Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

Chia sẻ: _ _ | Ngày: | Loại File: PDF | Số trang:48

Thêm vào BST

Báo xấu

19
lượt xem 3
download

Download Vui lòng tải xuống để xem tài liệu đầy đủ

Nội dung bài viết trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ. Mời các bạn tham khảo!

Chủ đề:

Bình luận(0) Đăng nhập để gửi bình luận!

Lưu

Nội dung Text: Luận văn Thạc sĩ Toán học: Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thái Nguyên - 2016
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM LÊ THỊ TUYẾT NHUNG TÍNH GIẢI ĐƯỢC CỦA MỘT HỆ PHƯƠNG TRÌNH CẶP TÍCH PHÂN FOURIER Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60.46.01.02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học TS. NGUYỄN THỊ NGÂN Thái Nguyên - 2016
Lời cam đoan Tôi xin cam đoan rằng nội dung trình bày trong luận văn này là trung thực và không trùng lặp với đề tài khác. Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi sự giúp đỡ cho việc thực hiện luận văn này đã được cảm ơn và các thông tin trích dẫn trong luận văn đã được chỉ rõ nguồn gốc. Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung i
Lời cảm ơn Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tôi xin chân thành bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cô giáo và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với những điều cô giáo đã dành cho tôi. Tôi xin chân thành cảm ơn Ban Giám hiệu Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên cùng các Phòng- Ban chức năng của Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên, các Quý Thầy Cô giảng dạy lớp Cao học K22 (2014- 2016) Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạt những kiến thức quý báu cũng như tạo điều kiện cho tôi hoàn thành khóa học. Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè, những người thân đã luôn động viên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện luận văn. Xin trân trọng cảm ơn ! Thái Nguyên, tháng 4 năm 2016 Người viết luận văn Lê Thị Tuyết Nhung ii
Mục lục Lời cam đoan i Lời cảm ơn ii Mục lục iii Mở đầu 1 1 Kiến thức chuẩn bị 3 1.1 Phương trình tích phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại một . . . . . . . . . . . 4 1.3 Các đa thức Chebyushev . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3.1 Đa thức Chebyushev loại một . . . . . . . . . . . . 5 1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai . . . . . . . . . . . . . 7 1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . 9 1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh . . . . . . . 11 1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh . . . 11 1.5.2 Biến đổi Fourier của các hàm cơ bản . . . . . . . . 11 1.5.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 1.6 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . . . . . 12 1.6.1 Không gian S 0 của các hàm suy rộng tăng chậm . . 12 1.6.2 Biến đổi Fourier của hàm suy rộng tăng chậm . . . 13 1.6.3 Các tính chất cơ bản của biến đổi Fourier trong không gian S 0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 1.6.4 Biến đổi Fourier của tích chập . . . . . . . . . . . . 14 iii
1.7 Các không gian . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 1.7.1 Không gian H s (R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 s 1.7.2 Các không gian Hos (Ω), Ho,o (Ω), H s (Ω) . . . . . . . 15 1.7.3 Định lý nhúng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.8 Các không gian Sobolev vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.9 Phiếm hàm tuyến tính liên tục . . . . . . . . . . . . . . . . 18 1.10 Toán tử giả vi phân vectơ . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 2 Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier 22 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 2.2 Đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier . . . . . . . 22 2.3 Tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân (2.10) . 24 2.4 Đưa hệ phương trình cặp tích phân về hệ phương trình tích phân kỳ dị nhân Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 2.5 Đưa hệ phương trình tích phân kì dị nhân Cauchy về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính . . . . . . . . . . . 33 Kết luận 40 Tài liệu tham khảo 42 iv
Mở đầu Phương trình cặp và hệ phương trình cặp xuất hiện khi giải bài toán hỗn hợp của vật lý toán. Nhiều bài toán tiếp xúc của lý thuyết đàn hồi, các bài toán về vết nứt, về dị tật trong môi trường,... có thể đưa đến việc giải các phương trình cặp khác nhau. Trong bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa với điều kiện biên hỗn hợp được cho như sau: Trên cạnh y = 0 điều kiện biên Dirichlet được cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện Neumann. Trên cạnh y = h điều kiện biên Neumann được cho trên khoảng hữu hạn (a, b), còn ngoài khoảng đó cho điều kiện biên Dirichlet. Bài toán được giải bằng cách đưa về hệ phương trình cặp tích phân Fourier mà các phần tử trên đường chéo chính của ma trận biểu trưng cấp hai, một tăng- một giảm cấp một. Với mong muốn được tìm hiểu tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình điều hòa trên miền hình dải, tôi chọn đề tài “Tính giải được của một hệ phương trình cặp tích phân Fourier”. Luận văn ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo gồm có hai chương nội dung. Chương 1 trình bày tổng quan một số kiến thức cơ bản về phương trình tích phân, phương trình tích phân kì dị, hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính, các đa thức Chebyushev, biến đổi Fourier của các hàm cơ bản giảm nhanh, biến đổi Fourier của các hàm suy rộng tăng chậm, các không gian Sobolev, các không gian Sobolev vectơ, phiếm hàm tuyến tính liên tục, toán tử giả vi phân vectơ. Chương 2 trình bày về tính giải được của hệ phương trình cặp tích phân Fourier xuất hiện khi giải bài toán biên hỗn hợp của phương trình 1
điều hòa. Các Định lí 2.1, Định lí 2.2 đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất nghiệm của các hệ phương trình cặp tích phân Fourier trong các không gian Sobolev vectơ thích hợp, đưa các hệ phương trình cặp tích phân Fourier về hệ các phương trình tích phân kỳ dị với nhân Cauchy, đưa tiếp các hệ phương trình tích phân về hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính. Đánh giá được các hệ số của các hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó và chứng minh các hệ phương trình đó có duy nhất nghiệm thuộc không gian `2 , các hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính đó là hệ tựa hoàn toàn chính quy. Luận văn được hoàn thành tại Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên dưới sự hướng dẫn khoa học của TS. Nguyễn Thị Ngân. Tác giả xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất tới cô giáo hướng dẫn, Trường Đại học Sư phạm- Đại học Thái Nguyên đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để em hoàn thành được khóa học của mình. 2
Chương 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình tích phân Định nghĩa 1.1. Phương trình tích phân là phương trình mà ẩn hàm chưa biết nằm trong dấu tích phân. Ví dụ 1.1. Với a ≤ s, t ≤ b ta có các phương trình tích phân: Zb f (t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.1) a Zb g(t) = λ K(t, s)g(s)ds, (1.2) a Zb g(t) = λ (K(t, s))2 ds, (1.3) a Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds. (1.4) a Thấy rằng: + Hàm ẩn g(t) phải tìm có thể chỉ nằm trong dấu tích phân có thể nằm ngoài dấu tích phân. +Một phương trình tích phân được gọi là tuyến tính nếu hàm phải tìm là bậc 1 (ví dụ các phương trình (1.1) và (1.2) là tuyến tính còn (1.3) là không phải). +Bằng biến đổi thích hợp, một phương trình tích phân bao giờ cũng đưa 3
được về dạng (A − λI)g = f , trong đó A là toán tử tích phân, khi đó nếu A là toán tử tuyến tính thì phương trình tích phân đó là tuyến tính. Định nghĩa 1.2. Phương trình có dạng: Zb g(t) = f (t) + λ K(t, s)g(s)ds, a được gọi là phương trình Fredhom loại 2, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số. Phương trình có dạng: Zb f (t) = λ K(t, s)g(t)ds, a được gọi là phương trình Fredhom loại 1, trong đó g(t) là hàm chưa biết, f (t) và K(t, s) là những hàm cho trước, λ là hàm số. 1.2 Phương trình tích phân kỳ dị loại một Xét phương trình tích phân kỳ dị sau Zb 1 ϕ(τ ) dτ = f (ξ), a < ξ < b. (1.5) π τ −ξ a Phương trình (1.5) là một trường hợp riêng quan trọng của các phương trình tích phân kỳ dị thường gặp trong nhiều bài toán cơ học và Vật lý toán. Trong phương trình trên ta giả thiết rằng hàm f (ξ) thỏa mãn điều kiện Holder. Tùy thuộc vào dáng điệu của ẩn hàm ở các đầu mút của đoạn [a, b], ta có các công thức nghiệm sau đây của phương trình: a. Nghiệm không bị chặn ở hai đầu mút: Zb p   1 1 (τ − a)(b − τ )f (τ ) ϕ(ξ) = − p dτ + a0  , (ξ − a)(b − ξ) π τ − ξ a a < ξ < b, (1.6) trong đó a0 là hằng số tùy ý. 4
b. Nghiệm bị chặn tại đầu mút ξ = a và không bị chặn tại đầu mút ξ = b: s Zb r ξ−a1 b − τ f (τ ) ϕ(ξ) = − dτ. (1.7) b−ξπ τ − aτ − ξ a c. Nghiệm không bị chặn tại t = a và bị chặn tại t = b: s Zb r b−ξ 1 τ − a f (τ ) ϕ(ξ) = − dτ. (1.8) ξ − aπ b−τ τ −ξ a d. Nghiệm bị chặn tại hai đầu mút: Zb 1 f (τ ) dτ q ϕ(ξ) = − (ξ − a)(b − ξ) p , (1.9) π (τ − a)(b − τ ) τ − ξ a với điều kiện Zb f (τ )dτ p = 0. (1.10) (τ − a)(b − τ ) a 1.3 Các đa thức Chebyushev 1.3.1 Đa thức Chebyushev loại một Định nghĩa 1.3. [12]. Đa thức Chebyushev bậc n loại một Tn (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Tn+1 (x) − 2xTn (x) + Tn−1 (x) = 0, T0 (x) = 1, T1 (x) = x. Nghiệm của phương trình sai phân trên là Tn (x) = cos(n arccos x), Tn (cos θ) = cos(nθ), (n = 0, 1, 2, . . .). Ta có một số công thức của đa thức Chebyushev loại một như sau: a. Biểu thức hiển [ n2 ] n X (−1)m (n − m − 1)! Tn (x) = (2x)n−m . 2 m=0 m!(n − 2m)! 5
b. Các đa thức bậc thấp T0 (x) = 1, T1 (x) = x, T2 (x) = 2x2 − 1, T3 (x) = 4x3 − 3x, T4 (x) = 8x4 − 8x2 + 1, T5 (x) = 16x5 − 20x3 + 5x. c. Một số hệ thức Tn (−x) = (−1)n Tn (x), Tn (1) = 1, Tn (−1) = (−1)n , Tn+m (x) + Tn−m (x) Tn (x)Tm (x) = , 2 Tn (Tm (x)) = Tnm (x). d. Trực giao  Z1  0, m 6= n, Tm (x)Tn (x)  √ dx = π, m = n = 0, 1 − x2 π ,  m = n 6= 0.  −1 2 e. Các hệ thức phổ Z1 Tn (y)dy p = πUn−1 (x), (y − x) 1 − y 2 −1 Z1 1 1 Tn (y)dy ln p = σn Tk (x), (n = 0, 1, 2, . . .), π |x − y| 1 − y 2 −1 trong đó Un (x) là đa thức Chebyushev loại hai, còn  ln 2, n = 0, σn = 1  , n = 1, 2, . . . . n f. Nghiệm của Tn (x) 6
Tất cả các nghiệm của Tn (x) đều thuộc đoạn [−1, 1] và được xác định theo công thức: (2k − 1)π xk = cos θk = cos , k = 1, 2, . . . . 2n g. Phương trình vi phân (1 − x)y 00 − xy 0 + n2 y = 0, y = Tn (x). 1.3.2 Đa thức Chebyushev loại hai Định nghĩa 1.4. [12]. Đa thức Chebyushev bậc n loại hai Un (x) được xác định như nghiệm của phương trình sai phân Un+1 (x) − 2xUn (x) + Un−1 (x) = 0, U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x. Nghiệm của phương trình sai phân trên là sin [(n + 1)θ] x = cos θ, Un (cos θ) = . sin θ Ta có một số công thức của đa thức Chebyushev loại hai như sau: a. Biểu thức hiển [ n2 ] X (−1)m (n − m)! Un (x) = (2x)n−m , n = 1, 2, . . . . m=0 m!(n − 2m)! b. Các đa thức bậc thấp U0 (x) = 1, U1 (x) = 2x, U2 (x) = 4x2 − 1, U3 (x) = 8x3 − 4x, U4 (x) = 16x4 − 12x2 + 1, U5 (x) = 32x5 − 32x3 + 6x. 7
c. Một số hệ thức giữa Tn (x) và Un (x) Un (−x) = (−1)n Un (x), Un (1) = n + 1, Un (−1) = (−1)n (n + 1), Tn−m (x) − Tn+m+2 (x) Un (x)Um (x) = , 2(1 − x2 ) 1 Tm Un (x) = [Un−m (x) + Un+m (x)] , 2 d Tn (x) = nUn−1 (x), dx xTn x − Tn+1 (x) = (1 − x2 )Un−1 (x), Tn (x) = Un (x) − xUn−1 (x). d. Trực giao  Z1 p 0, m 6= n, 2 Um (x)Un (x) 1 − x dx = π  , m = n. −1 2 e. Các hệ thức phổ Z1 p 1 − y 2 Un−1 (y)dy = −πTn (x), (n = 1, 2, . . .), (y − x) −1 trong đó Tn x là đa thức Chebyushev loại một. f. Nghiệm của Un (x) Tất cả các nghiệm của Un (x) đều thuộc đoạn [−1, 1] và được xác định bởi công thức sau: kπ xk = cos θk = cos , k = 1, 2, . . . , n. n+1 g. Phương trình vi phân (1 + x)y 00 − 3xy 0 + n(n + 2)y = 0, y = Un (x). 8
Ta có một số công thức sau [12]: sin(n + 1)θ Tn (cos θ) = cos(nθ), Un (cos) = , (1.11) sin θ Zb Tk [η(x)] Tj [η(x)] dx = αk δkj , (1.12) ρ(x) a Zb Uk [η(x)] Uj [η(x)] ρ(x)dx = βδkj , (1.13) a Zb Tk [η(y)] dy −2π dx = Um−1 [η(x)] , k = 0, 1, . . . , (1.14) (x − y)ρ(y) b−a a Zb ρ(y)Uk−1 [η(y)] dy π(b − a) = Tk [η(x)] , k = 1, 2, . . . , (1.15) x−y 2 a  π, k=0 với δkj là kí hiệu Kronecker và α = π ,  , k = 1, 2, . . . 2 π(b − a)2 2x − (a − b) β= , η(x) = . 8 b−a 1.4 Hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính Xét hệ vô hạn các phương trình đại số tuyến tính sau ∞ X xi = ci,k xk + bi , (i = 1, 2, . . .), (1.16) k=1 trong đó xi là các số cần xác định, ci,k và bi là các hệ số đã biết. Định nghĩa 1.5. [5]. Tập hợp những số x1 , x2 , ... được gọi là nghiệm của hệ (1.16) nếu khi thay những số đó vào vế phải của (1.16) ta có các chuỗi hội tụ và tất cả những đẳng thức được thỏa mãn. Nghiệm được gọi là chính nếu nó tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp với giá trị ban đầu bằng không. 9
Định nghĩa 1.6. [5]. Hệ vô hạn (1.16) được gọi là hệ chính quy nếu ∞ X |ci,k | < 1, (i = 1, 2, . . .). (1.17) k=1 Nếu có thêm điều kiện X∞ |ci,k | ≤ 1 − θ < 1, 0 < θ < 1, (i = 1, 2, . . .), (1.18) k=1 thì hệ này được gọi là hoàn toàn chính quy. Nếu các bất đẳng thức (1.17) (tương ứng, (1.18)) đúng với i = N + 1, N + 2, . . . , thì hệ (1.16) được gọi là tựa chính quy ( tương ứng, tựa hoàn toàn chính quy). Ta kí hiệu X∞ ρi = 1 − |ci,k | , (i = 1, 2, . . .). k=1 Hệ chính quy cho ρi > 0, hệ hoàn toàn chính quy cho ρi ≥ θ > 0. Giả sử hệ (1.16) là hệ chính quy và các hệ số tự do bi thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi , (K = const > 0). (1.19) Định lý 1.1. [5]. (Sự tồn tại của nghiệm bị chặn). Nếu các hệ số tự do của hệ vô hạn chính quy thỏa mãn điều kiện (1.19) thì nó có nghiệm bị chặn |xi | ≤ K và nghiệm này có thể tìm được bằng phương pháp xấp xỉ liên tiếp. Định lý 1.2. [5]. (Sự “chặt cụt”). Nghiệm chính x∗ của hệ chính quy ∞ X xi = cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, . . .), k=1 cùng với các hệ số tự do thỏa mãn điều kiện |bi | ≤ Kρi có thể tìm được bằng phương pháp “chặt cụt”, nghĩa là nếu xN i là nghiệm của hệ hữu hạn N X xi = cik xk + bi , (i = 1, 2, 3, . . . , N ), k=1 thì x∗i = limN →∞ xN i . 10
Định lý 1.3. [5]. (Bondarenko P.S). Hệ chính quy có thể có không quá một nghiệm tiến đến không, nghĩa là limi→∞ xi = 0. 1.5 Biến đổi Fourier của hàm cơ bản giảm nhanh 1.5.1 Không gian S của các hàm cơ bản giảm nhanh Định nghĩa 1.7. [4], [13], [14]. Kí hiệu S = S(R) là tập hợp của các hàm khả vi vô hạn ϕ ∈ C ∞ (R), thỏa mãn điều kiện p X p
k
|[ϕ]|p = sup(1 + |x|)
D ϕ