Luận văn Thạc sĩ Toán học: Rẽ nhánh Hopf và định lý tâm Lyapunov

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:47

Thêm vào BST

Báo xấu

13
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung chính của luận văn trình bày lại những kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh trong phương trình vi phân. Sau đó, ta tính toán chi tiết và minh họa hình học một số loại rẽ nhánh trong không gian một chiều và không gian hai chiều. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Rẽ nhánh Hopf và định lý tâm Lyapunov

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2020 1
ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Nguyễn Thanh Hải RẼ NHÁNH HOPF VÀ ĐỊNH LÝ TÂM LYAPUNOV Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 8460101.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS. LÊ HUY TIỄN Hà Nội - 2020
LỜI CẢM ƠN Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới TS. Lê Huy Tiễn - người đã định hướng chọn đề tài và tận tình hướng dẫn để em hoàn thành luận văn này. Em xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Đào tạo, Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. Cảm ơn các thầy cô giáo đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn cao học. Em xin được gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, bạn bè, người thân đã luôn động viên, cổ vũ em trong quá trình học tập. Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải i
Mục lục Lời cảm ơn i Lời nói đầu 1 Danh sách hình 2 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 4 1.1 Kiến thức chuẩn bị . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân một chiều . . . . 8 1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân hai chiều . . . . 14 2 SỰ TỒN TẠI RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 18 2.1 Rẽ nhánh nút-yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 2.2 Rẽ nhánh xuyên tới hạn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Rẽ nhánh dĩa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 2.4 Rẽ nhánh Hopf . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3 SỰ BẢO TOÀN TÂM LYAPUNOV 33 3.1 Tâm Lyapunov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 3.2 Hệ vi phân Hamilton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.3 Tâm Lyapunov và sự bảo toàn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 42 ii
LỜI NÓI ĐẦU Trong hệ động lực, rẽ nhánh là khái niệm ngược với ổn định. Khái niệm rẽ nhánh lần đầu tiên được giới thiệu bởi Henri Poincaré vào năm 1885, sau đó được các nhà toán học nghiên cứu sâu rộng, chẳng hạn [1], [2], [3], [4], [5], [6], [7], [8], [9], [10], [11], [12], . . . . Lý thuyết rẽ nhánh là nghiên cứu toán học về những thay đổi trong bức tranh pha của nghiệm phương trình sai phân, nghiệm phương trình vi phân và hệ phương trình vi phân. Rẽ nhánh xảy ra khi thay đổi nhỏ giá trị tham số của một hệ động lực gây ra sự thay đổi đột ngột trong bức tranh pha. Rẽ nhánh được chia ra làm hai loại. • Rẽ nhánh địa phương xảy ra khi thay đổi tham số làm cho bức tranh pha xung quanh điểm cân bằng hoặc điểm tuần hoàn thay đổi. • Rẽ nhánh toàn cục xảy ra nếu bức tranh pha toàn cục thay đổi khi giá trị tham số thay đổi. Trong luận văn này, tác giả nghiên cứu rẽ nhánh Hopf và định lý tâm Lyapunov. Luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Chương 1. Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân Trong chương này, đầu tiên ta sẽ trình bày lại những kiến thức liên quan phục vụ cho việc tìm hiểu rẽ nhánh trong phương trình vi phân. Sau đó, ta tính toán chi tiết và minh họa hình học một số loại rẽ nhánh trong không gian một chiều và không gian hai chiều. Chương 2. Sự tồn tại rẽ nhánh của phương trình vi phân Mục đích của chương này là trình bày các định lý tồn tại các rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh xuyên tới hạn, rẽ nhánh dĩa, rẽ nhánh Hopf. Chương 3. Sự bảo toàn tâm Lyapunov 1
Trong chương này ta sẽ tìm hiểu định nghĩa và định lý sự tồn tại tâm Lyapunov. Nội dung luận văn chủ yếu tham khảo từ cuốn sách [2]. Luận văn chỉ xét rẽ nhánh của hệ liên tục, tức là các phương trình vi phân. Hà Nội, ngày 23 tháng 05 năm 2020 Học viên Nguyễn Thanh Hải
Danh sách hình 1.1 Điểm yên ngựa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 1.2 (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 1.3 Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian một chiều. . 9 1.4 (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0. . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.5 Lược đồ rẽ nhánh dĩa trong không gian một chiều. . . . . . . . 11 1.6 (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < 0. . . . . . . . . . 12 1.7 Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn trong không gian một chiều. . 13 1.8 Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian hai chiều. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.9 Lược đồ rẽ nhánh Hopf. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.10 (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 ∂ 2f ∂ 2f (x 2 0 0 , µ ) (x , µ ) 2 0 0 2.1 (a) − ∂x > 0, (b) − ∂x 0, (b) − ∂x2 0, (b) − ∂x3
Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ VÍ DỤ RẼ NHÁNH CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương này chúng ta sẽ nhắc lại những kiến thức liên quan đến sự rẽ nhánh của phương trình vi phân. Cụ thể ta định nghĩa điểm cân bằng, điểm tuần hoàn, điểm ổn định (hút), điểm không ổn định (đẩy) và các điều kiện liên quan phục vụ cho Chương 2 và Chương 3. Sau đó một số ví dụ về rẽ nhánh trong không gian một chiều và không gian hai chiều được tính toán minh họa cụ thể. 1.1 Kiến thức chuẩn bị Xét phương trình vi phân phụ thuộc tham số y 0 = f (a, y) = fa (y). (1.1) Trong toàn luận văn, ta giả sử vế phải thỏa mãn các điều kiện của sự tồn tại duy nhất nghiệm toàn cục. Ta ký hiệu ϕa,t là dòng sinh bởi phương trình vi phân trên; nói cách khác x(t) = ϕa,t (x0 ) 4
là nghiệm duy nhất của (1.1) thỏa mãn x(0) = x0 . Việc thay đổi giá trị tham số a từ a0 đến giá trị a1 gần a0 sẽ làm thay đổi bức tranh pha của nghiệm phương trình vi phân. Có hai trường hợp xảy ra. Trường hợp 1: bức tranh pha với a = a1 đồng phôi với bức tranh pha với a = a0 . Tình huống này ta nói a0 là điểm ổn định (stability). Trường hợp 2: bức tranh pha với a = a1 không đồng phôi với bức tranh pha với a = a0 . Ta nói a0 là điểm phân nhánh hay rẽ nhánh (bifurcation). Với phương trình sai phân, ta chỉ xét khái niệm điểm bất động, điểm tuần hoàn. Điểm tuần hoàn của ánh xạ chính là điểm bất động của một lũy thừa nào đó của nó. Điểm tuần hoàn chu kỳ 1 chính là điểm bất động. Tuy nhiên đối với phương trình vi phân, điểm cân bằng (nghiệm hằng) và điểm nằm trên quỹ đạo đóng (nghiệm tuần hoàn) có đặc tính rất khác nhau. Định nghĩa 1.1.1. Xét phương trình vi phân y 0 = f (y) (1.2) với f : Rm → Rm là ánh xạ trơn. Điểm p được gọi là điểm cân bằng, hay điểm kỳ dị của hệ (1.2) nếu f (p) = 0. Dễ thấy điểm cân bằng của hệ là điểm bất động của ánh xạ ϕt , hay nói cách khác x(t) ≡ p là nghiệm hằng của phương trình vi phân. Nghiệm x(t) gọi là nghiệm tuần hoàn nếu tồn tại số T > 0 sao cho x(t + T ) = x(t) với mọi t. Số T nhỏ nhất gọi là chu kỳ của nghiệm tuần hoàn x(t). Điểm p được gọi là điểm tuần hoàn của hệ (1.2) nếu nó nằm trên quỹ đạo tuần hoàn γ = x(t) nào đó, tức là tồn tại t0 sao cho p = x(t0 ). Với ε > 0, ký hiệu Nε (p) là ε-lân cận của điểm p, tức là Nε (p) = {x ∈ Rm : kx − pk < ε}. Định nghĩa 1.1.2. Cho p là điểm cân bằng. Nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→+∞ 5
thì p gọi là điểm hút. Nếu tồn tại > 0 sao cho với mọi x ∈ N (p) mà lim ϕt (x) = p, t→−∞ thì p gọi là điểm đẩy. Nói cách khác, điểm cân bằng p gọi là hút nếu mọi điểm gần p đều hút về p dưới tác động của dòng ϕt ; điểm cân bằng p gọi là đẩy nếu mọi điểm gần p đều ra xa p dưới tác động của ánh xạ dòng ϕt . Do dòng ϕt là khả ngược, nên điểm cân bằng p là hút đối với dòng ϕt nếu và chỉ nếu p là đẩy đối với dòng ϕ−t . Ta có tiêu chuẩn phổ để xác định một điểm cân bằng là hút hay đẩy, dựa vào các giá trị riêng của ma trận Jacobi. Định nghĩa 1.1.3. Cho f = (f1 , f2 , . . . , fm ) là một ánh xạ trong Rm và cho p ∈ Rm . Ma trận Jacobi của f tại p, ký hiệu bởi Dp f , hay Df (p) là ma trận  ∂f1 ∂f1  ∂x1 (p) · · · ∂xm (p) Dp f = Df (p) =   .. ... ..  . .  ∂fm ∂fm ∂x1 (p) · · · ∂xm (p) của đạo hàm thành phần tại p. Định lý 1.1.4. Cho p là một điểm cân bằng của phương trình vi phân (1.2) trong đó hàm f trơn. Khi đó, các phát biểu sau đây là đúng. (i) Nếu ma trận Dp f có mọi giá trị riêng với phần thực âm Reλ < 0 với mọi λ ∈ σ(Dp f ) thì p là hút (cũng gọi là ổn định tiệm cận). (ii) Nếu ma trận Dp f có mọi giá trị riêng với phần thực dương Reλ > 0 với mọi λ ∈ σ(Dp f ) thì p là đẩy. Trong không gian hai chiều và không gian có số chiều lớn hơn, tồn tại điểm cân bằng hỗn hợp (điểm yên ngựa). Điểm yên ngựa là trường hợp đặc biệt của điểm hyperbolic. 6
Hình 1.1: Điểm yên ngựa Định nghĩa 1.1.5. Điểm cân bằng p gọi là hyperbolic nếu Reλ 6= 0 với mọi λ ∈ σ(Df (p)). Định nghĩa 1.1.6. Điểm cân bằng p gọi là điểm yên ngựa (saddle) nếu tồn tại λ, µ ∈ σ(Df (p)) sao cho Reλ > 0 và Reµ < 0. Định nghĩa 1.1.7. Điểm cân bằng p gọi là elliptic nếu Reλ = 0 với mọi λ ∈ σ(Df (p)). 7
1.2 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân một chiều Trong mục này chúng ta sẽ tính toán và minh họa hình học rẽ nhánh nút-yên ngựa, rẽ nhánh dĩa và rẽ nhánh xuyên tới hạn thông qua các họ ánh xạ đơn giản. Ví dụ 1.2.1. (Rẽ nhánh nút-yên ngựa) Cho phương trình vi phân x0 (t) = f (x, a) = a + x2 , x ∈ R. với a ∈ R là tham số. Điểm cân bằng của f (a, x) = a + x2 thỏa mãn f (x, a) = 0 a + x2 = 0 x2 = −a. Khi đó, phụ thuộc vào dấu của tham số a, xảy ra ba trường hợp sau √ √ • Với a < 0, f có hai điểm cân bằng x1 = − −a và x2 = −a. • Với a = 0, f có một điểm cân bằng x = 0. • Với a > 0, f không có điểm cân bằng nào. Hình 1.2: (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0. 8
Khi a < 0, có hai điểm cân bằng của hệ như Hình 1.2a, điểm cân bằng tại √ √ x2 = −a không ổn định, trái lại điểm cân bằng tại x1 = − −a là ổn định. Từ hình vẽ, chúng ta cũng thấy rằng khi a tiến dần về 0 từ bên dưới, parabol di chuyển lên và hai điểm cân bằng di chuyển về điểm khác, chúng trùng nhau tại tại x = 0 khi a = 0 như Hình 1.2b và biến mất khi a > 0 như Hình 1.2c. Sự rẽ nhánh của hệ động lực xảy ra tại a = 0, vì tính chất bức tranh pha khi a < 0 và a > 0 khác nhau, cụ thể là số điểm cân bằng thay đổi. Sự rẽ nhánh này được biểu diễn trong Hình 1.3. Hình 1.3: Lược đồ rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian một chiều. Đây là một ví dụ về rẽ nhánh. Chúng ta coi (x, a) = (0, 0) là điểm rẽ nhánh và giá trị tham số a = 0 là giá trị rẽ nhánh. Hình 1.3 là lược đồ rẽ nhánh. Loại rẽ nhánh này (cụ thể là, trên một miền của giá trị tham số f không có điểm cân bằng và trên miền khác f có hai điểm cân bằng) được gọi là rẽ nhánh nút-yên ngựa. 9
Ví dụ 1.2.2. (Rẽ nhánh dĩa) Cho phương trình vi phân x0 (t) = f (x, a) = ax − x3 , x ∈ R. với a ∈ R là tham số. Thay x bởi −x vào hệ trên, ta được −x0 = −ax + x3 = −(ax − x3 ) x0 = ax − x3 . Do đó, hệ không thay đổi qua ánh xạ x 7→ −x. Điểm cân bằng của hệ thỏa mãn f (x, a) = 0 ax − x3 = 0 √ x ∈ 0, ± a . Cho f (x, a) = ax − x3 , ta tính được ∂f (x, a) = a − 3x2 , ∂x ∂f (0, a) = a, ∂x ∂f √ (± a, a) = −2a. ∂x Khi đó, phụ thuộc vào dấu của tham số a, xảy ra ba trường hợp sau • Với a = 0, f có một điểm cân bằng x = 0 và nó là một điểm cân bằng tự ∂f nhiên, vì (0, 0) = 0. ∂x √ • Với a > 0, f có ba điểm cân bằng x = {0, ± a}, trong đó điểm cân bằng gốc (x = 0) là điểm không ổn định và hai điểm cân bằng còn lại là ổn định. • Với a < 0, f chỉ có một điểm cân bằng ổn định tại gốc x = 0. Các trường hợp này được thể hiện chi tiết trên mặt phẳng (x, x0 ) trong Hình 1.4. 10
Hình 1.4: (a) a < 0, (b) a = 0, (c) a > 0. Từ hình vẽ trên ta cũng thấy khi a tăng dần từ phần âm về gốc tọa độ, điểm cân bằng gốc vẫn ổn định nhưng yếu hơn, vì nó không hyperbolic tự nhiên. Khi a > 0, điểm gốc trở thành điểm cân bằng không ổn định và hai √ điểm cân bằng ổn định mới xuất hiện ở cả hai phía của gốc tại x = − a và √ x = a. Lược đồ rẽ nhánh của hệ được biểu diễn ở Hình 1.5. Khi hệ động lực chuyển từ có một điểm cân bằng sang có ba điểm cân bằng, ta gọi rẽ nhánh này là rẽ nhánh "dĩa". Lý do ta gọi rẽ nhánh này là rẽ nhánh "dĩa" vì khi quan sát lược đồ rẽ nhánh (Hình 1.5), ta sẽ thấy hình dáng đồ thị giống cái dĩa. Hình 1.5: Lược đồ rẽ nhánh dĩa trong không gian một chiều. 11
Ví dụ 1.2.3. (Rẽ nhánh xuyên tới hạn) Cho phương trình vi phân x0 (t) = f (x, a) = ax − x2 , x ∈ R. với a ∈ R là tham số. Điểm cân bằng của f (x, a) = ax − x2 thoả mãn f (x, a) = 0 ax − x2 = 0 x ∈ {0, a} . Do đó f có hai điểm cân bằng x = 0 và x = a. Chúng ta tính được ∂f (x, a) = a − 2x, ∂x ∂f (0, a) = a, ∂x ∂f (a, a) = −a. ∂x Khi a = 0 thì f chỉ có một điểm cân bằng tại x = 0, điểm cân bằng này không hyperbolic. Khi a 6= 0, f có hai điểm cân bằng phân biệt x = 0, x = a, điểm cân bằng tại gốc x = 0 là không ổn định với a > 0 và ổn định với a < 0. Điểm cân bằng khác x = a không ổn định nếu a < 0 và ổn định với a > 0. Các trường hợp trên được biểu diễn trên Hình 1.6. Hình 1.6: (a) a > 0, (b) a = 0, (c) a < 0. 12
Loại rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh xuyên tới hạn. Ở rẽ nhánh này, sự thay đổi tính ổn định xảy ra tại a = 0. Rẽ nhánh này được biểu diễn trên Hình 1.7. Hình 1.7: Lược đồ rẽ nhánh xuyên tới hạn trong không gian một chiều. 13
1.3 Các ví dụ rẽ nhánh của phương trình vi phân hai chiều Ví dụ 1.3.1. (Rẽ nhánh nút-yên ngựa) Xét hệ phương trình vi phân   x0 = β + x2 với β ∈ R. y 0 = −y Trong Hình 1.8, ban đầu với β < 0 hệ có hai điểm cân bằng trong đó một điểm yên ngựa (saddle) và một điểm nút (node). Khi β = 0, hệ chỉ có một điểm cân bằng và khi β > 0 hệ không có điểm cân bằng nào. Bức tranh pha của hệ trên không đồng phôi với nhau khi ta thay đổi giá trị tham số β từ âm sang dương. Hiện tượng đó gọi là rẽ nhánh và loại rẽ nhánh này được gọi là rẽ nhánh nút-yên ngựa. Hình 1.8: Bức tranh pha rẽ nhánh nút-yên ngựa trong không gian hai chiều. 14
Ví dụ 1.3.2. (Rẽ nhánh Hopf) Xét hệ phương trình vi phân  x0 = ax − y − x(x2 + y 2 ) với x, y, a ∈ R. y 0 = x + ay − y(x2 + y 2 ) Lược đồ rẽ nhánh của hệ được minh họa trong Hình 1.9. Hình 1.9: Lược đồ rẽ nhánh Hopf. Trong Hình 1.9, (a) Đường {(a, 0, 0)} của trạng thái cân bằng thay đổi sự ổn định tại a = 0. Một trạng thái cân bằng ổn định khi a < 0 được thay bởi một quỹ đạo ổn định tuần hoàn khi a > 0. (b) Sơ đồ lược đồ đường của rẽ nhánh. Đường nét liền là quỹ đạo ổn định, đường nét đứt là không ổn định. Thật vậy, với a > 0, hệ có nghiệm tuần hoàn dưới dạng x(t) = √a cos t  y(t) = √a sin t. 15
Trong tọa độ cực, hệ có nghiệm dạng  r0 = r(a − r2 ) θ0 = 1. Hình 1.10 minh họa cho a < 0 và a > 0, Hình 1.10: (a) a = −0.5, (b) a = 0.5 Với mỗi a, gốc r = 0 là một điểm cân bằng. Khi a < 0, r0 âm. Điểm cân bằng gốc (r = 0) là xoắn ốc ổn định và tất cả các nghiệm bị hút giảm dần về nó theo chiều ngược kim đồng hồ. Khi a = 0, gốc vẫn là điểm xoắn ốc ổn định mặc dù rất yếu. Với mỗi a > 0, gốc là xoắn ốc không ổn định, và trong trường √ hợp này, có một chu kỳ giới hạn ổn định tại r = a. Ma trận Jacobi tại điểm cố định gốc được tính như sau ! a −1 J(0, 0) = . 1 a Ma trận này có giá trị riêng a = ±i. Vì vậy, gốc là một điểm xoắn ốc ổn định khi a < 0 và xoắn ốc không ổn định khi a > 0. Vì vậy chúng ta mong rằng các giá trị riêng cắt trục ảo từ trái sang phải như giá trị tham số thay đổi từ âm sang dương. Do đó chúng ta thấy rẽ nhánh Hopf xuất hiện khi một điểm xoắn 16