Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:69

Thêm vào BST

Báo xấu

45
lượt xem 2
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt tập trung tìm hiểu về sự tồn tại và duy nhất nghiệm; sự ổn định của nghiệm; khai triển tiệm cận của nghiệm theo ba tham số bé (ε, K, λ) và một số nội dung khác.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Phương trình sóng mô tả thanh đàn hồi nhớt

BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Leâ Nguyeãn Kim Haèng PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG MOÂ TAÛ THANH ÑAØN HOÀI NHÔÙT LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Tp. Hoà Chí Minh – 2006
BOÄ GIAÙO DUÏC VAØ ÑAØO TAÏO TRÖÔØNG ÑAÏI HOÏC SÖ PHAÏM THAØNH PHOÁ HOÀ CHÍ MINH ⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯⎯ Leâ Nguyeãn Kim Haèng PHÖÔNG TRÌNH SOÙNG MOÂ TAÛ THANH ÑAØN HOÀI NHÔÙT Chuyeân ngaønh : Toaùn Giaûi Tích Maõ soá : 60 46 01 LUAÄN VAÊN THAÏC SÓ TOAÙN HOÏC Ngöôøi höôùng daãn khoa học: TS. Nguyeãn Thaønh Long TP. Hoà Chí Minh – 2006
LÔØI CAÛM ÔN Lôøi ñaàu tieân, toâi traân troïng kính gôûi ñeán Thaày Nguyeãn Thaønh Long lôøi caûm ôn saâu saéc nhaát veà söï taän tình giuùp ñôõ cuûa thaày ñoái vôùi toâi trong suoát khoùa hoïc vaø nhaát laø trong vieäc hoaøn thaønh luaän vaên naøy. Xin chaân thaønh caûm ôn Thaày Nguyeãn Bích Huy vaø Thaày Nguyeãn Coâng Taâm ñaõ ñoïc vaø ñoùng goùp nhieàu yù kieán quyù baùu cho luaän vaên cuûa toâi. Xin baøy toû loøng bieát ôn ñoái vôùi Quyù Thaày, Coâ trong vaø ngoaøi Khoa Toaùn – tin hoïc, tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm vaø tröôøng Ñaïi Hoïc Khoa hoïc –Töï nhieân Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taän tình giaûng daïy, truyeàn ñaït kieán thöùc trong suoát thôøi gian toâi hoïc taäp vaø laøm vieäc. Xin caûm ôn quyù Thaày Coâ thuoäc Phoøng quaûn lyù sau Ñaïi hoïc Tröôøng Ñaïi Hoïc Sö Phaïm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo moïi ñieàu kieän thuaän lôïi cho toâi veà thuû tuïc haønh chính trong khoùa hoïc. Toâi cuõng xin chaân thaønh caûm ôn Ban Laõnh Ñaïo tröôøng, Boä moân Toaùn - Khoa Khoa hoïc, tröôøng Ñaïi hoïc Noâng Laâm Thaønh phoá Hoà Chí Minh ñaõ taïo ñieàu kieän thuaän lôïi moïi maët ñeå toâi coù theå yeân taâm hoïc taäp vaø laøm vieäc. Cuoái cuøng, xin gôûi lôøi caûm ôn thaân thöông nhaát ñeán gia ñình toâi -choã döïa tinh thaàn trong cuoäc soáng cuûa toâi baây giôø vaø maõi sau naøy, ñaõ taïo ñieàu kieän toát nhaát giuùp toâi hoaøn thaønh baûn luaän vaên naøy vaø anh Nguyeãn Höõu Thaùi – ngöôøi ñaõ giuùp ñôõ toâi raát nhieàu trong vieäc in aán taøi lieäu cuõng nhö söûa chöõa luaän vaên. Vì kieán thöùc baûn thaân coøn nhieàu haïn cheá neân luaän vaên khoù traùnh khoûi thieáu soùt, raát mong nhaän ñöôïc söï chæ baûo cuûa quyù Thaày, Coâ vaø söï goùp yù chaân thaønh cuûa caùc baïn beø ñoàng nghieäp. Tp.HCM, ngaøy 20 thaùng 11 naêm 2006 Leâ Nguyeãn Kim Haèng
1 MÔÛ ÑAÀU Trong luaän vaên naøy, chuùng toâi khaûo saùt baøi toaùn utt − μ (t )u xx + f ( u , ut ) = F ( x, t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T , (0.1) u x ( 0, t ) = P ( t ) , (0.2) u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, (0.3) u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , (0.4) trong ñoù f ( u , ut ) = Ku + λ ut , (0.5) vaø μ , u0 , u1 , F laø nhöõng haøm cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän maø ta seõ chæ ra sau, K , λ , λ1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc. Haøm chöa bieát u ( x, t ) vaø giaù trò bieân chöa bieát P ( t ) thoûa phöông trình tích phaân tuyeán tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (0.6) 0 vôùi K 0 laø haèng soá cho tröôùc, vaø g , k laø nhöõng haøm cho tröôùc. Trong tröôøng hôïp naøy, baøi toaùn ( 0.1) − ( 0.5 ) laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn hoài nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn chòu taùc duïng cuûa löïc caûn nhôùt. Moät baøi toaùn khaùc cuøng loaïi baøi toaùn naøy cuõng ñöôïc thaønh laäp töø baøi toaùn (0.1) – (0.4), trong ñoù haøm chöa bieát u ( x, t ) vaø giaù trò bieân chöa bieát P ( t ) thoûa moät baøi toaùn Cauchy cho phöông trình vi phaân thöôøng döôùi ñaây P // ( t ) + ω P ( t ) = K 0 utt ( 0, t ) , 0 < t < T , (0.7) P ( 0 ) = P0 , P / ( 0 ) = P1 , (0.8) trong ñoù ω > 0, K 0 ≥ 0, P0 , P1 laø caùc haèng soá cho tröôùc. Töø ( 0.7 ) vaø ( 0.8 ) ta bieåu dieãn P ( t ) theo ω , K 0 , P0 , P1 , utt ( 0, t ) vaø sau ñoù tích phaân töøng phaàn, ta ñöôïc t P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − K 0ω ∫ sin (ω ( t − s ) ) u ( 0, s )ds, (0.9) 0
2 trong ñoù sin ωt g (t ) = ( P0 − K 0 u0 ( 0 ) ) cos ωt + ( P1 − K 0 u1 ( 0 ) ) . (0.10) ω Chuù yù raèng coâng thöùc (0.9) xaùc ñònh P ( t ) cuøng daïng (0.6) vôùi k ( t ) = K 0ω sin ωt. (0.11) Baèng caùch khöû aån haøm P ( t ) , ta thay theá ñieàu kieän bieân (0.2) bôûi t u x ( 0, t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds. (0.12) 0 Khi ñoù, chuùng ta ñöa baøi toaùn ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) veà ( 0.1) − ( 0.4 ) , ( 0.9 ) − ( 0.11) hay (0.1), (0.3), (0.4), (0.12). Tröôùc ñaây, caùc taùc giaû Nguyeãn Thuùc An vaø Nguyeãn Ñình Trieàu [1] ñaõ nghieân cöùu moät tröôøng hôïp rieâng cuûa baøi toaùn ( 0.1) , ( 0.2 ) , ( 0.4 ) , ( 0.7 ) , ( 0.8 ) vaø u (1, t ) = 0 vôùi μ ( t ) = 1, u0 = u1 = P0 = 0 vaø f ( u , ut ) = Ku + λ ut , trong ñoù K , λ laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc. Baøi toaùn naøy laø moâ hình toaùn hoïc moâ taû söï va chaïm cuûa moät vaät raén vaø moät thanh ñaøn hoài nhôùt tuyeán tính töïa treân moät neàn cöùng [1]. Nhö vaäy, baøi toaùn nghieân cöùu trong luaän vaên naøy töông töï vôùi baøi toaùn ñöôïc xeùt trong [1]. Trong [2], Ñaëng Ñình AÙng vaø Alain Phaïm Ngoïc Ñònh ñaõ thieát laäp ñònh lyù toàn taïi vaø duy nhaát nghieäm toaøn cuïc cho baøi toaùn giaù trò bieân vaø ban ñaàu (0.1), (0.2), (0.4) vaø u (1, t ) = 0 vôùi μ ( t ) = 1, u0 , u1 , P laø caùc haøm cho tröôùc vaø F ( x, t ) = 0, f ( u , ut ) = ut ut , ( 0 < α < 1) . α −1 (0.13) Baèng söï toång quaùt hoùa cuûa [2], Long vaø Alain Phaïm [6, 7], Long vaø Thuyeát [9], Long vaø Duõng [10], Long, Taâm vaø Truùc [11] ñaõ xeùt baøi toaùn (0.1), (0.4) lieân keát vôùi ñieàu kieän bieân thuaàn nhaát taïi x = 1 vaø khoâng thuaàn nhaát taïi x = 0 coù daïng t u x ( 0, t ) = g ( t ) + H ( u ( 0, t ) ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds , u (1, t ) = 0 (0.14) 0
3 Caùc taùc giaû neâu treân ñaõ laàn löôït xeùt noù trong [6] vôùi μ ( t ) ≡ 1, k ≡ 0, H ( s ) = K 0 s, trong ñoù K 0 > 0; trong [6,11] vôùi μ ( t ) ≡ 1, H ( s ) = K 0 s, trong ñoù K 0 > 0. Lieân quan ñeán baøi toaùn (0.1) – (0.6), ta xeùt baøi toaùn nhieãu döôùi ñaây theo ba tham soá beù ( ε1 , K , λ ) ∈ 3 + vôùi 0 ≤ ε1 ≤ ε1* , 0 ≤ K ≤ K * , 0 ≤ λ ≤ λ * (trong ñoù ε1* , K * , λ * laø caùc soá döông coá ñònh) ⎧ ⎪u − μ (t ) + ε μ t u = − Ku − λ u + F x, t , 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪ tt ( 1 1 ( ) ) xx t ( ) ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x (P ε1 , K ,λ ) ⎨u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , ⎪ t ⎪ P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds. ⎪⎩ 0 Ta giaû söû raèng K 0 ≥ 0, λ1 > 0 laø hai soá thöïc coá ñònh vaø caùc haøm ( u0 , u1 , μ , μ1 , F , g , k ) cho tröôùc coá ñònh vaø thoûa caùc giaû thieát naøo ñoù sao cho vôùi moãi ( ε1 , K , λ ) ∈ 3 + cho tröôùc, baøi toaùn ( 0.1) − ( 0.6 ) coù duy nhaát moät nghieäm yeáu ( u, P ) phuï thuoäc vaøo ba tham soá ( ε1 , K , λ ) u = uε1 , K ,λ , P = Pε1 , K ,λ Luaän vaên naøy seõ nghieân cöùu khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn (P ε1 , K , λ ) theo ba tham soá beù (ε , K , λ ) , töùc laø nghieäm coù theå xaáp xæ bôûi moät ña 1 thöùc theo ba bieán ( ε1 , K , λ ) u ( x, t ) ≈ ∑ γ1 + 2 + 3 ≤ N , γ γ Uˆ γ1γ 2γ 3 ( x, t ) ε1γ1 K γ 2 λ γ 3 , γ 1 ,γ 2 ,γ 3∈ + P (t ) ≈ ∑ γ1 + 2 + 3 ≤ N , γ γ Pˆγ1γ 2γ 3 ( t ) ε1γ1 K γ 2 λ γ 3 , γ 1 ,γ 2 ,γ 3∈ + theo nghóa caàn phaûi chæ ra caùc haøm Uˆ γ1γ 2γ 3 ( x, t ) , Pˆγ 1γ 2γ 3 ( t ) , γ 1 + γ 2 + γ 3 ≤ N , γ1, γ 2 , γ 3 ∈ + vaø thieát laäp caùc ñaùnh giaù
4 ( ) N +1 u− ∑ γ 1 +γ 2 +γ 3 ≤ N , γ 1 ,γ 2 ,γ 3∈ Uˆ γ 1γ 2γ 3 ε1γ 1 K γ 2 λ γ 3 ≤ CN 1 ε12 + K 2 + λ 2 , + * ( ) N +1 P− ∑γ γ γ 1 +γ 2 +γ 3 ≤ N , 1 , 2 ,γ 3∈ Pˆγ 1γ 2γ 3 ε1γ1 K γ 2 λ γ 3 ≤ CN 2 ε12 + K 2 + λ 2 , + ** theo caùc chuaån i * , i ** trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp vaø vôùi caùc tham soá ( ε1 , K , λ ) ñuû beù, caùc haèng soá CN 1 , CN 2 ñoäc laäp vôùi caùc tham soá ( ε1 , K , λ ) . Caùc keát quaû lieân quan ñeán baøi toaùn xaáp xæ tieäm caän theo nhieàu tham soá ñaõ ñöôïc moät soá taùc giaû quan taâm, chaúng haïn nhö: Long, Alain Phaïm, Dieãm [12], Long, UÙt, Truùc [13], Long, Giai [14], Long, Tröôøng [15]. Trong luaän vaên naøy, taùc giaû ñaõ môû roäng moät keát quaû cuûa [12] vôùi tröôøng hôïp K1 = 0 , trong ñoù caùc taùc giaû Long, Alain Phaïm, Dieãm ñaõ xeùt baøi toaùn (2.1)- (2.6) vôùi haøm μ ≡ 1 vaø ñaõ thu ñöôïc khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm baøi toaùn ( P ) döôùi ñaây theo hai tham soá beù ( K , λ ) K ,λ ⎧ ⎪utt − u xx = − Ku − λ ut + F ( x, t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T , ⎪u ( 0, t ) = P ( t ) , ⎪⎪ x (P ) K ,λ ⎨u x (1, t ) + K1u (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, ⎪ ⎪u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , ⎪ ( ) ( ) ( ) ∫0 k ( t − s ) u ( 0, s ) ds. t ⎪⎩ P t = g t + K 0 u 0, t − Luaän vaên ñöôïc trình baøy theo caùc chöông muïc sau: Phaàn môû ñaàu, toång quan veà baøi toaùn khaûo saùt trong luaän vaên, ñieåm qua caùc keát quaû ñaõ coù tröôùc ñoù, ñoàng thôøi neâu boá cuïc cuûa luaän vaên. Chöông 1, chuùng toâi trình baøy moät soá keát quaû chuaån bò bao goàm vieäc nhaéc laïi moät soá khoâng gian haøm vaø moät soá keát quaû veà caùc pheùp nhuùng compact giöõa caùc khoâng gian haøm. Chöông 2, chuùng toâi nghieân cöùu veà söï toàn taïi vaø duy nhaát cuûa nghieäm yeáu toaøn cuïc cuûa baøi toaùn (0.1) – (0.6). Chöùng minh ñöôïc döïa vaøo phöông phaùp Faedo-Galerkin lieân keát vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm cuøng vôùi kyõ thuaät hoäi tuï yeáu vaø tính compact.
5 Chöông 3, chuùng toâi chöùng minh raèng nghieäm yeáu ( u , P ) cuûa baøi toaùn ( 0.1) − ( 0.6 ) laø oån ñònh ñoái vôùi caùc haøm ( μ, F , g, k ) vaø caùc haèng soá ( K , K 0 , λ , λ1 ) . Chöông 4, chuùng toâi nghieân cöùu söï khai trieån tieäm caän cuûa nghieäm yeáu ( ) cuûa baøi toaùn nhieãu Pε1 , K ,λ theo ba tham soá beù ε1 , K , λ . Chöông 5, chuùng toâi xeùt moät baøi toaùn cuï theå minh hoïa cho phöông phaùp tìm nghieäm xaáp xæ tieäm caän theo 3 tham soá. Sau cuøng laø phaàn keát luaän vaø danh muïc caùc taøi lieäu tham khaûo. Nhìn chung, caùc keát quaû trình baøy trong caùc chöông 2 – 4 laø moät nôùi roäng nhoû keát quaû trong [12] nhö laø moät ñoùng goùp khaù khieâm toán cuûa taùc giaû.
6 Chöông 1: CAÙC KIEÁN THÖÙC CHUAÅN BÒ 1.1. Caùc khoâng gian haøm Ñaàu tieân, ta ñaët caùc kyù hieäu Ω = ( 0,1) , QT = Ω × ( 0, T ) , T > 0, u ( t ) , u / ( t ) = ut ( t ) , u // ( t ) = utt ( t ) , u x ( t ) = ∇u ( t ) , u xx ( t ) = Δu ( t ) ñeå laàn ∂u ∂ 2u ∂u ∂ 2u löôït chæ u ( x, t ) , ( ) 2 ( ) ( ) 2 ( x, t ) . x , t , x , t , x , t , ∂t ∂t ∂x ∂x vaø boû qua ñònh nghóa caùc khoâng gian haøm thoâng duïng: C m ( Ω ) , Lp ( Ω ) , H m ( Ω ) , W m , p ( Ω ) . Coù theå xem trong [3]. Ñeå cho goïn, ta kí hieäu laïi nhö sau Lp ( Ω ) = Lp , H m ( Ω ) = H m = W m ,2 , W m , p ( Ω ) = W m , p . Ta ñònh nghóa L2 laø khoâng gian Hilbert ñoái vôùi tích voâ höôùng u, v = ∫ u ( x ) v ( x ) dx, u , v ∈ L2 . 1 (1.1) 0 Kí hieäu i ñeå chæ chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng (1.1), nghóa laø u = u , u , u ∈ L2 . (1.2) Vaø ñònh nghóa H 1 = {v ∈ L2 : vx ∈ L2 } , (1.3) laø khoâng gian Hilbert ñoái vôùi tích voâ höôùng u , v 1 = u , v + u x , vx , u , v ∈ H 1 . (1.4) Kí hieäu i H1 ñeå chæ chuaån sinh bôûi tích voâ höôùng (1.4), nghóa laø v H1 = ( v, v 1 = v + v x 2 ) 2 1/ 2 , v ∈ H 1. (1.5) Khi ñoù, ta coù boå ñeà sau Boå ñeà 1.1. Pheùp nhuùng H 1 1 C 0 ( Ω ) laø compact vaø v ( ) C0 Ω ≤ 2 v H1 ∀v ∈ H 1 . (1.6) Chöùng minh boå ñeà (1.1) khoâng khoù khaên.
7 Boå ñeà 1.2. Ñoàng nhaát L2 vôùi ( L2 ) (ñoái ngaãu cuûa L2 ). Khi ñoù ta coù / H 1 1 L2 ≡ ( L2 ) 1 ( H 1 ) , / / vôùi caùc pheùp nhuùng lieân tuïc vaø naèm truø maät. Chöùng minh Tröôùc heát ta chöùng minh raèng L2 nhuùng trong ( H 1 ) . / Vì H 1 1 L2 , vôùi moïi w ∈ L2 , aùnh xaï Tw : H 1 → (1.7) Tw ( v ) = w, v = ∫ w ( x ) v ( x ) dx 1 v 0 laø tuyeán tính lieân tuïc treân H 1 , töùc laø Tw ∈ ( H 1 ) . / Ta xeùt aùnh xaï T : L2 → ( H 1 ) / (1.8) w T ( w ) = Tw . Khi ñoù, ta coù (1.9) ( H ) , H = w, v , ∀v ∈ H , ∀w ∈ L . 1 2 Tw , v 1 / 1 Ta seõ chöùng minh toaùn töû T thoûa caùc tính chaát sau: (i) T : L2 → ( H 1 ) laø ñôn aùnh, / (ii) Tw ( H ) ≤ w ∀w ∈ L , 2 1 / (iii) T ( L2 ) = {Tw : w ∈ L2 } laø truø maät trong ( H 1 ) . / Chöùng minh (i): Ta deã daøng T tuyeán tính. Neáu Tw = 0, thì w, v = Tw , v ( H ) , H = 0, ∀v ∈ H . 1 1 / 1 Do H 1 truø maät trong L2 , neân ta coù w, v = 0, ∀v ∈ L2 . Do ñoù w = 0. Vaäy T laø ñôn aùnh, nghóa laø T laø moät pheùp nhuùng töø L2 vaøo ( H 1 ) . / Chöùng minh (ii): Ta coù, vôùi moïi w ∈ L2 ,
8 Tw ( H ) = v∈Hsup Tw , v = sup w, v / 1 , v 1 H1 =1 v∈H 1 , v H1 =1 ≤ sup w v v∈H 1 , v H1 =1 ≤ sup w v H1 = w. v∈H 1 , v H1 =1 Chöùng minh (iii): Ta seõ chöùng minh raèng moãi phieám haøm L tuyeán tính lieân tuïc treân ( H 1 ) / vaø trieät tieâu treân T ( L2 ) thì cuõng trieät tieâu treân ( H 1 ) . / Xem L ∈ ( H 1 ) , vôùi ( H ) ,( H ) = 0 ∀Tw ∈ T ( L ) . Ta chöùng minh raèng // 2 L, Tw 1 // 1 / L = 0. Thaät vaäy, do H 1 phaûn xaï, töùc laø ( H 1 ) = H 1 , theo nghóa // ∀L ∈ ( H 1 ) , ∃v ∈ H 1 : L, z , ∀z ∈ ( H 1 ) . // / = z, v (1.10) ( ) ( ) ( ) // / / H1 , H1 H 1 ,H 1 Laáy z = Tw ∈ ( H 1 ) , ta coù / 0 = L, Tw ( H ) ,( H ) = Tw , v ( H ) , H = w, v , ∀w ∈ L . 2 1 // 1 / 1 / 1 Suy ra v = 0. Theo (1.10) ta coù = 0, ∀z ∈ ( H 1 ) . / L, z = z, v ( H ) ,( H ) 1 // 1 / ( H ) ,H 1 / 1 Vaäy L trieät tieâu treân ( H 1 ) . / Chuù thích 1.1. Töø boå ñeà 1.2, ta duøng kyù hieäu tích voâ höôùng i, i trong L2 ñeå chæ caëp tích ñoái ngaãu giöõa H 1 vaø ( H 1 ) . / Chuaån trong L2 ñöôïc kyù hieäu bôûi i . Ta cuõng kyù hieäu i X ñeå chæ chuaån trong moät khoâng gian Banach X vaø goïi X / laø khoâng gian ñoái ngaãu cuûa X . 1.2. Veà khoâng gian haøm Lp ( 0, T ; X ) , 1 ≤ p ≤ ∞. 1.2.1. Giôùi thieäu khoâng gian haøm Lp ( 0, T ; X ) , 1 ≤ p ≤ ∞. Cho X laø khoâng gian Banach thöïc ñoái vôùi chuaån i X . Ta kí hieäu Lp ( 0, T ; X ) , 1 ≤ p ≤ ∞ laø khoâng gian caùc lôùp töông ñöông chöùa haøm u :( 0, T ) → X ño ñöôïc, sao cho
9 T ∫ u (t ) dt < ∞ , vôùi 1 ≤ p < ∞, p X 0 vaø ∃M > 0 : u ( t ) X ≤ M , a.e., t ∈ ( 0, T ) , vôùi p = ∞. Ta trang bò cho Lp ( 0, T ; X ) , 1 ≤ p ≤ ∞ chuaån nhö sau 1/ p ⎛T ⎞ = ⎜ ∫ u (t ) , vôùi 1 ≤ p < ∞, p u Lp ( 0,T ; X ) X dt ⎟ ⎝0 ⎠ vaø u L∞ ( 0,T ; X ) = esssup u ( t ) X 0
10 du Ñònh nghóa 1.2. Cho u ∈ D / ( 0, T ; X ) . Ta ñònh nghóa ñaïo haøm theo nghóa dt phaân boá cuûa u bôûi coâng thöùc du dϕ ,ϕ = − u, , ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) . (1.11) dt dt Tính chaát: (i) Cho v ∈ Lp ( 0, T ; X ) . Ta laøm töông öùng vôùi noù bôûi aùnh xaï Tv : D ( 0, T ) → X nhö sau: T Tv ,ϕ = ∫ v ( t ) ϕ ( t ) dt , ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) . (1.12) 0 Ta coù theå nghieäm laïi raèng Tv ∈ D / ( 0, T ; X ) . Thaät vaäy: o AÙnh xaï Tv : D ( 0, T ) → X laø tuyeán tính. o Ta kieåm tra aùnh xaï Tv : D ( 0, T ) → X laø lieân tuïc. Giaû söû {ϕi } ⊂ D ( 0, T ) , sao cho ϕi → 0 trong D ( 0, T ) . Ta coù: T T Tv , ϕi X = ∫ v ( t )ϕi ( t ) dt 0 ≤ ∫ v ( t ) ϕi ( t ) 0 X dt (1.13) X 1/ p 1/ p / ⎛T ⎞ ⎛T ⎞ ≤ ⎜ ∫ v (t ) ⎜ ∫ ϕi ( t ) dt ⎟ p p/ X dt ⎟ → 0, i → + ∞. ⎝0 ⎠ ⎝0 ⎠ Do ñoù Tv ,ϕi → 0 trong X khi i → + ∞ . Vaäy Tv ∈ D / ( 0, T ; X ) . (ii) Aùnh xaï v Tv laø moät ñôn aùnh, tuyeán tính töø Lp ( 0, T ; X ) vaøo D / ( 0, T ; X ) . Do ñoù ta coù theå ñoàng nhaát Tv = v. Khi ñoù, ta coù keát quaû sau. Boå ñeà 1.6. (Lions [5]) Lp ( 0, T ; X ) 1 D / ( 0, T ; X ) vôùi pheùp nhuùng lieân tuïc. 1.2.3. Ñaïo haøm trong Lp ( 0, T ; X ) du Do boå ñeà 1.6, phaàn töû u ∈ Lp ( 0, T ; X ) ta coù theå coi u vaø do ñoù laø dt phaàn töû cuûa D / ( 0, T ; X ) . Ta coù caùc keát quaû sau
11 Boå ñeà 1.7. (Lions [5]) Neáu u ∈ L1 ( 0, T ; X ) vaø u / ∈ L1 ( 0, T ; X ) thì u baèng haàu heát vôùi moät haøm lieân tuïc töø [ 0,T ] vaøo X . Chöùng minh: Goàm 3 böôùc t Böôùc 1: Ñaët H ( t ) = ∫ u / ( s ) ds. Vì u / ∈ L1 ( 0, T ; X ) neân aùnh xaï H : [ 0, T ] → X 0 lieân tuïc. dH du Tröôùc heát, ta chöùng minh raèng = = u / theo nghóa phaân boá. Thaät dt dt vaäy, vôùi moïi ϕ ∈ D ( 0, T ) , ta coù: dϕ dϕ T dH ,ϕ = − H , = −∫ H (t ) ( t ) dt dt dt 0 dt ⎛t /T ⎞ dϕ T T dϕ = − ∫ ⎜ ∫ u ( s ) ds ⎟ ( t ) dt = − ∫ u ( s )ds ∫ ( t ) dt / (1.14) 0⎝0 ⎠ dt 0 s dt T = ∫ u / ( s ) ϕ ( s ) ds = u / , ϕ . 0 dH du Vaäy: = = u / trong D / ( 0, T ; X ) . dt dt Böôùc 2: Ta seõ chöùng minh raèng u = H + C theo nghóa phaân boá vôùi C laø haèng soá. Thaät vaäy, giaû söû v = H − u . Töø keát quaû ôû böôùc 1, ta coù v / = 0 theo nghóa phaân boá. Ta seõ chöùng minh raèng v = C theo nghóa phaân boá: Ta coù v / = 0 töông ñöông vôùi T ∫ v ( s )ϕ ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0,T ) . (1.15) / 0 Xem ϕ ∈ D ( 0, T ) , ta coù theå vieát ϕ döôùi daïng ϕ = λϕ0 + ψ / , trong ñoù T T ψ ∈ D ( 0, T ) , ϕ0 thoûa ∫ ϕ0 ( s ) ds = 1 0 vaø λ = ∫ ϕ ( s ) ds. 0 Thaät vaäy, vì T ∫ (ϕ ( s ) − λϕ ( s ) ) ds = 0 neân nguyeân haøm cuûa ϕ ( s ) − λϕ ( s ) 0 0 0 trieät tieâu taïi s = 0
12 t seõ thuoäc D ( 0, T ) . Choïn ψ ( t ) = ∫ (ϕ ( s ) − λϕ0 ( s ) ) ds trong (1.15), thay ϕ / bôûi 0 ψ / . ta thu ñöôïc T ∫ v ( s )ψ ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) . / 0 Hay T ∫ v ( s ) (ϕ ( s ) − λϕ ( s ) ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) . 0 0 Hay T T ∫ v ( s )ϕ ( s ) ds = λ ∫ v ( s )ϕ ( s ) ds 0 0 T 0 T (1.16) = ∫ ϕ ( s ) ds ∫ v ( s ) ϕ0 ( s ) ds, ∀ϕ ∈ D ( 0, T ) . 0 0 T Ñaët C = ∫ v ( s ) ϕ0 ( s ) ds, ta suy ra töø (1.16 ) raèng 0 T ∫ ( v ( s ) − C )ϕ ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0,T ) . 0 Vaäy v ( t ) = C trong D / ( 0, T ; X ) . Böôùc 3: Ta söû duïng tính chaát sau T Neáu w ∈ L ( 0, T ; X ) vaø ∫ v ( s )ϕ ( s ) ds = 0, ∀ϕ ∈ D ( 0,T ) , thì w ( t ) = 0 vôùi 1 0 haàu heát t ∈ ( 0, T ) . Ñieàu naøy coù ñöôïc laø vì aùnh xaï w Tw töø L1 ( 0, T ; X ) vaøo D / ( 0, T ; X ) laø ñôn aùnh – theo tính chaát (ii) ôû treân. Töø caùc böôùc 1, 2, 3 ôû treân ta suy ra raèng f = H + C theo nghóa phaân boá. Töông töï ta coù boå ñeà sau Boå ñeà 1.8. (Lions [2]) Neáu u ∈ Lp ( 0, T ; X ) vaø u / ∈ Lp ( 0, T ; X ) thì u baèng haàu heát vôùi moät haøm lieân tuïc töø [ 0,T ] vaøo X .
13 1.3. Boå ñeà veà tính compact cuûa Lions Cho ba khoâng gian Banach X 0 , X 1 , X thoûa X 0 1 X 1 X 1 vôùi caùc pheùp nhuùng laø lieân tuïc, sao cho: X 0 , X 1 laø phaûn xaï, (1.17) pheùp nhuùng X 0 1 X laø compact. (1.18) Vôùi 0 < T < ∞, 1 ≤ pi ≤ ∞, i = 0,1, ta ñaët { W ( 0, T ) = v ∈ Lp0 ( 0, T ; X 0 ) : v / ∈ Lp1 ( 0, T ; X 1 ) . } (1.19) Vaø trang bò W ( 0, T ) bôûi chuaån v W ( 0,T ) = v Lp0 ( 0,T ; X 0 ) + v/ . (1.20) Lp1 ( 0,T ; X1 ) Khi ñoù, W ( 0, T ) laø moät khoâng gian Banach vaø hieån nhieân, W ( 0, T ) 1 Lp0 ( 0, T ; X ) . Döôùi ñaây laø moät keát quaû lieân quan ñeán pheùp nhuùng compact. Boå ñeà 1.9. (Boå ñeà veà tính compact cuûa Lions [5]) Vôùi giaû thieát (1.17 ) , (1.18 ) vaø neáu 1 < pi < ∞ , i = 0,1 thì pheùp nhuùng W ( 0, T ) 1 Lp0 ( 0, T ; X ) laø compact. Chöùng minh boå ñeà 1.9 coù theå tìm thaáy trong Lions [5], trang 57.
14 Chöông 2: SÖÏ TOÀN TAÏI VAØ DUY NHAÁT NGHIEÄM Trong luaän vaên naøy chuùng toâi xeùt baøi toaùn sau utt − μ (t )u xx + f ( u, ut ) = F ( x, t ) , 0 < x < 1, 0 < t < T , (2.1) u x ( 0, t ) = P ( t ) , (2.2) u x (1, t ) + λ1ut (1, t ) = 0, (2.3) u ( x,0 ) = u0 ( x ) , ut ( x,0 ) = u1 ( x ) , (2.4) trong ñoù f ( u , ut ) = Ku + λ ut , (2.5) vôùi K , λ , λ1 laø caùc haèng soá khoâng aâm cho tröôùc; μ , u0 , u1 , F laø nhöõng haøm cho tröôùc thoûa caùc ñieàu kieän maø ta seõ chæ ra sau. Haøm chöa bieát u ( x, t ) vaø giaù trò bieân chöa bieát P ( t ) thoûa phöông trình tích phaân tuyeán tính sau: t P ( t ) = g ( t ) + K 0 u ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) u ( 0, s )ds, (2.6) 0 trong ñoù K 0 laø haèng soá cho tröôùc vaø g , k laø caùc haøm cho tröôùc. Tröôùc heát, ta thaønh laäp caùc giaû thieát sau ( A1 ) u0 ∈ H 2 , u1 ∈ H 1 , ( A2 ) F , Ft ∈ L2 ( QT ) , ( A3 ) μ ∈ C 2 ( + ) , μ ( t ) ≥ μ0 > 0, ( A4 ) k , g ∈ H 2 ( 0, T ) , ∀T > 0, ( A5 ) K , λ , K 0 ≥ 0, λ1 > 0. Ñònh lí 2.1. Giaû söû raèng caùc giaû thieát ( A1 ) − ( A5 ) ñöôïc thoûa. Khi ñoù, vôùi moïi T > 0, baøi toaùn (2.1) – (2.6) toàn taïi duy nhaát nghieäm yeáu u sao cho: ⎧u ∈ L∞ ( 0, T ; H 2 ) , ut ∈ L∞ ( 0, T ; H 1 ) , utt ∈ L∞ ( 0, T ; L2 ) , ⎪⎪ ⎨u ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u (1,i ) ∈ H ( 0, T ) , (2.7) 1,∞ 2 ⎪ ⎪⎩ P ∈ W ( 0, T ) . 1,∞ Nhaän xeùt 2.1. (i) Qua ñònh lí treân, ta suy ñöôïc töø (2.7) raèng baøi toaùn (2.1) – (2.6) coù duy nhaát
15 moät nghieäm yeáu ( u , P ) maø thaønh phaàn u cuûa noù thoûa ⎧u ∈ C 0 ( 0, T ; H 1 ) ∩ C1 ( 0, T ; L2 ) ∩ L∞ ( 0, T ; H 2 ) , ⎪ ⎪ ⎨ ut ∈ L ( 0, T ; H ) , utt ∈ L ( 0, T ; L ) , ∞ 1 ∞ 2 ⎪ ⎪⎩u ( 0,i ) ∈ W ( 0, T ) , u (1,i ) ∈ H ( 0, T ) . 1,∞ 2 (ii) Maët khaùc, töø (2.7) ta cuõng nhaän thaáy raèng u , u x , ut , u xx , u xt , utt thuoäc veà khoâng gian L∞ ( 0, T ; L2 ) ⊂ L2 ( QT ) . Do ñoù u ∈ H 2 ( QT ) ∩ C 0 ( 0, T ; H 1 ) ∩ C1 ( 0, T ; L2 ) ∩ L∞ ( 0, T ; H 2 ) . Töø ñoù neáu ( u0 , u1 ) ∈ H 2 ( Ω ) × H 1 ( Ω ) thì thaønh phaàn u cuûa nghieäm yeáu ( u, P ) seõ thuoäc vaøo khoâng gian haøm H 2 ( QT ) . Vaø nghieäm nhö theá moät phaàn naøo ( ) khaù gioáng vôùi nghieäm coå ñieån thuoäc C 2 QT , vì döõ kieän ñaàu ( u0 , u1 ) khoâng caàn thieát thuoäc veà C 2 ( Ω ) × C1 ( Ω ) . Chöùng minh: Phaàn chöùng minh cuûa ñònh lí 2.1 goàm 4 böôùc. Chöùng minh döïa vaøo phöông phaùp Galerkin lieân heä vôùi caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm, töø ñoù ruùt ra ñöôïc caùc daõy con hoäi tuï yeáu veà nghieäm trong caùc khoâng gian haøm thích hôïp nhôø moät soá caùc pheùp nhuùng compact. Böôùc 1: Xaáp xæ Galerkin Goïi {w j } laø moät cô sôû ñeám ñöôïc cuûa H 2 . Ta tìm nghieäm xaáp xæ döôùi daïng: m um ( t ) = ∑ cmj ( t ) w j , (2.8) j =1 trong ñoù caùc haøm heä soá cmj ( t ) thoûa maõn heä phöông trình vi tích phaân sau um// , w j + μ ( t ) umx ( t ) , w jx + λ1 μ ( t ) um/ (1, t ) w j (1) + μ ( t ) Pm ( t ) w j ( 0 ) (2.9) + Kum ( t ) + λ um/ ( t ) , w j = F ( t ) , w j , 1 ≤ j ≤ m, um ( 0 ) = u0 m , um/ ( 0 ) = u1m , (2.10) t Pm ( t ) = g ( t ) + K 0 um ( 0, t ) − ∫ k ( t − s ) um ( 0, s )ds, (2.11) 0 vaø
16 m um ( 0 ) = uom = ∑ α mj w j → u0 , (2.12) j =1 m um/ ( 0 ) = u1m = ∑ β mj w j → u1 . (2.13) j =1 Töø caùc giaû thieát trong ñònh lí 2.1, ta deã thaáy vôùi moïi m ∈ * , toàn taïi duy nhaát nghieäm um ( t ) coù daïng (2.8) thoûa ( 2.9 ) − ( 2.11) haàu khaép nôi treân [ 0, Tm ] vôùi Tm naøo ñoù thoûa 0 < Tm ≤ T . Caùc ñaùnh giaù tieân nghieäm ôû böôùc 2 döôùi ñaây cho pheùp ta laáy haèng soá Tm = T vôùi moïi m. Böôùc 2: Ñaùnh giaù tieân nghieäm 1 Thay ( 2.11) vaøo ( 2.9 ) vaø nhaân phöông trình thöù j cuûa ( 2.9 ) vôùi cmj / (t ) , sau ñoù laáy toång theo j , ta ñöôïc 1 d / 1 d 1 d um ( t ) + μ ( t ) umx ( t ) + λ1 μ ( t ) um/ (1, t ) + K um ( t ) 2 2 2 2 2 dt 2 dt 2 dt 1 d + λ um/ ( t ) + K 0 μ ( t ) um2 ( 0, t ) + μ ( t ) g ( t ) um/ ( 0, t ) 2 (2.14) 2 dt t − μ ( t ) um/ ( 0, t ) ∫ k ( t − s ) um ( 0, s ) ds = F ( t ) , um/ ( t ) . 0 Ta vieát laïi (2.14) nhö sau d / dt um ( t ) + 2 d dt ( μ ( t ) umx ( t ) 2 ) + 2λ μ (t ) u 1 / m (1, t ) 2 +K d dt um ( t ) 2 + 2λ um/ ( t ) + K 0 d ( μ ( t ) um2 ( 0, t ) ) 2 dt (2.15) = μ ( t ) umx ( t ) + K 0 μ ( t ) u ( 0, t ) − 2μ ( t ) g ( t ) u ( 0, t ) / 2 / 2 / m m t + 2μ ( t ) u / m ( 0, t ) ∫ k ( t − s ) um ( 0, s ) ds + 2 F ( t ) , um/ ( t ) . 0 Tích phaân töøng phaàn theo bieán thôøi gian töø 0 ñeán t , nhôø caùc giaû thieát ( A2 ) − ( A4 ) , ta coù:
17 S m ( t ) = Sm ( 0 ) + 2μ ( 0 ) g ( 0 ) u0 m ( 0 ) − 2μ ( t ) g ( t ) um ( 0, t ) t t + 2∫ ⎡⎣ μ ( s ) g ( s ) ⎤⎦ um ( 0, s ) ds + ∫ μ / ( s ) umx ( s ) ds / 2 0 0 t t + K0 ∫ μ ( s ) u / 2 m ( 0, s ) ds + 2μ ( t ) um ( 0, t ) ∫ k ( t − s )um ( 0, s ) ds (2.16) 0 0 t − 2k ( 0 ) ∫ μ ( s ) um2 ( 0, s ) ds 0 t s t ∂ − 2∫ um ( 0, s ) ds ∫ ⎡⎣ μ ( s ) k ( s − τ ) ⎤⎦um ( 0,τ ) dτ + 2∫ F ( s ) , um' ( s ) ds 0 0 ∂s 0 8 ≡ S m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u0 m ( 0 ) + ∑ I i , i =1 trong ñoù t Sm ( t ) = u (t ) 2 + μ ( t ) umx ( t ) + 2λ1 ∫ μ ( s ) um/ (1, s ) ds / 2 2 m 0 t (2.17) + K 0 μ ( t ) um2 ( 0, t ) + K um ( t ) + 2λ ∫ um/ ( s ) ds. 2 2 0 Söû duïng caùc giaû thieát ( A1 ) , ( A3 ) − ( A5 ) vaø (2.12), (2.13), ta thu ñöôïc S m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u 0 m ( 0 ) + u0 m = u1m + μ ( 0 ) u0 mx 2 2 2 (2.18) + K0 μ ( 0) u ( 0) + K u m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u0 m ( 0 ) + u 0 m . 2 2 2 0m Suy ra 1 S m ( 0 ) + 2 μ ( 0 ) g ( 0 ) u 0 m ( 0 ) + u0 m 2 ≤ C1 , vôùi moïi m, (2.19) 2 trong ñoù C1 laø moät haèng soá khoâng phuï thuoäc vaøo m maø chæ phuï thuoäc vaøo μ ( 0 ) , g ( 0 ) , K 0 , K , u0 , u1 . Ta seõ laàn löôït ñaùnh giaù caùc soá haïng I i , i = 1,8 ôû veá phaûi cuûa (2.16) nhö sau: Baèng caùch duøng boå ñeà 1.1 vaø baát ñaúng thöùc Cauchy-Swcharz cuøng vôùi baát ñaúng thöùc 1 2ab ≤ ε a 2 + b 2 ∀a, b ∈ , ∀ε > 0, (2.20) ε ta ñöôïc