MỞ ĐẦU
I. Lý do chọn đề tài
Hàm đa điều hoà dưới và tập giải tích là các đối tượng quan trọng của giải tích
phức nhiều biến. Tuy nhiên việc nghiên cứu đồng thời hai đối tượng này còn ít
được đề cập đến. Một trong những nguyên nhân là do sự hiện diện những điểm
kỳ dị trên tập giải tích làm cho quá trình trơn hóa (hay là xấp xỉ địa phương
bằng tích chập) các hàm đa điều hòa dưới hay kỹ thuật lấy bao trên của họ
những hàm đa điều hòa dưới không còn tác dụng. Đây chính là hai công cụ kỹ
thuật được coi là tiêu chuẩn của lý thuyết đa thế vị phức trên các tập mở trong
Cn.Chúng tôi chọn nghiên cứu đề tài "Hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích
trong Cn" vì một phần do những thách thức kể trên và cũng một phần do những
ứng dụng vào các bài toán trung tâm của lý thuyết đa thế vị và giải tích phức
như: Giải phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích, đánh giá định lượng
hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích,...
II. Mục đích và nhiệm vụ nghiên cứu
Để dễ theo dõi, ta bắt đầu bằng cách nhắc lại một số khái niệm cơ bản (xem [6])
về tập giải tích. Cho Dlà tập mở trong Cn. Một tập con đóng Vcủa Dđược gọi
là tập giải tích nếu với mọi z0∈Vta tìm được lân cận mở Ucủa z0và một họ
các hàm chỉnh hình {fi}i∈Ixác định trên Usao cho V∩U={z∈U:fi(z) =
0,∀i∈I}.Trên một tập giải tích có hai loại điểm là điểm kỳ dị và điểm chính
qui. Điểm a∈Vđược gọi là điểm chính qui nếu tồn tại một lân cận Ucủa ađể
V∩Ulà một đa tạp con phức số chiều kcủa U. Nói cách khác, tồn tại các hàm
chỉnh hình f1, ..., fn−kxác định trên Usao cho các điều kiện sau được thỏa mãn:
a. V ∩U={z∈U:fi(z) = 0,∀16i6n−k};
b. rank (∂fi
∂zj
)1≤i≤n−k,1≤j≤n=n−k.
Trong trường hợp này chúng ta sẽ viết dimaV=k. Tập các điểm chính qui của
Vđược ký hiệu là Vrvà Vs:= V\Vrlà tập các điểm kỳ dị của V. Số chiều của
tập giải tích Vđược định nghĩa là dim V= max
a∈Vr
dimaV.
Chúng tôi sẽ tập trung tìm hiểu các vấn đề sau đây xoay quanh các hàm đa điều
1
hòa dưới xác định trên tập giải tích trong Cn.
Vấn đề 1. Cho Vlà tập con giải tích của miền bị chặn Dtrong Cn. Tìm các
điều kiện trên Vđể mọi hàm đa điều hòa dưới bị chặn trên xác định trên Vcó
thể xấp xỉ bởi các hàm đa điều hòa dưới trên Vvà liên tục trên ¯
V. Từ đó tìm
ứng dụng vào việc giải quyết bài toán Dirichlet với giá trị biên liên tục (có thể
trừ ra một tập kỳ dị đủ nhỏ).
Vấn đề 2. Xây dựng một cách định lượng những nguyên lý so sánh đối với các
hàm đa điều hòa dưới bị chặn. Từ đó tìm áp dụng vào việc nghiên cứu các điều
kiện đủ cho hội tụ của dãy các hàm đa điều hòa dưới thông qua hội tụ của giá
trị biên của chúng cùng với hội tụ của dãy các độ đo Monge-Ampère tương ứng.
Để hiểu rõ hơn các hướng nghiên cứu này, chúng tôi sẽ bình luận các kết quả
mà những nhà toán học trước đó đã đạt được. Đối với những miền mở bị chặn
trong Cnthì vấn đề 1 đã được nghiên cứu bởi F. Wikstrom và sau đó bởi N.
Q. Diệu và Wikstrom cách đây khoảng 15 năm trong các công trình [18], [11],
[8]. Điểm mấu chốt là các tác giả này sử dụng một định lý đối ngẫu cổ điển của
Edwards trong [12] nhằm đưa bài toán xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới về việc so
sánh các lớp độ đo Jensen ứng với những nón hàm đa điều hòa dưới khác nhau.
Khi chuyển sang tập giải tích thì có một số kết quả ban đầu đạt được trong [19].
Những kết quả này có hạn chế là luôn giả thiết tập giải tích Vđã có một lân
cận mở B−chính qui trong Cn.Đối với vấn đề 2, ngoài các công trình kinh điển
của Bedford và Taylor trong [2], [3], [4] hay Cegrell trong [5], chúng ta phải kể
đến các kết quả gần đây hơn của Xing trong citeXi1 và nhất là [21], ở những
công trình này, những đánh giá định lượng của nguyên lý so sánh đã được đưa
ra. Một lần nữa, khi nghiên cứu bài toán xấp xỉ cho vấn đề thứ 2, chúng tôi đã
phải vượt qua một khó khăn đáng kể là thiết lập các công thức tích phân từng
phần cho các dòng dương trên những tập giải tích có kỳ dị Ngoài ra, một ý mới
của chúng tôi là đã lần đầu tiên đề cập tới việc làm yếu điều kiện biên
III. PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU
Một khó khăn khi làm việc với các tập giải tích là sự xuất hiện những điểm kỳ
dị nên ngoài các phương pháp truyền thống của Nguyễn Quang Diệu và Frank
Wikstrom (sử dụng các định lý đối ngẫu Edwards) hay của Bedford (nguyên lý
so sánh đối với toán tử Monge-Ampère) trong trường hợp Cn, chúng tôi còn phải
kết hợp với các công cụ mạnh của lý thuyết đa thế vị phức trên tập giải tích như
những kết quả của Fornaess và Narasimhan về đặc trưng hàm điều hòa dưới,
công thức tích phân từng phần đối với các dạng vi phân trên tập giải tích,...
2
Chương 1
Tổng quan về các vấn đề trong luận án
1.1 Hàm điều hòa dưới
Ta bắt đầu bằng việc trình bày lại các định nghĩa cùng với một số kết quả về
hàm điều hòa dưới trên Cvà sau đó là về hàm đa điều hòa dưới trên Cn. Dụng ý
của chúng tôi là để cho bạn đọc hiểu được khái niệm hàm đa điều hòa dưới trên
tập giải tích sẽ được trình bày sau đó. Các kết quả này cùng với những chứng
minh chi tiết có thể tìm thấy trong cuốn sách kinh điển về lý thuyết đa thế vị
phức [16].
Định nghĩa 1.1.1. Giả sử Xlà không gian tôpô. Hàm u:X→[−∞,+∞)gọi
là nửa liên tục trên trên Xnếu với mỗi a∈Rtập
Xa={x∈X:u(x)< a}
là tập mở trong X.
Hàm nửa liên tục trên có tính chất thú vị sau đây.
Mệnh đề 1.1.2. Giả sử ulà hàm nửa liên tục trên trên không gian tôpô X và
K⋐Xlà tập compact. Khi đó uđạt cực đại trên K.
Định nghĩa 1.1.3. Giả sử Ωlà tập mở trong C. Hàm u: Ω →[−∞,+∞)gọi
là điều hòa dưới trên Ωnếu unửa liên tục trên trên Ω,u6≡ −∞ trên bất kì một
thành phần liên thông của Ωvà thỏa mãn bất đẳng thức dưới trung bình trên Ω,
nghĩa là với mọi ω∈Ωtồn tại > 0sao cho với mọi 0≤r < ta có
u(w)61
2π
2π
Z
0
u(w+reit)dt.
3
1.2 Hàm đa điều hòa dưới
Định nghĩa 1.2.1. Giả sử Ω⊂Cnlà tập mở và u:−→ [−∞,+∞)là hàm nửa
liên tục trên, không đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω.
Hàm ugọi là đa điều hòa dưới trên Ω(viết u∈P SH(Ω)) nếu với mọi a∈Ωvà
b∈Cn, hàm λ7−→ u(a+λb)là điều hòa dưới hoặc bằng −∞ trên mọi thành
phần liên thông của tập {λ∈C:a+λb ∈Ω}.
Tương tự như hàm điều hòa dưới, ta có kết quả sau.
Định lý 1.2.2. Giả sử u: Ω −→ [−∞,+∞)là hàm nửa liên tục trên, không
đồng nhất bằng −∞ trên mọi thành phần liên thông của Ω∈Cn. Khi đó u∈
P SH(Ω) khi và chỉ khi với mọi a∈Ω, b ∈Cnsao cho
{a+λb :λ∈C,|λ| ≤ 1} ⊂ Ω
ta có
u(a)61
2π
2π
Z
0
u(a+eiθb)dθ.
Bây giờ ta phát biểu định lí xấp xỉ chính cho các hàm đa điều hòa dưới tương
tự như các hàm điều hòa dưới. Trong Chương 3, chúng ta phải áp dụng một kỹ
thuật tinh tế hơn của Bedford về xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích
bởi một dãy các hàm trơn, tựa đa điều hòa dưới.
Định lý 1.2.3. Giả sử Ω⊂Cnlà tập mở và u∈P SH(Ω). Nếu ε > 0sao
cho Ωε: = {z∈Ω: d(z, ∂Ω) > ε} 6=∅thì u∗χε∈ C∞(Ωε)∩P SH(Ωε). Họ
{u∗χε:ε > 0}là đơn điệu giảm khi ε↓0và
lim
ε→0u∗χε(z) = u(z)
xảy ra với mọi z∈Ω.
Quay trở lại nội dung chính của luận án. Chúng ta nghiên cứu hai vấn đề về
hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích. Vấn đề đầu tiên là xấp xỉ hàm đa điều
hòa dưới trên các tập giải tích và tiếp theo là nghiên cứu nguyên lý so sánh với
các hàm đa điều hòa dưới bị chặn cùng với ứng dụng vào nghiên cứu bài toán
hội tụ của dãy hàm đa điều hòa dưới. Sau đây chúng ta sẽ tìm hiểu lần lượt hai
nội dung này.
4
1.3 Xấp xỉ hàm đa điều hòa dưới trên các tập giải tích
trong Cn
Hàm đa điều hòa dưới là một đối tượng quan trọng của giải tích phức. Tuy
nhiên chúng mới chỉ được nghiên cứu nhiều trên tập mở của Cnvà đa tạp phức.
Nội dung của luận án là nghiên cứu xấp xỉ của các hàm đa điều hòa dưới trên
các tập giải tích trong Cn. Đó là các tính chất xấp xỉ của hàm đa điều hòa dưới
trên các tập con nhỏ của một tập giải tích bởi các hàm đa điều hòa dưới trên
những tập lớn hơn. Ngoài ra chúng tôi cũng nghiên cứu toán tử Monge-Ampère
và phương trình Monge-Ampère trên tập giải tích.
Ta nhắc lại một số khái niệm cơ bản.
Định nghĩa 1.3.1. Cho Dlà tập mở trong Cnvà Vlà tập con đóng của D. Ta
nói Vlà tập con giải tích của Dnếu với mọi x∈Vtồn tại một lân cận mở
Ux⊂Cncủa xsao cho Ux∩Vlà không điểm chung của một số các hàm chỉnh
hình trên Ux.
Những khái niệm số chiều của tập giải tích V, phần chính qui Vrvà phần kỳ dị
Vscủa Vđã được trình bày sơ lược ở phần mở đầu của luận án và không cần
thiết nhắc lại ở đây. Ta chỉ cần nhớ ví dụ cơ bản sau đây về tập giải tích: Nếu
V:= {(z1, z2)∈C2:z1z2= 0}thì Vr=V\ {(0,0)}và Vs={(0,0)}. Hơn nữa
dim V= 1.
Gắn liền với khái niệm tập giải tích là các khái niệm hàm chỉnh hình và hàm đa
điều hòa dưới trên những tập này. Chúng ta có các khái niệm sau đây được lấy
trong [13].
Định nghĩa 1.3.2. Cho Vlà một tập giải tích trong miền bị chặn Dcủa Cn.
Một hàm f:V→Cđược gọi là chỉnh hình nếu về địa phương flà hạn chế trên
Vcủa các hàm chỉnh hình trên những tập mở của Cn.
Định nghĩa 1.3.3. Cho Vlà một tập giải tích trong miền bị chặn Dcủa Cn.
Hàm nửa liên tục trên u:V→[− ∞,∞)gọi là đa điều hòa dưới nếu về địa
phương ulà hạn chế của các hàm đa điều hòa dưới trên những tập con mở của
Cn.Tập các hàm đa điều hòa dưới trên tập giải tích Vđược ký hiệu là P SH(V).
Một vấn đề truyền thống của giải tích là xấp xỉ các hàm trên một tập nhỏ bởi
những hàm có tính chất tốt hơn nhưng xác định trên các tập lớn hơn. Với ý
tưởng này, chúng tôi đã chứng minh được những kết quả sau đây trong công
trình [9].
Định lý 1.3.4. Cho Vlà tập giải tích trong miền Dnằm trong Cn. Giả sử có
một hàm đa điều hòa dưới liên tục âm vét cạn trên V. Khi đó với mọi hàm uđa
5