta chỉ cần xét một dãy vét cạn các tập con

compact của  .⁯

3.3. Ước lượng L

n ω ≤

≥

= ∈ { f

1 L M f

n fω

Xét một họ các hàm:

)

( F A h

)

(

)

(

F cap Eω

(

)

∫

E M⊂

}

với bất kì tập Borel

0A  và hàm chấp nhận được

)



( ) F x

[ + → ∞ 1,

Ax ( h x−

)1/n

trong đó , với .

∈

Mục đích chính của ta là chứng minh tồn tại nghiệm liên tục của phương trình

( F A h

)

(3.1) với . Đầu tiên ta chứng minh một số giả thiết bổ sung:

} ψ− <

C  và là khác rỗng. Giả sử rằng với một số dương A và một hàm chấp nhận

Bổ đề 3.3.1. Cho ϕvà ψ là các hàm  -đa điều hòa dưới trên M với 0 { Sϕ

F cap K

được h thỏa mãn bất đẳng thức sau:

(

)

n ω ≤ ϕ

( ) F x

(

)

0A  (3.4)

∫

Ax ( h x−

)1/n

, với ,

với tập compact tùy ý K . Khi đó với

1D  ta có: ) ( + a S D

( κ≤

)

trong đó:

= :

( ) a s

( ) U s

{ } − < ϕ ψ s

( ( ) cap U s ω

)

∞

−

− 1 x h

( ) s

( ) 1/ c n A

( 1

)

( ) x dx h

(

)

∫

−

   

   

∈

+ S S D

[

]

( ) b s

ϕω= ∫ ( ) U s

, đặt: Chứng minh. Với

≤

+ +

  

t Ct

1, 0

Đầu tiên ta chứng minh bất đẳng thức:

( ) nt a s

( b s

)

  S D s  1 C

∈

PSH

với (3.5)

( ) ω

   và đặt: 0

Thật vậy, lấy với 1

− − −

= :

t Ct

( ) V s

( + − 1

{ ϕ

} ) ψ

⊂

+ +

t Ct

)

( U s

( ) V s

( ) U s

Ta kiểm tra được rằng . Bây giờ ta có thể áp dụng

≤

( + − 1

ω t ρ

) ω ψ

n ω ρ

)

(

≤

+ +

t Ct

( b s

)

n ω ϕ

∫ ( ) V s ∫

+ + U s t Ct

∫ ( ) U s ∫ ( ) V s

(

n ω ϕ )

nguyên lý so sánh (định lý 3.2) thu được:

S và

Lấy cận trên đúng của ρta được (3.5).

s s 1,

,..., N

s , đặt 0 :s

≤

= : sup

( ) s a s

( ) da t

lim + −→ s 1 j

  

  



1, 2,..,

Tiếp theo ta định nghĩa một dãy tăng 0

d  . Khi đó dãy này tăng và

≥

a s (

)

, ở đây d là số cố định sao cho 1 với

da s − ( j

(3.6)

s −>

−

1js − với mọi

− 1

( a s

)

( da s

)

≥

Nhận xét rằng nếu tùy thì do định nghĩa của

( ) a s

js .

( da s −

)2j

S D

  . Khi đó:

ý ta có . Đặc biệt, điều này đúng cho

≤

( + a S D

)

( ) da t

lim +→ s N

S D

Số nguyên N được chọn là số lớn nhất thỏa mãn Ns

   ). Từ bất đẳng thức cuối cùng, giả thiết và (3.5) dẫn đến

1Ns

∈

(Ngược lại ta có

(

)

s S D ,N

−

≤

( ) a t

( + b S D

)

) + Aa S D h

(

( + a S D

)

 

 

)

(

− + S D t + C 1

  

  

−

≤

+ a S D

( ) Ada t h

(

)

 

 

)

(

rằng với ta có:

−

≤

Do đó:

S D s

C h )

(

)

( + a S D

)

 

 

)

(

≤

S . Xét hai số

    sao cho S D

(3.7)

( ) a s

( da s

 :

và đặt Bây giờ ta ước lượng Ns

 

s 1

s ' C

. Khi đó theo giả thiết và (3.5) ta có:

−

≤

( a s

)

( ) − n t b s

( ) At a s h

( ) a s

) ( Adt a s h

( ) a s

 

 

 

 

)

(

≤

Do đó:

(

)

( ( ) h a s 1

−

s +→ ta được:

s  và

( ) h x 1

( h x

)

 =  :

 

−

= :

≤ + (1

trong đó . Cho

( C Ad )

)

+ 1

)

( ( h a s 1

)

−

/ x n

= :

( ) h x 2

( h d 1

)

(

)

ta Sử dụng bất đẳng thức này, (3.6) và tính tăng của hàm

− 1

≤ + (1

log

( ) C Ad

)

h 2

+ 1

( a s

)

(

)

∑

log

)

− 1

≤ + (1

log

( ) C Ad

)

( a s

)

(

)

( ) h x dx 2

h 2

( a s ∑ ∫

0 log

( a s

)

   

   

log

)

≤

2(1

log

( ) C Ad

)

( )

( + a S D

)

(

)

h x dx h 2 2

( + a S D ∫

log

( a S

)

   

   

/x n

d 

có ước lượng như sau:

log

)

−

/ x n

( ) h x dx 2

( h d

)

( + a S D ∫

 

 

log

( a S

)

( a S

)

−

( a S

 

− 1

( h y

)

(

) 1/   ∫

 

 

− 1/

n d ln

( + a S D

)

 

 

suy ra: Đổi biến

− 1/

( a S

 

 

− 1/

− 1

−

− ≤ S

1/ yh

)

(

)

(

)

 

 

( ( h a S D

)

) ∫

 

 

− 1/

n d ln

( + a S D

)

 

 

   

   

∞

− 1/

− 1

−

− ≤ S

)

1/ yh

(

)

(

)

Cuối cùng ta có:

 

 

( ( h a S D

)

∫

 

 

− 1/

2 ln

n d

( + a S D

)

 

 

   

   

(3.8)

Từ (3.7) và (3.8) ta có:

∞

− 1/

− 1

−

D c n Ad ( )

)

1/ yh

(

)

(

)



 

 

( ( h a S D

)

∫

 

 

− 1/

( + a S D

)

 

 

   

   

( n F A h

)

ϕω ∈

M ϕ=

và max Hệ quả 3.3.2. Họ các hàm  -đa điều hòa dưới sao cho là

bị chặn đều.

   . Vì thế, sử dụng

Chứng minh. Với hàm  -đa điều hòa dưới  ta có











0 max

biểu diễn của ϕ theo định nghĩa của hàm Green trên M ta có:

C 0



1L ước lượng này ta có thể sử dụng Mệnh đề 1.7.2

0C chỉ phụ thuộc vào M . Để có

với

≤

< −

C j U ,

= :

cùng với (3.2) thu được:

)

( ϕ ,

)

{ ϕ

} j

( ( ω ϕ cap U ,

)

0  và

1C không phụ thuộc trên  . Bây giờ ta áp dụng Bổ đề 3.3.1 với

trong đó

< 1

( κ

)

C S 1 /

chọn S sao cho:

( Sϕ + phải rỗng với  tùy ý và từ đó ta có điều phải chứng

) 1

và kết luận rằng





  1 2 j

minh. ⁯

n 

j là bị chặn đều và

 jf

= ϕ :

, với Bổ đề 3.3.3. Nếu dãy

ϕ lim sup j →∞ j

(

thỏa phương trình (3.1). thì

↑

ϕ kl

ϕ ψ , j k

ϕ kl

lim →∞ l

max ≤ ≤ j l k

↑

F kl

f G , j k

F kl

( (

) )

min ≤ ≤ j l k

lim →∞ l

Chứng minh. Ta giới thiệu một vài hàm phụ trợ:

cdd v , trong đó v là hàm đa điều hòa dưới, ta

Vì về địa phương  được biểu diễn bởi

≥

n ω F kl

( ω ϕ dd kl

có thể áp dụng Định lý 1.7.8 để có:

Do đó, theo định lý hội tụ:

≤

n ω G k

( ω ϕ dd kl

)

( ω ψ dd k

)

lim →∞ l







(3.9)



limk

 k

→

Chú ý rằng , vì thế ta có thể áp dụng định lý hội tụ một lần nữa

n ω ϕ

ω ψ dd k

≤

(3.10) (

f trong

1L M . Vì vậy áp dụng (3.9) và

(

)

f G− k

1 ( L M

)

1 k 2

, nên Từ giả thiết ta có

 f

n 

(3.10) ta được:



cuối cùng ta Khi đó tích phân trên M cả hai dòng trong bất đẳng thức trên bằng

 f

n 

∈

được

( F A h

)

( F A h

)

Định lý 3.3.4. Nếu h là chấp nhận được và thì với bất kì tồn tại

( a A h > sao cho nghiệm tùy ý của

)







 , 0

n 

, max M

ϕ≥ −

∈

một nghiệm liên tục của (3.1). Hơn nữa, tồn tại

( a A h

)

( f F A h

)

thỏa mãn . với

∞∈

( C M

), 0

n f ω j

∫

∈

F NA h

1L đến f . Do

Chứng minh. Đầu tiên giả sử f bị chặn. Sau đó ta lấy:

( F A h

)

(

)

jf hội tụ trong

ta có . Áp dụng định lý Yau và







 . 0

n 

, max M

ta tìm nghiệm  - đa điều hòa dưới của:

j là bị chặn đều, cho phép ta sử dụng Bổ đề 3.3.2

Theo hệ quả của Bổ đề 3.3.1

ϕ lim sup j

(

min

thỏa mãn (3.1). Đối với trường hợp f tổng quát ta và kết luận rằng

(

)

n f   j

t g j

jt  được chọn sao cho



, trong đó và . xây dựng

∈



F A h 2 ,

( 1 L M∈

)

(

)

Do và vì thế với j đủ lớn . Vì vậy nghiệm  - ta có lim 







 . 0

n 

, max M

đa điều hòa dưới của:

ϕ lim sup j

(

 f

bị chặn đều. Một lần nữa, bổ đề 3.3.3 nói rằng thỏa mãn:

n 

Cận đều đối với chuẩn sup của các nghiệm được suy ra từ hệ quả của bổ đề 3.3.2. 

∈

≥

≤

n ω

)

) 1 L M f

(

( ψ L c 0

c 0

∫

) ( n ∫ ψ ω f Ω

  

  

Định nghĩa:

và nhắc lại ký hiệu:

( ) ψ = t

( log 1

)

( log 1

)

(

)

(

)

> , và

với h là hàm chấp nhận được nào đó.

)

( ≤ + 1

( ) h x

0A  sao cho:

c  tồn tại

⊂

ψ hL

Định lý 3.3.5. Với hàm chấp nhận được tùy ý h , thỏa mãn

(

)

( F A h

)

c 0

( cψ∈ L

sV , tập

n ω

, N

Chứng minh. Cố định và một compact K M . Xét cơ sở

∫

n ∫ ω≤ f

K 1

và số như trong phần mở đầu chương. Ta có thể giả sử rằng . Các

n ω

≤

n ω

≤

n ω

≤

(

)

(

)

AF cap Kω

(

)

(

)

A F cap K V 1

∑

∫

= 1

∫ N f K 1

bất đẳng thức sau thu được bởi sử dụng các tính chất của h , bổ đề 1.7.2 và (3.1).

( ) F x

1/n

Ax ( h x−

)

ở đây . 

Kết hợp hai kết quả cuối cùng ta được hệ quả sau.

( cψ∈ L





   , 

n 

ta có thể giải được: Hệ quả 3.3.6. Với hàm chấp nhận được tùy ý h và

trong đó C phụ thuộc h và 0c .

3.4. Sự duy nhất và ổn định của nghiệm

Sự duy nhất nghiệm (sai khác một hằng số) của phương trình Monge-Ampere

F A h . Nó suy ra từ ước

trên đa tạp compact Kahler đã được chứng minh bởi Calabi trong trường hợp dữ liệu

(

)

trơn. Kết quả này cũng đúng thỏa với giả thiết dữ liệu thuộc

F A h với hàm h chấp nhận được nào

(

)

lượng ổn định mà ta sắp chứng minh. Cố định

( a A h sao cho với

)

∈

đó. Từ Định lý 3.3.4 suy ra rằng tồn tại một hằng số ký hiệu bởi

( F A h

)







 , 0

n 

, max M

ϕ≥ −

3 ,

tùy ý, nghiệm  - đa điều hòa dưới  của:

( a A h

)

( C a A h

)

,A h là hàm  trong bổ đề 3.3.1 với

. Ta ký hiệu . Vì thỏa mãn

∞

−

− 1 x h

( ) x dx h

( ) s

( ) 1/ c n A

( a A h 3 ,

)

( 1

)

A h ,

(

)

∫

−

   

   

vậy:

1Cϕ≤ ≤ − và cho:

Ta cần một ước lượng giống như ước lượng trong Định lý 1.8.4.

ng 

Bổ đề 3.4.1. Cho ϕ và ψ là các hàm ω- đa điều hòa trên M với 0

n 

−

≤

cap

n C s

n ω g

{ ψ

} ϕ

(

)

∫

{ } + < ψ ϕ s

+ <

E s

sψ

= :

Khi đó:

} ϕ

( ) { =

(

)

( cap E s 2

)

−

∈

= :

PSH

Chứng minh. Ký hiệu: và .

   và đặt 0

( ) ω

s C

  

 ϕ  

 s < ψ ρ  C 

  

⊂ ⊂ V

( 2E s

)

( ) E s

với 1 . Khi đó: Lấy

≤

ω ρ

∫

s C

 − 1 

 ω  ϕ 

  

  

∫ ( 2 E s

n ω ρ )

≤

n ω g

n ω ψ

∫

∫ ( ) E s

Theo nguyên lý so sánh với s C ta có:

Lấy cận trên đúng trên ρta được:

s C

ω≤ ∫ g ( ) E s

Chứng minh xong.⁯

(

)

F A h với h là hàm chấp nhận được nào

∈

Định lý 3.4.2. Xét hai hàm f và g thuộc

( F A h

)





n   ,

và các nghiệm tương ứng của: đó

n  

n 

( ) − ϕ ψ

( ) − ψ ϕ

max M

được chuẩn hóa bởi:

( ) q n

 bởi:

3 2

 =  

1/   

( ) t

1 κ− 1 A h ,

− 3

) +

( ( a A h 3 , 2 ) ( a A h 3 ,

) ) 1

(

Đặt và định nghĩa một hàm  tăng trên

( ) tκ−

( ) tκ ,A h

1 ,A h

−

≤

( ) t tγ

(trong đó ký hiệu hàm ngược của ). Khi đó, bất đẳng thức

− ϕ ψ

≤

( a A h 3 ,

)

(

)

∞

t > ) phụ thuộc vào  .

suy ra:

t ( 0

với

( a A h 3 ,

)

1n ≤

Chứng minh. Đặt . Ta giả sử rằng:

(

) ω

∫

{ } < ψ ϕ

(3.11)

= ta cố định

( ) tγ

lim → 0 t

+ < 3

−

1/ 3

vì nếu ngược lại, ta có thể đổi vai trò của ϕ và ψ. Do

t cố định. Ký hiệu

( q<

) 1 / 2

(

)

n 0

ψ ϕ< −

sao cho . Bây giờ ta sẽ làm việc với

}kat

kE là tập hợp {

g

C 0

 

E 2

và đặt:

Khi đó do (3.11) và các giả thiết ta có:

−

≤

n ω g

(

)

(

)

(

)

n 0

)

( 1

 

n ω  

∫

1 2

2 3

E 0

(3.12)





 , 0

n 

 g 1

, max M

3 / 2

Định nghĩa hàm ω- đa điều hòa dưới ρ như là nghiệm của:

(

)

g 1

0E và

1g bằng hằng số

c  nơi khác, với 0c chọn sao cho

c  có là do (3.12). Do:

trên trong đó

n g ω = 1

∫

≤

n ω

3 / 2

(

)

n ω g 1

 

 1 

∫

∈

3 ,

( 0

) F A h và vì thế:

( ,F a h

)

(

   a

nghiệm  thuộc và

Bằng cách cộng cùng một hằng số vào ϕ và ψ (không ảnh hưởng đến giả thiết cũng

a    0

như kết luận) ta có thể giả sử rằng:

−

⊂ = E

( < − 1

) + ϕ ρ t

}

E 2

⊂ E 0

Ta có hai bao hàm thức:

( < − 1

)

{

{ ψ }

n bất đẳng

. Từ Bổ đề 3.1.2 ta biết rằng với k Ký hiệu G là tập hợp

0 \E G

− n k

−

( 1

)

− n k ∧ ω ω ρ

k ϕ

n ρ t

ϕω ( ) + − 1

∑

  n   k  

−

≥

−

n ω g

thức sau thỏa trên

( 1

)

)( 1

)

)( 1

 

 

  

  

≥

−

n ω g

( t q

) − − 1

(

) 1

 1 

 

t 2

 1  

  

−

(3.13)

(

) 1 / 2

< < t 0

Trong đó bất đẳng thức cuối cùng được suy ra từ

≤

−

n ω g

(

) n ≤ ω γ

( ) t t

∫

Từ giả thiết ta có:

Do đó:

+ 1

n ≤ ω γ g

( ) t t

∫

(3.14)

Các bất đẳng thức nhận được bằng cách áp dụng, theo thứ tự công thức (3.13), nguyên

+ 1

−

≤

lý so sánh, và công thức (3.14):

n ω g

n + ω γ g

( ) t t

) 1

(

) ϕ

( + − 1

n ∫ ≤ ω ω g ρ t

∫

t 2

 1  

  ∫ 

E G \

(3.15)

n ≤ ω γ g

( ) t t

∫

− 2

\ E G

Từ (3.15) ta có:

+ 1

−

≤

−

≤

n ω g

( ) t t

C 0

(

)

∫

− 2

E 2

   

 ω γ  g  

Vì vậy:

≤

( ) t t

C 0

2 −

3 −

γ 1

  

 γ  

và do đó:

≤

n ω g

)

( cap E ω

∫

( a (

) 1 )

E 2

Ta cũng có từ Bổ đề 3.4.1

−

≤

2 ta

)

(

)

(

) 1

(

) ( 1

)

( ) t

( cap E ω

C 0

3 −

γ 1

< −

Do hai ước lượng cuối cùng ta được:

(

)

{ ψ ϕ

}

khác rỗng. Theo Bổ đề 3.3.1, ước lượng trên và định Giả sử

−

≤

2 t

)

(

) 1

)

( ) t

( cap E ω

(

)

κ F

(

)(

3 −

γ 1

≤

+ 2a

max

nghĩa của γ ta có:

'E rỗng và dẫn đến ước lượng mong muốn: (

( ) − ϕ ψ

)

.  Điều này mâu thuẩn. Vì vậy ( ) − ψ ϕ

∈

( F A h

)

ϕ= là duy nhất.

Từ Định lý 3.4.2 ta suy ra rằng với với h chấp nhận được nghiệm của

(3.1), chuẩn hóa bởi max

1ϕ

2ϕ thỏa mãn:

n ω ω ω f ϕ 2

n ϕ 1

∈

Hệ quả 3.4.3. Nếu và

const

)

( f F A h

ϕ ϕ− 2

. đối với , với h là hàm chấp nhận được nào đó, thì

( ) h x

Ví dụ. Từ Định lý 3.4.2 ta sẽ đưa ra một ước lượng rõ ràng với . Khi đó

log

( 1n

)

,A hκ tính được là

( ) ψ = h t

const At .

(

)1/

( ) A h t ,

. Hàm

( ) γ = t

và do đó với C phụ thuộc A . Vì vậy, do Định lý 3.4.2, các nghiệm  - đa

n n ω ω ω ω ,

n ψ

n ϕ

điều hòa dưới được chuẩn hóa của phương trình:

f g L ,

( cψ∈

( 1/ 2

)

≤

−

− ϕ ψ

thỏa mãn: với

c f

∞

với c phụ thuộc vào 0c

KẾT LUẬN

Luận văn đạt được một số kết quả chính như sau:

-Trình bày các khái niệm về tính dương của dòng và toán tử Monge-Ampere mở

rộng trên các đa tạp phức.

- Trình bày về sự tồn tại, tính duy nhất và ổn định của nghiệm của phương trình

Monge-Ampere phức trên một đa tạp compact Kahler.

Để tìm hiểu về các nội dung chính nêu trên tôi đã có những tìm hiểu bước đầu về

lý thuyết đa thế vị phức, hình học vi phân phức.

Đề tài có thể được tiếp tục nghiên cứu theo các hướng sau:

+ Phương trình Hess trên một đa tạp compact Kahler.

+ Một số áp dụng của phương trình Monge-Ampere phức vào bài toán liên quan

đến động lực phức.

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Tiếng Việt

1. Nguyễn Quang Diệu, Lê Mậu Hải (2009), Cơ sở lý thuyết đa thế vị, NXB Đại học

Sư phạm Hà Nội.

Tiếng Anh

2. Andrei Moroianu (2007), Lectures on Kahler Geometry, Cambridge University

Press.

3. Demailly J. P. (2007), Complex analytic and differential geometry, Universite de

Grenoble I Institut Fourier, France.

4. Gang Tian (2000), Canonical metrics in Kahler Geometry, Birkhauser Verlag

Basel-Boston- Berlin.

5. Hormander L. (1990), An introduction to complex analysis in several variables,

North-Holland Math. Lib, Holland.

6. Klimek M. (1991), Pluripotential theory, Clarendon Press, Oxford.

7. Kolodziej (2005), The complex Monge – Ampère Equation and Pluripotential

Theory, Memoirs of Amer.Math.Soc, (840).

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH

Lê Nhật Nguyên

TÌM HIỂU BƯỚC ĐẦU VỀ PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP COMPACT KAHLER

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – 2014

LỜI CAM ĐOAN

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU

Chương 1. CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

) 1

{

} ) Đa tạp phức X được gọi là lồi chỉnh hình nếu bao chỉnh hình  (

{

}

Chương 2. DÒNG DƯƠNG ĐÓNG VÀ TOÁN TỬ MONGE-AMPERE

TRÊN ĐA TẠP PHỨC

Chương 3. PHƯƠNG TRÌNH MONGE-AMPERE PHỨC TRÊN ĐA TẠP

COMPACT KAHLER

KẾT LUẬN

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Hàm Green đa phức và bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampère phức

Luận án Tiến sĩ: Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu Monge-Ampère Elliptic không đối xứng

Đề thi học kì 2 môn Toán lớp 7 năm 2023-2024 có đáp án - Trường THCS Phù Đổng, Đại Lộc

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Toán tử Monge-Ampere phức và bài toán Dirichlet trong lớp F

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet đối với toán tử Monge-Ampere phức trong lớp F (f)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nghiệm nhớt của các phương trình Monge-Ampère phức suy biến

Đề cương ôn tập học kì 1 môn Địa lí lớp 12 năm 2020-2021 - Trường THPT Tôn Thất Tùng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge Ampère phức trong các lớp Cegrell

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Sự tồn tại nghiệm của phương trình Monge Ampère phức trong các lớp năng lượng đa phức có trọng

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Nguyên lý so sánh đối với toán tử Monge - Ampère phức trong các lớp Ftp (W) và Etp (W)

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới bởi hàm Green đa cực

Tóm tắt luận văn Tiến sĩ Toán học: Miền B-chính quy đối với các hàm đa điều hoà dưới và toán tử Monge-Ampère đối với hàm Delta đa điều hoà dưới địa phương

Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Bài toán Dirichlet cho phương trình kiểu monge Ampère Elliptic không đối xứng

Luận án tiến sĩ Toán học: Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere

Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere

Tóm tắt Luận án tiến sĩ Toán học: Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích trong Cn

Luận án Tiến sỹ Toán học: Tính liên tục Holder và sự ổn định của nghiệm phương trình Monge-Ampere

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tìm hiểu bước đầu về phương trình Monge Ampere phức trên đa tạp Compact Kahler

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Một số tính chất của phương trình Monge Ampère phức và lý thuyết đa thế vị

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ