Luận văn Thạc sĩ toán học: Tam thức bậc (α, β) và ứng dụng

Chia sẻ: Tran Van Lam | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:59

Thêm vào BST

Báo xấu

199
lượt xem 54
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Tam thức bậc hai là chuyên đề cơ bản nhất đóng vai trò nòng cốt trong các kiến thức toàn bậc trung học phổ thông. Hầu hết các bài toán và cí dụ được khảo sát tyrong chương trình đại số về phương trình, bất phương trình, hệ phương trình ...

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ toán học: Tam thức bậc (α, β) và ứng dụng

Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C TR N TH DANH TUYÊN TAM TH C B C (α, β) VÀ NG D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Đ I H C THÁI NGUYÊN TRƯ NG Đ I H C KHOA H C TR N TH DANH TUYÊN TAM TH C B C (α, β) VÀ NG D NG LU N VĂN TH C S TOÁN H C Chuyên ngành: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ C P Mã s : 60.46.40 Ngư i hư ng d n khoa h c: GS. TSKH. NGUY N VĂN M U THÁI NGUYÊN - NĂM 2010 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
i M cl c M đ u 1 1 Tam th c b c (α, β) 3 1.1 Tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.1 Các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.1.2 Phương pháp xét d u tam th c b c hai . . . . . . . . . . . . . . 6 1.2 Tam th c b c (α, β) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n . . . . . . . . . . . . . . . . 10 1.2.2 M t s ví d v tam th c b c (α, β) thư ng g p . . . . . . . . . 13 1.2.3 Đi u ki n đ tam th c b c (α, β) dương trên (0, +∞) . . . . . . 14 2 Các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) 17 2.1 M i liên h gi a tam th c b c hai, b c (α, 1) và các b t đ ng th c Bernoulli, b t đ ng th c AM - GM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.2 Tam th c b c (α, β) và phân th c chính quy . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.3 M t s d ng tam th c b c (α, β) có tính đơn đi u liên ti p b c (1, 2) . 26 3 M t s áp d ng 31 3.1 Bài toán c c tr và b t đ ng th c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.2 Kh o sát phương trình và b t phương trình . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.1 Tam th c b c (3,1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38 3.2.2 Kh o sát phương trình b c ba . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40 K t lu n . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 Tài li u tham kh o 56 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
1 M đ u Tam th c b c hai là chuyên đ cơ b n nh t đóng vai trò nòng c t trong các ki n th c toán b c trung h c ph thông. H u h t các bài toán và ví d đư c kh o sát trong chương trình đ i s v phương trình, b t phương trình, h phương trình, b t đ ng th c và các bài toán c c tr ,... và trong chương trình gi i tích các l p cu i b c ph thông như kh o sát s bi n thiên và v đ th ,... đ u có g n v i các hàm s b c nh t và b c hai. Tuy nhiên, cũng có r t nhi u d ng toán liên quan đ n các bi u th c vô t ( ng v i lũy th a không nguyên) thì ta ngoài các d ng toán quy đư c v d ng b c hai ta c n các k thu t khác n a. Ch ng h n, b t đ ng th c Bernoulli xα ≥ αx + 1 − α, α > 1, x > 0 khi α = 2 có ngu n g c xu t x t tam th c b c hai x2 ≥ 2x − 1, x ∈ R ( ng v i α = 2) nhưng không th kh o sát b ng phương pháp tam th c b c hai đư c nh t là khi α là m t s vô t . Các bài toán c c tr , b t đ ng th c, phương trình, b t phương trình,... không quy đư c v d ng b c hai thư ng là n i dung c a các đ thi h c sinh gi i các c p và các đ thi olympic toán khu v c và qu c t . N i dung chính c a lu n văn này là nh m th c hi n nhi m v do th y hư ng d n đ t ra là kh o sát các tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > 0, trình bày các tính ch t cơ b n, xét các d ng toán liên quan và các ng d ng c a chúng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
2 Lu n văn g m ph n m đ u, ba chương, ph n k t lu n và danh m c tài li u tham kh o. Chương 1 trình bày các ki n th c cơ b n v tam th c b c hai và phương pháp tam th c b c hai, đ nh nghĩa, các tính ch t và ví d v tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x > 0. Ti p theo, kh o sát đi u ki n đ tam th c b c hai luôn luôn dương trên R. Chương 2 kh o sát các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) như b t đ ng th c Bernoulii, b t đ ng th c AM-GM, phân th c chính quy và các d ng đơn đi u liên ti p b c (1, 2) đ tìm giá tr l n nh t, nh nh t c a m t bi u th c. Chương 3 xét các ví d áp d ng trong phương trình, b t phương trình, b t đ ng th c và các bài toán c c tr . Lu n văn đư c hoàn thành dư i s hư ng d n tr c ti p c a GS.TSKH Nguy n Văn M u. Tác gi xin bày t lòng bi t ơn chân thành và sâu s c v s hư ng d n nhi t tình, nghiêm kh c và nh ng l i đ ng viên c a Th y trong su t quá trình h c t p và th c hi n Lu n văn. Tác gi xin chân thành c m ơn TS. Nguy n Th Thu Thu v s nhi t tình giúp đ và nh ng góp ý quý báu trong th i gian tác gi hoàn thành lu n văn. Tác gi xin chân thành c m ơn quý Th y Cô trong ban giám hi u, Phòng đào t o Đ i h c và sau Đ i h c, Khoa Toán - Tin, Trung tâm H c Li u Trư ng Đ i h c Khoa H c, Đ i h c Thái Nguyên, cùng quý Th y Cô tham gia gi ng d y khoá h c đã t o m i đi u ki n, giúp đ tác gi trong su t quá trình h c t p và nghiên c u đ tác gi có th hoàn thành khoá h c và Lu n văn. Trong khuôn kh c a m t Lu n văn, tác gi không th khai thác h t các v n đ v ng d ng c a tam th c b c (α, β). M c dù đã c g ng r t nhi u nhưng k t qu đ t đư c trong Lu n văn còn r t khiêm t n và không tránh kh i nh ng sai sót. Vì v y tác gi mong nh n đư c nhi u ý ki n, góp ý quý báu c a quý Th y Cô, các anh ch và các đ ng nghi p đ Lu n văn đư c hoàn thi n hơn. Thái Nguyên, 18 tháng 09 năm 2010. Ngư i th c hi n Tr n Th Danh Tuyên Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
3 Chương 1 Tam th c b c (α, β) N i dung c a chương này nh m h th ng m t s tình ch t cơ b n c a tam th c b c hai. Ti p theo tác gi gi i thi u tam th c b c (α, β) nh m ph c v cho vi c kh o sát các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) đư c xét trong chương 2. 1.1 Tam th c b c hai Tam th c b c hai là m t trong các chuyên đ tr ng tâm c a chương trình đ i s ph thông. Ph n l n các phương trình, b t phương trình đư c xét trong chương trình toán b c ph thông đ u đư c đưa v d ng phương trình, b t phương trình b c hai. Tam th c b c hai cũng là m t mô hình quan tr ng nh m gi i thi u cho h c sinh nh ng ki n th c toán h c cơ b n v tính liên t c, đ ng bi n, ngh ch bi n, l i, lõm và ... c a hàm s . Nh ng ki n th c v tam th c b c hai là nh ng ki n th c mà m i h c sinh ph thông đ u ph i n m v ng vì chúng đư c s d ng trong các kì thi t t nghi p THPT, tuy n sinh Đ i h c cũng như các kì thi h c sinh gi i qu c gia và Olympic qu c t (xem [1], [2], [5]-[7]). 1.1.1 Các tính ch t cơ b n Trong ph n này s h th ng m t s tính ch t cơ b n c a tam th c b c hai đ s d ng và so sánh v i các tính ch t c a tam th c b c (α, β) đư c xét sau này. Bi u th c f (x) = ax2 + bx + c v i a, b, c ∈ R, a = 0, (1.1) đư c g i là tam th c b c hai (c a bi n s x). Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
4 Hàm s tương ng f (x) = ax2 + bx + c đư c g i là hàm s b c hai và phương trình f (x) := ax2 + bx + c = 0 (1.2) đư c g i là phương trình b c hai. Các b t phương trình d ng f (x) > 0 (tương ng f (x) < 0, f (x) ≥ 0, f (x) ≤ 0) đư c g i chung là các b t phương trình b c hai. Bi n đ i tam th c b c hai v d ng b b2 c b2 b 2 ∆ f (x) = a x2 + 2 · x+ 2 + − 2 =a x+ − , 2a 4a a 4a 2a 4a2 trong đó ∆ := b2 − 4ac đư c g i là bi t th c c a f (x). N u b = 2b1 thì b1 b2 c b2 b1 2 ∆ f (x) = a x2 + 2 · x+ 1 + − 1 =a x+ − , a a2 a a2 a a2 trong đó ∆ := b2 − ac đư c g i là bi t th c thu g n c a f (x). 1 Đ nh lí 1.1 (Phân tích tam th c b c hai thành nhân t ). Xét tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c. Khi đó: i) N u ∆ < 0 thì f (x) không phân tích đư c thành tích các nhân t b c nh t. b 2 ii) N u ∆ = 0 thì f (x) = a x + . 2a √ −b ± ∆ iii) N u ∆ > 0 thì f (x) = a(x − x1 )(x − x2 ) v i x1,2 = . 2a Đ c bi t, đi u ki n c n và đ đ f (x) là bi u th c chính phương (là bình phương đúng c a m t nh th c) là đ ng th i x y ra a > 0, ∆ = 0. Khi đó √ b 2 f (x) = a x+ . 2a Đ nh lí 1.2 (V nghi m c a phương trình b c hai). i) N u ∆ < 0 thì phương trình b c hai (1.2) vô nghi m. b ii) N u ∆ = 0 thì phương trình b c hai (1.2) có nghi m duy nh t x = − . 2a iii) N u ∆ > 0 thì phương trình b c hai (1.2) có hai nghi m phân bi t √ √ −b − ∆ −b + ∆ x1 = , x2 = , x1 < x2 . 2|a| 2|a| Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
5 Chú ý 1.1. Trong trư ng h p t ng quát, t c là a tuỳ ý thì f (x) = ax2 + bx + c đư c g i là hàm đa th c b c không quá 2. Phương trình f (x) := ax2 + bx + c = 0 khi đó đư c g i là phương trình đ i s b c không quá 2. Khi a = 0, b = 0 ta thu đư c đa th c b c nh t quen thu c. Đ nh lí 1.3 (Đ nh lí thu n v d u c a tam th c b c hai). Cho tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c (a = 0). Khi đó: i) N u ∆ < 0 thì af (x) > 0, ∀x ∈ R. b ii) N u ∆ = 0 thì af (x) ≥ 0, ∀x ∈ R. D u đ ng th c x y ra khi x = − . 2a iii) N u ∆ ≥ 0 thì • af (x) > 0 v i m i x tho mãn đi u ki n x < x1 ho c x2 < x. • af (x) < 0 v i m i x tho mãn đi u ki n x1 < x < x2 . • f (x) = 0 t i x = x1 ho c x = x2 . Đ nh lí 1.4 (Đ nh lí đ o). Đi u ki n c n và đ đ phương trình b c hai f (x) = 0 có hai nghi m phân bi t x1 , x2 (t c là ∆ ≥ 0) là t n t i s α sao cho af (α) < 0. Khi đó x1 < α < x2 . H qu 1.1. Đi u ki n c n và đ đ phương trình b c hai f (x) = 0 có hai nghi m phân bi t x1 , x2 , m t nghi m n m trong (α, β), m t nghi m n m ngoài đo n [α, β] (v i α < β) là f (α) · f (β) < 0. Đ nh lí 1.5. b (i) Khi a > 0 thì tam th c b c hai f (x) đ ng bi n trong − ; +∞ và ngh ch bi n 2a b trong − ∞; − . 2a b (ii) Khi a < 0 thì tam th c b c hai f (x) đ ng bi n trong − ∞; − và ngh ch bi n 2a b trong − ; +∞ . 2a b 2 ∆ T đ ng th c af (x) = ax + − , ta có th thi t l p đư c h th c cho tam 2 4 b b th c b c hai f − +x =f − − x , ∀x ∈ R. 2a 2a b Như v y đ th hàm s y = ax2 + bx + c, (a = 0) nh n đư ng th ng x = − làm 2a tr c đ i x ng. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
6 D a vào tính ch t c a hàm s b c hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0), xét trên (α, β), (α < β và f (α) = 0, f (β) = 0) ta có k t qu sau: Gi s phương trình f (x) = 0 có hai nghi m x1 , x2 v i x1 < x2 . Khi đó Tính ch t 1.1. Phương trình f (x) = 0 có m t và ch m t nghi m x1 ∈ (α, β) khi và af (α) > 0 ch khi af (β) < 0 Tính ch t 1.2. Phương trình f (x) = 0 có m t và ch m t nghi m x2 ∈ (α, β) khi và af (α) < 0 ch khi af (β) > 0 Tính ch t 1.3. Phương trình f (x) = 0 có hai nghi m trong kho ng (α, β) khi và ch  ∆ > 0   af (α) > 0  khi af (β) > 0  α < − b < β    2a Nh ng tính ch t này giúp ta gi i các bài toán “gi i và bi n lu n phương trình” tương ng m t cách d dàng. 1.1.2 Phương pháp xét d u tam th c b c hai Tuỳ theo giá tr c a bi n s x mà tam th c b c hai f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) có giá tr âm, dương hay b ng 0. Tuy nhiên ta ch xét đi u ki n đ tam th c b c hai luôn dương (t c là f (x) > 0) trên m t mi n D (c th xét D = (α, β). Các bài toán khác đư c rút ra theo cách tương t . Ta có bài toán sau: Bài toán 1.1. Cho f (x) = ax2 + bx + c, (a = 0) và mi n D = (α, β) ⊂ R. Tìm đi u ki n đ f (x) > 0, ∀x ∈ (α, β). Gi i. Ta có f (x) > 0, ∀x ∈ (α, β) khi và ch khi m t trong các trư ng h p sau x y ra: a>0 • Trư ng h p 1: Khi ∆ < 0 thì suy ra a > 0, t c là ∆ 0 và − ∈ (α, β), t c là / 2a  a > 0   ∆=0  b − ∈ (α, β)  / 2a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
7 • Trư ng h p 3: Xét ∆ > 0. Ta có 3 trư ng h p c n kh o sát :   a > 0  a > 0   ∆ > 0  ∆ > 0  ∆ > 0   ; af (α) ≥ 0 ; a 0, ∀x > 0. Bài toán 1.3. Ch ng minh phương trình và h phương trình vô nghi m ho c luôn có nghi m trong m t kho ng.  2 ax + bx + c = y Ví d 1.2. Xét h phương trình ay 2 + by + c = z  2 az + bz + c = x trong đó a = 0, (b − 1)2 − 4ac < 0. Ch ng minh r ng h phương trình trên vô nghi m. Gi i. Không m t tính t ng quát gi s a > 0, (a < 0 đư c xét m t cách tương t ). Gi s h có nghi m (x0 , y0 , z0 ). Khi đó, c ng các phương trình c a h v theo v ta nh n đư c: f (x0 ) + f (y0 ) + f (z0 ) = 0, trong đó f (t) = at2 + (b − 1)t + c. Ta có ∆ = (b − 1)2 − 4ac < 0. Do đó f (t) > 0, ∀t ∈ R, (do a > 0), nên ta thu đư c đi u vô lý. V y h phương trình đã cho vô nghi m. Ví d 1.3. Ch ng minh r ng phương trình m2 (x2 − 9) − x(x − 5) = 0, luôn có nghi m trong [−3, 5] v i m i m. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
8 Gi i. Trư ng h p m = ±1 cho ta phương trình b c nh t có nghi m duy nh t x = 9 − ∈ [−3, 5] là hi n nhiên. 5 Xét m = ±1, khi đó ta thu đư c phương trình v i v ph i là tam th c b c hai f (x). Ta ch ng minh r ng f (5)f (−3) ≤ 0, ∀m. Th t v y, ta có f (5) = 16m2 , f (−3) = −24, nên suy ra f (5)f (−3) ≤ 0, ∀m. V y phương trình đã cho luôn có nghi m trong [−3, 5] v i m i m. Ví d 1.4. Cho 1 ≤ a < b < c ≤ 2 và a2 (b + c) + b2 (c + a) + c2 (a + b) a2 + b 2 + c 2 f (x) = x2 − x+ abc. a+b+c a+b+c Ch ng minh r ng, phương trình f (x) = 0 luôn có hai nghi m trong kho ng (1, 4). Gi i. Ta có nh n xét sau: 1 < ab < ac < bc < 4 và abc f (ab) = (c − a)(c − b) > 0, a+b+c abc f (ac) = − (b − a)(c − b) < 0, a+b+c abc f (bc) = (b − a)(c − a) > 0. a+b+c Theo đ nh lí đ o v d u c a tam th c b c hai, phương trình đã cho luôn có hai nghi m phân bi t n m trong kho ng (ab, bc). V y phương trình f (x) = 0 luôn có hai nghi m trong kho ng (1, 4). Bài toán 1.4. Tìm đi u ki n c a tham s đ phương trình ho c h phương trình d ng b c hai có nghi m trong m t kho ng. Ví d 1.5. Tìm p đ phương trình sau có nghi m 4x2 2px 2 + x4 + + 1 − p2 = 0. 1 + 2x 1 + x2 2x Ch d n cách gi i. Đ t n ph = t và chú ý r ng đi u ki n c a n ph th a 1 + x2 mãn đi u ki n |t| ≤ 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
9 π Ví d 1.6. Tìm m đ b t phương trình sau có nghi m trong kho ng 0; 8 1 + sin 2x 1 − sin 2x + ≤ m. 1 + cos 2x 1 − cos 2x kπ Gi i. Đi u ki n cos 2x = ±1 ⇔ x = , k ∈ Z. 2 Bi n đ i b t phương trình đã cho, ta có: 2 − sin 4x ≤ m ⇔ 2 − sin 4x ≤ m sin2 2x sin2 2x ⇔ m sin2 2x + sin 4x ≥ 2(sin2 2x + cos2 2x). kπ Do sin2 2x > 0 (vì k = ), nên có th chia c hai v cho sin2 2x. 2 Khi đó b t phương trình tương đương v i m + 2 cot 2x ≥ 2(1 + cot2 2x). (1.3) Đ t cot 2x = t, b t phương trình (1.3) tr thành 2t2 − 2t + 2 − m ≤ 0. (1.4) Như v y, yêu c u c a bài toán tương đương v i vi c tìm m đ (1.4) có nghi m t ∈ (1, +∞). Ta có ∆ = 2m − 3. 3 • N u ∆ < 0, t c m < thì v trái c a (1.4) luôn dương, nên (1.4) vô nghi m. 2 3 • N u ∆ = 0, t c m = thì b t phương trình (1.4) có nghi m 2 1 t= ∈ (1, +∞), (lo i). / 2 3 • N u ∆ > 0, t c m > thì b t phương trình (1.4) có nghi m 2 √ √ 1 − 2m − 3 1 + 2m − 3 ≤t≤ . 2 2 B t phương trình (1.4) có nghi m t ∈ (1, +∞) khi và ch khi √ 1 + 2m − 3 > 1 ⇔ m > 2. 2 π V y đ b t phương trình có nghi m thu c kho ng 0; thì m > 2. 8 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
10 1.2 Tam th c b c (α, β) 1.2.1 Đ nh nghĩa và các tính ch t cơ b n Đ nh nghĩa 1.1 (xem [2],[6]). Bi u th c f(α,β) (x) := axα + bxβ + c, 0 = a, b, c ∈ R, α > β > 0, x ≥ 0 (1.5) đư c g i là tam th c b c (α, β). Nh n xét r ng, khi α, β ∈ Z+ thì tam th c b c (α, β) tương ng đư c xét c đ i v i s âm như đ i v i tam th c b c hai thông thư ng. Ti p theo, ta s ch ra nhi u tính ch t c a tam th c b c (α, β) như tính đ ng bi n, ngh ch bi n, l i, lõm và các b t đ ng th c liên quan đ n nó có nhi u đi m chung đ i v i tam th c b c hai quen bi t. B ng cách đ t n ph xβ = t, ta có th chuy n tam th c b c (α, β) v d ng tam th c b c (γ, 1) g(γ,1) (t) := atγ + bt + c, (1.6) α trong đó γ = > 1 và (1.6) đóng vai trò như tam th c b c hai v i s 2 đư c thay b i β s γ (γ > 1). Ti p theo, ta kh o sát tính đ ng bi n, ngh ch bi n và tính l i, lõm c a tam th c b c (α, β). Đ xác đ nh, ta kh o sát trư ng h p ng v i a > 0 (trư ng h p khi a < 0 đư c xét tương t ). Gi s f (x) = axα + bxβ + c, α > β > 0, x ≥ 0. Ta có f (x) = αaxα−1 + βbxβ−1 . Khi đó, n u b ≥ 0 thì f (x) > 0, ∀x ∈ R+ , t c f (x) luôn luôn đ ng bi n trên R+ . bβ 1/(α−β) N u b < 0 thì f (x) = 0 có nghi m duy nh t x0 = − . aα V y nên, trong kho ng (0, x0 ) thì f (x) < 0 và trong kho ng (x0 , +∞) thì f (x) > 0. Ta t ng k t các k t qu kh o sát ph n trên dư i d ng tính ch t sau. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
11 Tính ch t 1.4. Khi a > 0, b ≥ 0 thì tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) := axα + bxβ + c luôn luôn đ ng bi n trên (0, +∞). Tính ch t 1.5. Khi a > 0, b < 0 thì tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) := axα + bxβ + c bβ 1/(α−β) ngh ch bi n trong (0, x0 ) và đ ng bi n trong (x0 , +∞), trong đó x0 = − . aα H qu 1.2. Khi a > 0 thì  c, n u b ≥ 0 min{f(α,β) (x)} = bβ 1/(α−β) x≥0 f − , n u b ≥ 0. aα Ti p theo, ta xét tính l i, lõm c a tam th c b c (α, β). V sau, trong các ph n ti p theo, ta s ch ra m i liên h sâu s c gi a tính l i, lõm c a tam th c b c (α, β) v i các b t đ ng th c c đi n quen bi t như b t đ ng th c Bernoulli, Karamata, Jensen , ... Xét tam th c b c (α, β) d ng f(α,β) (x) := axα + bxβ + c, α > β > 0. Khi đó f (x) = αaxα−1 + βbxβ−1 , f (x) = α(α − 1)axα−2 + β(β − 1)bxβ−2 . Ta có m t s nh n xét sau đây trong các trư ng h p đ c bi t c a α và β. Tính ch t 1.6. N u β = 1 thì α > 1 và af (x) = α(α − 1)a2 xα−2 > 0 trong (0, +∞), t c là f (x) luôn luôn l i trong (0, +∞) ng v i a > 0 và luôn luôn lõm trong (0, +∞) ng v i a < 0. Tính ch t 1.7. N u α = 1 thì β < 1 và bf (x) = β(β − 1)b2 xβ−2 < 0 trong (0, +∞), t c là f (x) luôn luôn l i trong (0, +∞) ng v i b < 0 và luôn luôn lõm trong (0, +∞) ng v i b > 0. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
12 Gi s 0 < α, β = 1, khi đó f (x) = 0 ⇔ α(α − 1)axα−2 + β(β − 1)bxβ−2 = 0 b β(β − 1) ⇔ xα−β = − . a α(α − 1) b β(β − 1) Nh n xét r ng, n u − · < 0 thì f (x) không có nghi m. V y nên, ta có a α(α − 1) Tính ch t 1.8. b β(β − 1) i) N u a(α − 1) > 0 và − · < 0 thì f (x) là hàm l i trên R+ . a α(α − 1) b β(β − 1) ii) N u a(α − 1) < 0 và − · < 0 thì f (x) là hàm lõm trên R+ . a α(α − 1) b β(β − 1) Bây gi , ta xét ti p trư ng h p − · > 0. Khi đó a α(α − 1) 1 b β(β − 1) α−β f (x) = 0 ⇔ x0 = − . a α(α − 1) Khi đó, n u a(α − 1) > 0 thì f (x) đ i d u t âm sang dương qua x0 . N u a(α − 1) < 0 thì f (x) đ i d u t dương sang âm qua x0 . V y nên ta có th phát bi u k t qu trên dư i d ng tính ch t sau. Tính ch t 1.9. b β(β − 1) i) N u a(α − 1) > 0 và − · > 0 thì f (x) là hàm lõm trong kho ng (0, x0 ) và a α(α − 1) l i trong kho ng (x0 , +∞). b β(β − 1) ii) N u a(α − 1) < 0 và − · > 0 thì f (x) là hàm l i trong kho ng (0, x0 ) và a α(α − 1) lõm trong kho ng (x0 , +∞). Đ nh lí 1.6 (T.Popoviciu (xem [3])). V i m i hàm l i trên I(p, q) và v i m i x, y, z ∈ I(p, q), ta đ u có b t đ ng th c x+y+z x+y y+z z+x f (x) + f (y) + f (z) + 3f ≥ 2f + 2f + 2f . (1.7) 3 2 2 2 Nh n xét r ng đ nh lí trên là m t m r ng th c s c a các k t qu quen bi t (b t đ ng th c Jensen) v hàm l i. Th t v y, theo b t đ ng th c Jensen, thì x+y y+z z+x f (x) + f (y) + f (z) ≥ f +f +f . 2 2 2 Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
13 và x+y+z x+y y+z z+x 3f ≤f +f +f . 3 2 2 2 Do v y, đ nh lí T.Popoviciu cho ta th c hi n phép c ng trái chi u. Ch ng minh. Ta coi x ≥ y ≥ z. Khi đó x y ra m t trong hai kh năng x+y+z x≥ ≥y≥z 3 ho c x+y+z x≥y≥ ≥ z. 3 x+y+z khi đó ta ch c n xét trư ng h p x ≥ y ≥ ≥ z là đ . 3 Khi đó d dàng ki m tra x+y+z x+y+z x+y+z x≥y≥ ≥ ≥ ≥ z, (1.8) 3 3 3 x+y x+y x+y x+y x+y x+y ≥ ≥ ≥ ≥ ≥ . (1.9) 2 2 2 2 2 2 và x+y+z x+y y+z z+x x+y+z+3 =2 + + . 3 2 2 2 Ta thu đư c dãy (1.8) g n đ u hơn (1.9). Theo đ nh lí Karamata, ta đư c đi u ph i ch ng minh. b β(β − 1) H qu 1.3. Khi a(α − 1) > 0 và − · < 0 thì tam th c b c (α, β) d ng a α(α − 1) f(α,β) (x) tương ng th a mãn đi u ki n đ nh lý T.Popoviciu và ta có b t đ ng th c tương t như (1.7) đ i v i f(α,β) (x). 1.2.2 M t s ví d v tam th c b c (α, β) thư ng g p Ví d 1.7. Ví d đi n hình nh t c a d ng tam th c b c (α, β) thư ng đư c quy v b c hai là d ng tam th c b c (4, 2). Đó chính là đa th c trùng phương f (x) = ax4 + bx2 + c. B ng phép đ t n ph x2 = t, ta thu đư c tam th c b c hai g(t) := at2 + bt + c xét trên t p các s không âm. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
14 Ví d 1.8. Các đa th c b c ba P (x) = ax3 + bx2 + cx + d khuy t lũy th a b c 2 (b = 0) ho c khuy t lũy th a b c 1 (c = 0) cho ta các d ng tam th c b c (3, 1) và (3, 2) tương ng. Đ ý r ng, b ng các phép bi n đ i hình h c đơn gi n như phép t nh ti n (x = t+λ), 1 đ ng d ng (x = λt), ngh ch đ o (x = ), ta d dàng chuy n các phương trình b c 3 t t ng quát v các d ng tam th c b c (3, 1) và (3, 2) tương ng. Ví d 1.9. Hàm s G(x) = xα − αx + α − 1 v i α > 1 chính là m t d ng c th c a tam th c b c (α, 1) có tính ch t r t quan tr ng G(x) ≥ 0, ∀x > 0. (1.10) D u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1. Đ ý r ng (1.10) chính là b t đ ng th c Bernoulli quen bi t trong chương trình toán b c ph thông. Ví d 1.10. Đ i v i c p s dương a, b và c p s th c µ, ν sao cho aµ + bν = 0, ta thu đư c m t d ng c th c a phân th c chính quy Q(x) = axµ + bxν + c, x > 0, (1.11) có tính ch t Q(x) ≥ Q(1), ∀x > 0. Đ ý r ng (1.11) chính là m t d ng c th c a tam th c b c (µ, ν) t ng quát. 1.2.3 Đi u ki n đ tam th c b c (α, β) dương trên (0, +∞) Cho tam th c b c (α, β) tuỳ ý f(α,β) (x) = axα + bxβ + c, x > 0, α > β > 0. Ta có f(α,β) (x) = αaxα−1 + βbxβ−1 , x > 0. Khi đó f(α,β) (x) = 0 có nghi m khi và ch khi x = x0 , v i 1 β b α−β x0 = − · . α a Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
15 Xét trư ng h p a > 0, khi đó (i) N u b ≥ 0 thì f(α,β) (x) ≥ 0. Khi đó f(α,β) (x) là hàm đ ng bi n. (ii) N u b = 0 thì f(α,β) (x) = 0 ⇔ x = x0 . L p b ng x 0 x0 +∞ f (x) 0 c +∞ f (x) V y f(α,β) (x) ≥ f(α,β) (x0 ), ∀x ∈ [0, +∞). Khi a < 0 thì ta có k t qu ngư c l i f(α,β) (x) ≤ f(α,β) (x0 ), ∀x ∈ [0, +∞). Tương t như trư ng h p tam th c b c hai, ta kí hi u: β β β b α−β ∆(α,β) = −af (x0 ) = (−ba) 1 − − · − ca. α α a H qu 1.4. Phương trình f(α,β) (x) = 0 có nghi m khi và ch khi ∆(α,β) ≥ 0. i) N u ∆(α,β) = 0 thì phương trình có m t nghi m trong [0, +∞). ii) N u ∆(α,β) > 0 thì phương trình có hai nghi m trong [0, +∞). H qu 1.5. N u t n t i x1 ∈ (0, +∞) sao cho af(α,β) (x1 ) < 0 thì tam th c f(α,β) (x) có nghi m trong (0, +∞). H qu 1.6. (B t đ ng th c Bernoulli) i) V i m i α ≥ 1 xα + α − 1 ≥ αx, ∀x ∈ (0, +∞). ii)V i 0 < α < 1 xα + α − 1 ≤ αx, ∀x ∈ (0, +∞). Ví d 1.11. Gi i phương trình 4|x| + 2|x| = 4x + 2. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
16 Gi i. Theo b t đ ng th c Bernoulli, ta có: tα + α − 1 ≥ αt, ∀t > 1, α ≥ 1 tα + α − 1 ≤ αt, ∀t > 1, 0 < α ≤ 1 Suy ra 2x ≥ x + 1, 4x ≥ 3x + 1 khi x ≥ 1, và 2x ≤ x + 1, 4x ≤ 3x + 1 khi x ∈ [0, 1). Khi x < 0 thì v trái nh hơn v ph i. Đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 0 và x = 1, t đó suy ra phương trình có nghi m x = 0, x = 1. V y phương trình đã cho có nghi m x = 0, x = 1. Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
17 Chương 2 Các bài toán liên quan đ n tam th c b c (α, β) Trong chương này s mô t các b t đ ng th c Bernoulli, b t đ ng th c AM - GM và m t s d ng m r ng c a chúng đ i v i b s có t ng không đ i,... như là các ng d ng tr c ti p t các tính ch t c a tam th c b c (α, β). 2.1 M i liên h gi a tam th c b c hai, b c (α, 1) và các b t đ ng th c Bernoulli, b t đ ng th c AM - GM Ta có nh n xét r ng b t đ ng th c Cauchy dư i d ng sơ đ ng x2 + 1 ≥ 2x , ∀x ∈ R. (2.1) Ta nh n th y (2.1) có th xem như b t đ ng th c “tam th c b c (2, 1)” ( ng v i lu th a 2 và lu th a 1 c a x) trong trư ng h p d u đ ng th c x y ra khi và ch khi x = 1. Khi đó, ta d dàng m r ng d ng b t đ ng th c cho tam th c b c (α, 1); (α > 1), đ thu đư c b t đ ng th c có d ng tương t như (2.1) b ng cách thay s 2 b i α. Th t v y, ta c n thi t l p b t đ ng th c d ng xα + (?) ≥ αx , ∀x ∈ R+ . (2.2) sao cho d u đ ng th c v n x y ra khi và ch khi x = 1. Thay x = 1 vào (2.2) ta nh n đư c (?) = α − 1, t c là (2.2) có d ng xα + α − 1 ≥ αx , ∀x ∈ R+ . (2.3) Số hóa bởi Trung tâm Học liệu - Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn