Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính duy nhất của hàm phân hình P-adic

Chia sẻ: Lavie Lavie | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:64

Thêm vào BST

Báo xấu

85
lượt xem 9
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính duy nhất của hàm phân hình P-adic được thực hiện nhằm ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna P-adic để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình P-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình P-adic.

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính duy nhất của hàm phân hình P-adic

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP. HỒ CHÍ MINH Nguyễn Thị Mỹ Dung TÍNH DUY NHẤT CỦA HÀM PHÂN HÌNH P-ADIC Chuyên ngành : Đại số và lý thuyết số Mã số : 60 46 05 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS. TS. MỴ VINH QUANG Thành phố Hồ Chí Minh – 2008
LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên trong luận văn này tôi xin gửi đến PGS.TS Mỵ Vinh Quang – người thầy đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và làm luận văn lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất. Xin chân thành cảm ơn các thầy: Trần Huyên, Bùi Tường Trí, Bùi Xuân Hải, Lê Hoàn Hóa, Đậu Thế Cấp cùng với tất cả các thầy cô khác đã trực tiếp tham gia giảng dạy , truyền đạt kiến thức cho tôi trong suốt quá trình học tập. Cuối cùng tôi xin cảm ơn các anh chị ở phòng Khoa học công nghệ và sau Đại học, các đồng nghiệp, bạn bè đã động viên và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi học tập trong suốt thời gian qua và hoàn thành luận văn này. TP.Hồ Chí Minh 10 - 2008 Nguyễn Thị Mỹ Dung
MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Lý thuyết Nevanlinna p-adic lần đầu tiên được xây dựng bởi Hà Huy Khoái, Mỵ Vinh Quang và Boutabaa vào những thập kỷ cuối của thế kỷ trước ( xem [2], [5] ) và ngay sau đó lý thuyết Nevanlinna p-adic đã được mở rộng và tổng quát bởi nhiều tác giả khác cho trường hợp nhiều chiều và cho siêu mặt. Những năm gần đây có nhiều tác giả đã ứng dụng thành công lý thuyết Nevanlinna p-adic để nghiên cứu các hàm chỉnh hình, phân hình p-adic. Vì lý do đó, chúng tôi chọn đề tài: “ Tính duy nhất của hàm phân hình p-adic ” nhằm mục đích tiếp cận một chuyên ngành toán học mới đang phát triển. 2. Mục đích nghiên cứu Ứng dụng hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic. 3. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu Chúng tôi sẽ nghiên cứu lý thuyết Nevanlinna p-adic và ứng dụng để nghiên cứu các hàm phân hình p-adic. 4. Ý nghĩa khoa học thực tiễn của đề tài Luận văn đã trình bày được nội dung của lý thuyết Nevanlinna p-adic, chứng minh được các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các tập duy nhất của hàm phân hình p-adic.
5. Cấu trúc luận văn Nội dung của luận văn gồm 3 chương: Chương 1: Các trường số p-adic Trong chương này trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo. Chương 2: Lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương này trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý cơ bản của Nevanlinna. Chương 3: Ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna p-adic Trong chương này chúng tôi đưa ra ứng dụng của lý thuyết Nevanlinna để chứng minh các định lý về tính duy nhất của hàm phân hình p-adic; đồng thời giới thiệu một số đa thức và các miền duy nhất của hàm phân hình p-adic.
Chương 1: CÁC TRƯỜNG SỐ P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số kiến thức để chuẩn bị cho các chương sau bao gồm: chuẩn trên trường, xây dựng trường số p-adic p , vành các số nguyên p-adic p , xây dựng trường các số phức p-adic p . Hầu hết các chứng minh trong chương này được bỏ qua, có thể tìm các chứng minh đó trong phần tài liệu tham khảo. 1.1. Chuẩn trên trường 1.1.1. Định nghĩa chuẩn trên trường Cho F là một trường, ánh xạ :F  được gọi là chuẩn (giá trị tuyệt đối) trên trường F nếu thỏa các điều kiện sau: i/ x  F : x  0 và x  0  x  0 ii/ x, y  F : xy  x . y iii/ x, y  F : x  y  x  y Nếu trường F là trường , , thì hàm giá trị tuyệt đối thông thường là chuẩn trên F. Ngoài ra nếu F là một trường bất kỳ thì :F  1 neáu x  0 x x   0 neáu x= 0 là một chuẩn trên trường F, chuẩn này được gọi là chuẩn tầm thường. Dễ thấy chuẩn trên F có các tính chất cơ bản sau: i/ x  F :  x  x ii/ 1  1 ( 1 là đơn vị của F) 1 1 iii/ x  F , x  0 : x  x
Nhận xét Nếu F là trường hữu hạn thì F có chuẩn duy nhất là chuẩn tầm thường. Chứng minh: Giả sử F có q phần tử ( q  , q  0 ) và có chuẩn là Rõ ràng F* là nhóm Aben có cấp q-1 Gọi 1 là đơn vị của nhóm nhân F*. Khi đó với bất kỳ x thuộc F* ta có : x q 1  1  x q 1  1  1 q 1  x 1  x  1 (do x  0) Vậy là chuẩn tầm thường. ■ 1.1.2. Chuẩn tương đương Cho F là trường và là chuẩn trên F. Khi đó: d: FxF  (x,y)   d(x,y) = x  y là một mêtric trên F, gọi là mêtric cảm sinh bởi chuẩn Khái niệm về chuẩn tương đương Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Ta nói 1 tương đương với 2 ( 1 2 ) nếu tôpô cảm sinh bởi 1 và 2 trùng nhau. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn Cho F là một trường và 1 , 2 là hai chuẩn trên F. Các phát biểu sau tương đương: i/ 1  2 ii/ x  F : x 1  1  x 2  1
iii/ x  F : x 1  1  x 2  1 c iv/ Tồn tại c  sao cho: x 2  x 1 x  F v/  xn  là dãy Cauchy đối với 1   xn  là dãy Cauchy đối với 2 1.1.3. Chuẩn phi Archimedean 1.1.3.1. Định nghĩa Cho F là một trường và là chuẩn trên F, gọi là chuẩn phi Acsimet nếu nó thỏa điều kiện (III’) sau đây: x, y  F : x  y  max  x , y  Một chuẩn không phải phi Acsimet gọi là chuẩn Acsimet. 1.1.3.2. Ví dụ Với mọi m  và p là số nguyên tố cố định, m viết được duy nhất dưới  dạng: m  p m1 với (m 1 ,p)=1,   * . Khi đó:  được gọi là số mũ của p trong m, ký hiệu ord p ( m)   m Với r  :r  * , ta định nghĩa: ord p (r ) = ord p (m) - ord p (n) n  m1 Nếu biểu diễn r = p . với   ;(n1 , p )  1;(m1 , p )  1 thì n1 ord p ( m)   Quy ước: ord p (0)   Dễ thấy: i/ ord p (rs )  ord p (r )  ord p ( s ) ii/ ord p (r  s )  min ord p r ; ord p s ; r , s 
Ta định nghĩa chuẩn trên như sau: p :  0 , x = 0 ord x x  x p   ord p x  p  , x0 Khi đó : p là chuẩn phi Acsimet trên ( với 0    1 ). 1.1.3.3. Định lý về các điều kiện tương đương của chuẩn phi Acsimet Cho F là một trường và là chuẩn trên F. Các khẳng định sau là tương đương: i/ là chuẩn phi-Acsimet. ii/ 2  1 iii/ n  1; n  iv/ Tập các số tự nhiên bị chặn ( A  0 : n  ; n  A ) . 1.1.3.4. Một vài tính chất đặc biệt của chuẩn phi Acsimet i/ x  y p  max  x p , y p  nếu x p  y p ii/ Mọi điểm thuộc hình tròn đều là tâm của hình tròn. iii/ B(a,r)- vừa đóng vừa mở.   B ( a, r )  x  F / x  a p  r - vừa đóng vừa mở. Liên quan đến chuẩn trên , ta có định lý quan trọng sau đây: 1.1.3.5. Định lý Ostrowsky Mọi chuẩn không tầm thường trên trường số hữu tỷ hoặc tương đương với chuẩn p ( p nguyên tố) hoặc tương đương với giá trị tuyệt đối thông thường trên . Chứng minh
Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1 : n  : n 1 Gọi n0  min n  / n  1 Vì n0  1 nên n0  n0 ( =log n0 n0 >0)  Ta viết n trong hệ đếm n0 như sau: n  a0  a1n0  a2 n02  ...  as n0s (a i  ,0  a i  n0 , as  0, s   log n0 n  ) Khi đó: n  a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s = a0  a1 n0  a2 n02  ...  as n0s Do ai  n0 i nên ai  1 ( theo cách chọn n0 ). Suy ra:  1 1 1  n  1  n0  n02  ...  n0s  n0s 1    2  ...  s   n0 n0 n0  1 1 1 Đặt c  1    2  ...  s  ... . Rõ ràng, c là cấp số nhân lùi vô n0 n0 n0 hạn nên c là hằng số. s  Vì thế: n  c.n0  c.n (do a s  0) k    Vậy với mọi k ta có : n  c.(n )  c.n  n  c .n k k  Cho k   thì n  n (1)  n  n (n) Như vậy ta đã có:    n0  n0  n0s 1  n  (n0s 1  n)  Suy ra  s 1  ( s 1)  n0  n0
Vậy : n  n0s 1  n0s 1  n  n0 ( s 1)  (n0s 1  n)    1    n0 ( s 1)  ( n0s 1  n0s )  n0 ( s 1) 1   1      n0      1  Đặt c  1  1    thì n  c.n0 ( s 1)  c.n   n0   k    Vậy với mọi k ta có : n  c.( n )  c.n  n  c .n k k  Cho k   thì n  n (2)  Từ (1) và (2) ta có n  n Do đó: m   ,m ,n  : n  n  n  n m m m        m  m n n n Vậy: Trường hợp 2: n  1, n  Gọi n0 là số tự nhiên lớn hơn 0, bé nhất thỏa n0  1 Giả sử n0 không là số nguyên tố. Khi đó: n0  n1.n2 (n1 , n2  n0 ) Do cách chọn n0 nên n1  n2 =1 . Suy ra n0  1 (vô lý) Vậy n0 = p là số nguyên tố. Ta sẽ chỉ ra rằng q  1 với mỗi số nguyên tố q khác p. Thật vậy :
Giả sử tồn tại q  : q  1 (q là số nguyên tố) Khi đó với số tự nhiên M, N đủ lớn, ta có : N 1 qN  q  2 M 1 pM  p  2 Do  q N ; p M   1 nên có thể tìm được hai số m,n sao cho: mp M  nq N  1 Suy ra : 1  1  mp M  nq N  mp M  nq N  m p M  n q N 1 1  pM  qN    1 (vô lý) 2 2 Vậy q  1 với mỗi số nguyên tố q khác p. Với x là số hữu tỷ bất kỳ, x được phân tích duy nhất dưới dạng m x  p . (m,p)=1;(n,p)=1 n Đặt p    1 . Ta có: m x   . n Do m, n đều phân tích được dưới dạng tích của các số nguyên tố khác p nên chuẩn của các số nguyên tố đó bằng 1. Vì thế: m  n  1  x     ord p x Vậy: p ■
1.2. Trường các số p-adic p và vành p Theo định lý Ostrowsky, trên chỉ có hai chuẩn là giá trị tuyệt đối thông thường và giá trị tuyệt đối phi Archimede p . Mặt khác, ta biết rằng làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường các số thực . Vậy làm đầy đủ theo p ta được một trường mới mà ta gọi là trường các số p-adic p , là tương tự p-adic của trường số thực . Ta sẽ mô tả chi tiết hơn về cách xây dựng p dưới đây. 1.2.1. Xây dựng trường các số p-adic p và vành p Ký hiệu S là tập các dãy Cauchy hữu tỷ theo p Trên S ta xác định một quan hệ tương đương như sau:  xn   yn   lim n  xn  yn p  0 Ta gọi p là tập hợp tất cả các lớp tương đương theo quan hệ trên: p S  x  / x   S n n Trang bị cho p hai phép toán cộng và nhân như sau: x    y   x  y  n n n n  x  . y    x . y  n n n n Rõ ràng ( p , ,.) là một trường, trường này gọi là trường các số p-adic p . Chuẩn p trong được mở rộng trong p như sau: Cho  xn   p (  xn  là dãy Cauchy trong ): x =  xn  : x p  lim n  xn p Rõ ràng p là chuẩn phi-Acsimet. Ta chứng minh được biểu diễn p-adic của một phần tử x trong p là:
x  b m p  m  b m 1 p  m 1  ...  b0  b1 p  ...  bn p n  ... ( m  , bi  0, x p  p m ) Tập hợp p   x p  / x p  1 cùng với phép toán cộng và phép toán nhân trong p lập thành một vành được gọi là vành các số nguyên p-adic. 1.2.2. Một số tính chất cơ bản của vành p , p i/ p là vành chính, mọi iđêan của p có dạng là p m p (m  ) ii/ p là tập compắc đối với chuẩn p iii/ p là tập compắc địa phương. Chứng minh: i/ Gọi I là một iđêan của p . Nếu I  0 thì I là iđêan sinh bởi 0. Nếu I  0 thì gọi a là phần tử thuộc I sao cho a  p  m ( m  ) lớn nhất. Ta sẽ chứng minh : I  p m p Với bất kỳ x thuộc I, ta có: x x x  a  x  pm  m 1 m  p  x  pm p p p Vì thế I  p m p (1) Với bất kỳ x thuộc p m p , ta có: pm x  p mc  a( .c ) (c  p ) a mà : a  I pm pm pm pm  1  p  .c  p a a a a nên x  I Vì thế p m p I (2)
Từ (1) và (2) ta có I  p m p . Vậy idean I của p được sinh bởi phần tử p m và do đó p là vành chính. ii/ Giả sử  xn  là một dãy tùy ý trong p và: x1  a01  a11 p  a21 p 2  ... x2  a02  a12 p  a22 p 2  ... .......................................... xn  a0 n  a1n p  a2 n p 2  ... (0  ain  p  1; i  0,1, 2,...) Xét các phần tử a0n (n= 1, 2,…) ta thấy các phần tử này nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại b0  0;1; 2;...; p  1 được nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con  x0n  của dãy  xn  sao cho số hạng đầu tiên của mỗi phần tử bằng b0 . Trong dãy  x0n  các số hạng thứ hai: a1n (n= 1, 2,…) nhận các giá trị trong tập hữu hạn {0;1;2;…;p-1}. Vậy phải tồn tại b1  0;1; 2;...; p  1 được nhận giá trị vô hạn lần. Lấy dãy con  x1n  của dãy  x0n  sao cho số hạng thứ hai của mỗi phần tử bằng b1 . Như vậy, với mọi m , tồn tại dãy con  xm,n  của dãy  xm 1,n  sao cho số hạng thứ m của mỗi phần tử bằng bm 0;1;2;...; p 1 . Đặt b = b0  b1 p  ...  bm p m  ...
Xét dãy các đường chéo  xmm  với phần tử x0 n có số hạng thứ nhất là b0 ; phần tử x1n có số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1 ;….; phần tử xmm có số hạng thứ nhất là b0 , số hạng thứ hai là b1 ,…, số hạng thứ m + 1 là bm . Ta có: m  xmm  b p  p  m 1  0 Vậy  xmm  là một dãy con lấy ra từ dãy  xn  mà  xmm  hội tụ về b. Đến đây ta kết luận p là tập compắc đối với chuẩn p . iii/ Do p là tập compắc nên với mọi a thuộc p ,a+ p là lân cận compắc của a trong p . Vậy p là tập compắc địa phương. ■ 1.3. Trường các số phức p-adic p Làm đầy đủ theo giá trị tuyệt đối thông thường ta được trường số thực ; trường số thực không đóng đại số, bao đóng đại số của là trường số phức . Làm đầy đủ theo p ta được trường các số p-adic p ; p đầy đủ nhưng không đóng đại số. Kí hiệu bao đóng đại số của p là p . Giá trị tuyệt đối trên p được xây dựng như sau: Với   p thì  là phần tử đại số trên p . Do đó tồn tại một đa thức Irr(  , p ,x)= x n  an1 x n1  ...  a1 x  a0 (a i  p ) bất khả quy nhận  làm nghiệm. Ta định nghĩa p trên p như sau: x  p : x p  n a0 p
Ta chứng minh được p là một giá trị tuyệt đối trên p và p  p trên p . Trường p đóng đại số nhưng nó không đầy đủ theo p vừa xây dựng. Nếu tiếp tục làm đầy đủ p theo p thì ta sẽ được trường các số phức p- adic, trường đó được ký hiệu là p  p  Trường số phức p-adic p có hai tính chất cơ bản sau: p đóng đại số, đầy đủ và nó có vai trò tương tự như trường số phức trong giải tích phức.
Chương 2: LÝ THUYẾT NEVANLINNA P-ADIC Trong chương này chúng tôi trình bày một số các hàm đặc trưng và hai định lý cơ bản của lý thuyết Nevanlinna p-adic. 2.1. Các hàm đặc trưng 2.1.1. Các khái niệm cơ bản Vành các chuỗi lũy thừa hình thức có hệ số trong p :    p    z    f ( z )   an z n / an  p   n 1  Xét tập:    A r ( p ) =  f ( z )   an z / an  n  n p , an p   0  ( r > 0)  n 1  Rõ ràng A r ( p ) là vành con của vành p  z  . Chú ý rằng nếu  f ( z )   an z n  A r ( p ) thì f hội tụ và là hàm giải tích trên n 1 Dr  p 0, r    z  p / z p r  n Với f  A r ( p ) và f  0, ta định nghĩa:  (r,f) = max an r . Ta có thể n chứng minh được  (r,f) là chuẩn trên vành A r ( p ) , nghĩa là: i/  (r, f) = 0  f = 0 ii/  (r, f + g)  max{  (r,f);  (r,g)} iii/  (r, f.g) =  (r, f).  (r, g) Giả sử D là tập mở trong p . Ký hiệu: Ή(D) là tập các hàm giải tích trên D, M(D) là trường các thương của Ή(D) Một phần tử f thuộc M(D) được gọi là hàm phân hình trên D. Ta ký hiệu M  ( p ) là:
g  M( p )   / g, h A  ( p ) ,h  0  h  g Cho f  M  ( p ) ( 0     ). Khi đó có g, h  A  ( p ) sao cho f = . Ta h định nghĩa: ( r , g )  (r,f) = (0  r  ) ( r , h) Đặc biệt: 1  (r,f) = ( r , f ) Ta có thể chứng minh được với  > r > 0, hàm  (r,.): M  ( p )  thỏa các tính chất sau: i/  (r,f) = 0  f = 0 ii/  (r,f 1 + f 2 )  max{  (r, f 1 );  (r, f 2 )} iii/  (r, f 1 .f 2 ) =  (r, f 1 ).  (r, f 2 ) 2.1.2. Các hàm đặc trưng  Cho f(z) = a z nm n n A  ( p ) ( 0
Cho f  M  ( p ) và a  p   . Khi đó, tồn tại f 0, f1  A r ( p ) f1 ( 0
a  ( z  z0 )m h( z ) : a    f ( z )   h( z ) với h(z 0 )  0;   ( z  z )m :a    0 Định nghĩa:  E f (a)  ( af ( z ); z ) / z  p  và ký hiệu nghịch ảnh của a bởi f bởi: E f ( a )  f 1 ( a )  z   p /  af ( z )  0  Nếu một cặp hai hàm phân hình f và g không là hàm hằng trên p thỏa: + E f (a) = Eg (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a tính cả số bội. + E f (a) = E g (a) thì ta nói f và g chia sẻ giá trị a không tính số bội. Với k   , định nghĩa:  af ( z ) :  af ( z )  k  af ( z ) :  af ( z )  k và  ( z)   a  a f ,k ( z)   f (k :  af ( z )  k 0 :  f ( z )  k a k a 1 : 0   af ( z )  k a 1 :  af ( z )  k  f ,k ( z)   và  f (k ( z)   0 :  af ( z )  k v  af ( z )  0 0 :  af ( z )  k E f ( a, k )  z   p  /  f a,k  1 Ký hiệu : r 1 1 1 dt nk (r ; )    af ,k ( z ) và N k (r ; )   nk (t ; ) f a z r f  a 0 f a t r 1 1 1 dt n( k (r ; )    f ( k ( z ) và N ( k (r ; a )   n( k (t ; ) f a z r f  a 0 f a t r 1 1 1 dt n k (r; )    f ,k ( z ) và N k (r ; a )   n k (t ; ) f a z r f  a 0 f a t