Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình tuyến tính với các số Fibonacci

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2019

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i c£m (cid:236)n 1

M(cid:240) (cid:31)ƒu 2

1 Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

1.1 D¢y Fibonacci v(cid:160) d¢y Lucas . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 B(cid:160)i to¡n 779 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 B(cid:160)i to¡n 804 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 4 6 7

2 C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh v(cid:238)i c¡c sŁ Fibonacci

2.1 Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m . . . . . . . . 2.2 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3 v(cid:160) m = 4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t 2.4 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i . . . . . . . . . . . . . . . . 2.5 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t(cid:231)n t⁄i i (cid:31)” x(i) ≥ b . . . . . . . . . . . . . . . 2.6 Mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh ch§t cıa t“p S1 . . . . . . . . . . . 2.7 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b l· . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.8 Chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 ( (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n) . . . . . . 9 9 13 16 22 25 29 33 36

K‚t lu“n 38

T(cid:160)i li»u tham kh£o 39

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, t(cid:230)i xin gßi l(cid:237)i bi‚t (cid:236)n ch¥n th(cid:160)nh (cid:31)‚n PGS. TS. N(cid:230)ng QuŁc Chinh (cid:31)¢ h(cid:247)(cid:238)ng d¤n t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh b£n lu“n v«n n(cid:160)y. Khi b›t (cid:31)ƒu nh“n (cid:31)• t(cid:160)i th(cid:252)c s(cid:252) t(cid:230)i c£m nh“n (cid:31)• t(cid:160)i mang nhi•u nºi dung m(cid:238)i m·. H(cid:236)n nœa v(cid:238)i vŁn ki‚n thøc ‰t (cid:228)i n¶n r§t kh(cid:226) (cid:31)” ti‚p c“n (cid:31)• t(cid:160)i. M(cid:176)c d(cid:242) r§t b“n rºn trong c(cid:230)ng vi»c nh(cid:247)ng Thƒy v¤n d(cid:160)nh nhi•u th(cid:237)i gian v(cid:160) t¥m huy‚t trong vi»c h(cid:247)(cid:238)ng d¤n, (cid:31)ºng vi¶n khuy‚n kh‰ch t(cid:230)i trong suŁt th(cid:237)i gian t(cid:230)i th(cid:252)c hi»n (cid:31)• t(cid:160)i. Trong qu¡ tr…nh ti‚p c“n (cid:31)• t(cid:160)i (cid:31)‚n qu¡ tr…nh ho(cid:160)n thi»n lu“n v«n Thƒy lu(cid:230)n t“n t…nh ch¿ b£o v(cid:160) t⁄o (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t cho t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n. Cho (cid:31)‚n b¥y gi(cid:237) lu“n v«n th⁄c s(cid:190) cıa t(cid:230)i (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)æc ho(cid:160)n th(cid:160)nh, xin c£m (cid:236)n Thƒy (cid:31)¢ (cid:31)(cid:230)n (cid:31)Łc nh›c nh(cid:240) t(cid:230)i.

T(cid:230)i xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n Ban Gi¡m hi»u, Khoa To¡n - Tin v(cid:160) PhÆng (cid:30)(cid:160)o t⁄o cıa tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:30)⁄i h(cid:229)c Khoa h(cid:229)c - (cid:30)⁄i h(cid:229)c Th¡i Nguy¶n. T(cid:230)i xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n c¡c Thƒy, C(cid:230) (cid:31)¢ t“n t…nh truy•n (cid:31)⁄t nhœng ki‚n thøc qu(cid:254) b¡u c(cid:244)ng nh(cid:247) t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n thu“n læi nh§t (cid:31)” t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh lu“n v«n n(cid:160)y.

T(cid:230)i xin tr¥n tr(cid:229)ng c£m (cid:236)n Ban gi¡m hi»u, c¡c thƒy c(cid:230) gi¡o tr(cid:247)(cid:237)ng THPT Hoa L(cid:247) A - Ninh B…nh n(cid:236)i t(cid:230)i c(cid:230)ng t¡c (cid:31)¢ t⁄o (cid:31)i•u ki»n gi(cid:243)p (cid:31)(cid:239) t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh c(cid:230)ng vi»c chuy¶n m(cid:230)n t⁄i nh(cid:160) tr(cid:247)(cid:237)ng (cid:31)” t(cid:230)i ho(cid:160)n th(cid:160)nh ch(cid:247)(cid:236)ng tr…nh h(cid:229)c t“p cao h(cid:229)c.

CuŁi c(cid:242)ng, t(cid:230)i xin ch¥n th(cid:160)nh b(cid:160)y t(cid:228) lÆng bi‚t (cid:236)n (cid:31)‚n gia (cid:31)…nh, b⁄n b–, nhœng ng(cid:247)(cid:237)i kh(cid:230)ng ngłng (cid:31)ºng vi¶n, hØ træ t⁄o m(cid:229)i (cid:31)i•u ki»n tŁt nh§t cho t(cid:230)i trong suŁt qu¡ tr…nh h(cid:229)c t“p v(cid:160) th(cid:252)c hi»n lu“n v«n.

Th¡i Nguy¶n, th¡ng 10 n«m 2019

T¡c gi£

(cid:30)inh Th(cid:224) Huy•n

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Leonardo Pisano Bogollo (kho£ng 1170 (cid:21) kho£ng 1250), cÆn (cid:31)(cid:247)æc bi‚t (cid:31)‚n v(cid:238)i t¶n Leonardo cıa Pisa, hay phŒ bi‚n nh§t d(cid:247)(cid:238)i c¡i t¶n Fibonacci, l(cid:160) mºt nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c ng(cid:247)(cid:237)i (cid:222) v(cid:160) (cid:230)ng (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ ng(cid:247)(cid:237)i xem l(cid:160) "nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c t(cid:160)i ba nh§t th(cid:237)i Trung CŒ". Fibonacci nŒi ti‚ng trong th‚ gi(cid:238)i hi»n (cid:31)⁄i v… c(cid:226) c(cid:230)ng lan truy•n h» k(cid:254) sŁ Hindu-(cid:131) R“p (cid:240) ch¥u (cid:133)u, v(cid:160) (cid:31)(cid:176)c bi»t l(cid:160) d¢y sŁ hi»n (cid:31)⁄i mang t¶n (cid:230)ng, d¢y Fibonacci trong cuŁn s¡ch Liber Abaci.

D¢y sŁ Fibonacci l(cid:160) mºt trong nhœng v· (cid:31)(cid:181)p cıa kho t(cid:160)ng To¡n h(cid:229)c. D¢y Fibonacci xu§t hi»n v(cid:160) bi‚n h(cid:226)a v(cid:230) t“n trong t(cid:252) nhi¶n, v(cid:238)i r§t nhi•u t‰nh ch§t (cid:31)(cid:181)p v(cid:160) øng d(cid:246)ng quan tr(cid:229)ng. (cid:30)‚n nay c(cid:226) r§t nhi•u m(cid:240) rºng cıa d¢y Fibonacci nh(cid:247) d¢y k-Fibonacci... Hƒu h‚t nhœng t‰nh ch§t tŁt cıa nhœng d¢y n(cid:160)y (cid:31)•u xu§t ph¡t tł d¢y Fibonacci. Mºt d¢y t(cid:231)n t⁄i song song v(cid:238)i d¢y Fibonacci l(cid:160) d¢y Lucas. D¢y n(cid:160)y c(cid:226) nhi•u øng d(cid:246)ng (cid:31)(cid:176)c bi»t trong t…m nghi»m cıa c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Diophantine. Hai d¢y n(cid:160)y l(cid:160) ch(cid:243)ng c(cid:226) mŁi li¶n h» ch(cid:176)t ch‡ v(cid:238)i nhau.

Trong t(cid:252) nhi¶n c(cid:226) nhi•u hi»n t(cid:247)æng, s(cid:252) v“t xu§t hi»n tr(cid:242)ng v(cid:238)i d¢y sŁ Fibonacci. Hƒu h‚t c¡c b(cid:230)ng hoa c(cid:226) sŁ c¡nh hoa l(cid:160) mºt trong c¡c sŁ 3, 5, 8. SŁ nh¡nh tł mºt c¥y khi (cid:31)i tł gŁc l¶n ng(cid:229)n c(cid:244)ng th(cid:247)(cid:237)ng tu¥n theo d¢y Fibonacci khi tł 1 nh¡nh l¶n 2 nh¡nh, 3 nh¡nh r(cid:231)i 5, 8, 13 nh¡nh. Nhœng chi‚c l¡ tr¶n mºt nh(cid:160)nh c¥y c(cid:244)ng t(cid:247)(cid:236)ng øng v(cid:238)i d¢y sŁ Fibonacci. Trong lu“n v«n n(cid:160)y ch(cid:243)ng ta (cid:31)i t…m hi”u c¡c b(cid:160)i to¡n ri¶ng, b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t v• ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh trong (cid:31)(cid:226) c¡c h» nghi»m l(cid:160) c¡c sŁ Fibonacci.

Nºi dung cıa lu“n v«n tr…nh b(cid:160)y trong hai ch(cid:247)(cid:236)ng. Ch(cid:247)(cid:236)ng 1 d(cid:160)nh (cid:31)” tr…nh b(cid:160)y l⁄i sŁ ki‚n thøc li¶n quan (cid:31)‚n sŁ Fibonacci v(cid:160) sŁ Lucas, gi(cid:238)i thi»u hai b(cid:160)i to¡n 779 v(cid:160) 804 v(cid:160) l(cid:237)i gi£i cıa hai b(cid:160)i to¡n n(cid:160)y. C¡c k‚t qu£ (cid:31)¢ bi‚t cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc vi‚t theo t(cid:160)i li»u [1], [2], [3].

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2 ta t“p trung (cid:31)i t…m hi”u b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t, l(cid:237)i gi£i b(cid:160)i to¡n

trong khi m = 3, 4 tł (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)a ra d(cid:252) (cid:31)o¡n l(cid:237)i gi£i cho b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t. C(cid:246) th” trong phƒn 2.1 gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t. Phƒn 2.2 tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3 ho(cid:176)c 4. Phƒn 2.3 tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i cho tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t (cid:31)(cid:226) l(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n. Phƒn 2.4 (cid:31)‚n h‚t 2.8 l(cid:160) c¡c k‚t qu£ xoay quanh vi»c chøng minh cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n. C¡c k‚t qu£ (cid:31)¢ bi‚t cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc vi‚t theo t(cid:160)i li»u [4].

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

1.1 D¢y Fibonacci v(cid:160) d¢y Lucas

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.1. D¢y sŁ Fibonacci, k(cid:254) hi»u (Fn)n∈N (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc truy h(cid:231)i

(cid:40) F0 = 0, F1 = 1, Fn+1 = Fn + Fn−1,

(n ≥ 1),

(cid:240) (cid:31)¥y Fn l(cid:160) sŁ h⁄ng thø n cıa d¢y sŁ Fibonacci.

C¡c sŁ (cid:31)ƒu ti¶n cıa d¢y Fibonacci:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, . . . .

Tł h» thøc truy h(cid:231)i cıa d¢y Fibonacci ta c(cid:226)

Fn+2 − Fn+1 − Fn = 0,

v(cid:238)i m(cid:229)i n ≥ 0. Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh x2 − x − 1 = 0 hay x2 = x + 1. Nh¥n hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh v(cid:238)i xn−1 ta (cid:31)(cid:247)æc

xn+1 = xn + xn−1. (1.1)

Rª r(cid:160)ng n‚u ϕ l(cid:160) mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.1) th… 1 − ϕ c(cid:244)ng l(cid:160) mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.1). Do (cid:31)(cid:226)

ϕn+1 = ϕn + ϕn−1 v(cid:160) (1 − ϕ)n+1 = (1 − ϕ)n + (1 − ϕ)n−1.

V(cid:238)i mØi c(cid:176)p sŁ th(cid:252)c a, b, ta (cid:31)(cid:176)t Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n. Khi (cid:31)(cid:226) t§t

c£ c¡c h(cid:160)m n(cid:160)y th(cid:228)a m¢n h» thøc truy h(cid:231)i Fibonacci.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.2. C¡c h(cid:160)m Fa,b (n) = aϕn + b(1 − ϕ)n (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) h(cid:160)m sinh.

Trong (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a d¢y Fibonacci, c¡c sŁ h⁄ng cıa d¢y (cid:31)(cid:247)æc cho d(cid:247)(cid:238)i d⁄ng truy h(cid:231)i n¶n khi sß d(cid:246)ng d¢y (cid:31)(cid:230)i khi g(cid:176)p kh(cid:226) kh«n. M»nh (cid:31)• sau (cid:31)¥y cho ta c(cid:230)ng thøc t(cid:247)(cid:237)ng minh cıa d¢y Fibonacci v(cid:160) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) c(cid:230)ng thøc Binet. C(cid:230)ng thøc Binet (cid:31)(cid:247)æc sß d(cid:246)ng hœu hi»u trong c¡c chøng minh sau n(cid:160)y.

√

(cid:17)n

√ (cid:16) 1+ 2

(cid:16) 1− 2

M»nh (cid:31)• 1.1.3. D¢y sŁ Fibonacci (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc

− √ . Fn = 5

D¢y Lucas l(cid:160) mºt d¢y sŁ (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:176)t t¶n nh‹m vinh danh nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c Fran(cid:11)cois (cid:146)douard Anatole Lucas (1842-1891), ng(cid:247)(cid:237)i (cid:31)¢ nghi¶n cøu d¢y sŁ Fibonacci, d¢y sŁ Lucas v(cid:160) c¡c d¢y t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252). GiŁng nh(cid:247) d¢y Fibonacci, mØi sŁ trong d¢y Lucas b‹ng tŒng cıa hai sŁ li•n tr(cid:247)(cid:238)c n(cid:226). D¢y sŁ g(cid:231)m th(cid:247)(cid:236)ng giœa hai sŁ Lucas li•n nhau s‡ hºi t(cid:246) (cid:31)‚n gi(cid:238)i h⁄n b‹ng t¿ l» v(cid:160)ng. Tuy v“y kh¡c v(cid:238)i d¢y Fibonacci, hai sŁ (cid:31)ƒu ti¶n trong d¢y Lucas l(cid:160) L0 = 2 v(cid:160) L1 = 1 (trong d¢y Fibonacci l(cid:160) 0 v(cid:160) 1). Ch‰nh v… th‚ m(cid:160) mºt sŁ t‰nh ch§t cıa sŁ Lucas s‡ kh¡c v(cid:238)i sŁ Fibonacci.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 1.1.4. Cho r, s l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n kh¡c kh(cid:230)ng. D¢y Lucas øng v(cid:238)i c(cid:176)p (r, s) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a l(cid:160):

u0(r, s) = 0, u1(r, s) = 1, un(r, s) = run−1 + sun−2 (n ≥ 2) .

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp (r, s) = (1, 1) ta k‰ hi»u sŁ h⁄ng thø n cıa d¢y l(cid:160) Ln v(cid:160) g(cid:229)i ng›n g(cid:229)n l(cid:160) d¢y Lucas. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) d¢y Fibonacci, b‹ng quy n⁄p ta c(cid:226) th” chøng minh (cid:31)(cid:247)æc d¢y Lucas (cid:31)(cid:247)æc cho b(cid:240)i c(cid:230)ng thøc sau.

(cid:33)n

(cid:32)

(cid:33)n

√ √ M»nh (cid:31)• 1.1.5. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n, ta c(cid:226) (cid:32) 5 5 − Ln = 1 + 2 1 − 2

Tł M»nh (cid:31)• 1.1.3 v(cid:160) M»nh (cid:31)• 1.1.5 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau. (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) cho ta

mŁi li¶n h» giœa c¡c sŁ h⁄ng tŒng qu¡t cıa d¢y Fibonacci v(cid:160) d¢y Lucas.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 1.1.6. V(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n > m, ta c(cid:226) FnLm = Fn+m + Fn−m.

1.2 B(cid:160)i to¡n 779

V(cid:238)i mØi sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n ta (cid:31)(cid:176)t F−n = (−1)nFn v(cid:160) Ln = (−1)nLn.

N«m 1995, t⁄p ch‰ (cid:16)The Fibonacci Quarterly(cid:17) sŁ 33.1 (cid:31)¢ gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i

to¡n B.779 cıa Andrew Cusumano. Nºi dung cıa b(cid:160)i to¡n (cid:31)(cid:226) l(cid:160):

T…m c¡c sŁ nguy¶n a, b, c v(cid:160) d th(cid:228)a m¢n 1 < a < b < c < d sao cho (cid:31)(cid:231)ng

nh§t thøc sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n.

(1.2) Fn = Fn−a + 6Fn−b + Fn−c + Fn−d

(cid:30)¢ c(cid:226) nhi•u nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c kh¡c nhau gßi l(cid:237)i gi£i (cid:31)‚n t⁄p ch‰ (cid:16)The

Fibonacci Quarterly(cid:17), hƒu h‚t c¡c nh(cid:160) to¡n h(cid:229)c ch¿ gßi (cid:31)‚n l(cid:237)i gi£i

a = 2, b = 5, c = 6, d = 8

v(cid:160) khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng vi»c chøng minh (cid:31)ﬂng thøc

(1.3) Fn = Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8

b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p chøng minh quy n⁄p theo n l(cid:160) (cid:31)(cid:236)n gi£n. Ch¿ c(cid:226) Bruck- man v(cid:160) Figghion (cid:31)¢ chøng minh c(cid:246) th” v(cid:160) ch¿ ra c¡ch t…m a, b, c, d. Tuy nhi¶n, c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p ti‚p c“n v(cid:160) gi£i quy‚t b(cid:160)i to¡n d(cid:247)(cid:237)ng nh(cid:247) kh(cid:230)ng c(cid:226) t‰nh kh¡i qu¡t. Ta c(cid:226) th” c(cid:226) chøng minh (cid:31)ﬂng thøc (1.3) b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p quy n⁄p theo n nh(cid:247) sau:

V(cid:238)i n = 8 th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (1.3) t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i

F8 = F6 + 6F3 + F2 + F0.

(cid:30)ﬂng thøc hi”n nhi¶n (cid:31)(cid:243)ng v… F8 = 21, F6 = 8, F3 = 2, F2 = 1, F0 = 0.

Gi£ sß (cid:31)ﬂng thøc (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ t(cid:252) nhi¶n 8 ≤ k ≤ n. Ta chøng minh (1.3) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i k = n + 1. Theo (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a d¢y Fibonacci v(cid:160) gi£ thi‚t quy

n⁄p ta c(cid:226)

(cid:1)

Fn+1 = Fn + Fn−1

= (Fn−2 + 6Fn−5 + Fn−6 + Fn−8) + (cid:0)F(n−1)−2 + 6F(n−1)−5 + F(n−1)−6 + F(n−1)−8 = (Fn−2 + Fn−3) + 6 (Fn−5 + Fn−6) + (Fn−6 + Fn−7) + (Fn−8 + Fn−9) = Fn−1 + 6Fn−4 + Fn−5 + Fn−7.

V… v“y ta c(cid:226)

1.3 B(cid:160)i to¡n 804

Fn+1 = F(n+1)−2 + 6F(n+1)−5 + F(n+1)−6 + F(n+1)−8.

Nºi dung cıa b(cid:160)i to¡n 804 l(cid:160): H¢y t…m t§t c£ c¡c sŁ nguy¶n a, b, c v(cid:160) d (v(cid:238)i 1 < a < b < c < d) sao cho (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc sau (cid:31)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n

(1.4) Fn = Fn−a + 9342Fn−b + Fn−c + Fn−d.

Ngay sau (cid:31)(cid:226), n«m 1997, L.A.G. Dersel (cid:31)¢ (cid:31)(cid:247)a ra l(cid:237)i gi£i cıa b(cid:160)i to¡n 804 trong sŁ 35.1 (1997) cıa t⁄p ch‰ The Fibonacci Quarterly. L(cid:237)i gi£i c(cid:246) th” nh(cid:247) sau.

Tł nh“n x†t 9342 = 9349 − 7 = L19 − L4, (cid:240) (cid:31)¥y Lk l(cid:160) sŁ Lucas thø k.

Sß d(cid:246)ng c¡c (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc giœa c¡c sŁ Fibonacci v(cid:160) sŁ Lucas ta c(cid:226)

Fm+19 − Fm−19 = FmL19,

Fm+4 + Fm−4 = FmL4.

Trł v‚ v(cid:238)i v‚ cıa 2 (cid:31)ﬂng thøc tr¶n ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc

Fm+19 − Fm−19 − Fm+4 − Fm−4 = Fm (L19 − L4) .

(cid:30)(cid:176)t n = m + 19, ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)ﬂng thøc sau

Fn = Fn−15 + 9342Fn−19 + Fn−23 + Fn−38.

Nh(cid:247) v“y ta c(cid:226) c¡c sŁ tr¶n cƒn t…m l(cid:160): a = 15, b = 19, c = 23, d = 38. BŁn sŁ tr¶n ch‰nh l(cid:160) mºt l(cid:237)i gi£i cıa b(cid:160)i to¡n 804.

Nh“n x†t 1.3.1. (i) Trong th(cid:252)c t‚, vi»c gi£i c¡c b(cid:160)i to¡n 779 v(cid:160) 804, ch‰nh l(cid:160) vi»c t…m c¡c sŁ Fibonacci th(cid:228)a m¢n c¡c (cid:31)(cid:231)ng thøc (cid:31)¢ n¶u, hay n(cid:226)i c¡ch kh¡c ch‰nh l(cid:160) vi»c gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh v(cid:238)i c¡c nghi»m l(cid:160) c¡c sŁ Fibonacci.

(ii) Rª r(cid:160)ng ta c(cid:226) th” thay (cid:31)Œi h» sŁ cıa h⁄ng tß thø 2 cıa v‚ ph£i c¡c (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc tr¶n v(cid:160) ta s‡ nh“n l⁄i (cid:31)(cid:247)æc mºt b(cid:160)i to¡n m(cid:238)i v(cid:238)i c¡c l(cid:237)i gi£i kh¡c nhau.

V‰ d(cid:246) 1.3.2. Zeitlin (cid:31)¢ t…m ra a = 2, b = 20, c = 40, d = 1 l(cid:160) l(cid:237)i gi£i cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

Fn = Fn−2 + 9349Fn−20 + Fn−40 + Fn−41

Trong ch(cid:247)(cid:236)ng sau (nºi d(cid:246)ng ch‰nh cıa lu“n v«n) ch(cid:243)ng ta s‡ nghi¶n cøu c¡ch gi£i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh v(cid:238)i c¡c bº nghi»m l(cid:160) c¡c sŁ Fibonacci.

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh v(cid:238)i c¡c sŁ Fibonacci

2.1 Gi(cid:238)i thi»u b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t, c¡c kh¡i ni»m

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) B(cid:160)i to¡n 779 v(cid:160) 804 ta x†t b(cid:160)i to¡n tŒng qu¡t sau.

B(cid:160)i to¡n. Cho m l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n th(cid:228)a m¢n m ≥ 3. T…m t§t c£ c¡c bº sŁ nguy¶n {c (cid:54)= 0, a(1), ...a(m)} th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n

0 < a(1) < a(2) < ... < a(m)

sao cho v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ n > 0 cho tr(cid:247)(cid:238)c ta c(cid:226)

(2.1) Fn = Fn−a(1) + cFn−a(2) + Fn−a(3) + Fn−a(4) + ... + Fn−a(m).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.1. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh tŒng qu¡t v(cid:238)i c¡c sŁ Fibonacci c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i m.

Trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i b‹ng c¡ch thay n = a(2) = b v(cid:160) (cid:31)(cid:176)t

x(1) = b − a(1), x(i) = a(i) − b, i = 3, 4, ..., m.

Khi (cid:31)(cid:226) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) ta c(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau

(2.2) Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m),

trong (cid:31)(cid:226)

0 < x(1) < b; 0 < x(3) < x(4) < ... < x(m). (2.3)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.2. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh r(cid:243)t g(cid:229)n cıa (2.1).

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.3. Mºt nghi»m b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) 1 − tham sŁ n‚u

b + 2j, x(1) + 2j, x(3) + 2j, x(4) + 2j, . . . , x(m) + 2j

c(cid:244)ng l(cid:160) nghi»m cıa (2.2). Mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nghi»m (cid:31)(cid:236)n n‚u n(cid:226) kh(cid:230)ng l(cid:160) 1 − tham sŁ.

Nh“n x†t: Nh(cid:247) v“y, t“p t§t c£ c¡c nghi»m 1 − tham sŁ l(cid:160) mºt l(cid:238)p v(cid:230) h⁄n c¡c nghi»m, m(cid:160) ch(cid:243)ng c(cid:226) kho£ng c¡ch (cid:31)•u nhau giœa c¡c ch¿ sŁ. V… v“y, t§t c£ c¡c ch¿ sŁ cıa c¡c nghi»m 1 − tham sŁ c(cid:226) th” bi”u di„n nh(cid:247) mºt h(cid:160)m tuy‚n t‰nh cıa mºt tham sŁ duy nh§t.

V… v“y, n‚u nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) l(cid:160) 1 − tham sŁ, th… kho£ng

c¡ch giœa c¡c ch¿ sŁ l(cid:160) r§t quan tr(cid:229)ng.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.4. (cid:30)Łi v(cid:238)i nghi»m 1−tham sŁ b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ta sß d(cid:246)ng y − k‰ hi»u ("y − notation") thay cho bº (m − 1) sau (cid:31)¥y: (cid:104)y(1), y(3), y(4), · · · , y(m)(cid:105), trong (cid:31)(cid:226) y(i) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh b(cid:240)i

y(i) = |b − x(i)| .

v(cid:238)i i = 1, 3, 4, . . . , m.

V‰ d(cid:246) 2.1.5. a) (cid:30)Łi v(cid:238)i (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc Fb = Fb−1 + Fb−2 ta c(cid:226) y − k‰ hi»u l(cid:160) (cid:104)1, 2(cid:105) V…

y(1) = · · · = 1

y(2) = · · · = 2.

b) (cid:30)Łi v(cid:238)i (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc Fb = Fb−2 + Fb−1 th… y − k‰ hi»u l(cid:160) (cid:104)2, 1(cid:105)

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.6. Hai nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) th(cid:228)a m¢n (cid:31)i•u ki»n (2.3) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) hai nghi»m nh(cid:247) nhau n‚u (cid:31)º d(cid:160)i v(cid:160) y − k‰ hi»u cıa ch(cid:243)ng l(cid:160) b‹ng nhau.

Rª r(cid:160)ng quan h» (cid:16)hai nghi»m nh(cid:247) nhau(cid:17) trong l(cid:238)p c¡c nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a nh(cid:247) tr¶n l(cid:160) mºt quan h» t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng.

V‰ d(cid:246) 2.1.7. (cid:30)Łi v(cid:238)i (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

Fb = Fb−1 + Fb−2,

ta c(cid:226)

y(1) = |b − x(1)| = |b − (b − 1)| = 1,

y(3) = |b − x(3)| = |b − (b − 2)| = 2.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.8. Ta n(cid:226)i sŁ Fibonacci Fz l(cid:160) l(cid:238)n, n‚u z > 2. Ta n(cid:226)i mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc l(cid:160) l(cid:238)n n‚u m(cid:160) c¡c v‚ cıa n(cid:226) l(cid:160) mºt tŒ hæp tuy‚n t‰nh cıa c¡c sŁ Fibonacci c(cid:226) t§t c£ c¡c ch¿ sŁ (cid:31)•u l(cid:238)n h(cid:236)n 2. Mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) l(cid:238)n n‚u b > 2 v(cid:160) x(i) > 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i = 1, 3, 4, . . . , m. (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.9. Ta n(cid:226)i mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc c(cid:226) d⁄ng (cid:80) j∈J Fj = Fb l(cid:160) ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc n‚u tŒng cıa mºt t“p con kh¡c rØng th(cid:252)c s(cid:252) n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) c¡c h⁄ng tß cıa v‚ ph£i b‹ng 0. N‚u (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (cid:80) j∈J Fj = Fb kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc th… ta n(cid:226)i (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (cid:31)(cid:226) l(cid:160) nguy¶n tŁ.

V‰ d(cid:246) 2.1.10. a) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) c(cid:226) mºt nghi»m l(cid:160) 0 < x(1) = x(3) v(cid:160) 0 < x(4) = b (v(cid:238)i x(3) < x(4)), ngh(cid:190)a l(cid:160)

Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b

v(cid:238)i b l· v(cid:160) x(1) chﬁn. (cid:30)¥y l(cid:160) nghi»m ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (cid:31)¢ cho v… ta c(cid:226)

Fx(1) + F−x(3) = 0.

b) Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Fb = Fx(1) + F−x(3) c(cid:226) nghi»m x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, v(cid:238)i b ≥ 3, b l·. V… khi b l· ta c(cid:226) (b − 2) l(cid:160) l·, do (cid:31)(cid:226) F−(b−2) = Fb−2. V… v“y

Fb = Fb−1 + F−(b−2)

l(cid:160) nghi»m nguy¶n tŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tr¶n.

(cid:30)Łi v(cid:238)i (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc, ta c(cid:226) th” bi”u di„n v‚ ph£i cıa

j∈J Fj th(cid:228)a m¢n:

n(cid:226) nh(cid:247) l(cid:160) tŒng cıa c¡c nh¥n tŁ (" factor").

ho(cid:176)c l(cid:160) (cid:80) (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.11. a) Ta hi”u mºt nh¥n tŁ ("factor") cıa mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) mºt tŒng c(cid:226) d⁄ng (cid:80) j∈J Fj = 0, ho(cid:176)c (cid:80) j∈J Fj = Fb,

trong (cid:31)(cid:226) J l(cid:160) t“p con th(cid:252)c s(cid:252) cıa t“p c¡c ch¿ sŁ: {x(1), x(3), x(4), · · · , x(m)}. b) SŁ l(cid:247)æng c¡c nh¥n tŁ cıa mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc l(cid:160) sŁ l(cid:238)n nh§t cıa c¡c t“p con kh¡c rØng, kh(cid:230)ng giao nhau cıa c¡c ch¿ sŁ trong (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (cid:31)(cid:226), sao cho (cid:31)Łi v(cid:238)i mØi t“p con J nh(cid:247) v“y, ta c(cid:226) (cid:80) j∈J Fj l(cid:160) mºt nh¥n tŁ cıa (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (cid:31)¢ cho.

c) (cid:30)º d(cid:160)i cıa mºt nh¥n tŁ l(cid:160) sŁ h⁄ng tß c(cid:226) trong nh¥n tŁ (cid:31)(cid:226).

V‰ d(cid:246) 2.1.12. a) V(cid:238)i m = 6 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

Fb = Fd + F−1 + F−2 + F−d + F−b

v(cid:238)i d chﬁn, b l· v(cid:160) 2 < d < b l(cid:160) mºt nghi»m cıa (2.2), v(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc tr¶n c(cid:226) 3 nh¥n tŁ v(cid:160) v… v“y n(cid:226) l(cid:160) ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc. C¡c nh¥n tŁ (cid:31)(cid:226) l(cid:160):

Fd + F−d = 0.

V… d l(cid:160) chﬁn, nh¥n tŁ n(cid:160)y c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i l(cid:160) 2.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226) 2 nh¥n tŁ cÆn l⁄i c(cid:244)ng c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i l(cid:160) 2 F−1 + F−2 = 0 Fb = F−b v… b l(cid:160) l·. b) V(cid:238)i m = 7 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

Fb = Fd + F−1 + F−3 + F−4 + F−d + F−(b+1) + F−(b+2)

v(cid:238)i b l·, d chﬁn v(cid:160) d < 4 < b + 1.

(cid:30)¥y l(cid:160) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc v… n(cid:226) c(cid:226) 3 nh¥n tŁ (cid:31)(cid:226) l(cid:160) Fd + F−d = 0, c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i 2. F−1 + F−3 + F−4 = 0, c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i 3. V… b l· n¶n F−(b+2) = Fb+2, F−(b+1) = −Fb+1 n¶n ta c(cid:226) nh¥n tŁ: Fb = F−(b+1) + F−(b+2) c(cid:226) (cid:31)º d(cid:160)i 3.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.13. Mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) chﬁn (ho(cid:176)c l·) n‚u b t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) chﬁn (ho(cid:176)c l·).

j∈J Fj = 0.

(cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a 2.1.14. Mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc g(cid:229)i l(cid:160) nguy¶n tŁ n‚u (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m) l(cid:160) kh(cid:230)ng ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc, ngh(cid:190)a l(cid:160) kh(cid:230)ng c(cid:226) mºt t“p con J th(cid:252)c s(cid:252) n(cid:160)o cıa t“p {b, x(1), −x(3), . . . , −x(m)} sao cho (cid:80)

2.2 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3 v(cid:160) m = 4

M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa phƒn n(cid:160)y l(cid:160) t…m l(cid:237)i gi£i cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) trong

tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3 v(cid:160) m = 4. V(cid:238)i m = 3, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) c(cid:226) d⁄ng

Fb = Fx(1) + F−x(3), 0 < x(1) < b, 0 < x(3).

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta cƒn bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.2.1. N‚u {b, x(1), x(3)} l(cid:160) mºt nghi»m l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i m = 3 th… x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b l·, b ≥ 5 ho(cid:176)c x(1) = b − 2,

x(3) = b − 1, b chﬁn, b ≥ 5.

Chøng minh. Theo (cid:31)i•u ki»n cıa x(1) ta lu(cid:230)n c(cid:226) 0 < x(1) < b. Do (cid:31)(cid:226) ta x†t c¡c tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 1: x(1) = b − 1. V… {b, x(1), x(3)} l(cid:160) mºt nghi»m l(cid:238)n n¶n b, x(1), x(3) > 2. Khi (cid:31)(cid:226) F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb − Fb−1 = Fb−2 > 0. Do (cid:31)(cid:226) x(3) l(cid:160) sŁ l· v(cid:160) x(3) = b − 2 ≥ 3 hay b ≥ 5. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 2: x(1) = b − 2. Khi (cid:31)(cid:226) F−x(3) = Fb − Fx(1) = Fb−1 > 0. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226) x(3) l(cid:160) sŁ l· v(cid:160) x(3) = b − 1 n¶n b chﬁn. M(cid:176)t kh¡c x(1) = b − 2 > 2 n¶n b ≥ 5. Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp 3: x(1) ≤ b − 3. Khi (cid:31)(cid:226) n‚u F−x(3) ≤ Fb−1 th… ta c(cid:226) Fx(1) + F−x(3) ≤ Fb−3 + Fb−1 < Fb, (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. N‚u F−x(3) ≥ Fb do x(1) > 0 ta suy ra Fx(1) + F−x(3) > Fb, (cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. V“y kh(cid:230)ng x£y ra tr(cid:247)(cid:237)ng hæp x(1) ≤ b − 3. Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh d⁄ng

Fb = Fx(1) + F−x(3), 0 < x(1) < b, 0 < x(3)

ch¿ c(cid:226) hai h(cid:229) nghi»m 1 − tham sŁ l(cid:160) Fb = Fb−1 + F−(b−2) v(cid:238)i b l·, b ≥ 5 v(cid:160) Fb = Fb−2 + F−(b−1) v(cid:238)i b chﬁn, b ≥ 6. (cid:3)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.2. Khi m = 3, ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ch¿ c(cid:226) c¡c nghi»m l(cid:160)

(i) x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, b ≥ 3 v(cid:160) b l(cid:160) sŁ l·. (ii) x(1) = b − 2, x(3) = b − 1, b ≥ 4 v(cid:160) b l(cid:160) sŁ chﬁn. (iii) b = 3, x(1) = 1, x(3) = 1. (iv) b = 4, x(1) = 1, x(3) = 3. (v) b = 4, x(1) = 3, x(3) = 1.

Chøng minh. Theo BŒ (cid:31)• 2.2.1, n‚u nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) l(cid:160) l(cid:238)n v(cid:160) b ≥ 5 th… nghi»m (cid:31)(cid:226) l(cid:160) d⁄ng (i) ho(cid:176)c (ii). Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cÆn l⁄i, nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) kh(cid:230)ng l(cid:238)n th… mºt trong ba gi¡ tr(cid:224) b, x(1), x(3) ph£i b‹ng 1 ho(cid:176)c 2. H(cid:236)n nœa, tł nh“n x†t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Fz − 1 = Fy l(cid:160) kh(cid:230)ng gi£i (cid:31)(cid:247)æc (cid:31)Łi v(cid:238)i y n‚u z ≥ 5. V… v“y, ta c(cid:226) th” ki”m tra t§t c£ c¡c (cid:31)i”m 3 t(cid:229)a (cid:31)º nguy¶n trong khŁi l“p ph(cid:247)(cid:236)ng [1, 4]3 ⊂ R3. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ch¿ c(cid:226) 3 nghi»m d⁄ng (iii) ho(cid:176)c (iv) v(cid:160) (v). V… v“y c¡c nghi»m kh(cid:230)ng l(cid:238)n cıa (2.2) l(cid:160)

(x(3) = −1) ,

(x(3) = 3) ,

(x(3) = 1). F3 = F1 + F−1 F4 = F1 + F−3 F4 = F3 + F−1

Ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh. (cid:3)

K‚t qu£ sau l(cid:160) h» qu£ tr(cid:252)c ti‚p cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.2.

H» qu£ 2.2.3. T§t c£ c¡c nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) khi m = 3 (cid:31)•u thuºc mºt trong c¡c d⁄ng sau.

b ≥ 3 v(cid:160) b l·.

(i) Fn = Fn−1 + Lb−2Fn−b + Fn−(2b−2), (ii)Fn = Fn−2 + Lb−1Fn−b + Fn−(2b−1), b ≥ 4 v(cid:160) b chﬁn. (iii) Fn = Fn−1 + 2Fn−4 + Fn−5. (iv) Fn = Fn−2 + 2Fn−3 + Fn−4. (v) Fn = Fn−3 + 5Fn−4 + Fn−7.

Ch(cid:243) (cid:254) r‹ng c¡c nghi»m kh(cid:230)ng l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) trong (iii), (iv) v(cid:160) (v) l(cid:160) nghi»m (cid:31)(cid:236)n trong khi nghi»m l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1) l(cid:160) 1 − tham sŁ.

Ti‚p theo ta x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 4. Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) c(cid:226) d⁄ng

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4),

trong (cid:31)(cid:226) b > x(1) > 0 v(cid:160) 0 < x(3) < x(4).

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3 ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.2.4. Khi m = 4 th… b, x(1), x(3), x(4) l(cid:160) mºt nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) n‚u n(cid:226) l(cid:160) mºt trong 10 nghi»m kh¡c nhau (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong b£ng 2.1, 2.2 v(cid:160) 2.3 d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

Hai nh(cid:226)m giŁng nhau cıa c¡c nghi»m nguy¶n tŁ 1−tham sŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng

b, x(1), x(3), x(4)

Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:30)i•u ki»n cıa b Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1)

b > 3, b chﬁn b > 5, b chﬁn

y-k‰ hi»u < 2, 0, 1 > b, b − 2, b, b + 1 < 4, 3, 1 > b, b − 4, b − 3, b − 1 Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b+1)

B£ng 2.1: Hai nh(cid:226)m giŁng nhau cıa nghi»m nguy¶n tŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) khi m = 4.

b, x(1), x(3), x(4) Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) 4, 3, 2, 3 5, 3, 1, 3 4, 1, 4, 5 6, 3, 1, 5 6, 3, 1, 5 6, 5, 3, 1

F4 = F3 + F−2 + F−3 F5 = F3 + F−1 + F−3 F4 = F1 + F−4 + F−5 F6 = F3 + F−1 + F−5 F6 = F1 + F−3 + F−5 F6 = F5 + F−1 + F−3

B£ng 2.2: S¡u nghi»m (cid:31)(cid:236)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) khi m = 4.

tr…nh (2.2) v(cid:238)i m = 4 (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong b£ng 2.1 d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

S¡u nghi»m (cid:31)(cid:236)n (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y trong b£ng 2.2. Trong 6 nghi»m n(cid:160)y th… nghi»m b = 4, x(1) = 3, x(3) = 2, x(4) = 3 l(cid:160) nghi»m ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc, 5 nghi»m cÆn l⁄i (cid:31)•u l(cid:160) c¡c nghi»m nguy¶n tŁ.

Khi m = 4, hai h(cid:229) nghi»m ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc cho trong b£ng 2.3. H(cid:229) nghi»m trong h(cid:160)ng 1 l(cid:160) nghi»m 1 − tham sŁ, ph¥n t‰ch (cid:31)(cid:247)æc v…

Fx(1) + F−x(1) = 0.

V(cid:238)i x(1) l(cid:160) chﬁn. H(cid:229) nghi»m trong h(cid:160)ng 2 l(cid:160) nghi»m (cid:31)(cid:236)n v(cid:160) ph¥n t‰ch

(cid:31)(cid:247)æc v…

b, x(1), x(3), x(4) Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.1.2) Gi(cid:238)i h⁄n tham sŁ b, x(1), x(1), b b, 1, 2, b

b l·; x(1) chﬁn x(1) < b b l·; b > 2

Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b Fb = F1 + F−2 + Fb

B£ng 2.3: Hai nghi»m nh¥n tŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) khi m = 4.

F1 + F−2 = 0.

Nh“n x†t 2.2.5. M(cid:247)(cid:237)i nh(cid:226)m nghi»m r(cid:237)i nhau cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) khi m = 4 (cid:31)(cid:247)æc tr…nh b(cid:160)y (cid:240) tr¶n, (cid:31)(cid:176)t cho ta c¥u h(cid:228)i v• vi»c x¡c (cid:31)(cid:224)nh m“t (cid:31)º cıa c¡c nghi»m. Ta c(cid:226) th” ti‚n h(cid:160)nh vi»c (cid:31)(cid:226) nh(cid:247) sau: MØi nghi»m cıa (2.2) th(cid:228)a m¢n (2.3) l(cid:160) mºt bº bŁn.

Ta c(cid:226) th” ch(cid:229)n mºt sŁ u kh(cid:230)ng (cid:31)Œi v(cid:160) (cid:31)‚m t§t c£ c¡c bº 4 sŁ nguy¶n n‹m trong khŁi si¶u l“p ph(cid:247)(cid:236)ng [1, u]4. Ki”m tra xem nhœng bº bŁn n(cid:160)o l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:160) th(cid:228)a m¢n (2.3).

Thay v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) M“t (cid:31)º Fb = Fx(1) + F−x(1) + F−b Fb = F1 + F−2 + F−b Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1)

69% 14% 6% 6%

b, x(1), x(3), x(4) b, x(1), x(1), b b, 1, 2, b b, b − 2, b, b + 1 b, b − 4, b − 3, b − 1 Fb = Fb−4 + F−(b−3) + F−(b−1)

B£ng 2.4: M“t (cid:31)º cıa c¡c h(cid:229) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) khi m = 4, trong 4 t“p sŁ trong h…nh si¶u l“p ph(cid:247)(cid:236)ng[1, 40]4.

Trong b£ng bŁn d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y, ta l§y u = 40 trong h…nh si¶u l“p ph(cid:247)(cid:236)ng [1, 40]4 c(cid:226) 131 nghi»m cıa (2.2), trong (cid:31)(cid:226) c(cid:226) s¡u nghi»m (cid:31)(cid:236)n c(cid:246) th” (cid:31)(cid:247)æc trong b£ng 2.2, khi u t«ng ta c(cid:244)ng ch¿ c(cid:226) 6 nghi»m (cid:31)(cid:236)n c(cid:246) th” (cid:31)(cid:226), cÆn l⁄i t§t c£ c¡c nghi»m (cid:31)•u n‹m trong 4 h(cid:229) nghi»m cıa b£ng 2.1 v(cid:160) b£ng 2.3. Trong h…nh si¶u l“p ph(cid:247)(cid:236)ng c(cid:226) 125 nghi»m cıa 4 h(cid:229) nghi»m n(cid:160)y, chi‚m 95%. M“t (cid:31)º c¡c nghi»m cıa 4 h(cid:229) nghi»m (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:247)æc x¡c (cid:31)(cid:224)nh trong b£ng 2.4 d(cid:247)(cid:238)i (cid:31)¥y.

2.3 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t

Khi u t«ng th… m“t (cid:31)º c¡c nghi»m s‡ thay (cid:31)Œi, t¡c gi£ Stephens Hall d(cid:252) (cid:31)o¡n l(cid:160) n(cid:226) s‡ ti‚n (cid:31)‚n mºt gi(cid:238)i h⁄n n(cid:160)o (cid:31)(cid:226), v(cid:160) c(cid:226) nh“n x†t r‹ng hƒu h‚t c¡c nghi»m (cid:31)(cid:247)æc cho trong b£ng 2.4 (cid:31)•u kh(cid:230)ng ph£i l(cid:160) nghi»m nguy¶n tŁ.

M(cid:246)c (cid:31)‰ch ch‰nh cıa phƒn n(cid:160)y l(cid:160) tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng

qu¡t. Tr(cid:247)(cid:238)c khi ph¡t bi”u k‚t qu£ ch‰nh ta cƒn mºt sŁ quy (cid:247)(cid:238)c sau.

Ta quy (cid:247)(cid:238)c k‰ hi»u o, o(cid:48), o(cid:48)(cid:48) t(cid:247)(cid:236)ng øng l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng, l· t(cid:242)y (cid:254). N‚u J l(cid:160) t“p con c¡c sŁ nguy¶n th… a ≤ J ≤ b c(cid:226) ngh(cid:190)a l(cid:160) a ≤ j ≤ b v(cid:238)i m(cid:229)i j ∈ J. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) J l(cid:160) chﬁn (l·) ngh(cid:190)a l(cid:160) t§t c£ c¡c phƒn tß cıa t“p hæp J l(cid:160) chﬁn (l·). Khi (cid:31)(cid:226) k‚t qu£ sau l(cid:160) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ch‰nh cıa ch(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1. ((cid:30)(cid:224)nh l‰ ng¤u nhi¶n) Gi£ sß {b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m)} l(cid:160) mºt nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i m ≥ 3. Khi (cid:31)(cid:226) nghi»m n(cid:160)y l(cid:160) 1 − tham sŁ. H(cid:236)n nœa n‚u m = 3 th… nghi»m c(cid:226) d⁄ng (i) v(cid:160) (ii) trong (cid:31)(cid:224)nh l‰ 2.2.2, n‚u m > 3, b l(cid:160) sŁ chﬁn th… nghi»m n(cid:160)y thuºc mºt trong ch‰n d⁄ng nh(cid:247) sau.

(1) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−1). (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b−1). (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2). (4) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1). (5) Fb = Fb−0−3 + F−(b−0−1) + F−(b−0) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2)

+ F−(b+4) + ... + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2).

(6) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+1). (7) Fb = Fb−o−3 + F−(b−o−2) + F−(b−o) + ... + F−(b−3) + F−b + F−(b+2)

+ F−(b+4) + ... + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2).

(8) Fb = Fb−o−4−o(cid:48) +F−(b−o−3−o(cid:48))+F−(b−o−1−o(cid:48))+...+F(b−o−4)+F−(b−o−1)+

F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+1).

(9) Fb = Fb−o−4−o(cid:48) + F−(b−o−3−o(cid:48)) + F−(b−o−1−o(cid:48)) + ... + F−(b−o−4)

+ F−(b−o−1) + F−(b−o) + ... + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + ... + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2).

Ng(cid:247)æc l⁄i m(cid:229)i s(cid:252) l(cid:252)a ch(cid:229)n sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng b l(cid:160) l(cid:238)n, chﬁn v(cid:160) m(cid:229)i l(cid:252)a ch(cid:229)n o, o(cid:48) v(cid:160) o(cid:48)(cid:48) sao cho t§t c£ c¡c ch¿ sŁ trong 9 d⁄ng (cid:240) tr¶n (cid:31)•u l(cid:238)n th… ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc nghi»m 1 − tham sŁ, l(cid:238)n, chﬁn, nguy¶n tŁ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i m > 3.

V‰ d(cid:246) sau (cid:31)¥y l(cid:160) mºt minh h(cid:229)a cho c¡c nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2).

V‰ d(cid:246) 2.3.2. C¡c nghi»m sau (cid:31)¥y cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), v(cid:238)i c¡c gi¡ tr(cid:224) kh¡c nhau cıa m minh h(cid:229)a b(cid:240)i 9 d⁄ng sau:

(1) Fb = Fb−10 + F−(b−9) + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−(b−1). (2) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+1). (3) Fb = Fb−2 + F−b + F−(b+2) + F−(b+4) + F−(b+6) + F−(b+7). (4) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1). (5) Fb = Fb−4 + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3). (6) Fb = Fb−8 + F−(b−7) + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+1). (7) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−3) + F−b + F−(b+2) + F−(b+3).

(8) Fb = Fb−6 + F−(b−5) + F−(b−2) + F−(b−1) + F−b + F−(b+1). (9) Fb = Fb−8+F−(b−7)+F−(b−5)+F−(b−2)+F−(b−1)+F−b+F−(b+2)+F−(b+3).

Tr(cid:247)(cid:238)c khi chøng minh (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n ta c(cid:226) nh“n x†t v• 9 d⁄ng

nghi»m trong ph¡t bi”u cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254).

Nh“n x†t 2.3.3. Trong 9 d⁄ng (cid:240) tr¶n, duy nh§t d⁄ng 1 c(cid:226) x(i) < b v(cid:238)i m(cid:229)i i, t§t c£ c¡c d⁄ng cÆn l⁄i (cid:31)•u c(cid:226) x(i) ≥ b v(cid:238)i i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Trong qu¡ tr…nh chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n, ch(cid:243)ng ta quy (cid:247)(cid:238)c s‡

sß d(cid:246)ng mºt sŁ k‰ hi»u sau (cid:31)¥y:

- N‚u tŒng Fx + Fy + · · · + Fz c(cid:226) trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh th… ta hi”u tŒng (cid:31)(cid:226)

b‹ng ho(cid:176)c Fx, ho(cid:176)c b‹ng

Fx + Fx+d + Fx+2d + · · · + Fx+jd, v(cid:238)i y = x + d, z = x + jd, d (cid:54)= x v(cid:238)i j

l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng kh¡c kh(cid:230)ng n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

- Mºt tŒng c(cid:226) d⁄ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fu (cid:31)(cid:247)æc hi”u l(cid:160)

(Fx + Fy + · · · + Fz) + Fu.

- Mºt tŒng c(cid:226) d⁄ng Fx + Fy + · · · + Fz + Fy + Fy + · · · + Fw (cid:31)(cid:247)æc hi”u l(cid:160)

(F2 + Fy + · · · + Fz) + (Fy + Fy + · · · + Fw) .

BŒ (cid:31)• 2.3.4. V(cid:238)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng z t(cid:242)y (cid:254) ta c(cid:226):

a) Fz + Fz+1 + Fz+3 + Fz+5 + · · · + Fz+o = Fz+o+1. b) Fz − Fz−1 − Fz−3 − Fz−5 − · · · − Fz−o = Fz−o−1. trong (cid:31)(cid:226) o l(cid:160) 1 sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng l· b§t k…. Chøng minh. Bi”u di„n o = 2k + 1. Ta s‡ chøng minh phƒn a) bŒ (cid:31)•

tr¶n b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p quy n⁄p theo k.

+ V(cid:238)i k = 0 suy ra o = 1, ta c(cid:226)

Fz + Fz+o = Fz + Fz+1 = Fz+2 = Fz+o+1.

Suy ra bŒ (cid:31)• (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i k = 0.

+ Gi£ sß bŒ (cid:31)• l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng k, ngh(cid:190)a l(cid:160) ta c(cid:226)

Fz + Fz+1 + Fz+3 + · · · + Fz+2k+1 = Fz+(2k+1)+1.

X†t tŒng:

Fz + Fz+1 + Fz+3 + · · · + Fz+2(k+1) + Fz+2(k+1)+1

= Fz+(2k+1)+1 + Fz+2k+3 = Fz+2k+2 + Fz+2k+3

= Fz+2k+4 = Fz+[2(k+1)+1]+1 = Fz+o+1.

(trong (cid:31)(cid:226) o = 2(k + 1) + 1).

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra (cid:31)ﬂng thøc a), bŒ (cid:31)• l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i (k + 1). Tł (cid:31)(cid:226) suy ra t‰nh (cid:31)(cid:243)ng cıa bŒ (cid:31)• (cid:31)Łi v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng k, hay n(cid:226)i c¡ch kh¡c, (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc a) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng (cid:31)Łi v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng l· o.

Chøng minh mºt c¡ch t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc b). (cid:3)

BŒ (cid:31)• 2.3.4 cho ta mºt h» qu£ quan tr(cid:229)ng sau.

H» qu£ 2.3.5. Cho b l(cid:160) sŁ chﬁn. (cid:30)(cid:176)t o, o(cid:48)v(cid:160) o(cid:48)(cid:48) l(cid:160) c¡c sŁ l·, nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng t(cid:242)y (cid:254). Khi (cid:31)(cid:226) 9 d⁄ng trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 (cid:240) tr¶n (cid:31)•u l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2).

Chøng minh. Ta chøng minh d⁄ng 9 trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n 2.3.1 l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), c¡c d⁄ng kh¡c s‡ (cid:31)(cid:247)æc chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252).

Tr(cid:247)(cid:238)c h‚t, ta s‡ ch¿ ra r‹ng:

F(b+1) = F−(b+2) + F−(b+4) + · · · + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2).

Th“t v“y do b l(cid:160) chﬁn, v(cid:160) theo bŒ (cid:31)• 2.3.4 ta c(cid:226):

F−(b+o(cid:48)(cid:48)+1) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)+2) = F−(b+o(cid:48)(cid:48))

F−(b+o(cid:48)(cid:48)) + F−(b+o(cid:48)(cid:48)−1) = F−(b+o(cid:48)(cid:48)−2)

· · ·

Cø ti‚p t(cid:246)c qu¡ tr…nh nh(cid:247) v“y ta c(cid:226)

F−(b+5) + F−(b+4) = F−(b+3)

F−(b+3) + F−(b+2) = F−(b+1)

Do b chﬁn n¶n (b + 1) l(cid:160) l·, v(cid:160) F−(b+1) = Fb+1. Qu¡ tr…nh tr¶n l(cid:160) ta (cid:31)¢ th(cid:252)c hi»n lƒn l(cid:247)æt cºng hai h⁄ng tß cuŁi c(cid:242)ng cıa v‚ ph£i, v(cid:160) l(cid:176)p (cid:31)i l(cid:176)p l⁄i qu¡ tr…nh (cid:31)(cid:226), ta (cid:31)(cid:247)æc tŒng cıa v‚ ph£i b‹ng F−(b+1) v(cid:160) b‹ng v‚ tr¡i.

Ti‚p theo ta s‡ chøng minh:

F(b−o−3) = Fb−o+4−o(cid:48) + F−(b−o−3−o(cid:48)) + F−(b−o−1−o(cid:48)) + · · · + F−(b−o−4).

Th(cid:252)c v“y: Trong v‚ b¶n ph£i trł h⁄ng tß (cid:31)ƒu ti¶n c(cid:226) ch¿ sŁ chﬁn, cÆn t§t c£ c¡c h⁄ng tß cÆn l⁄i (cid:31)•u c(cid:226) ch¿ sŁ l·, m(cid:160) ta c(cid:226) F−z = Fz n‚u z l(cid:160) sŁ l·. N¶n (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc tr¶n t(cid:247)(cid:236)ng (cid:31)(cid:247)(cid:236)ng v(cid:238)i:

F(b−o−3) = Fb−o+4−o(cid:48) + Fb−o−3−o(cid:48) + Fb−o−1−o(cid:48) + . . . + Fb−o−4

Th(cid:252)c hi»n li¶n ti‚p vi»c l§y tŒng hai h⁄ng tß (cid:31)ƒu ti¶n cıa v‚ ph£i, cuŁi

c(cid:242)ng ta nh“n (cid:31)(cid:247)æc v‚ ph£i b‹ng v‚ tr¡i.

(cid:3) + · · · + F−(b−1)

Theo BŒ (cid:31)• 2.3.4, rª r(cid:160)ng

F(b−o−3) + (cid:2)F−(b−o−1) + F−(b−o) = F(b−o−3) + F(b−o−2) + F(b−o) + · · · + F(b−3) = Fb−2.

V… v“y v‚ ph£i cıa d⁄ng 9 (cid:31)(cid:247)æc r(cid:243)t g(cid:229)n th(cid:160)nh

F(b−2) + F−b + F(b+1) = Fb.

Ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

BŒ (cid:31)• 2.3.6. (a) Cho J l(cid:160) t“p hæp c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng sao cho

(cid:88)

2 < j ≤ z, ∀j ∈ J. Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226)

j∈J

Fj < Fz+1

(b) Gi£ sß k l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng c(cid:244)ng th(cid:228)a m¢n 2 < k ≤ z, v(cid:160)

(cid:88)

k /∈ J, khi (cid:31)(cid:226)

j∈J

Fj < Fz+1 − Fk.

Chøng minh. (a) N‚u c¡c sŁ trong J l(cid:160) c¡c sŁ l·, ta c(cid:226)

F1 + F3 + F5 + · · · + Fz = Fz+1.

(cid:88)

Do (cid:31)(cid:226)

j∈J

Fj ≤ F3 + F5 + · · · + Fz < Fz+1.

N‚u c¡c sŁ trong J l(cid:160) c¡c sŁ chﬁn, ta c(cid:226)

F2 + F4 + F6 + · · · + Fz = Fz+1 − 1.

Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

(b) chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) phƒn (a)

BŒ (cid:31)• 2.3.7. N‚u v l(cid:160) sŁ l· v(cid:160) t§t c£ c¡c ch¿ sŁ (cid:31)•u l(cid:238)n th…

Fv − Fv−1 + Fv−2 − Fv−3 · · · < Fv−1.

Chøng minh. Ta s‡ chøng minh b‹ng ph(cid:247)(cid:236)ng ph¡p quy n⁄p theo sŁ l· v (cid:31)ﬂng thøc sau:

−F2 + F3 − F4 + · · · + Fv = Fv−1.

V(cid:238)i v = 5, ta c(cid:226)

−F2 + F3 − F4 + F5 = (−1) + 2 − 3 + 5 = 3 = F4

M»nh (cid:31)• l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i v = 5.

Gi£ sß m»nh (cid:31)• l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ l· k th(cid:228)a m¢n: 5 ≤ k ≤ v. Ta s‡

chøng minh m»nh (cid:31)• (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i k = v + 2.

Theo gi£ thi‚t quy n⁄p ta c(cid:226): −F2 + F3 − F4 + · · · + Fv = Fv−1

Tł (cid:31)(cid:226) suy ra:

−F2 + F3 − F4 + · · · + Fv − Fv+1 + Fv + 2 = Fv−1 − Fv+1 + Fv+2 = Fv−1 − Fv+1 + Fv+1 + Fv = Fv−1 + Fv = Fv+1 = F(v+2)−1.

V… v“y (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc tr¶n l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i m(cid:229)i sŁ l· v. Tł k‚t qu£ tr¶n, v(cid:160)

th¶m (cid:31)i•u ki»n m(cid:229)i ch¿ sŁ (cid:31)•u l(cid:238)n n¶n ta c(cid:226):

Fv − Fv−1 + Fv−2 − Fv−3 + · · · < Fv−1.

2.4 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i

Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp n(cid:160)y ta gi£ sß r‹ng n, z, u(1), u(3), . . . , u(n) l(cid:160) c¡c sŁ

nguy¶n sao cho

(2.4) Fz = Fu(1) + F−u(3) + F−u(4) + ... + F−u(n)

l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc nguy¶n tŁ, l(cid:238)n v(cid:160) chﬁn v(cid:238)i

0 < u(1) < z, u(3) < u(4) < . . . < u(n) < z, n ≥ 3.

Khi (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) mºt bŒ (cid:31)• quan tr(cid:229)ng sau.

BŒ (cid:31)• 2.4.1. C¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng.

(a) T(cid:231)n t⁄i mºt sŁ j sao cho u(j) = z − 1. (b) Kh(cid:230)ng th” (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i x£y ra u(1) = z − 1 v(cid:160) u(n) < z − 1.

(cid:88)

Chøng minh. (a) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i u(i) ≤ z − 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i. Khi (cid:31)(cid:226) t§t c£ c¡c ch¿ sŁ u(i) l· trong (2.4) b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n b(cid:240)i z − 3. Sau khi chuy”n v‚ sŁ h⁄ng ¥m tł v‚ ph£i cıa (2.4) sang v‚ tr¡i khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh c(cid:226) d⁄ng

i∈K≤z−2

i∈J≤z−3

Fz + Fi Fi = Fu(1) +

trong (cid:31)(cid:226) K l(cid:160) t“p hæp t§t c£ c¡c ch¿ sŁ chﬁn v(cid:160) J l(cid:160) t“p t§t c£ c¡c ch¿

(cid:88)

i∈K≤z−2

i∈J≤z−3

sŁ l· trong (2.4). (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) (cid:88) Fz ≤ Fz + Fi ≤ Fz−2 + Fz−2 Fi = Fu(1) +

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) v(cid:230) l(cid:254) b(cid:240)i (cid:240) v‚ tr¡i ta c(cid:226)

Fz = Fz−2 + Fz−1 = 2Fz−2 + Fz−3

Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh.

(b) Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) phƒn (a).

BŒ (cid:31)• 2.4.2. (a) Cho sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng p ≥ 3 th(cid:228)a m¢n

0 = F−u(3) + ... + F−u(p) + Fz−o,

v(cid:238)i u(i) ≤ z − o + 1. Khi (cid:31)(cid:226) u(p) = z − o + 1. (b) Cho sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng p ≥ 3 th(cid:228)a m¢n

Fz−(o+1) = F−u(3) + ... + F−u(p),

v(cid:238)i u(i) ≤ z − (o + 1) + 1. Khi (cid:31)(cid:226) u(p) = z − (o + 1) + 1.

(∗) Chøng minh. (a) Trong (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc: 0 = F−u(3) +· · ·+Fu(p) +Fz−o

(cid:88)

K‰ hi»u K = {i : u(i) l(cid:160) chﬁn} J = {j : u(j) l(cid:160) l·} Khi (cid:31)(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (*) c(cid:226) th” vi‚t l(cid:160)

i∈K

j∈J

0 = F−u(i) + F−u(j) + Fz−o,

F−u(i) = −Fu(i), ∀i ∈ K

v(cid:160)

F−u(j) = Fu(j), ∀j ∈ J.

(cid:88)

Khi chuy”n v‚ t§t c£ c¡c h⁄ng tß c(cid:226) d§u ¥m trong (*) sang v‚ tr¡i ta c(cid:226)

j∈I

(cid:88)

i∈K Gi£ sß ∀i ∈ K, ta lu(cid:230)n c(cid:226) u(i) (cid:54) z − o − 1. Khi (cid:31)(cid:226) theo bŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226):

(∗∗) Fz−o (cid:54) Fz−o + Fu(i). Fu(j) =

i∈K Tł (**) suy ra Fz−o < Fz−o v(cid:230) l(cid:254). (cid:30)i•u (cid:31)(cid:226) chøng t(cid:228) t(cid:231)n t⁄i i ∈ k (cid:31)” u(i) = z − o + 1. (V… z l(cid:160) sŁ chﬁn, o l(cid:160) sŁ l·, n¶n sŁ chﬁn ti‚p theo cıa z −o−1 l(cid:160) z −o+1). Do u(i) l(cid:160) l(cid:238)n nh§t khi i = p, n¶n ta c(cid:226)

Fu(i) < Fz−o.

u(p) = z − o + 1.

(b) Chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) phƒn (a).

BŒ (cid:31)• 2.4.3. Kh(cid:230)ng th” x£y ra (cid:31)(cid:231)ng th(cid:237)i u(1) = z − 1 v(cid:160) u(n) = z − 1.

Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, thay th‚, u(1) = z − 1 v(cid:160) u(n) = z − 1 v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.4), ta c(cid:226)

(2.5) 0 = F−u(3) + F−u(4) + ... + F−u(n−1) + Fz−3

V(cid:238)i 3 ≤ i ≤ n − 1, ta c(cid:226) u(i) ≤ z − 2 v… u(i) ≤ u (n − 1) < u(n) = z − 1. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.4.2 (a) ta c(cid:226) u (n − 1) = z − 2. Do (cid:31)(cid:226), tł t‰nh chﬁn cıa z suy ra

F−(z−3) + F−u(n−1) = Fz−3 − Fz−2 = −Fz−4.

Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) th(cid:160)nh

Fz−4 = F−u(3) + ... + F−u(n−2),

v(cid:238)i u(i) ≤ z − 3.

N‚u n − 2 ≥ 3 ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) u (n − 2) = z − 3. Trł hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh cho Fz−4 ta (cid:31)(cid:247)æc

0 = F−u(3) + ... + F−u(n−3) + Fz−5,

v(cid:238)i u(i) ≤ z − 4. N‚u n − 3 ≥ 3 ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) u (n − 3) = z − 4. Do Fz−5 + F−(z−4) = −Fz−6, n‚u n − 4 ≥ 3 ta c(cid:226) th” chuy”n Fz−6 sang b¶n tr¡i v(cid:160) ti‚p t(cid:246)c ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) u (n − 4) = z − 5.

Ti‚p t(cid:246)c quy n⁄p cho u(j) = z − (n + 1 − j), v(cid:238)i j = 3, 4, ..., n. Thay c¡c gi¡ tr(cid:224) n(cid:160)y v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5) v(cid:160) sß d(cid:246)ng gi£ thi‚t u(1) = z − 1 ta c(cid:226)

Fz = Fz−1 + (Fz−1 − Fz−2 + Fz−3...) .

Theo BŒ (cid:31)• 2.3.7 v‚ b¶n ph£i cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh n(cid:160)y b(cid:224) ch(cid:176)n tr¶n ch(cid:176)t b(cid:240)i Fz−1 + Fz−2 = Fz, (cid:31)i•u n(cid:160)y d¤n (cid:31)‚n m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) c£ u(1) v(cid:160) u(n) b‹ng z − 1 l(cid:160) sai.

H» qu£ 2.4.4. Ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.4) kh(cid:230)ng th” suy ra ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.5).

BŒ (cid:31)• 2.4.5. N‚u (2.4) x£y ra th… c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng.

(a) u(n) = z − 1. (b) N‚u n > 3 th… u(n) < z − 2. (c) N‚u n > 3 th… u(i) ≤ z − 3, v(cid:238)i i = 3, 4, ..., n − 1.

(cid:88)

Chøng minh. (a) Theo BŒ (cid:31)• 2.4.1 ta c(cid:226) u(j) = z − 1 v(cid:238)i j n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Theo BŒ (cid:31)• 2.4.1 trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.4) ho(cid:176)c j = 1 ho(cid:176)c j = n. Theo c¡c BŒ (cid:31)• 2.4.1(b) v(cid:160) 2.4.3, j (cid:54)= 1. Do (cid:31)(cid:226) j = n. V“y ta c(cid:226) u(n) = z − 1 (b) Theo c¡c BŒ (cid:31)• 2.4.5(a) v(cid:160) 2.4.3, u(1) (cid:54)= z − 1. Gi£ sß u(1) = z − 2, theo BŒ (cid:31)• 2.4.5(a) v(cid:160) 2.4.1 , ta c(cid:226) Fz = Fu(1) + F−u(n) = Fz−2 + Fz−1 l(cid:160) mºt nh¥n tŁ th(cid:252)c s(cid:252) cıa (2.4), m¥u thu¤n v(cid:238)i gi£ thi‚t, v… n > 3. Do (cid:31)(cid:226) u(1) < z − 2. (c) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng u (n − 1) = z −2. Theo (a), (b), ta c(cid:226) u(n) = z −1 v(cid:160) u(1) ≤ z − 3. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.4), ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤z−3

Fz + Fi = Fu(1) + Fi+Fu(n−1) + Fu(n) < Fz−3 + Fz−1 < Fz.

Ta c(cid:226) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i 3 ≤ i ≤ n − 1 sao cho u(i) ≤ u (n − 1) < z − 2 l(cid:160) th(cid:228)a m¢n y¶u cƒu.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau l(cid:160) k‚t qu£ ch‰nh (cid:31)ƒu ti¶n cıa ti‚t n(cid:160)y.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.6. Cho sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng m ≥ 3 v(cid:160) {b, x(1), x(3), . . . , x(m)} l(cid:160) mºt nghi»m nguy¶n tŁ, l(cid:238)n, chﬁn cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2). Gi£ sß r‹ng x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i. Khi (cid:31)(cid:226) ((cid:31)Łi v(cid:238)i mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng l· o), ta c(cid:226):

{x(1), x(3), x(4), ..., x(m)} = {b − o − 1, b − o, b − o + 2, ..., b − 1} .

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.4.5 (a) v(cid:238)i n = m, z = b, u(i) = x(i) ta th§y x(m) = z − 1. N‚u m = 3 th…

Fx(1) = Fb − F−x(3) = Fb − Fb−1 = Fb−2

suy ra (cid:31)i•u ph£i chøng minh. N‚u m > 3 v(cid:160) trł c£ hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) cho Fz−1 = Fb−1 ta c(cid:226)

Fb−2 = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m−1).

Theo BŒ (cid:31)• 2.4.5, x(i) < b − 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i. Do (cid:31)(cid:226) v… m − 1 ≥ 3 ¡p d(cid:246)ng mºt lƒn nœa BŒ (cid:31)• 2.4.5 (a) v(cid:238)i n = m − 1, z = b − 2, u(i) = x(i) cho ta

x (m − 1) = z − 1 = b − 3.

2.5 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp t(cid:231)n t⁄i i (cid:31)” x(i) ≥ b

N‚u m − 2 ≥ 3 ch(cid:243)ng ta c(cid:226) th” trł c£ hai v‚ cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh cho Fb−3 v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.4.5 ta c(cid:226) x(i) < b − 4. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.4.5 (a) v(cid:238)i z = b − 4, u(i) = x(i), n = m − 2. Khi (cid:31)(cid:226) x (m − 2) = b − 5. Ti‚p t(cid:246)c qu¡ tr…nh n(cid:160)y, b‹ng quy n⁄p ta c(cid:226) Fb = Fx(1) + F−(b−o) + F−(b−o+2) + ... + F−(b−3) + F−(b−1). Do (cid:31)(cid:226) theo BŒ (cid:31)• 2.3.7 th… x(1) = b − o − 1.

Trong phƒn n(cid:160)y ta s‡ ch¿ ra r‹ng n‚u trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), x(i) ≥ b v(cid:238)i i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226), th… t“p {x(i) : x(i) > b} ho(cid:176)c b‹ng t“p {b + 1} ho(cid:176)c b‹ng t“p {b + 2, b + 4, ..., b + o(cid:48)(cid:48) + 1, b + o(cid:48)(cid:48) + 2}.

Gi£ sß n, z, u(k), k = 1, 3, 4, ..., l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n sao cho

(2.6) Fz = Fu(1) + F−u(3) + F−u(4) + ... + F−u(n)

l(cid:160) mºt (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc l(cid:238)n, nguy¶n tŁ, chﬁn v(cid:238)i u(1) < z, u(3) < u(4) < . . . < u(n), n ≥ 3 v(cid:160) v(cid:238)i u(i) ≥ z v(cid:238)i i ≥ 3 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (cid:30)” thu“n ti»n cho vi»c tr…nh b(cid:160)y ta k‰ hi»u: LST: l(cid:160) v‚ tr¡i cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau khi chuy”n t§t c£ c¡c sŁ h⁄ng ¥m

tł ph‰a b¶n ph£i sang b¶n tr¡i.

RST: l(cid:160) v‚ ph£i cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh sau khi chuy”n t§t c£ c¡c sŁ h⁄ng ¥m

tł ph‰a b¶n ph£i sang b¶n tr¡i.

BŒ (cid:31)• 2.5.1. Gi£ sß ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) x£y ra. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng.

(a) u(j) > z v(cid:238)i j n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (b) N‚u u(j) − z l(cid:160) sŁ l· th… gi¡ tr(cid:224) l(cid:238)n nh§t u(j) ≥ z x£y ra t⁄i j = n. (c) Gi£ sß u(n) = z + o. N‚u o ≥ 3 th… u (n − 1) = z + o − 1. (d) Gi£ sß u(n) = z + o v(cid:160) u (n − 1) = z + o − 1, v(cid:238)i o ≥ 3. Khi (cid:31)(cid:226)

u (n − 2) < z + o − 2.

(cid:88)

i∈J≤z−1

i∈K≤z−2

Chøng minh. (a) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i u(j) ≤ z v(cid:238)i m(cid:229)i j, tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) ta c(cid:226) u(j) = z (cid:31)Łi v(cid:238)i mºt sŁ j ≥ 3. Do (cid:31)(cid:226) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) suy ra u(n) = z v(cid:160) u(j) ≤ z − 1 v(cid:238)i j < n. V… th‚ ch¿ sŁ l· l(cid:238)n nh§t cıa v‚ b¶n ph£i l(cid:160) z − 1. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226) (cid:88) Fi < Fz−1 + Fz < Fz + Fz, Fz + Fz + Fi = Fu(1) +

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n v… trong (cid:31)(cid:226) K l(cid:160) t“p c¡c ch¿ sŁ chﬁn, J l(cid:160) t“p c¡c ch¿ sŁ l· trong (2.6). Do (cid:31)(cid:226) u(j) > z v(cid:238)i j n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (b) B(cid:240)i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6) v(cid:160) theo (a) ch¿ sŁ l(cid:238)n nh§t x£y ra (cid:240) v(cid:224) tr‰ n. Gi£ sß u(n) = z + o + 1, ngh(cid:190)a l(cid:160) u(n) − z l(cid:160) sŁ chﬁn. Khi (cid:31)(cid:226), ch¿ sŁ l· l(cid:238)n nh§t (cid:240) ph‰a b¶n ph£i l(cid:160) z + o. Do (cid:31)(cid:226) sau khi chuy”n c¡c sŁ ¥m sang v‚ b¶n tr¡i ch(cid:243)ng ta c(cid:226)

RST = Fu(1) + S (z + o) < Fz + Fz+o+1 ≤ LST

m¥u thu¤n. V… v“y u(n) − z ph£i l(cid:160) sŁ l·. (c) Cho u(n) = z + o v(cid:160) gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i u (n − 1) = z + o − 1. Tł ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh (2.6) ta c(cid:226) u(j) < z + o − 1 v(cid:238)i m(cid:229)i j ≤ n − 1. V… z chﬁn, ch¿ sŁ chﬁn l(cid:238)n nh§t cıa v‚ b¶n ph£i l(cid:160) z + o − 3. Do (cid:31)(cid:226), sau khi chuy”n c¡c sŁ ¥m sang b¶n tr¡i v(cid:160) sß d(cid:246)ng gi£ thi‚t o ≥ 3 ta c(cid:226)

LST = Fz + S (z + o − 3) < Fz + Fz+o+2 ≤ Fz+o ≤ RST,

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) u (n − 1) = z + o − 1. (d) Cho u(n) = z + o, u (n − 1) = z + o − 1 v(cid:160) gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i u (n − 2) = z + o − 2. Tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.6), ch¿ sŁ chﬁn l(cid:238)n nh§t cıa v‚ b¶n ph£i cho j ≤ n − 3 l(cid:160) z + o − 3. V… u(i) ≥ z n¶n (cid:31)Łi v(cid:238)i i ≥ 3 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226)

F−u(n) + F−u(n−1) + F−u(n−2) = 2Fz+o−2.

Do (cid:31)(cid:226) sau khi chuy”n c¡c sŁ ¥m sang b¶n ph£i ta c(cid:226)

LST = Fz + S (z + o − 3) < Fz + Fz+o−2 < 2Fz+o−2 ≤ RST,

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) u (n − 2) < z + o − 2.

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.2. Cho b, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m), m ≥ 4 l(cid:160) mºt nghi»m nguy¶n tŁ, l(cid:238)n v(cid:160) chﬁn cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2). Gi£ sß r‹ng x(i) ≥ b v(cid:238)i mºt sŁ i (cid:54)= 2 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Khi (cid:31)(cid:226) ho(cid:176)c

x(m) = b + 1 (2.7)

ho(cid:176)c

(2.8) x(m) = b + o(cid:48)(cid:48) + 2, x (m − 1) = b + o(cid:48)(cid:48) + 1, x (m − 2) = b + o(cid:48)(cid:48) − 1, . . . , x (m − j) = b + 2,

v(cid:238)i j l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1 (b), v(cid:238)i z = b, u(j) = x(j), n = m, ta c(cid:226) x(m) = b + o. N‚u o = 1 th… (2.7) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng.

N‚u o > 1 th… v… o l(cid:160) sŁ l· n¶n o ≥ 3. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1 (c), v(cid:238)i

z = b, u(j) = x(j), n = m, ta c(cid:226)

x (m − 1) = b + o − 1.

T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1 (d) ta c(cid:226) x (m − 2) < b + o − 2. V… b l(cid:160) sŁ chﬁn v(cid:160) o l(cid:160) sŁ l· n¶n ta c(cid:226)

F−x(m) + F−x(m−1) = F−(b+o) + F−(b+o−1) = F−(b+o−2).

Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc r(cid:243)t g(cid:229)n th(cid:160)nh

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(m−2) + F−(b+o−2).

N‚u o = 3 th… x(m) = b + o = b + 3, x (m − 1) = b + o − 1 = b + 2. Do (cid:31)(cid:226) (2.8) l(cid:160) th(cid:228)a m¢n v(cid:238)i o(cid:48)(cid:48) = 1 v(cid:160) j = 1. N‚u o ≥ 5 th… v… o < x(1) < b v(cid:160)

x(3) < x(4) < ... < x (m − 2) < b + o − 2

n¶n ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1, v(cid:238)i

z = b, u(i) = x(i), i = 1, 3, 4, . . . , m − 2, u (m − 1) = b + o − 2, n = m − 1,

ta (cid:31)(cid:247)æc x (m − 2) = b + o − 3 v(cid:160) x (m − 3) < b + o − 4.

Ti‚p t(cid:246)c qu¡ tr…nh v(cid:160) ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1 cho (cid:31)‚n khi x (m − j) = b + 2

v(cid:238)i mºt sŁ j n(cid:160)o (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

x(m) = b+o, x (m − 1) = b+o−1, x (m − 2) = b+o−3, ..., x (m − j) = b+2.

(cid:30)(cid:176)t o(cid:48)(cid:48) = o − 2 ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.5.1 ta c(cid:226) mºt h» qu£ quan tr(cid:229)ng sau.

k∈J F−x(k) = Fb+1 v(cid:238)i J = {j0 + 1, j0 + 2, . . . , m}.

H» qu£ 2.5.3. Gi£ sß trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) x(i) ≥ b v(cid:238)i mºt sŁ i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Khi (cid:31)(cid:226) v(cid:238)i sŁ nguy¶n j0 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226), ta c(cid:226)

j∈S2

(i) (cid:80) (ii) N‚u k kh(cid:230)ng thuºc t¥p J th… x(k) ≤ b. (iii) x (j0) = b. (iv) {x(1), x(3), . . . , x(m)} = S1 ∪ {x(j0)} ∪ S2 v(cid:238)i S1 = {x(j) : j < j0} j∈S1−{x(1)} F−x(j) = Fb−2, x (j0) = b v(cid:160) v(cid:160) S2 = {x(j) : j > j0} v(cid:238)i Fx(1) + (cid:80) (cid:80) F−x(j) = Fb+1.

Chøng minh. (i) (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.7 cho (2.8) ta c(cid:226) (i). (ii) Theo gi£ thi‚t cıa (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.2 th… ho(cid:176)c (2.7) ho(cid:176)c (2.8) x£y ra. N‚u (2.7) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng, theo ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ta c(cid:226) x(k) ≤ b, v(cid:238)i k ≤ m − 1 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). N‚u (2.7) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng theo ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), x(k) ≤ b + 1 v(cid:238)i k ≤ j0. Do (cid:31)(cid:226) (cid:31)” chøng minh x(k) < x (j0) ≤ b v(cid:238)i k ≤ j0 ta gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng x (j0) = b + 1. Theo (i) ta c(cid:226) th” vi‚t l⁄i ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) nh(cid:247) sau

(2.9) Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(j0+1) + F−x(j0) + Fb+1

(cid:88)

(cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho (2.9), ta c(cid:226)

k∈L

k∈K≤b

Fk + Fb+1+Fb+1 > 2Fb+1, Fi = Fb + Fb+1 > Fb +

(cid:88)

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) x(k) ≤ b. (iii) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i x(k) (cid:54)= b v(cid:238)i m(cid:229)i k. (cid:30)(cid:176)t J v(cid:160) j nh(cid:247) trong (i). (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho (2.9) ta (cid:31)(cid:247)æc

k∈K

k∈K≤b−2

j∈S2

Fi + Fb+1 > Fb+1, Fb+1 = Fb + Fb−1 > Fb + Fi = Fx(1) +

(cid:88)

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) t(cid:231)n t⁄i j0 sao cho x (j0) = b. (iv) (cid:30)«t j0 nh(cid:247) trong (iii). (cid:30)(cid:224)nh ngh(cid:190)a c¡c t“p con S1 v(cid:160) S2 theo c¡c b§t ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh, j < j0, j (cid:54)= 1 v(cid:160) j > j0 t(cid:247)(cid:236)ng øng. Theo (i), (cid:80) F−x(j) = Fb+1 v(cid:160) theo (iii) F−x(jo) = F−b. Do (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) (cid:31)(cid:247)æc vi‚t l⁄i nh(cid:247) sau:

j∈S1

j∈S2

2.6 Mºt sŁ k‚t qu£ v• t‰nh ch§t cıa t“p S1

Fb = Fx(1) + F−x(j) = Fb−2, F−x(j) = Fb+1.

M(cid:246)c (cid:31)‰ch cıa phƒn n(cid:160)y l(cid:160) m(cid:230) t£ (cid:31)ƒy (cid:31)ı c§u tr(cid:243)c cıa t“p S1 (cid:31)(cid:247)æc x¡c

(cid:88)

(cid:31)(cid:224)nh trong H» qu£ 2.5.3. Trong H» qu£ 2.5.3(iv) ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc

j∈S1−{x(1)}

(2.10) Fx(1) + F−x(j) = Fb−2.

(cid:30)(cid:176)t k = inf {i : S1 ≤ x(i)}. Theo H» qu£ 2.5.3 (iv), ta c(cid:226) n‚u k = 1 th… x(1) = b − 2. Do (cid:31)(cid:226) trong phƒn cÆn l⁄i ch(cid:243)ng ta gi£ sß k ≥ 3. Khi (cid:31)(cid:226) k = j0 − 1.

BŒ (cid:31)• 2.6.1. N‚u x(i) ≤ b − 3, v(cid:238)i 1 ≤ i ≤ k, th…:

{x(1), x(3), x(4), . . . , x(k)} = {b − o − 3, b − o − 2, b − o, . . . , b − 3}

(2.11)

Chøng minh. (cid:129)p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.6 b‹ng c¡ch thay b b(cid:240)i b − 2 v(cid:160) m (cid:31)(cid:247)æc thay b(cid:240)i k. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c gi£ thi‚t cıa bŒ (cid:31)• 2.6.1 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n v…:

(i) Gi£ thi‚t cıa (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.6 v(cid:238)i m ≥ 3 (cid:31)(cid:247)æc th(cid:228)a m¢n v… k ≥ 3. (ii) b − 2 l(cid:160) sŁ chﬁn v… b l(cid:160) sŁ chﬁn. (iii) x(1) ≤ b − 3 = (b − 2) − 1 theo gi£ thi‚t. (iv) B§t (cid:31)ﬂng thøc 2 ≤ x(i) ≤ b − 3 suy ra 5 ≤ b ho(cid:176)c b − 2 > 2. (v) N‚u (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (2.10) kh(cid:230)ng x£y ra, th… (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (2.2) c(cid:244)ng kh(cid:230)ng x£y ra. Do (cid:31)(cid:226) theo (cid:30)(cid:224)nh l‰ 2.4.6 thay b b(cid:240)i b − 2 ta c(cid:226) (2.11).

BŒ (cid:31)• 2.6.2. Gi£ sß

x(i) ≥ b − 2 v(cid:238)i mºt sŁ i, 1 ≤ i ≤ k n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (2.12)

Ta c(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng.

(i) x(i) = b − 1 v(cid:238)i mºt sŁ i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). (ii) Kh(cid:230)ng th” c(cid:226) x(1) = b − 1 = x(k). (iii) Kh(cid:230)ng th” c(cid:226) x(1) = b − 1 v(cid:160) x(j) ≤ b − 2, v(cid:238)i 3 ≤ j ≤ k. (iv) x(k) = b − 1.

(cid:88)

Chøng minh. (i) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i x(i) ≤ b − 2 v(cid:238)i m(cid:229)i i. Theo (cid:31)i•u ki»n (2.12) ta c(cid:226) ngay x(i) = b − 2 v(cid:238)i mºt sŁ i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Ch(cid:243)ng ta kh(cid:230)ng th” c(cid:226) i = 1 v… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Fx(1) = Fb−2 k‚t hæp v(cid:238)i k ≥ 3 m¥u thu¤n v(cid:238)i x(1) ≤ b − 3 = (b − 2) − 1 trong BŒ (cid:31)• 2.6.1. V“y x(i) = b − 2 v(cid:238)i i ≥ 3 n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Do (cid:31)(cid:226) tł ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), ta c(cid:226) i = k v(cid:160) x(j) ≤ b − 3 v(cid:238)i j < k. Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho (2.10) ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤b−3

Fb−2 + Fb−2 + Fi < Fb−3+Fb−2 ≤Fb−2 + Fb−2, Fi = Fx(1) +

(cid:88)

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. V… v“y t(cid:231)n t⁄i i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226) (cid:31)” x(i) = b − 1. (ii) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, th… Fb−2 = Fb−1 + F−x(3) + . . . + F−x(k−1) + Fb−1. Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta (cid:31)(cid:247)æc

i∈J

i∈K≤b−2

Fb−1 + Fb−1 + Fi = Fb−2 + Fi < Fb−2+Fb−1,

(cid:31)i•u n(cid:160)y m¥u thu¤n. V… v“y kh(cid:230)ng th” x£y ra x(1) = b − 1 = x(k). (iii) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i x(1) = b − 1 v(cid:160) x(i) = b − 1 v(cid:238)i j ≥ 3. Trł Fb−2 tł c£ hai ph‰a cıa (2.10) ta c(cid:226)

0 = Fb−3 + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(k),

m¥u thu¤n v(cid:238)i H» qu£ 2.4.4. (iv) Theo (cid:31)(cid:224)nh ngh(cid:190)a n‚u i ∈ S1 th… x(i) < b. Theo ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2), x(i) l(cid:160) l(cid:238)n nh§t x£y ra khi i = k ho(cid:176)c i = 1. Do (cid:31)(cid:226) tł (i), (ii) v(cid:160) (iii) ta c(cid:226) x(k) = b − 1.

Theo BŒ (cid:31)• 2.6.2 (iv) c(cid:226) mºt sŁ nguy¶n l(cid:238)n nh§t p, v(cid:238)i 1 ≤ p ≤ k − 2

sao cho

{x(k), x (k − 1) , . . . , x (k − (p − 1))} = {b − 1, b − 2, . . . , b − p} . (2.13)

Ta th§y, n‚u k − (p − 1) > 3, th… tł t‰nh ch§t l(cid:238)n nh§t cıa p, ta c(cid:226) x (k − p) ≤ b − p − 2. T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252), n‚u k − (p − 1) = 3 th… x(1) ≤ b − p − 2. Th“t v“y, cho k − (p − 1) = 3 v(cid:160) gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng x(1) = b − p − 2. Thay (2.13) v(cid:160)o (2.10) ta (cid:31)(cid:247)æc

Fb−2 = Fb−1 − Fb−2 + Fb−3 − Fb−4 . . . ,

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n v(cid:238)i BŒ (cid:31)• 2.3.4. Ti‚p theo ch(cid:243)ng ta s‡ nghi¶n cøu v• c§u tr(cid:243)c cıa S1 b‹ng c¡ch x†t ba tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cıa p v(cid:160) k‰ch th(cid:247)(cid:238)c cıa k − (p − 1).

BŒ (cid:31)• 2.6.3. Gi£ sß ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.13) l(cid:160) cŁ (cid:31)(cid:224)nh. Khi (cid:31)(cid:226) c¡c ph¡t bi”u sau l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng

(i) N‚u p l(cid:160) chﬁn v(cid:160) k − (p − 1) = 3 th…

{x(1), x(3), x(4), ..., x(k)} = {b − o − 3, b − o − 1, b − o, ..., b − 1} . (2.14)

(ii) N‚u p l(cid:160) chﬁn v(cid:160) k − (p − 1) > 3 th… v(cid:238)i mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng j n(cid:160)o

(cid:31)(cid:226),

{x(1), x(3), x(4), ..., x(j), x (j + 1) , x (j + 2) , ..., x(k)} = {b − o − 4 − o(cid:48), b − o − 3 − o(cid:48), b − o − 1 − o(cid:48), ..., b − o − 4} (2.15)

∪ {b − o − 1, b − o, ..., b − 1}.

(cid:3) , ( b(cid:240)i (2.10))

(iii) p kh(cid:230)ng th” l(cid:160) sŁ l·.

(cid:1)(cid:3)

Chøng minh. (i) Theo gi£ thi‚t ta c(cid:226) Fx(1) = Fb−2 − (cid:2)F−x(k) + F−x(k−1) + ... + F−x(k−(p−1))

= Fb−2 − (cid:2)(Fb−1 − Fb−2) + (Fb−3 − Fb−4) + ... + (cid:0)Fb−(p−1) − Fb−p = Fb−2 − Fb−3 − Fb−5 − Fb−7 − ... − Fb−(p+1) = Fb−(p+2) (theo BŒ (cid:31)• 2.3.4),

(cid:240) (cid:31)¥y d§u (cid:31)ﬂng thøc thø hai l(cid:160) do (2.13). (cid:30)(cid:176)t o = p + 1 th… ta c(cid:226) (2.14). (ii) T(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) nh(cid:247) trong chøng minh phƒn (i) ta c(cid:226)

(cid:3)

(cid:1)(cid:3)

Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(k−p)

(2.16) = Fb−2 − (cid:2)F−x(k) + F−x(k−1) + ... + F−x(k−(p−1)) = Fb−2 − (cid:2)(Fb−1 − Fb−2) + (Fb−3 − Fb−4) + ... + (cid:0)Fb−(p−1) − Fb−p = Fb−2 − Fb−3 − Fb−5 − Fb−7 − ... − Fb−(p+1) = Fb−(p+2).

Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta ch¿ ra r‹ng x(j) ≤ b − (p + 3) v(cid:238)i 3 ≤ j ≤ k − p. Do t‰nh tŁi (cid:31)⁄i cıa p trong (2.13) ta c(cid:226) x(j) ≤ b − (p + 2) v(cid:238)i 3 ≤ j ≤ k − p. H(cid:236)n nœa, n‚u x (k − p) = b − (p + 2) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng th… (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (2.16) s‡ kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng, v(cid:160) v… v“y (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (2.10) s‡ kh(cid:230)ng x£y ra. V… th‚ x(j) ≤ b − (p + 3).

(cid:88)

Ti‚p theo ta ch¿ ra r‹ng x(1) ≤ b − (p + 3). N‚u x(1) = b − (p + 2) th… (2.16) s‡ kh(cid:230)ng (cid:31)(cid:243)ng. M(cid:176)t kh¡c n‚u x(1) ≥ b − (p + 1) th… BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho (2.16) ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤b−(p+2)

Fi = Fx(1) + Fi < Fb−(p+1) ≤Fx(1),

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. V“y x(1) ≤ b − (p + 3).

V… x(1) ≤ b − (p + 3) v(cid:238)i m(cid:229)i i n¶n ¡p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.2 cho (2.16) v(cid:238)i

b − (p + 2) thay th‚ cho b, suy ra v(cid:238)i mºt sŁ chﬁn q ta c(cid:226)

x(1) = (b − p − 2) − q,

x(3) = (b − p − 2) − q + 1,

x(4) = (b − p − 2) − q + 3,

· · · ,

x(k − p) = (b − p − 2) − 1.

X¡c (cid:31)inh o v(cid:160) o(cid:48) tł c¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(b − p − 2) − q = b − o − 4 − o(cid:48)

v(cid:160) b − o − 4 = b − q − 3. V… b, q, v(cid:160) p chﬁn ngay c£ khi o v(cid:160) o(cid:48) l(cid:160) l·. K‚t hæp nhœng k‚t qu£ n(cid:160)y v(cid:238)i (2.13) ta c(cid:226) (cid:31)(cid:231)ng nh§t thøc (2.16).

(cid:3) + F−x(k−p)

(cid:3) + F−x(k−p) + F−x(k−p−1)

(iii) Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng (2.13) l(cid:160) (cid:31)(cid:243)ng v(cid:238)i p ≥ 1, p l·. (cid:30)” thu“n ti»n cho tr…nh b(cid:160)y, tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ta gi£ sß p ≥ 3. Khi (cid:31)(cid:226)

0 = (cid:2)F−x(k) − Fb−2 + F−x(k−1) + ... + F−x(k−(p−1)) + F−x(k−p−1) + ... + F−x(3) + Fx(1), ( theo (2.10)) = Fb−1 − Fb−2 + (−Fb−2 + Fb−3) + (−Fb−4 + Fb−5) + ... + (−Fb−(p−1) + Fb−p) + F−x(k−p) + F−x(k−p−1) + ... + F−x(3) + F−x(1), theo (2.13) = (cid:2)Fb−3 − Fb−4 − Fb−6 − ... − Fb−(p+1) + ... + F−x(3) + Fx(1) = Fb−(p+2) + F−x(k−p) + F−x(k−p−1) + ... + F−x(3) + Fx(1),

(2.17)

(cid:8)x(j) : j ≤ k − p, x(j) chﬁn(cid:9) ≤ b − p − 3,

Do t‰nh tŁi (cid:31)⁄i cıa p trong (2.13) ta c(cid:226)

(cid:88)

v(cid:238)i 3 ≤ j ≤ p. Do (cid:31)(cid:226) ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh cuŁi trong (2.17) ta (cid:31)(cid:247)æc

i∈J

i∈K≤b−p−3

Fb−p−2 + Fi = Fi < Fb−p−2.

N‚u p = 1 chøng minh t(cid:247)(cid:236)ng t(cid:252) ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

Tł c¡c k‚t qu£ tr¶n ta c(cid:226) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

2.7 Tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b l·

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.6.4. Cho m ≥ 3 v(cid:160) p, x(1), x(3), x(4), . . . , x(m) l(cid:160) mºt nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n, chﬁn cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2). Gi£ sß r‹ng v(cid:238)i mºt sŁ i, x(i) ≥ b th… t(cid:231)n t⁄i duy nh§t j0, v(cid:238)i x(j0) = b. (cid:30)(cid:176)t S1 = {x(i) : i < j0} v(cid:160) k = sup S1 th… ho(cid:176)c k = 1 v(cid:160) x(k) = b−2 ho(cid:176)c mºt trong (2.11), (2.14), (2.15) ph£i (cid:31)(cid:243)ng.

Trong c¡c phƒn tr(cid:247)(cid:238)c ta (cid:31)¢ m(cid:230) t£ (cid:31)ƒy (cid:31)ı t§t c£ c¡c nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n, chﬁn cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2). Ch(cid:243)ng ta (cid:31)¢ ch¿ ra r‹ng c¡c nghi»m n(cid:160)y (cid:31)(cid:247)æc m(cid:230) t£ b(cid:240)i 9 d⁄ng trong (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n. Tuy nhi¶n v(cid:238)i tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b l(cid:160) l· th… v¤n ch(cid:247)a rª r(cid:160)ng. Trong phƒn n(cid:160)y ch(cid:243)ng ta chøng minh mºt sŁ c¡c bŒ (cid:31)• khﬂng (cid:31)(cid:224)nh r‹ng kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m t(cid:231)n t⁄i trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b l(cid:160) sŁ l·.

BŒ (cid:31)• 2.7.1. Kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i.

Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng c(cid:226) mºt nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n trong ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i. Theo ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2)

x(1) ≤ b − 1 v(cid:160) (cid:8)x(i) : x(i) l·(cid:9) ≤ b − 2.

Ta x†t ba tr(cid:247)(cid:237)ng hæp sau:

N‚u x(1) = b − 1 v(cid:160) x(i) = b − 2 v(cid:238)i mºt sŁ i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). Khi (cid:31)(cid:226) ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh con Fb = Fx(1) + F−x(i) vi ph⁄m nguy¶n t›c khi m > 3.

N‚u x(1) = b − 1 v(cid:160) c¡c ch¿ sŁ x(i) l(cid:160) l· v(cid:238)i i ≥ 3 (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:176)n tr¶n b(cid:240)i

b − 4. Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6, ta c(cid:226)

RST = Fx(1) + S (b − 2) < Fb−2 + Fb−1 = Fb ≤ LST,

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n.

N‚u x(1) ≤ b − 2 v(cid:160) c¡c ch¿ sŁ x(i) l(cid:160) l· v(cid:238)i i ≥ 3 (cid:31)(cid:247)æc ch(cid:176)n tr¶n b(cid:240)i

b − 2. Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226)

RST = Fx(1) + S (b − 2) < Fb−2 + Fb−1 = Fb ≤ LST,

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

BŒ (cid:31)• 2.7.2. Kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(i) = b v(cid:238)i i n(cid:160)o (cid:31)(cid:226).

Chøng minh. Rª r(cid:160)ng n‚u b l· th… ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh Fb = Fb vi ph⁄m t‰nh nguy¶n tŁ. Do (cid:31)(cid:226) ta c(cid:226) (cid:31)i•u cƒn chøng minh.

BŒ (cid:31)• 2.7.3. Kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(m) = b + o.

(cid:88)

Chøng minh. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i, c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(m) = b + o. V… b l(cid:160) sŁ l· n¶n b + o l(cid:160) sŁ chﬁn. Nh(cid:247) v“y gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa c¡c ch¿ sŁ l· (cid:240) b¶n ph£i l(cid:160) b + o − 1. H(cid:236)n nœa, theo BŒ (cid:31)• 2.7.2 ta c(cid:226) x(i) (cid:54)= b v(cid:238)i m(cid:229)i i. Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤b+o−1

Fi < Fb−1 + Fb+o − Fb < Fb+o < Fb+o, Fb + Fb+o + Fi = Fx(1) +

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n.

Tr(cid:247)(cid:238)c khi x†t tr(cid:247)(cid:237)ng hæp cuŁi c(cid:242)ng ta cƒn bŒ (cid:31)• sau.

BŒ (cid:31)• 2.7.4. Gi£ sß

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−x(n),

v(cid:238)i 2 < x(1) < n, 2 < x(3) < x(4) < ... < x(n). Gi£ sß th¶m x(n), p l(cid:160) c¡c sŁ l· th(cid:228)a m¢n x(n) > p, n ≥ 4. Khi (cid:31)(cid:226) x (n − 1) = x(n) − 1 v(cid:160) x (n − 2) < x(n) − 2.

(cid:88)

Chøng minh. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n ch(cid:243)ng ta chøng minh r‹ng x (n − 1) = x(n) − 1. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i r‹ng x (n − 1) < x(n)−1. (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 cho ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh trong ph¡t bi”u cıa bŒ (cid:31)• ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤x(n)−3

Fi < Fp+ Fx(n) < Fx(1)+Fx(n)+ Fi < Fp+Fx(n)−2 ≤ 2Fx(n)−2 < Fx(n),

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) x (n − 1) = x(n) − 1.

Ti‚p theo ta chøng minh x (n − 2) < x(n)−2. Gi£ sß ng(cid:247)æc l⁄i x (n − 2) =

(cid:88)

x(n) − 2 th… gi(cid:238)i h⁄n tr¶n cıa c¡c ch¿ sŁ chﬁn (cid:240) b¶n ph£i l(cid:160) x(n) − 3. H(cid:236)n nœa, F−x(n) + F−x(n−1) + F−x(n−2) = 2Fx(n)−2. Do (cid:31)(cid:226) ¡p d(cid:246)ng Sß d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.3.6 ta c(cid:226)

i∈J

i∈K≤x(n)−3

Fi < Fp + Fi < Fp + Fx(n)−2 ≤ 2Fx(n)−2, 2Fx(n)−2 + Fx(1) +

(cid:31)i•u n(cid:160)y l(cid:160) m¥u thu¤n. Do (cid:31)(cid:226) x (n − 2) < x(n) − 2.

BŒ (cid:31)• 2.7.5. Kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i b l·, m > 3 v(cid:160) x(m) = b + o + 1.

Chøng minh. Gi£ sß x(m) = b + o + 1. Tr(cid:247)(cid:238)c ti¶n, ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.7.4 v(cid:238)i b = p, n = m, ta c(cid:226) x (m − 1) = b + o v(cid:160) x (m − 2) < b + o − 1. Thay th‚ F−x(m) + F−x(m−1) = Fb+o+1 − Fb+o = Fb+o−1 v(cid:160)o ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) ta c(cid:226)

Fb = Fx(1) + F−x(3) + F−x(4) + ... + F−(b+o−1).

N‚u (o − 1) ≥ 2, ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.7.4 v(cid:238)i b = p, n = m − 1, ta c(cid:226)

x (m − 2) = b + o − 2 v(cid:160) x (m − 3) < b + o − 3. Do (cid:31)(cid:226)

F−(b+o−1) + F−x(m−2) = F−(b+o−3).

Ti‚p t(cid:246)c qu¡ tr…nh (cid:31)‚n khi (cid:31)⁄t (cid:31)(cid:247)æc mºt sŁ r sao cho

x(m) = b + o + 1, x(m − 1) = b + o

x(m − 2) = b + o − 2, · · · , x(m − r) = b + 1.

Theo BŒ (cid:31)• 2.3.4 ta c(cid:226)

F−x(m−r) + F−x(m−r+1) + ... + F−x(m−1) + F−x(m) = F−(b+1) + F−(b+3)

+ ... + F−(b+o) + F−(b+o+1) = Fb.

V… x(1) < b n¶n gi£ thi‚t ban (cid:31)ƒu x(m) = b + o + 1 l(cid:160) kh(cid:230)ng ch‰nh x¡c.

Tł c¡c BŒ (cid:31)• tr¶n ta c(cid:226) (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) sau.

2.8 Chøng minh (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 ( (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) ng¤u nhi¶n)

(cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7.6. V(cid:238)i m > 3, kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n, l· cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2).

Chøng minh. a) V(cid:238)i m = 3, ¡p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.2.1 ta c(cid:226) {b, x(1), x(3)} l(cid:160) nghi»m l(cid:238)n cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) v(cid:238)i

x(1) = b − 1, x(3) = b − 2, ho(cid:176)c x(1) = b − 2, x(3) = b − 1. Ta c(cid:226) (cid:31)i•u ph£i chøng minh. b) V(cid:238)i m > 3 - H» qu£ 2.3.5 (cid:31)¢ khﬂng (cid:31)(cid:224)nh v(cid:238)i b l(cid:160) sŁ chﬁn b§t k…, v(cid:160) v(cid:238)i o, o(cid:48), o(cid:48)(cid:48) l(cid:160) c¡c sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng, l· th… 9 d⁄ng trong (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.3.1 (cid:31)•u l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2).

- N‚u x(i) < b, v(cid:238)i m(cid:229)i i, th… d⁄ng (1) s‡ l(cid:160) nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh

(2.2) theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.4.6.

- N‚u t(cid:231)n t⁄i i, sao cho x(i) ≥ b, theo (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.5.2 ta c(cid:226) ho(cid:176)c x(m) = b + 1, ho(cid:176)c x(m) = b + o(cid:48)(cid:48) +2, x(m − 1) = b + o(cid:48)(cid:48) +1, x(m − 2) = b + o(cid:48)(cid:48) − 1, ...,

x(m − j) = b + 2, v(cid:238)i j l(cid:160) mºt sŁ nguy¶n d(cid:247)(cid:236)ng n(cid:160)o (cid:31)(cid:226). - (cid:129)p d(cid:246)ng h» qu£ 2.3.5, ta th§y t(cid:231)n t⁄i j0 sao cho x(j0) = b, v(cid:160) v(cid:238)i t“p

{x(i) : i > j0} , ho(cid:176)c t“p {x(m) = b + 1} , ho(cid:176)c l(cid:160) t“p

{x(j0 + 1), x(j0 + 2), ..., x(m − 1), x(m)}

= {b + 2, b + 4, ..., b + o(cid:48)(cid:48) + 1, b + o(cid:48)(cid:48) + 2}

V… v“y nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) s‡ c(cid:226) c¡c d⁄ng tł (3) (cid:31)‚n (9). - N‚u t(cid:231)n t⁄i j0 (cid:31)” x(j0) = b, v(cid:238)i t“p {x(i) : i > j0}, (cid:129)p d(cid:246)ng BŒ (cid:31)• 2.6.1, BŒ (cid:31)• 2.6.3, v(cid:160) (cid:30)(cid:224)nh l(cid:254) 2.6.4 ta th§y nghi»m cıa (2.2) c(cid:226) d⁄ng (2.11), (2.14) ho(cid:176)c (2.15).

Ta s‡ c(cid:226) ho(cid:176)c l(cid:160) t“p {x(1) = {b − 1}} , ho(cid:176)c l(cid:160)

{x(1), x(3), ..., x(j0 − 1)} = {b − o − 3, b − o − 1, b − o, ..., b − 1} , ho(cid:176)c l(cid:160) {x(1), x(3), ..., x(j0 − 1)} = {b − o − 3, b − o − 1, b − o, ..., b − 3} , ho(cid:176)c l(cid:160)

{x(1), x(3), ..., x(j0 − 1)} ={b − o − 4 − o(cid:48), b − o − 3 − o(cid:48), b − o − 1 − o(cid:48), }

∪ {, ..., b − o − 4, b − o − 1, b − o, ..., b − 1}

V… v“y nghi»m cıa ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh (2.2) s‡ l(cid:160) mºt trong c¡c d⁄ng tł (2) (cid:31)‚n (9).

- Trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp b l(cid:160) sŁ l·, ¡p d(cid:246)ng (cid:31)(cid:224)nh l(cid:254) 2.7.6 ta th§y ph(cid:247)(cid:236)ng

tr…nh (2.2) kh(cid:230)ng c(cid:226) nghi»m nguy¶n tŁ l(cid:238)n.

K‚t lu“n

Lu“n v«n (cid:31)¢ tr…nh b(cid:160)y nhœng nºi dung ch‰nh nh(cid:247) sau:

1. C(cid:230)ng thøc Binet cho d¢y Fibonacci v(cid:160) d¢y Lucas.

2. B(cid:160)i to¡n 779 v(cid:160) 804.

3. Mºt sŁ kh¡i ni»m v(cid:160) k‚t qu£ li¶n quan (cid:31)‚n ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh tŒng qu¡t v(cid:238)i d¢y Fibonacci.

4. Tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp m = 3, 4.

5. Tr…nh b(cid:160)y l(cid:237)i gi£i trong tr(cid:247)(cid:237)ng hæp tŒng qu¡t.

T(cid:160)i li»u tham kh£o

[1] Andrew Cusumano. Problem B-779. The Fibonacci Quarterly 33.1

(1995) 85.

[2] L. A. G Dresel. Problem B-804. The Fibonacci Quarterly 35.1 (1997)

88.

[3] The Problem Editor. Problem B-779. The Fibonacci Quarterly 34.1

(1996) 84.

[4] Ruawrll Jay Hendel. Linear equalities in Fibonacci numbers.(esented on the Occasjon of Harold Stark’s 65th Birthday). Submitted August 2004-Final Revision February 2005.

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Về phương trình tuyến tính với các số Fibonacci

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƢỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ---------------------------

ĐINH THỊ HUYỀN VỀ PHƢƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH VỚI CÁC SỐ FIBONACCI

Chuyên ngành: Phƣơng pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

PGS.TS. NÔNG QUỐC CHINH

THÁI NGUYÊN - 2019

M(cid:246)c l(cid:246)c

L(cid:237)i c£m (cid:236)n

M(cid:240) (cid:31)ƒu

Ch(cid:247)(cid:236)ng 1

Mºt sŁ ki‚n thøc chu'n b(cid:224)

Ch(cid:247)(cid:236)ng 2

C¡c ph(cid:247)(cid:236)ng tr…nh tuy‚n t‰nh v(cid:238)i c¡c sŁ Fibonacci

K‚t lu“n

T(cid:160)i li»u tham kh£o

Có thể bạn quan tâm

Luận văn Thạc sĩ: Quản lý hoạt động phát triển nhận thức cho trẻ mẫu giáo ở các trường mầm non, huyện Hoàng Su Phì, tỉnh Hà Giang

Bài giảng điện tử Phương pháp tính: Hệ phương trình tuyến tính

Bài giảng Đại số tuyến tính: Hệ phương trình tuyến tính - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng Đại số tuyến tính: Chương 1 - TS. Đặng Văn Vinh

Bài giảng Giải tích: Phương trình vi phân cấp 2

Luận văn Thạc sĩ tóm tắt: Pháp luật về điều kiện đầu tư kinh doanh trong lĩnh vực giáo dục, đào tạo ở Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Sự nghiệp nghiên cứu phê bình văn học của Hoài Thanh

Luận văn Thạc sĩ: Tiểu thuyết của Đỗ Phấn từ góc nhìn sinh thái

Luận văn Thạc sĩ: Giải pháp ứng phó với nhập cư ở Liên minh Châu Âu

Luận văn Thạc sĩ: Diễn ngôn về giới nữ trong văn xuôi nữ Việt Nam đương đại (khảo sát sáng tác của Dạ Ngân, Y Ban, Lý Lan, Nguyễn Thị Thu Huệ)

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng mức phát thải tham chiếu rừng khu vực huyện Bảo Lâm tỉnh Lâm Đồng

Luận văn Thạc sĩ: Đặc điểm nhân vật chính trong ba tác phẩm của Franz Kafka: Lâu đài, Vụ án, Hóa thân

Kháo luận tốt nghiệp: Vận dụng lí thuyết học tập trải nghiệm vào dạy học Thống kê - Xác suất ở lớp Hai

Luận văn Thạc sĩ: Xây dựng hệ thống điều khiển và thu nhận dữ liệu cho Robot dịch vụ

Luận văn Thạc sĩ: Thế giới nhân vật trong truyện ngắn Lê Minh Khuê sau năm 1975

Luận văn Thạc sĩ: Tác động của cấu trúc vốn đến hiệu quả hoạt động của các ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Kiểm soát rủi ro tín dụng bán lẻ tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Đầu tư và Phát triển Việt Nam chi nhánh Thủ Thiêm

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố ảnh hưởng đến hiệu quả kinh doanh của ngân hàng thương mại cổ phần niêm yết trên thị trường chứng khoán Việt Nam

Luận văn Thạc sĩ: Các nhân tố ảnh hưởng đến hành vi sử dụng dịch vụ ngân hàng điện tử tại Ngân hàng Thương mại Cổ phần Ngoại thương Việt Nam – Chi nhánh Thủ Đức

Luận văn Thạc sĩ: Các yếu tố tác đồng đến nợ xấu tại Ngân hàng Nông nghiệp và Phát triển Nông thôn - Chi nhánh Tiền Giang

Tài liêu mới

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng thuật toán thích nghi và học tăng cường cấu trúc Actor - Critic điều khiển bám quỹ đạo cho robot di động đa hướng mecanum

Luận án Tiến sĩ: Cơ cấu bệnh tim mạch và chất lượng cuộc sống của người cao tuổi mắc suy tim, rung nhĩ điều trị tại Bệnh viện Thống Nhất, thành phố Hồ Chí Minh

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu xây dựng giải pháp đảm bảo an toàn thông tin cho quá trình học liên kết dựa trên mật mã

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Phát triển năng lực đánh giá công nghệ cho học sinh trong dạy học môn Công nghệ 11 ở trường trung học phổ thông

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu phân loại chi cầu diệp – Bulbophyllum Thouars (Orchidaceae) ở vùng Tây Nguyên bằng phương pháp hình thái và phân tử

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu đặc điểm phân bố và dinh dưỡng của các loài lưỡng cư ở Vườn Quốc gia Bến En và Khu bảo tồn thiên nhiên Pù Luông, tỉnh Thanh Hóa

Luận án Tiến sĩ: Tổng hợp luật dẫn và điều khiển cho một lớp tên lửa đối hải trên cơ sở ứng dụng mạng nơ ron và hệ mờ

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu tổng hợp hệ điều khiển góc Pitch tua bin gió trong điều kiện có nhiễu tác động

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hóa học lipid của hai loài san hô thủy tức Millepora dichotoma và Millepora platyphylla ở Việt Nam

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu kiểm soát phân phối công suất kéo trên cầu chủ động của ô tô con bằng ABS

Luận án Tiến sĩ: Ứng dụng phản ứng Domino vào tổng hợp các dẫn xuất Podophyllotoxin, Pyrimidine và đánh giá hoạt tính sinh học của các chất tổng hợp được

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và một số hoạt tính sinh học của cây chùm ngây (Moringa oleifera)

Tóm tắt Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu thành phần hóa học và ứng dụng ức chế ăn mòn cho thép của cao chiết xuất từ cây Lộc vừng thuộc họ Lecythidaceae

Luận án Tiến sĩ: Nghiên cứu hiện tượng nứt dăm đê sông vùng đồng bằng sông Hồng và dự báo khả năng bị nứt của một số đoạn đê

AI tóm tắt

Giới thiệu tài liệu

Đối tượng sử dụng

Từ khoá chính

Nội dung tóm tắt

Giới thiệu

Về chúng tôi

Việc làm

Quảng cáo

Liên hệ

Chính sách

Thoả thuận sử dụng

Chính sách bảo mật

Chính sách hoàn tiền

DMCA

Hỗ trợ

Hướng dẫn sử dụng

Đăng ký tài khoản VIP

093 303 0098

support@tailieu.vn

Phương thức thanh toán

Theo dõi chúng tôi

Facebook

Youtube

TikTok