Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:49

Thêm vào BST

Báo xấu

21
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt về phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, như lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị,... Mời các bạn cùng tham khảo.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính chất phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính dương trong không gian có thứ tự

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH La Hồ Tuấn Duy TÍNH CHẤT PHỔ CỦA MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH DƯƠNG TRONG KHÔNG GIAN CÓ THỨ TỰ Chuyên ngành : Giải tích Mã số : 8460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS. NGUYỄN BÍCH HUY Thành phố Hồ Chí Minh – 2019
LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu, những trích dẫn nêu trong luận văn đều chính xác và trung thực. La Hồ Tuấn Duy
LỜI CẢM ƠN Tôi xin dành những lời đầu tiên của luận văn này để bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy Nguyễn Bích Huy, người Thầy hướng dẫn khoa học, đã đưa ra định hướng và giúp tôi hoàn thành văn luận này. Trong suốt quá trình học các học phần cũng như thực hiện luận văn, Thầy luôn theo dõi, hướng dẫn tận tình để tôi nắm được kiến thức và hoàn thiện luận văn của mình. Tôi cũng xin gởi lời cảm ơn chân thành đến Ban Giám hiệu, Ban chủ nhiệm khoa Toán – Tin, tất cả quý Thầy, Cô giảng dạy các học phần mà tôi đã được học trong quá trình học Cao học, cùng quý Thầy, Cô công tác ở phòng sau đại học đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để tôi học tập và nghiên cứu. Đồng thời, tôi cũng xin cảm ơn quý Thầy, Cô trong Hội đồng chấm luận văn đã đọc và góp ý giúp luận văn được hoàn thiện. Cuối cùng, tôi xin gửi lời cảm ơn đến các bạn, các anh chị cùng lớp Giải tích khoa Toán khóa 28 về những sẻ chia và giúp đỡ trong thời gian học tập và làm luận văn. La Hồ Tuấn Duy
DANH MỤC CÁC KÍ HIỆU A Ánh xạ liên hợp của ánh xạ A . r A Bán kính phổ của ánh xạ A . X Không gian liên hợp của X . A Phổ của ánh xạ A . B ,r Quả cầu đóng tâm , bán kính r . A Tập dải của ánh xạ A . Ti Tập hợp các điểm trong của tập T . Tc Tập hợp các c điểm trong của tập T .
MỤC LỤC Trang phụ bìa Lời cam đoan Lời cảm ơn Mục lục MỞ ĐẦU.................................................................................................................... 1 Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG ..................................................... 3 1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón.................................................... 3 1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact........................................ 7 1.3. Phổ biên ........................................................................................................... 9 1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục ............................................................................. 10 Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG................................................................... 13 2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương ................................................... 13 2.2. Sự tồn tại vectơ riêng dương ......................................................................... 16 2.3. Một số điều kiện đủ để tồn tại vectơ riêng dương ......................................... 17 2.4. Ánh xạ dương với nón minihedral................................................................. 19 2.5. Vectơ riêng dương của ánh xạ liên hợp......................................................... 23 Chương 3. MỘT SỐ LỚP ÁNH XẠ DƯƠNG VÀ GIÁ TRỊ RIÊNG CHÍNH CỦA ÁNH XẠ DƯƠNG ................. 28 3.1. Một số lớp ánh xạ tuyến tính dương đặc biệt ................................................ 28 3.2. Điều kiện để một ánh xạ tuyến tính dương là không phân tích được............ 28 3.3. Giá trị riêng chính của ánh xạ dương ............................................................ 30 Chương 4. BÀI TOÁN GIÁ TRỊ RIÊNG CỦA ÁNH XẠ ĐA TRỊ ................... 36 4.1. Sự tồn tại giá trị riêng, vectơ riêng của ánh xạ đa trị .................................... 36 4.2. Các tính chất của cặp riêng dương ................................................................ 38 KẾT LUẬN ............................................................................................................. 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO...................................................................................... 43
1 MỞ ĐẦU Các toán tử tuyến tính liên tục là đối tượng nghiên cứu chủ yếu của Giải tích hàm. Nhiều Quá trình, Hệ thống trong Tự nhiên và Xã hội đưa đến việc nghiên cứu không phải một ánh xạ tuyến tính đơn lẻ mà thông thường là một họ ánh xạ phụ thuộc các tham số. Các tham số này đóng vai trò như các yếu tố trong Tự nhiên, Xã hội, ảnh hưởng đến Quá trình hay Hệ thống đang xét. Ta quan tâm đến tính ổn định hoặc không ổn định của Quá trình hay Hệ thống này theo sự biến đổi của các yếu tố ảnh hưởng. Các thời điểm xảy ra đột biến, gãy đổ trong Quá trình hay Hệ thống có liên quan đến các giá trị của tham số mà ta gọi là giá trị phổ của ánh xạ tuyến tính mô tả Quá trình hay Hệ thống đó. Do đó, việc nghiên cứu tập phổ của các ánh xạ tuyến tính được các nhà Toán học quan tâm nghiên cứu từ rất sớm. Lý thuyết phổ là một nhánh nghiên cứu quan trọng của Giải tích hàm và đã thu được các kết quả lý thuyết quan trọng cũng như tìm được các ứng dụng có giá trị trong Lý thuyết phương trình vi phân, Lý thuyết điều khiển và tối ưu, trong các bài toán kinh tế. Theo sự phát triển nội tại của Toán học cũng như để ứng dụng giải quyết các bài toán mới phát sinh trong Khoa học, Kỹ thuật và Xã hội mà Lý thuyết phổ có thể được phát triển theo hai hướng. Hướng thứ nhất là tăng độ tổng quát của ánh xạ (ánh xạ compact được mở rộng thành ánh xạ Fredholm, ánh xạ hạch, …) và các không gian (thay không gian định chuẩn bằng các không gian đếm được chuẩn, không gian lồi địa phương, …). Hướng thứ hai là nghiên cứu các ánh xạ trong các không gian đặc biệt (có tính chất hình học tốt như không gian lồi đều, không gian có thứ tự). Lý thuyết về các không gian với thứ tự sinh bởi nón và ánh xạ tác động trong chúng được hình thành từ những năm 1940 trong các công trình nghiên cứu của M.Krein, A.Rutman và được hoàn thiện cho đến ngày nay. Việc kết hợp các tính chất tôpô của ánh xạ với các tính chất về thứ tự của ánh xạ đó đã đưa đến những kết quả quan trọng về phổ của ánh xạ như định lý nổi tiếng của Krein – Rutman với những ứng dụng có giá trị trong Phương trình vi phân và Lý thuyết Điều khiển, … .
2 Mục tiêu của luận văn là giới thiệu một cách đầy đủ, chi tiết các tính chất đặc biệt về phổ của một số lớp ánh xạ tuyến tính trong không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón, như lớp ánh xạ u0 – bị chặn, ánh xạ không phân tích được, ánh xạ liên hợp, ánh xạ đa trị, … . Đề tài có ý nghĩa về mặt đào tạo. Việc thực hiện đề tài giúp học viên hiểu sâu hơn và toàn diện hơn các kiến thức đã học về Tôpô, Giải tích hàm, Giải tích phi tuyến, Giải tích thực; biết vận dụng chúng trong học tập các vấn đề mới. Qua quá trình làm luận văn, học viên cũng làm quen với công việc nghiên cứu khoa học. Luận văn sẽ là tài liệu tham khảo bổ ích cho các sinh viên Đại học và học viên Cao học khi học về Lý thuyết phổ của ánh xạ. Nội dung của đề tài Chương 1: Trình bày các kiến thức đã được sử dụng trong luận văn. Chương 2: Trình bày về vectơ riêng dương của ánh xạ tuyến tính dương. Chương 3: Trình bày về một số lớp ánh xạ dương và giá trị riêng chính của ánh xạ dương Chương 4: Trình bày về giá trị riêng của ánh xạ đa trị.
3 Chương 1. CÁC KẾT QUẢ ĐƯỢC SỬ DỤNG 1.1. Không gian Banach với thứ tự sinh bởi nón 1.1.1. Nón và thứ tự sinh bởi nón Định nghĩa 1.1.1 Cho X là không gian Banach trên trường số thực . 1. Tập K  X được gọi là nón nếu thỏa các điều kiện sau: i) K là tập đóng , K   , ii) K  K  K ,  K  K ,   0, iii) K    K     .  Nón K được gọi là thể nón nếu int K   .  Tập K  X thỏa điều kiện i) và ii) gọi là cái nêm. Ta kí hiệu K K\ với là phần tử không trong X . 2. Nếu K là nón thì thứ tự trong X sinh bởi K được định bởi: x  y  y  xK . Mỗi x  K \   gọi là dương. Mệnh đề 1.1.1 Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón. Khi đó: 1. Nếu x  y thì x  z  y  z,  x   y với mọi z  X , với mọi   0 . 2. Nếu xn  yn với mọi n   và lim xn  x,lim yn  y thì x  y . 3. Nếu  xn  là dãy tăng, hội tụ về x thì xn  x, với mọi n   . Chứng minh 1. Ta có:   y  z    x  z   y  x  K , z  X nên x  z  y  z .   y   x    y  x   K ,   0 nên  x   y . 2. Từ xn  yn , n   nên yn  xn  K . Do đó yn  xn  y  x  K (do K đóng). Vậy x  y.
4 3. Giả sử xn  tăng. Khi đó xn  xnm  m, n   .  Cho m   ta được  xn  x, n  . 1.1.2. Nón chuẩn Định nghĩa 1.1.2 Nón K gọi là nón chuẩn nếu tồn tại N  0 sao cho   x  y thì x  N y . Mệnh đề 1.1.2 Giả sử "  " là thứ tự sinh bởi nón chuẩn K trong X . 1. Nếu u  v thì đoạn u , v :  x  X : u  x  v bị chặn theo chuẩn. 2. Nếu xn  yn  zn , n   và lim xn  a, lim zn  a thì lim yn  a . 3. Nếu  xn  đơn điệu và có dãy con hội tụ về a thì lim xn  a . Chứng minh 1. x  u , v    x  u  v  u  x  u  N v  u  x  u  N v  u . Vậy u , v bị chặn theo chuẩn.  2. Ta có:   yn  xn  zn  xn , n    yn  xn  N zn  xn , n  . Mà lim zn  xn  0 nên lim yn  xn  0 . n  n Do đó lim yn  lim  yn  xn   xn   0  a  a . n n 3. Giả sử  xn  tăng và và có dãy con xnk   hội tụ, lim xnk  a . k   Vì xn  xn ( n cố định, k đủ lớn) nên xn  a, n  k .  Cho   0, chọn k0 để xnk  a  thì ta có: 0 N n  nk0  a  xn  a  xnk  a  xn  a  xnk   . 0 0 Vậy lim xn  a . n 1.1.3. Nón chính qui Định nghĩa 1.1.3 Nón K gọi là nón chính qui nếu mọi dãy tăng và bị chặn trên thì hội tụ.
5 Mệnh đề 1.1.3 Nón chính qui là nón chuẩn. Chứng minh Giả sử K là nón chính qui nhưng không là nón chuẩn. Khi đó: n   , xn , yn :   xn  yn , xn  n2 yn xn y 1 Đặt un  , vn  n thì   un  vn , un  1, vn  2 . xn xn n   Vì  n 1 vn   nên tồn tại v   vn . n 1 Xét dãy Sn  u1  u2  ...  un , ta có:   Sn  v1  v2  ...  vn   vn  v   Sn n bị chặn trên bởi v . n 1  Sn  Sn1  un     Sn n là dãy tăng. Do K là nón chính qui nên dãy  Sn n hội tụ.  Do đó lim un  0 (mâu thuẫn do un  1, n  ). n 1.1.4. Nón sinh Định nghĩa 1.1.4 K là nón sinh nếu X  K  K hay x  X , u, v  K : x  u  v . Mệnh đề 1.1.4 Nếu K là nón sinh thì tồn tại M  0 sao cho: x  X , u , v  K : x  u  v, u  M x , v  M x . Chứng minh i) Đặt C  K  B  ,1  K  B  ,1 , ta chứng minh tồn tại r  0 : B  , r   C .  Ta có X  nC . Thật vậy, do K là nón sinh nên x  X , u, v  K : x  u  v . Với n 1 n  max  u , v  thì x  nC .
6 Do định lí Baire, n0 , G mở ,G   : G  n0 C . 1 1 1 1 Do C lồi, đối xứng nên C  C  C  C  G G (mở, chứa  ). 2 2 2n0 2n0 Do đó, r  0 : B  , r   C . r ii) Đặt B  B  ,1 . Ta chứng minh BC. 2 n r Lấy a  B . Ta xây dựng dãy  xn  thỏa: xn  n C , n  và a   xk  r 1  . 2 2 k 1 2n 1 r 1 r 1 Thật vậy, vì n B  n C nên y  n B,   0, x  n C : y  x   . 2 2 2 2 Ta có: r 1 r a  B  x1  C : a  x1  2 2 2 2 r 1 r a  x1  2 B  x2  2 C : a  x1  x2  3 2 2 2 Tiếp tục quá trình trên ta được dãy  xn  có tính chất đã nêu. 1 1 1 Do xn  n C nên un , vn  K : xn  un  vn , un  n , vn  n . 2 2 2   Đặt u   un , v   vn n 1 n 1   (Do  n 1 un   nên u n 1 n hội tụ và u tồn tại, tương tự với v ). Ta có u , v  K , u  1, v  1 . n    r Từ a   xk   a   xn   un   vn  u  v  C . Vậy r n 1 BC. k 1 2 n 1 n 1 n 1 2  r rx  B      C nên u, v  K  B  ,1 : rx iii) x   , ta có  u  v . 2 x  2 2 x 2 2 2 Đặt u  x u, v  x v , M  thì u , v  K , x  u  v và u , v  M x . r r r
7 1.1.5. Nón liên hợp Định nghĩa 1.1.5 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Ta định nghĩa nón liên hợp  của K là: K   f  X  : f  x   0, x  K  Mệnh đề 1.1.5 x0  K  f  x0   0, f  K  Chứng minh    Hiển nhiên do định nghĩa K.    Giả sử trái lại f  x0   0, f  K  nhưng x0  K . Do định lý tách tập lồi nên g  X  : g  x0   g  y  , y  K . 1 Cố định x  K , ta có g  x0   g  tx  , t  0  g  x   g  x0  , t  0 . t Cho t   ta có g  x   0 . Vậy g  K  , nhưng g  x0   g  t   0 (mâu thuẫn). 1.1.6. Nón minihedral Định nghĩa 1.1.6 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Nón K được gọi là nón minihedral nếu với mỗi cặp x, y  X thì tồn tại sup  x, y , inf  x, y . Mệnh đề 1.1.6 Cho K là nón sinh, chuẩn, minihedral và xn  x, yn  y . Khi đó, ta có: inf xn , yn   inf x, y 1.2. Phổ của ánh xạ tuyến tính liên tục, ánh xạ compact. Cho X là không gian Banach trên trường và A : X  X là ánh xạ tuyến tính liên tục. Định nghĩa 1.2.1 Số   được gọi là giá trị riêng của A nếu tồn tại x  X , x   sao cho Ax   x. Vectơ x được gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  của A .
8 Nói cách khác,   là một giá trị riêng của toán tử A nếu tồn tại x  X , x   sao cho  A   I  x  0 .  Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì toán tử  A   I  không phải đơn ánh vì tồn tại x   để  A   I  x  0 . Vậy toán tử  A   I  không khả nghịch.  Ứng với một giá trị riêng, có vô số vectơ riêng.  Với mọi vectơ riêng x của f , V  x là không gian con bất biến một chiều của f. Định nghĩa 1.2.2 1. Số   là một giá trị phổ của A nếu không tồn tại toán tử ngược bị chặn  A   I  hay nói cách khác,  A   I  không đơn ánh hoặc không toàn ánh. Tập 1 hợp các giá trị phổ của A được gọi là phổ của toán tử A , kí hiệu là   A  . Như vậy:  Nếu  là một giá trị riêng của toán tử A thì     A  . Khi đó, ker  A   I  gọi là không gian riêng của A . Mỗi x  ker  A   I  \   hay Ax   x, x   gọi là vectơ riêng ứng với giá trị riêng  . 2. Số  không thuộc tập phổ   A  thì  được gọi là giá trị chính quy của toán tử A , nghĩa là tồn tại toán tử tuyến tính, liên tục  A   I  . Tập 1 \   A  được gọi là tập giải của A , kí hiệu là   A  . 3. Số r  A  sup   :     A gọi là bán kính phổ của A . Định lý 1.2.1 (Xem [9]) Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính liên tục. Bán kính phổ của toán tử A được tính bởi r  A  lim n An hơn nữa thì n 0    A  : r  A   0 Định lý 1.2.2 (Phổ của ánh xạ compact) (Xem [9]) Cho X là không gian Banach với dim X   và A là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn liên tục. Khi đó ta có:
9 1. 0    A  . 2. Nếu     A  \ 0 thì  là giá trị riêng của A . 3. Nếu   A  \ 0 là vô hạn thì   A  \ 0  1 , 2 ,... và lim n  0 . n 4. Giả sử     A  \ 0 . Đặt  X k  x  X :  A  I   x  0 k  thì X1  X 2  ....  X n  ... ( X n tăng), dim X k   . Tồn tại n0 sao cho: X 1 X2 ... X n0  X n0 1  ... X n0 gọi là không gian con gốc (không gian con cơ bản) tương ứng với giá trị riêng  và dim X n gọi là bội của  . 0 1.3. Phổ biên Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, liên tục, có bán kính phổ r  A  . Tập     A :   r  A được gọi là phổ biên của A . Định nghĩa 1.3.2 1. Không gian vectơ con đóng X 0 của không gian Banach X gọi là bù được nếu tồn tại ánh xạ P : X  X 0 tuyến tính, liên tục sao cho P  x   x, x  X 0 , P  1. 2. Không gian vectơ con m chiều X 0 của X gọi là không gian Euclide nếu tồn tại cơ sở e1, e2 ,..., em của X 0 sao cho 1e1  2e2  ...  mem 2  12  22  ...  m2 ,   1 , 2 ,..., m   m . Định lý 1.3.1 (Xem [9]) Giả sử X là không gian Banach, không có không gian con Euclide 2 chiều bù được và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, hoàn toàn liên tục, với r  A   A  1 . Khi đó, mọi giá trị riêng thuộc phổ biên là một căn bậc nguyên của 1 . Mệnh đề 1.3.1 (Xem [9]) Nếu K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X thì tồn tại song ánh tuyến tính, liên tục f : X  C  Q  sao cho f  K   K  .
10 Trong đó: C  Q  là không gian các hàm liên tục trên tập compact Q . K  là nón các hàm không âm trong C  Q  . Định lý 1.3.2 Cho K là thể nón, nón chuẩn, minihedral trong không gian Banach X . A : X  X là ánh xạ tuyến tính dương, hoàn toàn liên tục, A  u   u với u  int K . Khi đó, mọi giá trị riêng thuộc phổ biên của A là căn bậc nguyên của 1 . Chứng minh Áp dụng mệnh đề 1.3.1, coi X  C  Q  , K  K  và u  K , u  t   0, t  Q . 1 Xét B : C  Q   C  Q  , B  x  t   A u  t  x  t   , t  Q, x  C  Q  . u t   Khi đó   A     B  và B  1 . Hơn nữa, không gian C  Q  không có không gian con Euclide 2 chiều bù được nên áp dụng định lý 1.3.1 ta có điều phải chứng minh. 1.4. Ánh xạ đa trị, tính liên tục Định nghĩa 1.4.1 Giả sử X , Y là hai tập hợp. Kí hiệu 2Y là tập tất cả các tập con của Y . Một ánh xạ đa trị F từ X vào Y là một ánh xạ từ X vào 2Y . Kí hiệu: F : X  2Y . Định nghĩa 1.4.2 Cho  X , K  là một không gian Banach có thứ tự. 1. Với hai tập con A, B  2 X \  ta định nghĩa (a) A 1 B nếu  x  A, y  B sao cho x  y  . (b) A  2 B nếu  y  B, x  A sao cho x  y  . (c) A 3 B nếu  x  A, y  B  x  y  . Các kí hiệu “  k  ”,  k  1, 2  được sử dụng hoàn toàn tương ứng một cách tự nhiên.
11 2. Ánh xạ F : M  X  2 X \  được gọi là k  – tăng, k  1,2 , nếu x, y  M , x  y kéo theo F ( x) ( k ) F ( y ) , hơn nữa, nó được gọi là (3) – tăng nếu x, y  M , x  y kéo theo F ( x) (3) F ( y ) . 3. Ánh xạ tuyến tính A : X  2 X \  được gọi là 1-thuần nhất dương nếu A thỏa mãn: (i) A( x)  A( y)  A( x  y) với mọi x, y  X . (ii) A  tx   tA  x  với mỗi t  0, x  X . Định nghĩa 1.4.3 Cho X , Y là các không gian Banach và F : D  X  2Y \ {} là ánh xạ đa trị. 1. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục trên trên D nếu tập hợp  x  D : F  x   V  là mở trong D , với mọi tập con mở V  Y . 2. Ánh xạ F được gọi là nửa liên tục dưới trên D nếu tập hợp  x  D : F ( x)  V   là mở trong D , với mọi tập con mở V  Y . 3. Ánh xạ F được gọi là compact nếu với bất kỳ tập con bị chặn B  D , tập hợp F ( B)  F ( x) là compact tương đối. xB 4. Đồ thị của ánh xạ F được định nghĩa là tập hợp GF   x, y   D  Y : y  F  x . Mệnh đề 1.4.1 (Xem [8]) 1. Giả sử rằng F là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên trên D nhận giá trị đóng và xn  x, yn  F  xn  và yn  y . Khi đó y  F  x  . 2. Nếu ánh xạ đa trị F là nửa liên tục dưới trên D thì với bất kỳ dãy xn  x và với mọi y  F  x  , tồn tại dãy con  xnk  và dãy  yk  sao cho yk  F ( xnk ) và yk  y . 3. Nếu ánh xạ đa trị F là compact và đồ thị của nó là tập đóng trong D  X thì F là nửa liên tục trên trên D .
12 Định lý 1.4.1 (Xem [8]) Cho  X , K  là không gian Banach có thứ tự và F : K  2K \  là ánh xạ compact nửa liên tục trên, nhận giá trị lồi, đóng. Giả sử rằng tồn tại ánh xạ 2 – tăng B : K  2K \  thỏa mãn: (i) B  x   2 F  x  với mọi x  K . (ii) Tồn tại các số dương a, b và phần tử u  K \   sao cho btu  2 B  tu  với mọi t  [0, a ] . Khi đó tập nghiệm có dạng S   x  K \   :   0, x   F  x  là nhánh liên tục từ  , nghĩa là, S G   với bất kỳ tập con mở bị chặn G chứa  .
13 Chương 2. VECTƠ RIÊNG DƯƠNG 2.1. Bán kính phổ của ánh xạ tuyến tính dương Định nghĩa 2.1.1 Cho X là không gian Banach có thứ tự sinh bởi nón K . Một ánh xạ A : X  X gọi là dương nếu: x    A  x    hay A  K   K . Bổ đề 2.1.1 (Xem [1]) Cho X là không gian Banach và A : X  X là ánh xạ tuyến tính, liên tục thỏa  A  1. Khi đó  I  A  tồn tại và  I  A   An . 1 1 n 0 Định lý 2.1.1 Cho K là nón chuẩn, sinh trong không gian Banach X , A : X  X là ánh xạ liên tục, tuyến tính dương và r A 0 . Khi đó r  A     A  . Chứng minh Đặt r  r  A   0 . 1  1  Giả sử r    A  , khi đó tồn tại B   rI  A  1 và lim  r   I  A  B trong n   n  L  X , X  , B là ánh xạ dương. Lấy 0    r và  r    B  1 . Khi đó,  I  A  rI  A     r  I   rI  A  I   r    B   2.1  Do  r    B  1 nên  I   r    B     r    B k . 1 k k 0 Từ  2.1 suy ra:     r    B k 1 1   I  A   I   r    B   rI  A 1 1 k k 0  B   r    B 2  ...   r    B k 1  ... k
14 Với mọi k  1,2,... ta có:   I  A   1I   2 A  ...    k Ak 1   I  A 1 1    1 A   x      I  A   x  , x  K , k  1, 2,...  2.2  k 1 Do K là nón sinh nên y  X , u , v  K : y  u  v, u  a y , v  a y với a  0 không phụ thuộc vào y .   1 A k  u      I  A 1  u   Từ  2.2  ta có:    1 A   v      I  A   v  k 1  Do K là nón chuẩn nên b  0 :     1 A k  u   b    I  A 1  u   b   I  A 1 . u  ab   I  A 1 . y     1 A  v   b    I  A 1  v   b   I  A 1 . v  ab   I  A 1 . y k  Suy ra:   A  y   2ab   I  A  1 . y , y  X    1 A   2ab   I  A  1 1 k k M   1r  A  lim   A  lim k M  1  r  A   . 1 k k k  k  (mâu thuẫn với cách chọn  ). Định lý 2.1.2 Cho X ; K là không gian Banach có thứ tự và K  K  X . A : X  X tuyến tính dương, A hoàn toàn liên tục và r  A   0 . Khi đó r  A     A  . Chứng minh Giả sử 1 , 2 ,..., k    A  và k  r  A  . Giả sử m là tổng các bội của các giá trị riêng 1 , 2 ,..., k và X 0 là bao tuyến tính của các không gian con gốc tương ứng với 1 , 2 ,..., k . Khi đó, X 0 là không gian con của X thỏa A  X 0   X 0 và A0 là thu hẹp của A lên X 0 có tập phổ là 1 , 2 ,..., k  . Đặt K0  K  X 0 thì A0  K0   K0 .