ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–
NGUYỄN THỊ ÁNH
TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
THÁI NGUYÊN - 2019
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
——————–o0o——————–
NGUYỄN THỊ ÁNH
TÍNH CHẤT MINIMAX CHO MÔĐUN MỞ RỘNG CỦA
MÔĐUN ĐỐI ĐỒNG ĐIỀU ĐỊA PHƯƠNG
Ngành: Đại số và lý thuyết số
Mã số: 8 46 01 04
Cán bộ hướng dẫn khoa học:
PGS.TS. Nguyễn Văn Hoàng
THÁI NGUYÊN - 2019
i
LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan rằng các kết quả nghiên cứu trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác. Tôi xin cam đoan mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc.
Thái Nguyên, ngày 16 tháng 04 năm 2019
Tác giả
Nguyễn Thị Ánh
ii
Xác nhận của trưởng khoa chuyên môn Xác nhận của cán bộ hướng dẫn khoa học
Lời cảm ơn
Luận văn được hoàn thành vào tháng 04/2018 dưới sự hướng dẫn của PGS. TS. Nguyễn Văn Hoàng. Tôi xin được bày tỏ lòng kính trọng và biết ơn sâu sắc tới thầy, những bài học quý giá từ trang giấy và cả những bài học trong cuộc sống thầy dạy giúp tôi tự tin hơn và trưởng thành hơn nhiều.
Tôi xin cảm ơn Phòng Đào Tạo - Đại học Sư Phạm Thái nguyên đã tạo
điều kiện để tôi hoàn thành sớm khóa học.
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn tới tất cả các thầy cô ở Đại học Thái Nguyên và các thầy ở Viện toán với những bài giảng đầy nhiệt thành và tâm huyết, xin cảm ơn các thầy cô đã luôn quan tâm và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập, tạo điều kiện cho tôi tham gia các buổi seminar và các lớp học ngoài chương trình.
Tôi xin cảm ơn tất cả các anh, em và bạn bè đã động viên giúp đỡ tôi
nhiệt tình trong quá trình học và làm luận văn.
Tôi xin được gửi cảm ơn tới tất cả thành viên trong gia đình đã tạo điều
iii
kiện cho tôi được học tập, nghiên cứu và hoàn thành luận văn.
Mục lục
Lời cam đoan ii
Lời cảm ơn iii
Mở đầu 1
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 3
1.1 Môđun Noether và môđun Artin . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.2 Iđêan nguyên tố liên kết . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
6 1.3 Môđun Ext và môđun Tor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
1.5 Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul . . . . . . . . . . 10
Chương 2 Tính chất minimax cho môđun mở rộng của môđun
đối đồng điều địa phương 12
2.1 Điều kiện cho tính chất minimax của môđun . . . . . . . . . . . . 13
. . . . . . . . . 18 2.2 Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
Kết luận . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.3 Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax . . . . . . . . 22
Tài liệu tham khảo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
28
iv
29
Mở đầu
Năm 1986, H. Zoschinger (trong [6], [7]) đã giới thiệu một lớp môđun
minimax khá thú vị: Một R-môđun M được gọi là minimax nếu tồn tại một
môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là R-môđun Artin; cũng trong
[6], ông đã đưa ra một số điều kiện tương đương với tính chất minimax. Các khái
niệm môđun a-minimax và môđun a-cominimax đưa ra bởi R. Naghipour và
các đồng nghiệp ở bài báo [1] là một sự khái quát hóa của các môđun minimax
và môđun a-cofinite. Một R-môđun M là a-minimax nếu chiều Goldie a-tương
M được gọi là có chiều Goldie hữu hạn (Gdim M ≤ ∞) nếu M không chứa
quan của bất kỳ môđun thương của M là hữu hạn. Nhắc lại rằng một R-môđun
một tổng trực tiếp vô hạn các môđun con khác không của M , hay nói cách
khác, bao nội xạ E(M ) của M phân tích được thành một tổng trực tiếp của
hữu hạn các môđun con không phân tích được. Ngoài ra, một R-môđun M
được coi là có chiều Goldie a-tương quan hữu hạn nếu chiều Goldie của môđun
M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax. Ngoài ra, ta nói rằng một R-
con a-xoắn Γa(M ) là hữu hạn. Ta đã biết rằng nếu M là môđun a-xoắn, thì
R(R/a, M )
môđun M là a-cominimax nếu giá của M chứa trong V (a) và Exti
là môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Năm 2015, M. Sedghi-L. Abdi (trong bài
R(R/a, M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0 thì M/anM là a-minimax với mọi n ≥ 0. Và khá nhiều áp dụng của kết
báo [10]) đã chứng minh được rằng nếu Exti
quả này được nghiên cứu đưa ra. Một trong số đó là chứng minh được sự tương
R(R/a, M ), TorR
i (R/a, M ) và H i(x1, . . . , xt; M ) với mọi i ≥ 0 với x1, . . . , xt là hệ sinh của iđêan a. Sử
đương giữa tính a-minimax của các R-môđun Exti
1
dụng kết quả đó, họ đã chỉ ra rằng nếu b ⊇ a sao cho M là b-minimax và
cd(b, M ) = 1, thì các R-môđun Extj
a(M )) là b-minimax với mọi i ≥ 0
R(L, H i và mọi j ≥ 0 (trong đó L là R-môđun hữu hạn sinh có giá nằm trong V (b)).
a(M ) là b-minimax với mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0.
a(M )/bnH i
Do đó H i
Mục đích của luận văn này là tìm hiểu và trình bày chứng minh chi tiết
lại các kết quả trong bài báo [10] M. Sedghi and L. Abdi (2015), Minimaxness
properties of extension functors of local cohomology modules, Inter. Electronic
J. of Albegra, Vol 17, 94-104; và một phần bài báo [1] Azami J., Naghipour
R. and Vakili B. (2009), Finiteness properties of local cohomology modules for
a - minimax modules, Proc. Amer. Math. Soc. 137, 439-448. Các bài này nói
về môđun minimax đối với một iđêan cho trước. Luận văn có bố cục gồm hai
chương. Chương 1 trình bày những kiến thức chuẩn bị cần thiết về tập Ass,
tập Supp, môđun Ext, Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul.
Chương 2 dành để trình bày kết quả chính của luận văn về tính chất minimax
cho môđun mở rộng của môđun đối đồng điều địa phương. Cụ thể, Mục 2.1
trình bày về một số khái niệm minimax, cominimax, chiều Goldie, chiều Goldie
tương quan, sau đó trình bày một số bổ đề phụ trợ dẫn đến một kết quả chính
ở mục này về điều kiện cho tính chất minimax của môđun (xem Định lý 2.1.9).
Mục 2.2 dành để trình bày một áp dụng hiệu quả của định lý chính ở mục
trước, cụ thể ta sẽ chứng minh chi tiết Định lý 2.2.1 về sự tương đương khi
R(R/a, M ), Tor(R/a, M ) và môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, . . . , xt; M ) với mọi i ≥ 0. Tiếp đến ta
khảo sát tính chất a-minimax của các môđun Exti
trình bày một kết quả mở rộng nữa cho kết quả vừa nêu, cụ thể ta thu được
Định lý 2.2.2. Mục cuối cùng trình bày kết quả nghiên cứu về sự thay đổi của
tính chất a-cominimax của môđun khi ta chuyển vành cơ sở, cụ thể ta chứng
minh chi tiết về nguyên lý chuyển vành cơ sở đối với tính chất minimax (xem
2
Định lý 2.3.2). Sau đó ta trình bày nhiều hệ quả áp dụng của tính chất này.
Chương 1
Kiến thức chuẩn bị
Ở chương này ta luôn giả thiết R là vành giao hoán Noether có đơn vị.
1.1 Môđun Noether và môđun Artin
Các kiến thức ở chương này được trình bày dựa vào các cuốn sách [9], [2], [12].
Môđun Noether là một trong những lớp môđun cơ bản nhất của Đại số
giao hoán. Sau đây ta nhắc lại định nghĩa và một số tính chất của nó.
Bổ đề 1.1.1. Cho R là một vành giao hoán và M là một R-môđun. Khi đó
các mệnh đề sau tương đương.
i) (Điều kiện hữu hạn sinh) Mọi môđun con của M là hữu hạn sinh.
ii) (Điều kiện dãy tăng) Nếu N1 ⊆ N2 ⊆ N3 ⊆ . . . ⊆ Ni ⊆ . . . là dãy các
môđun con của M , thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n;
iii) (Điều kiện tối đại) Mọi tập khác rỗng các môđun con của M đều có phần
tử tối đại.
Định nghĩa 1.1.2. Một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện tương
3
đương ở Bổ đề 1.1.1 gọi là môđun Noether. Một vành giao hoán R được gọi là
vành Noether nếu nó là R-môđun Noether.
0 → M (cid:48) → M → M ” → 0.
Mệnh đề 1.1.3. i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
Khi đó M là R-môđun Noether nếu và chỉ nếu M (cid:48) và M ” là các R-môđun
Noether.
ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Noether R là một R-môđun Noether.
S−1M là một S−1R-môđun Noether.
iii) Nếu M là một R-môđun Noether và S là một tập đóng nhân của R thì
Tiếp theo ta xét khái niệm môđun Artin đó là một khái niệm đối ngẫu
của môđun Noether.
Bổ đề 1.1.4. Cho M là một R-môđun. Khi đó các mệnh đề sau tương đương:
i) (Điều kiện dãy giảm) Nếu N1 ⊇ N2 ⊇ N3 ⊇ . . . ⊇ Ni ⊇ . . . là dãy các
môđun con của M , thì tồn tại n ≥ 1 sao cho Ni = Nn với mọi i ≥ n;
ii) (Điều kiện cực tiểu) Mọi tập con khác rỗng các môđun con của M luôn có
phần tử cực tiểu.
Định nghĩa 1.1.5. Một R-môđun M thỏa mãn một trong các điều kiện tương
đương ở Bổ đề 1.1.4 gọi là môđun Artin. Một vành giao hoán R được gọi là
vành Artin nếu nó là R-môđun Artin.
Ta xét một số tính chất của môđun Artin.
0 → M (cid:48) → M → M ” → 0.
Mệnh đề 1.1.6. i) Cho dãy khớp ngắn các R-môđun
4
Khi đó M là R-môđun Artin nếu và chỉ nếu M (cid:48) và M ” là các R-môđun Artin.
ii) Mỗi R-môđun hữu hạn sinh trên vành Artin R là một R-môđun Artin.
1.2
Iđêan nguyên tố liên kết
iii) Mỗi iđêan nguyên tố trong một vành Artin R là một iđêan cực đại.
Định nghĩa 1.2.1. Cho M là R-môđun và p ∈ Spec R. Khi đó p được gọi
(0 :R x) = p. Tập tất cả các iđêan nguyên tố liên kết của M được kí hiệu là
Ass M hoặc AssR M .
là một iđêan nguyên tố liên kết của M nếu tồn tại 0 (cid:54)= x ∈ M sao cho
V (a) = {p ∈ Spec R | a ⊆ p}.
Cho a là một iđêan của R, ta kí hiệu là V (a) là tập được xác định bởi
Sau đây là một vài tính chất của tập Ass.
Mệnh đề 1.2.2. Cho M là R-môđun, N là môđun con của M , p ∈ Spec R,
và a là một iđêan của R. Khi đó ta có
i) Ass(0 :M a) = Ass M ∩ V (a).
ii) Ass N ⊆ Ass M ⊆ Ass N ∪ Ass M/N .
iii) p ∈ Ass M nếu và chỉ nếu R/ p đẳng cấu với môđun con nào đó của M .
SuppR M hoặc Supp M , được xác định bởi
SuppR M = {p ∈ Spec R | Mp (cid:54)= 0}.
Định nghĩa 1.2.3. Cho M là một R-môđun. Tập giá của M , kí hiệu là
Supp M = Supp M (cid:48) ∪ Supp M ”.
5
Mệnh đề 1.2.4. i) Cho dãy khớp môđun 0 → M (cid:48) → M → M ” → 0. Khi đó
ii) Ass M ⊆ Supp M ⊆ V (Ann M ). Nếu M là môđun hữu hạn sinh trên vành
1.3 Môđun Ext và môđun Tor
Noether thì Supp M = V (Ann M ) và Ass M là tập hữu hạn.
Định nghĩa 1.3.1. i) Một R-môđun P được gọi là xạ ảnh nếu với mỗi toàn
cấu f : M → N và mỗi đồng cấu g: P → N , luôn tồn tại đồng cấu h : P → M
sao cho g = f ◦ h.
. . .
ϕ −→ M → 0
f2−→ P2
f1−→ P1
f0−→ P0
ii) Cho M là một R-môđun. Một giải xạ ảnh của R-môđun M là một dãy khớp
trong đó Pi là các R-môđun xạ ảnh với mọi i ≥ 0.
Định nghĩa 1.3.2. i) Một R-môđun E được gọi là nội xạ nếu với mọi đơn
cấu f : N → M và đồng cấu g : N → E, luôn tồn tại đồng cấu h : M → E
sao cho g = h ◦ f .
0 → M
f2−→ . . .
ϕ −→ E0
f0−→ E1
f1−→ E2
ii) Một giải nội xạ của R-môđun M là một dãy khớp
trong đó Ei là các R-môđun nội xạ với mọi i ≥ 0.
R-môđun không tầm thường M nếu M ⊆ E và với mỗi môđun con khác không
N của E ta luôn có N ∩ M (cid:54)= 0.
Định nghĩa 1.3.3. i) Một R-môđun E được gọi là mở rộng cốt yếu của một
ii) Một R-môđun E được gọi là bao nội xạ của M nếu E là R-môđun nội xạ
và là một mở rộng cốt yếu của M .
iii) Một R-môđun M (cid:54)= 0 gọi là không phân tích được nếu nó không là tổng
6
trực tiếp của hai môđun con thực sự của nó.
Lưu ý rằng một R-môđun nội xạ E luôn biểu diễn được thành tổng trực
tiếp của các môđun con nội xạ không phân tích được (xem [9, Định lý 18.5]).
Hom(−, N ). Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
. . .
ϕ −→ M → 0.
f2−→ P2
f1−→ P1
f0−→ P0
Định nghĩa 1.3.4. Cho N là R-môđun. Xét hàm tử phản biến, khớp trái
f ∗ 2−→ . . .
0 → Hom(P0, N )
f ∗ 0−→ Hom(P1, N )
f ∗ 1−→ Hom(P2, N )
Tác động hàm tử Hom(−, N ) vào dãy khớp trên ta có đối phức
R(M, N ) = Ker f ∗
i / Im f ∗
i−1 được gọi là môđun mở rộng thứ i của
M và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M .
Khi đó Exti
Ta xét một số tính chất của môđun Ext.
Mệnh đề 1.3.5. Cho M, N là các R-môđun. Khi đó
R(M, N ) ∼= Hom(M, N ).
i) Ext0
R(M, N ) là hữu hạn sinh với mọi i ≥ 0.
ii) Nếu M , N là hữu hạn sinh thì Exti
0 → Hom(N (cid:48)(cid:48), M ) → Hom(N, M ) → Hom(N (cid:48), M ) → Ext1
R(N (cid:48)(cid:48), M ) →
→ Ext1
R(N, M ) → Ext1
R(N (cid:48), M ) → Ext2
R(N (cid:48)(cid:48), M ) → . . .
iv) Cho dãy khớp ngắn 0 → N (cid:48) → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
R(N (cid:48), M ) → Extn+1
R (N ”, M ) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.
trong đó Extn
0 → Hom(M, N (cid:48)) → Hom(M, N ) → Hom(M, N ”) → Ext1
R(M, N ”) →
→ Ext1
R(M, N ) → Ext1
R(M, N ”) → Ext2
R(M, N (cid:48)) → . . .
7
v) Cho dãy khớp ngắn 0 → N (cid:48) → N → N ” → 0 khi đó tồn tại dãy khớp dài
R(M, N ”) → Extn+1
R (M, N (cid:48)) là đồng cấu nối với mọi n ≥ 0.
trong đó Extn
− ⊗R N . Cho M là R-môđun, lấy một giải xạ ảnh của M
. . .
ϕ −→ M → 0.
f2−→ P2
f1−→ P1
f0−→ P0
Định nghĩa 1.3.6. Cho N là R-môđun. Xét hàm tử phản biến, khớp phải
. . .
f ∗ 2−→ P2 ⊗R N
f ∗ 1−→ P1 ⊗R N
f ∗ 0−→ P0 ⊗R N → 0.
Tác động hàm tử − ⊗R N vào dãy khớp trên ta có phức
i (M, N ) = Ker f ∗
i−1/ Im f ∗
i được gọi là môđun xoắn thứ i của M
Khi đó TorR
và N . Môđun này không phụ thuộc vào việc lựa chọn giải xạ ảnh của M .
Mệnh đề 1.3.7. Cho M là một R-môđun. Khi đó
R(M, N ) = M ⊗R N .
i) Tori
ii) Cho dãy khớp ngắn 0 → N (cid:48) → N → N (cid:48)(cid:48) → 0 các R-môđun. Khi đó ta có
. . . → TorR
i (M, N (cid:48)) → TorR
i (M, N ) → TorR
i (M, N (cid:48)(cid:48)) → TorR
i−1(M, N (cid:48))
→ TorR
i−1(M, N ) → TorR
i−1(M, N (cid:48)(cid:48)) → . . .
→ TorR
1 (M, N (cid:48)) → TorR
1 (M, N ) → TorR
1 (M, N (cid:48)(cid:48))
→ M ⊗R N (cid:48) → M ⊗R N → M ⊗R N (cid:48)(cid:48) → 0.
1.4 Môđun đối đồng điều địa phương
dãy khớp dài
Định nghĩa 1.4.1. Cho a là iđêan của R, và M là một R-môđun. Khi
8
đó môđun con a-xoắn của M , kí hiệu Γa(M ), được xác định bởi Γa(M ) =
n≥1(0 :M an). Cho h : M → N là đồng cấu các R-môđun, khi đó ta có đồng cấu cảm sinh Γa(h) : Γa(M ) → Γa(N ), m (cid:55)→ h(m). Khi đó Γa(−) là một hàm
(cid:83)
tử hiệp biến, tuyến tính, khớp trái từ phạm trù các R-môđun đến phạm trù
các R-môđun. Hàm tử Γa(−) gọi là hàm tử a-xoắn.
Sau đây là một số tính chất của Γa(M ).
Mệnh đề 1.4.2. i) Γ0(M ) = M và ΓR(M ) = 0.
ii) Nếu a ⊆ b thì Γb(M ) ⊆ Γa(M ).
iii) Γa+b(M ) = Γa(M ) ∩ Γb(M ).
iv) AssR(Γa(M )) = AssR(M ) ∩ V (a) với M là R-môđun Noether.
v) Nếu R là Noether thì AssR(M/Γa(M )) = AssR(M ) \ V (a).
Định nghĩa 1.4.3. Cho M là R-môđun, khi đó tồn tại giải nội xạ của M có
φ
0 → M
−→ E0 d0
−→ E1 d1
−→ E2 d2
−→ . . . di−1
−−→ Ei di
−→ . . . .
dạng
di+1 ∗−−→ . . . .
d2 ∗−→ . . .
di ∗−→ Γa(Ei+1)
di−1 ∗−−→ Γa(Ei)
d1 ∗−→ Γa(E2)
0 → Γa(E0)
d0 ∗−→ Γa(E1)
Tác động hàm tử Γa(−) vào dãy khớp trên ta được phức sau
a(M ) = Ker di
∗/ Im di−1
∗
được gọi là môđun đối đồng điều địa phương Khi đó H i
thứ i của M đối với iđêan a.
Mệnh đề 1.4.4. Cho a là iđêan của R và M là R-môđun. Khi đó
a (M ) ∼= Γa(M ).
i) H 0
ii) Nếu 0 → M (cid:48) → M → M ” → 0 là dãy khớp ngắn khi đó với mọi n ≥ 0
(M (cid:48)) sao cho dãy sau là khớp
a(M ”) → H i+1
a
0 → Γa(M (cid:48)) → Γa(M ) → Γa(M ”) → H 1
a (M (cid:48)) → H 1
a (M )
→ H 1
a (M (cid:48)) → . . .
a (M ”) → H 2
9
luôn tồn tại đồng cấu nối H i
1.5 Phức Koszul, đồng điều và đối đồng điều Koszul
Trước hết ta nhắc lại một số kiến thức căn bản về phức Koszul (theo [2,
5.2] và [12, Mục 1.6]). Trong phần này ta luôn giả thiết R là vành Noether, a
là iđêan của R và M là R−môđun.
Chú ý 1.5.1. Cho dãy x = x1, . . . , xn các phần tử của R. Lấy Rn là R−môđun
K•(x1, . . . , xn; R) (hoặc K•(x; R)) được xác định như sau:
0 → Kn(x; R) dn−→ Kn−1(x; R)
dn−1−−→ . . . d2−→ K1(x; R) d1−→ K0(x; R) → 0,
tự do có cơ sở {e1, . . . , en}. Phức Koszul của R ứng với dãy x, kí hiệu là
K0(x; R) = R
Kr(x; R) = 0 với mọi r < 0 hoặc r > n,
trong đó
và mỗi khi 1 ≤ r ≤ n ta có Kr(x; R) = (cid:76) Rei1i2...ir là R-môđun tự do có hạng (cid:1) với cơ sở là {ei1i2...ir | 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ir ≤ n}. Với mỗi 1 ≤ r ≤ n là (cid:0)n r
r (cid:88)
.
dr(ei1i2...ir) =
(−1)h−1xhei1... (cid:98)ih...ir
h=1
và 1 ≤ i1 < i2 < · · · < ir ≤ n, ta có vi phân dr xác định bởi
i = 0, . . . , n) là môđun đối đồng điều của đối phức
Hom(K•(x; R), M ) : · · · → Hom(Ki−1(x; R),M ) → Hom(Ki(x; R), M )
→ Hom(Ki+1(x; R), M ) → . . . .
(ii) Với một R−môđun M ta kí hiệu H i(x1, . . . , xn; M ) hoặc H i(x; M ) (với
10
Ta gọi H i(x; M ) là môđun đối đồng điều Koszul thứ i của M đối với dãy x.
i = 0, . . . , n) là môđun đồng điều của phức
K•(x; R) ⊗R M : . . . → Ki+1(x; R) ⊗R M → Ki(x; R) ⊗R M
→ Ki−1(x; R) ⊗R M → . . . .
(iii) Với một R−môđun M ta kí hiệu Hi(x1, . . . , xn; M ) hoặc Hi(x; M ) (với
Ta gọi Hi(x; M ) là môđun đồng điều Koszul thứ i của M ứng với dãy x.
H i(x; M ) ∼= Hn−i(x; M )
(iv) ([12, Mệnh đề 1.6.10]) Ta luôn có đẳng cấu
với mọi i = 0, . . . , n.
di−1−−→ . . .
C : . . . → Ci+1
di+1−−→ Ci
di−→ Ci−1
Chú ý 1.5.2. (i) Cho phức các đồng cấu môđun
Với mỗi i ta kí hiệu Zi = Ker(di) và Bi = Im(di+1) và gọi chúng lần lượt là
môđun bờ thứ i và môđun xích thứ i của phức C. Môđun Hi = Zi/Bi gọi là
môđun đồng điều thứ i của phức C.
T : . . . → T i−1 di−1
−−→ T i di
−→ T i+1 di+1
−−→ . . .
(ii) Cho đối phức các đồng cấu môđun
Với mỗi i ta kí hiệu Z i = Ker(di) và Bi = Im(di−1) và gọi chúng lần lượt
H i = Z i/Bi gọi là môđun đối đồng điều thứ i của phức T .
11
là môđun đối bờ thứ i và môđun đối xích thứ i của đối phức T . Môđun
Chương 2
Tính chất minimax cho môđun mở
rộng của môđun đối đồng điều địa
phương
Trong suốt chương này, R sẽ luôn giả thiết là vành giao hoán Noether
có đơn vị khác không, và a là một iđêan của R.
Chương này nhằm trình bày lại một cách chi tiết lại những kết quả nghiên
R; đó là các kết quả chủ yếu được tham khảo từ hai bài báo [10] M. Sedghi
cứu về môđun minimax đối với một iđêan a của một vành giao hoán Noether
and L. Abdi (2015), “Minimaxness properties of extension functors of local
cohomology modules”, Inter. Electronic J. of Albegra, Vol 17, 94-104; và bài
báo [1] Azami J., Naghipour R. and Vakili B. (2009), "Finiteness properties of
local cohomology modules for a - minimax modules", Proc. Amer. Math. Soc.
12
137, 439-448.
2.1 Điều kiện cho tính chất minimax của môđun
Mục đích của phần này là để chứng minh nếu a là một iđêan của vành
M/aM là a-minimax với mọi n ∈ N (xem Định lý 2.1.9). Ngoài ra một số ứng
giao hoán Noether R và M là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun
dụng của kết quả này cũng được đưa ra xem xét.
Trước hết ta nhắc lại các khái niệm chiều Goldie.
Định nghĩa 2.1.1. (Xem [1]) Cho M là một R-môđun. Chiều Goldie của M ,
kí hiệu Gdim M , được định nghĩa là lực lượng của tập các môđun con không
phân tích được của bao nội xạ E(M ) xuất hiện trong một phân tích của E(M )
thành tổng trực tiếp của các môđun con không phân tích được.
Ta nhắc lại rằng, với mỗi iđêan nguyên tố p, số Bass thứ 0 của M đối với
p∈AssR M µ0(p, M ).
p, kí hiệu là µ0(p, M ), được xác định bởi µ0(p, M ) = dimk(p)(HomRp(k(p), Mp)). Ta biết rằng µ0(p, M ) > 0 nếu và chỉ nếu p ∈ AssR M . Ta cũng dễ thấy Gdim M = (cid:80)
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm chiều Goldie a-tương đối của M .
Định nghĩa 2.1.2. (tham khảo trong [1], [3]) Cho a là iđêan của R và M là
một R-môđun. Chiều Goldie a-tương quan của M , kí hiệu Gdima M , được xác
định bởi công thức
µ0(p, M ).
Gdima M =
p∈V (a)
(cid:88)
H. Zoschinger đã định nghĩa khái niệm môđun minimax như sau.
Định nghĩa 2.1.3. (xem [1], [6], [7]) Một R-môđun M được gọi là minimax
nếu tồn tại một môđun con hữu hạn sinh N của M sao cho M/N là môđun
13
Artin.
Khi R là vành Noether, ta biết rằng một môđun M là minimax nếu và
chỉ nếu mọi môđun thương của M đều có chiều Goldie hữu hạn (xem trong
[6], [7]). Từ đó dẫn đến khái niệm môđun minimax đối với một iđêan a như
sau.
Định nghĩa 2.1.4. (xem [1]) Cho a là một iđêan của R. Một R-môđun M
được gọi là a-minimax (hoặc minimax đối với iđêan a) nếu chiều Goldie a-tương
quan của mọi môđun thương của M là hữu hạn, tức là Gdima(M/N ) < ∞
với mọi môđun con N của M .
Chú ý 2.1.5. Cho a là iđêan của R và M là R-môđun.
(i) Nếu a = 0, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax.
(ii) Nếu M là a-xoắn, thì M là a-minimax nếu và chỉ nếu M là minimax (xem
[3, Bổ đề 2.6]).
(iii) Nếu M là Noether hoặc Artin thì M là minimax.
(iv) Nếu b là iđêan của R sao cho b ⊇ a và M là a-minimax, thì M là b-
minimax. Đặc biệt, ta suy ra mọi môđun minimax đều là a-minimax.
Bổ đề dưới thường được dùng cho các chứng minh về sau
M (cid:48)(cid:48) → 0 là dãy khớp của các R-môđun. Khi đó M là a-minimax nếu và chỉ
Bổ đề 2.1.6. ([1, Mệnh đề 2.3]) Cho a là iđêan của R. Cho 0 → M (cid:48) → M →
nếu M (cid:48), M (cid:48)(cid:48) là a-minimax.
Chứng minh. Ta có thể giả thiết rằng M (cid:48) là môđun con của M và M (cid:48)(cid:48) = M/M (cid:48).
Nếu M là a-minimax thì từ định nghĩa ta thấy rằng cả M (cid:48) và M/M (cid:48) là a-
14
minimax. Bây giờ giả sử M (cid:48) và M/M (cid:48) là a-minimax. Lấy N là môđun con của
M và p ∈ Ass(M/N ) ∩ V (a). Khi đó dãy khớp
0 →
→
→
→ 0
M (cid:48) + N N
M N
M M (cid:48) + N
)p.
0 → (HomR(R/p,
))p → (HomR(R/p,
)p → (HomR(R/p,
M N
M M (cid:48) + N
M (cid:48) M (cid:48) ∩ N
M (cid:48)+N
M
M (cid:48)+N
cảm sinh dãy khớp
M (cid:48)+N và các tập AssR
N ∪ AssR
M
AssR
N ∩ V (a) và M (cid:48)+N ∩ V (a) là hữu hạn, nên ta suy ra rằng Gdima(M/N ) < ∞; và do
Vì AssR(M/N ) ⊆ AssR
đó M là a-minimax.
Các bổ đề sau là những tính chất về điều kiện cho tính chất minimax.
Bổ đề 2.1.7. Cho M là một R-môđun sao cho HomR(R/a, M ) là một R- môđun a-minimax. Khi đó HomR(R/an, M ) là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Ta sử dụng quy nạp theo n. Khi n = 0 hoặc n = 1, đó là hiển
nhiên theo giả thiết. Cho n > 1 và giả sử rằng kết quả đã được chứng minh
0 → (0 :M a) → (0 :M an)
f −→ a1(0 :M an) ⊕ . . . ⊕ at(0 :M an),
cho n − 1. Xét dãy khớp sau
trong đó a = (a1, . . . , at) và f (x) = (a1x, . . . , atx). Vì ai(0 :M an) là môđun con của (0 :M an), nên từ Bổ đề 2.1.6 ta suy ra rằng ai(0 :M an) là a-
minimax với mọi i = 1, . . . , t. Bây giờ ta lại áp dụng Bổ 2.1.6 lần nữa ta
suy ra HomR(R/an, M ) là a-minimax.
M/anM là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Bổ đề 2.1.8. Cho M là một R-môđun sao cho M/aM là a-minimax. Khi đó
Chứng minh. Ta dùng quy nạp theo n. Trường hợp n = 0 hoặc n = 1 là đúng
15
theo giả thiết. Cho n > 1 và giả sử kết quả đã được chứng minh cho n − 1.
Theo [1, Hệ quả 2.4] và giả thiết quy nạp, ta có (M/an−1M )k là a-minimax,
(M/an−1M )t f
−→ M/anM
g −→ M/aM → 0,
với mọi số nguyên k ≥ 0. Xét dãy khớp
f (m1 + an−1M, . . . , mt + an−1M ) = a1m1 + . . . + atmt + anM.
trong đó a = (a1, . . . , at) và
Do đó, áp dụng giả thiết quy nạp và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra M/anM là R-môđun
a-minimax.
Tiếp theo ta trình bày kết quả chính ở mục này.
R(R/a, M ) là một R- môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Khi đó M/anM là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Định lý 2.1.9. Cho M là một R-môđun sao cho Exti
Chứng minh. Theo Bổ đề 2.1.8, ta chỉ cần chỉ ra rằng M/aM là a-minimax.
M/aM (cid:39) H n(x1, . . . , xn; M ),
Cho a = (x1, . . . , xn). Khi đó, ta biết rằng
0 → HomR(K0(x), M ) → HomR(K1(x), M ) → . . . → HomR(Kn(x), M ) → 0
trong đó H n(x1, . . . , xn; M ) là kí hiệu cho môđun đối đồng điều Koszul thứ n. Ta xét đối phức Koszul K •(x, M ) = HomR(K•(x), M ) như sau:
K•(x) : 0 → Kn(x) → . . . → K2(x) → K1(x) → K0(x) → 0
trong đó
là phức Koszul của R ứng với dãy x = x1, . . . , xn. Khi đó H i(x1, . . . , xn; M ) = Z i/Bi trong đó Bi và Z i lần lượt là kí hiệu cho các môđun đối bờ và đối xích
C = {N | Exti
R(R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
16
của phức K •(x, M ). Đặt
Rõ ràng ta có M ∈ C theo giả thiết. Bằng quy nạp ta sẽ chỉ ra rằng Bj ∈ C
B0 = Im(0 → HomR(K0(x), M )) = 0 ∈ C.
với mọi j ≥ 0. Ta có
Bây giờ, cho Bt ∈ C với t ≥ 0 nào đó. Đặt C i = HomR(Ki(x), M )/Bi. Vì Kt(x)
là một R-môđun tự do hữu hạn sinh và M ∈ C, nên ta suy ra được từ Bổ đề
H t(x1, . . . , xn; M ) ⊆ (0 :C t a).
2.1.6 rằng HomR(Kt(x), M ) ∈ C. Bây giờ, vì Bt ∈ C và HomR(Kt(x), M ) ∈ C, nên ta có C t ∈ C theo Bổ đề 2.1.6. Do đó Exti R(R/a, C t) là a-minimax với mọi i ≥ 0; đặc biệt với i = 0 ta suy ra (0 :C t a) ∼= HomR(R/a, C t) là a-minimax. Theo tính chất của phức Koszul ta có aH t(x1, . . . , xn; M ) = 0, và vì thế
0 → H t(x1, . . . , xn; M ) → C t → Bt+1 → 0
Do đó H t(x1, . . . , xn; M ) là a-minimax. Kết quả là, từ dãy khớp ngắn
Bj ∈ C với mọi j ≥ 0.
và Bổ đề 2.1.6, ta suy ra rằng Bt+1 ∈ C. Do đó ta đã chứng minh được rằng
Bây giờ vì Bn ∈ C và HomR(Kn(x), M ) ∈ C, nên được C n ∈ C theo Bổ đề 2.1.6. Do đó (0 :C n a) ∼= HomR(R/a, C n) = Ext0 R(R/a, C n) là a−minimax. Vì vậy H n(x1, . . . , xn; M ) là a-minimax theo Bổ đề 2.1.6 (lưu ý H n(x1, . . . , xn; M ) ⊆ (0 :C n a)). Mặt khác, vì M/aM = H n(x1, . . . , xn; M ),
nên ta suy ra rằng M/aM là R-môđun a-minimax.
Tiếp theo ta nhắc lại khái niệm môđun cominimax đối với một iđêan
được định nghĩa bởi R. Naghipour và đồng nghiệp trong bài báo [1], đó là một
sự tổng quát hóa của môđun minimax và môđun cofinite.
17
Định nghĩa 2.1.10. Cho a là một iđêan của vành giao hoán Noether R,
R(R/a, M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
và cho M là một R-môđun. Ta nói rằng M là R-môđun a-cominimax nếu SuppR M ⊆ V (a) và Exti
Chú ý 2.1.11. Nếu dim R = 0, thì mỗi R-môđun a-cominimax M là a-
M = (0 :M an), và do đó M là a-minimax theo Bổ đề 2.1.7.
minimax. Thật vậy, vì Supp M ⊆ V (a) và R là Artin, nên ta suy ra rằng
Trường hợp tổng quát, ta có kết quả sau.
Hệ quả 2.1.12. Cho M là một R-môđun a-cominimax. Khi đó M/anM là
a-minimax với mọi n ≥ 0.
Chứng minh. Khẳng định được suy ra từ định nghĩa và Định lý 2.1.9.
H i
a(M ) là a-cominimax với mọi i. Khi đó M/anM là a-minimax với mọi n ≥ 0.
Hệ quả 2.1.13. Cho a là một iđêan của R, và M là một R-môđun sao cho
a(M ) là a-cominimax với mọi i, nên theo [1, Mệnh đề 3.7]
Chứng minh. Vì H i
R(R/a, M ) là a-minimax với mọii. Do đó kết quả của hệ
ta có R-môđun Exti
2.2 Tính chất a-minimax của các môđun Ext và Tor
quả này được suy ra từ áp dụng Định lý 2.1.9.
Như một áp dụng hiệu quả của Định lý 2.1.9 ở mục trước, ở mục này ta
R-môđun Exti
R(R/a, M ), TorR
i (R/a, M ) và H i(x1, . . . , xt; M ), với mọi i ≥ 0;
sẽ chứng minh một kết quả về sự tương đương của tính chất a-minimax của các
cụ thể là định lý sau.
R-môđun. Khi đó những khẳng định sau là tương đương:
Định lý 2.2.1. Cho a = (x1, . . . , xt) là một iđêan của R, và cho M là một
R(R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
18
i) Exti
i (R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
ii) TorR
iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, . . . , xt; M ) là R-môđun a-minimax
với mọi i ≥ 0.
Chứng minh. (i)⇒(ii) Cho
d2−→ F1
d1−→ F0 → R/a → 0
F• : . . . d3−→ F2
là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a. Ta xét
d∗ 0−→ 0.
phức sau đây:
d∗ 3−→ F2 ⊗R M
d∗ 2−→ F1 ⊗R M
d∗ 1−→ F0 ⊗R M
F• ⊗R M : . . .
i (R/a) ∼= Zi/Bi trong đó Zi = Ker(d∗
i ) là môđun xích, Bi =
Im(d∗
i+1) là môđun bờ của phức F• ⊗R M . Đặt
C = {N | Exti
R(R/a, N ) là a − minimax với mọi i ≥ 0}.
Khi đó TorR
M ∈ C (theo giả thiết) và F0 là R-môđun tự do hữu hạn sinh, nên ta có
Z0 = F0 ⊗R M ∈ C. Bây giờ giả sử Zt ∈ C với t ≥ 0 nào đó. Xét dãy khớp sau
Bằng quy nạp ta sẽ chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0. Vì
0 → Ci+1 → Zi → TorR
i (R/a) → 0,
(2.1)
Zi/aZi → TorR
i (R/a, M ) → 0.
trong đó Ci = (Fi ⊗R M )/Zi. Do đó ta nhận được dãy khớp
t (R/a, M ) là ảnh đồng cấu của Zt/aZt. Vì Zt ∈ C, nên từ Định lý
Do đó TorR
t (R/a, M ) là a-minimax.
2.1.9 ta suy ra Zt/aZt là a-minimax, và do đó TorR
Do đó từ (2.1) ta suy ra rằng Ct+1 ∈ C, vì vậy Ct+1 ∈ C. Theo quy nạp ta đã
i (R/a, M ) là
chứng minh được rằng Zj ∈ C với mọi j ≥ 0. Từ đó áp dụng Định lý 2.1.9 ta suy ra rằng Zi/aZi là a-minimax với mọi i ≥ 0, và do đó TorR
19
a-minimax với mọi i ≥ 0.
H i(x1, . . . , xt; M ) (cid:39) Hn−i(x1, . . . , xt; M ),
(ii)⇒(iii). Vì
nên để chứng minh kết quả của (iii), ta chỉ cần chỉ ra rằng Hi(x1, . . . , xt; M )
dn−1−−→ . . .
K•(x) : 0 → Kn(x) dn−→ Kn−1(x)
dn−1−−→ K1(x) d1−→ K0(x) d0−→ 0.
là a-minimax với mọi i ≥ 0. Đặt x = x1, . . . , xn. Xét dãy phức Koszul
i/B(cid:48)
i, với B(cid:48)
i và Z (cid:48)
i lần lượt là các môđun bờ và
Khi đó Hi(x1, . . . , xt; M ) = Z (cid:48)
C(cid:48) = {N | Tori
R(R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
xích của phức K•(x) ⊗R M . Đặt
0 → C (cid:48)
i+1 → Z (cid:48)
i → Hi(x1, . . . , xt; M ) → 0,
Xét dãy khớp sau
i = (Ki(x) ⊗R M )/Z (cid:48)
i. Do đó ta nhận được dãy khớp
Z (cid:48) i/aZ (cid:48)
i → Hi(x1, . . . , xt; M ) → 0.
với C (cid:48)
i ≥ 0. Do đó Z (cid:48)
0 (R/a, Z (cid:48)
i ∈ C(cid:48) với mọi i) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế
i/aZ (cid:48)
i = TorR Hi(x1, . . . , xt; M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
Bây giờ lập luận tương tự chứng minh của (i)⇒(ii), ta suy ra Z (cid:48)
(iii)⇒(i). Cho
F• : . . . → F2 → F1 → F0 → R/a → 0
là một dải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun R/a. Khi đó
R(R/a, M ) = Z i/Bi, với Bi và Z i lần lượt là các môđun đối bờ
ta suy ra Exti
C(cid:48)(cid:48) = {N | H i(x1, . . . , xt; N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
và đối xích của phức HomR(F•, M ). Đặt
0 → Exti
R(R/a, M ) → C i → Bi+1 → 0,
20
Xét dãy khớp ngắn
Exti
R(R/a, M ) ⊆ (0 :C i a) ∼= HomR(R/a, C i) ∼= H 0(x1, . . . , xt; C i)
với C i = HomR(Fi, M )/Bi. Thì theo chứng minh của Định lý 2.1.9, ta có Bi ∈ C(cid:48)(cid:48) với mọi i ≥ 0. Do đó C i ∈ C(cid:48)(cid:48) với mọi i ≥ 0. Bây giờ, vì
R(R/a, M ) là a-
và H 0(x1, . . . , xt; C i) là a-minimax, nên ta thấy rằng Exti
minimax với mọi i ≥ 0.
Định lý sau đây là một mở rộng của Định lý 2.1.9.
R(R/a, M ) là một R-
i (L, M ) là các R-môđun
R(L, M ) và TorR
Định lý 2.2.2. Cho M là một R-môđun sao cho Exti
√
√
môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Khi đó với bất kỳ R-môđun hữu hạn sinh L có SuppR(L) ⊆ V (a), ta luôn có Exti a-minimax với mọi i ≥ 0.
a ⊇ a; do đó tồn tại
AnnR L ⊇ R(L, M ) = 0 và an TorR
i (L, M ) = 0 với
Chứng minh. Vì V (AnnR L) ⊆ V (a), nên n ∈ N sao cho aL = 0. Do đó an Exti
mọi i ≥ 0. Cho
F• : . . . → F2 → F1 → F0 → L → 0
Exti
R(L, M ) = Z i/Bi, với Bi và Z i lần lượt là các môđun đối bờ và đối xích
là một giải tự do gồm các R-môđun hữu hạn sinh cho R-môđun L. Khi đó
C = {N | Exti
R(R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0},
của phức HomR(F•, M ). Đặt
0 → Exti
R(L, M ) → C i → Bi+1 → 0,
và xét dãy khớp ngắn
21
với C i = HomR(Fi, M )/Bi. Khi đó theo chứng minh của Định lý 2.1.9 và Bổ đề 2.1.7, ta có Bi ∈ C với mọi i ≥ 0. (Chú ý rằng Exti R(L, M ) ⊆ (0 :C i an)). Do đó C i ∈ C với mọi i ≥ 0. Vì vậy (0 :C i a) là a-minimax với mọi i ≥ 0, và
R(L, M ) ⊆ (0 :C i an), suy ra Exti
R(L, M )
từ đó kết hợp với Bổ đề 2.1.7 ta suy ra rằng (0 :C i an) là a-minimax với mọi i ≥ 0 và mọi n ≥ 0. Bây giờ vì Exti
là a-minimax với mọi i ≥ 0.
i (L, M ) = Zi/Bi, với Bi và Zi lần lượt là các môđun bờ
Ta cũng có TorR
C(cid:48) = {N | TorR
i (R/a, N ) là a-minimax với mọi i ≥ 0}.
và xích của phức F• ⊗R M . Đặt
0 → Ci+1 → Zi → TorR
i (L, M ) → 0,
Theo Định lý 2.2.1 và giả thiết, ta có M ∈ C(cid:48). Xét dãy khớp sau
i (L, M ) = 0 với mọi i ≥ 0, nên ta có dãy
với Ci = (Fi ⊗R M/Zi). Vì an TorR
Zi/anZi → TorR
i (L, M ) → 0.
khớp
Bây giờ, ta sử dụng lập luận như trong chứng minh Định lý 2.2.1 phần
i (L, M ) là a-minimax với mọi i ≥ 0.
2.3 Nguyên lý đổi vành cơ sở cho tính chất a-minimax
((i)⇒(ii)) và áp dụng Bổ đề 2.1.8, khi đó ta thu được Zi ∈ C với mọi i ≥ 0. Do đó, từ Bổ đề 2.1.8, ta có Zi/anZi là a-minimax với mọi i ≥ 0, và vì thế TorR
Mục này sẽ trình bày nguyên lý thay đổi vành cơ sở đối với tính chất
a-cominimax, trước hết ta cần thiết lập bổ đề sau đây.
Bổ đề 2.3.1. Cho vành giao hoán T là một ảnh đồng cấu của R, và cho M là
một T -môđun. Khi đó GdimaT M = Gdima M . Đặc biệt, M là một T -môđun
22
aT -minimax nếu và chỉ nếu M là một R-môđun a-minimax.
AssT M ∩ V (aT ) = {p/I | p ∈ AssR M ∩ V (a)}.
Chứng minh. Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R. Khi đó
HomTp(k(p), Mp) ∼= HomRp(k(p), Mp)
Mặt khác, với bất kỳ p ∈ AssR M ∩ V (a) ta có
µ0(p, M ) = µ0(p/I, M ) và điều này hoàn thành chứng minh.
như các k(p)-không gian véc tơ, trong đó p = p/I và k(p) = Rp/pRp. Do đó
Bây giờ ta đã sẵn sàng để phát biểu và chứng minh nguyên lý chuyển
vành cơ sở cho tính chất cominimax của các môđun.
T -môđun. Khi đó M là một T -môđun aT -cominimax nếu và chỉ nếu M là một
R-môđun a-cominimax.
Định lý 2.3.2. Cho vành T là một ảnh đồng cấu của R, và cho M là một
Chứng minh. Giả sử rằng T = R/I với một iđêan I nào đó của R. Khi đó ta
SuppT M = {p/I | p ∈ SuppR M }.
có
(x1, . . . , xt) và lấy ϕ : R → T là toàn cấu tự nhiên. Vì aT = (ϕ(x1), . . . , ϕ(xt)), nên từ Định lý 2.2.1 ta suy ra được Exti
T (T /aT, M ) là một T -môđun
Do đó SuppT M ⊆ V (aT ) nếu và chỉ nếu SuppR M ⊆ V (a). Cho a =
H i(ϕ(x1), . . . , ϕ(xt); M ) là các T -môđun aT -minimax với mọi i. Nhưng, theo Bổ đề 2.3.1, ta có H i(ϕ(x1), . . . , ϕ(xt); M ) là aT -minimax nếu và chỉ nếu H i(ϕ(x1), . . . , ϕ(xt); M ) là a-minimax. Bây giờ kết quả được suy ra từ đẳng
aT -minimax với mọi i nếu và chỉ nếu các môđun đối đồng điều Koszul
H i(ϕ(x1), . . . , ϕ(xt); M ) ∼= H i(x1, . . . , xt; M )
cấu
23
và Định lý 2.2.1.
R(R/a, Ker f )
Định lý 2.3.3. Cho f : M → N là một R-đồng cấu sao cho Exti
Ker Exti
R(R/a, Coker f ) đều là các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0. Khi đó R(idR/a, f ) và Coker Exti
R(idR/a, f ) cũng là các R-môđun a-minimax
và Exti
với mọi i ≥ 0.
0 → Ker f → M
g −→ Im f → 0 và 0 → Im f ι−→→ N → Coker f → 0,
Chứng minh. Các dãy khớp
. . . → Exti
R(R/a, Ker f ) → Exti
R(R/a, M ) → Exti
R(R/a, Im f ) → . . . (2.2)
(với ι ◦ g = f ) cho ta hai dãy khớp sau đây
. . . → Exti
R(R/a, Coker f ) → . . . .
R(R/a, N ) → Exti
R(R/a, Im f ) → Exti
và
(2.3)
Bây giờ vì Exti+1
i ≥ 0. Ngoài ra, cũng vì Exti
rằng Coker Exti
R (R/a, Ker f ) là a-minimax, nên từ dãy khớp (2.2) ta suy ra R(idR/a, g) và Ker Exti+1 R (id R/a, g) đều là a-minimax với mọi R(R/a, Coker f ) là a-minimax, nên từ dãy khớp R(idR/a, ι) và Ker Exti+1
R (idR/a, ι) là
(2.3) ta suy ra các R-môđun Coker Exti
a-minimax với mọi i ≥ 0.
0 → Ker Exti
R(idR/a, g) → Ker Exti
R(idR/a, f ) → Ker Exti
R(idR/a, ι)
Bây giờ điều khẳng định của định lý được suy ra từ các dãy khớp sau
Coker Exti
R(idR/a, g) → Coker Exti
R(idR/a, f ) → Coker Exti
R(idR/a, ι) → 0.
24
và
x ∈ a sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-cominimax. Khi đó M cũng là
Hệ quả 2.3.4. Cho M là một R-môđun với SuppR M ⊆ V (a). Giả sử rằng
a-cominimax.
R(1R/a, f ) là a-minimax. Bây
Chứng minh. Đặt f = x1M . Thì Ker f = (0 :M x) và Coker f = M/xM . Do đó theo Định lý 2.3.3, ta có R-môđun Ker Exti
R(1R/a, f ) = 0 nên ta có Ker Exti
R(1R/a, f ) = Exti
R(R/a, M ). Hệ
giờ, vì Exti
√
quả được chứng minh.
Hệ quả 2.3.5. Cho M là một R-môđun. Giả sử rằng x ∈ a sao cho (0 :M x)
R(R/a, ΓRx(M )) cũng là a-minimax
và M/xM đều là a-minimax. Khi đó Exti
với mọi i ≥ 0.
Ker f = (0 :ΓRx(M ) xn) = (0 :M xn),
Chứng minh. Ta có xn ∈ a với một số n nào đó. Đặt f = xn1ΓRx(M ). Khi đó ta có
0 → Coker f → M/xnM,
và Coker f = Γx(M )/xnΓx(M ). Bây giờ, từ dãy khớp
và Bổ đề 2.1.8 ta suy ra rằng M/xnM là a-minimax. Do vậy, Coker f
√
cũng là a-minimax. Vì vậy theo [1, Hệ quả 2.5] và Định lý 2.3.3, ta thu
R(1R/a, f ) là a-minimax. Nhưng vì x ∈
Exti
R(1R/a, f ) = 0, nên
Ker Exti
R(1R/a, f ) = Exti
R(R/a, ΓRx(M )),
a kéo theo rằng được Ker Exti
√
chứng minh được hoàn thành.
a Hệ quả 2.3.6. Cho M là một R-môđun có SuppR M ⊆ V (a). Giả sử x ∈
25
sao cho (0 :M x) và M/xM đều là a-minimax. Khi đó M là a-cominimax.
Chứng minh. Kết quả suy ra từ Hệ quả 2.3.5.
Trước khi làm rõ kết quả tiếp theo, ta cần nhắc lại rằng, với một R-
môđun M , chiều đối đồng điều của M đối với iđêean a được định nghĩa là
cd(a, M ) = sup{i ∈ Z | H i
a(M ) (cid:54)= 0}.
bởi
Bổ đề 2.3.7. Cho cd(a, R) = 1, và cho M là một R-môđun a-minimax. Khi
a(M ) là a-cominimax với mọi i ≥ 0.
đó H i
a (M ) là môđun con của M , nên ta suy ra H 0
a (M ) là a-
Chứng minh. Vì H 0
a(M ) = 0 với mọi i > 1. Do
cominimax. Ngoài ra, vì cd(a, R) = 1 kéo theo H i
đó, kết quả được suy ra từ [1, Hệ quả 3.9].
Bổ đề 2.3.8. Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và cho M
là một R-môđun với Γa(M ) = 0. Khi đó
H 1
b (M ) nếu j = 0, i = 1
H j
a(M )) ∼=
b(H i
0 các trường hợp còn lại
Chứng minh. Khẳng định suy ra từ chứng minh của [5, Mệnh đề 3.15].
a(M )) là b-cominimax với mọi i ≥ 0
b(H i
Hệ quả 2.3.9. Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M là một R-môđun b-minimax. Khi đó H j
và j ≥ 0.
Chứng minh. Vì cd(b, R) = 1, nên từ Bổ đề 2.3.7 ta có H j
b(Γa(M )) là b- a(M/Γa(M )),
a(M ) ∼= H i
cominimax với mọi j ≥ 0. Bây giờ cho i > 0. Vì H i
nên ta có thể giả sử Γa(M ) = 0. Vì thế, kết quả suy ra từ các Bổ đề 2.3.7 và
26
2.3.8.
Hệ quả 2.3.10. Cho b là một iđêan của R với b ⊇ a, cd(b, R) = 1, và M
a(M )) là b-minimax với mọi a(M )/bnH i
a(M ) là b-minimax
là một R-môđun b-minimax. Khi đó với mọi R-môđun hữu hạn sinh L với SuppR L ⊆ V (b), ta có các R-môđun Extj R(L, H i i ≥ 0 và mọi j ≥ 0. Đặc biệt là, các R-môđun H i
a(M )) là b-cominimax với mọi i ≥ 0
b(H i
với mọi i ≥ 0 và n ≥ 0.
a(M ))
R(R/b, H i
Chứng minh. Từ Hệ quả 2.3.9, ta có H j và mọi j ≥ 0. Do đó từ [1, Mệnh đề 3.7] ta suy ra rằng Extj
là b-minimax với mọi i ≥ 0 và j ≥ 0. Do đó, kết quả được suy ra từ Định lý
27
2.2.1 và 2.1.9.
Kết luận
Luận văn đã trình bày và chứng minh chi tiết các kết quả chính sau đây:
1. Nhắc lại các kiến thức có liên quan đến luận văn: Môđun Nother, môđun
Artin, tập giá, tập iđêan nguyên tố liên kết, môđun nội xạ, môđun xạ ảnh,
môđun Ext, môđun Tor, môđun đối đồng điều địa phương, phức Koszul.
2. Chứng minh được: Nếu a là một iđêan của vành giao hoán Noether R và M
là một môđun a-cominimax trên R, thì R-môđun M/aM là a-minimax với mọi n ∈ N.
3. Chứng minh được: Cho a = (x1, . . . , xt) là một iđêan của R, và cho M là
một R-môđun. Khi đó những khẳng định sau là tương đương:
• i) Exti
R(R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
• ii) TorR
i (R/a, M ) là một R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
• iii) Các môđun đối đồng điều Koszul H i(x1, . . . , xt; M ) là R-môđun a-
minimax với mọi i ≥ 0.
4 . Chứng minh được: Cho f : M → N là một R-đồng cấu sao cho R(R/a, Coker f ) đều là các R-môđun a-minimax R(idR/a, f ) cũng là
R(idR/a, f ) và Coker Exti
Exti R(R/a, Ker f ) và Exti với mọi i ≥ 0. Khi đó Ker Exti các R-môđun a-minimax với mọi i ≥ 0.
28
Tài liệu tham khảo
[1] Azami J., Naghipour R. and Vakili B. (2009), "Finiteness properties of local
cohomology modules for a - minimax modules", Proc. Amer. Math. Soc. 137,
439-448.
[2] Brodman M. P. and Sharp R. Y. (1998), Local cohomology ; an algebraic
introduction with geometric applications, Cambridge University Press.
[3] K. Divaani-Aazar and M. A. Esmkhani (2005), "Artinianness of local coho-
mology modules of ZD-modules", Comm. Algebra, 33(8) (2005), 2857-2863.
[4] Grothendieck A. (1967), Local cohomology, Lecture Notes in Mathematics,
Springer, Berlin.
[5] Melkersson L. (2005), "Modules cofinite with respect to an ideal", J. Algebra,
285, 649-668.
[6] Z¨oschinger H. (1986), "Minimax modules", J. Algebra, 102,1-32.
[7] Z¨oschinger H. (1988), "Uber die Maximalbedingung fur radikalvolle Unter-
moduln", Hokkaido Math. J., 17(1), 101-116.
[8] Abazari R. and Bahmanour K. (2011), "Cofiniteness of extension functors of
cofinite modules", J. Algebra. 330, 507-516.
[9] H. Matsumura (1986), Commutative ring theory, Cambridge University Press.
[10] M. Sedghi and L. Abdi (2015), "Minimaxness properties of extension functors
of local cohomology modules”, Inter. Electronic J. of Albegra, Vol 17, 94-104.
29
[11] S. Goto, “Introduction to homological methods in commutative algebra”, The
note for the lectures at Thai Nguyen Uni. from March 17 till March 19, 2016.
[12] W. Bruns and J. Herzog, “Cohen-Macaulay Rings”, Cambridge Studies in
Advanced Mathematics, Vol. 39, Cambridge Univ. Press, Cambridge, UK,
1998.
30
