Luận văn Thạc sĩ Toán học: Số lelong và lý thuyết cắt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Quốc Chiến<br /> <br /> SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO<br /> TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH<br /> <br /> Nguyễn Quốc Chiến<br /> <br /> SỐ LELONG VÀ LÝ THUYẾT CẮT<br /> <br /> Chuyên ngành: Toán Giải Tích<br /> Mã số : 60 46 01<br /> <br /> LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC<br /> <br /> NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:<br /> TS. NGUYỄN VĂN ĐÔNG<br /> <br /> Thành phố Hồ Chí Minh - 2011<br /> <br /> MỤC LỤC<br /> MỞ ĐẦU<br /> T<br /> 0<br /> <br /> .................................................................................................................... 7<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CHUẨN BỊ........................................................... 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.1 Hàm chỉnh hình trong  n ............................................................................................. 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.1.1 Định nghĩa ([Ad]) ..................................................................................................... 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.1.2 Bổ đề Osgood ([Ad]) ................................................................................................ 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.1.3 Định nghĩa ([Ad]) ..................................................................................................... 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2 Hàm đa điều hòa dưới ................................................................................................... 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.1 Định nghĩa hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ................................................................. 8<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.2 Ví dụ ([Kli]) .............................................................................................................. 9<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.3 Định nghĩa:................................................................................................................ 9<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.4 Định nghĩa:................................................................................................................ 9<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.5 Định lý xấp xỉ chính cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ......................................... 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.6 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.7 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.8 Hệ quả ([Kli]).......................................................................................................... 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.9 Nguyên lý cực đại cho hàm đa điều hòa dưới ([Kli]) ............................................. 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.2.10 Định lý ([Kli]) ....................................................................................................... 10<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.3 Phân bố ......................................................................................................................... 11<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.3.1 Không gian các hàm thử ([Kli]) .............................................................................. 11<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.3.2 Mệnh đề .................................................................................................................. 11<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4 Đa tạp phức .................................................................................................................. 11<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.1 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 11<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.2 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.3 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.4 Định nghĩa ([FG]) ................................................................................................... 12<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.5 Định nghĩa ([Ad]) ................................................................................................... 12<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.6 Định nghĩa ([FG]) ................................................................................................... 13<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.7 Định lý (Nguyên lý đồng nhất) ([Kli]) ................................................................... 13<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.4.8 Định lý (Nguyên lý cực đại) ([Kli]) ........................................................................ 13<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5 Đa tạp Stein .................................................................................................................. 13<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 13<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.2 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.3 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 14<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.4 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.5 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 14<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.6 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 14<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.7 Định lý ([De2]) ....................................................................................................... 15<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.5.8 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 15<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6 Dạng vi phân trên đa tạp phức ................................................................................... 15<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 15<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.2 Các toán tử vi phân ([De2]) .................................................................................... 16<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.3 Không gian các dạng vi phân ([Kli]) ...................................................................... 17<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.4 Các phép toán trên dạng vi phân ([De2]) ................................................................ 17<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.5 Công thức Stokes ([De2]) ....................................................................................... 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.6.6 Công thức tích phân từng phần ([De2]) .................................................................. 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7 Dạng vi phân dương .................................................................................................... 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7.1 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7.2 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7.3 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 18<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7.4 Định nghĩa ([De2]).................................................................................................. 19<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.7.5 Mệnh đề ([De2]) ..................................................................................................... 19<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8 Dòng ........................................................................................................................... 19<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.1 Định nghĩa ([Kli]) ................................................................................................... 19<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.2 Ví dụ ([Kli]) ............................................................................................................ 20<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.3 Định nghĩa ([Kli]) ................................................................................................... 20<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.4 Đạo hàm của tích ngoài ([De2]) ............................................................................. 20<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.5 Công thức Stokes ([De2]) ....................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.8.6 Công thức tích phân từng phần ([Blo]) ................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9 Dòng dương .................................................................................................................. 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.1 Định nghĩa ([LG]) ................................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.2 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.3 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.4 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.5 Định lý ([LG]) ......................................................................................................... 21<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.9.6 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 22<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.10 Dòng dương đóng....................................................................................................... 22<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.10.1 Định nghĩa ([LG]) ................................................................................................. 22<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.10.2 Định lý ([LG]) ....................................................................................................... 22<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.11 Đa tạp Hermit và đa tạp Kahler ([De2]) ................................................................. 22<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 1.12 Tập giải tích phức ([De2]) ......................................................................................... 23<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> CHƯƠNG 2: TOÁN TỬ MONGE – AMPERE VÀ SỐ LELONG MỞ RỘNG . 27<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1 Toán tử Monge - Ampere mở rộng ([De1]) ............................................................... 27<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.1 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 27<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.2 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 28<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.3 Định lý (Bất đẳng thức Chern – Levine – Nirenberg) ([De1]) ............................... 29<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.4 Hệ quả ([De1]) ....................................................................................................... 29<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.5 Định lý ([De1]) ....................................................................................................... 30<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.6 Bổ đề ([De1]) .......................................................................................................... 31<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.7 Hệ quả ([De1]) ........................................................................................................ 32<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.8 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 33<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.9 Mệnh đề ([De1]) Giả sử: ........................................................................................ 34<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.10 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 35<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.11 Mệnh đề ([De1]) ................................................................................................... 35<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.12 Định lý ([De1]) ..................................................................................................... 36<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.13 Mệnh đề ([De1]) ................................................................................................... 36<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.14 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 36<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.1.15 Hệ quả ([De1]) ...................................................................................................... 36<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2 Số Lelong suy rộng ...................................................................................................... 36<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.1 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 37<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.2 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 37<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.3 Công thức ([De1]) ................................................................................................... 37<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.4 Mệnh đề ([De1]) ..................................................................................................... 39<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.5 Định nghĩa ([De1]).................................................................................................. 40<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.6 Công thức Lelong – Jensen ([De1]) ........................................................................ 41<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.7 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ nhất) ([De1]) .................................... 42<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.8 Định lý (Định lý so sánh các số LeLong thứ hai) ([De1]) ...................................... 43<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.2.9 Hệ quả ([De1]) ........................................................................................................ 43<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.3 Định lý phân tích Siu ................................................................................................... 44<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.3.1 Định nghĩa ............................................................................................................... 44<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.3.2 Định nghĩa ............................................................................................................... 44<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br /> 2.3.3 Định lý .................................................................................................................... 44<br /> T<br /> 0<br /> <br /> T<br /> 0<br /> <br />