Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập nghiệm của phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:73

Thêm vào BST

Báo xấu

68
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập nghiệm của phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic giới thiệu tới các bạn những nội dung về tính khác rỗng của tập nghiệm, tính Rδ của tập nghiệm, tính continuum của tập nghiệm, một dạng tổng quát của phương trình.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tập nghiệm của phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trọng TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Ngọc Trọng TẬP NGHIỆM CỦA PHƯƠNG TRÌNH VI TÍCH PHÂN VOLTERRA ĐỐI SỐ LỆCH PHI TUYẾN LOẠI HYPERBOLIC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. Lê Hoàn Hóa Thành phố Hồ Chí Minh – 2011
MỤC LỤC MỤC LỤC ................................................................................................................ 3 T 1 T 1 BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG ............................................................ 4 T 1 T 1 PHẦN MỞ ĐẦU ....................................................................................................... 6 T 1 T 1 CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM ................................... 13 T 1 T 1 1.1.Giới thiệu bài toán. ................................................................................................. 13 T 1 T 1 1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng. ........................................................... 16 T 1 T 1 1.3. Tính khác rỗng của tập nghiệm ............................................................................ 33 T 1 T 1 CHƯƠNG 2. TÍNH T 1 T 1 Rδ T 1 CỦA TẬP NGHIỆM ................................................... 34 T 1 2.1. Khái niệm và tính chất của tập co rút tuyệt đối, tập acyclic và tập Rδ . ............... 34 T 1 T 1 T 1 T 1 2.2.Hệ ngược và giới hạn ngược ([12]) ........................................................................ 35 T 1 T 1 2.2.1.Định nghĩa hệ ngược .......................................................................................... 35 T 1 T 1 2.2.2.Giới hạn ngược................................................................................................... 36 T 1 T 1 2.3. Tính Rδ của tập nghiệm ......................................................................................... 36 T 1 T 1 T 1 T 1 CHƯƠNG 3. TÍNH CONTINUUM CỦA TẬP NGHIỆM ................................... 56 T 1 T 1 3.1.Bậc tôpô của trường compact ................................................................................. 56 T 1 T 1 3.2.Tính continuum của tập nghiệm ............................................................................ 57 T 1 T 1 CHƯƠNG 4. MỘT DẠNG TỔNG QUÁT CỦA PHƯƠNG TRÌNH T 1 T 1 (T ) .......... 66 KẾT LUẬN............................................................................................................. 69 T 1 T 1 TÀI LIỆU THAM KHẢO ..................................................................................... 71 T 1 T 1
BẢNG MỘT SỐ KÝ HIỆU ĐÃ SỬ DỤNG ¥ Tập hợp các số tự nhiên {1, 2,...} ¢+ Tập hợp ¥ U {0} ¥σ Tập hợp các số tự nhiên lớn hơn σ ¡ Tập hợp các số thực ¡ + Tập hợp các số thực không âm ¡ σ Tập hợp các số thực lớn hơn hoặc bằng σ Ω Bao đóng của Ω ∂Ω Biên của Ω conv ( Ω ) Bao lồi đóng của Ω A× B Tích Descartes của hai tập hợp A và B ∏ Xα Tích Descartes của họ ( X α )α∈I α∈I (X, • n) Không gian Frechet X với họ nửa chuẩn { • n }n ( E, • ) Không gian Banach E với chuẩn • • X Chuẩn trên không gian Banach X X* Không gian các phiếm hàm tuyến tính liên tục trên X C ( Ω, E ) Không gian các hàm liên tục u : Ω → E C1 ( Ω, E ) Không gian các hàm khả vi liên tục u : Ω → E Cr Không gian các hàm liên tục u : [ − r ,0] → E Cσ Không gian các hàm liên tục u : [ − r , σ ] → E f : X → Y, f A Ánh xạ thu hẹp của ánh xạ f trên tập con A ⊂ X L1 ( Ω ) Không gian các hàm khả tích u : Ω → ¡ L ( E, F ) Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục A : E → F { Xα ,παβ , Ω} Hệ ngược
lim ← X α { } Giới hạn ngược của hệ ngược X α , π αβ , Ω f og Hợp thành của hai ánh xạ f và g D ⊂ E, i : D → E Ánh xạ nhúng định bởi i ( u ) = u I : X → X ,IX : X → X Ánh xạ đồng nhất trên X B ( x, r ) Quả cầu mở tâm x bán kính r B ( x, r ) Quả cầu đóng tâm x bán kính r deg ( f , D, p ) Bậc tôpô của trường compact f trên tập D tại p . ■ Kết thúc chứng minh
PHẦN MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình là một lĩnh vực rộng lớn của toán học và được nhiều tác giả quan tâm nghiên cứu. Trong đó lớp phương trình vi tích phân đóng vai trò quan trọng. Các kết quả của lĩnh vực này tìm được nhiều ứng dụng trong vật lý, hóa học, sinh học cũng như trong việc nghiên cứu các mô hình phát triển xuất phát từ kinh tế học. Khi khảo sát một phương trình, trước tiên ta muốn nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của nó. Khi phương trình đã có nghiệm thì một câu hỏi tự nhiên được đặt ra là: liệu nghiệm có duy nhất hay không và trong trường hợp phương trình có nhiều nghiệm thì tập nghiệm có những tính chất gì? Năm 1890, Peano chứng minh rằng bài toán Cauchy T 0  x′ ( t ) = g ( t , x ( t ) )    x ( 0 ) = x0  (với t ∈ [ 0, a ] ⊂ ¡ và g : [ 0, a ] × ¡ n →¡ n là hàm liên tục) có nghiệm địa phương mặc dù tính duy nhất nghiệm không được đảm bảo. Nhận xét này đã thúc đẩy việc nghiên cứu cấu T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 trúc tập nghiệm T 0 T 0 S của bài toán Cauchy. Một điểm đáng lưu ý là chính Peano đã chỉ ra rằng, T3 0 T3 0 T3 0 trong trường hợp T3 0 T3 0 T3 0 n = 1, S (t ) tất cả các tập= { x ( t ) : x ∈ S } đều là continuum (tức compact liên thông khác rỗng) trong tôpô thông thường của ¡ , với t thuộc một lân cận của t0 . Năm 1923, Kneser đã tổng quát kết quả này cho trường hợp n bất kỳ. Năm 1928, T 0 T3 0 T3 0 Hukuhara chứng minh rằng S là continuum ngay cả khi thay ¡ n bằng không gian Banach thực tùy ý. Do đó tính chất continuum còn được gọi là tính chất Hukuhara-Kneser. Một tính chất đặc biệt hơn của T 0 S được tìm thấy năm 1942 bởi Aronszajn. Trong [1] Aronszajn đã cải thiện kết quả của Kneser bằng cách chứng minh tập nghiệm T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 S của bài toán Cauchy thậm chí còn là Rδ tập- một trường hợp đặc biệt của tập continuum. Điều này dẫn đến S là acyclic, nghĩa là nếu không có tính Lipschitz của vế phải g thì S có thể có nhiều hơn một phần tử nhưng theo quan điểm tôpô đại số thì nó tương đương với một điểm, theo nghĩa nó có cùng các nhóm đồng điều giống như không gian một điểm. Do đó, một số tác giả gọi tính chất Rδ là tính chất Aronszajn.
Cũng theo hướng nghiên cứu về cấu trúc tập nghiệm, năm 1986 trong bài báo [2] T 0 F.S.De Blasi và J.Myjak chứng minh được tính Rδ của tập nghiệm bài toán Darboux  z xy = f ( x, y, z )    z ( x,0 ) φ= =  ( x ) ; z ( 0, y ) ψ ( y ) với I = [ 0,1] ; φ ,ψ : I → ¡ T 0 d là các hàm liên tục tuyệt đối cho trước thỏa φ ( 0 ) = ψ ( 0 ) và ánh xạ f : Q × ¡ d →¡ d (trong đó Q= I × I ) thỏa mãn các điều kiện sau T 0 ( i ) f (.,., z ) đo được với mọi z∈¡ d ; T 0 ( ii ) f ( x, y,.) liên tục với hầu hết ( x, y ) ∈ Q ; T 0 ( iii ) Tồn tại một hàm khả tích α : Q → [ 0, ∞ ) thỏa mãn f ( x, y, z ) ≤ α ( x, y ) với mọi ( x, y , z ) ∈ Q × ¡ d . T 0 Gần đây, năm 2005 trong [10] A.Dutkiewicz và S.Szufla xem xét phương trình tích phân t x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds ( *) 0 với các giả thiết sau: T 0 Giả sử D = [ 0, a ] là một đoạn compact của T 0 ¡ , ( E, • ) là không gian Banach đầy đủ { x ∈ E : x ≤ b} . yếu theo dãy và B = Ta xét họ B T 0 T 0 gồm tất cả các tập bị chặn khác rỗng của E . Với T 0 A ∈B T 0 ta định T 0 ( A) inf {ε > 0 : tồn tại một tập compact yếu nghĩa β= K } thỏa mãn A ⊂ K + ε B ( 0,1) (trong { x ∈ E : x ≤ 1} ). đó B ( 0,1) = T 0 (i ) f : D× B → E liên tục yếu và thỏa f ( t , x ) ≤ M với mọi ( t , x ) ∈ D × B ; H (t, s ) ( ii ) K ( t , s ) = , trong đó 0 < r
1 δ 1  s  1−r g (t ) > 0 với mọi t >0 và ∫ s  g ( s )  ds = ∞ (δ >0 cho trước) sao cho 0   β ( f ( J × X ) ) ≤ g ( β ( X ) ) với mọi X ⊂ B. Hai tác giả gọi nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là hàm liên tục yếu T 0 t x:J → B thỏa x ( t ) = ∫ K ( t , s ) f ( s, x ( s ) )ds . Khi đó, A.Dutkiewicz và S.Szufla chứng minh 0 được tập nghiệm yếu của phương trình tích phân (*) là continuum trên không gian các hàm liên tục yếu Cw ( J , E ) . Một số kết quả về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong các tài liệu [1]-[7], [10], T 0 [12], [14], [15], [18], [21], [23]-[25], [28], [29]. Riêng các kết quả về tính Rδ của tập nghiệm được đề cập trong [3], [6], [14], [15], [21], [25], [28], [29]. Tổng quan một số kết quả chính về tính chất tập nghiệm có thể tìm thấy trong [14]. Như vậy là chúng ta đã phát họa một số nét sơ lược về hướng nghiên cứu cấu trúc tập T 0 nghiệm của phương trình vi tích phân nhằm nói lên vị trí, nguồn gốc phát sinh vấn đề nghiên cứu của đề tài. Bây giờ chúng tôi sẽ trình bày một phương pháp hữu hiệu thường được sử dụng trong việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của một phương trình. Rõ ràng việc mô tả cấu trúc tập điểm bất động của một toán tử trên không gian vectơ T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 T 0 sẽ dẫn đến những kết quả tương ứng cho tập nghiệm của một phương trình. Lý do cho nhận T 0 xét này là việc tìm nghiệm của một phương trình trên một không gian vectơ luôn có thể quy về việc tìm điểm bất động của một toán tử thích hợp. Chẳng hạn nếu X là một không gian vectơ, f là một toán tử trên X và y là một phần tử cố định của X thì x0 là nghiệm của phương trình f ( x ) = y khi và chỉ khi x0 là điểm bất động của toán tử T định bởi T ( x= ) f ( x) + x − y . Vì lý do đó mà lý thuyết điểm bất động luôn được xem là một công cụ hữu hiệu trong T 0 mục tiêu nghiên cứu định lượng và định tính nhiều lớp phương trình vi tích phân. Và như vậy, sự phát triển của các kết quả về cấu trúc tập điểm bất động của các loại toán tử trên không gian vectơ cũng sẽ thúc đẩy mạnh mẽ những tiến bộ trong việc nghiên cứu cấu trúc tập nghiệm của các lớp phương trình tương ứng.
Năm 1955, Krasnosel’skii đưa ra một định lý về sự tồn tại điểm bất động của toán tử T 0 có dạng tổng của một ánh xạ co U và một ánh xạ hoàn toàn liên tục C. Kết quả này đã thúc đẩy quá trình nghiên cứu sự tồn tại nghiệm của các loại phương trình vi tích phân mà nghiệm của phương trình đó là điểm bất động của một toán tử thỏa các điều kiện của Định lý Krasnosel’skii. Nhiều tác giả tìm cách mở rộng Định lý này bằng cách thay đổi “kiểu co” của toán T 0 tử co U sao cho U vẫn có điểm bất động duy nhất. Mỗi lần như vậy, các tác giả trên lại kết hợp với toán tử hoàn toàn liên tục C để từ đó mở rộng Định lý điểm bất động Krasnosel’skii ứng với toán tử co mới. Cũng theo dòng chảy này, năm 1994 trong [17] L.H.Hoa và K.Schmitt đã đề nghị T 0 một Định lý điểm bất động kiểu Krasnosel’skii trên không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy. Một điểm thú vị là ngoài sự tồn tại điểm bất động thì tàng ẩn trong chứng minh của hai tác giả chúng ta còn thấy tồn tại một tập lồi đóng bị chặn khác rỗng D sao cho mọi điểm bất động đều thuộc D . Đối với mục tiêu nghiên cứu tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động một T 0 toán tử F thì sự kiện tồn tại tập bị chặn M chứa tập điểm bất động của T 0 T 0 F thật sự có ý nghĩa. Lý do ở đây là vì thông thường các kết quả về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động toán tử F đòi hỏi F phải là ánh xạ compact. Nhưng bằng cách hạn chế F trên tập M thì ta chỉ cần tính hoàn toàn liên tục của F để thu được tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động. Xuất phát từ ý tưởng chính đó, trong luận văn chúng tôi tiến hành nghiên cứu cấu T 0 trúc tập nghiệm phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic  t ) A ( t ) u ( t ) + L ( t ) l t u + V ( t , u ( t ) , l t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) , l su ) ds + k ( t ), t ≥ 0. u′ ( t =  0 (T )  l 0u= ϕ ∈ Cr . Công cụ chính được sử dụng là Định lý điểm bất động của toán tử dạng Krasnosel’skii trong không gian lồi địa phương đầy đủ theo dãy, Định lý về tính continuum T 0 T 0 và tính Rδ của giới hạn ngược, Định lý về tính continuum và tính Rδ của tập điểm bất động ánh xạ hoàn toàn liên tục. Trong [20], [21] chúng tôi đòi hỏi tính hoàn toàn liên tục của T 0 f để lần lượt thu được tính khác rỗng và tính Rδ của tập nghiệm phương trình
 t ) A ( t ) u ( t ) + L ( t ) l t u + V ( t , u ( t ) ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) , l su ) ds + k ( t ), t ≥ 0. u′ ( t =  0  l 0u= ϕ ∈ Cr . Trong luận văn này chúng tôi mở rộng kết quả của [20]. Bằng cách thay tính hoàn T 0 toàn liên tục bằng một tính chất nhẹ hơn - tính chất L1 − Caratheodory , chúng tôi không chỉ thu được tính khác rỗng mà còn thu được cả tính continuum của tập nghiệm. Kết cấu luận văn bao gồm phần mở đầu và bốn chương. T 0 Chương 1. Tính khác rỗng của tập nghiệm. T 0 Chương 2. Tính Rδ của tập nghiệm. T 0 T 0 Chương 3. Tính continuum của tập nghiệm. T 0 T 0 Chương 4. Một dạng tổng quát của phương trình (T ) . Kết thúc luận văn là một vài kết luận và danh mục tài liệu tham khảo. Sau đây là phần giới thiệu cho từng chương. Mở đầu Chương 1, chúng tôi đưa ra định nghĩa các không gian hàm cùng các ký hiệu T 0 cần thiết và giới thiệu về phương trình mà luận văn nghiên cứu cùng các giả thiết kèm theo. Sau đó chúng tôi đưa ra các khái niệm thiết yếu và chứng minh một số mệnh đề quan T 0 trọng. Trong đó, Định lý 1.2.10 và Định lý 1.2.12 chiếm giữ vị trí đặc biệt trong luận văn. Chúng tôi kết thúc Chương 1 bằng các định lý về sự khác rỗng của tập nghiệm. T 0 Chương 2 mở đầu bằng việc trình bày các khái niệm tập co rút tuyệt đối, tập acyclic, T 0 tập Rδ , hệ ngược, giới hạn ngược và một số tính chất liên quan. Chúng tôi cũng đưa ra một nhận xét được trích dẫn trong [28] về việc một tập Rδ thì T 0 acyclic và continuum nhưng một tập continuum có thể không là Rδ . Điều đó cho thấy tính Rδ phân biệt và thật sự mạnh hơn tính continuum. Sử dụng một kết quả của Gabor chúng tôi đưa ra một hệ quả về tính Rδ của tập điểm T 0 bất động – Hệ quả 2.3.2. Hệ quả này giúp ta khẳng định nếu một toán tử T hoàn toàn liên tục xác định trên tập con bị chặn khác rỗng của một không gian Banach và T thỏa các giả thiết của hệ quả thì tập điểm bất động của T là Rδ . Hệ quả 2.3.2 có hình thức khá tương đồng với Định lý Krasnosel’skii-Perov. Giả T 0 T 0 thiết của hệ quả này được thay đổi đôi chút so với Định lý Krasnosel’skii-Perov. Sửa đổi
này giúp ta thu được tính Rδ - tính chất này mạnh hơn tính continuum trong kết luận của Định lý Krasnosel’skii-Perov. Một khó khăn nảy sinh đó là Hệ quả 2.3.2 phát biểu trên không gian Banach nhưng tập nghiệm của phương trình (T ) lại là tập con của không gian Frechet các hàm liên tục C ([ 0, ∞ ) , E ) . Khó khăn này được giải quyết bằng cách sử dụng giới hạn ngược của hệ ngược. Ta lấy một tập con đóng khác rỗng M ⊂ C ([ 0, ∞ ) , E ) . Bằng cách = đặt M n {x [ 0,n ] : x∈M } ta thấy M n là tập con của không gian Banach X n = C ([ 0, n ] , E ) . Sau đó chúng tôi chứng minh rằng M đẳng cự với giới hạn ngược lim← M n . Mặt khác, trong [12] Gabor đã chứng minh tính Rδ của lim← M n khi tất cả M n là Rδ . Do đó để chứng minh lim← M n là Rδ chúng tôi tìm cách chứng minh M n là Rδ . Kết hợp với sự kiện tính Rδ là một bất biến tôpô ta thấy M cũng là Rδ . Trong Định lý 2.3.13, chúng tôi đã áp dụng kỹ thuật này vào việc chứng minh tính Rδ T 0 của tập nghiệm phương trình (T ) . Đây là định lý quan trọng của luận văn và đã được công bố trong [21]. Trong chương 3, chúng tôi nghiên cứu tính chất yếu hơn – tính continuum của tập nghiệm. Để thu được tính continuum chúng tôi đã giảm được đòi hỏi hoàn toàn liên tục trên f mà chỉ cần f là L1 − Caratheodory . Để đạt mục đích, từ Định lý Krasnosel’ski-Perov chúng tôi đưa ra một định lý về tính continuum của tập điểm bất động – Định lý 3.2.2. Sau đó chúng tôi áp dụng định lý này cùng kỹ thuật giới hạn ngược vào việc chứng minh tập nghiệm của phương trình (T ) là continuum - điều này được thể hiện trong Định lý 3.2.5. Định lý 3.2.2 và Định lý 3.2.5 là hai kết quả chính của chương. Trong chương 4, chúng tôi đưa ra chứng minh cho tính continuum và tính Rδ của tập T 0 nghiệm một dạng phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến mà phương trình (T ) chỉ là một trường hợp đặc biệt của phương trình này. Trong luận văn, ký hiệu ■ được dùng để kết thúc một chứng minh. Về mặt hình thức T 0 T 0 chúng tôi đánh số các Mệnh đề, Định lý, Định nghĩa, Chú ý, Hệ quả bằng thứ tự của
chương, mục và tiểu mục mà chúng có mặt (ví dụ Định lý 1.2.12 có nghĩa là Định lý này nằm ở chương 1, mục 1.2, tiểu mục 1.2.12). Trong khi trình bày, những vấn đề nào được trích dẫn sẽ chỉ nêu kết quả và nguồn T 0 gốc trích dẫn mà không đưa ra chứng minh. Chúng tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành đến các tác giả có tài liệu được chúng tôi trích dẫn trong luận văn. Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của PGS.TS Lê Hoàn Hóa. T 0 Tác giả xin bày tỏ sự kính trọng và lòng biết ơn sâu sắc đến thầy. Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy phản biện đã đọc kỹ luận văn và giúp tác giả T 0 nhiều ý kiến quý báu. Tác giả cũng xin cảm ơn các Thầy Cô ở Khoa Toán Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ T 0 Chí Minh, Phòng Sau Đại Học Trường Đại Học Sư phạm TP Hồ Chí Minh đã động viên giúp đỡ, tạo mọi thuận lợi cho tác giả trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Cuối cùng, tác giả xin gửi lời tri ân đến gia đình và bạn bè - những người đã luôn ở T 0 bên quan tâm và động viên tác giả. Sự giúp đỡ của họ đã góp phần không nhỏ vào việc hoàn T 0 thành luận văn này. TP.Hồ Chí Minh – Mùa hè 2011 Nguyễn Ngọc Trọng
CHƯƠNG 1: TÍNH KHÁC RỖNG CỦA TẬP NGHIỆM Năm 1981, trong [16] M.L.Heard đã xem xét phương trình vi tích phân Volterra phi T 0 tuyến loại Hyperbolic có dạng  t u′ ( t ) + A =  (t ) u (t ) ∫ g ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ 0 0  u ( 0 ) = u0 Và năm 1996, trong [26] R.Nagel và E.Sinestrari đã nghiên cứu phương trình vi tích T 0 phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic  t u ( t ) = Au ( t ) + ∫ K ( t , s, u ( s ) ) ds + f ( t ) , t ≥ t0  ′  t0  u ( t0 ) = u0  Các loại phương trình trên phát sinh một cách tự nhiên trong việc nghiên cứu sự đàn T 0 hồi của các vật rắn. Trong luận văn này chúng tôi quan tâm đến một dạng phương trình vi tích phân Volterra phi tuyến loại Hyperbolic có cả sự xuất hiện đối số lệch. 1.1.Giới thiệu bài toán. Cho r > 0. Ta ký hiệu • là chuẩn của không gian Banach E . [0, ∞ ) và=∆ {( t , s ) ∈ ¡ : s ≤ t} , ∆ n =∆ I [ 0, n ] với 2 Đặt ¡ = + + ×¡ + n∈¥ . = C r C ([ −r ,0] , E ) với chuẩn = u 0 sup { u ( t ) : t ∈ [ − r ,0]} . C ([ − r , ∞ ) , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ −r , ∞ ) vào E . Với t≥0 đặt l t : C ([ − r , ∞ ) , E ) → Cr định bởi l t ( u )(θ=) u ( t + θ ) với θ ∈ [ −r , 0] . Với t ∈ [ 0, d ] đặt l t : C ([ − r , d ] , E ) → Cr định bởi l t ( u )(θ=) u ( t + θ ) với θ ∈ [ −r , 0] . Với mỗi n∈¥ đặt X n = C ([ 0, n ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục u : [ 0, n ] → E .
Đặt X = C ( ¡ + , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ ¡ + vào E . Đặt F= E × Cr với chuẩn ( x, y )= x + y 0 và Η= ¡ ×F với chuẩn ( t , x ) Η= t+ x. Ta ký hiệu • L( E , E ) ; • L( C , E ) lần lượt là chuẩn trên không gian các ánh xạ tuyến tính r liên tục L ( E , E ) và L ( Cr , E ) . là tập đóng nên ∆ n =∆ I [ 0, n ] là tập đóng chứa trong tập compact [ 0,n ] . 2 2 Ta thấy ∆ Do đó ∆ n là tập compact. Định nghĩa 1.1.1 T 0 Cho T 0 X ,Y là các không gian lồi địa phương, tập con D⊂ X và toán tử liên tục T :D →Y . T 0 T gọi là hoàn toàn liên tục nếu với mọi tập con bị chặn A của D ta có T ( A) là tập compact tương đối. T 0 T gọi là compact nếu T ( D ) là tập compact tương đối. T 0 T gọi là ánh xạ riêng nếu với mọi tập con compact M của Y ta đều có T −1 ( M ) là tập con compact của D. T 0 Chú ý 1.1.2 ( i ) Toán tử compact thì hoàn toàn liên tục. ( ii ) Nếu D bị chặn và T hoàn toàn liên tục thì T compact. ( iii ) Cho D là tập con bị chặn của X và T :D→ X hoàn toàn liên tục. Xét ánh xạ nhúng i:D → X định bởi i ( x ) = x . Khi đó i −T là ánh xạ riêng. Trong luận văn này chúng tôi nghiên cứu phương trình vi tích phân Volterra đối số lệch phi tuyến loại Hyperbolic  t ) A ( t ) u ( t ) + L ( t ) l t u + V ( t , u ( t ) , l t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) , l su ) ds + k ( t ), t ≥ 0. trong u′ ( t =  0 (T )  l 0u= ϕ ∈ Cr . đó { A ( t )} là họ toán tử tuyến tính liên tục từ E vào E , { L ( t )}t ≥0 là họ toán tử tuyến tính t ≥0 liên tục từ Cr vào E và k : ¡ + → E là ánh xạ liên tục. Ta đưa ra một số điều kiện sau
(T .1) t a A ( t ) và t a L ( t ) liên tục. (T .2 ) V : ¡ + × F → E liên tục và tồn tại hàm liên tục ω : ¡ + →¡ + sao cho V ( t , x ) − V ( t , y ) ≤ ω ( t ) x − y với mọi x, y ∈ F và t ∈ ¡ + . (T .3) f :∆× F → E là hàm L1 − Caratheodory, nghĩa là (T .3.1) Với mọi x∈F hàm τ a f (τ , x ) Borel đo được; (T .3.2 ) Với hầu hết τ ∈ ∆ hàm x a f (τ , x ) liên tục; (T .3.3) Với mỗi n∈¥ và mỗi hằng số C > 0, tồn tại hàm không âm ( hC ∈ L1 [ 0, n ] 2 ) và tập compact K C trong E sao cho f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với mọi x∈F thỏa x ≤ C và với hầu hết ( t , s ) ∈ ∆ n . Trong đó L1 ( Ω ) là không gian các hàm u : Ω → ¡ khả tích trên Ω. (T±.3) f :∆× F → E hoàn toàn liên tục. f ( t , s, x ) (T .4 ) x →∞ lim = 0 đều theo ( t , s ) trên mỗi tập con bị chặn bất kỳ của ∆ . x Định nghĩa 1.1.3 T 0 u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (T ) nếu u 0,∞ ) ∈ C1 ([ 0, ∞ ) , E ) và u [ thỏa phương trình (T ) , ở đây C1 ([ 0, ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục u : [ 0, ∞ ) → E . Chú ý 1.1.4 ( i ) Ta thấy rằng nếu f ( ) thỏa T±.3 thì f thỏa (T .3) . Thật vậy, do f liên tục nên f thỏa (T .3.1) và (T .3.2 ) . Do ∆ n × BF ( 0, C ) bị chặn nên ( f ∆ n × BF ( 0, C ) ) là tập compact (ở đây { x ∈ F : x ≤ C} ). Đặt BF ( 0, C ) = KC = ( f ∆ n × BF ( 0, C ) ) và hC ( t , s ) = 1 với mọi ( t , s ) ∈ [0, n]2 . Khi đó ( hC ∈ L1 [ 0, n ] 2 ) và f ( t , s, x ) ∈ hC ( t , s ) K C với mọi ( t , s ) ∈ ∆ n và x∈F thỏa x ≤ C .
( ii ) Bây giờ chúng tôi đưa ra một ví dụ cho thấy tồn tại hàm f thỏa điều kiện (T .3) , (T .4 ) và f không thỏa T±.3 . ( ) Xét E=¡ và lấy hàm không âm, bị chặn, không liên tục h ∈ L1 ( ¡ + ×¡ + ). Đặt f :∆× F → ¡ định bởi f ( t , s, x ) = h ( t , s ) với mọi ( t , s, x ) ∈ ∆ × F . Vì với mọi x ∈ F , ánh xạ τ a f (τ , x ) chính là h nên từ tính đo được của h ta thấy (T .3.1) thỏa mãn. Ta thấy (T .3.2 ) và (T .4 ) cũng thỏa. Hơn nữa f ( t , s, x ) ∈ h ( t , s ) .{1} với mọi ( t , s, x ) ∈ ∆ × F nên (T .3.3) cũng thỏa. Vì f không liên tục nên cũng không hoàn toàn liên tục. Do đó f không thỏa T±.3 . ( ) ■ 1.2. Một số khái niệm và mệnh đề quan trọng. Đặt g : ¡ + × Cr → E định bởi ) A(t ) u ( 0) + L (t ) u + V (t, u ( 0) , u ) + k (t ) . g ( t , u= Ta chú ý rằng l t u ( 0 ) = u ( t ) nên với mọi u ∈ C ([ − r , ∞ ) , E ) ta có A(t ) u (t ) + L (t ) l tu + V (t, u (t ) , l tu ) + k (t ) = g (t, l tu ) . Với σ ≥0 đặt ¡ σ [σ , ∞ ) , ¥ σ = = {n ∈ ¥ : n > σ } . Ta chú ý rằng C ([ − r , ∞ ) , E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ [ − r , ∞ ) vào E với họ nửa chuẩn đếm được { • n } sau: x n sup { x ( t ) : t ∈ [ − r , n ]} định nghĩa như= n∈¥ σ với n ∈ ¥ σ . Ta thấy = metric ρ ( x, y ) ∑ { 2− n.min 1, x − y n } tương thích với họ nửa chuẩn n∈¥ σ { • n }n∈¥ σ . Đặt C= σ C ([ −r ,σ ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục u : [ −r ,σ ] → E với chuẩn = u σ sup { u ( t ) : t ∈ [ − r , σ ]} .
Với mỗi n ∈ ¥ σ ta đặt Yn = C ([σ , n ] , E ) là không gian Banach các hàm liên tục u : [σ , n ] → E với chuẩn = { u n sup u ( t ) : t ∈ [σ , n ] . } Đặt Y = C ( ¡ σ ,E ) là không gian Frechet các hàm liên tục từ ¡ σ vào E với họ nửa chuẩn đếm được { • n }n∈¥ σ định= bởi: u n { } sup u ( t ) : t ∈ [σ , n ] với n ∈ ¥ σ . Ta thấy= metric d ( x, y ) ∑ { 2− n.min 1, x − y n } tương thích với họ nửa chuẩn n∈¥ σ { • n }n∈¥ σ . Chú ý rằng khi σ =0 ta có= ¡ 0 ¡ += , C0 C= r ,Y X= , Yn X n . Lấy ϕ ∈ Cσ . Ta xét phương trình (Tσ )  t u ( t ) = ′ g ( t , l t u ) + ∫ f ( t , s, u ( s ) , l s u ) ds , t ≥ σ.  0 (Tσ ) Ta  u ( t ) ϕ ( t ) , t ∈ [ − r , σ ]. thấy phương trình (T ) chính là phương trình (T0 ) . Với u ∈Y đặt u : [ −r , ∞ ) → E được định nghĩa như sau u ( s ) + ϕ (σ ) − u (σ ) , s ≥ σ .  u (s) =  ϕ ( s )  , s ∈ [ − r , σ ]. Với u ∈ C ([σ , d ] , E ) đặt u : [ − r , d ] → E được định nghĩa như sau u ( s ) + ϕ (σ ) − u (σ ) , s ∈ [σ , d ].  u (s) =  ϕ ( s )  , s ∈ [ − r , σ ]. Định nghĩa 1.2.1 T 0 u : [ − r , ∞ ) → E là nghiệm của phương trình (Tσ ) nếu u σ ,∞ ) ∈ C1 ([σ , ∞ ) , E ) và u [ thỏa phương trình (Tσ ) , ở đây C1 ([σ , ∞ ) , E ) là không gian các hàm khả vi liên tục u : [σ , ∞ ) → E . Ta thấy phương trình (Tσ ) tương đương với phương trình tích phân sau
 t t s   u ( t ) = ∫ g ( s , l s u ) ds + ∫∫  f ( s ,τ , u (τ ) , l τ u ) dτ   ds + ϕ (σ ) ,t ≥ σ .  σ σ0   u ( t ) ϕ ( t )  , t ∈ [ − r , σ ]. Đặt ζ : ¡ + ( × Y → Η định bởi ζ ( t , u ) = t , u ( t ) , l t ( u ) . ) Đặt V :Y → Y , G :Y → Y định bởi s  ( ( )) t t V ( u )( t ) = ∫ g s, l s u ds + ϕ (σ ) , G ( u )( t ) = ∫  ∫ f ( s, ζ (τ , u ) )dτ  ds với t ≥σ . σ σ0  Đặt Σ là tập điểm bất động của V +G và S là tập nghiệm phương trình (Tσ ) . u ( t )  ,t ≥ σ Khi u ∈Σ thì u (σ ) = ϕ (σ ) nên u ( t ) =  ϕ ( t )  , t ∈ [ −r ,σ ] Định lý 1.2.2 T 0 T 0 Với n ∈ ¥ σ và x, y liên tục trên [σ , n ] ta có (i ) x n ≤ 2 x n + ϕσ. ( ii ) x ( t ) − y ( t ) ≤ 2 x− y n với mọi t ∈ [ − r , n ]. ( iii ) l t ( x ) − l t ( y ) 0 ≤ 2 x − y n với mọi t ∈ [ 0, n ] ( iv ) l t ( x ) 0 ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ] Chứng minh  x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ ( i ) Ta có x ( s ) =  ϕ ( s )  , s ∈ [ −r ,σ ] Nếu s ∈ [ − r , σ ] thì x ( s ) ≤ ϕ ( s ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ . Nếu s ∈ [σ , n ] thì x ( s ) ≤ x ( s ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ . Vậy x ≤ 2 x n + ϕ σ . n ( ii ) Ta có  x ( s ) − y ( s ) −  x (σ ) − y (σ )   , s ≥σ x(s) − y (s) =   0 , s ∈ [ −r ,σ ]
Khi t ∈ [ − r , σ ] ta có x ( t ) − y ( t ) =≤ 0 2 x− y n. Khi t ∈ [σ , n ] ta có x ( t ) − y ( t ) ≤ x ( t ) − y ( t ) + x (σ ) − y (σ ) ≤ 2 x − y n . Vậy x ( t ) − y ( t ) ≤ 2 x − y n với mọi t ∈ [ − r , n ] . Bây giờ ta chứng minh ( iii ) , ( iv ) . Lấy θ ∈ [ − r , 0] và t ∈ [ 0, n ] thì t + θ ∈ [ − r , n ] . ( iii ) Theo ( ii ) ta có x ( t + θ ) − y ( t + θ ) ≤ 2 x − y n . Vậy l t ( x ) (θ ) − l t ( y ) (θ ) ≤ 2 x − y n với mọi θ ∈ [ −r ,0] , t ∈ [ 0, n ] . Do đó l t ( x ) − l t ( y ) ≤ 2 x − y n với mọi t ∈ [ 0, n ] . 0  x ( s ) + ϕ (σ ) − x (σ ) , s ≥ σ  ( iv ) Ta có x ( s ) =  ϕ ( s )  , s ∈ [ −r ,σ ] Nếu t + θ ∈ [ − r , σ ] thì x ( t + θ ) = ϕ ( t + θ ) ≤ ϕ σ ≤ 2 x n + ϕ σ . Nếu t + θ ∈ [σ , n ] thì x ( t + θ ) ≤ x ( t + θ ) + x (σ ) + ϕ (σ ) ≤ 2 x n + ϕ σ . Vậy l t ( x ) (θ ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi θ ∈ [ − r , 0] và t ∈ [ 0, n ] . Do đó l t ( x ) ≤ 2 x n + ϕ σ với mọi t ∈ [ 0, n ] . ■ 0 Định lý 1.2.3 ζ liên tục và ζ ( t , u ) Η ≤ t + 4 u n + 2 ϕ σ với mọi n ∈ ¥ σ , t ∈ [ 0, n ] , u ∈ Y . Chứng minh Lấy ( t , u ) ∈ ¡ + × Y và dãy {( tn , un )}n ⊂ ¡ + × Y thỏa lim ( tn , un ) = ( t , u ) . n→∞ Do u liên tục nên lim u ( tn ) = u ( t ) . n→∞ Lấy m ∈ ¥ σ sao cho t , tn ∈ [ 0, m ] với mọi n∈¥ .  ε Lấy ε > 0, do u liên tục đều trên [ −r , m] nên tồn tại δ ∈  0,  sao cho  8 1 2 [ ] ε với mọi t , t ∈ − r , m thỏa mãn t − t < δ . u ( t1 ) − u ( t2 ) < 1 2 8
Vì lim tn = t , lim u ( tn ) = u ( t ) và lim un = u nên tồn tại n0 ∈ ¥ sao cho với mọi n→∞ n→∞ n→∞ n ≥ n0 ta có ε ( i ) tn − t < δ < . 8 ε ( ii ) u ( tn ) − u ( t ) < . 8 ε ( iii ) un − u m < . 32 Với θ ∈ [ − r , 0] , n ≥ n0 ta thấy t + θ ∈ [ −r , m] , tn + θ ∈ [ − r , m ] và tn + θ − ( t + θ ) = tn − t < δ . Vậy l t ( u ) (θ ) − l t ( u ) (θ )= u ( tn + θ ) − u ( t + θ ) < ε với mọi θ ∈ [ − r , 0] và n ≥ n0 . n 8 Do đó l t ( u ) − l t ( u ) ≤ ε với mọi n ≥ n0 . n 0 8 Khi đó ta có ( ) ζ ( t n , u n ) − ζ ( t , u ) Η = t n − t + u n ( t n ) − u ( t ) + l tn un − l t u ( )0 ≤ tn − t + un ( tn ) − u ( tn ) + u ( tn ) − u ( t ) ( ) + l tn u n − l tn u ( ) 0 + l t (u ) − l t (u ) 0 n ≤ tn − t + 2 un − u m + u ( tn ) − u ( t ) + 2 un − u m () + l tn u − l t u ( )0 ≤ tn − t + 4 un − u m () + u ( t n ) − u ( t ) + l tn u − l t u( )0. Từ đó ζ ( tn , un ) − ζ ( t , u ) ≤ ε với mọi n ≥ n0 . Η 2 Do vậy ta có lim ζ ( tn , un ) = ζ ( t , u ) . Từ đó ta thấy ζ liên tục. n→∞ Với mọi n ∈ ¥ σ , t ∈ [ 0, n ] và u ∈Y ta có ζ (t, u ) Η = t + u (t ) + l t (u ) 0 ≤ t + u n + l t (u ) 0 ≤ t + 4 u n + 2 ϕ σ . ■ Định lý 1.2.4 Khi Σ≠∅ ta đặt φ : Σ → S định bởi φ ( u ) = u . Khi đó φ là phép đẳng cự. Chứng minh